Matura z matematyki 2025 — poziom podstawowy

1. 1
   Wyłącz pełny kwadrat spod pierwiastka

   Liczbę 32 zapisz jako 16 · 2. Dzięki temu pierwiastek z 32 można uprościć.

   $$\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot2}=4\sqrt{2}$$
2. 2
   Odejmij wyrażenia podobne

   Oba składniki zawierają √2, więc odejmujemy ich współczynniki.

   $$4\sqrt{2}-\sqrt{2}=3\sqrt{2}$$
3. 3
   Podnieś wynik do kwadratu

   Kwadrat iloczynu jest iloczynem kwadratów.

   $$\begin{aligned}(3\sqrt{2})^2&=3^2\cdot(\sqrt{2})^2\\&=9\cdot2=18\end{aligned}$$

Typowy błąd: Traktowanie √32 jako 16 albo pominięcie kwadratu obejmującego całe wyrażenie.

1. 1
   Wyłącz wspólną potęgę

   Najmniejszą potęgą w liczniku jest 5¹². Jest ona wspólnym czynnikiem wszystkich trzech składników.

   $$5^{12}+5^{13}+5^{14}=5^{12}(1+5+5^2)$$
2. 2
   Skróć ułamek

   W liczniku i mianowniku występuje ten sam niezerowy czynnik 5¹².

   $$\frac{5^{12}(1+5+25)}{5^{12}}=1+5+25$$
3. 3
   Dodaj składniki

   Po skróceniu zostaje zwykła suma liczb.

   $$1+5+25=31$$

Typowy błąd: Dodawanie wykładników potęg przy dodawaniu liczb. Wykładniki dodajemy przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie, nie przy ich sumie.

1. 1
   Przenieś współczynnik do wykładnika

   Korzystamy ze wzoru k · logₐb = logₐ(bᵏ).

   $$2\log_3 2=\log_3(2^2)=\log_3 4$$
2. 2
   Zamień różnicę logarytmów na logarytm ilorazu

   Logarytmy mają tę samą podstawę, więc możemy połączyć je w jeden.

   $$\begin{aligned}\log_3 108-\log_3 4&=\log_3\left(\frac{108}{4}\right)\\&=\log_3 27\end{aligned}$$
3. 3
   Rozpoznaj potęgę podstawy

   Ponieważ 27 = 3³, logarytm przy podstawie 3 jest równy wykładnikowi.

   $$\log_3 27=\log_3(3^3)=3$$

Typowy błąd: Odejmowanie argumentów logarytmów, np. 108 − 4. Różnica logarytmów odpowiada logarytmowi ilorazu.

1. 1
   Rozwiń pierwszy kwadrat

   Użyj wzoru (a + b)² = a² + 2ab + b².

   $$(3x+2)^2=9x^2+12x+4$$
2. 2
   Rozwiń drugi kwadrat

   Dla (a − b)² środkowy składnik ma znak minus.

   $$(2x-3)^2=4x^2-12x+9$$
3. 3
   Odejmij cały drugi wielomian

   Minus przed nawiasem zmienia znak każdego składnika w drugim wielomianie.

   $$\begin{aligned}&9x^2+12x+4-(4x^2-12x+9)\\&=5x^2+24x-5\end{aligned}$$

Typowy błąd: Niezmienienie wszystkich znaków po usunięciu nawiasu poprzedzonego minusem.

1. 1
   Zapisz liczbę nieparzystą w postaci ogólnej

   Każdą nieparzystą liczbę naturalną można zapisać jako 2k + 1 dla pewnej liczby całkowitej k ≥ 0.

   $$n=2k+1$$
2. 2
   Podstaw do badanego wyrażenia

   Zastępujemy każde n przez 2k + 1, a następnie rozwijamy kwadrat.

   $$3(2k+1)^2+2(2k+1)+7$$
3. 3
   Uporządkuj składniki

   Po wykonaniu działań wszystkie współczynniki mają wspólny czynnik 4.

   $$12k^2+16k+12=4(3k^2+4k+3)$$
4. 4
   Sformułuj wniosek

   Wyrażenie w nawiasie jest liczbą całkowitą, więc całe wyrażenie jest czterokrotnością liczby całkowitej. To kończy dowód.

Typowy błąd: Sprawdzenie kilku przykładowych liczb nieparzystych nie jest dowodem dla wszystkich takich liczb.