Wersja arkusza
MMA-P1_1P-162 · Formuła 2015
Zadanie 11 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-162 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
a −2,6
Dla każdej dodatniej liczby a iloraz jest równy
a1,3
A. a −3,9 B. a −2 C. a −1,3 D. a1,3
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 21 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-162 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
( )
Liczba log 2 2 2 jest równa
3 5
A. B. 2 C. D. 3
2 2
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 31 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-162 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Liczby a i c są dodatnie. Liczba b stanowi 48% liczby a oraz 32% liczby c. Wynika stąd, że
A. c = 1,5 a B. c = 1, 6 a C. c = 0,8 a D. c = 0,16 a
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 41 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-162 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
( ) = 17 − 12 2 jest prawdziwa dla
2
Równość 2 2 − a
A. a = 3 B. a =1 C. a = −2 D. a = −3
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 51 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-162 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Jedną z liczb, które spełniają nierówność − x 5 + x 3 − x < −2 , jest
A. 1 B. −1 C. 2 D. −2
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 61 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-162 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Proste o równaniach 2 x − 3 y = 4 i 5x − 6 y = 7 przecinają się w punkcie P . Stąd wynika, że
A. P = (1, 2 ) B. P = ( −1, 2 ) C. P = ( −1, − 2 ) D. P = (1, − 2 )
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 71 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-162 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Punkty ABCD leżą na okręgu o środku S (zobacz rysunek).
.
D
.
Miara kąta BDC jest równa
A. 91° ?
C
B. 72,5° 27°
C. 18°
.S
118°
.
D. 32°
B
. A
MMA_1P
MMA_1P Strona 3 z 24
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 81 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-162 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
3
Dana jest funkcja liniowa f ( x ) = x + 6 . Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba
4
A. 8 B. 6 C. −6 D. −8
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 91 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-162 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
3x − 1
Równanie wymierne = 3 , gdzie x ≠ −5 ,
x+5
A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste.
Informacja do zadań 10. i 11.
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f.
Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (1,9 ) . Liczby −2 i 4 to miejsca zerowe funkcji f.
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 101 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-162 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Zbiorem wartości funkcji f jest przedział
A. ( −∞ , −2 B. −2, 4 C. 4, +∞ ) D. ( −∞ ,9
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 111 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-162 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Najmniejsza wartość funkcji f w przedziale −1, 2 jest równa
A. 2 B. 5 C. 8 D. 9
Strona 4 z 24 MMA_1P
MMA_1P Strona 5 z 24
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 121 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-162 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
2 x3
Funkcja f określona jest wzorem f ( x ) = dla każdej liczby rzeczywistej x. Wtedy
x6 + 1
( )
f − 3 3 jest równa
3 3
9 3 3 3
A. − B. − C. D.
2 5 5 2
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 131 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-162 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
W okręgu o środku w punkcie S poprowadzono cięciwę AB, która utworzyła z promieniem
AS kąt o mierze 31° (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu
S od cięciwy AB jest liczbą z przedziału
9 11
A. ,
2 2
11 13
B. ,
2 2
13 19
C. ,
2 2
19 37
D. ,
2 2
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 141 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-162 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
3
Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 8, a różnica tego ciągu jest równa − .
2
Siódmy wyraz tego ciągu jest równy
37 37 5 5
A. B. − C. − D.
2 2 2 2
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 151 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-162 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Ciąg ( x, 2 x + 3, 4 x + 3) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy
A. − 4 B. 1 C. 0 D. − 1
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 161 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-162 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Przedstawione na rysunku trójkąty ABC i PQR są podobne. Bok AB trójkąta ABC ma długość
A. 8 18
Q
62° R
B. 8,5
C. 9,5 C
17
D. 10 9
70°
70° 48°
A x B P
Strona 6 z 24 MMA_1P
MMA_1P Strona 7 z 24
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 171 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-162 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
2
Kąt α jest ostry i tgα = . Wtedy
3
3 13 13 2 13 3 13
A. sin α = B. sin α = C. sin α = D. sin α =
26 13 13 13
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 181 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-162 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Z odcinków o długościach: 5 , 2a + 1 , a − 1 można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika
stąd, że
A. a = 6 B. a=4 C. a = 3 D. a = 2
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 191 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-162 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Okręgi o promieniach 3 i 4 są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu
o promieniu 4 w punkcie P przechodzi przez środek okręgu o promieniu 3 (zobacz rysunek).
