Liczba 58 ⋅16−2 jest równa 8 5 5 A. B. C. 108 D. 10 2 2
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Maj 2017 · Formuła 2015
Matematyka 2017 — poziom podstawowy — Formuła 2015
W HTML jest już 34 z 34 jednostek arkusza: 0 ma rozwiązanie krok po kroku, a 34 ma odpowiedź w pierwszej redakcji i czeka na wyjaśnienie. Strona pozostaje poza indeksem do czasu ukończenia i recenzji arkusza.
- Poziom
- Podstawowy
- Kod arkusza
- MMA-P1_1P-172
- Dokumenty
- 2
Pierwsze opracowanie · komplet podpunktów
Zadania i odpowiedzi; rozwiązania uzupełniamy
Odpowiedzi porównujemy z zasadami CKE. Pełny tok rozumowania dodajemy osobno; arkusz pozostaje poza indeksem do czasu pełnej recenzji.
Wersja arkusza
MMA-P1_1P-172 · Formuła 2015
Liczba 3 54 − 3 2 jest równa A. 3 52 B. 3 C. 2 3 2 D. 2
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Liczba 2 log 2 3 − 2 log 2 5 jest równa 9 3 9 6 A. log 2 B. log 2 C. log 2 D. log 2 25 5 5 25
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Liczba osobników pewnego zagrożonego wyginięciem gatunku zwierząt wzrosła w stosunku do liczby tych zwierząt z 31 grudnia 2011 r. o 120% i obecnie jest równa 8910. Ile zwierząt liczyła populacja tego gatunku w ostatnim dniu 2011 roku? A. 4050 B. 1782 C. 7425 D. 7128
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
( ) = ( 2 + 2 ) jest 2 2 Równość x 2 − 2 A. prawdziwa dla x = − 2 . B. prawdziwa dla x = 2 . C. prawdziwa dla x = −1 . D. fałszywa dla każdej liczby x. MMA_1P MMA_1P Strona 3 z 26
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Do zbioru rozwiązań nierówności ( x 4 + 1) ( 2 − x ) > 0 nie należy liczba A. −3 B. −1 C. 1 D. 3
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór wszystkich rozwiązań nierówności 2 − 3x ≥ 4 . A. 2 x 3 B. 2 x 3 C. 2 x − 3 D. 2 x − 3
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Równanie x ( x 2 − 4 )( x 2 + 4 ) = 0 z niewiadomą x A. nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych. B. ma dokładnie dwa rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych. C. ma dokładnie trzy rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych. D. ma dokładnie pięć rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Miejscem zerowym funkcji liniowej f ( x ) = 3 ( x + 1) − 12 jest liczba A. 3−4 B. −2 3 + 1 C. 4 3 − 1 D. − 3 + 12 Strona 4 z 26 MMA_1P MMA_1P Strona 5 z 26
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f ( x ) = ax 2 + bx + c , której miejsca zerowe to: −3 i 1. Współczynnik c we wzorze funkcji f jest równy A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji wykładniczej f określonej wzorem f ( x ) = a x . Punkt A = (1, 2 ) należy do tego wykresu funkcji. Podstawa a potęgi jest równa 1 1 A. − B. C. −2 D. 2 2 2 Strona 6 z 26 MMA_1P MMA_1P Strona 7 z 26
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
W ciągu arytmetycznym ( an ) , określonym dla n ≥ 1 , dane są: a1 = 5 , a2 = 11 . Wtedy A. a14 = 71 B. a12 = 71 C. a11 = 71 D. a10 = 71
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny ( 24, 6, a − 1) . Stąd wynika, że 5 2 3 2 A. a = B. a= C. a = D. a = 2 5 2 3
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Jeśli m = sin 50° , to A. m = sin 40° B. m = cos 40° C. m = cos 50° D. m = tg 50°
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Na okręgu o środku w punkcie O leży punkt C (zobacz rysunek). Odcinek AB jest średnicą tego okręgu. Zaznaczony na rysunku kąt środkowy α ma miarę C 56° A α O B A. 116° B. 114° C. 112° D. 110° Strona 8 z 26 MMA_1P MMA_1P Strona 9 z 26
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
W trójkącie ABC punkt D leży na boku BC, a punkt E leży na boku AB. Odcinek DE jest równoległy do boku AC, a ponadto BD = 10 , BC = 12 i AC = 24 (zobacz rysunek). B 10 E D 2 A C 24 Długość odcinka DE jest równa A. 22 B. 20 C. 12 D. 11
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Obwód trójkąta ABC, przedstawionego na rysunku, jest równy C 3 A. 3 + a 2 a 2 B. 2 + a 2 30° A B ( ) C. 3 + 3 a D. ( 2 + 2 ) a Strona 10 z 26 MMA_1P MMA_1P Strona 11 z 26
