Matematyka 2022 — poziom podstawowy — Formuła 2015

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B A B

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B B D 1 Załącznik nr 2 do rozporządzenia Ministra Edukacji Narodowej z dnia 20 marca 2020 r. w sprawie szczególnych rozwiązań w okresie czasowego ograniczenia funkcjonowania jednostek systemu oświaty w związku z zapobieganiem, przeciwdziałaniem i zwalczaniem COVID-19 (Dz.U. poz. 493, z późn. zm.).

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B C D

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B B C

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B A A

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B B C

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B C B

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B C D

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B B C

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B D C

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B D C

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B B A

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B D B

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B A D

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B A A

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B D A

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B B D

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B D A

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B D B

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B A D

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B B C

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B C C

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B A B

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B A D

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B B A

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B D C

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B B A

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B C B ZADANIA OTWARTE Uwagi ogólne: 1. Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania. 2. Jeżeli zdający poprawnie rozwiąże zadanie i otrzyma poprawny wynik, lecz w końcowym zapisie przekształca ten wynik i popełnia przy tym błąd, to może uzyskać maksymalną liczbę punktów. 3. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które na żadnym etapie rozwiązania nie upraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę i konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może otrzymać co najwyżej (𝑛 − 1) punktów (gdzie 𝑛 jest maksymalną możliwą do uzyskania liczbą punktów za dane zadanie).

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów. Pierwszy etap to wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego 3𝑥 2 − 2𝑥 − 16. Drugi etap to zapisanie zbioru rozwiązań nierówności kwadratowej 3𝑥 2 − 2𝑥 − 16 ≥ 0. Zdający otrzymuje 1 pkt gdy poprawnie zrealizuje pierwszy etap rozwiązania, tj. obliczy/poda pierwiastki trójmianu 8 kwadratowego 3𝑥 2 − 2𝑥 − 16: 𝑥1 = −2 oraz 𝑥2 = . 3 Zdający otrzymuje 2 pkt gdy spełni warunki określone w zasadach oceniania za 1 pkt oraz poprawnie zrealizuje drugi etap rozwiązania, tj.: 8 • zapisze zbiór rozwiązań nierówności: (−∞, −2⟩ ∪ ⟨ , +∞) lub 3 8 𝑥 ∈ (−∞, −2⟩ ∪ ⟨3 , +∞) ALBO • przedstawi zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów −2 8 𝑥 3 Uwagi: 1. Jeżeli zdający, realizując pierwszy etap rozwiązania zadania, popełni błędy (ale otrzyma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionych błędów zapisze zbiór rozwiązań nierówności, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy błędnie obliczony przez zdającego wyróżnik 𝛥 jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający, rozpoczynając realizację pierwszego etapu rozwiązania, rozpatruje inny niż podany w zadaniu trójmian kwadratowy, który nie wynika z błędu przekształcenia (np. 3𝑥 2 − 2𝑥 − 9) i w konsekwencji rozpatruje inną nierówność (np. 3𝑥 2 − 2𝑥 − 9 ≥ 0), to oznacza, że nie podjął realizacji 1. etapu rozwiązania i otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 4. Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci 𝑎 + 𝑏√𝑐 , gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 są liczbami wymiernymi. 5. Jeżeli zdający poda zbiór rozwiązań w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi 8 końcami przedziałów oraz zapisze: 𝑥 ∈ (−∞, −2) ∪ ( , +∞), to otrzymuje 1 punkt za 3 całe rozwiązanie. Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności 8 8 w postaci (−∞, ⟩ ∪ ⟨−2, +∞), (+∞, ⟩ ∪ ⟨−2, −∞), to otrzymuje 2 punkty. 3 3

