Matematyka 2026 — poziom podstawowy

1. 1
   Połącz pierwiastki

   Obie liczby pod pierwiastkami są nieujemne, więc możemy pomnożyć je pod jednym pierwiastkiem.

   $$\sqrt{\frac{25}{8}}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}$$
2. 2
   Oblicz potęgę o wykładniku ujemnym

   Wykładnik −1 oznacza odwrotność liczby 2.

   $$2^{-1}=\frac{1}{2}$$
3. 3
   Dodaj wyniki

   Oba składniki mają ten sam mianownik.

   $$\frac{5}{2}+\frac{1}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Typowy błąd: Potraktowanie wykładnika −1 jako zmiany znaku liczby zamiast obliczenia jej odwrotności.

Punktowanie: 1 punkt za wskazanie odpowiedzi C.

1. 1
   Oblicz kapitał po pierwszym roku

   Kapitał zwiększa się o 6%, czyli mnożymy go przez 1,06.

   $$10\,000\cdot1{,}06=10\,600$$
2. 2
   Dolicz odsetki za drugi rok

   W drugim roku oprocentowany jest już powiększony kapitał.

   $$10\,600\cdot1{,}06=11\,236$$
3. 3
   Oddziel odsetki od wpłaconego kapitału

   Pytanie dotyczy samych odsetek, więc odejmujemy początkową wpłatę.

   $$11\,236-10\,000=1\,236$$

Typowy błąd: Dwukrotne policzenie 6% od początkowych 10 000 zł, co daje 1200 zł i pomija procent składany.

Punktowanie: 1 punkt za wskazanie odpowiedzi B.

1. 1
   Zapisz wewnętrzny pierwiastek jako potęgę

   Pierwiastek kwadratowy odpowiada potędze o wykładniku 1/2.

   $$\sqrt{5}=5^{\frac12}$$
2. 2
   Połącz potęgi pod zewnętrznym pierwiastkiem

   Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki.

   $$5\sqrt5=5^1\cdot5^{\frac12}=5^{\frac32}$$
3. 3
   Oblicz zewnętrzny pierwiastek

   Podniesienie do potęgi 1/2 mnoży wykładniki.

   $$\sqrt{5^{\frac32}}=\left(5^{\frac32}\right)^{\frac12}=5^{\frac34}$$

Typowy błąd: Dodanie wykładnika 1/2 dopiero po wykonaniu zewnętrznego pierwiastka zamiast objęcia nim całego iloczynu.

Punktowanie: 1 punkt za wskazanie odpowiedzi C.

1. 1
   Zapisz podstawę i argumenty jako potęgi 2

   Mamy 8 = 2³, 4 = 2² oraz 32 = 2⁵.

   $$8=2^3,\qquad4=2^2,\qquad32=2^5$$
2. 2
   Oblicz oba logarytmy

   Logarytm wskazuje wykładnik, do którego trzeba podnieść 2³.

   $$\log_8 4=\frac23,\qquad\log_8 32=\frac53$$
3. 3
   Odejmij wartości

   Ułamki mają wspólny mianownik.

   $$\frac23-\frac53=-\frac33=-1$$

Typowy błąd: Odejmowanie argumentów logarytmów zamiast wartości logarytmów lub użycie niewłaściwej podstawy.

Punktowanie: 1 punkt za wskazanie odpowiedzi B.

1. 1
   Zamień potęgę liczby 4

   Liczba 4 jest kwadratem liczby 2.

   $$4^{12}=(2^2)^{12}=2^{24}$$
2. 2
   Połącz potęgi

   Potęgi 2²⁴ i 5²⁴ tworzą potęgę iloczynu 2 · 5.

   $$2^{24}\cdot5^{24}=(2\cdot5)^{24}=10^{24}$$
3. 3
   Sprawdź oba stwierdzenia

   Liczba 10²⁴ ma czynnik 20 oraz zapis dziesiętny złożony z jedynki i 24 zer.

   $$10^{24}=1\underbrace{00\ldots0}_{24\ \text{zera}}$$

Typowy błąd: Uznanie, że 10²⁴ ma 24 cyfry. Potęga określa liczbę zer, a przed nimi znajduje się jeszcze cyfra 1.

