Liczba log 2 2 jest równa A. 2 B. 4 C. 2 D. 2
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Maj 2019 · Formuła 2015
Matematyka 2019 — poziom podstawowy — Formuła 2015
W HTML jest już 34 z 34 jednostek arkusza: 0 ma rozwiązanie krok po kroku, a 34 ma odpowiedź w pierwszej redakcji i czeka na wyjaśnienie. Strona pozostaje poza indeksem do czasu ukończenia i recenzji arkusza.
- Poziom
- Podstawowy
- Kod arkusza
- MMA-P1_1P-192
- Dokumenty
- 2
Pierwsze opracowanie · komplet podpunktów
Zadania i odpowiedzi; rozwiązania uzupełniamy
Odpowiedzi porównujemy z zasadami CKE. Pełny tok rozumowania dodajemy osobno; arkusz pozostaje poza indeksem do czasu pełnej recenzji.
Wersja arkusza
MMA-P1_1P-192 · Formuła 2015
Liczba naturalna n = 214 ⋅ 515 w zapisie dziesiętnym ma A. 14 cyfr B. 15 cyfr C. 16 cyfr D. 30 cyfr
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
W pewnym banku prowizja od udzielanych kredytów hipotecznych przez cały styczeń była równa 4%. Na początku lutego ten bank obniżył wysokość prowizji od wszystkich kredytów o 1 punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja od kredytów hipotecznych w tym banku zmniejszyła się o A. 1% B. 25% C. 33% D. 75%
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
1 1 1 Równość + + = 1 jest prawdziwa dla 4 5 a 11 8 9 20 A. a = B. a= C. a = D. a = 20 9 8 11
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
ax + y = 4 Para liczb x = 2 i y = 2 jest rozwiązaniem układu równań dla −2 x + 3 y = 2a A. a = −1 B. a =1 C. a = −2 D. a = 2
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Równanie ( x − 1)( x + 2 ) = 0 x −3 A. ma trzy różne rozwiązania: x = 1, x = 3, x = −2. B. ma trzy różne rozwiązania: x = −1, x = −3, x = 2. C. ma dwa różne rozwiązania: x = 1, x = −2. D. ma dwa różne rozwiązania: x = −1, x = 2. MMA_1P MMA_1P
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Miejscem zerowym funkcji liniowej f określonej wzorem f ( x ) = 3 ( x + 1) − 6 3 jest liczba 1 A. 3 − 6 3 B. 1 − 6 3 C. 2 3 − 1 D. 2 3 − 3 Informacja do zadań 8.–10. Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f . Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (2, − 4) . Liczby 0 i 4 to miejsca zerowe funkcji f . y 4 3 1 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 –1 –2 –3 –4 . W
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zbiorem wartości funkcji f jest przedział A. (− ∞, 0 B. 0, 4 C. − 4, + ∞) D. 4, + ∞ )
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Największa wartość funkcji f w przedziale 1, 4 jest równa A. −3 B. −4 C. 4 D. 0
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Osią symetrii wykresu funkcji f jest prosta o równaniu A. y = −4 B. x = −4 C. y=2 D. x=2 MMA_1P MMA_1P
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
W ciągu arytmetycznym ( an ) , określonym dla n ≥ 1 , dane są dwa wyrazy: a1 = 7 i a8 = −49. Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa A. –168 B. –189 C. –21 D. –42
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Dany jest ciąg geometryczny ( an ) , określony dla n ≥ 1 . Wszystkie wyrazy tego ciągu są a 1 dodatnie i spełniony jest warunek 5 = . Iloraz tego ciągu jest równy a3 9 1 1 A. B. C. 3 D. 3 3 3
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
4 Sinus kąta ostrego α jest równy . Wtedy 5 5 1 9 3 A. cos α = B. cos α = C. cos α = D. cos α = 4 5 25 5
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punkty D i E leżą na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym ABC (zobacz rysunek). Odcinek CD jest średnicą tego okręgu. Kąt wpisany DEB ma miarę α . .C .E A . .B . D Zatem A. α = 30° B. α < 30° C. α > 45° D. α = 45° MMA_1P MMA_1P