P
O1 3 4 O2
Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności P, jest równe
A. 14 B. 2 33 C. 4 33 D. 12
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 201 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-162 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
2 1
Proste opisane równaniami y = x + m − 2 oraz y = mx + są prostopadłe, gdy
m −1 m +1
1 1
A. m = 2 B. m= C. m = D. m = −2
2 3
Strona 8 z 24 MMA_1P
MMA_1P Strona 9 z 24
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 211 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-162 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
W układzie współrzędnych dane są punkty A = ( a, 6 ) oraz B = ( 7, b ) . Środkiem odcinka AB
jest punkt M = ( 3, 4 ) . Wynika stąd, że
A. a = 5 i b = 5 B. a = −1 i b = 2 C. a = 4 i b = 10 D. a = −4 i b = −2
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 221 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-162 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech p oznacza prawdopodobieństwo otrzymania
dokładnie dwóch orłów w tych trzech rzutach. Wtedy
A. 0 ≤ p < 0, 2 B. 0, 2 ≤ p ≤ 0,35 C. 0,35 < p ≤ 0,5 D. 0,5 < p ≤ 1
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 231 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-162 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Kąt rozwarcia stożka ma miarę 120° , a tworząca tego stożka ma długość 4. Objętość tego
stożka jest równa
A. 36π B. 18π C. 24π D. 8π
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 241 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-162 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od
wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną
podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek).
α
Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt α o mierze
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 251 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-162 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
x
Średnia arytmetyczna sześciu liczb naturalnych: 31, 16, 25, 29, 27, x, jest równa . Mediana
2
tych liczb jest równa
A. 26 B. 27 C. 28 D. 29
Strona 10 z 24 MMA_1P
MMA_1P Strona 11 z 24
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 262 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-162 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
W tabeli przedstawiono roczne przyrosty wysokości pewnej sosny w ciągu sześciu kolejnych
lat.
kolejne lata 1 2 3 4 5 6
przyrost (w cm) 10 10 7 8 8 7
Oblicz średni roczny przyrost wysokości tej sosny w badanym okresie sześciu lat. Otrzymany
wynik zaokrąglij do 1 cm. Oblicz błąd względny otrzymanego przybliżenia. Podaj ten błąd
w procentach.
Odpowiedź: .
Strona 12 z 24 MMA_1P
Pokaż odpowiedź
1
Obliczamy średni roczny przyrost sosny: x = 8 .
3
1
1
Obliczamy błąd względny przybliżenia: 3 = = 0, 04 = 4% .
25 25
3
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
1
• gdy obliczy średni roczny przyrost wysokości sosny: x = 8 i na tym zakończy lub
3
dalej popełnia błędy
albo
• gdy otrzyma średni roczny przyrost wysokości sosny będący liczbą spełniającą
nierówność 7 < x < 8, 2(3) lub nierówność 8, 4(3) < x < 10 i konsekwentnie obliczy błąd
względny otrzymanego przybliżenia.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 272 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-162 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Rozwiąż nierówność 2 x 2 − 4 x > 3x 2 − 6 x .
Odpowiedź: .
Nr zadania 26. 27.
Wypełnia Maks. liczba pkt 2 2
egzaminator
Uzyskana liczba pkt
MMA_1P Strona 13 z 24
Pokaż odpowiedź
Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów. Pierwszy polega na
ustaleniu pierwiastków trójmianu kwadratowego. Drugi etap polega na ustaleniu zbioru
rozwiązań nierówności.
