Wersja arkusza
MMA-P1_1P-152 · Formuła 2015
Zadanie 11 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-152 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Wskaż rysunek, na którym przedstawiono przedział, będący zbiorem wszystkich rozwiązań
nierówności −4 ≤ x − 1 ≤ 4 .
A.
–5 3 x
B.
–3 5 x
C.
–3 5 x
D.
–5 3 x
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 21 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-152 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
1
Dane są liczby a = − , b = log 1 64 , c = log 1 27 . Iloczyn abc jest równy
27
4 3
1 1
A. −9 B. − C. D. 3
3 3
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 31 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-152 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Kwotę 1000 zł ulokowano w banku na roczną lokatę oprocentowaną w wysokości 4%
w stosunku rocznym. Po zakończeniu lokaty od naliczonych odsetek odprowadzany jest
podatek w wysokości 19%. Maksymalna kwota, jaką po upływie roku będzie można wypłacić
z banku, jest równa
81 4 19 4
A. 1000 ⋅ 1 − ⋅ B. 1000 ⋅ 1 + ⋅
100 100 100 100
81 4 19 4
C. 1000 ⋅ 1 + ⋅ D. 1000 ⋅ 1 − ⋅
100 100 100 100
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 41 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-152 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
m 5+ 5
Równość = zachodzi dla
5− 5 5
A. m = 5 B. m=4 C. m = 1 D. m = −5
Strona 2 z 24 MMA_1P
MMA_1P Strona 3 z 24
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 51 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-152 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
x − y = 3
Układ równań opisuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie
2 x + 0,5 y = 4
A. zbiór pusty.
B. dokładnie jeden punkt.
C. dokładnie dwa różne punkty.
D. zbiór nieskończony.
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 61 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-152 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Suma wszystkich pierwiastków równania ( x + 3)( x + 7 )( x − 11) = 0 jest równa
A. −1 B. 21 C. 1 D. −21
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 71 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-152 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
x −1
Równanie = x −1
x +1
A. ma dokładnie jedno rozwiązanie: x = 1 .
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: x = 0 .
C. ma dokładnie jedno rozwiązanie: x = −1 .
D. ma dokładnie dwa rozwiązania: x = 0 , x = 1 .
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 81 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-152 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f.
y
3
2
1
−4 −3 −2 −1 x
0 1 2 3 4 5
−1
−2
−3
Zbiorem wartości funkcji f jest
A. ( −2, 2 ) B. −2, 2 ) C. −2, 2 D. ( −2, 2
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 91 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-152 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Na wykresie funkcji liniowej określonej wzorem f ( x ) = ( m − 1) x + 3 leży punkt S = ( 5, − 2 ) .
Zatem
A. m = −1 B. m=0 C. m = 1 D. m = 2
Strona 4 z 24 MMA_1P
MMA_1P Strona 5 z 24
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 101 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-152 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Funkcja liniowa f określona wzorem f ( x ) = 2 x + b ma takie samo miejsce zerowe, jakie ma
funkcja liniowa g ( x ) = −3x + 4 . Stąd wynika, że
3 8 4
A. b = 4 B. b = − C. b = − D. b =
2 3 3
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 111 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-152 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Funkcja kwadratowa określona jest wzorem f ( x ) = x 2 + x + c . Jeżeli f ( 3) = 4 , to
A. f (1) = −6 B. f (1) = 0 C. f (1) = 6 D. f (1) = 18
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 121 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-152 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
2 x 4
Ile liczb całkowitych x spełnia nierówność < < ?
7 14 3
A. 14 B. 15 C. 16 D. 17
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 131 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-152 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
W rosnącym ciągu geometrycznym (a n ) , określonym dla n ≥ 1 , spełniony jest warunek
a4 = 3a1 . Iloraz q tego ciągu jest równy
1 1
A. q = B. q= 3 C. q = 3 3 D. q = 3
3 3
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 141 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-152 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Tangens kąta α zaznaczonego na rysunku jest równy y
6
P
5
4
3
A. − 3
3 2
4 1
B. − x
5 α
C. − 1 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5
–1
5
D. −
4
P = (−4, 5)
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 151 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-152 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Jeżeli 0° < α < 90° oraz tgα = 2sin α , to
1 2 3
A. cos α = B. cos α = C. cos α = D. cos α = 1
2 2 2
Strona 6 z 24 MMA_1P
MMA_1P Strona 7 z 24
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 161 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-152 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Miara kąta wpisanego w okrąg jest o 20° mniejsza od miary kąta środkowego opartego na
tym samym łuku. Wynika stąd, że miara kąta wpisanego jest równa
A. 5° B. 10° C. 20° D. 30°
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 171 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-152 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Pole rombu o obwodzie 8 jest równe 1. Kąt ostry tego rombu ma miarę α . Wtedy
A. 14° < α < 15° B. 29° < α < 30° C. 60° < α < 61° D. 75° < α < 76°
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 181 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-152 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Prosta l o równaniu y = m 2 x + 3 jest równoległa do prostej k o równaniu y = ( 4m − 4 ) x − 3 .