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie O i promieniu 5 oraz okrąg o środku w punkcie P i promieniu 3. Odcinek OP ma długość 16. Prosta AB jest styczna do tych okręgów w punktach A i B. Ponadto prosta AB przecina odcinek OP w punkcie K (zobacz rysunek). Wtedy A. OK = 6 B. OK = 8 C. OK = 10 D. OK = 12
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Dany jest romb o boku długości 4 i kącie rozwartym 150° . Pole tego rombu jest równe A. 8 B. 12 C. 8 3 D. 16
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Proste o równaniach y = (2m + 2) x − 2019 oraz y = (3m − 3) x + 2019 są równoległe, gdy A. m = −1 B. m=0 C. m = 1 D. m = 5
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Prosta o równaniu y = ax + b jest prostopadła do prostej o równaniu y = − 4 x + 1 i przechodzi ( ) przez punkt P = 12 , 0 , gdy A. a = − 4 i b = −2 B. a = 14 i b = − 18 C. a = − 4 i b = 2 D. a = 14 i b = 12 MMA_1P MMA_1P
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej f. Na wykresie tej funkcji leżą punkty A = (0, 4) i B = (2, 2) . y 5 4 A 3 2 B 1 x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 Obrazem prostej AB w symetrii względem początku układu współrzędnych jest wykres funkcji g określonej wzorem A. g ( x) = x + 4 B. g ( x) = x − 4 C. g ( x ) = − x − 4 D. g ( x) = −x + 4
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Dane są punkty o współrzędnych A = ( −2, 5 ) oraz B = ( 4, − 1) . Średnica okręgu wpisanego w kwadrat o boku AB jest równa A. 12 B. 6 C. 6 2 D. 2 6
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Pudełko w kształcie prostopadłościanu ma wymiary 5 dm × 3 dm × 2 dm (zobacz rysunek). L 2 dm 3 dm K 5 dm Przekątna KL tego prostopadłościanu jest – z dokładnością do 0,01 dm – równa A. 5,83 dm B. 6,16 dm C. 3,61 dm D. 5,39 dm MMA_1P MMA_1P
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Promień kuli i promień podstawy stożka są równe 4. Pole powierzchni kuli jest równe polu powierzchni całkowitej stożka. Długość tworzącej stożka jest równa A. 8 B. 4 C. 16 D. 12
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Mediana zestawu sześciu danych liczb: 4, 8, 21, a, 16, 25, jest równa 14. Zatem A. a = 7 B. a = 12 C. a = 14 D. a = 20
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Wszystkich liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry 0, 2, 5, jest A. 12 B. 36 C. 162 D. 243
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
W pudełku jest 40 kul. Wśród nich jest 35 kul białych, a pozostałe to kule czerwone. Prawdopodobieństwo wylosowania każdej kuli jest takie samo. Z pudełka losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy kulę czerwoną, jest równe 1 1 1 1 A. B. C. D. 8 5 40 35 MMA_1P MMA_1P
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Rozwiąż równanie ( x 3 − 8 )( x 2 − 4 x − 5 ) = 0 . Odpowiedź: . MMA_1P
Pokaż odpowiedź
Iloczyn ( x 3 − 8 )( x 2 − 4 x − 5 ) = 0 jest równy 0, jeśli przynajmniej jeden z czynników jest równy 0.
Zatem x 3 − 8 = 0 lub x 2 − 4 x − 5 = 0 .
Równanie x 3 − 8 = 0 ma jedno rozwiązanie x = 2 .
Równanie x2 − 4 x − 5 = 0 doprowadzamy do postaci iloczynowej ( x + 1) ⋅ ( x − 5) = 0 .
Przynajmniej jeden z czynników ( x + 1) lub ( x − 5 ) jest równy 0, czyli x = −1 lub x = 5 .
Zatem rozwiązaniami równania ( x 3 − 8 )( x 2 − 4 x − 5 ) = 0 są liczby: x = 2 , x = −1 oraz x = 5 .
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Rozwiąż nierówność 3x 2 − 16 x + 16 > 0 . Odpowiedź: . Nr zadania 26. 27. Wypełnia Maks. liczba pkt 2 2 egzaminator Uzyskana liczba pkt MMA_1P
Pokaż odpowiedź
Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.
