Fizyka 2025 — poziom rozszerzony

1. 1
   Zbuduj model fizyczny

   Wybierz układ odniesienia i wypisz dane z jednostkami. Nazwij prawo fizyczne opisujące sytuację, ustal zwroty wektorów i dopiero potem podstawiaj liczby; na końcu sprawdź jednostkę i sens fizyczny wyniku.

2. 2
   Przeprowadź rozwiązanie

   FPF Wymagane elementy toku według CKE: 2 pkt – poprawne zaznaczenia w trzech stwierdzeniach. 1 pkt – poprawne zaznaczenia w dwóch stwierdzeniach. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.

3. 3
   Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, a wynik jest zgodny z odpowiedzią: FPF

Typowy błąd: Podstawianie liczb do przypadkowego wzoru bez określenia modelu, zwrotów wielkości wektorowych i jednostek.

Punktowanie: 2 pkt – poprawne zaznaczenia w trzech stwierdzeniach. 1 pkt – poprawne zaznaczenia w dwóch stwierdzeniach. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.

1. 1
   Zbuduj model fizyczny

   Wybierz układ odniesienia i wypisz dane z jednostkami. Nazwij prawo fizyczne opisujące sytuację, ustal zwroty wektorów i dopiero potem podstawiaj liczby; na końcu sprawdź jednostkę i sens fizyczny wyniku.

2. 2
   Przeprowadź etap 1

   3

3. 3
   Przeprowadź etap 2

   Sposób 1. (zastosowanie kinematycznych równań ruchu w układzie inercjalnym) Ruch kulki KA jest złożeniem ruchu jednostajnego prostoliniowego wzdłuż osi 𝑥 i spadku swobodnego wzdłuż osi 𝑦. Zatem współrzędna prędkości kulki KA wzdłuż osi 𝑥 jest stała: v𝑥 = v0𝐴 Obliczymy czas 𝑡𝑧 , mierzony od chwili 𝑡0 , po którym dochodzi do zderzenia kulek. Kulki zderzają się w punkcie 𝐶 w chwili 𝑡𝑧 . Z równania ruchu jednostajnego prostoliniowego wynika, że współrzędna 𝑥 położenia kulki KA w punkcie 𝐶 w chwili 𝑡𝑧 dana jest wzorem: 𝑥𝐶 (KA) − 𝑥𝐴 (KA) 6m−0m 𝑥𝐶 (KA) = 𝑥𝐴 (KA) + v0𝐴 𝑡𝑧 zatem 𝑡𝑧 = = m = 0,75 s v0𝐴 8 s Współrzędna 𝑦 położenia kulki KA w chwili zderzenia w 𝐶 – zgodnie z równaniem ruchu jednostajnie przyśpieszonego bez prędkości początkowej (ruchu w przeciwną stronę do zwrotu osi 𝑦) – dana jest wzorem: 1 𝑦𝐶 (KA) = 𝑦𝐴 (KA) − |Δ𝑦(KA) | = 12 m − 𝑔𝑡𝑧2 2 3 Przykładowe rozwiązania mogą zawierać dodatkowe wyjaśnienia/komentarze, które nie podlegają ocenie. Wymagane elementy rozwiązania zdającego podlegające ocenie są wyszczególnione i opisane w kryteriach punktacji zasad oceniania. Dodatkowe komentarze w rozwiązaniu zamieszczono w celach dydaktycznych. Ruch kulki KB jest rzutem pionowym w górę z prędkością początkową v0𝐵 . Współrzędna 𝑦 położenia kulki KB w chwili zderzenia w 𝐶 – zgodnie z równaniem ruchu jednostajnie opóźnionego – dana jest wzorem: 1 𝑦𝐶 (KB) = v0𝐵 𝑡𝑧 − 𝑔𝑡𝑧2 2 Porównamy ze sobą dwa powyższe wyrażenia opisujące rzędną punktu 𝐶 : 1 1 12 m − 𝑔𝑡𝑧2 = v0𝐵 𝑡𝑧 − 𝑔𝑡𝑧2 → 12 m = v0𝐵 𝑡𝑧 2 2 Obliczymy v0𝐵 : 12 m m v0𝐵 = = 16 0,75 s s

4. 4
   Przeprowadź etap 3

   Sposób 2. (zastosowanie kinematycznych równań ruchu w układzie inercjalnym) Obliczymy czas 𝑡𝑧 , mierzony od chwili 𝑡0 , po którym dochodzi do zderzenia kulek. Kulki zderzają się w punkcie 𝐶 . Ruch kulki KA jest złożeniem ruchu jednostajnego prostoliniowego wzdłuż osi 𝑥 i spadku swobodnego wzdłuż osi 𝑦. Przemieszczenie Δ𝑥(KA) kulki KA wzdłuż 𝑥 w czasie 𝑡𝑧 dane jest wzorem: Δ𝑥(KA) 6m Δ𝑥(KA) = v𝑥 𝑡𝑧 = v0𝐴 𝑡𝑧 zatem 𝑡𝑧 = = m = 0,75 s v0𝐴 8 s Obliczymy współrzędną 𝑦 położenia kulki KA w chwili zderzenia w 𝐶 . Wykorzystamy równanie ruchu jednostajnie przyśpieszonego (w przeciwną stronę do zwrotu osi 𝑦) bez prędkości początkowej: 1 𝑦𝐶 (KA) = 𝑦𝐴 (KA) − |Δ𝑦(KA) | = 12 − 𝑔𝑡𝑧2 → 2 1 m 𝑦𝐶 (KA) = 12 m − ⋅ 9,81 2 ⋅ 0,752 s2 ≈ 9,24 m 2 s Obliczymy prędkość początkową kulki KB. Ruch kulki KB jest rzutem pionowym w górę z prędkością początkową v0𝐵 . Wykorzystamy równanie ruchu jednostajnie opóźnionego: 1 𝑦𝐶 (KB) = v0𝐵 𝑡𝑧 − 𝑔𝑡𝑧2 oraz 𝑦𝐶 (KA) = 𝑦𝐶 (KB) → 2 1 m 9,24 m = v𝐵 ⋅ 0,75 s − ⋅ 9,81 2 ⋅ 0,752 s2 → 2 s m v0𝐵 ≈ 16 s

5. 5
   Przeprowadź etap 4

   Sposób 3. (zastosowanie równań opisujących ruch kulki KB względem kulki KA) Zapiszemy wektorowe równania ruchu dla prędkości kulek KA i KB względem ziemi. Równania te rozpiszemy na współrzędne prędkości v𝑥 oraz v𝑦 (wektor przyśpieszenia ziemskiego jest zwrócony przeciwnie do zwrotu osi 𝑦, zatem jego współrzędna jest ujemna): ⃗v𝐴 (𝑡) = ⃗v0𝐴 + 𝑔𝑡 → ⃗v𝐴 (𝑡) = [v𝐴𝑥 (𝑡) ; v𝐴𝑦 (𝑡) ] = [v0𝐴 ; −𝑔𝑡] ⃗v𝐵 (𝑡) = ⃗v0𝐵 + 𝑔𝑡 → ⃗v𝐵 (𝑡) = [v𝐵𝑥 (𝑡) ; v𝐵𝑦 (𝑡) ] = [0; v0𝐵 − 𝑔𝑡] Obliczymy prędkość kulki KB w układzie odniesienia kulki KA, czyli obliczymy prędkość względną kulek. Następnie wyrazimy tę prędkość względną we współrzędnych: ⃗v𝐵𝐴 = ⃗v𝐵 (𝑡) − ⃗v𝐴 (𝑡) = [0 − v0𝐴 ; (v0𝐵 − 𝑔𝑡) − (−𝑔𝑡)] m ⃗v𝐵𝐴 = [v𝐵𝐴𝑥 ; v𝐵𝐴𝑦 ] = [−v0𝐴 ; v0𝐵 ] = [−8 ; v𝑂𝐵 ] s W związku z powyższym kulka KB porusza się w układzie odniesienia kulki KA ze stałą prędkością, której współrzędna pozioma wynosi (−8 m/s) a pionowa v0𝐵 . Z drugiej strony wektor przemieszczenia Δ𝑟𝐴𝐵 (do momentu zderzenia kulek) kulki KB w układzie odniesienia kulki KA ma współrzędne: Δ𝑟𝐵𝐴 = [Δ𝑥𝐵𝐴 ; Δ𝑦𝐵𝐴 ] = [−6 m ; 12 m] Powyższe oznacza, że kulka KB porusza się względem KA po skosie do momentu zderzenia: 6 m w lewo i 12 m w górę. Zastosujemy równanie ruchu jednostajnego w wersji wektorowej: m Δ𝑟𝐵𝐴 = ⃗v𝐵𝐴 𝑡𝑧 → [−6 m ; 12 m] = [−8 ⋅𝑡 ; v ⋅𝑡 ] s 𝑧 𝑂𝐵 𝑧 Równanie to rozpiszemy na współrzędne: m m 6m 8 s m 6 m = 8 ⋅ 𝑡𝑧 oraz 12 m = v0𝐵 ⋅ 𝑡𝑧 → = → v𝑂𝐵 = 16 s 12 m v𝑂𝐵 s

6. 6
   Przeprowadź etap 5

   Sposób 4. (zastosowanie równań ruchu kulki KA i kulki KB w układzie odniesienia, który spada swobodnie) Rozważmy ruch obu kulek w nieinercjalnym, swobodnie spadającym pionowo układzie odniesienia NU. Załóżmy dalej, że układ NU rozpoczął spadanie w chwili 𝑡0 – tej samej chwili, w której rzucono kulkę KA. Zauważmy, że układ odniesienia NU spada w z takim samym przyśpieszeniem ziemskim skierowanym w dół, z jakim poruszają się kulki KA i KB. W związku z tym, przyśpieszenia obu kulek względem spadającego układu NU wynoszą zero. Ponieważ przyśpieszenia kulek w spadającym układzie odniesienia NU wynoszą zero, to kulki poruszają się w tym układzie NU ruchem jednostajnym prostoliniowym (mówimy, że względem układu NU kulki są w stanie nieważkości, jak np. w spadającej swobodnie windzie). Zanotujmy ważne wnioski wynikające z powyższego rozważania: • Ponieważ układ odniesienia NU rozpoczął spadanie w tej samej chwili 𝑡0 co kulka KA i spada razem z nią, to prędkość kulki KA w NU ma tylko składową poziomą, równą prędkości początkowej KA względem ziemi (pionowa składowa prędkości wynosi zero): m ⃗v(KA)_𝑁𝑈 = [8 ; 0] s • Prędkość kulki KB w NU ma tylko składową pionową, równą prędkości początkowej kulki KB względem ziemi (pozioma składowa tej prędkości wynosi zero): ⃗v(KB)_𝑁𝑈 = [0 ; v𝑂𝐵 ] • Do momentu zderzenia kulka KA przebywa w układzie odniesienia NU drogę (w poziomie) równą Δ𝑥(KA)_𝑁𝑈 = 6 m, a kulka KB przebywa w układzie odniesienia NU drogę (w pionie) równą Δ𝑦(KB)_𝑁𝑈 = 12 m. Z własności ruchu jednostajnego prostoliniowego (w układzie odniesienia NU) otrzymujemy: Δ𝑥(KA)_𝑁𝑈 Δ𝑦(KB)_𝑁𝑈 𝑡𝐴𝑧 = 𝑡𝐵𝑧 → = v(KA)_𝑁𝑈 v(KB)_𝑁𝑈 6 m 12 m m= v → v0𝐵 = 16 m/s 8 s 𝑂𝐵 Sposób 5. (rozwiązanie z zastosowaniem zasady zachowania energii mechanicznej) Zapiszemy zasadę zachowania energii dla kulki KA w punktach 𝐴 i 𝐶 oraz uwzględnimy wzór na prędkość kulki KA w punkcie 𝐶 : 𝑚v20𝐴 𝑚v2(KA)𝐶 + 𝑚𝑔ℎ𝐴 = + 𝑚𝑔𝑦𝑐 gdzie v2(KA)𝐶 = v20𝐴 + (𝑔𝑡𝑧 )2 2 2 Zapiszemy zasadę zachowania energii dla kulki KB w punktach 𝐵 i 𝐶 oraz uwzględnimy wzór na prędkość kulki KB w punkcie 𝐶 : 𝑚v20𝐵 𝑚v2(KB)𝐶 = + 𝑚𝑔𝑦𝑐 gdzie v(KB)𝐶 = v0𝐵 − 𝑔𝑡𝑧 2 2 Wyznaczymy 𝑡𝑧 z wartości poziomych składowych prędkości i przemieszczenia kulki KA: Δ𝑥(KA) 6m 𝑡𝑧 = = m = 0,75 s v0𝐴 8 s Zapiszemy układ równań wynikający z powyższych zależności: 𝑚v20𝐴 𝑚(v20𝐴 + (𝑔𝑡𝑧 )2 ) + 𝑚𝑔ℎ𝐴 = + 𝑚𝑔𝑦𝑐 2 2 𝑚v20𝐵 𝑚(v0𝐵 − 𝑔𝑡𝑧 )2 = + 𝑚𝑔𝑦𝑐 2 2 { 𝑡𝑧 = 0,75 s Rozwiążemy powyższy układ równań: 𝑚v20𝐴 𝑚(v20𝐴 + (𝑔𝑡𝑧 )2 ) 𝑚v20𝐵 𝑚(v0𝐵 − 𝑔𝑡𝑧 )2 + 𝑚𝑔ℎ𝐴 = + − { 2 2 2 2 → 𝑡𝑧 = 0,75 s v20𝐴 v20𝐴 (𝑔𝑡𝑧 )2 v20𝐵 v20𝐵 − 2v0𝐵 𝑔𝑡𝑧 + (𝑔𝑡𝑧 )2 + 𝑔ℎ𝐴 = + + − { 2 2 2 2 2 → 𝑡𝑧 = 0,75 s v20𝐴 v20𝐴 (𝑔𝑡𝑧 )2 v20𝐵 v20𝐵 (𝑔𝑡𝑧 )2 + 𝑔ℎ𝐴 = + + − + v0𝐵 𝑔𝑡𝑧 − { 2 2 2 2 2 2 → 𝑡𝑧 = 0,75 s ℎ = v0𝐵 𝑡𝑧 ℎ𝐴 12 m m { 𝐴 → v0𝐵 = = = 16 𝑡𝑧 = 0,75 s 𝑡𝑧 0,75 s s

7. 7
   Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik końcowy zgadza się z modelem odpowiedzi, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 3 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.

Typowy błąd: Podstawianie liczb do przypadkowego wzoru bez określenia modelu, zwrotów wielkości wektorowych i jednostek.