Punktowanie: 1 punkt za poprawną ocenę obu stwierdzeń: P, P.

1. 1
   Rozpoznaj wzór skróconego mnożenia

   Wyraz 10x jest równy 2 · x · 5, a 25 jest kwadratem liczby 5.

   $$x^2+10x+25=(x+5)^2$$
2. 2
   Podstaw wartość x

   W nawiasie składniki −5 i +5 redukują się.

   $$x+5=\sqrt2-5+5=\sqrt2$$
3. 3
   Podnieś pierwiastek do kwadratu

   Kwadrat pierwiastka z 2 jest równy 2.

   $$(x+5)^2=(\sqrt2)^2=2$$

Typowy błąd: Rozwijanie wyrażenia po podstawieniu i zgubienie wyrazów z √2 zamiast wcześniejszego rozpoznania pełnego kwadratu.

Punktowanie: 1 punkt za wskazanie odpowiedzi A.

1. 1
   Wyłącz wspólny czynnik

   Oba składniki są podzielne przez 7n.

   $$7n^2+21n=7n(n+3)$$
2. 2
   Sprawdź parzystość iloczynu

   Gdy n jest parzyste, iloczyn n(n + 3) jest parzysty. Gdy n jest nieparzyste, liczba n + 3 jest parzysta, więc iloczyn także jest parzysty.

3. 3
   Sformułuj wniosek

   Istnieje liczba całkowita k taka, że n(n + 3) = 2k. Po podstawieniu całe wyrażenie jest wielokrotnością 14.

   $$7n(n+3)=7\cdot2k=14k$$

Typowy błąd: Sprawdzenie kilku wartości n zamiast dowodu obejmującego wszystkie liczby całkowite albo wykazanie wyłącznie podzielności przez 7.

Punktowanie: 2 punkty za pełne uzasadnienie podzielności przez 7 i przez 2; 1 punkt za uzasadnienie tylko jednego z tych czynników.

1. 1
   Odczytaj rozwiązania równania

   Stały czynnik 3 nie wpływa na miejsca zerowe iloczynu.

   $$x_1=-3,\qquad x_2=m,\qquad x_3=-2$$
2. 2
   Zapisz warunek dotyczący sumy

   Z treści wiemy, że suma wszystkich rozwiązań wynosi zero.

   $$-3+m-2=0$$
3. 3
   Wyznacz parametr

   Porządkujemy lewą stronę i dodajemy 5 do obu stron.

   $$m-5=0\quad\Longrightarrow\quad m=5$$

Typowy błąd: Odczytanie rozwiązania z czynnika 2x + 4 jako 2 zamiast −2.

Punktowanie: 1 punkt za wskazanie odpowiedzi C.

1. 1
   Zapisz założenie

   Mianownik ułamka nie może być równy zero.

   $$3x-1\neq0\quad\Longrightarrow\quad x\neq\frac13$$
2. 2
   Usuń mianowniki

   Mnożymy obie strony równania na krzyż.

   $$5(x+2)=2(3x-1)$$
3. 3
   Rozwiąż równanie liniowe

   Rozwijamy nawiasy i przenosimy wyrazy z x na jedną stronę.

   $$5x+10=6x-2\quad\Longrightarrow\quad x=12$$

Typowy błąd: Pominięcie znaku minus przy rozwijaniu 2(3x − 1) albo brak sprawdzenia założenia x ≠ 1/3.

Punktowanie: 1 punkt za wskazanie odpowiedzi D.