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: Zdający otrzymuje 1 pkt gdy: • zapisze równania wynikające z zastosowania poprawnych wzorów na 𝑛–ty wyraz ciągu arytmetycznego i sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, np. 2𝑎 +(100−1)⋅𝑟 𝑎4 = 𝑎1 + 3𝑟 i 𝑆100 = 1 ⋅ 100 2 lub 𝑎 +𝑎 𝑎4 = 𝑎1 + 3𝑟 i 𝑎100 = 𝑎1 + 99𝑟 i 𝑆100 = 1 2 100 ⋅ 100 ALBO • poda/obliczy różnicę 𝑟 ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛 ): 𝑟 = 3 lub przyjmuje w rozwiązaniu, że 𝑟 = 3. Zdający otrzymuje 2 pkt gdy obliczy sumę stu początkowych kolejnych wyrazów ciągu (𝑎𝑛 ): 𝑆100 = 14 750. Uwagi: 1. Jeśli zdający błędnie obliczy 𝑟 i konsekwentnie do otrzymanej wartości 𝑟 obliczy sumę stu początkowych wyrazów ciągu (𝑎𝑛 ), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. 2. Jeśli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: Zdający otrzymuje 1 pkt gdy: 2 𝑎2 +𝑏 𝑎+𝑏 2 • przekształci nierówność > ( ) do postaci równoważnej (𝑎 − 𝑏)2 > 0 2 2 lub 𝑎2 + 𝑏 2 > 2𝑎𝑏 (dla sposobu 1.), o ile na tym zakończy lub z tej postaci wyciągnie wniosek ALBO • wykorzysta założenie 𝑎 ≠ 𝑏 (lub równoważnie (𝑎 − 𝑏)2 > 0) i zapisze 𝑎2 + 𝑏 2 > 2𝑎𝑏 (dla sposobu 2.), ALBO • wykorzysta założenie 𝑎 ≠ 𝑏 oraz zapisze nierówność pomiędzy średnimi: kwadratową i arytmetyczną, dla liczb nieujemnych (dla sposobu 3.). Zdający otrzymuje 2 pkt gdy przeprowadzi pełne rozumowanie, tzn. • spełni kryterium określone w zasadach oceniania w pierwszej kropce za 1 pkt oraz sformułuje poprawny wniosek z powołaniem się na założenie ALBO • spełni kryterium określone w zasadach oceniania w drugiej kropce za 1 pkt oraz doprowadzi nierówność do postaci tezy, ALBO • w sposobie 3., opierając się na nierówności pomiędzy średnią kwadratową i średnią 2 𝑎2 +𝑏 𝑎+𝑏 2 arytmetyczną, wykaże prawdziwość nierówności > ( ) dla każdych liczb 2 2 rzeczywistych 𝑎 i 𝑏 takich, że 𝑎 ≠ 𝑏 . Uwaga: Jeśli zdający sprawdza prawdziwość nierówności tylko dla wybranych wartości 𝑎 i 𝑏, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: Zdający otrzymuje 1 pkt gdy: sin 𝛼 • zapisze układ równań = 2 i sin2 𝛼 + cos2 𝛼 = 1 (lub jedno równanie cos 𝛼 2 1 równoważne temu układowi, np. (2 cos 𝛼)2 + cos 2 𝛼 = 1, sin2 𝛼 + ( sin 𝛼) = 1, 2 2 2 sin 𝛼 = 4(1 − sin 𝛼)) ALBO • narysuje trójkąt prostokątny, zaznaczy na rysunku kąt 𝛼 (lub z rozwiązania wynika, że poprawnie go interpretuje) i zapisze relację między przyprostokątnymi tego trójkąta wynikającą z warunku zadania oraz relację między długościami boków trójkąta wynikającą z twierdzenia Pitagorasa. Zdający otrzymuje 2 pkt gdy spełni kryterium za 1 punkt z zasad oceniania i obliczy wartość wyrażenia sin2 𝛼 : 4 sin2 𝛼 = 5 . Uwaga: Jeśli zdający odczyta przybliżoną wartość kąta, dla którego tg 𝛼 = 2 (𝛼 = 63° lub 𝛼 = 64°) i na tej podstawie oblicza sin2 𝛼 , stosując poprawnie regułę zaokrąglania, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: Zdający otrzymuje 1 pkt gdy: • zauważy, że trójkąt 𝐴𝐵𝐷 jest równoramienny i zapisze |𝐴𝐵| = |𝐴𝐷| lub |∡𝐴𝐵𝐷| = |∡𝐴𝐷𝐵| ALBO • zapisze, że |∡𝐴𝐷𝐵| = |∡𝐵𝐴𝐶|, ALBO • zapisze, że |∡𝐵𝐴𝐷| = |∡𝐴𝐶𝐵|. Zdający otrzymuje 2 pkt gdy zastosuje poprawną metodę i otrzyma poprawny wynik: |∡𝐵𝐴𝐶| = 72°. Uwagi: 1. Jeżeli zdający przyjmuje, że odcinek 𝐴𝐷 jest prostopadły do boku 𝐵𝐶 i korzysta z tego w rozwiązaniu, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 2. Jeśli zdający zapisze tylko |∡𝐵𝐴𝐶| = 72°, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: Zdający otrzymuje 1 pkt gdy: • wypisze wszystkie zdarzenia elementarne lub obliczy/poda ich liczbę: |Ω| = 9 ⋅ 9 ALBO • wypisze (zaznaczy w tabeli) wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴 i nie wypisze żadnego niewłaściwego: (3, 8), (4, 6), (6, 4), (8, 3), ALBO • poda liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴: |𝐴| = 4, ALBO • sporządzi fragment drzewa stochastycznego, które zawiera wszystkie gałęzie 1 sprzyjające zdarzeniu 𝐴 oraz zapisze prawdopodobieństwo na co najmniej 9 jednym odcinku każdego z etapów doświadczenia, ALBO 4 • zapisze tylko 𝑃(𝐴) = . 81 Zdający otrzymuje 2 pkt gdy spełni warunki określone w zasadach oceniania za 1 pkt oraz zastosuje poprawną metodę obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴 i uzyska poprawny wynik: |𝐴| 4 𝑃(𝐴) = |Ω| = 81 . Uwagi: 1. Jeżeli zdający zapisuje tylko liczby 4 lub 81 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych liczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający sporządzi jedynie tabelę o 81 pustych polach, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: dla sposobów 1.–5. Zdający otrzymuje 1 pkt gdy: • zapisze wzór funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 + 5)(𝑥 − 3) ALBO • poda/obliczy odciętą 𝑝 wierzchołka paraboli: 𝑝 = −1, ALBO • zapisze jedno równanie z niewiadomymi 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐 wynikające z treści zadania, np. 2 −(𝑏 −4𝑎𝑐) 𝑎⋅ (−5)2 2 + 𝑏 ⋅ (−5) + 𝑐 = 0 lub 𝑎 ⋅ 3 + 𝑏 ⋅ 3 + 𝑐 = 0, lub 6 = , 4𝑎 𝑏 𝑐 lub − = −2, lub = −15, 𝑎 𝑎 ALBO • zapisze, że rzędna 𝑞 wierzchołka paraboli jest równa 6: 𝑞 = 6. Zdający otrzymuje 2 pkt gdy: • zapisze wzór funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 + 5)(𝑥 − 3) lub w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 2𝑎𝑥 − 15𝑎 oraz zapisze, że rzędna wierzchołka paraboli jest równa 6 ALBO • zapisze wzór funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 + 1)2 + 6, ALBO • poda/obliczy odciętą wierzchołka paraboli i poda rzędną wierzchołka paraboli: 𝑝 = −1, 𝑞 = 6, ALBO • zapisze układ dwóch równań z trzema niewiadomymi 𝑎, 𝑏, 𝑐 , z których jedno jest jednym z równań 2 −(𝑏 −4𝑎𝑐) 6= lub 6 = 𝑎 ⋅ (−1)2 + 𝑏 ⋅ (−1) + 𝑐 , 4𝑎 natomiast drugie jest jednym z równań 𝑏 𝑎 ⋅ (−5)2 + 𝑏 ⋅ (−5) + 𝑐 = 0 lub 𝑎 ⋅ 32 + 𝑏 ⋅ 3 + 𝑐 = 0, lub − = −1, 2𝑎 𝑏 𝑐 lub − = −2, lub = −15, 𝑎 𝑎 ALBO • zapisze równanie 𝑎(𝑥 + 5)(𝑥 − 3) − 6 = 0 (dla sposobu 5.). Zdający otrzymuje 3 pkt gdy: • zapisze równanie z jedną niewiadomą 𝑎, np. 6 = 𝑎(−1 + 5)(−1 − 3) lub 0 = 𝑎(3 + 1)2 + 6, lub 0 = 𝑎(−5 + 1)2 + 6 ALBO • zapisze układ trzech niezależnych równań z trzema niewiadomymi 𝑎, 𝑏, 𝑐 prowadzący do obliczenia wartości współczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐 , np. 2 −(𝑏 −4𝑎𝑐) 𝑎⋅ (−5)2 2 + 𝑏 ⋅ (−5) + 𝑐 = 0 i 𝑎 ⋅ 3 + 𝑏 ⋅ 3 + 𝑐 = 0 i 6 = 4𝑎 LUB 2 𝑏 𝑐 −(𝑏 −4𝑎𝑐) − 𝑎 = −2 i 𝑎 = −15 i 6 = , 4𝑎 LUB 𝑎 ⋅ (−5)2 + 𝑏 ⋅ (−5) + 𝑐 = 0 i 𝑎 ⋅ 32 + 𝑏 ⋅ 3 + 𝑐 = 0 i 6 = 𝑎 ⋅ (−1)2 + 𝑏 ⋅ (−1) + 𝑐, LUB 𝑏 − = −1 i 𝑎 ⋅ 32 + 𝑏 ⋅ 3 + 𝑐 = 0 i 6 = 𝑎 ⋅ (−1)2 + 𝑏 ⋅ (−1) + 𝑐 , 2𝑎 LUB 𝑏 𝑎 ⋅ (−5)2 + 𝑏 ⋅ (−5) + 𝑐 = 0 i − 2𝑎 = −1 i 6 = 𝑎 ⋅ (−1)2 + 𝑏 ⋅ (−1) + 𝑐 , ALBO • uzależni współczynniki 𝑏 oraz 𝑐 od 𝑎 i zapisze współrzędne wierzchołka paraboli, np. 𝑏 = 2𝑎 oraz 𝑐 = −15𝑎 oraz 𝑊 = (−1, 6), ALBO • zapisze wzór funkcji w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 2𝑎𝑥 − 15𝑎 oraz zapisze współrzędne wierzchołka paraboli: 𝑊 = (−1, 6) (lub zapisze wzór funkcji w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎 + 6 oraz zapisze równość 𝑓(−5) = 0 lub 𝑓(3) = 0), ALBO • zapisze wzór funkcji w postaciach 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 − 2𝑎𝑝𝑥 + 𝑎𝑝2 + 6 i 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 2𝑎𝑥 − 15𝑎 oraz zapisze układ równań −2𝑎𝑝 = 2𝑎 i 𝑎𝑝2 + 6 = −15𝑎 , ALBO • uzależni współczynniki 𝑏 oraz 𝑐 od 𝑎 (np. 𝑏 = 2𝑎 oraz 𝑐 = −15𝑎 ) oraz zapisze związki Δ = 64𝑎2 i 𝑞 = 6, ALBO • zapisze, że wyróżnik trójmianu 𝑎𝑥 2 + 2𝑎𝑥 − 15𝑎 − 6 musi być równy 0 (dla sposobu 5.). Zdający otrzymuje 4 pkt gdy: • zapisze wzór funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 + 5)(𝑥 − 3) i obliczy 3 współczynnik 𝑎: 𝑎 = − 8 ALBO • zapisze wzór funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 + 1)2 + 6 i obliczy współczynnik 𝑎: 3 𝑎 = −8 , ALBO • obliczy poprawnie tylko dwa współczynniki spośród 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐 , pomijając w obliczeniach trzeci współczynnik, ALBO • obliczy współczynniki 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐 , popełniając w trakcie rozwiązywania jedynie błędy rachunkowe. Zdający otrzymuje 5 pkt 3 3 45 gdy obliczy współczynniki 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐 : 𝑎 = − , 𝑏 = − , 𝑐 = . 8 4 8 Uwagi: 1. Jeśli zdający poprawnie obliczy/poda obie współrzędne wierzchołka paraboli, ale zapisze błędne równanie 0 = 𝑎(3 − 1)2 + 6 lub 0 = 𝑎(−5 − 1)2 + 6, a następnie konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 3 punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeśli zdający poprawnie zidentyfikuje miejsca zerowe funkcji, ale zapisze błędne równanie 6 = 𝑎(−1 − 5)(−1 − 3) i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 3 punkty za całe rozwiązanie. 3. Jeśli zdający ustali poprawną wartość współczynnika 𝑎 i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, nie popełniając błędu, to może otrzymać 5 punktów za całe rozwiązanie. 4. Jeśli zdający przyjmie współrzędne wierzchołka paraboli (6, −1) i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 3 punkty za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B A B