Punktowanie: 2 (dla rozwiązania sposobem 1. lub sposobem 2.) 3 pkt – poprawna metoda obliczenia v0𝐵 – wartości prędkości początkowej kulki KB, tzn. poprawne zastosowanie równań ruchu dla kulek KA i KB (w układzie inercjalnym) oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: v0𝐵 = 16 m/s 2 pkt – zapisanie równania z którego można bezpośrednio obliczyć czas ruchu kulki KA od chwili 𝑡0 do chwili 𝑡𝑧 oraz zapisanie równania pozwalającego wyznaczyć położenie kulki KA wzdłuż osi 𝑦 w chwili 𝑡𝑧 , czyli rzędną punktu 𝐶 w funkcji położenia początkowego kulki KA, 𝑔 i 𝑡𝑧 oraz zapisanie równania (albo równań) pozwalającego wyznaczyć położenie kulki KB wzdłuż osi 𝑦 w chwili 𝑡𝑧 , czyli rzędną punktu 𝐶 w funkcji prędkości początkowej v0𝐵 kulki KB, 𝑔 i 𝑡𝑧 , np. zapisy równoważne poniższym: m 1 1 6m= 8 ⋅ 𝑡 oraz 𝑦𝐶 (KA) = 12 − 𝑔𝑡𝑧2 oraz 𝑦𝐶 (KB) = v0𝐵 𝑡𝑧 − 𝑔𝑡𝑧2 s 𝑧 2 2 albo m 1 6m= 8 ⋅ 𝑡𝑧 oraz 𝑦𝐶 (KA) = 12 − 𝑔𝑡𝑧2 oraz s 2 v0𝐵 + v𝐶 (KB) (𝑦𝐶 (KB) = ⋅ 𝑡𝑧 i v𝐶 (KB) = v0𝐵 − 𝑔𝑡𝑧 ) 2 1 pkt – zastosowanie równania ruchu jednostajnego prostoliniowego dla opisania położenia kulki KA wzdłuż osi 𝑥 : zapisanie równania z którego można bezpośrednio obliczyć czas ruchu kulki KA od chwili 𝑡0 do chwili 𝑡𝑧 zderzenia się kulek, np. zapisy równoważne poniższym: 6m 𝑥𝐶 (KA) = 𝑥𝐴 (KA) + v0𝐴 𝑡𝑧 albo Δ𝑥(KA) = v0𝐴 𝑡𝑧 albo 𝑡𝑧 = m 8 s LUB – zastosowanie równania ruchu jednostajnie przyśpieszonego (w stronę przeciwną do zwrotu osi 𝑦) bez prędkości początkowej dla opisania położenia kulki KA wzdłuż osi 𝑦: zapisanie równania pozwalającego wyznaczyć rzędną punktu 𝐶 w funkcji położenia początkowego kulki KA, 𝑔 i 𝑡𝑧 , np. zapisy równoważne poniższym: 1 𝑦𝐶 (KA) = 12 − 𝑔𝑡𝑧2 2 LUB – zastosowanie równania (albo równań) ruchu jednostajnie opóźnionego (w stronę zwrotu osi 𝑦) dla opisania położenia kulki KB wzdłuż osi 𝑦: zapisanie równania pozwalającego wyznaczyć rzędną punktu 𝐶 w funkcji prędkości początkowej v0𝐵 kulki KB, 𝑔 i 𝑡𝑧 , np. zapisy równoważne poniższym: 1 v0𝐵 + v𝐶 (KB) 𝑦𝐶 (KB) = v0𝐵 𝑡𝑧 − 𝑔𝑡𝑧2 albo (𝑦𝐶 (KB) = ⋅ 𝑡𝑧 i v𝐶 (KB) = v0𝐵 − 𝑔𝑡𝑧 ) 2 2 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. 2 Pod opisem warunków za przyznanie punktów, w niektórych przypadkach podano przykładowe zapisy (lub przykładowe zapisy równoważne), które spełniają te warunki w minimalnym stopniu. Zasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 3. lub sposobem 4.) Rozwiązanie będzie podlegało ocenie, gdy zdający spełni co najmniej jeden z poniższych warunków lub ich kombinację, określoną dalej w schemacie punktowania. Warunek PRĘDKOŚĆ_WZGLĘDNA Zauważenie, że ruch kulki KB względem kulki KA jest jednostajny prostoliniowy oraz określenie współrzędnych (może być co do wartości bezwzględnej) prędkości względnej kulki KB względem kulki KA, np. zapisy równoważne poniższym: m m v𝐵𝐴𝑥 = −8 , v𝐵𝐴𝑦 = v0𝐵 albo ⃗v𝐵𝐴 = [−8 ; v0𝐵 ] s s albo opisowo prędkość w poziomie kulki KB względem KA jest skierowana w lewo i ma stałą wartość 8 m/s prędkość w pionie kulki KB względem KA jest skierowana w górę i ma stałą wartość v0𝐵 Warunek PRZEMIESZCZENIE_WZGLĘDNE Zauważenie, że ruch kulki KB względem kulki KA jest jednostajny prostoliniowy oraz określenie współrzędnych (może być co do wartości bezwzględnej) przemieszczenia względnego kulki KB względem kulki KA, np. zapisy równoważne poniższym: Δ𝑥𝐵𝐴 = −6 m , Δ𝑦𝐵𝐴 = 12 m albo Δ𝑟𝐵𝐴 = [−6 m ; 12 m] albo opisowo przemieszczenie w poziomie kulki KB względem KA jest w lewo i ma wartość 6 m przemieszczenie w pionie kulki KB względem KA jest w górę i ma wartość 12 m Warunek PRĘDKOŚĆ_W_NU Zauważenie, że w nieinercjalnym układzie odniesienia (NU) swobodnie spadającym pionowo (od chwili 𝑡0 ) ruch obu kulek jest jednostajny prostoliniowy oraz określenie prędkości obu kulek w tym układzie NU, np. zapisy równoważne poniższym: m ⃗v𝐴_𝑁𝑈 = [v𝐴𝑥_𝑁𝑈 ; v𝐴𝑦_𝑁𝑈 ] = [8 ; 0] ⃗v𝐵_𝑁𝑈 = [v𝐵𝑥_𝑁𝑈 ; v𝐵𝑦_𝑁𝑈 ] = [0 ; v0𝐵 ] s albo opisowo kulka KA porusza się w spadającym układzie NU w prawo z prędkością 8 m/s kulka KB porusza się w spadającym układzie NU w górę z prędkością v0𝐵 Warunek PRZEMIESZCZENIE_W_NU Zauważenie, że w nieinercjalnym układzie odniesienia (NU) swobodnie spadającym pionowo (od chwili 𝑡0 ) ruch obu kulek jest jednostajny prostoliniowy oraz określenie przemieszczenia obu kulek w tym układzie NU, np. zapisy równoważne poniższym: Δ⃗𝑟𝐴_𝑁𝑈 = [Δ𝑥𝐴_𝑁𝑈 ; Δ𝑦𝐴_𝑁𝑈 ] = [6 m ; 0] Δ⃗𝑟𝐵_𝑁𝑈 = [Δ𝑥𝐵_𝑁𝑈 ; Δ𝑦𝐵_𝑁𝑈 ] = [0; 12 m] albo opisowo kulka KA w spadającym układzie NU przemieszcza się 6 m w prawo kulka KB w spadającym układzie NU przemieszcza się 12 m w górę Schemat punktowania (dla rozwiązania sposobem 3. lub sposobem 4.) 3 pkt – poprawna metoda obliczenia v0𝐵 – wartości prędkości początkowej kulki KB, tzn. poprawne zastosowanie równań ruchu dla kulek KA i KB (w układzie spoczynkowym kulki KA lub w układzie swobodnie spadającym pionowo) oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: v0𝐵 = 16 m/s 2 pkt – spełnienie warunku PRĘDKOŚĆ_WZGLĘDNA oraz warunku PRZEMIESZCZENIE_WZGLĘDNE oraz zastosowanie związków między przemieszczeniem względnym a prędkością względną kulki KB względem kulki KA (w obu kierunkach: poziomym i pionowym) i czasem ruchu do zderzenia kulek, np. zapisy równoważne poniższym: m 6 m = 8 s ⋅ 𝑡𝑧 oraz 12 m = v0𝐵 ⋅ 𝑡𝑧 LUB – spełnienie warunku PRĘDKOŚĆ_W_NU oraz warunku PRZEMIESZCZENIE_W_NU oraz zastosowanie związków między przemieszczeniem a prędkością i czasem (ruchu do zderzenia kulek) dla ruchu obu kulek w spadającym układzie odniesienia NU, np. zapisy równoważne poniższym: m 6m=8 ⋅𝑡 oraz 12 m = v0𝐵 ⋅ 𝑡𝑧 s 𝑧 1 pkt – spełnienie warunku PRĘDKOŚĆ_WZGLĘDNA LUB – spełnienie warunku PRZEMIESZCZENIE_WZGLĘDNE LUB – spełnienie warunku PRĘDKOŚĆ_W_NU LUB – spełnienie warunku PRZEMIESZCZENIE_W_NU 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Zasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 5.) 3 pkt – poprawna metoda obliczenia v0𝐵 – wartości prędkości początkowej kulki KB, tzn. poprawne zastosowanie zasady zachowania energii dla kulek KA i KB (w układzie inercjalnym) oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: v0𝐵 = 16 m/s 2 pkt – zapisanie równania z którego można bezpośrednio obliczyć czas ruchu kulki KA od chwili 𝑡0 do chwili 𝑡𝑧 oraz zapisanie zasady zachowania energii dla kulki KA w punktach 𝐴 i 𝐶 z uwzględnieniem wzoru z czasem na prędkość kulki KA w punkcie 𝐶 , oraz zapisanie zasady zachowania energii dla kulki KB w punktach 𝐵 i 𝐶 z uwzględnieniem wzoru z czasem na prędkość kulki KB w punkcie 𝐶 , np. zapisy równoważne poniższym: m 6m= 8 ⋅𝑡 oraz s 𝑧 𝑚v20𝐴 𝑚(v20𝐴 + (𝑔𝑡𝑧 )2 ) + 𝑚𝑔ℎ𝐴 = + 𝑚𝑔𝑦𝑐 oraz 2 2 𝑚v20𝐵 𝑚(v0𝐵 − 𝑔𝑡𝑧 )2 = + 𝑚𝑔𝑦𝑐 2 2 1 pkt – zastosowanie równania ruchu jednostajnego prostoliniowego dla opisania położenia kulki KA wzdłuż osi 𝑥 : zapisanie równania z którego można bezpośrednio obliczyć czas ruchu kulki KA od chwili 𝑡0 do chwili 𝑡𝑧 zderzenia się kulek, np. zapisy równoważne poniższym: 6m 𝑥𝐶 (KA) = 𝑥𝐴 (KA) + v0𝐴 𝑡𝑧 albo Δ𝑥(KA) = v0𝐴 𝑡𝑧 albo 𝑡𝑧 = m 8 s LUB – zapisanie zasady zachowania energii dla kulki KA w punktach 𝐴 i 𝐶 oraz uwzględnienie wzoru z czasem na prędkość kulki KA w punkcie 𝐶 , np. zapisy równoważne poniższym: 𝑚v20𝐴 𝑚(v20𝐴 + (𝑔𝑡𝑧 )2 ) + 𝑚𝑔ℎ𝐴 = + 𝑚𝑔𝑦𝑐 2 2 LUB – zapisanie zasady zachowania energii dla kulki KB w punktach 𝐵 i 𝐶 oraz uwzględnienie wzoru z czasem na prędkość kulki KB w punkcie 𝐶 , np. zapisy równoważne poniższym: 𝑚v20𝐵 𝑚(v0𝐵 − 𝑔𝑡𝑧 )2 = + 𝑚𝑔𝑦𝑐 2 2 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

1. 1
   Zbuduj model fizyczny

   Wybierz układ odniesienia i wypisz dane z jednostkami. Nazwij prawo fizyczne opisujące sytuację, ustal zwroty wektorów i dopiero potem podstawiaj liczby; na końcu sprawdź jednostkę i sens fizyczny wyniku.

2. 2
   Przeprowadź rozwiązanie

   PPF Wymagane elementy toku według CKE: 2 pkt – poprawne zaznaczenia w trzech stwierdzeniach. 1 pkt – poprawne zaznaczenia w dwóch stwierdzeniach. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.

3. 3
   Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, a wynik jest zgodny z odpowiedzią: PPF

Typowy błąd: Podstawianie liczb do przypadkowego wzoru bez określenia modelu, zwrotów wielkości wektorowych i jednostek.

Punktowanie: 2 pkt – poprawne zaznaczenia w trzech stwierdzeniach. 1 pkt – poprawne zaznaczenia w dwóch stwierdzeniach. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.

1. 1
   Zbuduj model fizyczny

   Wybierz układ odniesienia i wypisz dane z jednostkami. Nazwij prawo fizyczne opisujące sytuację, ustal zwroty wektorów i dopiero potem podstawiaj liczby; na końcu sprawdź jednostkę i sens fizyczny wyniku.

2. 2
   Przeprowadź etap 1

   Sposób 1. (zastosowanie zasad dynamiki) ⃗ oraz siła reakcji równi 𝐹𝑟 oraz siła Na walec W2 działają trzy siły: siła tarcia statycznego 𝑇 ciężkości walca ⃗ 𝑄 . Wypadkowa ze wszystkich sił działających na walec ma kierunek wzdłuż równi i wartość opisaną wyrażeniem: 𝐹𝑤 = 𝑚𝑔 sin 𝛽 − 𝑇 Jedynie siła tarcia statycznego ma niezerowy moment względem osi obrotu walca W2: 𝑀𝑇 = 𝑅𝑇 Zapiszemy równania wynikające z II zasady dynamiki dla ruchu postępowego walca W2 oraz dla ruchu obrotowego walca W2 (względem osi symetrii): 𝑚𝑎 = 𝑚𝑔 sin 𝛽 − 𝑇 { 𝐼2 𝜖 = 𝑅𝑇 Siła tarcia statycznego nie osiągnęła wartości maksymalnej, zatem pozostaje niewiadomą w powyższym układzie równań. Zastosujemy związek 𝑎 = 𝜖𝑅 między przyśpieszeniem liniowym a przyśpieszeniem kątowym (w przypadku toczenia się bez poślizgu) oraz wzór na moment bezwładności walca W2: 𝑚𝑎 = 𝑚𝑔 sin 𝛽 − 𝑇 𝑚𝑎 = 𝑚𝑔 sin 𝛽 − 𝑇 { 𝑎 → { → 𝑘2 𝑚𝑅 2 = 𝑅𝑇 𝑘2 𝑚𝑎 = 𝑇 𝑅 𝑚𝑎 = 𝑚𝑔 sin 𝛽 − 𝑘2 𝑚𝑎 { → 𝑎 + 𝑘2 𝑎 = 𝑔 sin 𝛽 𝑘2 𝑚𝑎 = 𝑇 sin 𝛽 𝑎= 𝑔 1 + 𝑘2

3. 3
   Przeprowadź etap 2

   Sposób 2. (zastosowanie zasady zachowania energii mechanicznej) Zgodnie z przyjętym modelem zjawiska energia mechaniczna pozostaje stała podczas ruchu walca – siły oporów pomijamy, a siła tarcia statycznego nie zmienia całkowitej energii kinetycznej (prace siły tarcia statycznego i momentu siły tarcia statycznego znoszą się). W chwili początkowej energia mechaniczna walca W2 jest równa jego energii potencjalnej grawitacji. Przyjmiemy, że zero energii potencjalnej jest na poziomie środka masy walca W2, gdy ten jest u podnóża równi. Zatem u podnóża równi energia mechaniczna walca W2 jest równa tylko jego energii kinetycznej całkowitej (ruchu postępowego i obrotowego).

4. 4
   Przeprowadź etap 3

   Zapiszemy zasadę zachowania energii mechanicznej: 𝐸𝑝𝑜𝑡 𝑤𝑎𝑙 = 𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑤𝑎𝑙 𝑝𝑜𝑠𝑡 + 𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑤𝑎𝑙 𝑜𝑏𝑟 Wysokość, na jakiej znajduje się środek masy walca W2 w chwili początkowej, liczona względem poziomu zera energii potencjalnej, przyjmiemy jako ℎ. Zastosujemy wzory na wymienione rodzaje energii: 1 1 1) 𝑚𝑔ℎ = 𝑚v2 + 𝐼2 𝜔2 2 2 Wykorzystamy związek między prędkością kątową i liniową (dla toczenia się bez poślizgu) oraz wzór na moment bezwładności walca W2.