Zatem
A. m = 2 B. m = −2 C. m = −2 − 2 2 D. m = 2 + 2 2
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 191 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-152 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Proste o równaniach: y = 2mx − m2 − 1 oraz y = 4m 2 x + m 2 + 1 są prostopadłe dla
1 1
A. m = − B. m = C. m = 1 D. m = 2
2 2
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 201 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-152 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Dane są punkty M = ( −2, 1) i N = ( −1, 3) . Punkt K jest środkiem odcinka MN. Obrazem
punktu K w symetrii względem początku układu współrzędnych jest punkt
3 3 3 3
A. K ' = 2, − B. K ' = 2, C. K ' = , 2 D. K ' = , − 2
2 2 2 2
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 211 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-152 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym EFGHIJKL wierzchołki E, G, L połączono
odcinkami (tak jak na rysunku).
L K
I J
H G
O
E F
Wskaż kąt między wysokością OL trójkąta EGL i płaszczyzną podstawy tego graniastosłupa.
A. HOL B. OGL C. HLO D. OHL
Strona 8 z 24 MMA_1P
MMA_1P Strona 9 z 24
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 221 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-152 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoboczny o boku długości 6 . Objętość tego
stożka jest równa
A. 27π 3 B. 9π 3 C. 18π D. 6π
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 231 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-152 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość równą 8 . Pole
powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe
82 3 82 6 3
A. + 3 B. 82 ⋅ 3 C. D. 82 + 3
3 2 3 2
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 241 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-152 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Średnia arytmetyczna zestawu danych:
2, 4, 7, 8, 9
jest taka sama jak średnia arytmetyczna zestawu danych:
2, 4, 7, 8, 9, x.
Wynika stąd, że
A. x=0 B. x=3 C. x = 5 D. x=6
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 251 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-152 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
W każdym z trzech pojemników znajduje się para kul, z których jedna jest czerwona,
a druga – niebieska. Z każdego pojemnika losujemy jedną kulę. Niech p oznacza
prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie dwie z trzech
wylosowanych kul będą czerwone. Wtedy
1 3 1 2
A. p= B. p= C. p= D. p=
4 8 2 3
Strona 10 z 24 MMA_1P
MMA_1P Strona 11 z 24
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 262 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-152 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Rozwiąż nierówność 2 x 2 − 4 x > ( x + 3)( x − 2) .
Odpowiedź: .
Strona 12 z 24 MMA_1P
Pokaż odpowiedź
Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.
Pierwszy etap, wyznaczenie pierwiastków trójmianu, może być realizowany na 2 sposoby:
I sposób rozwiązania (realizacja pierwszego etapu)
Zapisujemy nierówność w postaci x 2 − 5 x + 6 > 0 i znajdujemy pierwiastki trójmianu
x2 − 5x + 6
• obliczamy wyróżnik tego trójmianu:
Δ = 25 − 4 ⋅ 1 ⋅ 6 = 1 , stąd x1 = 52−1 = 2 oraz x2 = 52+1 = 3
albo
• stosujemy wzory Viète’a:
x1 ⋅ x2 = 6 oraz x1 + x2 = 5 , stąd x1 = 2 oraz x2 = 3
albo
• podajemy je bezpośrednio, np. zapisując pierwiastki trójmianu lub postać iloczynową
trójmianu, lub zaznaczając je na wykresie (wystarczy szkic wykresu, oś liczbowa itp.):
x1 = 2 , x2 = 3 lub (x − 2)[2 x − ( x + 3)] lub (x − 2 )( x − 3)
lub y
3
2
1
-1 0 1 2 3 4 x
-1
II sposób rozwiązania (realizacja pierwszego etapu)
Wyznaczamy postać kanoniczną trójmianu kwadratowego x 2 − 5 x + 6 i zapisujemy
( )
2
nierówność w postaci, np. x − 52 − 14 > 0 , a następnie
• przekształcamy nierówność tak, aby jej lewa strona była zapisana w postaci
iloczynowej
( )
x − 5 − 1⋅ x − 5 + 1 > 0,
2 2 2 2 ( )
( )(
x − 62 x − 42 > 0 , )
albo
• przekształcamy nierówność do postaci równoważnej, korzystając z własności wartości
bezwzględnej
( x − 52 ) > 14 ,
2
x − 52 > 12 .