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Na rysunku przedstawiona jest prosta k, przechodząca przez punkt A = ( 2, − 3 ) i przez początek układu współrzędnych, oraz zaznaczony jest kąt α nachylenia tej prostej do osi Ox. y k 5 4 3 2 1 α x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 A -4 Zatem 2 3 2 3 A. tgα = − B. tgα = − C. tgα = D. tgα = 3 2 3 2
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Na płaszczyźnie z układem współrzędnych proste k i l przecinają się pod kątem prostym 1 7 w punkcie A = ( −2,4 ) . Prosta k jest określona równaniem y = − x + . Zatem prostą l 4 2 opisuje równanie 1 7 1 7 A. y= x+ B. y =− x− C. y = 4 x − 12 D. y = 4 x + 12 4 2 4 2
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Dany jest okrąg o środku S = ( 2,3) i promieniu r = 5 . Który z podanych punktów leży na tym okręgu? A. A = ( −1, 7 ) B. B = ( 2, −3) C. C = ( 3, 2 ) D. D = ( 5,3)
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym wysokość jest 3 razy dłuższa od krawędzi podstawy, jest równe 140. Zatem krawędź podstawy tego graniastosłupa jest równa A. 10 B. 3 10 C. 42 D. 3 42 Strona 12 z 26 MMA_1P MMA_1P Strona 13 z 26
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Promień AS podstawy walca jest równy wysokości OS tego walca. Sinus kąta OAS (zobacz rysunek) jest równy O S A 3 2 1 A. B. C. D. 1 2 2 2
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Dany jest stożek o wysokości 4 i średnicy podstawy 12. Objętość tego stożka jest równa A. 576π B. 192π C. 144π D. 48π
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Średnia arytmetyczna ośmiu liczb: 3, 5, 7, 9, x, 15, 17, 19 jest równa 11. Wtedy A. x =1 B. x=2 C. x = 11 D. x = 13
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Ze zbioru dwudziestu czterech kolejnych liczb naturalnych od 1 do 24 losujemy jedną liczbę. Niech A oznacza zdarzenie, że wylosowana liczba będzie dzielnikiem liczby 24. Wtedy prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe 1 1 1 1 A. B. C. D. 4 3 8 6 Strona 14 z 26 MMA_1P MMA_1P Strona 15 z 26
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Rozwiąż nierówność 8 x 2 − 72 x ≤ 0 . Odpowiedź: Strona 16 z 26 MMA_1P
Pokaż odpowiedź
Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.
Pierwszy etap rozwiązania polega na wyznaczeniu pierwiastków trójmianu kwadratowego
8 x 2 − 72 x .
2
Znajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego 8 x − 72 x :
• podajemy je bezpośrednio, np. zapisując x1 = 0 , x2 = 9 lub zaznaczając pierwiastki
trójmianu na wykresie
albo
• obliczamy wyróżnik tego trójmianu, a następnie stosujemy wzory na pierwiastki:
72 − 72
Δ = 72 2 , x1 = = 0 , x2 = 72 + 72 = 9 .
16 16
Drugi etap rozwiązania polega na wyznaczeniu zbioru rozwiązań nierówności 8 x 2 − 72 x ≤ 0 .
Podajemy zbiór rozwiązań nierówności: 0 ≤ x ≤ 9 lub 0, 9 lub x ∈ 0, 9 np. odczytując go
ze szkicu wykresu funkcji f ( x ) = 8 x 2 − 72 x .
0 9 x
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:
• zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór
rozwiązań nierówności, np.
o obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego x1 = 0 i x2 = 9 i na tym
zakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,
o zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji f ( x ) = 8 x 2 − 72 x i na tym
zakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności
albo
• realizując pierwszy etap błędnie wyznaczy pierwiastki (ale otrzyma dwa różne
pierwiastki) i konsekwentnie do tego rozwiąże nierówność, np. popełni błąd
rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków trójmianu kwadratowego
i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy:
• poda zbiór rozwiązań nierówności: 0 ≤ x ≤ 9 lub 0, 9 lub x ∈ 0, 9
albo
• poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi
końcami przedziałów
0 9 x
Uwagi
1. Jeżeli zdający dzieli obie strony nierówności przez x, bez podania stosownych założeń, to
otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
2. Jeżeli zdający podaje pierwiastki bez związku z trójmianem kwadratowym z zadania, to
oznacza, że nie podjął realizacji 1. etapu rozwiązania i w konsekwencji otrzymuje
0 punktów za całe rozwiązanie.