5. 5
   Przeprowadź etap 4

   Wyznaczymy kwadrat prędkości walca u podnóża równi: 1 1 v2 1 2 1 2) 𝑚𝑔ℎ = 𝑚v2 + (𝑘2 𝑚𝑅 2 ) ⋅ 2 → 𝑔ℎ = v + 𝑘2 v2 2 2 𝑅 2 2 2𝑔ℎ 3) v2 = (1 + 𝑘2 ) Wykorzystamy związek kinematyczny między przyśpieszeniem a drogą i prędkością w ruchu jednostajnie przyśpieszonym (siła wypadkowa jest stała) bez prędkości początkowej, drogę powiążemy z wysokością i kątem nachylenia równi: 4) v2 = 2𝑎𝑠 5) ℎ = sin 𝛽 ⋅ 𝑠 Przyrównamy do siebie prawe strony równań 3) i 4) z uwzględnieniem związku 5): 2𝑔 sin 𝛽 ⋅ 𝑠 6) 2𝑎𝑠 = → (1 + 𝑘2 ) sin 𝛽 7) 𝑎 = 𝑔 (1 + 𝑘2 )

6. 6
   Przeprowadź etap 5

   Sposób 3. (zastosowanie metody chwilowej osi obrotu) Rozważmy obrót walca W2 wokół chwilowej osi obrotu. Chwilowa oś obrotu zawiera odcinek ⃗ walca ma styczności walca z powierzchnią równi w danej chwili. Jedynie siła ciężkości 𝑄 niezerowy moment względem tej osi obrotu (tzn. jej składowa ⃗ 𝑄∥ wzdłuż równi). Ramię tej siły jest równe 𝑅 , zatem: 1) 𝑀𝑄 = 𝑅 ⋅ 𝑄∥ gdzie 𝑄∥ = 𝑚𝑔 sin 𝛽 W metodzie chwilowej osi obrotu rozważamy tylko ruch obrotowy. Zapiszemy równanie wynikające z II zasady dynamiki dla ruchu obrotowego walca względem chwilowej osi obrotu: 2a) 𝐼𝑐ℎ𝑤 𝜖 = 𝑀𝑄 → 𝐼𝑐ℎ𝑤 𝜖 = 𝑅 ⋅ 𝑄∥ → 2b) 𝐼𝑐ℎ𝑤 𝜖 = 𝑅 ⋅ 𝑚𝑔 sin 𝛽 Wyznaczymy wzór na moment bezwładności walca W2 względem chwilowej osi obrotu (z twierdzenia Steinera): 3) 𝐼𝑐ℎ𝑤 = 𝐼2 + 𝑚𝑅 2 = 𝑘2 𝑚𝑅 2 + 𝑚𝑅 2 = (𝑘2 + 1)𝑚𝑅 2 Do równania 2b) podstawimy zależność 3) oraz zastosujemy związek 𝑎 = 𝜖𝑅 między przyśpieszeniem liniowym a przyśpieszeniem kątowym (w przypadku metody chwilowej osi obrotu przyśpieszenie liniowe jest przyśpieszeniem chwilowym stycznym do chwilowego toru ruchu punktu środka masy walca W2): 𝑎 4) (𝑘2 + 1)𝑚𝑅 2 ⋅ = 𝑅 ⋅ 𝑚𝑔 sin 𝛽 → (𝑘2 + 1)𝑎 = 𝑔 sin 𝛽 𝑅 sin 𝛽 5) 𝑎 = 𝑔 (1 + 𝑘2 )

7. 7
   Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik końcowy zgadza się z modelem odpowiedzi, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 4 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.

Typowy błąd: Podstawianie liczb do przypadkowego wzoru bez określenia modelu, zwrotów wielkości wektorowych i jednostek.

Punktowanie: (dla rozwiązania sposobem 1.) 4 pkt – poprawna metoda wyznaczenia wartości 𝑎 przyśpieszenia liniowego walca W2 poprzez 𝑔, 𝛽 i 𝑘2 oraz zapisanie prawidłowej postaci wzoru na 𝑎: sin 𝛽 𝑎= 𝑔 1 + 𝑘2 3 pkt – poprawne zapisanie dwóch równań ruchu wyrażających II zasadę dynamiki dla ruchu postępowego i ruchu obrotowego (względem osi symetrii) walca W2 oraz uwzględnienie w tych równaniach poprawnych wyrażeń opisujących wartość siły wypadkowej działającej na walec W2 i wartość momentu siły działającego na W2, oraz uwzględnienie związku między przyśpieszeniem liniowym a przyśpieszeniem kątowym i wzoru na moment bezwładności walca W2, oraz uwzględnienie (zob. uwaga poniżej) warunku, że siła tarcia nie osiągnęła wartości maksymalnej, np. zapisy równoważne poniższym: 𝑎 𝑚𝑎 = 𝑚𝑔 sin 𝛽 − 𝑇 oraz 𝑘2 𝑚𝑅 2 = 𝑅𝑇 𝑅 Uwaga! Spełnienie ostatniego warunku (po trzecim „oraz”) oznacza pozostawienie wartości siły tarcia 𝑇 jako niewiadomej w układzie równań. Zdający nie spełnia powyższego kryterium, jeśli zapisze 𝑇 = 𝜇𝑚𝑔 cos 𝛽 . LUB – wyprowadzenie (z dynamicznych równań ruchu) i zapisanie prawidłowej postaci wzoru na 𝑎, pomimo błędnego określenia siły tarcia, jako takiej, która osiągnęła wartość maksymalną (tzn. z jedynym błędnym zapisem: 𝑇 = 𝜇𝑚𝑔 cos 𝛽 ), np.: sin 𝛽 (równania ruchu z błędnym zapisem 𝑇 = 𝜇𝑚𝑔 cos 𝛽) → 𝑎= 𝑔 1 + 𝑘2 2 pkt – poprawne zapisanie dwóch równań ruchu wyrażających II zasadę dynamiki dla ruchu postępowego i ruchu obrotowego (względem osi symetrii) walca W2 oraz uwzględnienie w tych równaniach poprawnych wyrażeń opisujących wartość siły wypadkowej działającej na walec W2 oraz wartość momentu siły działającego na W2, np. zapisy równoważne poniższym: (𝑚𝑎 = 𝑚𝑔 sin 𝛽 − 𝑇 oraz 𝐼2 𝜖 = 𝑅𝑇 ) albo (𝑚𝑎 = 𝑄∥ − 𝑇 oraz 𝐼2 𝜖 = 𝑅𝑇 ) 1 pkt – zapisanie dwóch równań ruchu wyrażających II zasadę dynamiki dla ruchu postępowego i ruchu obrotowego (względem osi symetrii) walca W2 (bez poprawnego rozpisania 𝐹𝑊 i 𝑀𝑇 ), np. zapisy równoważne poniższym: (𝑚𝑎 = 𝐹𝑤 oraz 𝐼2 𝜖 = 𝑀𝑇 ) LUB – zapisanie poprawnego wzoru na wartość siły wypadkowej działającej na walec W2 oraz zapisanie poprawnego wzoru na moment siły tarcia działający na walec W2, np. zapisy równoważne poniższym: 𝐹𝑤 = 𝑄∥ − 𝑇 oraz 𝑀𝑇 = 𝑅𝑇 LUB – poprawne zapisanie równania ruchu wyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu postępowego walca W2 oraz uwzględnienie w tym równaniu poprawnego wyrażenia opisującego wartość siły wypadkowej działającej na walec W2, np. zapisy równoważne poniższym: 𝑚𝑎 = 𝑄∥ − 𝑇 LUB – poprawne zapisanie równania ruchu wyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego walca W2 względem osi symetrii, oraz uwzględnienie w tym równaniu poprawnego wyrażenia opisującego wartość momentu siły działającego na W2, np. zapisy równoważne poniższym: 𝐼2 𝜖 = 𝑅𝑇 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Zasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 2.) 4 pkt – poprawna metoda (zastosowanie zasady zachowania energii) wyznaczenia wartości 𝑎 przyśpieszenia liniowego walca W2 poprzez 𝑔, 𝛽 i 𝑘2 oraz zapisanie prawidłowej postaci wzoru na 𝑎: sin 𝛽 𝑎= 𝑔 1 + 𝑘2 3 pkt – poprawna metoda wyznaczenia przyśpieszenia liniowego walca z zasady zachowania energii, tzn. spełnienie warunków za 2 pkt oraz zastosowanie wzoru na moment bezwładności walca, oraz zastosowanie związku między prędkością a przyśpieszeniem i drogą (z wyeliminowanym czasem) w ruchu jednostajnie przyśpieszonym bez prędkości początkowej, np. zapisy równoważne poniższym: 1 2 1 2 v2 𝑚𝑔ℎ = 𝑚v + 𝑘2 𝑚𝑅 2 oraz v2 = 2𝑎𝑠 2 2 𝑅 albo 1 1 𝑔ℎ = v2 + 𝑘2 v2 oraz v2 = 2𝑎𝑠 2 2 2 pkt – poprawne zapisanie równania wynikającego z zasady zachowania energii mechanicznej oraz poprawne zastosowanie wzorów na energię kinetyczną ruchu postępowego walca W2, energię kinetyczną ruchu obrotowego walca W2 i energię potencjalną walca W2, oraz zastosowanie związku między prędkością kątową walca a prędkością liniową walca, np. zapisy równoważne poniższym: 1 1 1 1 v2 (𝑚𝑔ℎ = 𝑚v2 + 𝐼2 𝜔2 oraz v = 𝜔𝑅 ) albo 𝑚𝑔ℎ = 𝑚v2 + 𝐼2 2 2 2 2 2 𝑅 1 pkt – poprawne zapisanie równania wynikającego z zasady zachowania energii mechanicznej oraz uwzględnienie (poprzez oznaczenie) w tym równaniu energii kinetycznych ruchu postępowego walca W2, ruchu obrotowego walca W2 i energii potencjalnej walca W2, np. zapisy równoważne poniższym: 𝐸𝑝𝑜𝑡 𝑤𝑎𝑙 = 𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑤𝑎𝑙 𝑝𝑜𝑠𝑡 + 𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑤𝑎𝑙 𝑜𝑏𝑟 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Zasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 3.) 4 pkt – poprawna metoda wyznaczenia wartości 𝑎 przyśpieszenia liniowego walca W2 poprzez 𝑔, 𝛽 i 𝑘2 oraz zapisanie prawidłowej postaci wzoru na 𝑎: sin 𝛽 𝑎= 𝑔 1 + 𝑘2 3 pkt – poprawne zapisanie równania ruchu wyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego walca W2 względem chwilowej osi obrotu oraz uwzględnienie w tym równaniu poprawnego wyrażenia (z kątem 𝛽 ) opisującego moment siły działający na W2 (względem chwilowej osi obrotu), oraz uwzględnienie związku między przyśpieszeniem liniowym a przyśpieszeniem kątowym, oraz uwzględnienie związku między 𝐼𝑐ℎ𝑤 a 𝐼2 , np. zapisy równoważne poniższym: 𝑎 𝐼𝑐ℎ𝑤 𝜖 = 𝑅 ⋅ 𝑚𝑔 sin 𝛽 oraz 𝜖= oraz 𝐼𝑐ℎ𝑤 = 𝐼2 + 𝑚𝑅 2 𝑅 albo (w jednym równaniu) 𝑎 (𝐼2 + 𝑚𝑅 2 ) = 𝑅 ⋅ 𝑚𝑔 sin 𝛽 𝑅 2 pkt – poprawne zapisanie równania ruchu wyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego walca W2 względem chwilowej osi obrotu oraz uwzględnienie w tym równaniu poprawnego wyrażenia (z kątem 𝛽 ) opisującego moment siły działający na W2 (względem chwilowej osi obrotu) oraz uwzględnienie (np. poprzez oznaczenie), że moment bezwładności walca względem chwilowej osi obrotu jest różny od 𝐼2 , np. zapisy równoważne poniższym: 𝐼𝑐ℎ𝑤 𝜖 = 𝑅 ⋅ 𝑚𝑔 sin 𝛽 1 pkt – poprawne zapisanie równania ruchu (z oznaczeniem momentu siły ciężkości) wyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego walca względem chwilowej osi obrotu (oś chwilowa musi być zidentyfikowana) oraz uwzględnienie (np. poprzez oznaczenie), że moment bezwładności walca względem chwilowej osi obrotu jest różny od 𝐼2 , np. zapisy równoważne poniższym: 𝐼𝑐ℎ𝑤 𝜖 = 𝑀𝑄 LUB – zapisanie poprawnego wzoru na moment siły względem chwilowej osi obrotu (ta oś chwilowa musi być zidentyfikowana) oraz poprawna identyfikacja siły, która powoduje moment względem chwilowej osi obrotu, np. zapisy równoważne poniższym: 𝑀𝑄 = 𝑅 ⋅ 𝑄∥ albo 𝑀𝑄 = 𝑅 ⋅ 𝑚𝑔 sin 𝛽 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

1. 1
   Zbuduj model fizyczny

   Wybierz układ odniesienia i wypisz dane z jednostkami. Nazwij prawo fizyczne opisujące sytuację, ustal zwroty wektorów i dopiero potem podstawiaj liczby; na końcu sprawdź jednostkę i sens fizyczny wyniku.

2. 2
   Przeprowadź rozwiązanie

   A3

3. 3
   Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, a wynik jest zgodny z odpowiedzią: A3

Typowy błąd: Podstawianie liczb do przypadkowego wzoru bez określenia modelu, zwrotów wielkości wektorowych i jednostek.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.

1. 1
   Zbuduj model fizyczny

   Wybierz układ odniesienia i wypisz dane z jednostkami. Nazwij prawo fizyczne opisujące sytuację, ustal zwroty wektorów i dopiero potem podstawiaj liczby; na końcu sprawdź jednostkę i sens fizyczny wyniku.

2. 2
   Przeprowadź etap 1

   Sposób 1. Prędkość dźwięku w powietrzu jest mniejsza od prędkości dźwięku w wodzie. Z tego wynika, że istnieje kąt graniczny 𝛼𝑔 padania dla wiązki ultradźwięków biegnącej od strony powietrza, powyżej którego nastąpi całkowite odbicie od granicy ośrodków powietrze – woda. Wyznaczymy kąt graniczny dla przejścia dźwięku przez granicę powietrze – woda.

3. 3
   Przeprowadź etap 2

   Zapiszemy warunek (wynikający z prawa załamania fali) dla kąta granicznego w tym przypadku: m sin 𝛼𝑔 v𝑝 sin 𝛼𝑔 340 s = → = m → sin 𝛼𝑔 ≈ 0,2345 sin 90° v𝑤 1 1450 s Obliczymy kąt graniczny przy użyciu kalkulatora naukowego: sin 𝛼𝑔 ≈ 0,2345 dla 𝛼𝑔 ≈ 13,6° Porównamy kąt padania 𝛼𝑝 = 45° z kątem granicznym: 𝛼𝑝 > 𝛼𝑔 (45° > 13,6°) Z powyższego wynika, że nastąpi całkowite odbicie od granicy powietrze – woda. Prawidłowe zaznaczenie C

4. 4
   Przeprowadź etap 3

   Sposób 2. Prędkość dźwięku w powietrzu jest mniejsza od prędkości dźwięku w wodzie. Z tego wynika, że istnieje kąt graniczny 𝛼𝑔 padania dla wiązki ultradźwięków biegnącej od strony powietrza, powyżej którego nastąpi całkowite odbicie od granicy ośrodków powietrze – woda. Wyznaczymy sinus kąta granicznego dla przejścia dźwięku przez granicę powietrze – woda.

