Liczba 2 log 3 6 − log 3 4 jest równa A. 4 B. 2 C. 2 log 3 2 D. log 3 8
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Maj 2018 · Formuła 2015
Matematyka 2018 — poziom podstawowy — Formuła 2015
W HTML jest już 34 z 34 jednostek arkusza: 0 ma rozwiązanie krok po kroku, a 34 ma odpowiedź w pierwszej redakcji i czeka na wyjaśnienie. Strona pozostaje poza indeksem do czasu ukończenia i recenzji arkusza.
- Poziom
- Podstawowy
- Kod arkusza
- MMA-P1_1P-182
- Dokumenty
- 2
Pierwsze opracowanie · komplet podpunktów
Zadania i odpowiedzi; rozwiązania uzupełniamy
Odpowiedzi porównujemy z zasadami CKE. Pełny tok rozumowania dodajemy osobno; arkusz pozostaje poza indeksem do czasu pełnej recenzji.
Wersja arkusza
MMA-P1_1P-182 · Formuła 2015
7 81 Liczba 3 ⋅ 3 jest równa 3 56 3 3 3 9 A. B. C. D. 2 2 3 21 2 4
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
a Dane są liczby a = 3, 6 ⋅10−12 oraz b = 2, 4 ⋅10−20 . Wtedy iloraz jest równy b A. 8, 64 ⋅10−32 B. 1,5 ⋅10−8 C. 1,5 ⋅108 D. 8, 64 ⋅1032
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Cena roweru po obniżce o 15% była równa 850 zł. Przed obniżką ten rower kosztował A. 865,00 zł B. 850,15 zł C. 1000,00 zł D. 977,50 zł
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
1− 2x 1 Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności > jest przedział 2 3 1 2 1 2 A. −∞, B. −∞, C. , + ∞ D. , + ∞ 6 3 6 3
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Funkcja kwadratowa jest określona wzorem f ( x ) = −2 ( x + 3)( x − 5 ) . Liczby x1 , x2 są różnymi miejscami zerowymi funkcji f. Zatem A. x1 + x2 = −8 B. x1 + x2 = −2 C. x1 + x2 = 2 D. x1 + x2 = 8 MMA_1P MMA_1P
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
x 2 + 2x Równanie 2 =0 x −4 A. ma trzy rozwiązania: x = − 2 , x = 0 , x = 2 B. ma dwa rozwiązania: x = 0 , x = − 2 C. ma dwa rozwiązania: x = − 2 , x = 2 D. ma jedno rozwiązanie: x = 0
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
1 Funkcja liniowa f określona jest wzorem f ( x) = x − 1 , dla wszystkich liczb 3 rzeczywistych x. Wskaż zdanie prawdziwe. 1 A. Funkcja f jest malejąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P = 0, . 3 B. Funkcja f jest malejąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P = (0, −1) . 1 C. Funkcja f jest rosnąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P = 0, . 3 D. Funkcja f jest rosnąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P = (0, −1) .
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Wykresem funkcji kwadratowej f ( x ) = x 2 − 6 x − 3 jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych A. ( −6, − 3) B. ( −6, 69) C. ( 3, − 12 ) D. ( 6, − 3)
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Liczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f ( x ) = ax + b , a punkt M = ( 3, − 2 ) należy do wykresu tej funkcji. Współczynnik a we wzorze tej funkcji jest równy 3 3 A. 1 B. C. − D. − 1 2 2
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
5 − 2n Dany jest ciąg (an ) określony wzorem an = dla n ≥ 1 . Ciąg ten jest 6 1 A. arytmetyczny i jego różnica jest równa r = − . 3 B. arytmetyczny i jego różnica jest równa r = −2 . 1 C. geometryczny i jego iloraz jest równy q = − . 3 5 D. geometryczny i jego iloraz jest równy q = . 6 MMA_1P MMA_1P
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Dla ciągu arytmetycznego (an ) , określonego dla n ≥ 1 , jest spełniony warunek a4 + a5 + a6 = 12. Wtedy A. a5 = 4 B. a5 = 3 C. a5 = 6 D. a5 = 5
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Dany jest ciąg geometryczny (a n ) , określony dla n ≥ 1 , w którym a1 = 2 , a2 = 2 2 , a3 = 4 2 . Wzór na n-ty wyraz tego ciągu ma postać 2n ( ) n A. an = 2 B. an = 2 ( 2) n n 2 C. an = D. a = n 2 2
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Przyprostokątna LM trójkąta prostokątnego KLM ma długość 3, a przeciwprostokątna KL ma długość 8 (zobacz rysunek). L 8 3 M K Wtedy miara α kąta ostrego LKM tego trójkąta spełnia warunek A. 27° < α ≤ 30° B. 24° < α ≤ 27° C. 21° < α ≤ 24° D. 18° < α ≤ 21°
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Dany jest trójkąt o bokach długości: 2 5 , 3 5 , 4 5 . Trójkątem podobnym do tego trójkąta jest trójkąt, którego boki mają długości A. 10, 15, 20 B. 20, 45, 80 C. 2, 3, 4 D. 5, 2 5, 3 5 MMA_1P MMA_1P
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Dany jest okrąg o środku S. Punkty K, L i M leżą na tym okręgu. Na łuku KL tego okręgu są oparte kąty KSL i KML (zobacz rysunek), których miary α i β spełniają warunek α + β = 111° . Wynika stąd, że M S K L A. α = 74° B. α = 76° C. α = 70° D. α = 72°
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Dany jest trapez prostokątny KLMN, którego podstawy mają długości KL = a , MN = b , a > b . Kąt KLM ma miarę 60° . Długość ramienia LM tego trapezu jest równa b N M K a L 1 a+b A. a − b B. 2(a − b ) C. a + b D. 2 2
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punkt K = ( 2, 2 ) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego KLM, w którym KM = LM . Odcinek MN jest wysokością trójkąta i N = ( 4, 3) . Zatem A. L = ( 5, 3) B. L = ( 6, 4 ) C. L = ( 3, 5) D. L = ( 4, 6 )