Realizacja pierwszego etapu
I sposób
Redukujemy wyrazy podobne i zapisujemy nierówność w postaci równoważnej
− x 2 + 2x > 0 .
2
Znajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego − x + 2 x
• obliczamy wyróżnik tego trójmianu:
−2−2 −2+2
Δ = 4 − 4 ⋅ (− 1) ⋅ 0 = 4 i stąd x1 = = 2 oraz x 2 = =0
−2 −2
albo
• wykorzystujemy postać iloczynową trójmianu − x 2 + 2 x :
− x ( x − 2 ) = 0 , stąd x1 = 0 oraz x 2 = 2 ,
albo
• stosujemy wzory Viète’a:
x1 ⋅ x 2 = 0 oraz x1 + x 2 = 2 , stąd x1 = 0 oraz x 2 = 2 ,
albo
• podajemy je bezpośrednio, np. zapisując pierwiastki trójmianu x1 = 0 , x2 = 2 lub
zaznaczając je na wykresie
y
1
-1 0 1 2 3 x
-1
-2
II sposób
Wyznaczamy postać kanoniczną trójmianu kwadratowego − x 2 + 2 x i zapisujemy nierówność
w postaci równoważnej, np.
− (x − 1) + 1 > 0 .
2
Stąd
(
− ( x − 1) − 1 > 0 .
2
)
Następnie przekształcamy nierówność do postaci równoważnej, korzystając z własności
wartości bezwzględnej
(x − 1)2 < 1 ,
x −1 <1 .
Realizacja drugiego etapu
Podajemy zbiór rozwiązań nierówności: (0, 2 ) lub x ∈ (0, 2) .
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:
• zrealizuje pierwszy etap rozwiązania, tzn. ustali pierwiastki trójmianu kwadratowego
i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności, np.:
o obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego x1 = 0 , x2 = 2
i na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,
o zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji f ( x) = − x 2 + 2 x
i na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,
o zapisze nierówność x − 1 < 1 i na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór
rozwiązań nierówności
albo
• przy realizacji pierwszego etapu rozwiązania popełni błąd (ten sam błąd popełniony
wielokrotnie traktuje się jak jeden błąd), ale otrzyma dwa różne pierwiastki,
i konsekwentnie rozwiąże nierówność, np.:
o popełni błędy przy wyznaczaniu pierwiastków trójmianu kwadratowego
i konsekwentnie rozwiąże nierówność,
o błędnie zapisze równania wynikające ze wzorów Viète’a, np. x1 + x 2 = −2
i konsekwentnie rozwiąże nierówność,
o błędnie zapisze nierówność, np. x − 1 > 1 i konsekwentnie ją rozwiąże.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy:
• poda zbiór rozwiązań nierówności: (0, 2 ) lub x ∈ (0, 2) , lub x > 0 i x < 2
albo
• sporządzi poprawną ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór
rozwiązań nierówności w postaci: x > 0 , x < 2 ,
albo
• poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi
końcami przedziałów.
0 2 x
Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
Akceptujemy zapis przedziału nieuwzględniający porządku liczb na osi liczbowej, np. ( 2, 0 ) .
Uwagi:
1. Jeżeli zdający dzieli obie strony nierówności przez x − 2 lub przez x, bez stosownego
założenia, to otrzymuje 0 punktów.
2. Jeżeli zdający dzieli obie strony nierówności przez x − 2 , rozważając przy tym dwa
przypadki x > 2 i x < 2 , rozwiąże nierówność w każdym z tych przypadków oraz wyznaczy
poprawny zbiór rozwiązań nierówności, to otrzymuje 2 punkty.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 282 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-162 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
(
Rozwiąż równanie ( 4 − x ) x 2 + 2 x − 15 = 0 . )
Odpowiedź: .