5. 5
   Przeprowadź etap 4

   Zapiszemy warunek (wynikający z prawa załamania fali) dla sinusa kąta granicznego w tym przypadku: m sin 𝛼𝑔 v𝑝 sin 𝛼𝑔 340 s = → = m → sin 𝛼𝑔 ≈ 0,2345 sin 90° v𝑤 1 1450 s Porównamy sinus kąta padania 𝛼𝑝 = 45° z sinusem kąta granicznego: ( sin 45° ≈ 0,7071 oraz sin 𝛼𝑔 ≈ 0,2345 ) zatem sin 45° > sin 𝛼𝑔 Ponieważ w przedziale od 0° do 90° sinus jest funkcją rosnącą, to: sin 45° > sin 𝛼𝑔 → (𝛼𝑝 = 45°) > 𝛼𝑔 To oznacza, że nastąpi całkowite odbicie od granicy powietrze – woda. Prawidłowe zaznaczenie C

6. 6
   Przeprowadź etap 5

   Sposób 3. Zapiszemy warunek wynikający z prawa załamania fali na granicy ośrodków powietrze – woda. Z tego warunku wyznaczymy sinus kąta załamania. Kąt padania wiązki od strony powietrza oznaczymy jako 𝛼𝑝 , a kąt załamania wiązki w wodzie oznaczymy jako 𝛼𝑤 . m m sin 𝛼𝑝 v𝑝 sin 45° 340 s 0,707 340 s = → = → ≈ sin 𝛼𝑤 v𝑤 sin 𝛼𝑤 1450 m sin 𝛼𝑤 1450 m s s Zatem: sin 𝛼𝑤 ≈ 3,02 sin 𝛼𝑤 > 1 NIEMOŻLIWE Ponieważ nie istnieje kąt, dla którego sinus jest większy od jedynki, to nie istnieje w tym przypadku kąt 𝛼𝑤 załamania w wodzie. Z tego wynika, że wiązka ultradźwięków nie wniknie do wody, tylko całkowicie odbije się od granicy powietrze – woda. Prawidłowe zaznaczenie C

7. 7
   Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik końcowy zgadza się z modelem odpowiedzi, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 3 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.

Typowy błąd: Podstawianie liczb do przypadkowego wzoru bez określenia modelu, zwrotów wielkości wektorowych i jednostek.

Punktowanie: 3 pkt – poprawna metoda ustalenia biegu wiązki ultradźwięków od granicy powietrze – woda oraz zaznaczenie rysunku C. Uwaga! Jeżeli zdający stosuje poprawną metodę ustalenia biegu wiązki ultradźwięków od granicy powietrze – woda oraz zapisze w sposób jednoznaczny, który rysunek przedstawia opisaną sytuację, albo zapisze jednoznacznie, że zachodzi całkowite odbicie od granicy ośrodków i nie zaznaczy rysunku, to otrzymuje 3 pkt. 2 pkt – poprawna metoda obliczenia kąta granicznego dla przejścia dźwięku przez granicę powietrze – woda oraz podanie prawidłowej wartości tego kąta, np. zapisy równoważne poniższym: m sin 𝛼𝑔 340 s = oraz 𝛼𝑔 ≈ 13,6° sin 90° 1450 m s LUB – poprawna metoda obliczenia sinusa kąta granicznego dla przejścia dźwięku przez granicę powietrze – woda oraz podanie prawidłowej wartości sinusa tego kąta, oraz stwierdzenie/zapisanie, że kąt padania (lub sinus tego kąta) jest większy od kąta granicznego, np. zapisy równoważne poniższym: m sin 𝛼𝑔 340 s = oraz (sin 𝛼𝑔 ≈ 0,2345 zatem 𝛼𝑔 < 45°) sin 90° 1450 m s albo m sin 𝛼𝑔 340 s = oraz (sin 𝛼𝑔 ≈ 0,2345) < (sin 45° ≈ 0,7071) sin 90° 1450 m s LUB – poprawna metoda obliczenia kąta załamania dla przejścia dźwięku przez granicę powietrze – woda oraz podanie wartości sinusa kąta załamania większej od jedności, oraz stwierdzenie, że nie istnieje taki kąt, np. zapisy równoważne poniższym: m sin 45° 340 s = oraz ( sin 𝛼𝑤 > 1 nie istnieje taki kąt 𝛼𝑤 ) sin 𝛼𝑤 1450 m s 1 pkt – poprawne zapisanie warunku (z uwzględnieniem wartości prędkości dźwięku), z którego można obliczyć kąt graniczny dla przejścia dźwięku przez granicę powietrze – woda, np. zapisy równoważne poniższym: m sin 𝛼𝑔 340 s = sin 90° 1450 m s LUB – zapisanie warunku (z uwzględnieniem wartości prędkości dźwięku i miary kąta padania) wynikającego z prawa załamania fali, np. zapisy równoważne poniższym: m sin 45° 340 s = sin 𝛼𝑤 1450 m s 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

1. 1
   Zbuduj model fizyczny

   Wybierz układ odniesienia i wypisz dane z jednostkami. Nazwij prawo fizyczne opisujące sytuację, ustal zwroty wektorów i dopiero potem podstawiaj liczby; na końcu sprawdź jednostkę i sens fizyczny wyniku.

2. 2
   Przeprowadź rozwiązanie

   Skorzystamy z definicji natężenia fali oraz z warunku zadania, że fala kulista rozchodzi się tak samo we wszystkich kierunkach i nie jest pochłaniana. Zatem energia przechodząca w jednostce czasu przez dowolną sferę ze źródłem fali w jej środku, jest taka sama. Zatem: 𝐸 𝐸 𝐼= → 𝐼𝑋 = Δ𝑡 ⋅ 𝑆 Δ𝑡 ⋅ 4𝜋𝑟𝑋2 Obliczymy natężenie fali w punkcie 𝑋: 40 mJ 10 J J 𝐼𝑋 = 2 2 = ⋅ 10−3 ⋅ 10−2 2 ≈ 3,2 ⋅ 10−5 1 s ⋅ 4𝜋 ⋅ 10 m 𝜋 s⋅m s ⋅ m2

3. 3
   Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik końcowy zgadza się z modelem odpowiedzi, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 2 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.

Typowy błąd: Podstawianie liczb do przypadkowego wzoru bez określenia modelu, zwrotów wielkości wektorowych i jednostek.

Punktowanie: 2 pkt – poprawna metoda obliczenia natężenia fali kulistej w punkcie 𝑋 oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego z prawidłową jednostką: J W kg 𝐼𝑋 ≈ 3,2 ⋅ 10−5 lub 𝐼𝑋 ≈ 3,2 ⋅ 10−5 lub 𝐼𝑋 ≈ 3,2 ⋅ 10−5 s ⋅ m2 m2 s3 1 pkt – poprawne zastosowanie wzoru na natężenie fali kulistej w odległości 𝑟𝑋 od źródła z uwzględnieniem symboli wielkości podanych w zadaniu lub poprzez podstawienie wartości liczbowych, np. zapisy równoważne poniższym: 𝐸 40 mJ 𝐼𝑋 = lub 𝐼𝑋 = Δ𝑡 ⋅ 4𝜋𝑟𝑋2 1 s ⋅ 4𝜋 ⋅ 102 m2 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

1. 1
   Zbuduj model fizyczny

   Wybierz układ odniesienia i wypisz dane z jednostkami. Nazwij prawo fizyczne opisujące sytuację, ustal zwroty wektorów i dopiero potem podstawiaj liczby; na końcu sprawdź jednostkę i sens fizyczny wyniku.

2. 2
   Przeprowadź etap 1

   Sposób 1. (zastosowanie warunku z różnicą odległości) Zapiszemy warunki na maksymalne wzmocnienie interferencyjne oraz maksymalne osłabienie interferencyjne fali w punkcie 𝐴. Jeśli 𝑟1 i 𝑟2 są odległościami od punktu 𝐴 do – odpowiednio – pierwszego (G1) i drugiego (G2) źródła fali oraz 𝜆 jest długością fali, to: 2𝑛 ± 1 jeśli 𝑟2 − 𝑟1 = 𝜆 to nastąpi maksymalne osłabienie w 𝐴 2 jeśli 𝑟2 − 𝑟1 = 𝑛𝜆 to nastąpi maksymalne wzmocnienie w 𝐴 Powyższe warunki zastosujemy dla danych zadania. Obliczymy długość fal dźwiękowych wysyłanych z głośników G1 i G2: m v𝑑 340 s v𝑑 = 𝜆𝑓 → 𝜆= → 𝜆= = 0,4 m 𝑓 1 850 s Sprawdzimy – zgodnie z podanymi warunkami – czy w punkcie 𝐴 zachodzi maksymalne (możliwe dla tego punktu) osłabienie czy wzmocnienie interferencyjne. W tym celu obliczymy różnicę odległości punktu 𝐴 od głośników G1 i G2 i wyrazimy ją poprzez krotność długości fali lub krotność połowy długości fali. 𝑟2 − 𝑟1 = 11,5 m − 10,5 m = 1 m 5 5 𝑟2 − 𝑟1 = ⋅ 0,4 m = 𝜆 2 2 Różnica odległości punktu 𝐴 od głośników G1 i G2 wyraża się poprzez nieparzystą krotność połowy długości fali. Zgodnie z podanymi warunkami w punkcie 𝐴 nastąpi maksymalne (możliwe dla tego punktu) osłabienie interferencyjne.

3. 3
   Przeprowadź etap 2

   Sposób 2. (zastosowanie warunku z różnicą faz) Zapiszemy warunki na maksymalne wzmocnienie interferencyjne oraz maksymalne osłabienie interferencyjne fali w punkcie 𝐴. Jeśli 𝜙1 i 𝜙2 są fazami fal docierających do punktu 𝐴 – odpowiednio – od pierwszego (G1) i od drugiego (G2) źródła fali, to: jeśli |𝜙2 − 𝜙1 | = (2𝑛 ± 1) ⋅ 𝜋 to nastąpi maksymalne osłabienie jeśli |𝜙2 − 𝜙1 | = 𝑛 ⋅ 2𝜋 to nastąpi maksymalne wzmocnienie Użyjemy wzorów do wyznaczenia obu faz. Rozważamy fazy fal docierających do punktu 𝐴 w chwili 𝑡. Różnica faz źródeł G1 i G2 wynosi zero. Zatem: 2𝜋 2𝜋 2𝜋 2𝜋 𝜙1 = 𝑡− 𝑟1 oraz 𝜙2 = 𝑡− 𝑟 → 𝑇 𝜆 𝑇 𝜆 2 2𝜋 2𝜋 𝑟2 𝑟1 |𝜙2 − 𝜙1 | = 𝑟2 − 𝑟1 = 2𝜋 ( − ) 𝜆 𝜆 𝜆 𝜆 Obliczymy długość fal dźwiękowych wysyłanych z głośników G1 i G2: m v𝑑 340 s v𝑑 = 𝜆𝑓 → 𝜆= → 𝜆= = 0,4 m 𝑓 1 850 s Podstawimy długość fali do wzoru na różnicę faz 11,5 m 10,5 m 1 5 |𝜙2 − 𝜙1 | = 2𝜋 ( − ) = 2𝜋 ⋅ = 2𝜋 ⋅ = 5𝜋 0,4 m 0,4 m 0,4 2 Różnica faz docierających do punktu 𝐴 jest równa nieparzystej krotności 𝜋. Zgodnie z podanymi warunkami w punkcie 𝐴 nastąpi maksymalne (możliwe dla tego punktu) osłabienie interferencyjne.

4. 4
   Przeprowadź etap 3

   Sposób 3. (zastosowanie warunku z różnicą faz) Jeśli 𝜙1 i 𝜙2 są fazami fal docierających do punktu 𝐴 – odpowiednio – od pierwszego (G1) i od drugiego (G2) źródła fali, to: • w punkcie 𝐴 nastąpi maksymalne wzmocnienie interferencyjne, gdy fazy docierających fal będą zgodne • w punkcie 𝐴 nastąpi maksymalne osłabienie interferencyjne, gdy fazy docierających fal będą przeciwne. Zatem zbadamy, jakie fazy docierają od źródeł G1 i G2 do punktu 𝐴 w wybranej chwili 𝑡. Założymy dla uproszczenia rozważań, że faza początkowa źródeł w chwili 𝑡 wynosi 0. Zbadamy, jak zmieni się faza wzdłuż każdej z dróg. Zauważmy, że na drodze równej długości fali 𝜆 następuje zmiana fazy fali o 2𝜋: 𝜆 ↔ 2𝜋 czyli: m 340 s 𝜆= = 0,4 m ↔ 2𝜋 1 850 s

5. 5
   Przeprowadź etap 4

   Zatem: 1 1 𝜋 𝑟1 = 10,5 m = 26,25𝜆 = 26𝜆 + 𝜆 ↔ 𝜙1 = 26 ⋅ 2𝜋 + ⋅ 2𝜋 = 26 ⋅ 2𝜋 + 4 4 2 3 3 3𝜋 𝑟2 = 11,5 m = 28,75𝜆 = 28𝜆 + 𝜆 ↔ 𝜙2 = 28 ⋅ 2𝜋 + ⋅ 2𝜋 = 28 ⋅ 2𝜋 + 4 4 2 𝜋 3 Do punktu 𝐴 od głośnika G1 dotrze fala o fazie , a od głośnika G2 dotrze fala o fazie 𝜋. 2 2 Zatem dotrą fale o przeciwnych fazach. Nastąpi maksymalne osłabienie interferencyjne.

6. 6
   Przeprowadź etap 5

   Sposób 4. (zastosowanie warunku z różnicą czasów) Zapiszemy warunki na maksymalne wzmocnienie interferencyjne oraz maksymalne osłabienie interferencyjne fali w punkcie 𝐴. Załóżmy, że 𝑡1 i 𝑡2 są czasami, w jakich dotrą ustalone fazy fal – odpowiednio – od pierwszego i drugiego głośnika do punktu 𝐴. Jeśli 𝑟1 i 𝑟2 są odległościami od punktu 𝐴 do – odpowiednio – pierwszego (G1) i drugiego (G2) źródła fali oraz 𝜆 jest długością fali, to: 2𝑛 ± 1 jeśli v𝑑 𝑡2 − v𝑑 𝑡1 = v𝑑 𝑇 to nastąpi maksymalne osłabienie w 𝐴 2 jeśli v𝑑 𝑡2 − v𝑑 𝑡1 = 𝑛v𝑑 𝑇 to nastąpi maksymalne wzmocnienie w 𝐴 Powyższe warunki zapiszemy w przekształconej postaci: 𝑡2 𝑡1 2𝑛 ± 1 jeśli − = to nastąpi maksymalne osłabienie w 𝐴 𝑇 𝑇 2 𝑡2 𝑡1 jeśli − =𝑛 to nastąpi maksymalne wzmocnienie w 𝐴 𝑇 𝑇 Obliczymy 𝑡1 i 𝑡2 oraz 𝑇: 𝑟1 10,5 𝑟2 11,5 1 𝑡1 = = s ≈ 0,03088 s 𝑡2 = = s ≈ 0,03382 s 𝑇 = ≈ 0,00118 s v𝑑 340 v𝑑 340 850 Hz Zatem: 𝑡2 𝑡1 0,03382 s 0,03088 s 5 5 − ≈ − ≈ 2,5 = (𝑡2 − 𝑡1 = 𝑇) 𝑇 𝑇 0,00118 s 0,00118 s 2 2 Różnica czasów dotarcia faz fal do punktu 𝐴 od głośników G1 i G2 wyraża się poprzez nieparzystą krotność połowy okresu. Zgodnie z podanymi warunkami w punkcie 𝐴 nastąpi maksymalne (możliwe dla tego punktu) osłabienie interferencyjne.