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B B D 1 Załącznik nr 2 do rozporządzenia Ministra Edukacji Narodowej z dnia 20 marca 2020 r. w sprawie szczególnych rozwiązań w okresie czasowego ograniczenia funkcjonowania jednostek systemu oświaty w związku z zapobieganiem, przeciwdziałaniem i zwalczaniem COVID-19 (Dz.U. poz. 493, z późn. zm.).

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B C D

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B B C

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B A A

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B B C

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B C B

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B C D

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B B C

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B D C

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B D C

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B B A

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B D B

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B A D

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B A A

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B D A

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B B D

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B D A

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B D B

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B A D

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B B C

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B C C

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B A B

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B A D

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B B A

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B D C

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B B A

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B C B ZADANIA OTWARTE Uwagi ogólne: 1. Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania. 2. Jeżeli zdający poprawnie rozwiąże zadanie i otrzyma poprawny wynik, lecz w końcowym zapisie przekształca ten wynik i popełnia przy tym błąd, to może uzyskać maksymalną liczbę punktów. 3. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które na żadnym etapie rozwiązania nie upraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę i konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może otrzymać co najwyżej (𝑛 − 1) punktów (gdzie 𝑛 jest maksymalną możliwą do uzyskania liczbą punktów za dane zadanie).

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów. Pierwszy etap to wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego 3𝑥 2 − 2𝑥 − 16. Drugi etap to zapisanie zbioru rozwiązań nierówności kwadratowej 3𝑥 2 − 2𝑥 − 16 ≥ 0. Zdający otrzymuje 1 pkt gdy poprawnie zrealizuje pierwszy etap rozwiązania, tj. obliczy/poda pierwiastki trójmianu 8 kwadratowego 3𝑥 2 − 2𝑥 − 16: 𝑥1 = −2 oraz 𝑥2 = . 3 Zdający otrzymuje 2 pkt gdy spełni warunki określone w zasadach oceniania za 1 pkt oraz poprawnie zrealizuje drugi etap rozwiązania, tj.: 8 • zapisze zbiór rozwiązań nierówności: (−∞, −2⟩ ∪ ⟨ , +∞) lub 3 8 𝑥 ∈ (−∞, −2⟩ ∪ ⟨3 , +∞) ALBO • przedstawi zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów −2 8 𝑥 3 Uwagi: 1. Jeżeli zdający, realizując pierwszy etap rozwiązania zadania, popełni błędy (ale otrzyma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionych błędów zapisze zbiór rozwiązań nierówności, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy błędnie obliczony przez zdającego wyróżnik 𝛥 jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający, rozpoczynając realizację pierwszego etapu rozwiązania, rozpatruje inny niż podany w zadaniu trójmian kwadratowy, który nie wynika z błędu przekształcenia (np. 3𝑥 2 − 2𝑥 − 9) i w konsekwencji rozpatruje inną nierówność (np. 3𝑥 2 − 2𝑥 − 9 ≥ 0), to oznacza, że nie podjął realizacji 1. etapu rozwiązania i otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 4. Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci 𝑎 + 𝑏√𝑐 , gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 są liczbami wymiernymi. 5. Jeżeli zdający poda zbiór rozwiązań w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi 8 końcami przedziałów oraz zapisze: 𝑥 ∈ (−∞, −2) ∪ ( , +∞), to otrzymuje 1 punkt za 3 całe rozwiązanie. Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności 8 8 w postaci (−∞, ⟩ ∪ ⟨−2, +∞), (+∞, ⟩ ∪ ⟨−2, −∞), to otrzymuje 2 punkty. 3 3