Strona 14 z 24 MMA_1P
Pokaż odpowiedź
Lewa strona równania jest iloczynem dwóch czynników 4 − x oraz x 2 + 2 x − 15 . Zatem iloczyn
ten jest równy 0, gdy co najmniej jeden z tych czynników jest równy 0, czyli
2
4 − x = 0 lub x + 2 x − 15 = 0 .
Rozwiązaniem równania 4 − x = 0 jest x = 4 .
Rozwiązania równania x 2 + 2 x − 15 = 0 możemy wyznaczyć, korzystając:
• ze wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego:
−2 − 8 −2 + 8
Δ = 2 2 − 4 ⋅1 ⋅ ( −15 ) = 64 = 82 , x1 = = −5 , x2 = =3
2 2
albo
• ze wzorów Viète’a:
x1 + x2 = −2 oraz x1 ⋅ x2 = −15 i stąd x1 = −5 , x2 = 3 ,
albo
• z postaci iloczynowej trójmianu x 2 + 2 x − 15
( x + 5)( x − 3) = 0 , stąd x1 = −5 , x2 = 3 ,
albo
• z własności wartości bezwzględnej, przekształcając najpierw równanie do postaci
równoważnej x + 1 = 4 , skąd x + 1 = 4 lub x + 1 = −4 , czyli x = 3 lub x = −5 .
Zatem wszystkie rozwiązania równania to: x = 4 lub x = −5 , lub x = 3 .
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:
• zapisze dwa równania: 4 − x = 0 i x 2 + 2 x − 15 = 0 (wystarczy, że z rozwiązania
wynika, że zdający wyznacza pierwiastki każdego z wielomianów: 4 − x , x 2 + 2 x − 15 )
albo
• zapisze rozwiązanie x = 4 ,
albo
• obliczy co najmniej jeden pierwiastek trójmianu x 2 + 2 x − 15 : x = −5 , x = 3 ,
albo
• wyznaczy jeden z pierwiastków wielomianu − x3 + 2 x 2 + 23 x − 60
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania: x = −5 , x = 3 , x = 4 .
Uwagi:
1. Jeżeli zdający obliczy trzy pierwiastki, ale w odpowiedzi końcowej podaje tylko dwa, to
otrzymuje 1 punkt.
2. Jeżeli zdający dzieli obie strony równania bez stosownego założenia przez x − 4 lub przez
drugi czynnik i oblicza pierwiastki (lub pierwiastek) dla pozostałej części, to otrzymuje
0 punktów.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 292 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-162 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Dany jest trójkąt prostokątny ABC. Na przyprostokątnych AC i AB tego trójkąta obrano
odpowiednio punkty D i G. Na przeciwprostokątnej BC wyznaczono punkty E i F takie, że
DEC = BGF = 90° (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt CDE jest podobny do
trójkąta FBG. C
E
⋅
F
D
⋅ ⋅
A G B
Nr zadania 28. 29.
Wypełnia Maks. liczba pkt 2 2
egzaminator
Uzyskana liczba pkt
MMA_1P Strona 15 z 24
Pokaż odpowiedź
I sposób
Niech ACB = α .
Ponieważ CAB = 90° , więc ABC = 90° − α .
W ΔCDE : DEC = 90° , więc CDE = 90° − α .
Trójkąt CDE jest prostokątny oraz DEC = 90° , więc CDE = 90° − α .
Podobnie trójkąt BFG jest prostokątny i FGB = 90 , więc BFG = α .
Ponieważ trójkąty CDE i BFG mają równe kąty, więc na podstawie cechy podobieństwa kkk są
podobne.
II sposób
Niech ACB = DCE = α i ABC = FBG = β .
Trójkąt CED jest podobny do trójkąta ABC (cecha kkk), bo ACB = DCE = α oraz
CAB = DEC = 90° .
Podobnie trójkąt GBF jest podobny do trójkąta ABC, (cecha kkk), bo ABC = FBG = β
oraz CAB = FGB = 90° .