7. 7
   Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik końcowy zgadza się z modelem odpowiedzi, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 3 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.

Typowy błąd: Podstawianie liczb do przypadkowego wzoru bez określenia modelu, zwrotów wielkości wektorowych i jednostek.

Punktowanie: 3 pkt – poprawna metoda ustalenia, czy w punkcie 𝐴 nastąpi wzmocnienie czy osłabienie interferencyjne (tzn. poprawne obliczenie długości fali i zastosowanie warunków na wzmocnienie/osłabienie) oraz zapisanie poprawnej odpowiedzi: W punkcie 𝐴 nastąpi osłabienie interferencyjne 2 pkt – poprawna metoda obliczenia długości fali, tzn. zapisanie związku między długością fali a jej prędkością i częstotliwością z poprawnie podstawionymi wartościami liczbowymi (lub zastosowanymi symbolami) oraz zapisanie / wykorzystanie / sprawdzenie warunków na maksymalne wzmocnienie i maksymalne osłabienie interferencyjne, np. zapisy równoważne poniższym: m 340 = 𝜆 ⋅ 850 Hz oraz s 2𝑛 ± 1 𝑟2 − 𝑟1 = 𝜆 (osłabienie) 𝑟2 − 𝑟1 = 𝑛𝜆 (wzmocnienie) 2 albo (obliczenie różnicy dróg fal jako krotności połowy lub pełnej długości fali) 5 11,5 10,5 5 𝜆 = 0,4 m oraz (11,5 m − 10,5 m = 1 = ⋅ 0,4 m lub − = ) 2 0,4 0,4 2 albo (obliczenie różnicy faz jako krotności 𝜋 lub 2𝜋) 11,5 m 10,5 m 𝜆 = 0,4 m oraz 2𝜋 ⋅ − 2𝜋 = 5𝜋 (= 2,5 ⋅ 2𝜋) 0,4 m 0,4 m albo (określenie faz docierających do punktu 𝐴) 1 𝜋 𝑟1 = 26𝜆 + 𝜆 ↔ 𝜙1 = 26 ⋅ 2𝜋 + 4 2 3 3𝜋 𝑟2 = 28𝜆 + 𝜆 ↔ 𝜙2 = 28 ⋅ 2𝜋 + 4 2 LUB – poprawna metoda obliczenia okresu fali oraz poprawna metoda obliczenia obu czasów dotarcia ustalonej fazy fali od każdego z głośników do punktu 𝐴 oraz zapisanie / wykorzystanie / sprawdzenie warunków na maksymalne wzmocnienie i maksymalne osłabienie interferencyjne, zapisanych poprzez okres i czasy, np. zapisy równoważne poniższym: 1 𝑟1 𝑟2 𝑡2 𝑡1 𝑇= s oraz 𝑡1 = oraz 𝑡2 = oraz − = 2,5 850 v𝑑 v𝑑 𝑇 𝑇 1 pkt – poprawna metoda obliczenia długości fali, tzn. zapisanie związku między długością fali a jej prędkością i częstotliwością z poprawnie podstawionymi wartościami liczbowymi (lub zastosowanymi symbolami), np. zapisy równoważne poniższym: m 340 = 𝜆 ⋅ 850 Hz s LUB – zapisanie (może być słowne) / wykorzystanie / sprawdzenie warunków na maksymalne wzmocnienie i maksymalne osłabienie interferencyjne (z długością fali 𝜆 i odległościami 𝑟2 i 𝑟1 lub z fazami i odległościami lub z czasami i okresem), np. zapisy równoważne poniższym: 2𝑛 ± 1 jeśli 𝑟2 − 𝑟1 = 𝜆 to nastąpi maksymalne osłabienie 2 jeśli 𝑟2 − 𝑟1 = 𝑛𝜆 to nastąpi maksymalne wzmocnienie albo 2𝜋 2𝜋 jeśli 𝑟2 − 𝑟 = (2𝑛 ± 1) ⋅ 𝜋 to nastąpi maksymalne osłabienie 𝜆 𝜆 1 2𝜋 2𝜋 jeśli 𝑟2 − 𝑟 = 𝑛 ⋅ 2𝜋 to nastąpi maksymalne wzmocnienie 𝜆 𝜆 1 Uwaga! Zapisanie warunków z samymi fazami (np. 𝜙2 − 𝜙1 = (2𝑛 ± 1) ⋅ 𝜋), bez użycia wzoru na fazę, jest niewystarczające do spełnienia tego kryterium. albo (opis słowny) Jeśli do punktu 𝐴 dotrą fale przeciwne w fazie, to nastąpi maksymalne osłabienie Jeśli do punktu 𝐴 dotrą fale zgodne w fazie, to nastąpi maksymalne wzmocnienie albo 2𝑛 ± 1 jeśli 𝑡2 − 𝑡1 = 𝑇 to nastąpi maksymalne osłabienie 2 jeśli 𝑡2 − 𝑡1 = 𝑛𝑇 to nastąpi maksymalne wzmocnienie 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

1. 1
   Zbuduj model fizyczny

   Wybierz układ odniesienia i wypisz dane z jednostkami. Nazwij prawo fizyczne opisujące sytuację, ustal zwroty wektorów i dopiero potem podstawiaj liczby; na końcu sprawdź jednostkę i sens fizyczny wyniku.

2. 2
   Przeprowadź rozwiązanie

   PFF Wymagane elementy toku według CKE: 2 pkt – poprawne zaznaczenia w trzech stwierdzeniach. 1 pkt – poprawne zaznaczenia w dwóch stwierdzeniach. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.

3. 3
   Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, a wynik jest zgodny z odpowiedzią: PFF

Typowy błąd: Podstawianie liczb do przypadkowego wzoru bez określenia modelu, zwrotów wielkości wektorowych i jednostek.

Punktowanie: 2 pkt – poprawne zaznaczenia w trzech stwierdzeniach. 1 pkt – poprawne zaznaczenia w dwóch stwierdzeniach. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.

1. 1
   Zbuduj model fizyczny

   Wybierz układ odniesienia i wypisz dane z jednostkami. Nazwij prawo fizyczne opisujące sytuację, ustal zwroty wektorów i dopiero potem podstawiaj liczby; na końcu sprawdź jednostkę i sens fizyczny wyniku.

2. 2
   Przeprowadź rozwiązanie

   A2

3. 3
   Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, a wynik jest zgodny z odpowiedzią: A2

Typowy błąd: Podstawianie liczb do przypadkowego wzoru bez określenia modelu, zwrotów wielkości wektorowych i jednostek.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.

1. 1
   Zbuduj model fizyczny

   Wybierz układ odniesienia i wypisz dane z jednostkami. Nazwij prawo fizyczne opisujące sytuację, ustal zwroty wektorów i dopiero potem podstawiaj liczby; na końcu sprawdź jednostkę i sens fizyczny wyniku.

2. 2
   Przeprowadź rozwiązanie

   Chiron oraz Ziemia obiegają Słońce – wspólne centrum grawitacyjne. Zatem okres obiegu Chirona dookoła Słońca obliczymy z III prawa Keplera: 𝑇𝐶2 𝑇𝑍2 𝑎𝐶 3 = → 𝑇𝐶 = √( ) ⋅ 𝑇𝑍 𝑎𝐶3 𝑎𝑍3 𝑎𝑍 gdzie 𝑎𝐶 jest długością półosi wielkiej dla okołosłonecznej, eliptycznej orbity Chirona, 𝑎𝑍 jest promieniem dla okołosłonecznej, kołowej orbity Ziemi, 𝑇𝐶 i 𝑇𝑍 są okresami obiegu – odpowiednio – Chirona i Ziemi dookoła Słońca. Obliczymy 𝑎𝐶 : 𝑟𝑃 + 𝑟𝐴 8,5 au + 18,9 au 𝑎𝐶 = → 𝑎𝐶 = = 13,7 au 2 2 Podstawimy dane do równania wynikającego z III prawa Keplera: 13,7 au 3 √ 𝑇𝐶 = ( ) ⋅ 1 rok ≈ 51 lat 1 au

3. 3
   Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik końcowy zgadza się z modelem odpowiedzi, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 3 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.

Typowy błąd: Podstawianie liczb do przypadkowego wzoru bez określenia modelu, zwrotów wielkości wektorowych i jednostek.

Punktowanie: rozwiązań zadań Zasady oceniania 3 pkt – poprawna metoda obliczenia okresu obiegu Chirona dookoła Słońca oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: 𝑇𝐶 ≈ 51 lat 2 pkt – poprawna metoda obliczenia okresu obiegu Chirona dookoła Słońca, tzn.: wykorzystanie równania III prawa Keplera (dla Chirona i Ziemi) z uwzględnieniem okresów obiegu Chirona i Ziemi dookoła Słońca, półosi wielkiej orbity Chirona, promienia orbity Ziemi oraz poprawna metoda obliczenia długości półosi wielkiej orbity eliptycznej Chirona, np. zapisy równoważne poniższym: 𝑇𝐶2 𝑇𝑍2 = oraz 2𝑎𝐶 = 𝑟𝑃 + 𝑟𝐴 𝑎𝐶3 𝑎𝑍3 albo 𝑇𝐶2 (1 rok)2 3 = (1 au)3 8,5 au + 18,9 au ( ) 2 1 pkt – zapisanie równania III prawa Keplera (dla Chirona i Ziemi) z uwzględnieniem (np. poprzez oznaczenia lub wartości danych liczbowych) okresów obiegu Chirona i Ziemi dookoła Słońca, półosi wielkiej orbity Chirona, promienia orbity Ziemi, np. zapisy równoważne poniższym: 𝑇𝐶2 𝑇𝑍2 𝑇𝐶2 (1 rok)2 = albo = 𝑎𝐶3 𝑎𝑍3 𝑎𝐶3 (1 au)3 LUB – poprawna metoda obliczenia długości półosi wielkiej orbity eliptycznej Chirona, np. zapisy równoważne poniższym: 2𝑎𝐶 = 𝑟𝑃 + 𝑟𝐴 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

1. 1
   Zbuduj model fizyczny

   Wybierz układ odniesienia i wypisz dane z jednostkami. Nazwij prawo fizyczne opisujące sytuację, ustal zwroty wektorów i dopiero potem podstawiaj liczby; na końcu sprawdź jednostkę i sens fizyczny wyniku.

2. 2
   Przeprowadź rozwiązanie

   PFP Wymagane elementy toku według CKE: 2 pkt – poprawne zaznaczenia w trzech stwierdzeniach. 1 pkt – poprawne zaznaczenia w dwóch stwierdzeniach. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.

3. 3
   Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, a wynik jest zgodny z odpowiedzią: PFP

Typowy błąd: Podstawianie liczb do przypadkowego wzoru bez określenia modelu, zwrotów wielkości wektorowych i jednostek.

Punktowanie: 2 pkt – poprawne zaznaczenia w trzech stwierdzeniach. 1 pkt – poprawne zaznaczenia w dwóch stwierdzeniach. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.

1. 1
   Zbuduj model fizyczny

   Wybierz układ odniesienia i wypisz dane z jednostkami. Nazwij prawo fizyczne opisujące sytuację, ustal zwroty wektorów i dopiero potem podstawiaj liczby; na końcu sprawdź jednostkę i sens fizyczny wyniku.

2. 2
   Przeprowadź etap 1

   𝑝 4𝑝1 Wykres 2. 3𝑝1 𝐵 2𝑝1 𝑋 𝑝1 𝐴 𝐶 0 0 𝑉1 2𝑉1 3𝑉1 𝑉 Stan 𝐴 ma na wykresie współrzędne: 𝐴 = (𝑉𝐴 ; 𝑝𝐴 ) = (𝑉1 ; 𝑝1 ) Współrzędne stanu 𝐵 = (𝑉𝐵 ; 𝑝𝐵 ) wyrazimy – odpowiednio – za pomocą 𝑉1 i 𝑝1 .

3. 3
   Przeprowadź etap 2

   Z równań Clapeyrona dla stanów 𝐴 i 𝐵 oraz z wykresu 1. wynika, że: 𝑝𝐴 𝑉𝐴 𝑝𝐵 𝑉𝐵 = gdzie (𝑝𝐵 = 3𝑝1 oraz 𝑇𝐵 = 3𝑇1 ) zatem 𝑇𝐴 𝑇𝐵 𝑝1 𝑉1 3𝑝1 𝑉𝐵 = → 𝑽𝑩 = 𝑽𝟏 → 𝐵 = (𝑉𝐵 ; 𝑝𝐵 ) = (𝑉1 ; 3𝑝1 ) 𝑇1 3𝑇1 Współrzędne stanu 𝐶 = (𝑉𝐶 ; 𝑝𝐶 ) wyrazimy – odpowiednio – za pomocą 𝑉1 i 𝑝1 .

4. 4
   Przeprowadź etap 3

   Z równań Clapeyrona dla stanów 𝐴 i 𝐶 oraz z wykresu 1. wynika, że: 𝑝𝐴 𝑉𝐴 𝑝𝐶 𝑉𝐶 = gdzie (𝑝𝐶 = 𝑝1 oraz 𝑇𝐶 = 3𝑇1 ) zatem 𝑇𝐴 𝑇𝐶 𝑝1 𝑉1 𝑝1 𝑉𝐶 = → 𝑽𝑪 = 𝟑𝑽𝟏 → 𝐶 = (𝑉𝐶 ; 𝑝𝐶 ) = (3𝑉1 ; 𝑝1 ) 𝑇1 3𝑇1 Dalej wyznaczymy objętość 𝑉𝑋 stanu 𝑋. Można to zrobić na trzy różne sposoby.

5. 5
   Przeprowadź etap 4

   Sposób 1. wyznaczenia 𝑉𝑋 Współrzędne stanu 𝑋 = (𝑉𝑋 ; 𝑝𝑋 ) wyrazimy – odpowiednio – za pomocą 𝑉1 i 𝑝1 . Z równań Clapeyrona dla stanów 𝐴 i 𝑋 oraz z wykresu 1. wynika, że: 𝑝𝐴 𝑉𝐴 𝑝𝑋 𝑉𝑋 = gdzie (𝑝𝑋 = 2𝑝1 oraz 𝑇𝑋 = 3𝑇1 ) zatem 𝑇𝐴 𝑇𝑋 𝑝1 𝑉1 2𝑝1 𝑉𝑋 𝟑 3 = → 𝑽𝑿 = 𝑽 → 𝑋 = (𝑉𝑋 ; 𝑝𝑋 ) = ( 𝑉1 ; 2𝑝1 ) 𝑇1 3𝑇1 𝟐 𝟏 2

6. 6
   Przeprowadź etap 5

   Sposób 2. wyznaczenia 𝑉𝑋 Współrzędne stanu 𝑋 = (𝑉𝑋 ; 𝑝𝑋 ) wyrazimy – odpowiednio – za pomocą 𝑉1 i 𝑝1 . Z równań Clapeyrona dla stanów 𝐵 i 𝑋 oraz z wykresu 1. oraz z własności przemiany izotermicznej 𝐵 → 𝐶 wynika, że: 𝑝𝐵 𝑉𝐵 = 𝑝𝑋 𝑉𝑋 gdzie (𝑝𝐵 = 3𝑝1 oraz 𝑉𝐵 = 𝑉1 oraz 𝑝𝑋 = 2𝑝1 ) zatem 𝟑 3 3𝑝1 𝑉1 = 2𝑝1 𝑉𝑋 → 𝑽𝑿 = 𝑽 → 𝑋 = (𝑉𝑋 ; 𝑝𝑋 ) = ( 𝑉1 ; 2𝑝1 ) 𝟐 𝟏 2 Sposób 3. wyznaczenia 𝑉𝑋 Współrzędne stanu 𝑋 = (𝑉𝑋 ; 𝑝𝑋 ) wyrazimy – odpowiednio – za pomocą 𝑉1 i 𝑝1 . Z równań Clapeyrona dla stanów 𝐶 i 𝑋 oraz z wykresu 1. oraz z własności przemiany izotermicznej 𝐵 → 𝐶 wynika, że: 𝑝𝐶 𝑉𝐶 = 𝑝𝑋 𝑉𝑋 gdzie (𝑝𝐶 = 𝑝1 oraz 𝑉𝐶 = 3𝑉1 oraz 𝑝𝑋 = 2𝑝1 ) zatem 𝟑 3 𝑝1 ⋅ 3𝑉1 = 2𝑝1 𝑉𝑋 → 𝑽𝑿 = 𝑽 → 𝑋 = (𝑉𝑋 ; 𝑝𝑋 ) = ( 𝑉1 ; 2𝑝1 ) 𝟐 𝟏 2

7. 7
   Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik końcowy zgadza się z modelem odpowiedzi, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 4 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.