Pierwszy etap to wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego: 3 x 2 − 16 x + 16 .
Drugi etap to zapisanie zbioru rozwiązań nierówności kwadratowej: 3 x 2 − 16 x + 16 > 0 .
Pierwszy etap rozwiązania może zostać zrealizowany następująco:
• obliczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego 3 x 2 − 16 x + 16
o obliczamy wyróżnik tego trójmianu:
Δ = 16 ⋅16 − 4 ⋅ 3 ⋅16 = 4 ⋅16 = 2 2 ⋅ 42 i stąd x1 = 166−8 = 43 oraz x2 = 166+8 = 4
albo
o stosujemy wzory Viète’a:
x1 ⋅ x2 = 16
3
oraz x1 + x2 = 16
3
, stąd x1 = 43 oraz x2 = 4 .
Drugi etap rozwiązania.
( ) ( )
Podajemy zbiór rozwiązań nierówności: −∞, 43 ∪ ( 4, + ∞ ) lub x ∈ −∞, 43 ∪ ( 4, + ∞ ) .
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność 3a 2 − 2ab + 3b 2 ≥ 0 . MMA_1P
Pokaż odpowiedź
I sposób
Przekształcamy równoważnie nierówność i otrzymujemy kolejno:
3a 2 − 2ab + 3b 2 ≥ 0 ,
2a 2 + a 2 − 2ab + b 2 + 2b 2 ≥ 0 ,
2a 2 + ( a − b ) + 2b 2 ≥ 0 .
2
Lewa strona nierówności jest sumą trzech liczb nieujemnych: 2a 2 – jako wielokrotność
kwadratu liczby, ( a − b ) – jako kwadrat liczby, 2b 2 – jako wielokrotność kwadratu liczby.
2
Zatem z lewej strony nierówności występuje wyrażenie przyjmujące wartość nieujemną, czyli
nierówność jest prawdziwa dla dowolnych rzeczywistych liczb a i b.
To kończy dowód.
Uwaga
Całe rozumowanie można zapisać w postaci
3a 2 − 2ab + 3b 2 ≥ a 2 − 2ab + b 2 = ( a − b ) ≥ 0 ,
2
co jest prawdą dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b.
II sposób
Przekształcamy równoważnie nierówność i otrzymujemy kolejno:
3a 2 − 2ab + 3b 2 ≥ 0 ,
2
a 2 − ab + b 2 ≥ 0 ,
3
2
1 1 2 2
a − 3b − 9 b + b ≥ 0 ,
2
1 8 2
a − 3b + 9 b ≥ 0 .
2
1
Lewa strona nierówności jest sumą dwóch liczb nieujemnych: a − b – jako kwadrat liczby,
3
8 2
b – jako wielokrotność kwadratu liczby.
9
Zatem z lewej strony nierówności występuje wyrażenie przyjmujące wartość nieujemną, czyli
nierówność jest prawdziwa dla dowolnych rzeczywistych liczb a i b.
To kończy dowód.
III sposób
Wyrażenie z lewej strony jest trójmianem kwadratowym dla zmiennej a, z parametrem b.
Obliczamy wyróżnik tego trójmianu kwadratowego:
Δ = ( −2b ) − 4 ⋅ 3 ⋅ 3b 2 = 4b 2 − 36b 2 = −32b 2 .
2
Obliczony wyróżnik trójmianu kwadratowego jest niedodatni dla dowolnej liczby rzeczywistej b.
Zatem trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków lub ma jeden pierwiastek rzeczywisty. Przy
najwyższej potędze trójmianu kwadratowego stoi liczba dodatnia 3, zatem lewa strona
nierówności przyjmuje wartości nieujemne dla dowolnej zmiennej rzeczywistej a. Oznacza to,
że nierówność jest prawdziwa dla dowolnych rzeczywistych liczb a i b.
To kończy dowód.
IV sposób
Rozważmy dwa przypadki.
1. b = 0
2. b ≠ 0
W pierwszym przypadku otrzymujemy nierówność 3a 2 ≥ 0 , która jest prawdziwa dla dowolnej
liczby rzeczywistej a, bo wyrażenie po lewej stronie jest wielokrotnością kwadratu liczby.