Stąd trójkąt CED jest podobny do trójkąta FBG (z przechodniości relacji podobieństwa).
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy
• wskaże w dwóch trójkątach spośród trójkątów CBA, CDE i FBG jedną parę równych
kątów ostrych i na tym zakończy lub dalej popełni błędy, przy czym kąt przy
wierzchołku B musi być wskazany dwukrotnie, jako kąt w obu trójkątach CBA i FBG,
np. zdający zapisze FBG = CBA lub stwierdzi, że jest to wspólny kąt trójkątów
CBA i FBG (analogicznie z kątem przy wierzchołku C w trójkątach CBA i CDE)
albo
• zapisze, że trójkąt CBA jest podobny do trójkąta FBG i do trójkąta CDE i stąd
wywnioskuje, że trójkąt CDE jest podobny do trójkąta FBG, ale nie wskaże żadnej pary
równych kątów ostrych w tych trójkątach i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający przyjmie konkretne miary kątów, to otrzymuje 0 punktów.
2. Jeżeli zdający przyjmie błędne zależności między kątami, to otrzymuje 0 punktów.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 302 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-162 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Ciąg ( an ) jest określony wzorem an = 2n + 2n dla n ≥ 1. Wykaż, że suma każdych dwóch
2
kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.
Strona 16 z 24 MMA_1P
Pokaż odpowiedź
Rozważmy wyraz an = 2n2 + 2n .
Wyraz an +1 można zapisać, jako
an+1 = 2 ( n + 1) + 2 ( n + 1) = 2n2 + 6n + 4 .
2
Wtedy
an + an+1 = 2n2 + 2n + 2n2 + 6n + 4 = 4n2 + 8n + 4 .
Zatem
an + an+1 = ( 2n + 2 ) .
2
Liczba 2n + 2 jest naturalna. To kończy dowód.
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy poprawnie zapisze sumę dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu, np.
an + an+1 = 2n2 + 2n + 2 ( n + 1) + 2 ( n + 1)
2
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 312 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-162 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Skala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi. Siła ta opisana jest wzorem
A −4
R = log , gdzie A oznacza amplitudę trzęsienia wyrażoną w centymetrach, A0 = 10 cm
A0
jest stałą, nazywaną amplitudą wzorcową. 5 maja 2014 roku w Tajlandii miało miejsce
trzęsienie ziemi o sile 6,2 w skali Richtera. Oblicz amplitudę trzęsienia ziemi w Tajlandii
i rozstrzygnij, czy jest ona większa, czy – mniejsza od 100 cm.
Odpowiedź: .
Nr zadania 30. 31.
Wypełnia Maks. liczba pkt 2 2
egzaminator
Uzyskana liczba pkt
MMA_1P Strona 17 z 24
Pokaż odpowiedź
I sposób
Zapisujemy równanie
A
6, 2 = log .
10 −4
Korzystamy z definicji logarytmu
A
106,2 = .
10 −4
Stąd
A = 106,2 ⋅10 −4 ,
A = 10 2,2 .
Stwierdzamy, że 102,2 > 102 = 100 , gdyż funkcja wykładnicza y = 10 x jest rosnąca. Oznacza
to, że A > 100 cm.
II sposób
Zapisujemy równanie
A
.6, 2 = log
10 −4
To równanie jest równoważne kolejno równaniom
6, 2 = log (10 4 A ) ,
6, 2 = log104 + log A ,
6, 2 = 4 + log A .
Zatem 2, 2 = log A . Korzystamy z definicji logarytmu i otrzymujemy równość
A = 10 2,2 .
Stwierdzamy, że 102,2 > 102 = 100 , gdyż funkcja wykładnicza y = 10 x jest rosnąca. Oznacza
to, że A > 100 cm.