Drugi etap rozwiązania:
Podajemy zbiór rozwiązań nierówności: (− ∞, 2 ) ∪ (3, + ∞ ) lub x ∈ (− ∞, 2 ) ∪ (3, + ∞ ) .
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:
• zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór
rozwiązań nierówności, np.
o obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego x1 = 2 , x2 = 3
i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,
o zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji f ( x) = x 2 − 5 x + 6
i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,
o rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np. (x − 2 )( x − 3)
i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,
o zapisze nierówność x − 52 > 12 i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór
rozwiązań nierówności,
albo
• realizując pierwszy etap rozwiązania zadania popełni błąd (ale otrzyma dwa różne
pierwiastki) i konsekwentnie do tego zapisze zbiór rozwiązań nierówności, np.
o popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków
trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór
rozwiązań nierówności,
o błędnie zapisze równania wynikające ze wzorów Viète’a, np.: x1 + x2 = − 52
i konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór rozwiązań nierówności,
o błędnie zapisze nierówność, np. x + 52 < 12 i konsekwentnie do popełnionego
błędu zapisze zbiór rozwiązań nierówności.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy:
• poda zbiór rozwiązań nierówności: (− ∞, 2 ) ∪ (3, + ∞ ) lub x ∈ (− ∞, 2 ) ∪ (3, + ∞ )
lub ( x < 2 lub x > 3 ),
albo
• sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań
nierówności w postaci: x < 2, x > 3 ,
albo
• poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi
końcami przedziałów.
Uwagi
1. Jeżeli zdający dzieli obie strony nierówności przez x − 2 bez stosownego założenia,
to otrzymuje 0 punktów.
2. Jeżeli zdający dzieli obie strony nierówności przez x − 2 , rozważając dwa przypadki
x − 2 > 0 oraz x − 2 < 0 , rozwiąże nierówność w każdym z tych przypadków, ale nie
rozważy przypadku x − 2 = 0 , to otrzymuje 1 punkt.
Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
1. Akceptujemy zapis przedziału nieuwzględniający porządku liczb na osi liczbowej, np.:
( 2, − ∞ ) .
2. Jeżeli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu x1 = 2 , x2 = 3 i zapisze, np.
(− ∞, − 2) ∪ (3, + ∞ ) , popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego
z pierwiastków, to otrzymuje 2 punkty.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 272 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-152 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest
nierówność 4 x 2 − 8 xy + 5 y 2 ≥ 0 .
Nr zadania 26. 27.
Wypełnia Maks. liczba pkt 2 2
egzaminator
Uzyskana liczba pkt
MMA_1P Strona 13 z 24
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 282 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-152 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Dany jest kwadrat ABCD. Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E. Punkty K i M są
środkami odcinków – odpowiednio – AE i EC. Punkty L i N leżą na przekątnej BD tak, że
1 1
BL = BE i DN = DE (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta KLMN
3 3
do pola kwadratu ABCD jest równy 1 : 3 .
D C
N
M
E
K L
A B
Strona 14 z 24 MMA_1P
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 292 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-152 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej f ( x ) = x2 − 6 x + 3
w przedziale 0, 4 .
Odpowiedź: .
Nr zadania 28. 29.
Wypełnia Maks. liczba pkt 2 2
egzaminator
Uzyskana liczba pkt
MMA_1P Strona 15 z 24
Pokaż odpowiedź
Obliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli o równaniu y = x2 − 6x + 3 :
xw = 62 = 3 . Argument xw = 3 należy do przedziału 0, 4 , więc najmniejszą wartością
funkcji f w przedziale 0, 4 jest f ( 3) = −6 . Obliczamy wartości funkcji f na końcach
przedziału 0, 4 :
f ( 0 ) = 3 oraz f ( 4 ) = −5 .
Największą wartością jaką przyjmuje funkcja f w przedziale 0, 4 jest f ( 0 ) = 3 .