Zatem nierówność 3a 2 − 2ab + 3b 2 ≥ 0 jest prawdziwa w przypadku, gdy b = 0 .
W drugim przypadku możemy podzielić obie strony nierówności 3a 2 − 2ab + 3b 2 ≥ 0 przez b 2 .
2
a a
Otrzymujemy nierówność: 3 − 2 + 3 ≥ 0 .
b b
a
Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego zmiennej x, gdzie x = , występującego
b
z lewej strony nierówności:
Δ = ( −2 ) − 4 ⋅ 3 ⋅ 3 = 4 − 36 = −32 .
2
Obliczony wyróżnik trójmianu kwadratowego jest ujemny, zatem trójmian kwadratowy nie ma
pierwiastków rzeczywistych. Przy najwyższej potędze trójmianu kwadratowego stoi liczba
dodatnia 3, zatem lewa strona nierówności przyjmuje zawsze wartość dodatnią. Oznacza to, że
nierówność jest prawdziwa dla dowolnej liczby a i dowolnej liczby b różnej od zera.
Z rozważonych dwóch przypadków wynika, że nierówność jest prawdziwa dla dowolnych
rzeczywistych liczb a i b.
To kończy dowód.
V sposób (przypadki ze względu na znak ab).
Rozważmy dwa przypadki.
1. Gdy ab ≤ 0 . Wtedy nierówność 3a 2 − 2ab + 3b2 ≥ 0 jest prawdziwa, gdyż po jej lewej
stronie jest suma trzech nieujemnych składników 3a 2 , −2ab , 3b 2 .
2. Gdy ab > 0 . Wtedy nierówność zapisujemy w postaci równoważnej 3a 2 + 3b 2 ≥ 2ab .
Obie strony tej nierówności możemy wtedy podzielić przez dodatnią liczbę 3ab , otrzymując
nierówność
a b 2
+ ≥ .
b a 3
a b 2
Z twierdzenia o sumie liczby dodatniej i jej odwrotności wynika, że + ≥2> .
b a 3
To kończy dowód.
VI sposób (dowód nie wprost)
Załóżmy, nie wprost, że dla pewnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność
3a 2 − 2ab + 3b 2 < 0 .
Ponieważ 2a 2 + 2b 2 ≥ 0 , więc nierówność ta byłaby prawdziwa tylko wtedy, gdyby
a 2 − 2ab + b 2 < 0 , czyli ( a − b ) < 0 , co jest nieprawdą.
2
Otrzymana sprzeczność oznacza, że nierówność 3a 2 − 2ab + 3b 2 < 0 jest fałszywa.
Prawdziwa zatem jest nierówność: 3a 2 − 2ab + 3b 2 ≥ 0
To kończy dowód.
VII sposób
Dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b prawdziwe są nierówności
( a − b ) ≥ 0 oraz 2a 2 + 2b 2 ≥ 0 ,
2
czyli
a 2 − 2ab + b 2 ≥ 0 oraz 2a 2 + 2b 2 ≥ 0 .
Dodając te nierówności stronami, co możemy zrobić, gdyż nierówności są tak samo
skierowane, otrzymujemy
a 2 − 2ab + b 2 + 2a 2 + 2b 2 ≥ 0 ,
czyli
3a 2 − 2ab + 3b 2 ≥ 0 .
To kończy dowód.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Dany jest okrąg o środku w punkcie S i promieniu r. Na przedłużeniu cięciwy AB poza punkt B odłożono odcinek BC równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty C i S poprowadzono prostą. Prosta CS przecina dany okrąg w punktach D i E (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta ACS jest równa α, to miara kąta ASD jest równa 3α. D r S r E r r C A B Nr zadania 28. 29. Wypełnia Maks. liczba pkt 2 2 egzaminator Uzyskana liczba pkt MMA_1P
Pokaż odpowiedź
Z założenia trójkąt CSB jest równoramienny i BS = BC , więc BSC = BCS . Zatem
BCS = ACS = α . Wynika stąd, że CBS = 180° − 2α , a więc ABS = 2α . Ponieważ
trójkąt ABS jest równoramienny i AS = BS , więc BAS = 2α .
Zatem ASB = 180° − 4α .
Zauważmy, że
ASD + ASB + BSC = 180° .