1. 1
   Przenieś wyrazy na lewą stronę

   Odejmujemy 6x i 8 od obu stron nierówności.

   $$3x^2-2x-8\geq0$$
2. 2
   Rozłóż trójmian na czynniki

   Miejsca zerowe to −4/3 oraz 2, więc trójmian ma podaną postać iloczynową.

   $$3x^2-2x-8=(3x+4)(x-2)$$
3. 3
   Odczytaj przedziały nieujemności

   Parabola ma ramiona skierowane w górę, dlatego trójmian jest nieujemny na zewnątrz przedziału między miejscami zerowymi. Końce należą do rozwiązania.

   $$x\in\left(-\infty,-\frac43\right]\cup[2,+\infty)$$

Typowy błąd: Zapisanie przedziału między miejscami zerowymi zamiast przedziałów zewnętrznych albo użycie nawiasów otwartych mimo znaku ≥.

Punktowanie: 2 punkty za poprawną metodę i zbiór rozwiązań; 1 punkt za poprawne wyznaczenie miejsc zerowych −4/3 i 2.

1. 1
   Odtwórz pełny przychód

   Po kosztach zostało 75% wpływów, więc dzielimy pozostałą kwotę przez 0,75.

   $$\frac{4665}{0{,}75}=6220$$
2. 2
   Porównaj z wariantem bez ulg

   Gdyby wszystkie 200 biletów kosztowało 35 zł, wpływy wyniosłyby 7000 zł. Rzeczywisty przychód jest niższy o 780 zł.

   $$35\cdot200-6220=7000-6220=780$$
3. 3
   Przelicz różnicę na bilety ulgowe

   Każdy bilet ulgowy zmniejsza wpływy o 10 zł w porównaniu z biletem normalnym.

   $$\frac{780}{35-25}=\frac{780}{10}=78$$

Typowy błąd: Traktowanie 4665 zł jako 25% wpływów zamiast kwoty pozostałej po potrąceniu 25% kosztów.

Punktowanie: 2 punkty za poprawną metodę i wynik 78; 1 punkt za zapisanie poprawnego równania lub równoważnego toku prowadzącego do wyniku.

1. 1
   Rozwiąż równanie w pierwszej części dziedziny

   Wartość x = 1 należy do przedziału [−4,2], więc jest rozwiązaniem.

   $$x+2=3\quad\Longrightarrow\quad x=1$$
2. 2
   Sprawdź drugi wzór

   Drugie równanie daje x = 2, lecz punkt 2 jest wyłączony z przedziału (2,5), więc nie daje kolejnego rozwiązania.

   $$-x+5=3\quad\Longrightarrow\quad x=2\notin(2,5)$$
3. 3
   Odczytaj maksimum na [2,3]

   W punkcie 2 funkcja ma wartość 4. Dla x > 2 obowiązuje malejący wzór −x + 5, którego wartości są mniejsze od 3.

   $$f(2)=2+2=4$$

Typowy błąd: Uznanie x = 2 za drugie rozwiązanie f(x)=3 bez sprawdzenia, że 2 nie należy do przedziału (2,5).

Punktowanie: 2 punkty za oba poprawne uzupełnienia; 1 punkt za jedno poprawne uzupełnienie.

1. 1
   Wyznacz zbiór wartości

   Na [−4,2] funkcja x + 2 rośnie od −2 do 4 i oba końce osiąga. To już obejmuje wartości drugiej gałęzi.

   $$f([-4,2])=[-2,4]$$
2. 2
   Rozwiąż nierówność dla pierwszej gałęzi

   Po uwzględnieniu jej dziedziny otrzymujemy przedział (−1,2].

   $$x+2>1\quad\Longrightarrow\quad x>-1$$
3. 3
   Rozwiąż nierówność dla drugiej gałęzi i połącz wyniki

   Druga gałąź daje (2,4). Suma (−1,2] i (2,4) jest jednym przedziałem (−1,4).

   $$-x+5>1\Longrightarrow x<4,\qquad(-1,2]\cup(2,4)=(-1,4)$$

Typowy błąd: Domknięcie krańców −1 lub 4 mimo ostrej nierówności f(x) > 1.

Punktowanie: 2 punkty za oba poprawne przedziały; 1 punkt za jeden poprawny przedział. Krańce i rodzaj nawiasów muszą być jednoznaczne.