3. Jeśli zdający wyznacza ujemną deltę trójmianu kwadratowego, to otrzymuje 0 punktów
za całe rozwiązanie.
Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
1. Akceptujemy sytuację, gdy zdający poprawnie obliczy lub poda pierwiastki trójmianu
x1 = 0 i x2 = 9 i zapisze, np. x ∈ −9, 0 , popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu
jednego z pierwiastków, to za takie rozwiązanie otrzymuje 2 punkty.
2. Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań
nierówności w postaci x ∈ 9, 0 , to przyznajemy 2 punkty.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Wykaż, że liczba 42017 + 42018 + 42019 + 42020 jest podzielna przez 17. Nr zadania 26. 27. Wypełnia Maks. liczba pkt 2 2 egzaminator Uzyskana liczba pkt MMA_1P Strona 17 z 26
Pokaż odpowiedź
Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias 4 2017 (1 + 4 + 4 2 + 43 ) . Doprowadzamy liczbę do
postaci 4 2017 ⋅ 5 ⋅17 . Wnioskujemy, że dana liczba jest podzielna przez 17 .
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy zapisze liczbę 4 2017 + 4 2018 + 4 2019 + 4 2020 w postaci iloczynu, w którym jeden z czynników
jest potęgą 4 k , gdzie 1985 ≤ k ≤ 2017 , np. 4 2017 (1 + 4 + 4 2 + 43 ) i na tym poprzestanie lub
dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy przeprowadzi poprawny dowód.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Dane są dwa okręgi o środkach w punktach P i R , styczne zewnętrznie w punkcie C. Prosta AB jest styczna do obu okręgów odpowiednio w punktach A i B oraz APC = α i ABC = β (zobacz rysunek). Wykaż, że α = 180° − 2β . P α C R β A B Strona 18 z 26 MMA_1P
Pokaż odpowiedź
I sposób
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
P
α C
δ R
γ
β δ
A B
Prosta AB jest styczna w punkcie B do okręgu o środku R, więc ABR = 90° . Stąd
δ = CBR = 90° − β .
Trójkąt BRC jest równoramienny, więc
BCR = δ = 90° − β .
Zatem
BRC = γ = 180° − 2 ( 90° − β ) = 2β .
Suma miar kątów czworokąta ABRP jest równa 360° , PAB = 90° , więc
PAB + ABR + BRP + RPA = 360° ,
czyli
90°+ 90°+ 2β +α = 360° ,
α + 2β =180° ,
α = 180°− 2β .
To kończy dowód.
II sposób
P
C
α R
γ
β
A B
Z twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą wynika, że BRC = γ = 2β .
Ponieważ ABR = 90° i PAB = 90° , więc czworokąt ABRP jest trapezem o podstawach
AP i BR. Suma miar kątów przy ramieniu trapezu jest równa 180° , więc
α + γ = 180° ,
α + 2β =180° .
Stąd α = 180°− 2β . To kończy dowód.
III sposób
P
α C
η R
δ
β δ
A B
Prosta AB jest styczna w punkcie B do okręgu o środku R, więc ABR = 90° . Stąd
δ = 90° − β .
Trójkąt BRC jest równoramienny, więc
BCR = δ = 90° − β .
Kąty BCR i PCB są przyległe, więc
η = 180° − BCR = 180° − ( 90° − β ) = 90° + β .
Suma miar kątów czworokąta ABCP jest równa 360° , PAB = 90° , więc
PAB + ABR + BCP + CPA = 360° ,
czyli
90° + β + η + α = 360° ,
90° + β + ( 90° + β ) + α = 360° ,
α = 180°− 2β .
To kończy dowód.
IV sposób
P
C
α φ R
δ
φ β δ
ψ
A B
Prosta AB jest styczna w punkcie B do okręgu o środku R, więc ABR = 90° .
Stąd δ = 90 ° − β .