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy
A
• wykorzysta definicję logarytmu i przekształci równanie 6, 2 = log −4 do postaci
10
A
106,2 = −4
10
albo
A
• wykorzysta własność logarytmu i przekształci równanie 6, 2 = log do postaci
10 −4
6, 2 = log A − log10−4 lub 6, 2 = log A + log104
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
gdy zapisze, że A = 10 2,2 i stwierdzi, że amplituda tego trzęsienia ziemi była większa od
100 cm.
Zdający otrzymuje 2 p.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający błędnie interpretuje treść zadania, w szczególności stosuje niepoprawne
podstawienie do wzoru, to otrzymuje 0 punktów.
2. Jeżeli zdający nie obliczy amplitudy, ale uzasadni, że amplituda jest większa od 100 cm,
to otrzymuje 1 punkt.
3. Jeżeli zdający nie obliczy amplitudy tylko zapisze bez uzasadnienia, że amplituda jest
większa od 100 cm, to otrzymuje 0 punktów.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 324 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-162 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów,
które różnią się o 50° . Oblicz kąty tego trójkąta.
Strona 18 z 24 MMA_1P
Odpowiedź: .
Nr zadania 32.
Wypełnia Maks. liczba pkt 4
egzaminator
Uzyskana liczba pkt
MMA_1P Strona 19 z 24
Pokaż odpowiedź
I sposób
Niech α oznacza najmniejszy kąt trójkąta. Zatem pozostałe dwa kąty tego trójkąta równe są
α + 50° oraz 3α . Suma kątów trójkąta jest równa 180° , więc
α + 3α + α + 50° = 180° ,
5α = 130° ,
α = 26° .
Stąd α + 50° = 76° oraz 3α = 78° .
II sposób
Niech α oznacza największy kąt trójkąta. Zatem pozostałe dwa kąty tego trójkąta równe są
α α
+ 50° oraz . Suma kątów trójkąta jest równa 180° , więc
3 3
α α
+ + 50° + α = 180° ,
3 3
5α = 390° ,
α = 78° .
α α
Stąd = 26° oraz + 50° = 76° .
3 3
III sposób
Niech α oznacza ten kąt trójkąta, który nie jest ani największy, ani najmniejszy. Zatem
pozostałe dwa kąty tego trójkąta równe są α − 50° oraz 3 (α − 50° ) . Suma kątów trójkąta jest
równa 180° , więc
α − 50° + α + 3 (α − 50° ) = 180° ,
5α = 380° ,
α = 76° .
Stąd α − 50° = 26° oraz 3 (α − 50° ) = 78° .
Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze
do pełnego rozwiązania 1 p.
Zdający zapisze:
• kąty trójkąta w zależności od jednego kąta, np.:
α α
α , α + 50° , 3α lub , + 50°, α , lub α − 50°, α , 3 (α − 50° )
3 3
albo
• układ dwóch równań, np.
α + α + 50° + β = 180°
β = 3α ,
albo
• układ trzech równań, np.
α + β + γ = 180°
γ = 3α
β = α + 50°
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, np.:
α α
α + 3α + α + 50° = 180° lub + + 50° + α = 180° , lub α − 50° + α + 3 (α − 50° ) = 180°
3 3
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający obliczy jeden z kątów trójkąta, np.: α = 26° lub α = 78° , lub α = 76° i na tym
zakończy lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający obliczy wszystkie kąty trójkąta.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający tylko poda kąty ( 26° , 76° , 78° ), to otrzymuje 1 punkt.
2. Jeżeli zdający tylko poda kąty i sprawdzi wszystkie warunki zadania, to otrzymuje 2 punkty.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 335 punktówOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-162 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest trójkąt równoboczny ABC .
Wysokość SO tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa
jest równa 27. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa ABCS oraz cosinus kąta, jaki
tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa.
Strona 20 z 24 MMA_1P
Odpowiedź: .
Nr zadania 33.
Wypełnia Maks. liczba pkt 5
egzaminator
Uzyskana liczba pkt
MMA_1P Strona 21 z 24
Pokaż odpowiedź
Wprowadzamy oznaczenia jak na rysunku.