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy
• obliczy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli xw = 3 i stwierdzi, że xw ∈ 0, 4 ,
albo
• obliczy wartości funkcji f na końcach przedziału 0, 4 : f ( 0 ) = 3 oraz f ( 4 ) = −5 .
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy zapisze odpowiedź: najmniejsza wartość funkcji f w przedziale 0, 4 jest równa
f ( 3) = −6 , a największa wartość funkcji w tym przedziale jest równa f ( 0 ) = 3 .
Uwagi
1. Jeżeli zdający obliczy jedynie trzy wartości funkcji: f ( 0 ) = 3 , f ( 3) = −6 i f ( 4 ) = −5
oraz sformułuje odpowiedź: największa wartość funkcji w przedziale 0, 4 jest równa 3,
a najmniejsza wartość funkcji jest równa −6 , to otrzymuje 2 punkty.
2. Jeżeli zdający obliczy tylko współrzędne wierzchołka paraboli xw = 3 , f ( 3) = −6 , ale nie
zapisze, że xw ∈ 0, 4 , to otrzymuje 0 punktów.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 302 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-152 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
W układzie współrzędnych są dane punkty A = ( −43, − 12 ) , B = ( 50,19 ) . Prosta AB przecina
oś Ox w punkcie P . Oblicz pierwszą współrzędną punktu P .
Odpowiedź: .
Strona 16 z 24 MMA_1P
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 312 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-152 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Jeżeli do licznika i do mianownika nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy połowę jego
licznika, to otrzymamy 4 , a jeżeli do licznika i do mianownika dodamy 1, to otrzymamy 1 .
7 2
Wyznacz ten ułamek.
Odpowiedź: .
Nr zadania 30. 31.
Wypełnia Maks. liczba pkt 2 2
egzaminator
Uzyskana liczba pkt
MMA_1P Strona 17 z 24
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 324 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-152 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16 . Przekątna graniastosłupa
3
jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy . Oblicz
5
pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
Strona 18 z 24 MMA_1P
Odpowiedź: .
Nr zadania 32.
Wypełnia Maks. liczba pkt 4
egzaminator
Uzyskana liczba pkt
MMA_1P Strona 19 z 24
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 334 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-152 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Wśród 115 osób przeprowadzono badania ankietowe, związane z zakupami w pewnym
kiosku. W poniższej tabeli przedstawiono informacje o tym, ile osób kupiło bilety
tramwajowe ulgowe oraz ile osób kupiło bilety tramwajowe normalne.
Rodzaj kupionych
Liczba osób
biletów
ulgowe 76
normalne 41
Uwaga! 27 osób spośród ankietowanych kupiło oba rodzaje biletów.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że osoba losowo wybrana
spośród ankietowanych nie kupiła żadnego biletu. Wynik przedstaw w formie nieskracalnego
ułamka.
Strona 20 z 24 MMA_1P
Odpowiedź: .
Nr zadania 33.
Wypełnia Maks. liczba pkt 4
egzaminator
Uzyskana liczba pkt
MMA_1P Strona 21 z 24
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 345 punktówOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-152 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
W nieskończonym ciągu arytmetycznym ( an ) , określonym dla n ≥ 1 , suma jedenastu
początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego,
trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy a1 , a3 , ak ciągu ( an ) ,
w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny ( bn ) . Oblicz k.
Strona 22 z 24 MMA_1P
Odpowiedź: .
Nr zadania 34.
Wypełnia Maks. liczba pkt 5
egzaminator
Uzyskana liczba pkt
MMA_1P Strona 23 z 24
Strona 24 z 24 MMA_1P
Pokaż odpowiedź
Korzystamy ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i zapisujemy
równanie:
2a1 + 10r
⋅11 = 187 ,
2
( a1 + 5r ) ⋅11 = 187 ,
a1 + 5r = 17 .
Korzystamy z informacji o średniej arytmetycznej trzech wyrazów i zapisujemy równanie:
a1 + a1 + 2r + a1 + 8r
= 12 ,
3
3a1 + 10r
= 12 ,
3
10
a1 + r = 12 .
3
Zapisujemy układ równań:
a1 + 5r = 17
10
a1 + 3 r = 12.
Z pierwszego równania otrzymujemy a1 = 17 − 5r .
Otrzymaną wartość a1 podstawiamy do drugiego równania i otrzymujemy równanie
z niewiadomą r:
10
17 − 5r + r = 12 ,
3
r = 3.