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Proste o równaniach y = ( m + 2 ) x + 3 oraz y = ( 2m − 1) x − 3 są równoległe, gdy A. m = 2 B. m=3 C. m = 0 D. m = 1 MMA_1P MMA_1P
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Podstawą ostrosłupa jest kwadrat KLMN o boku długości 4. Wysokością tego ostrosłupa jest krawędź NS, a jej długość też jest równa 4 (zobacz rysunek). Kąt α , jaki tworzą krawędzie KS i MS, spełnia warunek A. α = 45° B. 45° < α < 60° C. α > 60° D. α = 60°
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Podstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości 3 i 4. Kąt α , jaki przekątna tego graniastosłupa tworzy z jego podstawą, jest równy 45° (zobacz rysunek). Wysokość graniastosłupa jest równa 5 3 A. 5 B. 3 2 C. 5 2 D. 3
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Na rysunku przedstawiono bryłę zbudowaną z walca i półkuli. Wysokość walca jest równa r i jest taka sama jak promień półkuli oraz taka sama jak promień podstawy walca. r r r Objętość tej bryły jest równa 5 3 4 3 2 3 1 3 A. πr B. πr C. πr D. πr 3 3 3 3 MMA_1P MMA_1P
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
W zestawie 2, 2, 2, ..., 2, 4, 4, 4, ..., 4 jest 2m liczb (m ≥ 1) , w tym m liczb 2 i m liczb 4. m liczb m liczb Odchylenie standardowe tego zestawu liczb jest równe 1 A. 2 B. 1 C. D. 2 2
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych od 2018 i podzielnych przez 5? A. 402 B. 403 C. 203 D. 204
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
W pudełku jest 50 kuponów, wśród których jest 15 kuponów przegrywających, a pozostałe kupony są wygrywające. Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jeden kupon. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kupon wygrywający, jest równe 15 1 15 35 A. B. C. D. 35 50 50 50 MMA_1P MMA_1P
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Rozwiąż nierówność 2 x 2 − 3 x > 5 . Odpowiedź: MMA_1P
Pokaż odpowiedź
Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.
Pierwszy etap to wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego 2 x 2 − 3 x − 5 .
Drugi etap to zapisanie zbioru rozwiązań nierówności kwadratowej.
Pierwszy etap rozwiązania może zostać zrealizowany następująco:
• zapisujemy nierówność w postaci 2 x 2 − 3 x − 5 > 0 i obliczamy pierwiastki trójmianu
kwadratowego 2 x 2 − 3 x − 5
o obliczamy wyróżnik tego trójmianu:
Δ = 9 − 4 ⋅ 2 ⋅ (− 5) = 49 i stąd x1 = 3−47 = −1 oraz x2 = 3+47 = 52
albo
o stosujemy wzory Viète’a:
x1 ⋅ x2 = − 52 oraz x1 + x2 = 32 , stąd x1 = −1 oraz x2 = 52 .
Drugi etap rozwiązania: podajemy zbiór rozwiązań nierówności: ( −∞, − 1) ∪ 52 , + ∞ lub ( )
(
x ∈ ( −∞, − 1) ∪ 52 , + ∞ . )
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:
• zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór
rozwiązań nierówności, np.
o obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego x1 = −1 i x2 = 52
i na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,
o zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji f ( x ) = 2 x − 3x − 5 i na tym
2
zakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności
albo
• realizując pierwszy etap popełni błędy, ale otrzyma nierówność, w której po jednej
stronie występuje pełny trójmian kwadratowy posiadający dwa różne pierwiastki
i konsekwentnie do popełnionych błędów wyznaczy zbiór rozwiązań nierówności.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy:
( )
• poda zbiór rozwiązań nierówności: ( −∞, − 1) ∪ 52 , + ∞ lub x ∈ ( −∞, − 1) ∪ 52 , + ∞ , ( )
lub x < −1 ∨ x > 52
albo
• poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi
końcami przedziałów
x
Uwagi
1. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy obliczony
wyróżnik Δ jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
2. Jeżeli zdający podaje pierwiastki bez związku z trójmianem kwadratowym z zadania, to
oznacza, że nie podjął realizacji 1. etapu rozwiązania i w konsekwencji otrzymuje
0 punktów za całe rozwiązanie.
3. Akceptujemy zapisanie odpowiedzi w postaci: x < −1 i x > 52 , x < −1 oraz x > 52 , itp.
4. Jeżeli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu x1 = −1 , x2 = 52 i błędnie zapisze
( )
odpowiedź, np. x ∈ ( −∞, 1) ∪ 52 , + ∞ , popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu
jednego z pierwiastków, to otrzymuje 2 punkty.
5. Jeżeli zdający po poprawnym rozwiązaniu nierówności zapisuje w odpowiedzi, jako zbiór
( )
rozwiązań, zbiór, zawierający elementy nienależące do zbioru ( −∞, − 1) ∪ 52 , + ∞ lub
zbiór pusty, to otrzymuje 1 punkt. Zapisanie w miejscu przeznaczonym na odpowiedź
pierwiastków trójmianu kwadratowego nie jest traktowane jak opis zbioru rozwiązań.
Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności
( ) ( )
w postaci −∞, 52 ∪ ( −1, + ∞ ) , +∞, 52 ∪ ( −1, − ∞ ) , to przyznajemy 2 punkty.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Rozwiąż równanie ( x 3 + 125 )( x 2 − 64 ) = 0 . Odpowiedź: Nr zadania 26. 27. Wypełnia Maks. liczba pkt 2 2 egzaminator Uzyskana liczba pkt MMA_1P
Pokaż odpowiedź
Lewa strona równania jest iloczynem dwóch czynników x 3 + 125 oraz x 2 − 64 . Zatem iloczyn
ten jest równy 0, gdy co najmniej jeden z tych czynników jest równy 0, czyli x 3 + 125 = 0 lub
x 2 − 64 = 0 .
