Wersja arkusza
MMAP-P0-100-2305 · Formuła 2023
Zadanie 11 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Na osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów.
−2 5 𝑥
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Zbiór zaznaczony na osi jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności
A. |𝑥 − 3,5| ≥ 1,5 B. |𝑥 − 1,5| ≥ 3,5
C. |𝑥 − 3,5| ≤ 1,5 D. |𝑥 − 1,5| ≤ 3,5
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
B DOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 21 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
3 27 3
Liczba √− ⋅ jest równa
16 √2
3 3 2 2
A. (− ) B. C. D. (− )
2 2 3 3
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A BOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 32 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
𝟐
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej 𝒏 ≥ 𝟏 liczba (𝟐𝒏 + 𝟏) − 𝟏 jest podzielna przez 𝟖.
Pokaż odpowiedź
Sposób I
Korzystając z wzoru skróconego mnożenia, zapisujemy liczbę (2𝑛 + 1)2 − 1 w postaci
(2𝑛 + 1)2 − 1 = 4𝑛2 + 4𝑛 + 1 − 1 = 4𝑛(𝑛 + 1)
Ponieważ liczby 𝑛 oraz 𝑛 + 1 są kolejnymi liczbami naturalnymi, to jedna z nich jest liczbą
parzystą, zatem iloczyn 𝑛(𝑛 + 1) jest liczbą parzystą, więc iloczyn 4𝑛(𝑛 + 1) jest
podzielny przez 8. To należało wykazać.
Sposób II
Korzystając z wzoru skróconego mnożenia, zapisujemy liczbę (2𝑛 + 1)2 − 1 w postaci
(2𝑛 + 1)2 − 1 = 4𝑛2 + 4𝑛 + 1 − 1 = 4(𝑛2 + 𝑛)
Gdy 𝑛 jest liczbą nieparzystą, to liczba 𝑛2 jest liczbą nieparzystą. Zatem 𝑛2 + 𝑛 jest
liczbą parzystą jako suma dwóch liczb nieparzystych.
Gdy 𝑛 jest liczbą parzystą, to liczba 𝑛2 jest liczbą parzystą. Zatem 𝑛2 + 𝑛 jest liczbą
parzystą jako suma dwóch liczb parzystych.
Stąd 4(𝑛2 + 𝑛) jest liczbą podzielną przez 8. To należało wykazać.
Sposób III
Korzystając z wzoru skróconego mnożenia, zapisujemy liczbę (2𝑛 + 1)2 − 1 w postaci
(2𝑛 + 1)2 − 1 = [(2𝑛 + 1) − 1] ⋅ [(2𝑛 + 1) + 1] = 2𝑛 ⋅ (2𝑛 + 2)
Ponieważ liczby 2𝑛 oraz 2𝑛 + 2 są kolejnymi liczbami parzystymi, to jedna z nich jest
liczbą podzielną przez 4. Zatem iloczyn 2𝑛(2𝑛 + 2) jest liczbą podzielną przez 2 ⋅ 4, czyli
przez 8. To należało wykazać.
Sposób IV
Rozważmy dwa przypadki: gdy 𝑛 jest liczbą parzystą oraz gdy 𝑛 jest liczbą nieparzystą.
Jeśli 𝑛 jest liczbą parzystą, możemy ją zapisać w postaci 𝑛 = 2𝑙 , gdzie 𝑙 ∈ ℕ. Wówczas
badana liczba ma postać
(2𝑛 + 1)2 − 1 = (2 ⋅ 2𝑙 + 1)2 − 1 = 16𝑙 2 + 8𝑙 + 1 − 1 = 8𝑙(2𝑙 + 1)
Ponieważ 𝑙 ∈ ℕ, to również iloczyn 𝑙(2𝑙 + 1) jest liczbą naturalną. Zatem iloczyn
8𝑙(2𝑙 + 1) jest podzielny przez 8.
Jeśli liczba 𝑛 jest nieparzysta, zapisujemy ją w postaci 𝑛 = 2𝑙 + 1, gdzie 𝑙 ∈ ℕ. Wówczas
badana liczba ma postać
(2𝑛 + 1)2 − 1 = [2(2𝑙 + 1) + 1]2 − 1 = [4𝑙 + 3]2 − 1 =
= 16𝑙 2 + 24𝑙 + 9 − 1 = 8(2𝑙 2 + 3𝑙 + 1)
Ponieważ 𝑙 ∈ ℕ, to również 2𝑙 2 + 3𝑙 + 1 jest liczbą naturalną. Zatem iloczyn
8(2𝑙 2 + 3𝑙 + 1) jest podzielny przez 8. To należało wykazać.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 2 pkt – przekształcenie wyrażenia (2𝑛 + 1)2 − 1 do postaci iloczynu 4𝑛(𝑛 + 1) oraz
stwierdzenie, że iloczyn 𝑛(𝑛 + 1) jest liczbą parzystą
lub przekształcenie wyrażenia (2𝑛 + 1)2 − 1 do postaci 4(𝑛2 + 𝑛) i uzasadnienie,
że suma 𝑛2 + 𝑛 jest liczbą parzystą
ALBO
– przekształcenie wyrażenia (2𝑛 + 1)2 − 1 do postaci 2𝑛(2𝑛 + 2) oraz
stwierdzenie, że wśród dwóch kolejnych liczb parzystych jedna z nich jest liczbą
podzielną przez 4,
ALBO
– rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛 = 2𝑙 (gdzie 𝑙 ∈ ℕ), tj. przekształcenie wyrażenia
(2𝑛 + 1)2 − 1 do postaci 8𝑙(2𝑙 + 1) i zapisanie, że iloczyn 𝑙(2𝑙 + 1) jest liczbą
naturalną/całkowitą oraz rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛 = 2𝑙 + 1 (gdzie 𝑙 ∈ ℕ),
tj. przekształcenie wyrażenia (2𝑛 + 1)2 − 1 do postaci 8(2𝑙 2 + 3𝑙 + 1) i
zapisanie, że suma 2𝑙 2 + 3𝑙 + 1 jest liczbą naturalną/całkowitą.
1 pkt – przekształcenie wyrażenia (2𝑛 + 1)2 − 1 do postaci 4𝑛(𝑛 + 1) lub 4(𝑛2 + 𝑛),
lub 2𝑛(2𝑛 + 2)
ALBO
– przekształcenie wyrażenia (2𝑛 + 1)2 − 1 do postaci 4𝑛2 + 4𝑛 i stwierdzenie, że
ta suma jest liczbą podzielną przez 4,
ALBO
– rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛 = 2𝑙 (gdzie 𝑙 ∈ ℕ), tj. przekształcenie wyrażenia
(2𝑛 + 1)2 − 1 do postaci 8𝑙(2𝑙 + 1) i zapisanie, że iloczyn 𝑙(2𝑙 + 1) jest liczbą
naturalną/całkowitą,
ALBO
– rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛 = 2𝑙 + 1 (gdzie 𝑙 ∈ ℕ), tj. przekształcenie
wyrażenia (2𝑛 + 1)2 − 1 do postaci 8(2𝑙 2 + 3𝑙 + 1) i zapisanie, że suma
2𝑙 2 + 3𝑙 + 1 jest liczbą naturalną/całkowitą.
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy tylko dla wybranych wartości 𝑛, to otrzymuje
0 punktów za całe rozwiązanie.
2. Jeżeli zdający przyjmuje np. 𝑛 = 8𝑘 + 𝑟, gdzie 𝑘 ∈ ℕ i 𝑟 jest resztą z dzielenia liczby 𝑛
przez 8, i przeprowadzi poprawne rozumowanie dla co najmniej połowy przypadków, ale
nie przeprowadzi pełnego rozumowania dla wszystkich przypadków, to otrzymuje 1 punkt
za całe rozwiązanie.
3. Jeżeli zdający rozpatruje przypadki 𝑛 = 2𝑙 oraz 𝑛 = 2𝑙 + 1 (gdzie 𝑙 ∈ ℕ) i przekształca
wyrażenie (2𝑛 + 1)2 − 1 do postaci, odpowiednio, 8𝑙(2𝑙 + 1) oraz 2𝑙 2 + 3𝑙 + 1, ale
nie zapisze, że 8𝑙(2𝑙 + 1) oraz 2𝑙 2 + 3𝑙 + 1 są liczbami naturalnymi/całkowitymi, to
otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
Zadanie 41 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba log 9 27 + log 9 3 jest równa
A. 81 B. 9 C. 4 D. 2
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
D COdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 51 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 wyrażenie (2𝑎 − 3)2 − (2𝑎 + 3)2 jest równe
A. −24𝑎 B. 0 C. 18 D. 16𝑎2 − 24𝑎
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A BOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 61 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności
2−𝑥
−2(𝑥 + 3) ≤
3
jest przedział
A. (−∞, −4] B. (−∞, 4] C. [−4, ∞) D. [4, ∞)
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
C AOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 71 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Jednym z rozwiązań równania √3(𝑥 2 − 2)(𝑥 + 3) = 0 jest liczba
A. 3 B. 2 C. √3 D. √2
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
D DOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 81 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
2
(𝑥+1)(𝑥−1)
Równanie 2 = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych
(𝑥−1)(𝑥+1)
A. nie ma rozwiązania.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: −1.
C. ma dokładnie jedno rozwiązanie: 1.
D. ma dokładnie dwa rozwiązania: −1 oraz 1.
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A AOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 93 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Rozwiąż równanie
𝟑𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟖 = 𝟎
Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź
Sposób I
Przekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:
3𝑥 3 − 2𝑥 2 − 12𝑥 + 8 = 0
𝑥 2 (3𝑥 − 2) − 4(3𝑥 − 2) = 0
(3𝑥 − 2)(𝑥 2 − 4) = 0
(3𝑥 − 2)(𝑥 − 2)(𝑥 + 2) = 0
3𝑥 − 2 = 0 lub 𝑥 − 2 = 0 lub 𝑥 + 2 = 0
2
𝑥= lub 𝑥 = 2 lub 𝑥 = −2
3
2
Rozwiązaniami równania są liczby: (−2), , 2.
3
Sposób II
Przekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:
3𝑥 3 − 2𝑥 2 − 12𝑥 + 8 = 0
3𝑥(𝑥 2 − 4) − 2(𝑥 2 − 4) = 0
(3𝑥 − 2)(𝑥 2 − 4) = 0
(3𝑥 − 2)(𝑥 − 2)(𝑥 + 2) = 0
3𝑥 − 2 = 0 lub 𝑥 − 2 = 0 lub 𝑥 + 2 = 0
2
𝑥= lub 𝑥 = 2 lub 𝑥 = −2
3
2
Rozwiązaniami równania są liczby: (−2), , 2.
3
Sposób III
Obliczamy 𝑊(2) = 0 i stwierdzamy, że liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu
𝑊(𝑥) = 3𝑥 3 − 2𝑥 2 − 12𝑥 + 8.
Zatem wielomian 𝑊 jest podzielny przez dwumian 𝑥 − 2. Dzielimy wielomian 𝑊 przez
dwumian 𝑥 − 2 i otrzymujemy
(3𝑥 3 − 2𝑥 2 − 12𝑥 + 8): (𝑥 − 2) = 3𝑥 2 + 4𝑥 − 4
Zatem 𝑊(𝑥) = (𝑥 − 2)(3𝑥 2 + 4𝑥 − 4).