Obliczamy pierwszy wyraz: a1 = 2 .
Uwaga
17 1
W rozwiązaniu układu równań zdający może najpierw wyznaczyć niewiadomą r = − a1 .
5 5
Otrzymaną wartość r podstawiamy do drugiego równania i otrzymujemy równanie
z niewiadomą a1 :
10 17 1
a1 + − a1 = 12 ,
3 5 5
170 10
a1 + − a1 = 12 ,
15 15
1 2
a1 = ,
3 3
a1 = 2 .
Dla a1 = 2 mamy r = 3 .
Wyznaczamy pozostałe wyrazy tworzące ciąg geometryczny:
a3 = a1 + 2r = 8 , ak = a1 + ( k − 1) r = 2 + ( k − 1) ⋅ 3 .
2
Kolejne wyrazy a1 , a3 , ak ciągu geometrycznego spełniają warunek: a3 = a1 ⋅ ak , stąd
82 = 2 ⋅ 2 + ( k − 1) ⋅ 3 ,
32 = 3k − 1 ,
k = 11 .
Dla k = 11 wyrazy a1 , a3 , ak w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny.
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp 1 p.
Zdający wykorzysta
• wzór na sumę n-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i zapisze równanie
2a + 10r
z dwiema niewiadomymi a1 i r, np.: 1 ⋅11 = 187 lub a1 + 5r = 17
2
albo
• średnią arytmetyczną pierwszego, trzeciego oraz dziewiątego wyrazu ciągu ( an )
i zapisze równanie z dwiema niewiadomymi a1 i r, np.:
a1 + a1 + 2r + a1 + 8r 10
= 12 lub a1 + r = 12
3 3
albo
• zależność między pierwszym, trzecim i k-tym wyrazem ciągu ( an ) wynikającą
z faktu, że ciąg ( a1 , a3 , ak ) jest geometryczny i zapisze np.: a3 = a1 ⋅ ak .
2
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
a1 + 5r = 17
Zdający zapisze układ równań z dwiema niewiadomymi a1 i r, np.: 10 .
a1 + 3 r = 12
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający rozwiąże układ równań a1 = 2 i r = 3 oraz zapisze zależność między pierwszym,
trzecim i k-tym wyrazem ciągu ( an ) wynikającą z faktu, że ciąg ( a1 , a3 , ak ) jest
2
geometryczny, np.: a3 = a1 ⋅ ak .
Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają
poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 p.
Zdający
• zapisze równanie z niewiadomą k wynikające z faktu, że ciąg ( a1 , a3 , ak ) jest
geometryczny oraz ak jest k-tym wyrazem ciągu arytmetycznego, np.:
82 = 2 ( 2 + ( k − 1) ⋅ 3)
albo
• rozwiąże układ równań z błędem rachunkowym i konsekwentnie do popełnionego
błędu obliczy k, o ile otrzymana wartość k jest całkowita dodatnia.
Rozwiązanie pełne 5 p.
Zdający obliczy k = 11 .
Uwagi
1. Jeżeli zdający od razu poda a1 = 2 i r = 3 lub wypisze kolejne wyrazy ciągu
arytmetycznego: 2, 5, 8, 11, …, ale nie uzasadni, że jest to jedyny ciąg spełniający warunki
zadania i na tym zakończy, to otrzymuje 1 punkt.
2. Jeżeli zdający od razu poda a1 = 2 i r = 3 lub wypisze kolejne wyrazy ciągu
arytmetycznego: 2, 5, 8, 11, …, ale nie uzasadni, że jest to jedyny ciąg spełniający warunki
zadania i wskaże lub obliczy k = 11 , to otrzymuje 3 punkty.
3. Jeżeli zdający od razu poda a1 = 2 i r = 3 lub wypisze kolejne wyrazy ciągu
arytmetycznego: 2, 5, 8, 11, …, ale nie uzasadni, że jest to jedyny ciąg spełniający warunki
zadania i zapisze równanie z niewiadomą k i popełni błąd rachunkowy w trakcie jego
rozwiązywania, to otrzymuje 2 punkty.
4. Jeżeli zdający od razu przyjmie ciąg arytmetyczny nie spełniający warunków zadania
(suma 11 początkowych jego wyrazów jest różna od 187 lub średnia pierwszego, trzeciego
i dziewiątego wyrazu jest różna od 12), to za całe zadanie otrzymuje 0 punktów.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.