1. 1
   Oceń monotoniczność

   Wykres opada wraz ze wzrostem x, dlatego współczynnik kierunkowy jest ujemny.

   $$a<0$$
2. 2
   Odczytaj przecięcie z osią Oy

   Dla x = 0 wykres przechodzi przez y = −3.

   $$b=f(0)=-3<0$$
3. 3
   Oceń oba zdania

   Ani a, ani b nie są dodatnie, więc oba stwierdzenia są fałszywe.

   $$\mathrm{F},\ \mathrm{F}$$

Typowy błąd: Odczytywanie znaku a z miejsca przecięcia z osią Ox zamiast z kierunku nachylenia prostej.

Punktowanie: 1 punkt wyłącznie za komplet odpowiedzi F, F.

1. 1
   Wybierz dwa punkty prostej

   Korzystamy z punktów przecięcia z osiami: (−2,0) oraz (0,−3).

2. 2
   Oblicz współczynnik kierunkowy

   Dzielimy przyrost rzędnych przez przyrost odciętych.

   $$a=\frac{-3-0}{0-(-2)}=-\frac32$$
3. 3
   Powiąż współczynnik z kątem

   Dla kąta nachylenia prostej zachodzi tg α = a.

   $$\tan\alpha=-\frac32$$

Typowy błąd: Odwrócenie ilorazu przyrostów i otrzymanie −2/3 zamiast −3/2.

Punktowanie: 1 punkt za wskazanie odpowiedzi A.

1. 1
   Zapisz postać kanoniczną

   Współrzędne wierzchołka wyznaczają przesunięcie paraboli.

   $$f(x)=a(x-3)^2-2$$
2. 2
   Wykorzystaj miejsce zerowe funkcji g

   Zależność g(0)=f(1)=0 pozwala obliczyć współczynnik a.

   $$0=a(1-3)^2-2=4a-2\quad\Longrightarrow\quad a=\frac12$$
3. 3
   Przejdź do postaci ogólnej

   Rozwijamy kwadrat i redukujemy wyrazy stałe.

   $$f(x)=\frac12(x-3)^2-2=\frac12x^2-3x+\frac52$$

Typowy błąd: Przesunięcie argumentu w złą stronę i uznanie, że z g(0)=0 wynika f(−1)=0.

Punktowanie: 4 punkty za poprawną metodę i postać ogólną; 3 punkty za właściwą strukturę rozwiązania i jeden poprawny współczynnik; 2 punkty za dwa kluczowe warunki; 1 punkt za jeden istotny warunek.

1. 1
   Oblicz dwa pierwsze podane wyrazy

   Podstawiamy indeksy 1 i 9 do wzoru ciągu.

   $$a_1=3\cdot1+5=8,\qquad a_9=3\cdot9+5=32$$
2. 2
   Wyznacz trzeci wyraz ciągu geometrycznego

   Iloraz wynosi 32/8 = 4, więc kolejny wyraz jest cztery razy większy.

   $$q=4,\qquad a_k=32\cdot4=128$$
3. 3
   Oblicz indeks k

   Porównujemy wartość aₖ z ogólnym wzorem ciągu.

   $$3k+5=128\quad\Longrightarrow\quad 3k=123\quad\Longrightarrow\quad k=41$$

Typowy błąd: Uznanie k za wartość wyrazu aₖ albo użycie różnicy zamiast ilorazu ciągu geometrycznego.

Punktowanie: 3 punkty za poprawną metodę i k = 41; 2 punkty za wyznaczenie ciągu (8,32,128) lub właściwe równanie z k; 1 punkt za a₁ = 8 i a₉ = 32 albo poprawną własność ciągu geometrycznego.