Otrzymujemy zatem równanie
ASD + 180° − 4α + α = 180° ,
skąd wynika, że
ASD = 3α .
To kończy dowód.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Ze zbioru liczb {1, 2, 3, 4, 5} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą. Odpowiedź: . MMA_1P
Pokaż odpowiedź
I sposób (klasyczna definicja prawdopodobieństwa)
Zdarzeniami elementarnymi w przestrzeni Ω są wszystkie pary liczb ( a, b ) , gdzie a, b ∈ {1, 2, 3, 4, 5} .
Jest to model klasyczny. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa Ω = 5 ⋅ 5 = 25 .
Obliczamy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A polegającym
na otrzymaniu liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą, np. wypisując je i zliczając:
A = {(1,1) , (1,3) , (1,5 ) , ( 3,1) , ( 3,3) , ( 3,5 ) , ( 5,1) , ( 5,3) , ( 5,5)} .
Liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A jest więc równa 9.
9
Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe: P ( A ) = .
25
II sposób (metoda tabeli)
Wszystkie zdarzenia elementarne możemy
(1,1) (1, 2 ) (1, 3 ) (1, 4 ) (1, 5) przedstawić w postaci kwadratowej tablicy.
( 2,1) ( 2, 2 ) ( 2,3) ( 2, 4 ) ( 2,5)
( 3,1) ( 3, 2) ( 3, 3 ) ( 3, 4) ( 3, 5 ) albo
1 2 3 4 5
( 4,1) ( 4, 2 ) ( 4,3) ( 4, 4 ) ( 4,5) 1 X X X
( 5,1) ( 5, 2 ) ( 5, 3 ) ( 5, 4 ) ( 5, 5 ) 2
3 X X X
4
5 X X X
Stąd Ω = 5 ⋅ 5 = 25
Jest to model klasyczny.
Zdarzeniami elementarnymi sprzyjającymi zdarzeniu A są pary liczb, których iloczyn jest
liczbą nieparzystą. Są to wszystkie pary liczb wyróżnione w pierwszej tablicy lub zaznaczone
w drugiej.
9
Jest ich 9 . Zatem P ( A ) = .
25
III sposób (metoda drzewka)
Przedstawiamy model graficzny doświadczenia.
P – oznacza liczbę parzystą, N – nieparzystą.
2 3
5 5
P N
2 3
3 2
5 5
5 5
P N P N
Iloczyn dwóch liczb naturalnych jest nieparzysty, jeśli obie liczby są nieparzyste.
W rozważanym doświadczeniu, by zaszło interesujące nas zdarzenie, musimy wylosować dwie
liczby nieparzyste. Do wyznaczenia poszukiwanego prawdopodobieństwa wystarczy zatem
wymnożyć liczby z gałęzi narysowanego drzewa, odpowiadające sytuacji: N-N.
3 3 9
Czyli P ( A ) = ⋅ = .
5 5 25
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
W trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 8. Przekątna AC tego trapezu ma długość 4 i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze 30° (zobacz rysunek). Oblicz długość przekątnej BD tego trapezu. D C 4 A 8 B Odpowiedź: . Nr zadania 30. 31. Wypełnia Maks. liczba pkt 2 2 egzaminator Uzyskana liczba pkt MMA_1P
Pokaż odpowiedź
Ponieważ ACD = 30° , więc trójkąt ACD jest połową trójkąta równobocznego. Zatem
AD = 12 ⋅ AC = 12 ⋅ 4 = 2 .
Trójkąt ABD jest prostokątny, więc możemy wykorzystać zależność z twierdzenia Pitagorasa
2 2 2
BD = AD + AB .
Stąd otrzymujemy
2
BD = 22 + 82 = 68 .
Zatem
BD = 68 = 2 17 .
Uwaga
Wysokość AD trapezu można wyznaczyć także innymi metodami.