Obliczamy pierwiastki trójmianu 3𝑥 2 + 4𝑥 − 4:
Δ = 42 − 4 ⋅ 3 ⋅ (−4) = 64
−4 − 8 −4 + 8 2
𝑥= = −2 oraz 𝑥 = =
2⋅3 2⋅3 3
2
Rozwiązaniami równania są liczby: (−2), , 2.
3
Sposób IV
Obliczamy 𝑊(2) = 0 i stwierdzamy, że liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu
𝑊(𝑥) = 3𝑥 3 − 2𝑥 2 − 12𝑥 + 8.
Obliczamy 𝑊(−2) = 0 i stwierdzamy, że liczba (−2) jest pierwiastkiem wielomianu
𝑊(𝑥) = 3𝑥 3 − 2𝑥 2 − 12𝑥 + 8.
2 2
Obliczamy 𝑊 ( ) = 0 i stwierdzamy, że liczba jest pierwiastkiem wielomianu
3 3
𝑊(𝑥) = 3𝑥 3 − 2𝑥 2 − 12𝑥 + 8.
Ponieważ 𝑊 jest wielomianem stopnia trzeciego, więc ma co najwyżej trzy pierwiastki
rzeczywiste. Oznacza to, że jedynymi rozwiązaniami równania 3𝑥 3 − 2𝑥 2 − 12𝑥 + 8 = 0
2
są liczby: (−2), , 2.
3Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 3 pkt – poprawna metoda rozwiązania równania i obliczenie wszystkich rozwiązań równania:
2
(−2), , 2
3
ALBO
2
– wyznaczenie wszystkich rozwiązań równania: (−2), , 2, oraz stwierdzenie, że są
3
to jedyne rozwiązania równania.
2 pkt – przekształcenie lewej strony równania do postaci iloczynu wielomianów stopnia co
najwyżej drugiego oraz rozwiązanie jednego z równań wynikającego z tego rozkładu,
2
np. (3𝑥 − 2)(𝑥 2 − 4) = 0 i 𝑥 = ,
3
2
(3𝑥 − 2)(𝑥 − 4) = 0 i 𝑥 = −2 oraz 𝑥 = 2
ALBO
– obliczenie jednego z pierwiastków wielomianu 𝑊 oraz poprawne podzielenie
wielomianu 𝑊 przez odpowiedni dwumian, np.
𝑥 = 2 i (3𝑥 3 − 2𝑥 2 − 12𝑥 + 8): (𝑥 − 2) = 3𝑥 2 + 4𝑥 − 4,
ALBO
– rozłożenie wielomianu 𝑊(𝑥) = 3𝑥 3 − 2𝑥 2 − 12𝑥 + 8 na czynniki liniowe, np.
𝑊(𝑥) = (3𝑥 − 2)(𝑥 − 2)(𝑥 + 2),
ALBO
– przekształcenie równania 3𝑥 3 − 2𝑥 2 − 12𝑥 + 8 = 0 do postaci alternatywy równań
i rozwiązanie jednego z nich, np.
(3𝑥 − 2 = 0 lub 𝑥 2 − 4 = 0) i 𝑥 = 2 oraz 𝑥 = −2.
1 pkt – przekształcenie lewej strony równania do postaci iloczynu wielomianów stopnia co
najwyżej drugiego, np. (3𝑥 − 2)(𝑥 2 − 4) = 0
ALBO
– zapisanie jednego z rozwiązań równania 3𝑥 3 − 2𝑥 2 − 12𝑥 + 8 = 0 (jeśli to
rozwiązanie nie zostało otrzymane w wyniku zastosowania błędnej metody),
ALBO
– przekształcenie równania 3𝑥 3 − 2𝑥 2 − 12𝑥 + 8 = 0 do postaci alternatywy równań,
np. 3𝑥 − 2 = 0 lub 𝑥 2 − 4 = 0.
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający uzyska trzy poprawne pierwiastki wielomianu, lecz traktuje równanie jako
nierówność (podaje zbiór rozwiązań w postaci przedziału/ sumy przedziałów), to otrzymuje
2 punkty za całe rozwiązanie.
2. Jeżeli zdający przy przekształcaniu lewej strony równania do postaci iloczynu zapisuje
czynnik (3𝑥 − 2) z wykładnikiem 2, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe
rozwiązanie.
Zadanie 101 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Na rysunku przedstawiono interpretację geometryczną w kartezjańskim układzie
współrzędnych (𝑥, 𝑦) jednego z niżej zapisanych układów równań A–D.
𝑦
5
4
3
2
1
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 𝑥
−1
−2
−3
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest
𝑦 = −𝑥 + 2
A. {
𝑦 = −2𝑥 + 1
𝑦 =𝑥−2
B. {
𝑦 = −2𝑥 − 1
𝑦 =𝑥−2
C. {
𝑦 = 2𝑥 + 1
𝑦 = −𝑥 + 2
D. {
𝑦 = 2𝑥 − 1
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
D COdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 112 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Dany jest prostokąt o bokach długości 𝑎 i 𝑏, gdzie 𝑎 > 𝑏. Obwód tego prostokąta jest
równy 30. Jeden z boków prostokąta jest o 5 krótszy od drugiego.
Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami 11.
A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach. Zależności między długościami boków tego prostokąta zapisano w układach równań
oznaczonych literami: ……… oraz ……… .
2𝑎𝑏 = 30
A. {
𝑎−𝑏 =5
2𝑎 + 𝑏 = 30
B. {
𝑎 = 5𝑏
2(𝑎 + 𝑏) = 30
C. {
𝑏 =𝑎−5
2𝑎 + 2𝑏 = 30
D. {
𝑏 = 5𝑎
2𝑎 + 2𝑏 = 30
E. {
𝑎−𝑏 =5
𝑎 + 𝑏 = 30
F. {
𝑎 =𝑏+5
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
CE ADOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 2 pkt – wybranie dwóch odpowiedzi, z których obie są poprawne.
1 pkt – wybranie jednej lub dwóch odpowiedzi, z których jedna jest poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 12.11 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dziedziną funkcji 𝑓 jest zbiór
A. [−6, 5] B. (−6, 5) C. (−3, 5] D. [−3, 5]
W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) narysowano wykres funkcji 𝑦 = 𝑓(𝑥)
(zobacz rysunek).
𝑦
5
4
3
2
1
−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 𝑥
−1
−2
−3
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A COdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 12.21 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Największa wartość funkcji 𝑓 w przedziale [−4, 1] jest równa
A. 0 B. 1 C. 2 D. 5
W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) narysowano wykres funkcji 𝑦 = 𝑓(𝑥)
(zobacz rysunek).
𝑦
5
4
3
2
1
−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 𝑥
−1
−2
−3
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
C BOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 12.31 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Funkcja 𝑓 jest malejąca w zbiorze
A. [−6, −3) B. [−3, 1] C. (1, 2] D. [2, 5]
W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) narysowano wykres funkcji 𝑦 = 𝑓(𝑥)
(zobacz rysunek).
𝑦
5
4
3
2
1
−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 𝑥
−1
−2
−3
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
D BOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 131 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Funkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑦
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, gdzie 𝑎 i 𝑏 są pewnymi
liczbami rzeczywistymi. Na rysunku obok
przedstawiono fragment wykresu funkcji 𝑓
1
w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦).
0 1 𝑥
𝑦 = 𝑓(𝑥)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba 𝑎 oraz liczba 𝑏 we wzorze funkcji 𝑓 spełniają warunki:
A. 𝑎 > 0 i 𝑏 > 0. B. 𝑎 > 0 i 𝑏 < 0.
C. 𝑎 < 0 i 𝑏 > 0. D. 𝑎 < 0 i 𝑏 < 0.
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
C DOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 141 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej 𝑓 jest liczba (−5). Pierwsza współrzędna
wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji 𝑓 , jest równa 3.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Drugim miejscem zerowym funkcji 𝑓 jest liczba
A. 11 B. 1 C. (−1) D. (−13)
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A COdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 151 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Ciąg (𝑎𝑛 ) jest określony wzorem 𝑎𝑛 = 2𝑛 ⋅ (𝑛 + 1) dla każdej liczby naturalnej 𝑛 ≥ 1.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wyraz 𝑎4 jest równy
A. 64 B. 40 C. 48 D. 80
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
D COdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 161 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Trzywyrazowy ciąg (27, 9, 𝑎 − 1) jest geometryczny.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba 𝑎 jest równa
A. 3 B. 0 C. 4 D. 2
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
C BOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 172 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości 8910 zł w osiemnastu ratach. Każda kolejna
rata była mniejsza od poprzedniej o 30 zł.
17. Oblicz kwotę pierwszej raty. Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź
Sposób I
Kolejne raty tworzą ciąg arytmetyczny, w którym 𝑆18 = 8910 i 𝑟 = −30. Korzystamy ze
wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i otrzymujemy równanie
2𝑎1 + 17 ⋅ (−30)
⋅ 18 = 8910
2
Przekształcając to równanie równoważnie, otrzymujemy
9(2𝑎1 − 510) = 8910
2𝑎1 − 510 = 990
𝑎1 = 750
Pierwsza rata była równa 750 zł.
Sposób II
Przyjmujemy, że kolejne (licząc od końca) raty tworzą ciąg arytmetyczny, w którym
𝑆18 = 8910 i 𝑟 = 30. Korzystamy ze wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu
arytmetycznego i otrzymujemy równanie
2𝑎1 + 17 ⋅ 30
⋅ 18 = 8910
2
Przekształcając to równanie równoważnie, otrzymujemy
9(2𝑎1 + 510) = 8910
2𝑎1 + 510 = 990
𝑎1 = 240
Ostatnia rata była równa 240 zł.
Obliczamy wysokość pierwszej raty
𝑎18 = 240 + 17 ⋅ 30 = 750
Pierwsza rata była równa 750 zł.
Sposób III
Kolejne kwoty, o które pomniejszana jest pierwsza rata, tworzą ciąg arytmetyczny, w którym
różnica jest równa 30. Wtedy osiemnasta rata jest mniejsza od pierwszej raty o kwotę
(18 − 1) ⋅ 30 = 510 zł.
Stąd
𝑎1 + (𝑎1 − 30) + (𝑎1 − 60) + (𝑎1 − 90)+. . . +(𝑎1 − 510) = 8910
18𝑎1 − (30 + 60 + 90+. . . +510) = 8910
gdzie suma siedemnastu liczb 30 + 60 + 90+. . . +510 jest równa
30 + 510
⋅ 17 = 4590
2
Zatem
18𝑎1 − 4590 = 8910
18𝑎1 = 13500
𝑎1 = 750
Pierwsza rata była równa 750 zł.
Sposób IV
Kolejne raty tworzą ciąg arytmetyczny, zatem
𝑎1 + 𝑎18 = 𝑎2 + 𝑎17 = 𝑎3 + 𝑎16 =. . . = 𝑎9 + 𝑎10
Obliczamy wartość pojedynczej sumy
𝑎1 + 𝑎18 = 8910: 9 = 990
Korzystając ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu arytmetycznego, mamy
𝑎1 + 𝑎1 − 17 ⋅ 30 = 990
2𝑎1 = 990 + 510
𝑎1 = 750
Pierwsza rata była równa 750 zł.