1. 1
   Wyznacz różnicę ciągu

   Od pierwszego do piątego wyrazu wykonujemy cztery kroki o tej samej różnicy.

   $$17=1+4r\quad\Longrightarrow\quad r=4$$
2. 2
   Zapisz wzór dla dziewiątego wyrazu

   Od a₁ do a₉ występuje osiem przyrostów r.

   $$a_9=a_1+8r$$
3. 3
   Oblicz wartość

   Podstawiamy a₁ = 1 oraz r = 4.

   $$a_9=1+8\cdot4=33$$

Typowy błąd: Podzielenie różnicy a₅ − a₁ przez 5 zamiast przez liczbę czterech odstępów między wyrazami.

Punktowanie: 1 punkt za wskazanie odpowiedzi B.

1. 1
   Zapisz pierwszy iloczyn

   Korzystamy z ogólnego wzoru wyrazu ciągu geometrycznego.

   $$a_3a_6=(a_1q^2)(a_1q^5)=a_1^2q^7$$
2. 2
   Zapisz drugi iloczyn

   Wykładniki q również sumują się do 7.

   $$a_2a_7=(a_1q)(a_1q^6)=a_1^2q^7$$
3. 3
   Porównaj wartości

   Oba iloczyny mają identyczną postać, dlatego są równe.

   $$a_2a_7=a_3a_6=18$$

Typowy błąd: Próba osobnego wyznaczenia a₁ i q mimo że warunek określa tylko ich iloczyn w odpowiedniej potędze.

Punktowanie: 1 punkt za poprawne uzupełnienie: 18.

1. 1
   Oblicz długość boku AB

   Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.

   $$AB^2=(2\sqrt{10})^2-2^2=40-4=36\quad\Longrightarrow\quad AB=6$$
2. 2
   Wskaż boki względem kąta γ

   Bok AB leży naprzeciw kąta γ, a AC jest przeciwprostokątną.

3. 3
   Oblicz sinus

   Dzielimy długość boku przeciwległego przez długość przeciwprostokątnej.

   $$\sin\gamma=\frac{AB}{AC}=\frac6{2\sqrt{10}}=\frac3{\sqrt{10}}$$

Typowy błąd: Użycie długości BC w liczniku, czyli pomylenie sinusa kąta γ z jego cosinusem.

Punktowanie: 1 punkt za wskazanie odpowiedzi C.

1. 1
   Wyznacz kąt środkowy AOC

   Kąt środkowy oparty na tym samym łuku jest dwa razy większy od kąta wpisanego.

   $$\angle AOC=2\cdot50^\circ=100^\circ$$
2. 2
   Rozdziel kąt AOC

   Promień OB leży wewnątrz kąta AOC, ponieważ B znajduje się na krótszym łuku AC.

   $$\angle AOC=\angle AOB+\angle BOC$$
3. 3
   Oblicz szukany kąt

   Odejmujemy podany kąt COB równy 30°.

   $$\angle BOA=100^\circ-30^\circ=70^\circ$$

Typowy błąd: Przyjęcie, że kąt środkowy AOC ma 50° zamiast podwojenia kąta wpisanego.

Punktowanie: 1 punkt za wskazanie odpowiedzi C.

1. 1
   Rozpoznaj podobne trójkąty

   Równoległość prostych daje równość kątów odpowiadających, a kąty przy O są wierzchołkowe.

2. 2
   Zapisz proporcję

   Odcinki OA i OC odpowiadają odpowiednio odcinkom OD i OB.

   $$\frac{OA}{OC}=\frac{OD}{OB}\quad\Longrightarrow\quad\frac{12}{8}=\frac{OD}{6}$$
3. 3
   Oblicz długość OD

   Mnożymy 6 przez stosunek 12/8.

   $$OD=6\cdot\frac{12}{8}=9$$

Typowy błąd: Połączenie w proporcji odcinków, które nie leżą na odpowiadających sobie siecznych.

Punktowanie: 1 punkt za wskazanie odpowiedzi B.