Trójkąt BRC jest równoramienny, więc
BCR = δ = 90° − β .
Trójkąt PAC jest równoramienny, więc
180 ° − α α
PAC = PCA = ϕ = = 90 ° − .
2 2
Prosta AB jest styczna w punkcie A do okręgu o środku P, więc PAB = 90° . Stąd
α α
CAB = ψ = 90° − ϕ = 90° − 90° − = .
2 2
Miara kąta ACB w trójkącie ABC jest równa
α
ACB = 180 ° − β − ψ = 180 ° − β − .
2
Suma miar kątów PCA, ACB i BCR jest równa 180° , więc
PCA + ACB + BCR = 180° ,
α
ϕ + 180° − β − + δ =180° ,
2
α α
90° − + 180° − β − + 90° − β =180° ,
2 2
α = 180°− 2β .
To kończy dowód.
V sposób
P
C
α R
ψ β
A S B
Poprowadźmy przez punkt C wspólną styczną do obu okręgów. Niech S oznacza punkt jej
przecięcia z prostą AB.
Z twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą wynika, że
α
ψ = .
2
Z twierdzenia o odcinkach stycznych wynika, że AS = CS = BS . Stąd wynika, że S jest
środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC. Odcinek AB jest średnicą tego okręgu, więc
trójkąt ABC jest prostokątny. Suma miar jego kątów ostrych jest równa 90° , czyli
β + ψ = 90° .
α
β + = 90° ,
2
α = 180 ° − 2 β .
To kończy dowód.
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy zapisze układ warunków wystarczający do udowodnienia równości α = 180 ° − 2 β , np.:
• δ = 90 ° − β i 2δ + γ = 180° i α + γ + 90° + 90° = 360 °
lub
• γ = 2 β i α + γ = 180 ° ,
lub
• δ = 90 ° − β i η = 180° − δ i 90 ° + β + η + α = 360 ° ,
lub
α
• δ = 90 ° − β i ϕ = 90° − i ψ = 90 ° − ϕ i 180° − ( β +ψ ) = 180° − (ϕ + δ ) ,
2
lub
α
• β + ψ = 90° i ψ =
2
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Funkcja kwadratowa f jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych x wzorem 3 f ( x ) = ax 2 + bx + c . Największa wartość funkcji f jest równa 6 oraz f ( −6 ) = f ( 0 ) = . 2 Oblicz wartość współczynnika a. Odpowiedź: . Nr zadania 28. 29. Wypełnia Maks. liczba pkt 2 4 egzaminator Uzyskana liczba pkt MMA_1P Strona 19 z 26
Pokaż odpowiedź
I sposób
3 −6 + 0
Ponieważ f ( − 6 ) = f ( 0 ) = , stąd wartość p = = −3 .
2 2
Zatem f ( x ) = a ( x − p )2 + q dla p = − 3 i q = 6 .
3
Obliczamy współczynnik a. Wiemy, że f ( 0 ) = , zatem
2
2 3
a (0 + 3) + 6 = ,
2
9
9a = − ,
2
1
a=− .
2
1
Odpowiedź: a = − .
2
II sposób
3
Z treści zadania wynika, że f ( − 6 ) = f ( 0 ) = :
2
2 3 3
a ( −6 ) + b ( −6 ) + c = 2 36a − 6b + c = 2 b = 6 a
, , 3 .
a ⋅ 0 − b ⋅ 0 + c = 3 c = 3 c = 2
2 2
Obliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka:
b 6a
p=− =− = −3 .
2a 2a
3
Stąd wynika, że f ( −3) = 6 i f ( x ) = ax 2 + 6 ax + . Obliczamy współczynnik a
2
2 3
a ( −3 ) + 6 a ⋅ ( −3 ) + = 6 ,
2
9
−9a = ,
2
1
a=− .
2
Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do
pełnego rozwiązania 1 p.
Zdający
−6 + 0
• obliczy pierwszą współrzędną wierzchołka: np. p = = −3
2
albo
2 3
a ( −6 ) + b ( −6 ) + c = 2
• zapisze układ dwóch równań, np.:
a ⋅ 0 − b ⋅ 0 + c = 3 ,
2
albo
• zapisze wzór funkcji f w postaci kanonicznej f ( x ) = a ( x − p ) + q oraz zapisze q = 6 ,
2
albo
Δ
• zapisze równanie − =6
4a
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny 2 p.
