Matematyka 2020 — poziom podstawowy — Formuła 2015

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: rozwiązań zadań

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: rozwiązań zadań

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: rozwiązań zadań

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: Zdający otrzymuje 1 p. gdy: • zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym zakończy lub zapisze błędny zbiór rozwiązań nierówności, np. 5  obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego x1 = − oraz x2 = 1 2  zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji f określonej wzorem 5 f ( x ) = 2 x 2 + 3x − 5 : x1 = − i x2 = 1 . 2  5  rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np. 2  x +  ( x − 1)  2 albo • realizując pierwszy etap rozwiązania zadania popełnia błędy (ale otrzyma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do tego zapisze zbiór rozwiązań nierówności, np.  popełnia błędy rachunkowe przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór rozwiązań nierówności,  błędnie zapisze równania wynikające ze wzorów Viète’a, np.: x1 ⋅ x2 = 5 2 i konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór rozwiązań nierówności, albo • wyznaczy odcięte punktów wspólnych wykresów funkcji określonych wzorami 5 y = 2 ( x − 1)( x + 3) oraz y = x − 1 : x1 = − oraz x2 = 1 i na tym zakończy lub zapisze 2 błędny zbiór rozwiązań nierówności. Zdający otrzymuje 2 p. gdy:  5  5 • poda zbiór rozwiązań nierówności:  −∞, −  ∪ (1, + ∞ ) lub x ∈  −∞, −  ∪ (1, + ∞ )  2  2 5 lub ( x < − lub x > 1 ), 2 albo • sporządzi ilustrację graficzną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań 5 nierówności w postaci: x < − , x >1 , 2 albo • poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów. 1 x Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki (dysleksja) Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności  5   5 w postaci ( −∞, 1) ∪  − , + ∞  ,  +∞, −  ∪ (1, − ∞ ) , to przyznajemy 2 punkty.  2   2 Uwagi 5 5 1. Akceptujemy zapisanie odpowiedzi w postaci: x < − i x > 1 , x < − oraz x > 1 . 2 2 2. Jeżeli zdający dzieli obie strony nierówności przez x − 1 , rozważając dwa przypadki x − 1 > 0 oraz x − 1 < 0 , rozwiąże nierówność w każdym z tych przypadków i poda zbiór rozwiązań każdej z tych nierówności, to otrzymuje 2 punkty. 5 3. Jeżeli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu x1 = − , x2 = 1 i zapisze, np. 2  5  −∞, −  ∪ ( −1, + ∞ ) , popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego  2 z pierwiastków, to otrzymuje 2 punkty. 4. Jeżeli zdający poprawnie rozwiąże nierówność 2 ( x − 1)( x + 3) > x − 1 , ale zapisze { } sprzeczną z tym rozwiązaniem odpowiedź, np. x ∉ R \ − 52 ,1 , albo x ≠ − 52 i x ≠ 1 , to otrzymuje 2 punkty. 5. Jeżeli zdający rozwiązuje zadanie sposobem III i nie sprawdzi algebraicznie, że odczytane 5 liczby x1 = − oraz x2 = 1 są odciętymi punktów wspólnych wykresów funkcji 2 y = 2 ( x − 1)( x + 3) oraz y = x − 1 , to otrzymuje 2 punkty. 6. Jeżeli zdający pominie 2 w nierówności 2 ( x − 1)( x + 3) > x − 1 i rozwiąże nierówność ( x − 1)( x + 3) > x − 1 , to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie. 7. Jeżeli zdający rozwiązuje zadanie sposobem III i błędnie odczyta którąkolwiek z odciętych punktów wspólnych wykresów funkcji y = 2 ( x − 1)( x + 3) oraz y = x − 1 , to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie, pod warunkiem, że otrzyma sumę dwóch rozłącznych przedziałów otwartych. 8. Jeżeli zdający podaje pierwiastki bez związku z trójmianem kwadratowym z zadania, to oznacza, że nie podjął realizacji pierwszego etapu rozwiązania i w konsekwencji otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 9. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy obliczony wyróżnik Δ jest niedodatni, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 10. Jeżeli zdający rozwiąże nierówność 2 ( x − 1)( x + 3) > 0 , to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 11. Jeżeli zdający dzieli obie strony nierówności przez x − 1 bez stosownego założenia, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: Zdający otrzymuje 1 p. gdy • zapisze dwa równania x 2 − 1 = 0 i x 2 − 2 x = 0 lub z zapisu wynika, że rozwiązuje te równania albo • obliczy lub poda rozwiązania jednego z równań: x 2 − 1 = 0 ( x = 1 , x = −1 ) lub x 2 − 2 x = 0 ( x = 0 , x = 2 ) i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje 2 p. gdy wyznaczy wszystkie rozwiązania równania: x = 0 , x = 2 , x = 1 , x = −1 , ale nie uzyska ich w wyniku błędnej metody. Uwagi 1. Jeżeli zdający poda wszystkie rozwiązania równania, bez zapisanych rachunków lub uzasadnienia, to otrzymuje 2 punkty. 2. Jeżeli zdający poprawnie zapisze lewą stronę równania w postaci sumy jednomianów i doprowadzając ją do postaci iloczynu popełni błędy, ale skorzysta z własności iloczynu równego zero, to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 1 punkt.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: I i II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje 1 p. gdy zapisze nierówność w postaci ( a − b ) + b 2 > 0 2 • albo • obliczy wyróżnik trójmianu kwadratowego w zależności od zmiennej a lub b, występującego po jednej stronie nierówności, gdy po drugiej stronie jest 0, i stwierdzi, że jest on niedodatni albo • obliczy wyróżnik trójmianu kwadratowego w zależności od zmiennej a lub b, występującego po jednej stronie nierówności, gdy po drugiej stronie jest 0 oraz rozważy jeden z przypadków Δ < 0 lub Δ = 0 i w tym przypadku doprowadzi rozumowanie do końca i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje 2 p. gdy poda pełne uzasadnienie. Uwaga Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości a i b, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. Zasady oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje 1 p. gdy rozważy dwa przypadki: w jednym, dla a ≠ 0 , podzieli stronami nierówność przez a 2 , w drugim, dla b ≠ 0 , podzieli stronami nierówność przez b 2 i w jednym przypadku doprowadzi rozumowanie do końca. Zdający otrzymuje 2 p. gdy zapisze pełne rozumowanie. Uwaga Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości a i b, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. Zasady oceniania IV sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje 1 p. gdy ( a − 2b) > 2ab (1 − 2 ) , 2 • rozważy trzy przypadki i zapisze nierówności ( a + 2b) > 2ab (1 + 2 ) , a + 2b > 0 2 2 2 i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. albo • przeprowadzi pełne rozumowanie w dwóch spośród trzech przypadków i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje 2 p. gdy zapisze pełne rozumowanie. Uwaga Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości a i b, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. Zasady oceniania V sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje 1 p. gdy przeprowadzając dowód nie wprost, zapisze nierówność a ( a − 2b ) + 2b2 ≤ 0 w postaci ( a − b ) + b ≤ 0 2 2 i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje 2 p. gdy zapisze pełne rozumowanie. Uwaga Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości a i b, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. Zasady oceniania VI sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje 1 p. gdy zapisze nierówność w postaci równoważnej a 2 + 2b 2 > 2ab oraz zapisze, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b prawdziwe są nierówności: a 2 + 2b 2 ≥ a 2 + b 2 oraz a 2 + b 2 ≥ 2ab i na tym zakończy lub dalej popełni błędy Zdający otrzymuje 2 p. gdy zapisze pełne rozumowanie. Uwaga Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości a i b, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: Zdający otrzymuje 1 p. gdy • wyznaczy długości odcinków BC i CF w zależności od tej samej zmiennej, np.: BC = a 3 3a 3 i CF = ⋅ lub BC = 2 x i CF = 98 x 8 2 albo 8 3 • wyznaczy skalę podobieństwa trójkątów BCD i CEF: k = 9 albo • wyznaczy długość odcinka CF w zależności od długości odcinków CB i CD oraz 2 3 CD 3 zależność między długościami odcinków CD i CB, np.: CF = , CD = CB 4 CB 2 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje 2 p. gdy zapisze pełne rozumowanie. Uwaga Ponieważ podobieństwo zachowuje stosunek długości odcinków, więc jeżeli zdający przyjmuje konkretną wartość długości boku trójkąta i przeprowadzi rozumowanie do końca, ale nie odwołuje się do tej własności, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: Zdający otrzymuje 1 p. gdy • zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych Ω = 62 = 36 lub opisze zbiór zdarzeń elementarnych za pomocą tabeli albo • wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A: A = {(1,5 ) , ( 2,5 ) , ( 3,5 ) , ( 4,5 ) , ( 5,5 ) , ( 5, 6 ) , ( 5,1) , ( 5, 2 ) , ( 5,3) , ( 5, 4 ) , ( 6,5 )} lub zaznaczy je wszystkie w tabeli lub zaznaczy wszystkie istotne gałęzie na pełnym drzewie składającym się z 36 gałęzi, albo • obliczy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A , np.: A = 2 ⋅ 6 − 1 = 11 , A = 5 + 5 + 1 = 11 i nie wskaże przy tym niepoprawnych zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A, albo • zapisze prawdopodobieństwa potrzebne do wyznaczenia końcowego wyniku na dwóch etapach (przy stosowaniu metody drzewa probabilistycznego składającego się z czterech gałęzi) oraz wskaże wszystkie istotne gałęzie (dla zdarzenia A lub zdarzenia A′ ) i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje 2 p. A 11 gdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A: P ( A ) = = . Ω 36 Uwagi 11 11 1. Jeżeli zdający zapisze tylko: A = 11 , Ω = 36 , P ( A) = , lub zapisze tylko: P ( A) = , 36 36 11 lub , to otrzymuje 2 punkty. 36 1 1 1 5 2. Jeżeli zdający zapisze prawdopodobieństwo P ( A) = ⋅ + 2 ⋅ ⋅ , to otrzymuje 2 punkty. 6 6 6 6 3. Jeżeli zdający zapisze tylko A = 11 , to otrzymuje 1 punkt. 4. Jeżeli zdający popełni błąd przy wypisywaniu zdarzeń elementarnych i wypisze o jedno za mało lub jedno powtórzy, ale nie wypisze żadnego niewłaściwego i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy prawdopodobieństwo, to otrzymuje 1 punkt. 5. Jeżeli zdający stosuje drzewo probabilistyczne o 36 gałęziach, w którym przynajmniej 7 gałęzi odpowiada sytuacjom sprzyjającym rozważanemu zdarzeniu A (lub przynajmniej 13, gdy rozpatruje zdarzenie A′ ), ale nie wskaże gałęzi niewłaściwej, i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy prawdopodobieństwo, to otrzymuje 1 punkt. 6. Jeżeli zdający narysuje tylko drzewko i nie zaznaczy oraz nie opisze żadnej gałęzi, to otrzymuje 0 punków. 7. Jeżeli zdający zapisze tylko liczby 36 lub 11 lub 25 i z rozwiązania zadania nie wynika znaczenie tych liczb, to otrzymuje 0 punktów. 8. Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma P ( A) > 1 lub P ( A) < 0 , to otrzymuje za całe rozwiązanie 0 punktów, o ile końcowy wynik nie jest skutkiem błędu w działaniach na ułamkach.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: I, II, III i IV sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje 1 p. 2sin α + 3cos α gdy przekształci równanie = 4 do postaci: cos α a b 2tgα + 3 = 4 lub 2sin α = cos α lub 2sin α − cos α = 0 lub 2 = lub 2a = b c c i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje 2 p. 1 gdy obliczy tangens kąta α : tgα = , ale nie uzyska go w wyniku błędnej metody. 