1. 1
   Wykorzystaj własność dwusiecznej

   Dwusieczna MN dzieli kąt LMK na dwa równe kąty α.

   $$\angle KMN=\angle NML=\alpha$$
2. 2
   Zapisz pola trójkątów

   Stosujemy wzór na pole z dwóch boków i sinusa kąta między nimi.

   $$P_{KNM}=\frac12a\cdot MN\cdot\sin\alpha,\qquad P_{NLM}=\frac12b\cdot MN\cdot\sin\alpha$$
3. 3
   Podziel pola stronami

   Współczynniki 1/2, MN i sin α skracają się.

   $$\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}}=\frac{\frac12a\cdot MN\cdot\sin\alpha}{\frac12b\cdot MN\cdot\sin\alpha}=\frac ab$$

Typowy błąd: Samo zapisanie końcowego stosunku bez uzasadnienia równości kątów lub wspólnych czynników w polach.

Punktowanie: 2 punkty za pełne rozumowanie; 1 punkt za poprawne zapisanie obu pól albo inną istotną zależność prowadzącą do tezy.

1. 1
   Przywołaj zależność

   W trójkącie równobocznym promień okręgu opisanego jest równy a/√3.

   $$R=\frac{a}{\sqrt3}$$
2. 2
   Wyznacz bok

   Mnożymy obie strony przez √3.

   $$a=R\sqrt3$$
3. 3
   Podstaw promień

   Iloczyn dwóch pierwiastków z 3 jest równy 3.

   $$a=9\sqrt3\cdot\sqrt3=9\cdot3=27$$

Typowy błąd: Użycie wzoru na promień okręgu wpisanego zamiast opisanego, co zmienia współczynnik przy a.

Punktowanie: 1 punkt za poprawne uzupełnienie: 27.

1. 1
   Rozdziel ułamek

   Każdy składnik licznika dzielimy przez wspólny mianownik.

   $$\frac{3\sin\alpha}{4\cos\alpha}+\frac{4\cos\alpha}{4\cos\alpha}=6$$
2. 2
   Wprowadź tangens

   Ponieważ α jest ostry, cos α jest dodatni i możemy wykonać dzielenie.

   $$\frac34\tan\alpha+1=6$$
3. 3
   Rozwiąż równanie

   Odejmujemy 1 i mnożymy przez 4/3.

   $$\frac34\tan\alpha=5\quad\Longrightarrow\quad\tan\alpha=\frac{20}{3}$$

Typowy błąd: Zastąpienie całego ułamka przez tangens bez osobnego uwzględnienia składnika 4 cos α.

Punktowanie: 1 punkt za wskazanie odpowiedzi D.

1. 1
   Oblicz długość podstawy AC

   Odcinek jest pionowy, więc odejmujemy jego współrzędne y.

   $$AC=2-(-3)=5$$
2. 2
   Wyznacz wysokość

   Odległość punktu B = (2,1) od prostej x = 0 jest równa 2.

   $$h=2$$
3. 3
   Oblicz pole

   Stosujemy wzór 1/2 · podstawa · wysokość.

   $$P=\frac12\cdot5\cdot2=5$$

Typowy błąd: Użycie współrzędnej y punktu B jako wysokości zamiast jego odległości od pionowej prostej AC.

Punktowanie: 1 punkt za wskazanie odpowiedzi B.

1. 1
   Wskaż przeciwprostokątną

   Ponieważ kąt prosty znajduje się przy B, bokiem naprzeciw niego jest AC.

2. 2
   Użyj własności okręgu opisanego

   Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest środkiem przeciwprostokątnej.

3. 3
   Oblicz środek odcinka AC

   Uśredniamy osobno współrzędne x i y.

   $$S=\left(\frac{0+0}{2},\frac{-3+2}{2}\right)=\left(0,-\frac12\right)$$

Typowy błąd: Wyznaczanie środka ciężkości trójkąta zamiast środka przeciwprostokątnej.

Punktowanie: 1 punkt za wskazanie odpowiedzi D.