Rozwiązaniem równania x 3 + 125 = 0 jest x = 3 −125 = −5 .
Równanie x 2 − 64 = 0 doprowadzamy do postaci ( x − 8) ⋅ ( x + 8) = 0 . Przynajmniej jeden
z czynników x − 8 lub x + 8 jest równy 0, czyli x = 8 lub x = −8 .
Równanie ( x 3 + 125 )( x 2 − 64 ) = 0 ma trzy rozwiązania rzeczywiste:
x = −5 , x = 8 . x = −8 .
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:
• zapisze dwa równania x 3 + 125 = 0 i x 2 − 64 = 0
lub
• wyznaczy poprawnie (lub poda) rozwiązania jednego z równań: x 3 + 125 = 0 lub
x 2 − 64 = 0
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy wyznaczy wszystkie rozwiązania równania: x = −5 , x = 8 , x = −8 .
Uwagi
1. Jeżeli zdający poda wszystkie rozwiązania równania, bez rachunków lub uzasadnienia,
to otrzymuje 2 punkty.
2. Jeżeli zdający uzyska trafne rozwiązania równania, ale w wyniku błędnej metody,
to otrzymuje 0 punktów, o ile nie uzyska 1 punktu za zapisanie dwóch równań:
x 3 + 125 = 0 , x 2 − 64 = 0 .
3. Jeżeli zdający poprawnie wyznaczy pierwiastki wielomianu ( x 3 + 125 )( x 2 − 64 ) i poda
niewłaściwą odpowiedź, np. x ∈ − {−8, − 5, 8} , to otrzymuje 1 punkt.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b prawdziwa jest nierówność 1 1 2 + ≥ . 2a 2b a + b MMA_1P
Pokaż odpowiedź
I sposób
Nierówność możemy przekształcić równoważnie
a+b 2
≥ .
2ab a + b
Ponieważ liczby a i b są dodatnie, więc a + b > 0 i 2ab > 0 . Mnożąc obie strony nierówności
przez 2ab ( a + b ) , otrzymujemy
( a + b )2 ≥ 4ab ,
a 2 + 2ab + b2 ≥ 4ab ,
a 2 − 2ab + b2 ≥ 0 ,
( a − b )2 ≥ 0 .
Ta nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b, więc w szczególności
również dla liczb dodatnich. To kończy dowód.
II sposób
Nierówność możemy przekształcić równoważnie
a+b 2
− ≥ 0,
2ab a + b
( a + b )2 − 4ab ≥ 0 .
2ab ( a + b )
Ponieważ liczby a i b są dodatnie, więc a + b > 0 i 2ab > 0 . Mnożąc obie strony nierówności
przez 2ab ( a + b ) , otrzymujemy
( a + b )2 − 4ab ≥ 0 ,
a 2 + 2ab + b2 − 4ab ≥ 0 ,
a 2 − 2ab + b2 ≥ 0 ,
( a − b )2 ≥ 0 .
Ta nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b, więc w szczególności
również dla liczb dodatnich. To kończy dowód.
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
2 2
gdy zapisze nierówność w postaci ( a + b ) ≥ 4ab lub ( a + b ) − 4ab ≥ 0 , lub
( a + b )2 − 4ab ≥ 0 i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
2ab ( a + b )
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.
Uwagi
1. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości a i b, to
otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
2. Jeżeli zdający zakończy rozumowanie, zapisując nierówność a 2 + b2 ≥ 2ab i nie powoła
się na stosowne twierdzenie, to otrzymuje 1 punkt.
3. Jeżeli zdający przeprowadzi poprawne rozumowanie, które zakończy zapisaniem
2
nierówności ( a − b ) ≥ 0 , to otrzymuje 2 punkty.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Okręgi o środkach odpowiednio A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku A jest równy 2. A B Uzasadnij, że promień okręgu o środku B jest mniejszy od 2 −1 . Nr zadania 28. 29. Wypełnia Maks. liczba pkt 2 2 egzaminator Uzyskana liczba pkt MMA_1P
Pokaż odpowiedź
I sposób
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
2 A
D
2
2
E
B r
r
S C
Wtedy AS = 2 2 oraz AE = 2 . Zatem
SE = 2 2 − 2 .
Średnica okręgu o środku B i promieniu r jest krótsza od odcinka SE, więc
2r < 2 2 − 2 , czyli r < 2 − 1 .
Co kończy dowód.
II sposób
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
2 A
D
2
2
E
G B r
r
S F C
Wtedy AS = 2 2 , BS = r 2 oraz AE = 2 .
Ponieważ AS = BS + BE + AE , więc otrzymujemy
2 2 = r 2 + r + 2,
( )
r 2 +1 = 2 2 − 2 .
Stąd mnożąc obie strony tego równania przez 2 − 1 otrzymujemy
r ( 2 + 1)( ) ( )(
2 −1 = 2 2 −1 2 −1 , )
r = 2 ( 2 − 1) ,
2
r = 2 ( 2 − 2 2 + 1) ,
r = 2 (3 − 2 2 ) .
(
Sprawdźmy, czy 2 3 − 2 2 < 2 − 1 . )
Przekształcamy tę nierówność równoważnie.
6 − 4 2 < 2 −1
7<5 2
Ponieważ 2 ≈ 1, 41 > 1, 4 , więc 5 2 > 7 . Oznacza to, że r < 2 − 1 .
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:
• obliczy SE = 2 2 − 2
albo
• zapisze równość 2 2 = r 2 + r + 2 .
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy przeprowadzi pełny dowód.