Typowy błąd: Podstawianie liczb do przypadkowego wzoru bez określenia modelu, zwrotów wielkości wektorowych i jednostek.

Punktowanie: Rozwiązanie będzie podlegało ocenie, gdy zdający spełni co najmniej jeden z poniższych warunków lub ich kombinację, określoną dalej w schemacie punktowania. Warunek VB [wyznaczenie 𝑉𝐵 ]: zapisanie równania wynikającego z równań Clapeyrona dla stanów 𝐵 i 𝐴 lub stwierdzenie (słownie bądź zapisem matematycznym) że przemiana 𝐴 → 𝐵 jest izochoryczna oraz wyznaczenie (poprzez 𝑉1 ) prawidłowej objętości gazu w stanie 𝐵, np. zapisy równoważne poniższym: 𝑝1 𝑉1 3𝑝1 𝑉𝐵 ( = lub 𝑉𝐴 = 𝑉𝐵 lub 𝐴 → 𝐵 jest izochoryczna) oraz 𝑉𝐵 = 𝑉1 𝑇1 3𝑇1 Warunek VC [wyznaczenie 𝑉𝐶 ]: zapisanie równania wynikającego z równań Clapeyrona dla stanów 𝐶 i 𝐴 lub skorzystanie z własności przemiany izobarycznej (𝑉 ∝ 𝑇) oraz wyznaczenie (poprzez 𝑉1 ) prawidłowej objętości gazu w stanie 𝐶 , np. zapisy równoważne poniższym: 𝑝1 𝑉1 𝑝1 𝑉𝐶 ( = lub 𝑉 ∝ 𝑇 lub 𝐶 → 𝐴 jest izobaryczna) oraz 𝑉𝐶 = 3𝑉1 𝑇1 3𝑇1 Warunek VX1 [wyznaczenie 𝑉𝑋 sposobem 1.]: zapisanie równania wynikającego z równań Clapeyrona dla stanów 𝑋 i 𝐴 oraz wyznaczenie (poprzez 𝑉1 ) prawidłowej objętości gazu w stanie 𝑋, np. zapisy równoważne poniższym: 𝑝1 𝑉1 2𝑝1 𝑉𝑋 3 = oraz 𝑉𝑋 = 𝑉 𝑇1 3𝑇1 2 1 Warunek 2_równania: zapisanie dwóch równań wynikających z równań Clapeyrona dla par stanów: 𝐵 i 𝐴 lub 𝐶 i 𝐴 lub 𝑋 i 𝐴, np. zapisy równoważne poniższym: 𝑝1 𝑉1 𝑝𝐵 𝑉𝐵 𝑝1 𝑉1 𝑝𝐶 𝑉𝐶 𝑝1 𝑉1 𝑝𝑋 𝑉𝑋 dwa równania spośród: = lub = lub = 𝑇1 𝑇𝐵 𝑇1 𝑇𝐶 𝑇1 𝑇𝑋 Warunek Punkty_ABC: poprawne zaznaczenie na wykresie (𝑉, 𝑝) stanów 𝐴, 𝐵, 𝐶 (niezależnie od poprawności linii łączących stany lub ich braku, nie musi być żadnych obliczeń). Warunek Wykres_ABCX poprawne zaznaczenie na wykresie (𝑉, 𝑝) stanów 𝐴, 𝐵, 𝐶 , 𝑋 oraz narysowanie poprawnej zależności ciśnienia 𝑝 od objętości 𝑉 (z uwzględnieniem kształtu izotermy, tzn. łuku przechodzącego przez punkt 𝑋 w cyklu przemian 𝐴 → 𝐵 → 𝐶 → 𝐴). Warunek VX2 [wyznaczenie 𝑉𝑋 sposobem 2.] zapisanie równania wynikającego z równań Clapeyrona dla stanów 𝑋 i 𝐵 lub skorzystanie 1 z własności przemiany izotermicznej (𝑉 ∝ ) oraz wyznaczenie (poprzez 𝑉1 ) prawidłowej 𝑝 objętości gazu w stanie 𝑋, np. zapisy równoważne poniższym: 1 3 ( 𝑝𝐵 𝑉𝐵 = 𝑝𝑋 𝑉𝑋 lub 𝑉 ∝ lub 𝐵 → 𝑋 jest izotermiczna) oraz 𝑉𝑋 = 𝑉 𝑝 2 1 Warunek VX3 [wyznaczenie 𝑉𝑋 sposobem 3.] zapisanie równania wynikającego z równań Clapeyrona dla stanów 𝑋 i 𝐶 lub skorzystanie 1 z własności przemiany izotermicznej (𝑉 ∝ ) oraz wyznaczenie (poprzez 𝑉1 ) prawidłowej 𝑝 objętości gazu w stanie 𝑋, np. zapisy równoważne poniższym: 1 3 (𝑝𝐶 𝑉𝐶 = 𝑝𝑋 𝑉𝑋 lub 𝑉 ∝ lub 𝑋 → 𝐶 jest izotermiczna) oraz 𝑉𝑋 = 𝑉 𝑝 2 1 Schemat punktowania 4 pkt – spełnienie warunku VB oraz warunku VC oraz warunku (VX1 lub VX2 lub VX3) oraz warunku Wykres_ABCX. 3 pkt – spełnienie warunku VB oraz warunku VC oraz warunku Punkty_ABC LUB – spełnienie warunku VB oraz warunku VC oraz warunku (VX1 lub VX2 lub VX3) LUB – spełnienie warunku Wykres_ABCX oraz warunku (VX1 lub VX2 lub VX3) 2 pkt – spełnienie warunku VB oraz warunku VC LUB – spełnienie warunku VB oraz warunku (VX1 lub VX2) LUB – spełnienie warunku VC oraz warunku (VX1 lub VX3) LUB – spełnienie warunku Wykres_ABCX (bez spełnienia innych warunków, bez żadnych obliczeń) LUB – spełnienie warunku Punkty_ABC oraz warunku (VB lub VC) 1 pkt – spełnienie warunku VB LUB – spełnienie warunku VC LUB – spełnienie warunku VX1 LUB – spełnienie warunku 2_równania LUB – spełnienie warunku Punkty_ABC (bez spełnienia innych warunków, bez żadnych obliczeń) 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwaga dodatkowa Warunek Wykres_ABCX nie będzie uznany jako spełniony, jeżeli zamiast linii w postaci łuku łączącego punkty 𝐵𝑋𝐶 , będzie to krzywa łamana złożona z odcinków prostych 𝐵𝑋 oraz 𝑋𝐶 .

1. 1
   Zbuduj model fizyczny

   Wybierz układ odniesienia i wypisz dane z jednostkami. Nazwij prawo fizyczne opisujące sytuację, ustal zwroty wektorów i dopiero potem podstawiaj liczby; na końcu sprawdź jednostkę i sens fizyczny wyniku.

2. 2
   Przeprowadź etap 1

   Sposób 1. (zastosowanie wzoru na ciepło w przemianie izobarycznej) Obliczymy ciepło oddane przez gaz w cyklu. Gaz oddaje ciepło tylko w przemianie 𝐶 → 𝐴 (izobarycznej): 1) 𝑄𝑜𝑑𝑑 = 𝑄𝐶𝐴 Do wyznaczenia |𝑄𝐶𝐴 | zastosujemy wzór na ciepło wymienione w przemianie izobarycznej: 2) |𝑄𝐶𝐴 | = |𝑛𝐶𝑝 Δ𝑇𝐶𝐴 | Zastosujemy związek między ciepłem molowym przy stałej objętości a ciepłem molowym przy stałym ciśnieniu: 3 5 3) 𝐶𝑝 = 𝐶𝑉 + 𝑅 = 𝑅+𝑅 = 𝑅 2 2 Do równania 2) podstawimy związek 3) oraz przyrost temperatury Δ𝑇𝐶𝐴 odczytany z wykresu 1.: 5 4) |𝑄𝐶𝐴 | = |𝑛 𝑅(𝑇1 − 3𝑇1 )| = 5𝑛𝑅𝑇1 2

3. 3
   Przeprowadź etap 2

   Sposób 2. (zastosowanie I zasady termodynamiki) Obliczymy ciepło oddane przez gaz w cyklu. Gaz oddaje ciepło tylko w przemianie 𝐶 → 𝐴 (izobarycznej): 1) 𝑄𝑜𝑑𝑑 = 𝑄𝐶𝐴 Do wyznaczenia |𝑄𝐶𝐴 | zastosujemy I zasadę termodynamiki. Zastosujemy konwencję, zgodnie z którą, gdy gaz traci energię w postaci pracy lub ciepła, to zapisujemy ją ze znakiem minus, a gdy zyskuje energię w postaci pracy lub ciepła, to zapisujemy ją ze znakiem plus.

4. 4
   Przeprowadź etap 3

   Podczas sprężania izobarycznego gaz oddaje do otoczenia energię w postaci ciepła i jednocześnie zyskuje z zewnątrz energię w postaci pracy wykonanej nad układem. Ponadto uwzględnimy od razu, że zmiana energii wewnętrznej jest ujemna, ponieważ temperatura w przemianie izobarycznej 𝐶 → 𝐴 zmalała.

5. 5
   Przeprowadź etap 4

   Zapiszemy I zasadę termodynamiki: 2a) − |Δ𝑈𝐶𝐴 | = −|𝑄𝐶𝐴 | + |𝑊𝐶𝐴 | → 2b) |𝑄𝐶𝐴 | = |𝑊𝐶𝐴 | + |Δ𝑈𝐶𝐴 | W równaniu 2b) uwzględnimy wzór na pracę oraz energię wewnętrzną 3) |𝑄𝐶𝐴 | = 𝑝|Δ𝑉𝐶𝐴 | + 𝑛𝐶𝑉 |Δ𝑇𝐶𝐴 | W równaniu 3) uwzględnimy równanie stanu gazu doskonałego: 4) |𝑄𝐶𝐴 | = 𝑛𝑅|Δ𝑇𝐶𝐴 | + 𝑛𝐶𝑉 |Δ𝑇𝐶𝐴 | 3 Do równania 4) podstawimy ciepło 𝐶𝑉 = 𝑅 oraz przyrost temperatury Δ𝑇𝐶𝐴 odczytany 2 z wykresu 1.: 3 5) |𝑄𝐶𝐴 | = 𝑛𝑅 ⋅ 2𝑇1 + 𝑛 𝑅 ⋅ 2𝑇1 = 5𝑛𝑅𝑇1 2

6. 6
   Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik końcowy zgadza się z modelem odpowiedzi, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 2 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.

Typowy błąd: Podstawianie liczb do przypadkowego wzoru bez określenia modelu, zwrotów wielkości wektorowych i jednostek.

Punktowanie: rozwiązań zadań Zasady oceniania 2 pkt – poprawna metoda obliczenia ciepła oddanego w cyklu oraz zapisanie poprawnego wyrażenia na ciepło oddane: |𝑄𝐶𝐴 | = 5𝑛𝑅𝑇1 1 pkt – identyfikacja ciepła oddanego przez gaz jako ciepła wymienionego z otoczeniem w przemianie 𝐶 → 𝐴 oraz zapisanie związku między ciepłem pobranym w przemianie izobarycznej 𝐶 → 𝐴 a przyrostem temperatury Δ𝑇𝐶𝐴 , np. zapisy równoważne poniższym: |𝑄𝑜𝑑𝑑 | = |𝑄𝐶𝐴 | oraz |𝑄𝐶𝐴 | = |𝑛𝐶𝑝 Δ𝑇𝐶𝐴 | LUB – identyfikacja ciepła oddanego przez gaz jako ciepła wymienionego z otoczeniem w przemianie 𝐶 → 𝐴 oraz zapisanie I zasady termodynamiki dla przemiany 𝐶 → 𝐴 z poprawnym uwzględnieniem konwencji znaków energii lub z poprawnym zastosowaniem wzoru na pracę albo zmianę energii wewnętrznej |𝑄𝑜𝑑𝑑 | = |𝑄𝐶𝐴 | oraz (−|Δ𝑈𝐶𝐴 | = −|𝑄𝐶𝐴 | + |𝑊𝐶𝐴 | lub Δ𝑈𝐶𝐴 = 𝑄𝐶𝐴 − 𝑝Δ𝑉 lub lub 𝑛𝐶𝑉 Δ𝑇𝐶𝐴 = 𝑄𝐶𝐴 + 𝑊𝐶𝐴 ) 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

1. 1
   Zbuduj model fizyczny

   Wybierz układ odniesienia i wypisz dane z jednostkami. Nazwij prawo fizyczne opisujące sytuację, ustal zwroty wektorów i dopiero potem podstawiaj liczby; na końcu sprawdź jednostkę i sens fizyczny wyniku.

2. 2
   Przeprowadź rozwiązanie

   PPF Wymagane elementy toku według CKE: 2 pkt – poprawne zaznaczenia w trzech stwierdzeniach. 1 pkt – poprawne zaznaczenia w dwóch stwierdzeniach. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.

3. 3
   Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, a wynik jest zgodny z odpowiedzią: PPF

Typowy błąd: Podstawianie liczb do przypadkowego wzoru bez określenia modelu, zwrotów wielkości wektorowych i jednostek.

Punktowanie: 2 pkt – poprawne zaznaczenia w trzech stwierdzeniach. 1 pkt – poprawne zaznaczenia w dwóch stwierdzeniach. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.

1. 1
   Zbuduj model fizyczny

   Wybierz układ odniesienia i wypisz dane z jednostkami. Nazwij prawo fizyczne opisujące sytuację, ustal zwroty wektorów i dopiero potem podstawiaj liczby; na końcu sprawdź jednostkę i sens fizyczny wyniku.

2. 2
   Przeprowadź etap 1

   Soczewkę S należy umieścić na pionowej prostej przechodzącej przez punkt P₁. Ognisko leży na osi optycznej w odległości 6 kratek od środka soczewki, więc f = 6 cm.

3. 3
   Przeprowadź etap 2

   Wymagane elementy toku według CKE: Rozwiązanie będzie podlegało ocenie, gdy zdający spełni co najmniej jeden z poniższych warunków lub ich kombinację, określoną dalej w schemacie punktowania. Warunek SKONSTR – poprawne wyznaczenie konstrukcyjne położenia soczewki S za pomocą promienia charakterystycznego biegnącego przez środek soczewki (w rozwiązaniu to promień oznaczony jako 𝑃1 ). Warunek SBEZ – poprawne oznaczenie położenia soczewki S bez konstrukcji promieniem charakterystycznym.