1. 1
   Sprawdź położenie punktu A

   Kwadrat odległości od środka jest równy kwadratowi promienia.

   $$AS^2=(4-1)^2+(-7+3)^2=3^2+(-4)^2=25$$
2. 2
   Zapisz właściwe równanie okręgu

   Dla środka (1,−3) i promienia 5 otrzymujemy prawą stronę równą 25.

   $$(x-1)^2+(y+3)^2=25$$
3. 3
   Oceń zdania

   Pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe, a drugie fałszywe.

   $$\mathrm{P},\ \mathrm{F}$$

Typowy błąd: Wpisanie promienia 5 po prawej stronie równania zamiast jego kwadratu 25.

Punktowanie: 1 punkt wyłącznie za komplet odpowiedzi P, F.

1. 1
   Zapisz postać prostej l

   Współczynnik kierunkowy musi być taki sam jak dla prostej k.

   $$y=-\frac13x+b$$
2. 2
   Wyznacz wyraz wolny

   Podstawiamy współrzędne punktu (2,−2).

   $$-2=-\frac13\cdot2+b\quad\Longrightarrow\quad b=-\frac43$$
3. 3
   Odczytaj przecięcie z osią Oy

   Dla x = 0 wartość y jest równa wyrazowi wolnemu.

   $$(0,b)=\left(0,-\frac43\right)$$

Typowy błąd: Zachowanie wyrazu wolnego 2 z równania prostej k; równoległość wymaga równego nachylenia, ale nie tego samego przecięcia z osią Oy.

Punktowanie: 1 punkt za wskazanie odpowiedzi D.

1. 1
   Oblicz wysokość ostrosłupa

   Rzut krawędzi bocznej na podstawę ma długość połowy przekątnej kwadratu.

   $$H=4\sqrt3\cdot\tan30^\circ=4\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{3}=4$$
2. 2
   Oblicz pole podstawy

   Pole kwadratu wyrażone przez przekątną d ma postać d²/2.

   $$P_p=\frac{(8\sqrt3)^2}{2}=\frac{192}{2}=96$$
3. 3
   Oblicz objętość

   Stosujemy wzór na objętość ostrosłupa.

   $$V=\frac13P_pH=\frac13\cdot96\cdot4=128$$

Typowy błąd: Użycie całej przekątnej podstawy jako rzutu krawędzi bocznej zamiast jej połowy.

Punktowanie: 2 punkty za poprawną metodę i wynik 128; 1 punkt za obliczenie wysokości H = 4 albo pola podstawy 96.

1. 1
   Zapisz objętość stożka

   Wstawiamy promień 2r i wspólną wysokość h.

   $$V_s=\frac13\pi(2r)^2h=\frac43\pi r^2h$$
2. 2
   Zapisz objętość walca

   Walec ma promień r i tę samą wysokość h.

   $$V_w=\pi r^2h$$
3. 3
   Oblicz stosunek

   Skracamy wspólne czynniki.

   $$\frac{V_s}{V_w}=\frac{\frac43\pi r^2h}{\pi r^2h}=\frac43$$

Typowy błąd: Dwukrotne zwiększenie promienia potraktowane jako dwukrotne, a nie czterokrotne zwiększenie pola podstawy.

Punktowanie: 1 punkt za wskazanie odpowiedzi D.

1. 1
   Wybierz cyfrę setek

   Dostępne są cyfry od 0 do 6, ale zero nie może rozpoczynać liczby trzycyfrowej.

   $$6\ \text{opcji}$$
2. 2
   Wybierz cyfrę dziesiątek i jedności

   Dziesiątki mają 7 możliwości, a na końcu może stać jedna z trzech cyfr nieparzystych.

   $$7\ \text{oraz}\ 3\ \text{opcje}$$
3. 3
   Zastosuj regułę mnożenia

   Mnożymy liczby niezależnych wyborów.

   $$6\cdot7\cdot3=126$$

Typowy błąd: Dopuszczenie zera na miejscu setek albo wszystkich siedmiu cyfr na miejscu jedności.

Punktowanie: 1 punkt za wskazanie odpowiedzi A.