Zdający
• zapisze wzór funkcji f w postaci: f ( x) = a( x + 3) + 6
2
albo
• zapisze układ trzech równań z niewiadomymi a, b, c, np.:
2 3 2 3
a ( −6 ) + b ( −6 ) + c = a ( −6 ) + b ( −6 ) + c =
2 2
lub a ⋅ 0 − b ⋅ 0 + c =
3 3
a ⋅ 0 − b ⋅ 0 + c =
2 2
b − 4ac
2 a ( −3 ) + b ( −3 ) + c = 6
2
− =6
4a
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający
• zapisze równanie z jedną niewiadomą a,
3 3
np.: a ( 0 + 3 )2 + 6 = lub a ( − 3 )2 + 6 a ⋅ ( − 3 ) + = 6 , lub 3 6 a 2 + 1 8 a = 0
2 2
albo
3
• obliczy wartości b i c: b = −3 , c =
2
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie pełne 4 p.
1
Zdający obliczy wartość współczynnika a: a = − .
2
Uwagi
1. Jeżeli zdający w przedstawionym rozwiązaniu traktuje liczby −6 i 0 jako miejsca zerowe
rozważanej przez siebie funkcji i przyjmuje, że druga współrzędna wierzchołka paraboli jest
1
równa 4 , to może otrzymać 4 punkty, o ile w rozwiązaniu nie występują błędy.
2
2. Jeżeli zdający w przedstawionym rozwiązaniu traktuje liczby −6 i 0 jako miejsca zerowe
rozważanej przez siebie funkcji i przyjmuje, że druga współrzędna wierzchołka paraboli jest
równa 6, to może otrzymać 1 punkt, o ile poprawnie wyznaczy pierwszą współrzędną
wierzchołka paraboli.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość 26 cm, a jedna z przyprostokątnych jest o 14 cm dłuższa od drugiej. Oblicz obwód tego trójkąta. Odpowiedź: Strona 20 z 26 MMA_1P
Pokaż odpowiedź
Oznaczmy długość krótszej przyprostokątnej przez x. Wtedy dłuższa przyprostokątna ma
długość x + 14 . Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy
x 2 + ( x + 14 ) = 262 ,
2
x 2 + x 2 + 28 x + 196 = 676 ,
x 2 + 14 x − 240 = 0
Stąd
x = 10 lub x = −24 .
Drugie z rozwiązań odrzucamy, zatem długości boków trójkąta są równe: 10, 24, i 26, więc
obwód jest równy 60 cm.
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:
• zapisze równanie kwadratowe z jedną niewiadomą, np.: x 2 + ( x + 14 ) = 262 , gdzie
2
x jest długością krótszej przyprostokątnej
albo
• zapisze układ równań, np.: a 2 + b 2 = 26 2 i b = a + 14 , gdzie a jest długością krótszej
oraz b długością dłuższej przyprostokątnej
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy obliczy obwód trójkąta: 60 cm.
Uwagi
1. Jeżeli zdający jedynie poda długości boków trójkąta: 10, 24, 26 i jego obwód: 60, to
otrzymuje 1 punkt.
2. Jeżeli zdający poda długości boków trójkąta: 10, 24, 26 i jego obwód: 60 oraz uzasadni,
że rozważany trójkąt jest prostokątny, to otrzymuje 2 punkty.
3. Jeśli zdający podaje w rozwiązaniu tylko liczby 10, 24, 26, to otrzymuje 0 punktów.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
W ciągu arytmetycznym ( an ) , określonym dla n ≥ 1 , dane są: wyraz a1 = 8 i suma trzech początkowych wyrazów tego ciągu S3 = 33 . Oblicz różnicę a16 − a13 . Odpowiedź: . Nr zadania 30. 31. Wypełnia Maks. liczba pkt 2 2 egzaminator Uzyskana liczba pkt MMA_1P Strona 21 z 26
Pokaż odpowiedź
Wyznaczamy różnicę r ciągu arytmetycznego.
W tym celu stosujemy wzory na sumę częściową S3 = 3a1 + 3r = 33 i a1 = 8 lub zapisujemy
równanie a1 + a1 + r + a1 + 2r = 33 .
Obliczamy r: r = 3 .
Następnie obliczamy różnicę a16 − a13 , jako 3r lub po wyznaczeniu a16 i a13 , czyli
a16 = 8 + 15 ⋅ 3 = 53 , a13 = 8 + 12 ⋅ 3 = 44 .