2 Uwagi cos α 1. Jeżeli zdający popełni błąd i zapisze tgα = , to otrzymuje co najwyżej 1 punkt za sin α całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający popełni jedyny błąd polegający na zastosowaniu niepoprawnego wzoru a − b = a − b albo ( a + b ) = a 2 + b 2 i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do 2 końca, to może otrzymać za całe rozwiązanie co najwyżej 1 punkt.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: I, II, III i IV sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania 1 p. Zdający • wyznaczy równanie prostej AC: y = − 34 x + 12 25 albo • obliczy odległość punktu A od prostej BD: 5 albo • zapisze współrzędne punktu P leżącego na prostej o równaniu y = 4 x , np. 3 ( ) P = x, 4 x i wyznaczy odległość punktu P od danego punktu A jako funkcję jednej 3 ( ) 2 zmiennej x : AP = ( x − 5 )2 + 4 x + 5 3 3 albo wyznaczy równania prostych AB i AD: y + 5 = 1 ( x − 5 ) oraz y + 5 = −7 ( x − 5 ) , 3 7 3 i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p. Zdający • wyznaczy równanie prostej AC: y = − 3 x + 25 i obliczy współrzędne punktu 4 12 przecięcia przekątnych kwadratu: O = 1, 43 ( ) albo • obliczy odległość punktu A od prostej BD: 5 i obliczy pole kwadratu: 50 albo • obliczy odległość punktu A od prostej BD: 5 i zapisze równanie ( xo − 5)2 + ( 43 xo + 53 ) = 25 2 albo • obliczy x, dla którego odległość AP jest najmniejsza: x = 1 albo • wyznaczy równania prostych AB i AD oraz obliczy współrzędne wierzchołków B i D:  8  16  y + 5 = 1 ( x − 5 ) , y + 5 = −7 ( x − 5 ) , B =  −2, −  , D =  4,  . 3 7 3  3  3  i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p. Zdający  4 • obliczy współrzędne punktu przecięcia przekątnych kwadratu: O = 1,  i długość  3 przekątnej kwadratu (lub połowę tej długości): 10 albo ( ) = 25 2 2 • obliczy pole kwadratu: 50 i zapisze równanie ( xo − 5) + 43 xo + 53 albo • obliczy x, dla którego odległość AP jest najmniejsza: x = 1 i obliczy współrzędne  4  punktu przecięcia przekątnych kwadratu: O = 1,   3  albo • obliczy x, dla którego odległość AP jest najmniejsza: x = 1 i długość przekątnej kwadratu: 10 albo  4 • obliczy współrzędne punktu przecięcia przekątnych kwadratu: O = 1,  i długość  3 boku kwadratu: 50 i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Rozwiązanie pełne 4 p. Zdający obliczy pole kwadratu: 50 oraz współrzędne punktu przecięcia przekątnych  4 kwadratu: O = 1, .  3 Uwagi 1. Jeśli zdający popełni błędy rachunkowe, które nie przekreślają poprawności rozumowania i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać za całe rozwiązanie co najwyżej 3 punkty. 2. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest: a) błąd przy ustalaniu współczynnika kierunkowego prostej AC, to zdający może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie; b) błąd polegający na zamianie miejscami współrzędnych punktu, np. przy podstawieniu do wzoru na odległość punktu od prostej, przy podstawieniu do wzoru na długość odcinka, przy obliczaniu współczynnika b w równaniu kierunkowym prostej AC, to zdający może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie; c) błąd polegający na zastosowaniu niepoprawnego wzoru „ a + b = a + b ”, to zdający może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie. 3. Jeśli zdający zaznaczy w układzie współrzędnych punkt A i narysuje np. dwie proste, w których zawierają się przekątne kwadratu, a następnie odczyta i zapisze współrzędne punktu przecięcia się tych prostych i na tym zakończy, to otrzymuje 0 punktów.