Sposób V
Przyjmujemy, że pierwsza rata była równa 1000 zł. Wtedy kolejne raty są równe:
970 zł, 940 zł, … , 490 zł.
Suma wszystkich rat jest równa 13 410 zł i przewyższa kwotę z warunków zadania
o 4500 zł.
Obliczamy, o ile należy zmniejszyć każdą ratę:
4500 ∶ 18 = 250
1000 − 250 = 750
Pierwsza rata była równa 750 zł.
Sposób VI
Kolejne raty są wyrazami osiemnastowyrazowego ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛 ) o różnicy
𝑟 = −30. Obliczymy dowolną ratę (np. dziewiątą), korzystając z własności tego ciągu:
(𝑎9 + 𝑎10 ) ⋅ 9 = 8910 𝑎 + 𝑎10 = 990
{ { 9
𝑎10 = 𝑎9 − 30 𝑎9 − 𝑎10 = 30
2𝑎9 = 1020 𝑎9 = 510
Zatem
𝑎1 = 𝑎9 − 8 ⋅ (−30) = 510 + 240 = 750
Pierwsza rata była równa 750 zł.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 2 pkt – zastosowanie poprawnej metody i obliczenie pierwszej raty: 750 zł.
1 pkt – zastosowanie wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
i zapisanie równania z niewiadomą 𝑎1 (pierwszą ratą):
2𝑎1 + 17 ⋅ (−30)
⋅ 18 = 8910
2
ALBO
– zastosowanie wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
oraz zapisanie równania z niewiadomą 𝑎1 :
2𝑎1 +17⋅30
⋅ 18 = 8910 i zapisanie, że 𝑎1 jest ostatnią ratą,
2
ALBO
– zapisanie równania
𝑎1 + (𝑎1 − 30) + (𝑎1 − 2 ⋅ 30) + (𝑎1 − 3 ⋅ 30) + ⋯ + (𝑎1 − 17 ⋅ 30) = 8910,
gdzie 𝑎1 jest pierwszą ratą, lub równania
𝑎1 + (𝑎1 + 30) + (𝑎1 + 2 ⋅ 30) + (𝑎1 + 3 ⋅ 30) + ⋯ + (𝑎1 + 17 ⋅ 30) = 8910
(łącznie z zapisem, że 𝑎1 jest ostatnią ratą),
ALBO
– zapisanie zależności między pierwszą (𝑎1 ) i ostatnią ratą (𝑎18 ), np.
𝑎1 + 𝑎18 = 8910 ∶ 9 albo 𝑎18 = 𝑎1 − 17 ⋅ 30 itp.,
ALBO
– rozpatrzenie osiemnastowyrazowego ciągu arytmetycznego o różnicy (−30) lub 30
i zapisanie co najmniej pierwszego oraz ostatniego wyrazu tego ciągu, np.
(𝑥 , 𝑥 − 30, 𝑥 − 60, …, 𝑥 − 510) dla dowolnego 𝑥 (np. jak w sposobie V),
ALBO
– zapisanie układu równań, z którego można obliczyć jedną z rat, np.
𝑎9 +𝑎10
= 495 i 𝑎10 = 𝑎9 − 30.
2
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe
rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.
2. Jeżeli zdający zapisze tylko 750 zł, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
3. Jeżeli zdający rozważa ciąg arytmetyczny o różnicy 𝑟 = 30, obliczy 𝑎1 = 240 i nie
interpretuje 𝑎1 jako ostatniej raty, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe
rozwiązanie.
4. Jeżeli zdający błędnie interpretuje liczbę 8910 jako wyraz ciągu rat, to otrzymuje
0 punktów za całe rozwiązanie.
Zadanie 181 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) zaznaczono kąt 𝛼 o wierzchołku
w punkcie 𝑂 = (0, 0). Jedno z ramion tego kąta pokrywa się z dodatnią półosią 𝑂𝑥 ,
a drugie przechodzi przez punkt 𝑃 = (−3, 1) (zobacz rysunek).
𝑦
𝑃 = (−3, 1) 2
1
𝛼
𝑂 𝑥
−3 −2 −1 1 2 3
−1
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Tangens kąta 𝛼 jest równy
1 3 3 1
A. B. (− ) C. (− ) D. (− )
√10 √10 1 3
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
D COdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 191 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla każdego kąta ostrego 𝛼 wyrażenie sin4 𝛼 + sin2 𝛼 ⋅ cos 2 𝛼 jest równe
A. sin2 𝛼 B. sin6 𝛼 ⋅ cos 2 𝛼
C. sin4 𝛼 + 1 D. sin2 𝛼 ⋅ (sin 𝛼 + cos 𝛼) ⋅ (sin 𝛼 − cos 𝛼)
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A BOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 201 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
W rombie o boku długości 6√2 kąt rozwarty ma miarę 150°.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy
A. 24 B. 72 C. 36 D. 36√2
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
B DOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 211 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Punkty 𝐴, 𝐵, 𝐶 leżą na okręgu o środku w punkcie 𝑂.
Kąt 𝐴𝐶𝑂 ma miarę 70° (zobacz rysunek).
𝐵
𝑂
70°
Dokończ zdanie. 𝐶
Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. 𝐴
Miara kąta ostrego 𝐴𝐵𝐶 jest równa
A. 10° B. 20° C. 35° D. 40°
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
B COdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 222 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Trójkąty prostokątne 𝑇1 i 𝑇2 są podobne. Przyprostokątne trójkąta 𝑇1 mają
długości 5 i 12. Przeciwprostokątna trójkąta 𝑇2 ma długość 26.
Oblicz pole trójkąta 𝑻𝟐 . Zapisz obliczenia. 22.
Pokaż odpowiedź
Sposób I
Długości przyprostokątnych trójkątów 𝑇1 i 𝑇2 oznaczymy odpowiednio jako: 𝑎1 , 𝑏1 oraz
𝑎2 , 𝑏2 . Z podobieństwa trójkątów 𝑇1 i 𝑇2 wynika, że stosunki odpowiednich boków są
równe:
𝑎2 𝑎1
= gdzie 𝑎1 = 12, 𝑏1 = 5
𝑏2 𝑏1
Zatem
𝑎2 12 5
= więc 𝑏2 = 𝑎
𝑏2 5 12 2
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝑇2 mamy:
𝑎22 + 𝑏22 = 262
5 2 2
𝑎22 + ( ) 𝑎2 = 262
12
169 2
𝑎 = 262
144 2
144
𝑎2 = √ ⋅ 26 = 24
169
5
Zatem 𝑏2 = ⋅ 24 = 10.
12
Obliczamy pole trójkąta 𝑇2 :
1 1
𝑃2 = ⋅ 𝑎2 ⋅ 𝑏2 = ⋅ 24 ⋅ 10 = 120
2 2
Sposób II
Oznaczamy wierzchołki trójkąta 𝑇1 przez 𝐴, 𝐵, 𝐶 , gdzie 𝐵𝐶 jest przeciwprostokątną tego
trójkąta, |𝐴𝐵| = 12 i |𝐴𝐶| = 5. Oznaczamy wierzchołki trójkąta 𝑇2 przez 𝐷 , 𝐸 , 𝐹 , gdzie
𝐸𝐹 jest przeciwprostokątną tego trójkąta.
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝑇1 mamy 𝐵 𝐸
|𝐴𝐵|2 + |𝐴𝐶|2 = |𝐵𝐶|2
122 + 52 = |𝐵𝐶|2
12
|𝐵𝐶|2 = 169
|𝐵𝐶| = 13 26
𝐶 5 𝐴
Obliczamy skalę podobieństwa trójkąta 𝑇2 do trójkąta 𝑇1 :
|𝐸𝐹| 26
𝑘= = =2
|𝐵𝐶| 13
Obliczamy długości przyprostokątnych trójkąta 𝑇2 :
𝐹 𝐷
|𝐷𝐸| = 2 ⋅ |𝐴𝐵| = 2 ⋅ 12 = 24
|𝐷𝐹| = 2 ⋅ |𝐴𝐶| = 2 ⋅ 5 = 10
Obliczamy pole trójkąta 𝑇2 :
1 1
𝑃2 = ⋅ |𝐷𝐸| ⋅ |𝐷𝐹| = ⋅ 24 ⋅ 10 = 120
2 2
Sposób III
Oznaczamy wierzchołki trójkąta 𝑇1 przez 𝐴, 𝐵, 𝐶 , gdzie 𝐵𝐶 jest przeciwprostokątną tego
trójkąta, |𝐴𝐵| = 12 i |𝐴𝐶| = 5. Oznaczamy wierzchołki trójkąta 𝑇2 przez 𝐷 , 𝐸 , 𝐹 , gdzie
𝐸𝐹 jest przeciwprostokątną tego trójkąta. 𝐵 𝐸
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝑇1 mamy
|𝐴𝐵|2 + |𝐴𝐶|2 = |𝐵𝐶|2
12
2 2 |𝐵𝐶|2
12 + 5 =
|𝐵𝐶|2 = 169 26
𝐶 5 𝐴
|𝐵𝐶| = 13
Obliczamy skalę podobieństwa trójkąta 𝑇2 do trójkąta 𝑇1 :
|𝐸𝐹| 26
𝑘= = =2
|𝐵𝐶| 13
𝐹 𝐷
Obliczamy pole 𝑃1 trójkąta 𝑇1 :
1 1
𝑃1 = ⋅ |𝐴𝐵| ⋅ |𝐴𝐶| = ⋅ 12 ⋅ 5 = 30
2 2
Korzystając z tego, że stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali
podobieństwa, obliczamy pole 𝑃2 trójkąta 𝑇2 :
𝑃2
= 𝑘2
𝑃1
Zatem
𝑃2 = 𝑘 2 ⋅ 𝑃1 = 22 ⋅ 30 = 120Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 2 pkt – poprawna metoda i obliczenie pola trójkąta 𝑇2 : 𝑃2 = 120.
1 pkt – wykorzystanie podobieństwa trójkątów i zapisanie układu równań/równania
pozwalającego obliczyć długości przyprostokątnych trójkąta 𝑇2 , np.
𝑎2 12
= 5 i 𝑎22 + 𝑏22 = 262 , (12𝑥)2 + (5𝑥)2 = 262
𝑏2
ALBO
𝑃 |𝐵𝐶|
2
𝑃 26 2
– zapisanie stosunku pól trójkątów 𝑇1 i 𝑇2 : 1 = ( ) (lub 2 = ( ) ) oraz
𝑃2 26 𝑃1 |𝐵𝐶|
obliczenie długości odcinka 𝐵𝐶 : |𝐵𝐶| = 13,
ALBO
|𝐸𝐹|
– obliczenie/zapisanie skali podobieństwa trójkątów, np. 𝑘 = =2
|𝐵𝐶|
|𝐵𝐶| 1
(lub 𝑘 = = 2),
|𝐸𝐹|
ALBO
– obliczenie/zapisanie długości przyprostokątnych trójkąta 𝑇2 : 10, 24,
ALBO
– obliczenie długości 𝑐1 przeciwprostokątnej trójkąta 𝑇1 oraz zapisanie układu
równań pozwalającego obliczyć długości 𝑎2 , 𝑏2 przyprostokątnych trójkąta 𝑇2 , np.
13 26 13 26
𝑐1 = 13 i 12 = 𝑎 i 5 = 𝑏 .