Zatem a16 − a13 = 3r = 9 .
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy obliczy różnicę ciągu r = 3 (lub 3r = 9 ) lub obliczy wartość a1 + r = 11 , lub obliczy
wartość a2 = 11 , lub zapisze, że a16 − a13 = 3r , lub obliczy a3 = 14
i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy obliczy różnicę a16 − a13 = 9 .
Uwagi
1. Jeśli zdający przyjmuje n = 33 lub a3 = 33 i nie przedstawia poprawnej metody
obliczenia różnicy a16 − a13 , to otrzymuje 0 punktów.
2. Jeżeli zdający poda wartość r = 3 i zapisze a16 − a13 = 3r = 9 , to otrzymuje 1 punkt.
3. Jeżeli zdający zamiast ciągu arytmetycznego rozważa ciąg geometryczny, to otrzymuje
0 punktów za całe rozwiązanie.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Dane są punkty A = ( −4, 0 ) i M = ( 2,9 ) oraz prosta k o równaniu y = −2 x + 10 . Wierzchołek B trójkąta ABC to punkt przecięcia prostej k z osią Ox układu współrzędnych, a wierzchołek C jest punktem przecięcia prostej k z prostą AM. Oblicz pole trójkąta ABC. Odpowiedź: Strona 22 z 26 MMA_1P
Pokaż odpowiedź
I sposób
y
10
9 M
8
C
7
6
5
4
3
2
1
A B x
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1
-2
Prosta AM przechodzi przez punkty A = ( −4,0) i M = ( 2,9) , więc jej równanie ma postać
9 3
y= ( x + 4 ) , czyli y = x + 6 .
2+4 2
Prosta k o równaniu y = − 2 x + 10 przecina oś Ox w punkcie B, więc B = ( 5,0 ) .
Zatem AB = 5 − ( −4 ) = 9 .
Współrzędne punktu C obliczymy, rozwiązując układ równań:
3
y= x + 6 i y = − 2 x + 10 .
2
Stąd
3
x + 6 = −2 x + 10 ,
2
7
x = 4,
2
8 3 8 12 54
x= ,a y = ⋅ +6= +6=
7 2 7 7 7
8 54
Zatem C = , . Wynika stąd, że wysokość h trójkąta ABC opuszczona z wierzchołka C
7 7
54
na podstawę AB jest równa h = yC = .
7
Zatem pole trójkąta ABC jest równe
1 1 54 243 5
PABC = ⋅ AB ⋅ h = ⋅ 9 ⋅ = = 34 .
2 2 7 7 7
II sposób
y
10
9 M
8
C
7
6
5
4
3
2
1
A B N x
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1
-2
Wyznaczamy równanie prostej l równoległej do prostej k i przechodzącej przez punkt
M = ( 2,9) :
y = −2 ( x − 2) + 9 ,
y = − 2 x + 13 .
Niech N będzie punktem przecięcia prostej l z osią Ox , więc N = ( 13 , 0 ) . Zatem
2
2 ( )
AN = 13 − − 4 = 21
2
.
Prosta k o równaniu y = − 2 x + 10 przecina oś Ox w punkcie B, więc B = ( 5,0 ) .
Zatem AB = 5 − ( −4 ) = 9 .
Z równoległości prostych k i l wynika, że trójkąt ABC jest podobny do trójkąta ANM, a skala
tego podobieństwa jest równa
AB 9 18 6
s= = 21 = = .
AN 21 7
2
Pole trójkąta ANM jest równe
1 1 21 21 ⋅ 9
PANM = AN ⋅ 9 = ⋅ ⋅ 9 = ,
2 2 2 4
więc pole trójkąta ABC jest równe
2
6 21 ⋅ 9 243 5
PABC = s 2 ⋅ PANM = ⋅ = = 34 .
7 4 7 7
Uwaga
Mając obliczone współrzędne wierzchołków trójkąta, możemy obliczyć jego pole, korzystając
1
ze wzoru PABC = ⋅ ( x B − x A )( yC − y A ) − ( y B − y A )( xC − x A ) :
2
1 54 8 1 54 243 5
PABC = ⋅ (5 + 4) − 0 − 0 ⋅ + 4 = ⋅ 9 ⋅ = = 34 .
2 7 7 2 7 7 7
III sposób
y
10
9 M
8
C
7
6
5
4
h
3
2
1
A D B x
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1
-2
Prosta k o równaniu y = − 2 x + 10 przecina oś Ox w punkcie B, więc B = ( 5,0 ) .