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania 1 p. Zdający wykorzysta wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego i zapisze a2 = a1 ⋅ q oraz a 3 = a1 ⋅ q 2 i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p. Zdający zapisze równość 6a1 − 5a2 + a3 = 0 w postaci 6 a1 − 5 a1 ⋅ q + a1 ⋅ q 2 = 0 lub ( ) a1 q 2 − 5 q + 6 = 0 i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p. 2 Zdający rozwiąże równanie q − 5q + 6 = 0 : q = 2 lub q = 3 . i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Rozwiązanie pełne 4 p. Zdający zapisze iloraz q ciągu geometrycznego ( a n ) należący do przedziału 2 2, 3 2 : q = 3. Zasady oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania 1 p. Zdający przy oznaczeniach a1 = a, a2 = b, a3 = c wykorzysta własność ciągu geometrycznego 2 i zapisze równość b = ac i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p. 2 Zdający zapisze równość b = ac i z równości 6a − 5b + c = 0 wyznaczy jedną niewiadomą w zależności od dwóch pozostałych, np.: c = 5b − 6a i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p. Zdający rozwiąże równanie b 2 − 5ab + 6a 2 = 0 z niewiadomą, np. b: b1 = 2a lub b2 = 3a i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Rozwiązanie pełne 4 p. Zdający poda iloraz q ciągu geometrycznego ( an ) : q = 3 . Uwagi do I i II sposobu oceniania 1. Jeżeli zdający zapisze równanie 6a1 − 5a1 ⋅ q + a1q 2 = 0 i przyjmie jako pierwszy wyraz ciągu konkretną liczbę dodatnią, pisząc, np. że wartość pierwszego wyrazu nie ma wpływu na iloraz ciągu, a następnie rozwiąże zadanie konsekwentnie do końca, to otrzymuje 4 punkty. 2. Jeżeli zdający rozwiąże równanie kwadratowe z błędem i otrzyma co najmniej jedno rozwiązanie i konsekwentnie poda odpowiedź, to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 3 punkty. 3. Jeżeli zdający zapisze równanie 6a1 − 5a1 ⋅ q + a1q 2 = 0 i przyjmie jako pierwszy wyraz ciągu konkretną liczbę dodatnią i rozwiąże otrzymane równanie kwadratowe z niewiadomą q oraz zapisze wnioski, konsekwentne do otrzymanych rozwiązań, dotyczące należenia bądź nie tych rozwiązań do przedziału 2 2 , 3 2 , to otrzymuje 3 punkty. 4. Jeżeli zdający zapisze równanie 6a1 − 5a1 ⋅ q + a1q 2 = 0 i przyjmie jako pierwszy wyraz ciągu konkretną liczbę dodatnią, a następnie poda q = 3 i zapisze, że ten iloraz należy do przedziału 2 2 , 3 2 , to otrzymuje 3 punkty. 5. Jeżeli zdający zapisze równanie 6a1 − 5a1 ⋅ q + a1q 2 = 0 i przyjmie jako pierwszy wyraz ciągu konkretną liczbę dodatnią, a następnie poda q = 2 i zapisze, że ten iloraz nie należy do przedziału 2 2 , 3 2 , to otrzymuje 3 punkty. 6. Jeżeli zdający rozwiązuje równanie kwadratowe przy ujemnym wyróżniku, to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 2 punkty. 7. Jeżeli zdający zapisze konkretny ciąg o wyrazach dodatnich i ilorazie q = 3 , np. (1, 3,9,...) oraz sprawdzi, że pierwszy, drugi i trzeci wyraz tego ciągu spełniają warunek 6 a1 − 5a2 + a3 = 0 i zapisze, że ten iloraz należy do przedziału 2 2 , 3 2 i na tym zakończy, to otrzymuje 2 punkty. 8. Jeżeli zdający zapisze dwa konkretne ciągi o wyrazach dodatnich; jeden o ilorazie q = 2 , np. (1,2,4,...) , drugi o ilorazie q = 3 , np. (1, 3,9,...) oraz sprawdzi, że pierwszy, drugi i trzeci wyraz każdego z tych ciągów spełniają warunek 6 a1 − 5a2 + a3 = 0 i zapisze, że iloraz q = 2 nie należy do przedziału 2 2 , 3 2 , a iloraz q = 3 należy do przedziału 2 2 , 3 2 i na tym zakończy, to otrzymuje 2 punkty. 9. Jeżeli zdający poda q = 3 i zapisze, że ten iloraz należy do przedziału 2 2 , 3 2 i na tym zakończy, to otrzymuje 1 punkt. 10. Jeżeli zdający zapisze konkretny ciąg o wyrazach dodatnich i ilorazie q = 3 oraz sprawdzi, że ten iloraz należy do przedziału 2 2 , 3 2 i na tym zakończy, to otrzymuje 1 punkt. 11. Jeżeli zdający zapisze konkretny ciąg o wyrazach dodatnich i ilorazie q = 3 , np. (1, 3,9,...) oraz sprawdzi, że pierwszy, drugi i trzeci wyraz tego ciągu spełniają warunek 6 a1 − 5a2 + a3 = 0 i na tym zakończy, to otrzymuje 1punkt. 12. Jeżeli zdający zapisze konkretny ciąg o wyrazach dodatnich i ilorazie q = 2 , np. (1, 2, 4,...) oraz sprawdzi, że pierwszy, drugi i trzeci wyraz tego ciągu spełniają warunek 6 a1 − 5a2 + a3 = 0 i zapisze, że ten iloraz nie należy do przedziału 2 2 , 3 2 i na tym zakończy, to otrzymuje 1 punkt. 