1. Z pola trójkąta ABC, wyznaczonego na dwa sposoby, np.: 12 ⋅ 8 ⋅ 4 ⋅ sin 30° = 12 ⋅ 8 ⋅ AD .
AD
2. Z funkcji trygonometrycznej kąta w trójkącie ACD, np.: = sin 30° .
AC
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Ciąg arytmetyczny (a n ) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Różnicą tego ciągu jest liczba r = − 4 , a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , jest równa 16. a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu. b) Oblicz liczbę k, dla której ak = −78. MMA_1P Odpowiedź: . Nr zadania 32. Wypełnia Maks. liczba pkt 4 egzaminator Uzyskana liczba pkt MMA_1P
Pokaż odpowiedź
Z treści zadania otrzymujemy
a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6
= 16 ,
6
a1 + a1 + ( −4 ) + a1 + 2 ⋅ ( −4 ) + a1 + 3 ⋅ ( −4 ) + a1 + 4 ⋅ ( −4 ) + a1 + 5 ⋅ ( −4 )
= 16 ,
6
6a1 − 60
= 16 ,
6
a1 = 26 .
W celu obliczenia liczby k stosujemy wzór na wyraz ak i otrzymujemy:
26 + (k − 1) ⋅ ( −4 ) = −78 , a stąd k = 27 .
Odpowiedź: a1 = 26 , k = 27 .
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Dany jest punkt A = ( −18, 10 ) . Prosta o równaniu y = 3x jest symetralną odcinka AB. Wyznacz współrzędne punktu B. MMA_1P Odpowiedź: . Nr zadania 33. Wypełnia Maks. liczba pkt 4 egzaminator Uzyskana liczba pkt MMA_1P
Pokaż odpowiedź
I sposób
Wyznaczamy równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu y = 3 x i przechodzącej
przez punkt A :
y = − 13 x + b .
Punkt A należy do prostej y = − 13 x + b , więc 10 = − 13 ( −18) + b . Stąd b = 4 .
Obliczamy współrzędne punktu S przecięcia prostej y = 3 x i prostej AB:
y = 3x
y = − 3 x + 4
1
Wtedy 3 x = − 13 x + 4 .
Zatem
6 18 6 18
x = i y = , czyli S = , .
5 5 5 5
Ponieważ punkt S jest środkiem odcinka AB , więc
−18 + xB 6 10 + yB 18
= i = .
2 5 2 5
102 14 102 14
Stąd xB = i yB = − , czyli B = ,− .
5 5 5 5
II sposób („odległość punktu od prostej”)
Równanie prostej prostopadłej do danej prostej i przechodzącej przez punkt A ma postać:
y = − 13 x + b .
Wtedy 10 = − 13 ( −18) + b , stąd b = 4 . Zatem równanie prostej AB ma postać: y = − 13 x + 4 .
Punkt B należy do tej prostej, więc
B = ( x, − 13 x + 4 ) .
Obliczamy odległość punktu A od prostej o równaniu y = 3 x :
3 ⋅ ( −18 ) − 1 ⋅10
32 10
. =
10 5
Ponieważ prosta o równaniu y = 3 x jest symetralną odcinka AB, więc odległość punktu
32 10
B = ( x, − 13 x + 4 ) od prostej o równaniu y = 3 x jest także równa .
5
Zatem otrzymujemy równanie:
3 x + 3x − 4 32 10
= , stąd 103 x − 4 = 64 .
10 5
Równanie to jest równoważne alternatywie równań
3 x − 4 = 64 lub 3 x − 4 = −64 .
10 10
Stąd
x = 102
5 lub
x = −18 .
102 14
Obliczamy współrzędne punktu B = ,− .
5 5
Uwaga
Zdający może bez wyznaczenia równania prostej y = − 13 x + 4 , tj. prostej prostopadłej do
32 10
prostej o równaniu y = 3 x , na której leży punkt A = ( −18,10 ) , obliczyć odległość d =
5
punktu A = ( −18,10 ) od prostej o równaniu y = 3 x i zapisać równanie z jedną niewiadomą
32 10
( x + 18 ) + ( 3 x − 10 ) =
2 2
, z którego wyznaczy pierwszą współrzędną środka odcinka AB.
5
III sposób
Niech B = ( x, y ) będzie końcem odcinka AB. Wtedy współrzędne środka S tego odcinka są
równe
−18 + x 10 + y
S = , .
2 2
Punkt ten leży na symetralnej odcinka AB, a więc na prostej o równaniu y = 3 x , więc
10+ y −18+ x
2 = 3⋅ 2 ,
y + 10 = 3 x − 54 ,
y = 3 x − 64 .