1. 1
   Policz wszystkie wyniki

   Każda z pięciu cyfr dziesiątek może zostać połączona z każdą z pięciu cyfr jedności.

   $$|\Omega|=5\cdot5=25$$
2. 2
   Wypisz wyniki sprzyjające

   Liczba jest już parzysta; podzielność przez 3 sprawdzamy sumą cyfr.

   $$A=\{12,18,30,36,54,72,78,90,96\},\qquad |A|=9$$
3. 3
   Oblicz prawdopodobieństwo

   Dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich wyników.

   $$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac9{25}$$

Typowy błąd: Sprawdzenie tylko parzystości albo tylko podzielności sumy cyfr przez 3; liczba podzielna przez 6 musi spełniać oba warunki.

Punktowanie: 2 punkty za poprawną metodę i wynik 9/25; 1 punkt za poprawne określenie liczby wszystkich wyników, wszystkich dziewięciu wyników sprzyjających albo samo poprawnie zinterpretowane 9/25.

1. 1
   Porównaj średnie

   W obu rozkładach liczebności ocen położonych symetrycznie względem 3,5 są równe, więc średnia w obu klasach wynosi 3,5.

   $$\overline{x}_A=\overline{x}_B=3{,}5$$
2. 2
   Wyznacz środkowe pozycje

   Przy 20 uczniach bierzemy 10. i 11. wynik. W obu klasach są to odpowiednio oceny 3 i 4.

   $$Me=\frac{3+4}{2}=3{,}5$$
3. 3
   Oceń oba zdania

   Zarówno średnie, jak i mediany są równe.

   $$\mathrm{P},\ \mathrm{P}$$

Typowy błąd: Porównywanie wysokości pojedynczych słupków zamiast obliczenia średniej i ustalenia dwóch środkowych pozycji.

Punktowanie: 1 punkt wyłącznie za komplet odpowiedzi P, P.

1. 1
   Odtwórz sumę pierwszej grupy

   Suma jest iloczynem średniej i liczby elementów.

   $$a+b+c=3\cdot2=6$$
2. 2
   Odtwórz sumę drugiej grupy

   Druga grupa zawiera cztery liczby.

   $$d+e+f+g=4\cdot5{,}5=22$$
3. 3
   Oblicz wspólną średnią

   Łączna suma wynosi 28, a liczb jest siedem.

   $$\frac{6+22}{7}=\frac{28}{7}=4$$

Typowy błąd: Obliczenie (2 + 5,5)/2, które traktuje grupy trzy- i czteroelementową jak równie liczne.

Punktowanie: 1 punkt za wskazanie odpowiedzi C.

1. 1
   Zapisz warunek powrotu na ziemię

   W chwili zderzenia wysokość piłeczki jest równa zero.

   $$-4{,}9t^2+14{,}7t=0$$
2. 2
   Rozłóż wyrażenie na czynniki

   Wyłączamy wspólny czynnik −4,9t.

   $$-4{,}9t(t-3)=0$$
3. 3
   Wybierz właściwe rozwiązanie

   t = 0 jest chwilą wyrzutu, a pierwsze późniejsze zetknięcie z ziemią następuje dla t = 3.

   $$t=3\ \mathrm{s}$$

Typowy błąd: Wybranie rozwiązania t = 0, które odpowiada położeniu początkowemu, a nie powrotowi piłeczki.

Punktowanie: 1 punkt za wskazanie odpowiedzi D.

1. 1
   Rozpoznaj maksimum

   Ponieważ a = −4,9 < 0, parabola jest skierowana ramionami w dół.

   $$a=-4{,}9<0$$
2. 2
   Zastosuj wzór na odciętą wierzchołka

   Wstawiamy współczynniki funkcji kwadratowej.

   $$t_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{14{,}7}{2\cdot(-4{,}9)}$$
3. 3
   Oblicz chwilę maksimum

   Iloraz 14,7 przez 9,8 jest równy 1,5.

   $$t_w=1{,}5\ \mathrm{s}$$

Typowy błąd: Pominięcie minusa we wzorze −b/(2a) i otrzymanie ujemnego czasu.

Punktowanie: 1 punkt za wskazanie odpowiedzi A.