4. 4
   Przeprowadź etap 3

   Warunek FKONSTR – poprawne wyznaczenie konstrukcyjne lewego lub prawego ogniska soczewki za pomocą promienia charakterystycznego biegnącego równolegle do osi optycznej po prawej lub po lewej stronie poprawnie wyznaczonej soczewki i przechodzącego przez ognisko (w rozwiązaniu są to promienie oznaczone jako 𝑃3 lub 𝑃2 ). Warunek FBEZ – poprawne oznaczenie położenia ogniska F bez konstrukcji promieniem charakterystycznym. Warunek f – wpisanie prawidłowej wartości liczbowej dla ogniskowej.

5. 5
   Przeprowadź etap 4

   Schemat punktowania 3 pkt – spełnienie warunku SKONSTR oraz warunku FKONSTR oraz warunku f. 2 pkt – spełnienie warunku SKONSTR oraz warunku FKONSTR LUB – spełnienie warunku SBEZ oraz warunku FKONSTR oraz warunku f LUB – spełnienie warunku SKONST oraz warunku FBEZ oraz warunku f 1 pkt – spełnienie warunku SKONSTR LUB – spełnienie warunku SBEZ oraz warunku FKONSTR LUB – spełnienie warunku SBEZ oraz warunku f. 0 pkt – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania. Uwaga dodatkowa!

6. 6
   Przeprowadź etap 5

   Nie ocenia się zapisów w brudnopisie pod zadaniem (np. niekonstrukcyjnych, algebraicznych sposobów wyznaczenia odległości przedmiotu i obrazu od soczewki lub wyznaczenia ogniskowej).

7. 7
   Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, a wynik jest zgodny z odpowiedzią: Soczewkę S należy umieścić na pionowej prostej przechodzącej przez punkt P₁. Ognisko leży na osi optycznej w odległości 6 kratek od środka soczewki, więc f = 6 cm.

Typowy błąd: Podstawianie liczb do przypadkowego wzoru bez określenia modelu, zwrotów wielkości wektorowych i jednostek.

Punktowanie: Rozwiązanie będzie podlegało ocenie, gdy zdający spełni co najmniej jeden z poniższych warunków lub ich kombinację, określoną dalej w schemacie punktowania. Warunek SKONSTR – poprawne wyznaczenie konstrukcyjne położenia soczewki S za pomocą promienia charakterystycznego biegnącego przez środek soczewki (w rozwiązaniu to promień oznaczony jako 𝑃1 ). Warunek SBEZ – poprawne oznaczenie położenia soczewki S bez konstrukcji promieniem charakterystycznym. Warunek FKONSTR – poprawne wyznaczenie konstrukcyjne lewego lub prawego ogniska soczewki za pomocą promienia charakterystycznego biegnącego równolegle do osi optycznej po prawej lub po lewej stronie poprawnie wyznaczonej soczewki i przechodzącego przez ognisko (w rozwiązaniu są to promienie oznaczone jako 𝑃3 lub 𝑃2 ). Warunek FBEZ – poprawne oznaczenie położenia ogniska F bez konstrukcji promieniem charakterystycznym. Warunek f – wpisanie prawidłowej wartości liczbowej dla ogniskowej. Schemat punktowania 3 pkt – spełnienie warunku SKONSTR oraz warunku FKONSTR oraz warunku f. 2 pkt – spełnienie warunku SKONSTR oraz warunku FKONSTR LUB – spełnienie warunku SBEZ oraz warunku FKONSTR oraz warunku f LUB – spełnienie warunku SKONST oraz warunku FBEZ oraz warunku f 1 pkt – spełnienie warunku SKONSTR LUB – spełnienie warunku SBEZ oraz warunku FKONSTR LUB – spełnienie warunku SBEZ oraz warunku f. 0 pkt – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania. Uwaga dodatkowa! Nie ocenia się zapisów w brudnopisie pod zadaniem (np. niekonstrukcyjnych, algebraicznych sposobów wyznaczenia odległości przedmiotu i obrazu od soczewki lub wyznaczenia ogniskowej).

1. 1
   Zbuduj model fizyczny

   Wybierz układ odniesienia i wypisz dane z jednostkami. Nazwij prawo fizyczne opisujące sytuację, ustal zwroty wektorów i dopiero potem podstawiaj liczby; na końcu sprawdź jednostkę i sens fizyczny wyniku.

2. 2
   Przeprowadź etap 1

   Prąd w przewodniku płynie za płaszczyznę rysunku (symbol ⊗). W punkcie P₂ wektor B₂ jest skierowany pionowo w dół i ma długość 2 umownych jednostek, czyli B₂ = B₁/4. Wymagane elementy toku według CKE: rozwiązań zadań Zasady oceniania 3 pkt – poprawne oznaczenie, w którą stronę płynie prąd w przewodniku oraz narysowanie wektora indukcji magnetycznej 𝐵⃗ 2 w punkcie 𝑃2 o poprawnym kierunku, poprawnym zwrocie i wartości równej 2 umowne jednostki wartości indukcji magnetycznej.

3. 3
   Przeprowadź etap 2

   2 pkt – poprawne oznaczenie, w którą stronę płynie prąd w przewodniku oraz narysowanie wektora indukcji magnetycznej 𝐵 ⃗ 2 w punkcie 𝑃2 o poprawnym kierunku, poprawnym zwrocie i wartości mniejszej od 8 umownych jednostek wartości indukcji magnetycznej (ale różnej od poprawnej wartości 2 jednostek) LUB – narysowanie wektora indukcji magnetycznej ⃗𝐵2 w punkcie 𝑃2 o poprawnym kierunku, poprawnym zwrocie i wartości równej 2 umowne jednostki wartości indukcji magnetycznej.

4. 4
   Przeprowadź etap 3

   1 pkt – poprawne oznaczenie, w którą stronę płynie prąd w przewodniku LUB – narysowanie wektora indukcji magnetycznej ⃗𝐵2 w punkcie 𝑃2 o poprawnym kierunku, poprawnym zwrocie i wartości mniejszej od 8 umownych jednostek wartości indukcji magnetycznej (ale różnej od poprawnej wartości 2 jednostek). 0 pkt – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania.

5. 5
   Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, a wynik jest zgodny z odpowiedzią: Prąd w przewodniku płynie za płaszczyznę rysunku (symbol ⊗). W punkcie P₂ wektor B₂ jest skierowany pionowo w dół i ma długość 2 umownych jednostek, czyli B₂ = B₁/4.

Typowy błąd: Podstawianie liczb do przypadkowego wzoru bez określenia modelu, zwrotów wielkości wektorowych i jednostek.

Punktowanie: rozwiązań zadań Zasady oceniania 3 pkt – poprawne oznaczenie, w którą stronę płynie prąd w przewodniku oraz narysowanie wektora indukcji magnetycznej 𝐵⃗ 2 w punkcie 𝑃2 o poprawnym kierunku, poprawnym zwrocie i wartości równej 2 umowne jednostki wartości indukcji magnetycznej. 2 pkt – poprawne oznaczenie, w którą stronę płynie prąd w przewodniku oraz narysowanie wektora indukcji magnetycznej 𝐵 ⃗ 2 w punkcie 𝑃2 o poprawnym kierunku, poprawnym zwrocie i wartości mniejszej od 8 umownych jednostek wartości indukcji magnetycznej (ale różnej od poprawnej wartości 2 jednostek) LUB – narysowanie wektora indukcji magnetycznej ⃗𝐵2 w punkcie 𝑃2 o poprawnym kierunku, poprawnym zwrocie i wartości równej 2 umowne jednostki wartości indukcji magnetycznej. 1 pkt – poprawne oznaczenie, w którą stronę płynie prąd w przewodniku LUB – narysowanie wektora indukcji magnetycznej ⃗𝐵2 w punkcie 𝑃2 o poprawnym kierunku, poprawnym zwrocie i wartości mniejszej od 8 umownych jednostek wartości indukcji magnetycznej (ale różnej od poprawnej wartości 2 jednostek). 0 pkt – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania.

1. 1
   Zbuduj model fizyczny

   Wybierz układ odniesienia i wypisz dane z jednostkami. Nazwij prawo fizyczne opisujące sytuację, ustal zwroty wektorów i dopiero potem podstawiaj liczby; na końcu sprawdź jednostkę i sens fizyczny wyniku.

2. 2
   Przeprowadź rozwiązanie

   Wektor E₂ leży na osi polaryzacji O₂, ma zwrot zgodny z rzutem E₁ na tę oś i wartość E₂ = E₁ cos α. Wymagane elementy toku według CKE: 1 pkt – narysowanie wektora ⃗𝐸2 o poprawnym kierunku, poprawnym zwrocie i prawidłowej wartości. 0 pkt – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania.

3. 3
   Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, a wynik jest zgodny z odpowiedzią: Wektor E₂ leży na osi polaryzacji O₂, ma zwrot zgodny z rzutem E₁ na tę oś i wartość E₂ = E₁ cos α.

Typowy błąd: Podstawianie liczb do przypadkowego wzoru bez określenia modelu, zwrotów wielkości wektorowych i jednostek.

Punktowanie: 1 pkt – narysowanie wektora ⃗𝐸2 o poprawnym kierunku, poprawnym zwrocie i prawidłowej wartości. 0 pkt – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania.

1. 1
   Zbuduj model fizyczny

   Wybierz układ odniesienia i wypisz dane z jednostkami. Nazwij prawo fizyczne opisujące sytuację, ustal zwroty wektorów i dopiero potem podstawiaj liczby; na końcu sprawdź jednostkę i sens fizyczny wyniku.

2. 2
   Przeprowadź rozwiązanie

   PPP Wymagane elementy toku według CKE: 2 pkt – poprawne zaznaczenia w trzech stwierdzeniach. 1 pkt – poprawne zaznaczenia w dwóch stwierdzeniach. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.

3. 3
   Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, a wynik jest zgodny z odpowiedzią: PPP

Typowy błąd: Podstawianie liczb do przypadkowego wzoru bez określenia modelu, zwrotów wielkości wektorowych i jednostek.

Punktowanie: 2 pkt – poprawne zaznaczenia w trzech stwierdzeniach. 1 pkt – poprawne zaznaczenia w dwóch stwierdzeniach. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.

1. 1
   Zbuduj model fizyczny

   Wybierz układ odniesienia i wypisz dane z jednostkami. Nazwij prawo fizyczne opisujące sytuację, ustal zwroty wektorów i dopiero potem podstawiaj liczby; na końcu sprawdź jednostkę i sens fizyczny wyniku.

2. 2
   Przeprowadź etap 1

   Zapiszemy związek między energią 𝐸 całkowitą cząstki a jej energią spoczynkową 𝐸0 i energią kinetyczną 𝐸𝑘𝑖𝑛 : 1) 𝐸 = 𝐸𝑘𝑖𝑛 + 𝐸0 Wyprowadzimy związek między energią całkowitą a energią spoczynkową.

3. 3
   Przeprowadź etap 2

   W tym celu zastosujemy związek między energią całkowitą cząstki a jej masą i prędkością oraz związek między energią spoczynkową cząstki a jej masą: 𝑚𝑐 2 2) 𝐸 = oraz 𝐸0 = 𝑚𝑐 2 → √1 − ( ) v 2 𝑐 𝐸0 3) 𝐸 = 2 √1 − (v) 𝑐 Wyrażenie 3) na energię całkowitą podstawimy do wzoru 1): 𝐸0 4) = 𝐸𝑘𝑖𝑛 + 𝐸0 2 √1 − (v) 𝑐 Podstawimy dane zadania i obliczymy energię spoczynkową cząstki: 𝐸0 5) = 79,05 keV + 𝐸0 → 2 √1 − (1) 2 79,05 keV 6) 𝐸0 = = 510,98 … keV ≈ 511 keV 1 ( − 1) √1 − 0,25 Uwaga!

4. 4
   Przeprowadź etap 3

   W pkt 6) przedstawiono obliczenie z zaokrągleniem wyniku na końcu. Poniżej przedstawiamy rachunek z zaokrągleniami wykonywanymi w obliczeniach pośrednich (w obliczeniach pośrednich zaokrąglamy do co najmniej 4 cyfr znaczących): 𝐸0 𝐸0 = 79,05 keV + 𝐸0 → − 𝐸0 ≈ 79,05 keV √1 − 0,25 0,8660 0,1547𝐸0 = 79,05 keV → 𝐸0 ≈ 510,9 … keV ≈ 511 keV

5. 5
   Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik końcowy zgadza się z modelem odpowiedzi, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 3 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.

Typowy błąd: Podstawianie liczb do przypadkowego wzoru bez określenia modelu, zwrotów wielkości wektorowych i jednostek.

Punktowanie: 3 pkt – poprawna metoda obliczenia energii spoczynkowej cząstki oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego wyrażonego w keV zaokrąglonego do trzech cyfr znaczących: 𝐸0 ≈ 511 keV (uwzględnia się także wynik 𝐸0 ≈ 510 keV) 2 pkt – zapisanie/wyprowadzenie poprawnego związku między energią kinetyczną cząstki a jej prędkością i energią spoczynkową (z którego można bezpośrednio obliczyć 1 energię spoczynkową) oraz poprawne uwzględnienie warunku zadania v = 𝑐 , 2 np. zapisy równoważne poniższym: 𝐸0 𝐸𝑘𝑖𝑛 = − 𝐸0 2 √1 − (1) 2 1 pkt – zapisanie związku między energią całkowitą cząstki a jej masą (albo energią spoczynkową) i prędkością oraz zapisanie związku między energią całkowitą a energią kinetyczną i energią spoczynkową, np. zapisy równoważne poniższym: 𝑚𝑐 2 𝐸 = 𝐸𝑘𝑖𝑛 + 𝐸0 oraz 𝐸= 2 √1 − (v) 𝑐 albo w jednym równaniu 𝑚𝑐 2 𝐸𝑘𝑖𝑛 = − 𝐸0 2 √1 − (v) 𝑐 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

1. 1
   Zbuduj model fizyczny

   Wybierz układ odniesienia i wypisz dane z jednostkami. Nazwij prawo fizyczne opisujące sytuację, ustal zwroty wektorów i dopiero potem podstawiaj liczby; na końcu sprawdź jednostkę i sens fizyczny wyniku.

2. 2
   Przeprowadź rozwiązanie

   B1

3. 3
   Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, a wynik jest zgodny z odpowiedzią: B1

Typowy błąd: Podstawianie liczb do przypadkowego wzoru bez określenia modelu, zwrotów wielkości wektorowych i jednostek.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.

1. 1
   Zbuduj model fizyczny

   Wybierz układ odniesienia i wypisz dane z jednostkami. Nazwij prawo fizyczne opisujące sytuację, ustal zwroty wektorów i dopiero potem podstawiaj liczby; na końcu sprawdź jednostkę i sens fizyczny wyniku.

2. 2
   Przeprowadź rozwiązanie

   Energię atomu wodoru w stanie 𝑛 = 4 oznaczymy jako 𝐸4 , a energię atomu wodoru w stanie 𝑛 = 2 oznaczymy jako 𝐸2 . Energię emitowanego fotonu oznaczymy jako 𝐸42 . Wykorzystamy zasadę zachowania energii dla układu atom – foton. Zgodnie z powyższymi oznaczeniami oraz zgodnie z założeniem zadania energia układu w stanie początkowym jest równa energii układu w stanie końcowym (energię kinetyczną odrzutu atomu pomijamy): 1) 𝐸4 = 𝐸2 + 𝐸42 → 2) 𝐸42 = 𝐸4 − 𝐸2 Wykorzystamy wzór na energię atomu wodoru znajdującego się na 𝑛-tym poziomie (stanie) energetycznym: 𝐸1 𝐸1 3) 𝐸42 = − → 42 22 −13,606 eV −13,606 eV 4) 𝐸42 ≈ − = 2,551 … eV ≈ 2,55 eV 42 22

3. 3
   Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik końcowy zgadza się z modelem odpowiedzi, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 3 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.