2 2
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zadanie 231 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dane są proste 𝑘 oraz 𝑙 o równaniach
2
𝑘: 𝑦 = 𝑥
3
3
𝑙: 𝑦 = − 𝑥 + 13
2
Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3.
Proste 𝑘 oraz 𝑙
1. (−6, −4)
A. są prostopadłe
i przecinają się w punkcie 𝑃 o współrzędnych 2. (6, 4)
nie są
B.
prostopadłe 3. (−6, 4)
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A2 A3Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 241 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dana jest prosta 𝑘 o równaniu
1
𝑦 =− 𝑥+2
3
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Prosta o równaniu 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 jest równoległa do prostej 𝑘 i przechodzi przez
punkt 𝑃 = (3, 5), gdy
1
A. 𝑎 = 3 i 𝑏 = 4. B. 𝑎 = − i 𝑏 = 4.
3
1
C. 𝑎 = 3 i 𝑏 = −4. D. 𝑎 = − i 𝑏 = 6.
3
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
D BOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 251 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma
długość 15. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod
√2
kątem 𝛼 takim, że cos 𝛼 = .
3
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Długość przekątnej tego graniastosłupa jest równa
A. 15√2 B. 45 C. 5√2 D. 10
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
B DOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 264 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest
nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30° i ma długość równą 6 (zobacz rysunek).
6
30°
26. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź
𝑆
Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku:
𝑎 – długość krawędzi podstawy, 𝐶 𝐵
𝐻 – wysokość ostrosłupa. 𝐻 6
30°
Zauważamy, że 𝑎 > 0 i 𝐻 > 0. 𝑂 𝐸
Ponieważ 𝑂 jest punktem przecięcia
1 𝐷 𝑎 𝐴
przekątnych kwadratu, to |𝑂𝐸| = 𝑎.
2
W trójkącie prostokątnym 𝑆𝑂𝐸 mamy 𝑆
|𝑆𝑂| 𝐻
sin 30° = = 6
|𝑆𝐸| 6 𝐻
Zatem 30°
𝑂 1 𝐸
1 𝑎
𝐻 = 6 ⋅ sin 30° = 6 ⋅ = 3 2
2
Ponadto
1
|𝑂𝐸| 2 𝑎 𝑎
cos 30° = = =
|𝑆𝐸| 6 12
Stąd
√3
𝑎 = 12 ⋅ cos 30° = 12 ⋅ = 6√3
2
Obliczamy objętość 𝑉 ostrosłupa:
1 2
𝑉= ⋅ (6√3) ⋅ 3 = 108
3
Obliczamy pole powierzchni całkowitej 𝑃𝑐 ostrosłupa:
2 1
𝑃𝑐 = (6√3) + 4 ⋅ ⋅ 6√3 ⋅ 6 = 108 + 72√3
2Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 4 pkt – poprawna metoda obliczenia objętości i pola powierzchni całkowitej ostrosłupa oraz
poprawne wyniki: 𝑉 = 108 i 𝑃𝑐 = 108 + 72√3.
3 pkt – obliczenie objętości ostrosłupa: 𝑉 = 108
ALBO
– obliczenie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa: 𝑃𝑐 = 108 + 72√3 oraz
obliczenie wysokości ostrosłupa: 𝐻 = 3.
2 pkt – obliczenie/zapisanie długości krawędzi podstawy: 𝑎 = 6√3 oraz obliczenie
wysokości ostrosłupa: 𝐻 = 3
ALBO
– obliczenie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa: 𝑃𝑐 = 108 + 72√3.
1 pkt – obliczenie/zapisanie długości krawędzi podstawy: 𝑎 = 6√3
ALBO
– obliczenie wysokości ostrosłupa: 𝐻 = 3.
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający przyjmuje w rozwiązaniu, że trójkąt 𝐸𝑆𝑂 lub 𝐵𝑆𝐷 , lub jedna ze ścian
bocznych ostrosłupa jest trójkątem równobocznym i wykorzystuje to do obliczenia długości
krawędzi podstawy, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie (o ile nie nabył prawa do
uzyskania 1 punktu za obliczenie wysokości ostrosłupa).
2. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:
a) zastosowanie niepoprawnej definicji jednej funkcji trygonometrycznej
b) błędne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa
c) zastosowanie niepoprawnej tożsamości √𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑥 + 𝑦
d) przyjęcie, że wysokość ostrosłupa jest równa 3√3 i |𝑂𝐸| = 3,
i rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać
2 punkty za całe rozwiązanie.
Jeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych błędów a)–d), to otrzymuje
0 punktów za całe rozwiązanie.
Zadanie 271 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
W pewnym ostrosłupie prawidłowym stosunek liczby 𝑊 wszystkich wierzchołków do
𝑊 3
liczby 𝐾 wszystkich krawędzi jest równy = .
𝐾 5
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Podstawą tego ostrosłupa jest
A. kwadrat. B. pięciokąt foremny.
C. sześciokąt foremny. D. siedmiokąt foremny.
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
B BOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 281 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko
cyfry 0, 5, 7 (np. 57 075, 55 555), jest
A. 53 B. 2 ⋅ 43 C. 2 ⋅ 34 D. 35
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
C AOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 292 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Na diagramie poniżej przedstawiono ceny pomidorów w szesnastu wybranych sklepach.
6
5
4
liczba
sklepów 3
2
1
0
5,05 5,60 5,70 6,00 6,30
cena za 1 kg pomidorów (w zł)
Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną 29.
spośród oznaczonych literami A–E. Mediana ceny kilograma pomidorów w tych wybranych sklepach jest
równa
Średnia cena kilograma pomidorów w tych wybranych sklepach jest
równa
A. 5,80 zł B. 5,73 zł C. 5,85 zł D. 6,00 zł E. 5,70 zł
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
29.1. C 29.1. B
29.2. A 29.2. EOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 2 pkt – wybranie dwóch poprawnych odpowiedzi.
1 pkt – wybranie jednej poprawnej odpowiedzi.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 302 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Ze zbioru ośmiu liczb {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po
jednej liczbie.
30. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝑨 polegającego na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez 𝟏𝟓. Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź
Sposób I
Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych obrazuje tabela 8 × 8, co oznacza, że moc zbioru
Ω jest równa 64.
W tabeli zaznaczamy iloczyny podzielne przez 15.
2 3 4 5 6 7 8 9
2
3 ×
4
5 × × ×
6 ×
7
8
9 ×
Zdarzeń sprzyjających wylosowaniu liczb, których iloczyn jest podzielny przez 15, jest 6.
Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn
6
jest podzielny przez 15, jest równe .
64
Sposób II (drzewo stochastyczne)
Rysujemy fragment drzewa stochastycznego rozważanego doświadczenia z uwzględnieniem
wszystkich istotnych gałęzi.
Oznaczamy przez 𝐴 zdarzenie polegające na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest
podzielny przez 15.
1 1 1 1
8 8 8 8
3 5 6 9
1 1 1 1 1 1
8 8 8 8 8 8
5 3 6 9 5 5
Prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6
𝑃(𝐴) = ∙ + ∙ + ∙ + ∙ + ∙ + ∙ =
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 64
Sposób III
Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych Ω to zbiór par uporządkowanych elementów ze
zbioru 8-elementowego, zatem moc zbioru Ω jest równa |Ω| = 8 ⋅ 8 = 64.
Oznaczamy przez 𝐴 zdarzenie polegające na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest
podzielny przez 15.
Wielokrotności liczby 15, które mogą być iloczynami elementów ze zbioru Ω, to 15, 30, 45.
Wyznaczamy iloczyny, które spełniają powyższy warunek:
15 = 3 ⋅ 5 = 5 ⋅ 3 – dwa iloczyny – dwa zdarzenia elementarne: (3, 5) oraz (5, 3),
30 = 6 ⋅ 5 = 5 ⋅ 6 – dwa iloczyny – dwa zdarzenia elementarne: (6, 5) oraz (5, 6),
45 = 9 ⋅ 5 = 5 ⋅ 9 – dwa iloczyny – dwa zdarzenia elementarne: (9, 5) oraz (5, 9).
6
Sprzyjających zdarzeń elementarnych jest 6, więc 𝑃(𝐴) = .
64Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 2 pkt – zastosowanie poprawnej metody obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴
6
i uzyskanie poprawnego wyniku: 𝑃(𝐴) = .
64
1 pkt – wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych lub obliczenie/podanie liczby tych
zdarzeń: |Ω| = 8 ⋅ 8 lub sporządzenie tabeli o 64 polach odpowiadających
zdarzeniom elementarnym, z których co najmniej jedno pole jest wypełnione, lub
sporządzenie pełnego drzewa stochastycznego
ALBO
– wypisanie (zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających
zdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego:
(3, 5), (5, 3), (6, 5), (5, 6), (5, 9), (9, 5),
ALBO
– podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:
|𝐴| = 6, jeśli nie została otrzymana w wyniku zastosowania błędnej metody,
ALBO
– sporządzenie fragmentu drzewa stochastycznego, które zawiera wszystkie gałęzie
1
sprzyjające zdarzeniu 𝐴 oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej
8
jednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,
ALBO
1
– podanie prawdopodobieństwa jednoelementowego zdarzenia (elementarnego): ,
64
ALBO
6
– zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = .
64
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga:
Jeżeli zdający zapisuje tylko liczby 6 lub 64 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych
liczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Zadanie 31.11 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest
prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Łączna liczba klientów obsłużonych w czasie wszystkich analizowanych dni
P F
jest równa 𝐿(30).
W trzecim dniu analizowanego okresu obsłużono 336 klientów. P F
Właściciel pewnej apteki przeanalizował dane dotyczące liczby obsługiwanych klientów
z 30 kolejnych dni. Przyjmijmy, że liczbę 𝐿 obsługiwanych klientów 𝑛-tego dnia opisuje
funkcja
𝐿(𝑛) = −𝑛2 + 22𝑛 + 279
gdzie 𝑛 jest liczbą naturalną spełniającą warunki 𝑛 ≥ 1 i 𝑛 ≤ 30.
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
FP FPOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 31.22 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Którego dnia analizowanego okresu w aptece obsłużono największą liczbę klientów? Oblicz liczbę klientów obsłużonych tego dnia. Zapisz obliczenia.
Właściciel pewnej apteki przeanalizował dane dotyczące liczby obsługiwanych klientów
z 30 kolejnych dni. Przyjmijmy, że liczbę 𝐿 obsługiwanych klientów 𝑛-tego dnia opisuje
funkcja
𝐿(𝑛) = −𝑛2 + 22𝑛 + 279
gdzie 𝑛 jest liczbą naturalną spełniającą warunki 𝑛 ≥ 1 i 𝑛 ≤ 30.
Pokaż odpowiedź
Sposób I
Wykresem funkcji 𝐿(𝑛) = −𝑛2 + 22𝑛 + 279, gdzie 𝑛 jest liczbą naturalną z przedziału
[1, 30], jest zbiór punktów leżących na paraboli o ramionach skierowanych w dół.
Przekształcamy wzór funkcji 𝐿 do postaci kanonicznej:
𝐿(𝑛) = −𝑛2 + 22𝑛 + 279 = −[𝑛2 − 22𝑛] + 279 = −[(𝑛 − 11)2 − 112 ] + 279 =
= −(𝑛 − 11)2 + 121 + 279 = −(𝑛 − 11)2 + 400
Z postaci kanonicznej odczytujemy współrzędne wierzchołka paraboli: 𝑊 = (11, 400).