Uwagi
1. Jeżeli zdający poprawnie obliczy r i zapisze wynik w postaci ułamka, w którym
2 2 −2
w mianowniku występuje liczba niewymierna, np. r = , i błędnie szacuje tę liczbę,
2 +1
np. stosując takie same przybliżenia z niedomiarem 2 w liczniku i w mianowniku,
to otrzymuje 1 punkt.
2. Jeżeli zdający błędnie przyjmie, że długość odcinka, którego jednym końcem jest punkt
styczności okręgów, a drugim wierzchołek kąta prostego, jest równa długości średnicy
mniejszego okręgu i nie wycofa się z tego założenia oraz nie obliczy długości wspomnianego
odcinka, to otrzymuje 0 punktów.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Do wykresu funkcji wykładniczej, określonej dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem f ( x ) = a x (gdzie a > 0 i a ≠ 1 ), należy punkt P = (2, 9) . Oblicz a i zapisz zbiór wartości funkcji g, określonej wzorem g ( x ) = f ( x ) − 2 . Odpowiedź: MMA_1P
Pokaż odpowiedź
Ponieważ punkt P leży na wykresie funkcji f, więc możemy zapisać:
9 = a 2 , gdzie a > 0 .
Stąd a = 3 .
Zbiorem wartości funkcji wykładniczej f jest przedział ( 0, + ∞ ) . Wykres funkcji g powstaje
przez przesunięcie wykresu funkcji f o 2 jednostki w dół. Zatem zbiorem wartości funkcji g
jest przedział ( −2, + ∞ ) .
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:
• obliczy a: a = 3
albo
• zapisze zbiór wartości funkcji g: ( −2, + ∞ )
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy obliczy a: a = 3 i zapisze zbiór wartości funkcji g: ( −2, + ∞ ) .
Uwaga
Opis zbioru wartości uznaje się za poprawny, jeśli zbiór ten jest przedstawiony graficznie
w sposób jednoznacznie wskazujący, że liczba −2 nie należy do tego zbioru, lub zbiór ten
jest opisany słownie, lub jakąkolwiek poprawną nierównością.
Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór wartości funkcji
w postaci ( +∞, − 2 ) , to przyznajemy 2 punkty, o ile obliczy a = 3 .
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego (a n ) , określonego dla n ≥ 1 , jest równy 30, a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa 162. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu. Odpowiedź: Nr zadania 30. 31. Wypełnia Maks. liczba pkt 2 2 egzaminator Uzyskana liczba pkt MMA_1P
Pokaż odpowiedź
I sposób
Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego i zapisujemy wzór na a12 :
a12 = a1 + (12 − 1) ⋅ r .
Korzystamy ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i zapisujemy
wzór na S12 :
2a + (12 − 1) ⋅ r
S12 = 1 ⋅12 .
2
Otrzymujemy układ równań
30 = a1 + 11r i 162 = 12a1 + 66r .
Stąd otrzymujemy
a1 = −3 .
II sposób
Korzystamy ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i zapisujemy
wzór na S12 :
a +a
S12 = 1 12 ⋅12 .
2
Otrzymujemy równanie
a + 30
162 = 1 ⋅12 .
2
Stąd otrzymujemy
a1 = −3 .
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:
• zapisze dwa równania z niewiadomymi a1 i r wynikające z zastosowania poprawnych
wzorów na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego i sumę n początkowych wyrazów ciągu
arytmetycznego:
2a + 11 ⋅ r
np.: 30 = a1 + 11r i 162 = 1 ⋅12
2
albo
• zapisze równanie z jedną niewiadomą a1 wynikające z zastosowania poprawnego
wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego bez wykorzystywania
różnicy ciągu:
a + 30
np.: 162 = 1 ⋅12
2
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy zapisze równanie z jedną niewiadomą a1 i obliczy pierwszy wyraz ciągu: a1 = −3 .
Uwagi
1. Jeżeli zdający, stosując metodę prób i błędów, zapisze poprawny ciąg poprzez wypisanie
12 początkowych kolejnych wyrazów i ustali, że a1 = −3 , to otrzymuje 2 punkty.
2. Jeżeli zdający, stosując metodę prób i błędów, wypisze co najmniej trzy kolejne wyrazy
i ustali, że a1 = −3 , ale nie zapisze wszystkich 12 początkowych wyrazów ciągu, to
otrzymuje 1 punkt.
3. Jeżeli zdający zapisze tylko a1 = −3 lub a1 = −3 i r = 3 , to otrzymuje 0 punktów.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
W układzie współrzędnych punkty A = (4, 3) i B = (10,5) są wierzchołkami trójkąta ABC. Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y = 2 x + 3 . Oblicz współrzędne punktu C, dla którego kąt ABC jest prosty. MMA_1P Odpowiedź: Nr zadania 32. Wypełnia Maks. liczba pkt 5 egzaminator Uzyskana liczba pkt MMA_1P
Pokaż odpowiedź
I sposób – proste prostopadłe
Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej AB
aAB = 13 .
Ponieważ kąt prosty w trójkącie ABC jest przy wierzchołku B, więc wyznaczamy równanie
prostej prostopadłej do prostej AB i przechodzącej przez punkt B
y = −3 x + 35 .
Obliczamy współrzędne punktu C, który jest punktem wspólnym prostych określonych
równaniami y = 2 x + 3 i y = −3 x + 35 :
y = 2x + 3
y = −3x + 35
Stąd po rozwiązaniu układu równań otrzymujemy parę x = 32 79
5 i y= 5 .
Zatem punkt C ma współrzędne. 32 79
5 , 5 ( )
II sposób – twierdzenie Pitagorasa
Ponieważ wierzchołek C trójkąta prostokątnego ABC leży na prostej o równaniu y = 2 x + 3 ,
więc jego współrzędne zapisujemy następująco
C = ( x, 2 x + 3 ) .