Typowy błąd: Podstawianie liczb do przypadkowego wzoru bez określenia modelu, zwrotów wielkości wektorowych i jednostek.

Punktowanie: rozwiązań zadań Zasady oceniania 3 pkt – poprawna metoda obliczenia energii emitowanego fotonu oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego wyrażonego w eV: 𝐸42 = 2,55 eV 2 pkt – zapisanie zasady zachowania energii z uwzględnieniem energii atomu wodoru w stanie 𝑛 = 4, w stanie 𝑛 = 2 i energii 𝐸42 emitowanego fotonu oraz zastosowanie wzorów na energie atomu wodoru w stanie 𝑛 = 4 i w stanie 𝑛 = 2, np. zapisy równoważne poniższym: 𝐸1 𝐸1 1 1 𝐸42 = − lub 𝐸42 = −13,6 eV ⋅ ( 2 − 2 ) 42 22 4 2 1 pkt – zapisanie zasady zachowania energii dla układu atom – foton z uwzględnieniem (poprzez oznaczenie) energii atomu wodoru w stanie 𝑛 = 4, energii atomu wodoru w stanie 𝑛 = 2 i energii emitowanego fotonu (oznaczonej jako np. 𝐸42 lub 𝐸𝑓𝑜𝑡 ), np. zapisy równoważne poniższym: 𝐸42 = 𝐸4 − 𝐸2 lub 𝐸4 = 𝐸2 + 𝐸42 LUB – poprawne obliczenie energii atomu wodoru w stanie 𝑛 = 4 albo w stanie 𝑛 = 2, np. zapisy równoważne poniższym: 13,6 wystarczy zapis 𝐸4 ≈ −0,85 eV lub akceptowalny zapis 𝐸4 = − eV 42 albo 13,6 wystarczy zapis 𝐸2 ≈ −3,4 eV lub akceptowalny zapis 𝐸2 = − eV 22 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

1. 1
   Zbuduj model fizyczny

   Wybierz układ odniesienia i wypisz dane z jednostkami. Nazwij prawo fizyczne opisujące sytuację, ustal zwroty wektorów i dopiero potem podstawiaj liczby; na końcu sprawdź jednostkę i sens fizyczny wyniku.

2. 2
   Przeprowadź etap 1

   Sposób 1. 238 234 94Pu → 92 X + α 234 symbol (lub nazwa) pierwiastka X: 92 U Sposób 2. 238 234 94Pu → 92 X + α U symbol (lub nazwa) pierwiastka X: Sposób 3. 238 234 94Pu → 92 X + α uran symbol (lub nazwa) pierwiastka X:

3. 3
   Przeprowadź etap 2

   Wymagane elementy toku według CKE: 2 pkt – poprawne uzupełnienie schematu równania rozpadu α jądra plutonu 23894Pu, tzn. wpisanie właściwych liczb atomowej i masowej oraz zapisanie symbolu lub nazwy pierwiastka, którego jądro powstaje: 234 92 U albo U albo uran 1 pkt – poprawne uzupełnienie schematu równania rozpadu α jądra plutonu 23894Pu, tzn. wpisanie właściwych liczb atomowej i masowej powstałego jądra LUB – poprawne zapisanie symbolu lub nazwy pierwiastka X: uran albo U albo 234 92 U 0 pkt – rozwiązanie niepoprawne lub niepełne albo brak rozwiązania.

4. 4
   Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, a wynik jest zgodny z odpowiedzią: Sposób 1. 238 234 94Pu → 92 X + α 234 symbol (lub nazwa) pierwiastka X: 92 U Sposób 2. 238 234 94Pu → 92 X + α U symbol (lub nazwa) pierwiastka X: Sposób 3. 238 234 94Pu → 92 X + α uran symbol (lub nazwa) pierwiastka X:

Typowy błąd: Podstawianie liczb do przypadkowego wzoru bez określenia modelu, zwrotów wielkości wektorowych i jednostek.

Punktowanie: 2 pkt – poprawne uzupełnienie schematu równania rozpadu α jądra plutonu 23894Pu, tzn. wpisanie właściwych liczb atomowej i masowej oraz zapisanie symbolu lub nazwy pierwiastka, którego jądro powstaje: 234 92 U albo U albo uran 1 pkt – poprawne uzupełnienie schematu równania rozpadu α jądra plutonu 23894Pu, tzn. wpisanie właściwych liczb atomowej i masowej powstałego jądra LUB – poprawne zapisanie symbolu lub nazwy pierwiastka X: uran albo U albo 234 92 U 0 pkt – rozwiązanie niepoprawne lub niepełne albo brak rozwiązania.

1. 1
   Zbuduj model fizyczny

   Wybierz układ odniesienia i wypisz dane z jednostkami. Nazwij prawo fizyczne opisujące sytuację, ustal zwroty wektorów i dopiero potem podstawiaj liczby; na końcu sprawdź jednostkę i sens fizyczny wyniku.

2. 2
   Przeprowadź etap 1

   Sposób 1. Zapiszemy wyrażenie pozwalające wyznaczyć iloraz energii kinetycznych jądra X i cząstki α: 1 2 𝐸𝑘𝑖𝑛 X 2 𝑚X vX 𝑚X v2X 1) = = 𝐸𝑘𝑖𝑛 α 1 𝑚 v2 𝑚α v2α 2 α α Obliczymy stosunek prędkości tych jąder. W tym celu skorzystamy z zasady zachowania pędu.

3. 3
   Przeprowadź etap 2

   Pęd układu przed rozpadem (pęd jądra 238 94Pu) jest równy zero, a pęd układu po rozpadzie jest równy wektorowej sumie pędów jądra X i cząstki α: vX 𝑚α 2) 𝑝Pu = 𝑝X + 𝑝𝛼 → 3) 0 = 𝑚X vX − 𝑚α vα → 4) = vα 𝑚X Równanie uzyskane w pkt 4) podstawimy do wzoru w pkt 1) i w ten sposób wyznaczymy stosunek energii kinetycznych jądra X i cząstki α w zależności od ich mas: 𝐸𝑘𝑖𝑛 X 𝑚X vX 2 𝑚X 𝑚α 2 𝑚α 5) = ⋅( ) = ⋅( ) = 𝐸𝑘𝑖𝑛 α 𝑚α vα 𝑚 α 𝑚X 𝑚X Do prawej strony równania podstawimy dane liczbowe: 𝐸𝑘𝑖𝑛 X 1 6) = ≈ 0,017 𝐸𝑘𝑖𝑛 α 58,5

4. 4
   Przeprowadź etap 3

   Sposób 2. Zapiszemy wyrażenie pozwalające wyznaczyć iloraz energii kinetycznych jądra X i cząstki α: 𝑝X2 𝐸𝑘𝑖𝑛 X 2𝑚X 1) = 2 𝐸𝑘𝑖𝑛 α 𝑝α 2𝑚α Skorzystamy z zasady zachowania pędu. Pęd układu przed rozpadem jest równy zero, a pęd układu po rozpadzie jest równy wektorowej sumie pędów jądra X i cząstki α: 2) 𝑝Pu = 𝑝X + 𝑝𝛼 → 3) 0 = 𝑝X − 𝑝α → 4) 𝑝X = 𝑝α Równanie uzyskane w pkt 4) wykorzystamy we wzorze w pkt 1) i w ten sposób wyznaczymy stosunek energii kinetycznych jądra X i cząstki α w zależności od ich mas: 𝑝X2 1 𝐸𝑘𝑖𝑛 X 2𝑚X 2𝑚X 𝑚α 5) = 2 = = 𝐸𝑘𝑖𝑛 α 𝑝α 1 𝑚X 2𝑚α 2𝑚α Do prawej strony równania podstawimy dane liczbowe: 𝐸𝑘𝑖𝑛 X 1 6) = ≈ 0,017 𝐸𝑘𝑖𝑛 α 58,5

5. 5
   Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik końcowy zgadza się z modelem odpowiedzi, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 3 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.

Typowy błąd: Podstawianie liczb do przypadkowego wzoru bez określenia modelu, zwrotów wielkości wektorowych i jednostek.

Punktowanie: 3 pkt – poprawna metoda obliczenia ilorazu energii kinetycznych jądra X i cząstki α oraz 𝐸𝑘𝑖𝑛 X 1 𝐸𝑘𝑖𝑛 X podanie prawidłowego wyniku liczbowego: = albo ≈ 0,017 𝐸𝑘𝑖𝑛 α 58,5 𝐸𝑘𝑖𝑛 α 2 pkt – poprawne zapisanie zasady zachowania pędu układu (przed i po rozpadzie jądra 238 94Pu) z uwzględnieniem wartości pędów jądra X i cząstki α i z uwzględnieniem zwrotów prędkości/pędów jądra X i cząstki α oraz poprawne zapisanie stosunku energii kinetycznych jądra X i cząstki α z uwzględnieniem wzorów na energie kinetyczne, np. zapisy równoważne poniższym: 𝐸𝑘𝑖𝑛 X 𝑚X v2X 𝑚X vX − 𝑚α vα = 0 oraz = 𝐸𝑘𝑖𝑛 α 𝑚α v2α albo 𝑝X2 𝐸𝑘𝑖𝑛 X 2𝑚X 𝑝X − 𝑝α = 0 oraz = 2 𝐸𝑘𝑖𝑛 α 𝑝α 2𝑚α 1 pkt – poprawne zapisanie zasady zachowania pędu układu (przed i po rozpadzie jądra 238 94Pu) z uwzględnieniem wartości pędów jądra X i cząstki α i z uwzględnieniem zwrotów prędkości/pędów jądra X i cząstki α, np. zapisy równoważne poniższym: 𝑚X vX − 𝑚α vα = 0 (lub 𝑚X vX = 𝑚α vα ) albo 𝑝X − 𝑝α = 0 (lub 𝑝X = 𝑝α ) LUB – poprawne zapisanie stosunku energii kinetycznych jądra X i cząstki α z uwzględnieniem wzorów na energie kinetyczne, np. zapisy równoważne poniższym: 𝑚X v2X 𝑝X2 𝐸𝑘𝑖𝑛 X 𝐸𝑘𝑖𝑛 X 2𝑚X = 2 albo = 2 𝐸𝑘𝑖𝑛 α 𝑚α v2α 𝐸𝑘𝑖𝑛 α 𝑝α 2 2𝑚α 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

1. 1
   Zbuduj model fizyczny

   Wybierz układ odniesienia i wypisz dane z jednostkami. Nazwij prawo fizyczne opisujące sytuację, ustal zwroty wektorów i dopiero potem podstawiaj liczby; na końcu sprawdź jednostkę i sens fizyczny wyniku.

2. 2
   Przeprowadź etap 1

   Z prawa rozpadu promieniotwórczego wynika, że: 𝑡 𝑁𝑡 1 𝑇 1) =( ) 𝑁0 2 gdzie 𝑁0 jest liczbą jąder izotopu plutonu 238 94Pu w próbce 𝒵 w chwili 𝑡0 = 0, a 𝑁𝑡 jest liczbą 238 jąder izotopu plutonu 94Pu w tej próbce w chwili 𝑡.

3. 3
   Przeprowadź etap 2

   Ponieważ moc cieplna wytwarzana przez próbkę 𝒵 jest wprost proporcjonalna do liczby jąder izotopu plutonu 238 94Pu pozostających w próbce 𝒵 , to: 𝑃𝑡 𝑁𝑡 2) = 𝑃0 𝑁0 Z równań 1) i 2) wynika, że 𝑡 𝑃𝑡 1 𝑇 3) =( ) 𝑃0 2 Podstawimy dane liczbowe zadania i rozwiążemy równanie względem 𝑇: • przykładowy sposób 1. prowadzenia rachunku 5 lat 5 lat 96,13 J/s 1 𝑇 1 𝑇 4) =( ) → 0,9613 = ( ) 100 J/s 2 2 5 lat kalkulator naukowy 5) = log 1 0,9613 → 𝑇 2 5 lat 6) 𝑇= = 87,80 … lat ≈ 88 lat log 1 0,9613 2 • przykładowy sposób 2. prowadzenia rachunku 96,13 J/s 5 lat 100 J/s 5 lat 4) = 2− 𝑇 → =2 𝑇 100 J/s 96,13 J/s 5 lat kalkulator naukowy 5) ≈ log 2 1,04026 → 𝑇 5 lat 6) 𝑇= = 87,80 … lat ≈ 88 lat log 2 1,04026 • przykładowy sposób 3. prowadzenia rachunku 5 lat 5 lat 96,13 J/s 1 𝑇 1 𝑇 4) =( ) → 0,9613 = ( ) 100 J/s 2 2 5 lat 1 𝑇 5) log10 0,9613 = log10 ( ) → 2 5 lat 1 kalkulator naukowy log10 0,9613 = ⋅ log10 ( ) → 𝑇 2 log10 0,5 6) 𝑇 = 5 lat ⋅ = 87,80 … lat ≈ 88 lat log10 0,9613

4. 4
   Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik końcowy zgadza się z modelem odpowiedzi, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 3 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.

Typowy błąd: Podstawianie liczb do przypadkowego wzoru bez określenia modelu, zwrotów wielkości wektorowych i jednostek.

Punktowanie: 3 pkt – poprawna metoda obliczenia czasu połowicznego rozpadu izotopu plutonu 238 94Pu oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego wyrażonego w latach i zaokrąglonego do dwóch cyfr znaczących: 𝑇 ≈ 88 lat Uwaga! W tym zadaniu, jeśli zdający stosuje poprawną metodę i otrzymuje wynik liczbowy w latach, pozostawiając go niezaokrąglonym do dwóch cyfr znaczących, to może otrzymać 3 pkt pod warunkiem, że ten wynik po zaokrągleniu dałby wartość 𝑻 ≈ 𝟖𝟖 𝒍𝒂𝒕. 2 pkt – poprawne zapisanie jednego równania, z którego bezpośrednio można obliczyć 𝑇, wynikającego z prawa rozpadu promieniotwórczego i warunku zadania oraz prawidłowe uwzględnienie danych liczbowych w tym równaniu, np. zapisy równoważne poniższym: 5 lat 5 lat 96,13 J/s 1 𝑇 1 𝑇 =( ) albo 0,9613 = ( ) 100 J/s 2 2 LUB – poprawne zapisanie jednego równania, z którego bezpośrednio można obliczyć 𝑇, wynikającego z prawa rozpadu promieniotwórczego i warunku zadania oraz 𝑡 przekształcenie tego równania i wyznaczenie : 𝑇 𝑡 𝑃𝑡 1 𝑇 𝑡 𝑃𝑡 =( ) → = log1 ( ) 𝑃0 2 𝑇 2 𝑃0 1 pkt – poprawne zapisanie równania prawa rozpadu promieniotwórczego (z uwzględnieniem poprzez oznaczenie czasu połowicznego rozpadu) oraz poprawne zapisanie/wykorzystanie warunku zadania o proporcjonalności mocy cieplnej do liczby jąder, np. zapisy równoważne poniższym: 𝑡 𝑁𝑡 1 𝑇 𝑃𝑡 𝑁𝑡 =( ) oraz = 𝑁0 2 𝑃0 𝑁0 albo (w jednym równaniu) 𝑡 𝑡 𝑃𝑡 1 𝑇 1 𝑇 =( ) albo 𝑃(𝑡) ∝ ( ) 𝑃0 2 2 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.