Interpretujemy otrzymane wartości: największą liczbę klientów obsłużono jedenastego dnia
badanego okresu i było to 400 osób.
Sposób II
Wykresem funkcji 𝐿(𝑛) = −𝑛2 + 22𝑛 + 279, gdzie 𝑛 jest liczbą naturalną z przedziału
[1, 30], jest zbiór punktów leżących na paraboli o ramionach skierowanych w dół. Jej
największa wartość jest drugą współrzędną wierzchołka paraboli 𝑊 = (𝑝, 𝑞).
Stąd
−22
𝑝= = 11, 11 ∈ {1, 2, … , 30}
2 ⋅ (−1)
𝑞 = 𝐿(𝑝) = −112 + 22 ⋅ 11 + 279 = 400
Największą liczbę klientów obsłużono jedenastego dnia badanego okresu i było to
400 osób.
Sposób III
Wykorzystamy następującą własność funkcji kwadratowej 𝐿(𝑥) = −𝑥 2 + 22𝑥 + 279.
Jeśli 𝐿(𝑘1 ) = 𝐿(𝑘2 ), to liczba
𝑘1 + 𝑘2
2
jest pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝐿. Jeśli ponadto
współczynnik przy 𝑥 2 jest liczbą ujemną, to liczba
𝑘1 + 𝑘2
𝐿( )
2
jest największą wartością funkcji 𝐿.
Wykonujemy obliczenia – szukamy argumentów, dla których funkcja przyjmuje tę samą
wartość:
𝐿(9) = 396
𝐿(10) = 399
𝐿(11) = 400
𝐿(12) = 399
Zauważamy, że 𝐿(10) = 𝐿(12). Ponieważ
10 + 12
= 11 oraz 11 ∈ {1, … 30}
2
więc funkcja 𝐿 przyjmuje wartość największą równą 400 dla argumentu 11. To oznacza,
że największą liczbę klientów obsłużono jedenastego dnia badanego okresu i było to
400 osób.
Ocena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią
Obowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez stwierdzonej
dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:
I. ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze
stwierdzoną dyskalkulią (punkty 1.–12.);
II. dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy
osób ze stwierdzoną dyskalkulią – egzamin maturalny z matematyki, poziom
podstawowy, termin główny 2023.
I. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną
dyskalkulią
1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:
• błędnego przepisania
• przestawienia cyfr
• zapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie
• przestawienia położenia przecinka.
2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu
oddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza
umiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania
badanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.
3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę
rozwiązania, części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej
1 punkt, zgodnie z kryteriami do poszczególnych zadań.
4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub
zapisuje nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne
rozumowanie lub stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt
za rozwiązanie zadania.
5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu
kwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę
wyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania
wartościach liczbowych.
6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający
może otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności
kwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.
7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej
zdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji
kwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.
8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych
lub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie
takiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.
9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na
płaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu
rozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur
geometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.
10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać
przynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych
sprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje
prawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.
11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli
podaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia
rozwiązania.
12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub
geometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która
wyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać
1 punkt.
II. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób
ze stwierdzoną dyskalkulią
1 pkt – zastosowanie wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy do wyrażenia
(2𝑛 + 1)2.
2 pkt – zapisanie dwóch pierwiastków wielomianu 3𝑥 3 − 2𝑥 2 − 12𝑥 + 8 (o ile nie zostały
one uzyskane w wyniku błędnej metody).
1 pkt – przekształcenie wielomianu 3𝑥 3 − 2𝑥 2 − 12𝑥 + 8 do postaci
3(𝑥 2 − 4) − 2(𝑥 2 − 4) lub 𝑥 2 (3𝑥 − 2) − 4(3𝑥 − 2).
Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.
1 pkt – obliczenie długości 𝑐1 przeciwprostokątnej trójkąta 𝑇1 oraz wykorzystanie
podobieństwa trójkątów i zapisanie związku między długościami przyprostokątnych
𝑎 12
trójkąta 𝑇2 : 𝑐1 = 13 i 2 =
𝑏2 5
ALBO
– obliczenie długości 𝑐1 przeciwprostokątnej trójkąta 𝑇1 oraz zapisanie równania
pozwalającego obliczyć długość jednej z przyprostokątnych trójkąta 𝑇2 , np.
13 26 13 26
𝑐1 = 13 i 12 = 𝑎 , 𝑐1 = 13 i 5 = 𝑏 .
2 2
1 pkt – zastosowanie definicji funkcji trygonometrycznej lub związków miarowych w trójkącie
o kątach 30°, 60°, 90° i zapisanie równania z jedną niewiadomą (wysokością
|𝑂𝐸| 𝐻 1
ostrosłupa lub połową długości krawędzi podstawy), np. = cos 30°, 6 = 2 .
6
1 pkt – zapisanie jedynie liczby 64 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich
zdarzeń elementarnych).
Uwagi:
1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi ze
standardowych zasad oceniania.
2. Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające
zdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (|𝐴| = 5) i konsekwentnie zapisze
5
wynik , to otrzymuje 2 punkty.
64
Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 2 pkt – poprawna metoda rozwiązania zadania oraz poprawne wyniki: 11 i 400.
1 pkt – wyznaczenie postaci kanonicznej funkcji 𝐿: 𝐿(𝑛) = −(𝑛 − 11)2 + 400
ALBO
– obliczenie, którego dnia analizowanego okresu w aptece obsłużono największą liczbę
klientów lub obliczenie największej liczby klientów: 11 lub 400,
ALBO
– obliczenie pierwszej współrzędnej 𝑝 wierzchołka paraboli z własności
𝐿(𝑘1 ) = 𝐿(𝑘2 ), gdzie 𝑘1 , 𝑘2 są różnymi liczbami takimi, że |𝑝 − 𝑘1 | = |𝑝 − 𝑘2 |:
𝑘1 + 𝑘2
𝑝= = 11
2
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający błędnie oblicza pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli,
i konsekwentnie do popełnionego błędu oblicza drugą współrzędną, to może otrzymać
1 punkt za całe rozwiązanie (o ile pierwsza współrzędna jest liczbą należącą do
dziedziny).
2. Jeżeli zdający nie zapisze, że 11 należy do dziedziny funkcji 𝐿, to może otrzymać
2 punkty za całe rozwiązanie.
3. Jeżeli zdający oblicza największą wartość funkcji 𝐿, korzystając z rachunku
różniczkowego, i nie zapisze przedziałów monotoniczności funkcji, to może otrzymać
2 punkty za całe rozwiązanie (gdy wyznaczy pochodną funkcji 𝐿(𝑥) określoną dla
𝑥 ∈ [1, 30], obliczy miejsce zerowe pochodnej funkcji 𝐿(𝑥) i wartość funkcji 𝐿 w tym
punkcie).
4. Jeżeli zdający oblicza 𝐿(11) = 400 i 𝐿(11 − 𝑘) = 𝐿(11 + 𝑘), gdzie 𝑘 ≠ 0, i wskaże
wartość największą, to może otrzymać 2 punkty za całe rozwiązanie.
5. Jeżeli zdający zapisze tylko 𝐿(11) = 400, to otrzymuje 1 punkt.
Wersja arkusza
MMAU-P0-100-2305 · Formuła 2023
Zadanie 11 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAU-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
На числовій осі зазначено об’єднання проміжків.
−2 5 𝑥
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
Зазначена на осі множина – це множина усіх розв’язків нерівності
A. |𝑥 − 3,5| ≥ 1,5 B. |𝑥 − 1,5| ≥ 3,5
C. |𝑥 − 3,5| ≤ 1,5 D. |𝑥 − 1,5| ≤ 3,5
Чернетка
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
B DOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 21 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAU-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
3 27 3
Число √− ⋅ дорівнює
16 √2
3 3 2 2
A. (− ) B. C. D. (− )
2 2 3 3
Чернетка
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A BOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 32 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAU-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
𝟐
Доведи, що для кожного натурального числа 𝒏 ≥ 𝟏 число (𝟐𝒏 + 𝟏) − 𝟏 є кратним 𝟖.
Pokaż odpowiedź
Sposób I
Korzystając z wzoru skróconego mnożenia, zapisujemy liczbę (2𝑛 + 1)2 − 1 w postaci
(2𝑛 + 1)2 − 1 = 4𝑛2 + 4𝑛 + 1 − 1 = 4𝑛(𝑛 + 1)
Ponieważ liczby 𝑛 oraz 𝑛 + 1 są kolejnymi liczbami naturalnymi, to jedna z nich jest liczbą
parzystą, zatem iloczyn 𝑛(𝑛 + 1) jest liczbą parzystą, więc iloczyn 4𝑛(𝑛 + 1) jest
podzielny przez 8. To należało wykazać.
Sposób II
Korzystając z wzoru skróconego mnożenia, zapisujemy liczbę (2𝑛 + 1)2 − 1 w postaci
(2𝑛 + 1)2 − 1 = 4𝑛2 + 4𝑛 + 1 − 1 = 4(𝑛2 + 𝑛)
Gdy 𝑛 jest liczbą nieparzystą, to liczba 𝑛2 jest liczbą nieparzystą. Zatem 𝑛2 + 𝑛 jest
liczbą parzystą jako suma dwóch liczb nieparzystych.
Gdy 𝑛 jest liczbą parzystą, to liczba 𝑛2 jest liczbą parzystą. Zatem 𝑛2 + 𝑛 jest liczbą
parzystą jako suma dwóch liczb parzystych.
Stąd 4(𝑛2 + 𝑛) jest liczbą podzielną przez 8. To należało wykazać.
Sposób III
Korzystając z wzoru skróconego mnożenia, zapisujemy liczbę (2𝑛 + 1)2 − 1 w postaci
(2𝑛 + 1)2 − 1 = [(2𝑛 + 1) − 1] ⋅ [(2𝑛 + 1) + 1] = 2𝑛 ⋅ (2𝑛 + 2)
Ponieważ liczby 2𝑛 oraz 2𝑛 + 2 są kolejnymi liczbami parzystymi, to jedna z nich jest
liczbą podzielną przez 4. Zatem iloczyn 2𝑛(2𝑛 + 2) jest liczbą podzielną przez 2 ⋅ 4, czyli
przez 8. To należało wykazać.
Sposób IV
Rozważmy dwa przypadki: gdy 𝑛 jest liczbą parzystą oraz gdy 𝑛 jest liczbą nieparzystą.
Jeśli 𝑛 jest liczbą parzystą, możemy ją zapisać w postaci 𝑛 = 2𝑙 , gdzie 𝑙 ∈ ℕ. Wówczas
badana liczba ma postać
(2𝑛 + 1)2 − 1 = (2 ⋅ 2𝑙 + 1)2 − 1 = 16𝑙 2 + 8𝑙 + 1 − 1 = 8𝑙(2𝑙 + 1)
Ponieważ 𝑙 ∈ ℕ, to również iloczyn 𝑙(2𝑙 + 1) jest liczbą naturalną. Zatem iloczyn
8𝑙(2𝑙 + 1) jest podzielny przez 8.