Punkt B jest wierzchołkiem kąta prostego, zatem z twierdzenia Pitagorasa wynika, że
2 2 2
AC = AB + BC .
Po podstawieniu współrzędnych punktów A, B i C otrzymujemy równanie
( x − 4 ) + ( 2 x + 3 − 3) = (10 − 4 ) + ( 5 − 3) + ( x − 10 ) + ( 2 x + 3 − 5 ) ,
2 2 2 2 2 2
czyli równanie
x 2 − 8 x + 16 + 4 x 2 = 36 + 4 + x 2 − 20 x + 100 + 4 x 2 − 8 x + 4 .
Zatem
20 x = 128 i dalej x = 32
5 .
Jeśli x = 32
5 , to
y = 79 32 79
5 . Zatem C = 5 , 5 . ( )
III sposób – iloczyn skalarny
Wektory niezerowe są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny jest
równy 0. W tym przypadku oznacza to, że iloczyn skalarny wektorów AB i BC jest równy
Współrzędne wektora AB są równe AB = [ 6, 2] .
Punkt C ma współrzędne równe C = ( x, 2 x + 3) , więc współrzędne wektora BC są równe
BC = [ x − 10, 2 x + 3 − 5] .
Z warunku AB BC = 0 otrzymujemy równanie
6 ( x − 10 ) +2 ( 2 x − 2 ) = 0 ,
3 x − 30 + 2 x − 2 = 0 ,
x = 32
5 .
Zatem C = 32 (
32 32 79 .
5 ,2⋅ 5 + 3 = 5 , 5 ) ( )
Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze
do pełnego rozwiązania 1 p.
Zdający
• uzależni obie współrzędne punktu C od jednej zmiennej,
np.: C = ( x, 2 x + 3) lub C = ( y2−3 , y )
albo
2 2 2
• zapisze równość AC = AB + BC i obliczy długość AB: AB = 2 10 ,
albo
2 2 2
• zapisze równość AC = AB + BC i zapisze jedną z długości AC lub BC
w zależności od współrzędnych punktu C,
albo
• obliczy współrzędne wektora AB : AB = [ 6, 2] i zapisze, że AB BC = 0 ,
albo
• wyznaczy współrzędne wektora BC w zależności od współrzędnych punktu C:
BC = [ x − 10, y − 5] i zapisze, że AB BC = 0 ,
albo
• wyznaczy współrzędne wektora BC w zależności od jednej współrzędnej punktu C,
np.: BC = [ x − 10, 2 x + 3 − 5] ,
albo
• obliczy współczynnik kierunkowy równania prostej AB:
aAB = 13
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający
• wyznaczy współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej AB
i przechodzącej przez punkt B: aBC = −3
albo
• zapisze równanie z dwiema niewiadomymi, np.:
( ) ( ) ( ),
2 2 2
( x − 4 ) + ( y − 3) (10 − 4 ) + ( 5 − 3) ( x − 10 ) + ( y − 5)
2 2 2 2 2 2
= +
albo
• obliczy współrzędne wektora AB : AB = [ 6, 2] , wyznaczy współrzędne wektora BC
w zależności od jednej współrzędnej punktu C, np.: BC = [ x − 10, 2 x + 3 − 5] i zapisze,
że AB BC = 0 ,
albo
• zapisze równość wynikającą z warunku AB BC = 0 , w której niewiadomymi są dwie
współrzędne punktu C, np.: 6 ( x − 10 ) +2 ( y − 5 ) = 0
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, która jest współrzędną punktu C, np.:
2 x + 3 = −3 ( x − 10 ) + 5
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie prawie pełne 4 p.
Zdający
• obliczy x = 32 79
5 albo y = 5 i na tym zakończy lub dalej popełni błędy
albo
• obliczy obie współrzędne punktu C z błędami rachunkowymi.
Rozwiązanie pełne 5 p.
Zdający obliczy i zapisze współrzędne punktu C = 32 (
5 , 5
79 .
)
Uwagi
1. Jeżeli zdający realizuje strategię rozwiązania i popełnia jedynie błędy rachunkowe,
to może otrzymać 4 punkty, o ile popełnione błędy nie ułatwiają rozważanego
zagadnienia na żadnym etapie rozwiązania.
2. Jeżeli zdający realizuje strategię rozwiązania, ale popełnia błąd, który jednak nie ułatwia
rozważanego zagadnienia na żadnym etapie rozwiązania i:
a) jedynym błędem merytorycznym w rozwiązaniu jest błąd przy wyznaczaniu
x −x y − yB
współczynnika aAB , np. A B zamiast A , to zdający otrzymuje co najwyżej
y A − yB x A − xB
3 punkty;
b) jedynym błędem merytorycznym w rozwiązaniu jest błąd przy wyznaczaniu równania
prostej BC, to zdający otrzymuje co najwyżej 3 punkty;
c) jedynym błędem merytorycznym w rozwiązaniu jest błąd, polegający na tym,
2 2 2
że zdający zapisze błędną równość: BC = AB + AC , to zdający otrzymuje co
najwyżej 3 punkty;
d) w I sposobie rozwiązania przyjmie, że kąt prosty jest przy wierzchołku A, to otrzymuje
co najwyżej 3 punkty;
e) jedynym błędem merytorycznym w rozwiązaniu jest błąd przy podstawieniu do wzoru
na odległość punktów, nawet trzykrotnie powtórzony, to zdający otrzymuje co najwyżej
3 punkty;
f) jedynym błędem merytorycznym w rozwiązaniu jest zamiana miejscami współrzędnych
punktu C w początkowym etapie rozwiązania, np.: C = ( 2 x + 3, x ) , to zdający otrzymuje
co najwyżej 3 punkty;
g) jedynym błędem merytorycznym w rozwiązaniu jest przyjęcie bez obliczeń błędnego
5
współczynnika b w równaniu prostej BC (np. ), to zdający otrzymuje co najwyżej
3
3 punkty.