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: Zdający otrzymuje 1 pkt gdy: • zapisze równania wynikające z zastosowania poprawnych wzorów na 𝑛–ty wyraz ciągu arytmetycznego i sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, np. 2𝑎 +(100−1)⋅𝑟 𝑎4 = 𝑎1 + 3𝑟 i 𝑆100 = 1 ⋅ 100 2 lub 𝑎 +𝑎 𝑎4 = 𝑎1 + 3𝑟 i 𝑎100 = 𝑎1 + 99𝑟 i 𝑆100 = 1 2 100 ⋅ 100 ALBO • poda/obliczy różnicę 𝑟 ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛 ): 𝑟 = 3 lub przyjmuje w rozwiązaniu, że 𝑟 = 3. Zdający otrzymuje 2 pkt gdy obliczy sumę stu początkowych kolejnych wyrazów ciągu (𝑎𝑛 ): 𝑆100 = 14 750. Uwagi: 1. Jeśli zdający błędnie obliczy 𝑟 i konsekwentnie do otrzymanej wartości 𝑟 obliczy sumę stu początkowych wyrazów ciągu (𝑎𝑛 ), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. 2. Jeśli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: Zdający otrzymuje 1 pkt gdy: 2 𝑎2 +𝑏 𝑎+𝑏 2 • przekształci nierówność > ( ) do postaci równoważnej (𝑎 − 𝑏)2 > 0 2 2 lub 𝑎2 + 𝑏 2 > 2𝑎𝑏 (dla sposobu 1.), o ile na tym zakończy lub z tej postaci wyciągnie wniosek ALBO • wykorzysta założenie 𝑎 ≠ 𝑏 (lub równoważnie (𝑎 − 𝑏)2 > 0) i zapisze 𝑎2 + 𝑏 2 > 2𝑎𝑏 (dla sposobu 2.), ALBO • wykorzysta założenie 𝑎 ≠ 𝑏 oraz zapisze nierówność pomiędzy średnimi: kwadratową i arytmetyczną, dla liczb nieujemnych (dla sposobu 3.). Zdający otrzymuje 2 pkt gdy przeprowadzi pełne rozumowanie, tzn. • spełni kryterium określone w zasadach oceniania w pierwszej kropce za 1 pkt oraz sformułuje poprawny wniosek z powołaniem się na założenie ALBO • spełni kryterium określone w zasadach oceniania w drugiej kropce za 1 pkt oraz doprowadzi nierówność do postaci tezy, ALBO • w sposobie 3., opierając się na nierówności pomiędzy średnią kwadratową i średnią 2 𝑎2 +𝑏 𝑎+𝑏 2 arytmetyczną, wykaże prawdziwość nierówności > ( ) dla każdych liczb 2 2 rzeczywistych 𝑎 i 𝑏 takich, że 𝑎 ≠ 𝑏 . Uwaga: Jeśli zdający sprawdza prawdziwość nierówności tylko dla wybranych wartości 𝑎 i 𝑏, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: Zdający otrzymuje 1 pkt gdy: sin 𝛼 • zapisze układ równań = 2 i sin2 𝛼 + cos2 𝛼 = 1 (lub jedno równanie cos 𝛼 2 1 równoważne temu układowi, np. (2 cos 𝛼)2 + cos 2 𝛼 = 1, sin2 𝛼 + ( sin 𝛼) = 1, 2 2 2 sin 𝛼 = 4(1 − sin 𝛼)) ALBO • narysuje trójkąt prostokątny, zaznaczy na rysunku kąt 𝛼 (lub z rozwiązania wynika, że poprawnie go interpretuje) i zapisze relację między przyprostokątnymi tego trójkąta wynikającą z warunku zadania oraz relację między długościami boków trójkąta wynikającą z twierdzenia Pitagorasa. Zdający otrzymuje 2 pkt gdy spełni kryterium za 1 punkt z zasad oceniania i obliczy wartość wyrażenia sin2 𝛼 : 4 sin2 𝛼 = 5 . Uwaga: Jeśli zdający odczyta przybliżoną wartość kąta, dla którego tg 𝛼 = 2 (𝛼 = 63° lub 𝛼 = 64°) i na tej podstawie oblicza sin2 𝛼 , stosując poprawnie regułę zaokrąglania, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: Zdający otrzymuje 1 pkt gdy: • zauważy, że trójkąt 𝐴𝐵𝐷 jest równoramienny i zapisze |𝐴𝐵| = |𝐴𝐷| lub |∡𝐴𝐵𝐷| = |∡𝐴𝐷𝐵| ALBO • zapisze, że |∡𝐴𝐷𝐵| = |∡𝐵𝐴𝐶|, ALBO • zapisze, że |∡𝐵𝐴𝐷| = |∡𝐴𝐶𝐵|. Zdający otrzymuje 2 pkt gdy zastosuje poprawną metodę i otrzyma poprawny wynik: |∡𝐵𝐴𝐶| = 72°. Uwagi: 1. Jeżeli zdający przyjmuje, że odcinek 𝐴𝐷 jest prostopadły do boku 𝐵𝐶 i korzysta z tego w rozwiązaniu, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 2. Jeśli zdający zapisze tylko |∡𝐵𝐴𝐶| = 72°, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: Zdający otrzymuje 1 pkt gdy: • wypisze wszystkie zdarzenia elementarne lub obliczy/poda ich liczbę: |Ω| = 9 ⋅ 9 ALBO • wypisze (zaznaczy w tabeli) wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴 i nie wypisze żadnego niewłaściwego: (3, 8), (4, 6), (6, 4), (8, 3), ALBO • poda liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴: |𝐴| = 4, ALBO • sporządzi fragment drzewa stochastycznego, które zawiera wszystkie gałęzie 1 sprzyjające zdarzeniu 𝐴 oraz zapisze prawdopodobieństwo na co najmniej 9 jednym odcinku każdego z etapów doświadczenia, ALBO 4 • zapisze tylko 𝑃(𝐴) = . 81 Zdający otrzymuje 2 pkt gdy spełni warunki określone w zasadach oceniania za 1 pkt oraz zastosuje poprawną metodę obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴 i uzyska poprawny wynik: |𝐴| 4 𝑃(𝐴) = |Ω| = 81 . Uwagi: 1. Jeżeli zdający zapisuje tylko liczby 4 lub 81 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych liczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający sporządzi jedynie tabelę o 81 pustych polach, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: dla sposobów 1.–5. Zdający otrzymuje 1 pkt gdy: • zapisze wzór funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 + 5)(𝑥 − 3) ALBO • poda/obliczy odciętą 𝑝 wierzchołka paraboli: 𝑝 = −1, ALBO • zapisze jedno równanie z niewiadomymi 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐 wynikające z treści zadania, np. 2 −(𝑏 −4𝑎𝑐) 𝑎⋅ (−5)2 2 + 𝑏 ⋅ (−5) + 𝑐 = 0 lub 𝑎 ⋅ 3 + 𝑏 ⋅ 3 + 𝑐 = 0, lub 6 = , 4𝑎 𝑏 𝑐 lub − = −2, lub = −15, 𝑎 𝑎 ALBO • zapisze, że rzędna 𝑞 wierzchołka paraboli jest równa 6: 𝑞 = 6. Zdający otrzymuje 2 pkt gdy: • zapisze wzór funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 + 5)(𝑥 − 3) lub w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 2𝑎𝑥 − 15𝑎 oraz zapisze, że rzędna wierzchołka paraboli jest równa 6 ALBO • zapisze wzór funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 + 1)2 + 6, ALBO • poda/obliczy odciętą wierzchołka paraboli i poda rzędną wierzchołka paraboli: 𝑝 = −1, 𝑞 = 6, ALBO • zapisze układ dwóch równań z trzema niewiadomymi 𝑎, 𝑏, 𝑐 , z których jedno jest jednym z równań 2 −(𝑏 −4𝑎𝑐) 6= lub 6 = 𝑎 ⋅ (−1)2 + 𝑏 ⋅ (−1) + 𝑐 , 4𝑎 natomiast drugie jest jednym z równań 𝑏 𝑎 ⋅ (−5)2 + 𝑏 ⋅ (−5) + 𝑐 = 0 lub 𝑎 ⋅ 32 + 𝑏 ⋅ 3 + 𝑐 = 0, lub − = −1, 2𝑎 𝑏 𝑐 lub − = −2, lub = −15, 𝑎 𝑎 ALBO • zapisze równanie 𝑎(𝑥 + 5)(𝑥 − 3) − 6 = 0 (dla sposobu 5.). Zdający otrzymuje 3 pkt gdy: • zapisze równanie z jedną niewiadomą 𝑎, np. 6 = 𝑎(−1 + 5)(−1 − 3) lub 0 = 𝑎(3 + 1)2 + 6, lub 