Zatem AB = 5 − ( −4 ) = 9 .
Niech h = CD . Ponieważ współczynnik kierunkowy prostej k jest równy −2, więc
1
DA = h.
2
1
Zatem AD = 9 − h.
2
9−0 3 CD
Współczynnik kierunkowy prostej AM jest równy aAM = = , ale a AM = , więc
2 − ( −4) 2 AD
CD 3
= ,
AD 2
h 3
= ,
9 − 12 h 2
3
2 h = 27 − h,
2
7
h = 27 ,
2
54
h= .
7
Pole trójkąta ABC jest równe
1 1 54 243 5
PABC = ⋅ AB ⋅ h = ⋅ 9 ⋅ = = 34 .
2 2 7 7 7
Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 p.
Zdający
3
• wyznaczy współczynnik kierunkowy prostej AM: a =
2
albo
• wyznaczy współrzędne punktu B: B = ( 5,0 )
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny 2 p.
Zdający
3
• zapisze równanie prostej AM: y = x+6
2
albo
• wyznaczy równanie prostej MN: y = − 2 x + 13 i zapisze, że trójkąty ABC i ANM są
podobne,
albo
CD 3
• zapisze zależność między długościami odcinków CD i DA: =
AD 2
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający
• obliczy długość podstawy AB trójkąta: AB = 9 oraz zapisze równanie, z którego
można wyznaczyć jedną ze współrzędnych punktu C
albo
8 54
• obliczy współrzędne wierzchołka C: C = , (lub drugą współrzędną tego
7 7
punktu) i nie zapisze współrzędnych punktu B,
albo
6
• obliczy skalę podobieństwa trójkąta ABC do trójkąta ANM: s = (lub skalę
7
7
podobieństwa trójkąta ANM do trójkąta ABC : s1 = ),
6
albo
1 21 PABC = s2 ⋅ PANM , gdzie s
• obliczy pole trójkąta ANM: PANM = ⋅ ⋅ 9 i zapisze, że
2 2
oznacza skalę podobieństwa trójkąta ABC do trójkąta ANM,
albo
• zapisze równanie z jedną niewiadomą, z którego można obliczyć wysokość trójkąta
h 3
ABC, np.: =
1
9− 2h 2
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie prawie pełne 4 p.
Zdający
• obliczy drugą współrzędną wierzchołka C oraz długość podstawy AB trójkąta ABC:
54
yC = , AB = 9
7
albo
8 54
• obliczy współrzędne wierzchołków B i C: B = ( 5,0 ) , C = , ,
7 7
albo
6
• obliczy skalę podobieństwa trójkąta ABC do trójkąta ANM: s = (lub skalę
7
7
podobieństwa trójkąta ANM do trójkąta ABC : s1 = ) oraz pole trójkąta ANM:
6
1 21 2
PANM = ⋅ ⋅ 9 i zapisze, że PABC = s ⋅ PANM ,
2 2
albo
54
• obliczy wysokość CD trójkąta ABC: h =
7
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie pełne 5 p.
243
Zdający obliczy pole trójkąta ABC: PABC = .
7
Uwaga
Akceptujemy, jeżeli zdający poda pole trójkąta w przybliżeniu, np. 34,714.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosujemy liczbę, która jest równocześnie mniejsza od 40 i podzielna przez 3. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego. Odpowiedź: . Nr zadania 32. 33. Wypełnia Maks. liczba pkt 5 2 egzaminator Uzyskana liczba pkt MMA_1P Strona 23 z 26
Pokaż odpowiedź
Jest to model klasyczny i liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa Ω = 90 .
Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych to zbiór wszystkich liczb naturalnych
dwucyfrowych.
Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że wylosujemy liczbę, która jest równocześnie
mniejsza od 40 i podzielna przez 3. Zdarzeniu A sprzyjają następujące zdarzenia elementarne
A = {12,15,18, 21, 24, 27,30,33,36,39} .
Stąd A = 10 .
Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe
10 1 A
P ( A) =
= . =
Ω 90 9
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na tym, że wylosujemy liczbę,
1
która jest równocześnie mniejsza od 40 i podzielna przez 3, jest równe .