13. Jeżeli zdający poda q = 2 i zapisze, że ten iloraz nie należy do przedziału 2 2 , 3 2 i na tym zakończy, to otrzymuje 0 punktów. 14. Jeżeli zdający myli własność ciągu geometrycznego z własnością ciągu arytmetycznego, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów. 15. Jeżeli zdający poda jedynie q = 3 i na tym zakończy, to otrzymuje 0 punków.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania 1 p. Zdający • zaznaczy na rysunku kąt α nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy albo h • zapisze równanie wynikające z definicji tangensa kąta α: = 7 1 a 2 albo • zapisze równanie wynikające z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie SOE: 2 a h +   = hb 2 2 2 albo • zapisze równanie wynikające z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie SEC: 2 a hb 2 +   = 6 2 2 albo • zapisze równanie wynikające z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie SOC: 2 2 a 2 2 h +   = 6  2  albo h 14 • zapisze równanie wynikające z definicji sinusa kąta α : = hb 4 albo a 2 • zapisze równanie wynikające z definicji cosinusa kąta α : 2 = hb 4 i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p. Zdający zapisze • układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi, np.: 2 h 2 a 2 2 = 7 i h +   = 6 1  2  a 2 lub • układ trzech równań z trzema niewiadomymi, np.: 2 h 14 a 2 a 2 = i h 2 +   = hb 2 i h2 +   = 6 2 hb 4 2  2  i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p. Zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, np.: 2 2  7  a 2 2  2 h⋅ 2  1 2  14  2  a  +   = 6 2 lub h2 +  7  = 62 lub hb +  hb  = 62  2   2   2  4  4    i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Rozwiązanie prawie pełne 4 p. Zdający: • obliczy długość krawędzi podstawy ostrosłupa lub wysokość ostrosłupa: a = 4 , h = 2 7 albo • obliczy wysokość hb ściany bocznej ostrosłupa oraz wyznaczy objętość ostrosłupa 1 1 2 14 w zależności od tej wysokości: hb = 4 2 , V = ⋅ hb ⋅ hb 3 2 4 i na tym zakończy lub dalej popełni błędy Rozwiązanie pełne 5 p. 32 7 Zdający obliczy objętość ostrosłupa: V = . 3 Uwagi 1. Jeśli zdający popełni błędy rachunkowe, które nie przekreślają poprawności rozumowania i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać za całe rozwiązanie co najwyżej 4 punkty. 2. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest pominięcie współczynnika 13 we wzorze na objętość ostrosłupa, to otrzymuje 4 punkty. 3. Jeżeli jedynym błędem jest: a) zastosowanie niepoprawnej definicji tangensa (lub niepoprawnej definicji innej hb h funkcji trygonometrycznej wykorzystanej przez zdającego), np. tgα = , tgα = h a b) niepoprawne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa, c) błąd polegający na zastosowaniu niepoprawnego wzoru „ a + b = a + b ”, to zdający może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie, o ile nie popełnia innych błędów i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca. 4. Jeżeli zdający popełnia jeden błąd, opisany w uwadze 3., a ponadto popełnia błędy rachunkowe, ale poprawnie realizuje strategię rozwiązania, to otrzymuje co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie. 5. Jeżeli zdający błędnie interpretuje kąt między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy tego ostrosłupa, to otrzymuje co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie, o ile poprawnie zastosuje twierdzenie Pitagorasa. 6. Jeżeli zdający przyjmuje, że krawędź podstawy ostrosłupa jest równa 6, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie, o ile zapisze poprawny związek między wielkościami h, hb i a lub zaznaczy poprawnie kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy. 7. Akceptujemy poprawne przybliżenia liczb rzeczywistych.