0 = 𝑎(−5 + 1)2 + 6 ALBO • zapisze układ trzech niezależnych równań z trzema niewiadomymi 𝑎, 𝑏, 𝑐 prowadzący do obliczenia wartości współczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐 , np. 2 −(𝑏 −4𝑎𝑐) 𝑎⋅ (−5)2 2 + 𝑏 ⋅ (−5) + 𝑐 = 0 i 𝑎 ⋅ 3 + 𝑏 ⋅ 3 + 𝑐 = 0 i 6 = 4𝑎 LUB 2 𝑏 𝑐 −(𝑏 −4𝑎𝑐) − 𝑎 = −2 i 𝑎 = −15 i 6 = , 4𝑎 LUB 𝑎 ⋅ (−5)2 + 𝑏 ⋅ (−5) + 𝑐 = 0 i 𝑎 ⋅ 32 + 𝑏 ⋅ 3 + 𝑐 = 0 i 6 = 𝑎 ⋅ (−1)2 + 𝑏 ⋅ (−1) + 𝑐, LUB 𝑏 − = −1 i 𝑎 ⋅ 32 + 𝑏 ⋅ 3 + 𝑐 = 0 i 6 = 𝑎 ⋅ (−1)2 + 𝑏 ⋅ (−1) + 𝑐 , 2𝑎 LUB 𝑏 𝑎 ⋅ (−5)2 + 𝑏 ⋅ (−5) + 𝑐 = 0 i − 2𝑎 = −1 i 6 = 𝑎 ⋅ (−1)2 + 𝑏 ⋅ (−1) + 𝑐 , ALBO • uzależni współczynniki 𝑏 oraz 𝑐 od 𝑎 i zapisze współrzędne wierzchołka paraboli, np. 𝑏 = 2𝑎 oraz 𝑐 = −15𝑎 oraz 𝑊 = (−1, 6), ALBO • zapisze wzór funkcji w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 2𝑎𝑥 − 15𝑎 oraz zapisze współrzędne wierzchołka paraboli: 𝑊 = (−1, 6) (lub zapisze wzór funkcji w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎 + 6 oraz zapisze równość 𝑓(−5) = 0 lub 𝑓(3) = 0), ALBO • zapisze wzór funkcji w postaciach 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 − 2𝑎𝑝𝑥 + 𝑎𝑝2 + 6 i 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 2𝑎𝑥 − 15𝑎 oraz zapisze układ równań −2𝑎𝑝 = 2𝑎 i 𝑎𝑝2 + 6 = −15𝑎 , ALBO • uzależni współczynniki 𝑏 oraz 𝑐 od 𝑎 (np. 𝑏 = 2𝑎 oraz 𝑐 = −15𝑎 ) oraz zapisze związki Δ = 64𝑎2 i 𝑞 = 6, ALBO • zapisze, że wyróżnik trójmianu 𝑎𝑥 2 + 2𝑎𝑥 − 15𝑎 − 6 musi być równy 0 (dla sposobu 5.). Zdający otrzymuje 4 pkt gdy: • zapisze wzór funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 + 5)(𝑥 − 3) i obliczy 3 współczynnik 𝑎: 𝑎 = − 8 ALBO • zapisze wzór funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 + 1)2 + 6 i obliczy współczynnik 𝑎: 3 𝑎 = −8 , ALBO • obliczy poprawnie tylko dwa współczynniki spośród 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐 , pomijając w obliczeniach trzeci współczynnik, ALBO • obliczy współczynniki 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐 , popełniając w trakcie rozwiązywania jedynie błędy rachunkowe. Zdający otrzymuje 5 pkt 3 3 45 gdy obliczy współczynniki 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐 : 𝑎 = − , 𝑏 = − , 𝑐 = . 8 4 8 Uwagi: 1. Jeśli zdający poprawnie obliczy/poda obie współrzędne wierzchołka paraboli, ale zapisze błędne równanie 0 = 𝑎(3 − 1)2 + 6 lub 0 = 𝑎(−5 − 1)2 + 6, a następnie konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 3 punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeśli zdający poprawnie zidentyfikuje miejsca zerowe funkcji, ale zapisze błędne równanie 6 = 𝑎(−1 − 5)(−1 − 3) i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 3 punkty za całe rozwiązanie. 3. Jeśli zdający ustali poprawną wartość współczynnika 𝑎 i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, nie popełniając błędu, to może otrzymać 5 punktów za całe rozwiązanie. 4. Jeśli zdający przyjmie współrzędne wierzchołka paraboli (6, −1) i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 3 punkty za całe rozwiązanie.