Jeśli liczba 𝑛 jest nieparzysta, zapisujemy ją w postaci 𝑛 = 2𝑙 + 1, gdzie 𝑙 ∈ ℕ. Wówczas
badana liczba ma postać
(2𝑛 + 1)2 − 1 = [2(2𝑙 + 1) + 1]2 − 1 = [4𝑙 + 3]2 − 1 =
= 16𝑙 2 + 24𝑙 + 9 − 1 = 8(2𝑙 2 + 3𝑙 + 1)
Ponieważ 𝑙 ∈ ℕ, to również 2𝑙 2 + 3𝑙 + 1 jest liczbą naturalną. Zatem iloczyn
8(2𝑙 2 + 3𝑙 + 1) jest podzielny przez 8. To należało wykazać.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 2 pkt – przekształcenie wyrażenia (2𝑛 + 1)2 − 1 do postaci iloczynu 4𝑛(𝑛 + 1) oraz
stwierdzenie, że iloczyn 𝑛(𝑛 + 1) jest liczbą parzystą
lub przekształcenie wyrażenia (2𝑛 + 1)2 − 1 do postaci 4(𝑛2 + 𝑛) i uzasadnienie,
że suma 𝑛2 + 𝑛 jest liczbą parzystą
ALBO
– przekształcenie wyrażenia (2𝑛 + 1)2 − 1 do postaci 2𝑛(2𝑛 + 2) oraz
stwierdzenie, że wśród dwóch kolejnych liczb parzystych jedna z nich jest liczbą
podzielną przez 4,
ALBO
– rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛 = 2𝑙 (gdzie 𝑙 ∈ ℕ), tj. przekształcenie wyrażenia
(2𝑛 + 1)2 − 1 do postaci 8𝑙(2𝑙 + 1) i zapisanie, że iloczyn 𝑙(2𝑙 + 1) jest liczbą
naturalną/całkowitą oraz rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛 = 2𝑙 + 1 (gdzie 𝑙 ∈ ℕ),
tj. przekształcenie wyrażenia (2𝑛 + 1)2 − 1 do postaci 8(2𝑙 2 + 3𝑙 + 1) i
zapisanie, że suma 2𝑙 2 + 3𝑙 + 1 jest liczbą naturalną/całkowitą.
1 pkt – przekształcenie wyrażenia (2𝑛 + 1)2 − 1 do postaci 4𝑛(𝑛 + 1) lub 4(𝑛2 + 𝑛),
lub 2𝑛(2𝑛 + 2)
ALBO
– przekształcenie wyrażenia (2𝑛 + 1)2 − 1 do postaci 4𝑛2 + 4𝑛 i stwierdzenie, że
ta suma jest liczbą podzielną przez 4,
ALBO
– rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛 = 2𝑙 (gdzie 𝑙 ∈ ℕ), tj. przekształcenie wyrażenia
(2𝑛 + 1)2 − 1 do postaci 8𝑙(2𝑙 + 1) i zapisanie, że iloczyn 𝑙(2𝑙 + 1) jest liczbą
naturalną/całkowitą,
ALBO
– rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛 = 2𝑙 + 1 (gdzie 𝑙 ∈ ℕ), tj. przekształcenie
wyrażenia (2𝑛 + 1)2 − 1 do postaci 8(2𝑙 2 + 3𝑙 + 1) i zapisanie, że suma
2𝑙 2 + 3𝑙 + 1 jest liczbą naturalną/całkowitą.
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy tylko dla wybranych wartości 𝑛, to otrzymuje
0 punktów za całe rozwiązanie.
2. Jeżeli zdający przyjmuje np. 𝑛 = 8𝑘 + 𝑟, gdzie 𝑘 ∈ ℕ i 𝑟 jest resztą z dzielenia liczby 𝑛
przez 8, i przeprowadzi poprawne rozumowanie dla co najmniej połowy przypadków, ale
nie przeprowadzi pełnego rozumowania dla wszystkich przypadków, to otrzymuje 1 punkt
za całe rozwiązanie.
3. Jeżeli zdający rozpatruje przypadki 𝑛 = 2𝑙 oraz 𝑛 = 2𝑙 + 1 (gdzie 𝑙 ∈ ℕ) i przekształca
wyrażenie (2𝑛 + 1)2 − 1 do postaci, odpowiednio, 8𝑙(2𝑙 + 1) oraz 2𝑙 2 + 3𝑙 + 1, ale
nie zapisze, że 8𝑙(2𝑙 + 1) oraz 2𝑙 2 + 3𝑙 + 1 są liczbami naturalnymi/całkowitymi, to
otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
Zadanie 41 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAU-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
Число log 9 27 + log 9 3 дорівнює
A. 81 B. 9 C. 4 D. 2
Чернетка
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
D COdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 51 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAU-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
Для кожного дійсного числа 𝑎 вираз (2𝑎 − 3)2 − (2𝑎 + 3)2 дорівнює
A. −24𝑎 B. 0 C. 18 D. 16𝑎2 − 24𝑎
Чернетка
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A BOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 61 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAU-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
Множиною усіх розв’язків нерівності
2−𝑥
−2(𝑥 + 3) ≤
3
є проміжок
A. (−∞, −4] B. (−∞, 4] C. [−4, ∞) D. [4, ∞)
Чернетка
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
C AOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 71 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAU-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
Одним з розв’язків рівняння √3(𝑥 2 − 2)(𝑥 + 3) = 0 є число
A. 3 B. 2 C. √3 D. √2
Чернетка
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
D DOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 81 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAU-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
2
(𝑥+1)(𝑥−1)
Рівняння 2 = 0 у множині дійсних чисел
(𝑥−1)(𝑥+1)
A. не має розв’язку.
B. має точно один розв’язок: −1.
C. має точно один розв’язок: 1.
D. має точно два розв’язки: −1 та 1.
Чернетка
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A AOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 93 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAU-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Розв’яжи рівняння
𝟑𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟖 = 𝟎
Запиши обчислення.
Pokaż odpowiedź
Sposób I
Przekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:
3𝑥 3 − 2𝑥 2 − 12𝑥 + 8 = 0
𝑥 2 (3𝑥 − 2) − 4(3𝑥 − 2) = 0
(3𝑥 − 2)(𝑥 2 − 4) = 0
(3𝑥 − 2)(𝑥 − 2)(𝑥 + 2) = 0
3𝑥 − 2 = 0 lub 𝑥 − 2 = 0 lub 𝑥 + 2 = 0
2
𝑥= lub 𝑥 = 2 lub 𝑥 = −2
3
2
Rozwiązaniami równania są liczby: (−2), , 2.
3
Sposób II
Przekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:
3𝑥 3 − 2𝑥 2 − 12𝑥 + 8 = 0
3𝑥(𝑥 2 − 4) − 2(𝑥 2 − 4) = 0
(3𝑥 − 2)(𝑥 2 − 4) = 0
(3𝑥 − 2)(𝑥 − 2)(𝑥 + 2) = 0
3𝑥 − 2 = 0 lub 𝑥 − 2 = 0 lub 𝑥 + 2 = 0
2
𝑥= lub 𝑥 = 2 lub 𝑥 = −2
3
2
Rozwiązaniami równania są liczby: (−2), , 2.
3
Sposób III
Obliczamy 𝑊(2) = 0 i stwierdzamy, że liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu
𝑊(𝑥) = 3𝑥 3 − 2𝑥 2 − 12𝑥 + 8.
Zatem wielomian 𝑊 jest podzielny przez dwumian 𝑥 − 2. Dzielimy wielomian 𝑊 przez
dwumian 𝑥 − 2 i otrzymujemy
(3𝑥 3 − 2𝑥 2 − 12𝑥 + 8): (𝑥 − 2) = 3𝑥 2 + 4𝑥 − 4
Zatem 𝑊(𝑥) = (𝑥 − 2)(3𝑥 2 + 4𝑥 − 4).
Obliczamy pierwiastki trójmianu 3𝑥 2 + 4𝑥 − 4:
Δ = 42 − 4 ⋅ 3 ⋅ (−4) = 64
−4 − 8 −4 + 8 2
𝑥= = −2 oraz 𝑥 = =
2⋅3 2⋅3 3
2
Rozwiązaniami równania są liczby: (−2), , 2.
3
Sposób IV
Obliczamy 𝑊(2) = 0 i stwierdzamy, że liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu
𝑊(𝑥) = 3𝑥 3 − 2𝑥 2 − 12𝑥 + 8.
Obliczamy 𝑊(−2) = 0 i stwierdzamy, że liczba (−2) jest pierwiastkiem wielomianu
𝑊(𝑥) = 3𝑥 3 − 2𝑥 2 − 12𝑥 + 8.
2 2
Obliczamy 𝑊 ( ) = 0 i stwierdzamy, że liczba jest pierwiastkiem wielomianu
3 3
𝑊(𝑥) = 3𝑥 3 − 2𝑥 2 − 12𝑥 + 8.
Ponieważ 𝑊 jest wielomianem stopnia trzeciego, więc ma co najwyżej trzy pierwiastki
rzeczywiste. Oznacza to, że jedynymi rozwiązaniami równania 3𝑥 3 − 2𝑥 2 − 12𝑥 + 8 = 0
2
są liczby: (−2), , 2.
3Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 3 pkt – poprawna metoda rozwiązania równania i obliczenie wszystkich rozwiązań równania:
2
(−2), , 2
3
ALBO
2
– wyznaczenie wszystkich rozwiązań równania: (−2), , 2, oraz stwierdzenie, że są
3
to jedyne rozwiązania równania.
2 pkt – przekształcenie lewej strony równania do postaci iloczynu wielomianów stopnia co
najwyżej drugiego oraz rozwiązanie jednego z równań wynikającego z tego rozkładu,
2
np. (3𝑥 − 2)(𝑥 2 − 4) = 0 i 𝑥 = ,
3
2
(3𝑥 − 2)(𝑥 − 4) = 0 i 𝑥 = −2 oraz 𝑥 = 2
ALBO
– obliczenie jednego z pierwiastków wielomianu 𝑊 oraz poprawne podzielenie
wielomianu 𝑊 przez odpowiedni dwumian, np.
𝑥 = 2 i (3𝑥 3 − 2𝑥 2 − 12𝑥 + 8): (𝑥 − 2) = 3𝑥 2 + 4𝑥 − 4,
ALBO
– rozłożenie wielomianu 𝑊(𝑥) = 3𝑥 3 − 2𝑥 2 − 12𝑥 + 8 na czynniki liniowe, np.
𝑊(𝑥) = (3𝑥 − 2)(𝑥 − 2)(𝑥 + 2),
ALBO
– przekształcenie równania 3𝑥 3 − 2𝑥 2 − 12𝑥 + 8 = 0 do postaci alternatywy równań
i rozwiązanie jednego z nich, np.
(3𝑥 − 2 = 0 lub 𝑥 2 − 4 = 0) i 𝑥 = 2 oraz 𝑥 = −2.
1 pkt – przekształcenie lewej strony równania do postaci iloczynu wielomianów stopnia co
najwyżej drugiego, np. (3𝑥 − 2)(𝑥 2 − 4) = 0
ALBO
– zapisanie jednego z rozwiązań równania 3𝑥 3 − 2𝑥 2 − 12𝑥 + 8 = 0 (jeśli to
rozwiązanie nie zostało otrzymane w wyniku zastosowania błędnej metody),
ALBO
– przekształcenie równania 3𝑥 3 − 2𝑥 2 − 12𝑥 + 8 = 0 do postaci alternatywy równań,
np. 3𝑥 − 2 = 0 lub 𝑥 2 − 4 = 0.