Prosta prostopadła do prostej o równaniu y = 3 x − 64 i przechodząca przez punkt A ma
równanie postaci: y = − 13 ( x + 18 ) + 10 .
Punkt B należy do tej prostej, więc pozostaje rozwiązać układ równań y = 3 x − 64
i y = − 13 ( x + 18 ) + 10 . Stąd otrzymujemy
3 x − 64 = − 13 ( x + 18 ) + 10 ,
3 x − 74 = − 13 x − 6 ,
10 x = 68 ,
3
xB = 10⋅3 = 345⋅3 = 102
68
5
.
Zatem druga współrzędna punktu B jest równa y = 3 ⋅ 102 (
14 , czyli B = 102 , − 14 .
5 − 64 = − 5 5 5 )
Uwaga
Równanie y = 3 x − 64 , które uzyskaliśmy w początkowym etapie rozwiązania to równanie
prostej przechodzącej przez punkt B i równoległej do symetralnej odcinka AB. Równanie tej
prostej możemy też otrzymać, korzystając ze wzoru na odległość miedzy prostymi
równoległymi oraz odległość punktu od prostej.
Punkt B leży po przeciwnej stronie symetralnej odcinka AB niż punkt A, na prostej m
równoległej do tej symetralnej, przy czym odległość prostej m od symetralnej jest równa
odległości punktu A od symetralnej. Prosta m ma więc równanie postaci y = 3 x + c . Ponieważ
odległość między prostą m i symetralną odcinka AB jest równa odległości punktu A od
symetralnej odcinka AB, więc otrzymujemy równanie
c − 0 3 ⋅ ( −18 ) − 10
= ,
10 10
Stąd c = 64 , więc c = − 64 lub c = 64 .
Otrzymaliśmy zatem dwie proste o równaniach y = 3 x − 64 oraz y = 3 x + 64 . Drugie z tych
równań jest równaniem prostej przechodzącej przez punkt A, gdyż 3 ⋅ ( −18 ) + 64 = 10 , więc
prosta m ma równanie postaci y = 3 x − 64 .
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt α jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta α . S D C 6 A 6 B MMA_1P Odpowiedź: . Nr zadania 34. Wypełnia Maks. liczba pkt 5 egzaminator Uzyskana liczba pkt MMA_1P MMA_1P
Pokaż odpowiedź
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
Ze wzoru na długość przekątnej kwadratu otrzymujemy
AO = 12 ⋅ 6 2 = 3 2 .
Pole podstawy ostrosłupa jest równe
Pp = 62 = 36 .
Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa jest 4 razy większe od pola jego podstawy, więc
Pc = 4 Pp = 4 ⋅ 36 = 144 .
Zatem pole powierzchni bocznej ostrosłupa jest równe
Pb = Pc − Pp = 3 ⋅ 36 = 108 .
Pole powierzchni bocznej ostrosłupa jest równe
Pb = 4 ⋅ PBCS = 4 ⋅ 12 ⋅ 6 ⋅ hb = 12 ⋅ hb ,
więc
12 ⋅ hb = 108 ,
hb = 9 .
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta BES otrzymujemy
b 2 = 32 + hb 2 = 9 + 9 2 = 9 ⋅10 ,
b = 3 10 .
Z trójkąta AOS otrzymujemy
AO 3 2 5
cos α = = = .
AS 3 10 5
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Status redakcyjny
Komplet podpunktów opracowany w HTML
- 1
Ekstrakcja pytań. 34 jednostek zadaniowych zapisano w drafcie redakcyjnym.
- 2
Odpowiedzi i rozwiązania. 34 z 34 jednostek zestawów źródłowych ma odpowiedź; 0 ma również pełny tok rozumowania, a dla 34 pozostaje on do opracowania.
- 3
Weryfikacja. Porównamy całość z oficjalnymi zasadami CKE przed indeksacją.
Dokumenty źródłowe
Oficjalne materiały CKE
PDF-y nie są osadzane ani wczytywane razem ze stroną. Każdy link prowadzi bezpośrednio do dokumentu źródłowego CKE.
Arkusz standardowyMMA-P1_1P-192
2 dokumenty