S
h
H
C
A O P
a
B
a 3
Ponieważ wysokość tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy, to H = . Objętość
2
ostrosłupa jest równa 27, więc otrzymujemy równanie
1 a2 3 a 3
⋅ ⋅ = 27 ,
3 4 2
skąd otrzymujemy a = 6.
Wysokość ostrosłupa jest równa
6 3
H= =3 3.
2
Punkt O jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie równobocznym ABC, zatem długość
odcinka PO stanowi 13 wysokości trójkąta ABC , czyli
OP = 13 H = 13 ⋅ 3 3 = 3 .
Z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego dla trójkąta POS otrzymujemy
2
h 2 = OP + H 2 ,
( 3 ) + (3 3 ) ,
2 2
h2 =
h2 = 30 .
Stąd
h = 30 .
Pole powierzchni bocznej ostrosłupa jest zatem równe
1 1
Pb = 3 ⋅ ah = 3 ⋅ ⋅ 6 30 = 9 30 .
2 2
Cosinus kąta nachylenia wysokości ściany bocznej do płaszczyzny podstawy jest równy
OP 3 10
cos α = = = .
h 30 10
Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze
do pełnego rozwiązania 1 p.
Zdający:
• zapisze równanie, z którego można obliczyć długość krawędzi podstawy ostrosłupa:
1 a2 3 a 3
⋅ ⋅ = 27
3 4 2
albo
• zapisze równanie, z którego można obliczyć wysokość ostrosłupa:
2
2H
3
1 3
⋅ ⋅ H = 27
3 4
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający obliczy długość krawędzi podstawy ostrosłupa a = 6 lub wysokość ostrosłupa
H = 3 3 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 344 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-P1_1P-162 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy kolejno dwa razy po jednej
liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma
wylosowanych liczb będzie równa 30. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego
nieskracalnego.
Strona 22 z 24 MMA_1P
Odpowiedź: .
Nr zadania 34.
Wypełnia Maks. liczba pkt 4
egzaminator
Uzyskana liczba pkt
MMA_1P Strona 23 z 24
Strona 24 z 24 MMA_1P
Pokaż odpowiedź
I sposób
Zdarzeniem elementarnym jest uporządkowana para ( x, y ) dwóch różnych liczb ze zbioru
{10,11,12,...,99} , który zawiera 90 liczb. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa
Ω = 90 ⋅ 89 . Wszystkie zdarzenia elementarne są równo prawdopodobne. Mamy więc do
czynienia z modelem klasycznym.
Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest 30.
Zatem zdarzeniu A sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:
(10, 20 ) , (11,19 ) , (12,18) , (13,17 ) , (14,16 ) , (16,14 ) , (17,13) , (18,12 ) , (19,11) , ( 20,10 ) .
Ich liczba jest równa A = 10 .
Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe
A 10 1 1
P ( A) = = = = .
Ω 90 ⋅ 89 9 ⋅ 89 801
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy dwie różne
1
liczby dwucyfrowe, których suma jest równa 30 jest równe .
801
II sposób
Zdarzeniem elementarnym jest zbiór dwuelementowy { x, y} dwóch różnych liczb ze zbioru
{10,11,12,...,99} , który zawiera 90 liczb. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa
( ) 88!90!⋅ 2! = 902⋅ 89 = 4005 .
Ω = 90
2 = Wszystkie zdarzenia elementarne są równo
prawdopodobne. Mamy więc do czynienia z modelem klasycznym.
Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest 30. Zatem
zdarzeniu A sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:
{10, 20} , {11,19} , {12,18} , {13,17} , {14,16} .
Ich liczba jest równa A = 5 .
Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe
A 5 1 1
P ( A) = = = = .
Ω 45 ⋅ 89 9 ⋅ 89 801
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy dwie różne
1
liczby dwucyfrowe, których suma jest równa 30 jest równe .