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający uzyska trzy poprawne pierwiastki wielomianu, lecz traktuje równanie jako
nierówność (podaje zbiór rozwiązań w postaci przedziału/ sumy przedziałów), to otrzymuje
2 punkty za całe rozwiązanie.
2. Jeżeli zdający przy przekształcaniu lewej strony równania do postaci iloczynu zapisuje
czynnik (3𝑥 − 2) z wykładnikiem 2, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe
rozwiązanie.
Zadanie 101 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAU-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
На рисунку представлено геометричну інтерпретацію в декартовій системі координат
(𝑥, 𝑦) oднієї з записаних нижче систем рівнянь A–D.
𝑦
5
4
3
2
1
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 𝑥
−1
−2
−3
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
Система рівнянь, геометрична інтерпретація якої представлена на рисунку, це
𝑦 = −𝑥 + 2
A. {
𝑦 = −2𝑥 + 1
𝑦 =𝑥−2
B. {
𝑦 = −2𝑥 − 1
𝑦 =𝑥−2
C. {
𝑦 = 2𝑥 + 1
𝑦 = −𝑥 + 2
D. {
𝑦 = 2𝑥 − 1
Чернетка
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
D COdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 112 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAU-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Дано прямокутник зі сторонами завдовжки 𝑎 і 𝑏, де 𝑎 > 𝑏. Периметр цього
прямокутника дорівнює 30. Одна зі сторін прямокутника на 5 коротша, ніж друга.
Доповни речення. Вибери дві правильні відповіді серед варіантів, позначених 11.
літерами A–F, і запиши ці літери у зазначених крапками місцях. Залежнoсті між довжинами сторін цього прямокутника описано в системах рівнянь,
позначених літерами: ……… та ……… .
2𝑎𝑏 = 30
A. {
𝑎−𝑏 =5
2𝑎 + 𝑏 = 30
B. {
𝑎 = 5𝑏
2(𝑎 + 𝑏) = 30
C. {
𝑏 =𝑎−5
2𝑎 + 2𝑏 = 30
D. {
𝑏 = 5𝑎
2𝑎 + 2𝑏 = 30
E. {
𝑎−𝑏 =5
𝑎 + 𝑏 = 30
F. {
𝑎 =𝑏+5
Чернетка
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
CE ADOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 2 pkt – wybranie dwóch odpowiedzi, z których obie są poprawne.
1 pkt – wybranie jednej lub dwóch odpowiedzi, z których jedna jest poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 12.11 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAU-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
Областю функції 𝑓 є множина
A. [−6, 5] B. (−6, 5) C. (−3, 5] D. [−3, 5]
Чернетка
У декартовій системі координат (𝑥, 𝑦) побудовано графік функції 𝑦 = 𝑓(𝑥)
(дивись рисунок).
𝑦
5
4
3
2
1
−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 𝑥
−1
−2
−3
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A COdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 12.21 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAU-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
Найбільше значення функції 𝑓 на проміжку [−4, 1] дорівнює
A. 0 B. 1 C. 2 D. 5
Чернетка
У декартовій системі координат (𝑥, 𝑦) побудовано графік функції 𝑦 = 𝑓(𝑥)
(дивись рисунок).
𝑦
5
4
3
2
1
−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 𝑥
−1
−2
−3
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
C BOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 12.31 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAU-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
Функція 𝑓 є спадною на множині
A. [−6, −3) B. [−3, 1] C. (1, 2] D. [2, 5]
Чернетка
У декартовій системі координат (𝑥, 𝑦) побудовано графік функції 𝑦 = 𝑓(𝑥)
(дивись рисунок).
𝑦
5
4
3
2
1
−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 𝑥
−1
−2
−3
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
D BOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 131 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAU-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Лінійна функція 𝑓 задана формулою 𝑦
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, де 𝑎 і 𝑏 є певними
дійсними числами. На рисунку представлено
фрагмент графіка функції 𝑓 в декартовій
1
системі координат (𝑥, 𝑦).
0 1 𝑥
𝑦 = 𝑓(𝑥)
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
Число 𝑎 та число 𝑏 у формулі функції 𝑓 виконують умови:
A. 𝑎 > 0 i 𝑏 > 0. B. 𝑎 > 0 i 𝑏 < 0.
C. 𝑎 < 0 i 𝑏 > 0. D. 𝑎 < 0 i 𝑏 < 0.
Чернетка
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
C DOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 141 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAU-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Одним з нулів квадратичної функції 𝑓 є число (−5). Перша координата вершини
параболи, яка є графіком функції 𝑓 , дорівнює 3.
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
Другим нулем функції 𝑓 є число
A. 11 B. 1 C. (−1) D. (−13)
Чернетка
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A COdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 151 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAU-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Послідовність (𝑎𝑛 ) задана формулою 𝑎𝑛 = 2𝑛 ⋅ (𝑛 + 1) для кожного натурального
числа 𝑛 ≥ 1.
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
Член 𝑎4 дорівнює
A. 64 B. 40 C. 48 D. 80
Чернетка
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
D COdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 161 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAU-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Геометрична прогресія (27, 9, 𝑎 − 1) складається з трьох членів.
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
Число 𝑎 дорівнює
A. 3 B. 0 C. 4 D. 2
Чернетка
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
C BOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 172 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAU-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Пан Станіслав сплатив позику у розмірі 8910 зл за вісімнадцять платежів. Кожен
наступний платіж був менший ніж попередній на 30 зл.
17. Обчисли розмір першого платежу. Запиши обчислення.
Pokaż odpowiedź
Sposób I
Kolejne raty tworzą ciąg arytmetyczny, w którym 𝑆18 = 8910 i 𝑟 = −30. Korzystamy ze
wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i otrzymujemy równanie
2𝑎1 + 17 ⋅ (−30)
⋅ 18 = 8910
2
Przekształcając to równanie równoważnie, otrzymujemy
9(2𝑎1 − 510) = 8910
2𝑎1 − 510 = 990
𝑎1 = 750
Pierwsza rata była równa 750 zł.
Sposób II
Przyjmujemy, że kolejne (licząc od końca) raty tworzą ciąg arytmetyczny, w którym
𝑆18 = 8910 i 𝑟 = 30. Korzystamy ze wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu
arytmetycznego i otrzymujemy równanie
2𝑎1 + 17 ⋅ 30
⋅ 18 = 8910
2
Przekształcając to równanie równoważnie, otrzymujemy
9(2𝑎1 + 510) = 8910
2𝑎1 + 510 = 990
𝑎1 = 240
Ostatnia rata była równa 240 zł.
Obliczamy wysokość pierwszej raty
𝑎18 = 240 + 17 ⋅ 30 = 750
Pierwsza rata była równa 750 zł.
Sposób III
Kolejne kwoty, o które pomniejszana jest pierwsza rata, tworzą ciąg arytmetyczny, w którym
różnica jest równa 30. Wtedy osiemnasta rata jest mniejsza od pierwszej raty o kwotę
(18 − 1) ⋅ 30 = 510 zł.
Stąd
𝑎1 + (𝑎1 − 30) + (𝑎1 − 60) + (𝑎1 − 90)+. . . +(𝑎1 − 510) = 8910
18𝑎1 − (30 + 60 + 90+. . . +510) = 8910
gdzie suma siedemnastu liczb 30 + 60 + 90+. . . +510 jest równa
30 + 510
⋅ 17 = 4590
2
Zatem
18𝑎1 − 4590 = 8910
18𝑎1 = 13500
𝑎1 = 750
Pierwsza rata była równa 750 zł.
Sposób IV
Kolejne raty tworzą ciąg arytmetyczny, zatem
𝑎1 + 𝑎18 = 𝑎2 + 𝑎17 = 𝑎3 + 𝑎16 =. . . = 𝑎9 + 𝑎10
Obliczamy wartość pojedynczej sumy
𝑎1 + 𝑎18 = 8910: 9 = 990
Korzystając ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu arytmetycznego, mamy
𝑎1 + 𝑎1 − 17 ⋅ 30 = 990
2𝑎1 = 990 + 510
𝑎1 = 750
Pierwsza rata była równa 750 zł.
Sposób V
Przyjmujemy, że pierwsza rata była równa 1000 zł. Wtedy kolejne raty są równe:
970 zł, 940 zł, … , 490 zł.
Suma wszystkich rat jest równa 13 410 zł i przewyższa kwotę z warunków zadania
o 4500 zł.
Obliczamy, o ile należy zmniejszyć każdą ratę:
4500 ∶ 18 = 250
1000 − 250 = 750
Pierwsza rata była równa 750 zł.
Sposób VI
Kolejne raty są wyrazami osiemnastowyrazowego ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛 ) o różnicy
𝑟 = −30. Obliczymy dowolną ratę (np. dziewiątą), korzystając z własności tego ciągu:
(𝑎9 + 𝑎10 ) ⋅ 9 = 8910 𝑎 + 𝑎10 = 990
{ { 9
𝑎10 = 𝑎9 − 30 𝑎9 − 𝑎10 = 30
2𝑎9 = 1020 𝑎9 = 510
Zatem
𝑎1 = 𝑎9 − 8 ⋅ (−30) = 510 + 240 = 750
Pierwsza rata była równa 750 zł.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 2 pkt – zastosowanie poprawnej metody i obliczenie pierwszej raty: 750 zł.
1 pkt – zastosowanie wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
i zapisanie równania z niewiadomą 𝑎1 (pierwszą ratą):
2𝑎1 + 17 ⋅ (−30)
⋅ 18 = 8910
2
ALBO
– zastosowanie wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
oraz zapisanie równania z niewiadomą 𝑎1 :
2𝑎1 +17⋅30
⋅ 18 = 8910 i zapisanie, że 𝑎1 jest ostatnią ratą,
2
ALBO
– zapisanie równania
𝑎1 + (𝑎1 − 30) + (𝑎1 − 2 ⋅ 30) + (𝑎1 − 3 ⋅ 30) + ⋯ + (𝑎1 − 17 ⋅ 30) = 8910,
gdzie 𝑎1 jest pierwszą ratą, lub równania
𝑎1 + (𝑎1 + 30) + (𝑎1 + 2 ⋅ 30) + (𝑎1 + 3 ⋅ 30) + ⋯ + (𝑎1 + 17 ⋅ 30) = 8910
(łącznie z zapisem, że 𝑎1 jest ostatnią ratą),
ALBO
– zapisanie zależności między pierwszą (𝑎1 ) i ostatnią ratą (𝑎18 ), np.
𝑎1 + 𝑎18 = 8910 ∶ 9 albo 𝑎18 = 𝑎1 − 17 ⋅ 30 itp.,
ALBO
– rozpatrzenie osiemnastowyrazowego ciągu arytmetycznego o różnicy (−30) lub 30
i zapisanie co najmniej pierwszego oraz ostatniego wyrazu tego ciągu, np.
(𝑥 , 𝑥 − 30, 𝑥 − 60, …, 𝑥 − 510) dla dowolnego 𝑥 (np. jak w sposobie V),
ALBO
– zapisanie układu równań, z którego można obliczyć jedną z rat, np.
𝑎9 +𝑎10
= 495 i 𝑎10 = 𝑎9 − 30.
2
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe
rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.