3. Jeżeli zdający realizuje pełną strategię rozwiązania, ale popełnia błąd merytoryczny,
który jednak nie ułatwia rozważanego zagadnienia na żadnym etapie rozwiązania i tym
jedynym błędem merytorycznym jest błąd, polegający na zastosowaniu nieistniejącego
wzoru „ a + b = a + b ”, to zdający otrzymuje co najwyżej 3 punkty.
4. Jeżeli zdający popełnia błąd, polegający na tym, że zapisuje błędną równość:
2 2 2
AB = BC + AC , to otrzymuje co najwyżej 2 punkty.
5. Jeżeli zdający wyznaczy równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu y = 2 x + 3 ,
to za rozwiązanie zadania otrzymuje 0 punktów, o ile w rozwiązaniu nie występują inne
zapisy wymienione w schemacie oceniania, za które należy przyznać zdającemu punkty,
np.: C = ( x, 2 x + 3) .
6. Jeżeli oprócz poprawnego rozwiązania (kąt prosty przy wierzchołku B) zdający podaje
inne rozwiązanie (np. kąt prosty przy wierzchołku A), którego nie odrzuca, to otrzymuje
co najwyżej 4 punkty.
7. Jeżeli zdający zapisze równanie prostej AB w postaci ogólnej (np. dokona właściwego
podstawienia współrzędnych punktów do równania prostej przechodzącej przez 2 punkty)
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy, to otrzymuje 1 punkt.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Dane są dwa zbiory: A = {100, 200, 300, 400, 500, 600, 700} i B = {10,11, 12, 13,14,15, 16} . Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna przez 3. Obliczone prawdopodobieństwo zapisz w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego. MMA_1P Odpowiedź: Nr zadania 33. Wypełnia Maks. liczba pkt 4 egzaminator Uzyskana liczba pkt MMA_1P
Pokaż odpowiedź
I sposób
Zdarzeniem elementarnym jest uporządkowana para ( x, y ) , gdzie x ∈ A i y ∈ B . Zatem zbiór
wszystkich zdarzeń elementarnych ma postać:
Ω = {(100,10 ) , (100,11) , (100,12 ) , (100,13) , (100,14 ) , (100,15 ) , (100,16 ) ,
( 200,10 ) , ( 200,11) , ( 200,12 ) , ( 200,13) , ( 200,14 ) , ( 200,15 ) , ( 200,16 ) ,
( 300,10 ) , ( 300,11) , ( 300,12 ) , ( 300,13) , ( 300,14 ) , ( 300,15) , ( 300,16 ) ,
( 400,10 ) , ( 400,11) , ( 400,12 ) , ( 400,13) , ( 400,14 ) , ( 400,15 ) , ( 400,16 ) ,
( 500,10 ) , ( 500,11) , ( 500,12 ) , ( 500,13) , ( 500,14 ) , ( 500,15) , ( 500,16 ) ,
( 600,10 ) , ( 600,11) , ( 600,12 ) , ( 600,13) , ( 600,14 ) , ( 600,15) , ( 600,16 ) ,
( 700,10 ) , ( 700,11) , ( 700,12 ) , ( 700,13) , ( 700,14 ) , ( 700,15) , ( 700,16 )}.
Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa Ω = 7 ⋅ 7 = 49 .
Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna
przez 3. Z cechy podzielności liczby całkowitej przez 3 wynika, że suma cyfr otrzymanej liczby
x + y musi być podzielna przez 3. Zbiór A ma postać:
A = {(100,11) , (100,14 ) , ( 200,10 ) , ( 200,13) , ( 200,16 ) ,
( 300,12 ) , ( 300,15) , ( 400,11) , ( 400,14 ) , ( 500,10 ) ,
( 500,13) , ( 500,16 ) , ( 600,12 ) , ( 600,15 ) , ( 700,11) , ( 700,14 )}.
Zdarzeniu A sprzyja więc 16 zdarzeń elementarnych, czyli A = 16 .
Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe
A 16
P ( A) = = .
Ω 49
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych
16
liczb będzie liczbą podzielną przez 3, jest równe .
49
Uwaga
Zdający może zapisać zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych jako zbiór sum możliwych
do utworzenia w wyniku losowania, tzn. może zastosować zapis:
Ω = {110, 111, 112, 113, 114, 115, 116,
210, 211, 212, 213, 214, 215, 216,
310, 311, 312, 313, 314, 315, 316,
410, 411, 412, 413, 414, 415, 416,
510, 511, 512, 513, 514, 515, 516,
610, 611, 612, 613, 614, 615, 616,
710, 711, 712, 713, 714, 715, 716} .
Wtedy zbiór
A = {111, 114, 210, 213, 216, 312, 315, 411, 414,510, 513, 516, 612, 615, 711, 714} .
II sposób
Rysujemy tabelę, która przedstawia model rozważanego doświadczenia.
100 200 300 400 500 600 700
10
11
12
13
14
15
16
Zdarzeniom elementarnym odpowiadają komórki tej tabeli. Jest ich 49, zatem Ω = 49 .
Symbolem zaznaczamy te zdarzenia elementarne, które sprzyjają zdarzeniu A,
polegającemu na tym, że suma wylosowanych liczb jest podzielna przez 3.
Zdarzeniu A sprzyja więc 16 zdarzeń elementarnych, czyli A = 16 .
Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe
A 16
P ( A) = = .
Ω 49
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych
16
liczb będzie liczbą podzielną przez 3, jest równe .
49
III sposób
Rysujemy drzewko rozważanego doświadczenia.
Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe
3 2 2 3 2 2 16
P ( A) = ⋅ + ⋅ + ⋅ = .
7 7 7 7 7 7 49
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych
16
liczb będzie liczbą podzielną przez 3, jest równe .