801
III sposób
Rysujemy drzewo z uwzględnieniem wszystkich gałęzi, które prowadzą do sytuacji
sprzyjających zdarzeniu A (polegającemu na tym, że suma wylosowanych liczb będzie
równa 30).
Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe
1 1 1 1
P ( A ) = 10 ⋅ ⋅ = = .
90 89 9 ⋅ 89 801
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy dwie różne
1
liczby dwucyfrowe, których suma jest równa 30 jest równe .
801
Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze
do pełnego rozwiązania 1 p.
Zdający
• zapisze, że wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych jest 90
albo
• wypisze zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A:
(10, 20 ) , (11, 19 ) , (12,18) , (13,17 ) , (14,16 ) , (16,14 ) ,
(17,13) , (18,12 ) , (19,11) , ( 20,10 )
lub {10, 20} , {11,19} , {12,18} , {13,17} , {14,16} ,
albo
• zapisze, że A = 10 lub A = 5 ,
albo
• narysuje drzewo ilustrujące przebieg doświadczenia (na rysunku muszą wystąpić
wszystkie istotne gałęzie)
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający
• zapisze, że wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych jest 90 oraz wypisze wszystkie
zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A:
(10, 20 ) , (11, 19 ) , (12,18) , (13,17 ) , (14,16 ) , (16,14 ) ,
(17,13) , (18,12 ) , (19,11) , ( 20,10 )
lub {10, 20} , {11,19} , {12,18} , {13,17} , {14,16}
albo
• zapisze, że wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych jest 90 oraz zapisze, że A = 10
lub A = 5 ,
albo
•
90
obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: Ω = 90 ⋅ 89 lub Ω = 2 , lub ( )
90 ⋅ 89
Ω = , lub Ω = 4005 ,
2
albo
• narysuje drzewo ze wszystkimi istotnymi gałęziami i zapisze prawdopodobieństwa na
wszystkich istotnych odcinkach jednego z etapów lub na jednej z istotnych gałęzi
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający
• obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: Ω = 90 ⋅ 89 oraz zapisze, że A = 10
albo
•
90
obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: Ω = 2 ( ) lub Ω = 902⋅ 89 , lub
Ω = 4005 oraz zapisze, że A = 5 ,
albo
• obliczy prawdopodobieństwo wzdłuż jednej istotnej gałęzi narysowanego drzewa:
1 1
⋅
90 89
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie pełne 4 p.
A 1
Zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A: P ( A ) = = .
Ω 801
Uwagi:
1. Jeżeli zdający poprawnie wyznaczy moc zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych, ale przy
wyznaczaniu liczby zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A pominie jedno zdarzenie
elementarne lub popełni błąd przy zliczaniu poprawnie wypisanych zdarzeń elementarnych
sprzyjających zdarzeniu A i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje
3 punkty.
2. Jeżeli zdający błędnie zapisze, że wszystkich liczb dwucyfrowych jest 89 i konsekwentnie
rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 3 punkty.
3. Jeżeli w rozwiązaniu występuje sprzeczność modeli probabilistycznych, to zdający może
otrzymać, co najwyżej 2 punkty.
4. Akceptujemy sytuacje, gdy zdający zamiast wypisywania zdarzeń elementarnych
sprzyjających zdarzeniu A zapisze następujące sumy 10 + 20 , 11 + 19 , 12 + 18 , 13 + 17 ,
14 + 16 , 16 + 14 , 17 + 13 , 18 + 12 , 19 + 11 , 20 + 10 (lub tylko 10 + 20 , 11 + 19 , 12 + 18 ,
13 + 17 , 14 + 16 ).
5. Jeżeli zdający zapisze, że wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych jest 90, ale przy
wypisywaniu zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A, zapisuje sumę 15 + 15 i na
tym zakończy to otrzymuje 1 punkt.
1
6. Jeżeli zdający bez żadnych obliczeń poda tylko wynik, np. , to otrzymuje za całe
801
rozwiązanie 1 punkt.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.