9
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy
• zapisze, że Ω = 90
albo
• zapisze, że A = 10 i nie wskazuje przy tym niepoprawnych zdarzeń elementarnych
albo
• wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A:
12,15,18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39
i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A i wynik zapisze w postaci ułamka:
A 10 1
P ( A) = = = .
Ω 90 9
Uwaga
1. Jeżeli zdający błędnie zapisze wynik P( A) jako liczbę większą od 1 lub mniejszą od 0, to
otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
2. Jeżeli w przedstawionym rozwiązaniu zdający interpretuje zdarzenie elementarne jako
rezultat wylosowania więcej niż jednej liczby, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.
1
3. Jeżeli zdający w rozwiązaniu zapisze tylko , to otrzymuje 0 punktów.
9
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość ściany bocznej prostopadła do krawędzi 5 3 podstawy ostrosłupa jest równa , a pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest 4 15 3 równe . Oblicz objętość tego ostrosłupa. 4 Strona 24 z 26 MMA_1P Odpowiedź: . Nr zadania 34. Wypełnia Maks. liczba pkt 4 egzaminator Uzyskana liczba pkt MMA_1P Strona 25 z 26 Strona 26 z 26 MMA_1P
Pokaż odpowiedź
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
S
b
h
H
C
A O Da
a
B
Wykorzystujemy wzór na pole powierzchni bocznej ostrosłupa i zapisujemy równanie
15 3 1 5 3
= 3⋅ a ⋅ , skąd otrzymujemy a = 2 .
4 2 4
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta DOS otrzymujemy
2
H 2 = h 2 − DO .
1 3 3
Ponieważ DO = a ⋅ = , więc
3 2 3
2 2
5 3 3
2
H = − .
4 3
209
Stąd H = .
4 3
Zatem objętość ostrosłupa jest równa
1 1 4 3 209 209
V = Pp ⋅ H = ⋅ ⋅ = .
3 3 4 4 3 12
Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze
do pełnego rozwiązania zadania 1 p.
Zdający
15 3 1 5 3
• zapisze równanie = 3⋅ a ⋅
4 2 4
albo
1 3 2 3
• zapisze, że DO = a ⋅ lub AO = a ⋅
3 2 3 2
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny 2 p.
Zdający
• obliczy długość krawędzi a podstawy ostrosłupa: a = 2 i zapisze równanie
2 2
5 3 a 3
2
z niewiadomą H, np.: H = −
4 6
albo
• obliczy długość krawędzi a podstawy ostrosłupa: a = 2 i zapisze układ równań
a 3
2
H +
2
= b
2
3
wystarczający do obliczenia wysokości ostrosłupa, np.: 2
a 2 5 3 2
+ = b
2 4
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
209
Zdający obliczy wysokość ostrosłupa: H = i na tym zakończy lub dalej popełnia
4 3
błędy.
Rozwiązanie pełne 4 p.
209
Zdający obliczy objętość V ostrosłupa: V = .
12
Uwagi
1. Jeżeli zdający rozważa inną bryłę niż podana w treści zadania, to otrzymuje 0 punktów.
2. Akceptujemy poprawne przybliżenia liczb rzeczywistych.
3. Jeżeli zdający poda długość krawędzi podstawy a = 2 bez obliczeń i rozwiąże zadanie do
końca, to otrzymuje co najwyżej 3 punkty.
5 3 15 3
4. Jeżeli zdający błędnie przepisze liczbę lub liczbę i z tym błędem rozwiąże
4 4
zadanie konsekwentnie do końca, to otrzymuje co najwyżej 3 punkty.
5. Jeśli zdający nie obliczy a i przyjmuje, że ściany boczne są trójkątami równobocznymi,
to otrzymuje 0 punktów.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Status redakcyjny
Komplet podpunktów opracowany w HTML
- 1
Ekstrakcja pytań. 34 jednostek zadaniowych zapisano w drafcie redakcyjnym.
- 2
Odpowiedzi i rozwiązania. 34 z 34 jednostek zestawów źródłowych ma odpowiedź; 0 ma również pełny tok rozumowania, a dla 34 pozostaje on do opracowania.
- 3
Weryfikacja. Porównamy całość z oficjalnymi zasadami CKE przed indeksacją.
Dokumenty źródłowe
Oficjalne materiały CKE
PDF-y nie są osadzane ani wczytywane razem ze stroną. Każdy link prowadzi bezpośrednio do dokumentu źródłowego CKE.
Arkusz standardowyMMA-P1_1P-172
2 dokumenty