49
Uwaga
Zdający może narysować drzewo probabilistyczne, w którym na każdym z etapów lub
na jednym z etapów rozważa każdą możliwą do wylosowania liczbę oddzielnie. Przykład
takiego drzewa znajduje się poniżej.
Prawdopodobieństwo zdarzenia A może być obliczone w następujący sposób:
1 2 1 3 16
P ( A) = 5 ⋅ ⋅ + 2 ⋅ ⋅ = .
7 7 7 7 49
Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 p.
Zdający
• zapisze, że Ω = 7 ⋅ 7
albo
• zapisze, że suma cyfr utworzonej sumy wylosowanych liczb musi być podzielna
przez 3,
albo
• poda sposób obliczania A , np. przyjmie porządek przy wyznaczaniu sum podzielnych
przez 3 oraz wyznaczy przynajmniej 4 zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A
i nie zaliczy do zbioru A niewłaściwego zdarzenia elementarnego,
albo
• przedstawi graficznie model doświadczenia z 49 zdarzeniami elementarnymi, np.
narysuje tabelę z 7 kolumnami i 7 wierszami,
albo
• narysuje drzewko doświadczenia:
1. składające się ze wszystkich 49 gałęzi
albo
2. składające się z mniej niż 49 gałęzi, ale wskaże na nim gałęzie odpowiadające
wylosowaniu w pierwszym etapie dwóch spośród 7 liczb: 100, 200, 300, 400, 500,
600, 700 oraz wylosowaniu w drugim etapie odpowiednich liczb dających z liczbą
wylosowaną w pierwszym etapie sumę podzielną przez 3
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający
• zapisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A
albo
• zapisze, że Ω = 7 ⋅ 7 i zapisze, że suma cyfr utworzonej sumy wylosowanych liczb
musi być podzielna przez 3,
albo
• zapisze, że Ω = 7 ⋅ 7 i poda sposób obliczania A , np. przyjmie porządek przy
wyznaczaniu sum podzielnych przez 3, wyznaczy przynajmniej 4 zdarzenia elementarne
sprzyjające zdarzeniu A, ale nie zaliczy do zbioru A niewłaściwego zdarzenia
elementarnego,
albo
• przedstawi graficznie model doświadczenia z 49 zdarzeniami elementarnymi, np.
narysuje tabelę z 7 kolumnami i 7 wierszami oraz zapisze, że Ω = 7 ⋅ 7 ,
albo
• narysuje drzewko doświadczenia:
1. składające się ze wszystkich 49 gałęzi i zapisze prawdopodobieństwa na co
najmniej jednym odcinku każdego z etapów
albo
2. składające się z mniej niż 49 gałęzi, ale wskaże na nim gałęzie odpowiadające
wylosowaniu w pierwszym etapie dwóch spośród 7 liczb: 100, 200, 300, 400, 500,
600, 700 oraz wylosowaniu w drugim etapie odpowiednich liczb dających z liczbą
wylosowaną w pierwszym etapie sumę podzielną przez 3 i zapisze
prawdopodobieństwa na co najmniej jednym odcinku każdego z etapów;
albo
• narysuje drzewko doświadczenia, w którym wskaże wszystkie gałęzie odpowiadające
zdarzeniu A
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający
• zapisze, że Ω = 7 ⋅ 7 oraz zapisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające
zdarzeniu A, ale nie zaliczy do zbioru A niewłaściwego zdarzenia elementarnego
albo
• zapisze, że Ω = 7 ⋅ 7 oraz zapisze, że A = 16 i przedstawi sposób obliczenia tej
liczby, np. zapisze, że suma cyfr utworzonej sumy wylosowanych liczb musi być
podzielna przez 3 i wskaże w dowolny sposób przykładowe zdarzenie elementarne lub
przyjmie porządek przy wyznaczaniu sum podzielnych przez 3 i wyznaczy
przynajmniej 4 zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A, ale nie zaliczy do zbioru
A niewłaściwego zdarzenia elementarnego,
albo
• przedstawi graficznie model doświadczenia z 49 zdarzeniami elementarnymi (np.
narysuje tabelę z 7 kolumnami i 7 wierszami), zapisze Ω = 7 ⋅ 7 , oraz zaznaczy 16
zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A i żadnych innych zdarzeń
elementarnych nie zaliczy do A,
albo
• narysuje drzewko doświadczenia, w którym wystąpią wszystkie gałęzie odpowiadające
zdarzeniu A wraz z prawdopodobieństwami oraz poprawnie zastosuje regułę drzewka
do obliczenia prawdopodobieństwa P ( A)
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie pełne 4 p.
A 16
Zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A: P ( A ) = = .
Ω 49
Uwagi
1. Jeżeli zdający uzyska w wyniku końcowym liczbę spoza przedziału 0,1 , to może
otrzymać co najwyżej 2 punkty.
2. Jeżeli zdający w swoim rozwiązaniu wypisze 17 zdarzeń elementarnych sprzyjających
zdarzeniu A, w tym 16 poprawnych i jedno niepoprawne oraz otrzyma
prawdopodobieństwo równe 17
49
, to otrzymuje 2 punkty.
3. Jeżeli zdający w swoim rozwiązaniu wypisze 15 poprawnych zdarzeń elementarnych
sprzyjających zdarzeniu A i otrzyma prawdopodobieństwo równe 15
49
, to otrzymuje
2 punkty.
4. Jeżeli zdający w swoim rozwiązaniu przyjmie błędną liczbę wszystkich zdarzeń
elementarnych i nie jest to efekt błędu rachunkowego, np. przyjmie Ω = 7 ⋅ 6 , to może
otrzymać co najwyżej 2 punkty.
5. Jeżeli zdający w swoim rozwiązaniu zapisze jedynie Ω = 7 ⋅ 7 , A = 16 i nie przedstawi
czytelnego uzasadnienia liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A,
A 16
i obliczy P ( A ) = = , to otrzymuje 1 punkt.
Ω 49
6. Jeżeli zdający w swoim rozwiązaniu zapisze Ω = 7 ⋅ 7 , A = 16 oraz zapisze, że suma
cyfr utworzonej sumy wylosowanych liczb musi być podzielna przez 3, ale
w przedstawionym rozwiązaniu nie można zidentyfikować żadnego zdarzenia
elementarnego, które zdający powinien rozważać, to otrzymuje 2 punkty, nawet jeśli
w rozwiązaniu występuje poprawny wynik końcowy.
7. Jeżeli zdający w swoim rozwiązaniu wypisze 16 zdarzeń elementarnych sprzyjających
zdarzeniu A, w tym 15 poprawnych i jedno niewłaściwe i konsekwentnie rozwiąże
zadanie do końca, to otrzymuje 2 punkty.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe 45 3 . Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa. MMA_1P Odpowiedź: Nr zadania 34. Wypełnia Maks. liczba pkt 4 egzaminator Uzyskana liczba pkt MMA_1P MMA_1P
Pokaż odpowiedź
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
Rozważany graniastosłup ma 5 ścian, a każda z nich ma takie samo pole. Obliczamy pole
podstawy, a zarazem pole jednej ściany bocznej:
45 3 : 5 = 9 3.
Podstawą graniastosłupa jest trójkąt równoboczny, więc jego pole jest równe
a2 3
PABC = .
4
Obliczamy długość krawędzi podstawy:
a2 3
= 9 3,
4
a=6.
Ściana boczna jest prostokątem o bokach długości a i h, więc pole każdej ściany bocznej jest
równe
PABED = ah .
Z warunków zadania wynika, że:
ah = 9 3 .
Znamy długość krawędzi podstawy a, zatem:
6h = 9 3 .
Obliczamy wysokość graniastosłupa
h = 32 3 .
Objętość graniastosłupa jest równa
3 3 81
V = PABC ⋅ h = 9 3 ⋅ = .
2 2
Schemat punktowania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania 1 p.
Zdający
• zapisze zależność między wielkościami a i h wynikającą z równości pól podstawy
a2 3
i ściany bocznej graniastosłupa: = ah
4
albo
• obliczy pole jednej ściany graniastosłupa: 45 3 : 5 = 9 3 ,
albo
a2 3
• zapisze równanie: 2 ⋅ + 3ah = 45 3
4
albo
1 1
• zapisze równania: 2 ⋅ ahp + 3ah = 45 3 i ahp = ah
2 2
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający
• zapisze równanie z jedną niewiadomą, pozwalające na wyznaczenie długości krawędzi
podstawy lub wysokości graniastosłupa i na tym zakończy lub dalej popełni błędy
albo
• uzależni objętość bryły od jednej zmiennej
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający
• obliczy długość krawędzi podstawy i wysokość graniastosłupa: a = 6 , h = 32 3
albo
• obliczy długość krawędzi podstawy graniastosłupa: a = 6 i uzależni objętość bryły
od jednej zmiennej a lub obliczy wysokość graniastosłupa h = 32 3 i uzależni
objętość bryły od jednej zmiennej h
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie pełne 4 p.
81
Zdający obliczy objętość graniastosłupa: V = .
2
Uwagi
1. Jeżeli zdający realizuje strategię rozwiązania, a jedynymi błędami w przedstawionym
rozwiązaniu są błędy rachunkowe, to otrzymuje 3 punkty.
2. Jeżeli zdający popełnia błąd polegający na niepoprawnym stosowaniu wzoru na pole
trójkąta równobocznego albo wzoru na pole prostokąta, to otrzymuje 2 punkty, o ile nie
popełnia innych błędów i rozwiąże zadanie do końca.
3. Jeżeli zdający popełnia błąd, polegający na niewłaściwym określeniu zależności między
polem podstawy a polem ściany bocznej i w efekcie rozważa jeden z trzech przypadków:
2 Pp = Pśb , Pp = 3Pśb , 2 Pp = 3Pśb , albo błąd, polegający na przyjęciu, że graniastosłup ma
trzy ściany boczne i jedną podstawę, to otrzymuje 2 punkty, o ile nie popełnia innych
błędów i rozwiąże zadanie do końca.
4. Jeżeli zdający popełnia jeden błąd, opisany w uwagach 2. lub 3., a ponadto popełnia
błędy rachunkowe, ale poprawnie obliczy pole jednej ściany albo realizuje strategię
rozwiązania, to otrzymuje co najwyżej 1 punkt.
5. Jeżeli zdający popełnia inne niż wymienione w uwagach 2. lub 3. błędy, dotyczące pól
ścian bryły, ale poprawnie obliczy pole jednej ściany albo realizuje strategię rozwiązania,
to otrzymuje co najwyżej 1 punkt.
6. Jeżeli zdający rozważa graniastosłup trójkątny, który nie jest prawidłowy, to może
otrzymać co najwyżej 1 punkt.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Status redakcyjny
Komplet podpunktów opracowany w HTML
- 1
Ekstrakcja pytań. 34 jednostek zadaniowych zapisano w drafcie redakcyjnym.
- 2
Odpowiedzi i rozwiązania. 34 z 34 jednostek zestawów źródłowych ma odpowiedź; 0 ma również pełny tok rozumowania, a dla 34 pozostaje on do opracowania.
- 3
Weryfikacja. Porównamy całość z oficjalnymi zasadami CKE przed indeksacją.
Dokumenty źródłowe
Oficjalne materiały CKE
PDF-y nie są osadzane ani wczytywane razem ze stroną. Każdy link prowadzi bezpośrednio do dokumentu źródłowego CKE.
Arkusz standardowyMMA-P1_1P-182
2 dokumenty