2. Jeżeli zdający zapisze tylko 750 zł, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
3. Jeżeli zdający rozważa ciąg arytmetyczny o różnicy 𝑟 = 30, obliczy 𝑎1 = 240 i nie
interpretuje 𝑎1 jako ostatniej raty, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe
rozwiązanie.
4. Jeżeli zdający błędnie interpretuje liczbę 8910 jako wyraz ciągu rat, to otrzymuje
0 punktów za całe rozwiązanie.
Zadanie 181 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAU-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
У декартовій системі координат (𝑥, 𝑦) зазначено кут 𝛼 з вершиною
в точці 𝑂 = (0, 0). Один з променів цього кута збігається з додатною піввіссю 𝑂𝑥 ,
а другий проходить через точку 𝑃 = (−3, 1) (дивись рисунок).
𝑦
𝑃 = (−3, 1) 2
1
𝛼
𝑂 𝑥
−3 −2 −1 1 2 3
−1
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
Тангенс кута 𝛼 дорівнює
1 3 3 1
A. B. (− ) C. (− ) D. (− )
√10 √10 1 3
Чернетка
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
D COdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 191 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAU-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
Для кожного гострого кута 𝛼 вираз sin4 𝛼 + sin2 𝛼 ⋅ cos 2 𝛼 дорівнює
A. sin2 𝛼 B. sin6 𝛼 ⋅ cos 2 𝛼
C. sin4 𝛼 + 1 D. sin2 𝛼 ⋅ (sin 𝛼 + cos 𝛼) ⋅ (sin 𝛼 − cos 𝛼)
Чернетка
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A BOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 201 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAU-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
У ромбі зі стороною завдовжки 6√2 міра тупого кута дорівнює 150°.
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
Добуток довжин діагоналей цього ромба дорівнює
A. 24 B. 72 C. 36 D. 36√2
Чернетка
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
B DOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 211 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAU-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Точки 𝐴, 𝐵, 𝐶 лежать на колі з центром в точці 𝑂.
Міра кута 𝐴𝐶𝑂 дорівнює 70° (дивись рисунок).
𝐵
𝑂
70°
Закінчи речення. 𝐶
Вибери правильну відповідь серед поданих. 𝐴
Міра гострого кута 𝐴𝐵𝐶 дорівнює
A. 10° B. 20° C. 35° D. 40°
Чернетка
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
B COdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 222 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAU-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Прямокутні трикутники 𝑇1 і 𝑇2 є подібними. Довжини катетів трикутника 𝑇1
дорівнюють 5 i 12. Довжина гіпотенузи трикутника 𝑇2 дорівнює 26.
Обчисли площу трикутника 𝑻𝟐 . Запиши обчислення. 22.
Pokaż odpowiedź
Sposób I
Długości przyprostokątnych trójkątów 𝑇1 i 𝑇2 oznaczymy odpowiednio jako: 𝑎1 , 𝑏1 oraz
𝑎2 , 𝑏2 . Z podobieństwa trójkątów 𝑇1 i 𝑇2 wynika, że stosunki odpowiednich boków są
równe:
𝑎2 𝑎1
= gdzie 𝑎1 = 12, 𝑏1 = 5
𝑏2 𝑏1
Zatem
𝑎2 12 5
= więc 𝑏2 = 𝑎
𝑏2 5 12 2
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝑇2 mamy:
𝑎22 + 𝑏22 = 262
5 2 2
𝑎22 + ( ) 𝑎2 = 262
12
169 2
𝑎 = 262
144 2
144
𝑎2 = √ ⋅ 26 = 24
169
5
Zatem 𝑏2 = ⋅ 24 = 10.
12
Obliczamy pole trójkąta 𝑇2 :
1 1
𝑃2 = ⋅ 𝑎2 ⋅ 𝑏2 = ⋅ 24 ⋅ 10 = 120
2 2
Sposób II
Oznaczamy wierzchołki trójkąta 𝑇1 przez 𝐴, 𝐵, 𝐶 , gdzie 𝐵𝐶 jest przeciwprostokątną tego
trójkąta, |𝐴𝐵| = 12 i |𝐴𝐶| = 5. Oznaczamy wierzchołki trójkąta 𝑇2 przez 𝐷 , 𝐸 , 𝐹 , gdzie
𝐸𝐹 jest przeciwprostokątną tego trójkąta.
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝑇1 mamy 𝐵 𝐸
|𝐴𝐵|2 + |𝐴𝐶|2 = |𝐵𝐶|2
122 + 52 = |𝐵𝐶|2
12
|𝐵𝐶|2 = 169
|𝐵𝐶| = 13 26
𝐶 5 𝐴
Obliczamy skalę podobieństwa trójkąta 𝑇2 do trójkąta 𝑇1 :
|𝐸𝐹| 26
𝑘= = =2
|𝐵𝐶| 13
Obliczamy długości przyprostokątnych trójkąta 𝑇2 :
𝐹 𝐷
|𝐷𝐸| = 2 ⋅ |𝐴𝐵| = 2 ⋅ 12 = 24
|𝐷𝐹| = 2 ⋅ |𝐴𝐶| = 2 ⋅ 5 = 10
Obliczamy pole trójkąta 𝑇2 :
1 1
𝑃2 = ⋅ |𝐷𝐸| ⋅ |𝐷𝐹| = ⋅ 24 ⋅ 10 = 120
2 2
Sposób III
Oznaczamy wierzchołki trójkąta 𝑇1 przez 𝐴, 𝐵, 𝐶 , gdzie 𝐵𝐶 jest przeciwprostokątną tego
trójkąta, |𝐴𝐵| = 12 i |𝐴𝐶| = 5. Oznaczamy wierzchołki trójkąta 𝑇2 przez 𝐷 , 𝐸 , 𝐹 , gdzie
𝐸𝐹 jest przeciwprostokątną tego trójkąta. 𝐵 𝐸
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝑇1 mamy
|𝐴𝐵|2 + |𝐴𝐶|2 = |𝐵𝐶|2
12
2 2 |𝐵𝐶|2
12 + 5 =
|𝐵𝐶|2 = 169 26
𝐶 5 𝐴
|𝐵𝐶| = 13
Obliczamy skalę podobieństwa trójkąta 𝑇2 do trójkąta 𝑇1 :
|𝐸𝐹| 26
𝑘= = =2
|𝐵𝐶| 13
𝐹 𝐷
Obliczamy pole 𝑃1 trójkąta 𝑇1 :
1 1
𝑃1 = ⋅ |𝐴𝐵| ⋅ |𝐴𝐶| = ⋅ 12 ⋅ 5 = 30
2 2
Korzystając z tego, że stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali
podobieństwa, obliczamy pole 𝑃2 trójkąta 𝑇2 :
𝑃2
= 𝑘2
𝑃1
Zatem
𝑃2 = 𝑘 2 ⋅ 𝑃1 = 22 ⋅ 30 = 120Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 2 pkt – poprawna metoda i obliczenie pola trójkąta 𝑇2 : 𝑃2 = 120.
1 pkt – wykorzystanie podobieństwa trójkątów i zapisanie układu równań/równania
pozwalającego obliczyć długości przyprostokątnych trójkąta 𝑇2 , np.
𝑎2 12
= 5 i 𝑎22 + 𝑏22 = 262 , (12𝑥)2 + (5𝑥)2 = 262
𝑏2
ALBO
𝑃 |𝐵𝐶|
2
𝑃 26 2
– zapisanie stosunku pól trójkątów 𝑇1 i 𝑇2 : 1 = ( ) (lub 2 = ( ) ) oraz
𝑃2 26 𝑃1 |𝐵𝐶|
obliczenie długości odcinka 𝐵𝐶 : |𝐵𝐶| = 13,
ALBO
|𝐸𝐹|
– obliczenie/zapisanie skali podobieństwa trójkątów, np. 𝑘 = =2
|𝐵𝐶|
|𝐵𝐶| 1
(lub 𝑘 = = 2),
|𝐸𝐹|
ALBO
– obliczenie/zapisanie długości przyprostokątnych trójkąta 𝑇2 : 10, 24,
ALBO
– obliczenie długości 𝑐1 przeciwprostokątnej trójkąta 𝑇1 oraz zapisanie układu
równań pozwalającego obliczyć długości 𝑎2 , 𝑏2 przyprostokątnych trójkąta 𝑇2 , np.
13 26 13 26
𝑐1 = 13 i 12 = 𝑎 i 5 = 𝑏 .
2 2
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zadanie 231 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAU-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
У декартовій системі координат (𝑥, 𝑦) дано прямі 𝑘 та 𝑙 , описані рівняннями
2
𝑘: 𝑦 = 𝑥
3
3
𝑙: 𝑦 = − 𝑥 + 13
2
Закінчи речення. Вибери відповідь A або B та відповідь 1., 2. або 3.
Прямі 𝑘 та 𝑙
1. (−6, −4)
A. є перпендикулярними
і перетинаються в точці 𝑃
2. (6, 4)
з координатами
B. не є перпендикулярними
3. (−6, 4)
Чернетка
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A2 A3Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 241 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAU-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
1
У декартовій системі координат (𝑥, 𝑦) дано пряму 𝑘 , описану рівнянням 𝑦 = − 𝑥 + 2.
3
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
Пряма, описана рівнянням 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, паралельна до прямої 𝑘 і проходить через
точку 𝑃 = (3, 5), коли
1
A. 𝑎 = 3 і 𝑏 = 4. B. 𝑎 = − і 𝑏 = 4.
3
1
C. 𝑎 = 3 і 𝑏 = −4. D. 𝑎 = − і 𝑏 = 6.
3
Чернетка
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
D BOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 251 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAU-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Дано правильну чотирикутну призму, довжина ребра основи якої дорівнює 15.
√2
Діагональ призми нахилена до площини основи під кутом 𝛼 , причому cos 𝛼 = .
3
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
Довжина діагоналі цієї призми дорівнює
A. 15√2 B. 45 C. 5√2 D. 10
Чернетка
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
B DOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 264 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAU-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Дано правильну чотирикутну піраміду. Висота бічної грані цієї піраміди дорівнює 6,
і вона нахилена до площини основи під кутом 30° (дивись рисунок).
6
30°
26. Обчисли об’єм і площу повної поверхні цієї піраміди. Запиши обчислення.
Pokaż odpowiedź
𝑆
Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku:
𝑎 – długość krawędzi podstawy, 𝐶 𝐵
𝐻 – wysokość ostrosłupa. 𝐻 6
30°
Zauważamy, że 𝑎 > 0 i 𝐻 > 0. 𝑂 𝐸
Ponieważ 𝑂 jest punktem przecięcia
1 𝐷 𝑎 𝐴
przekątnych kwadratu, to |𝑂𝐸| = 𝑎.
2
W trójkącie prostokątnym 𝑆𝑂𝐸 mamy 𝑆
|𝑆𝑂| 𝐻
sin 30° = = 6
|𝑆𝐸| 6 𝐻
Zatem 30°
𝑂 1 𝐸
1 𝑎
𝐻 = 6 ⋅ sin 30° = 6 ⋅ = 3 2
2
Ponadto
1
|𝑂𝐸| 2 𝑎 𝑎
cos 30° = = =
|𝑆𝐸| 6 12
Stąd
√3
𝑎 = 12 ⋅ cos 30° = 12 ⋅ = 6√3
2
Obliczamy objętość 𝑉 ostrosłupa:
1 2
𝑉= ⋅ (6√3) ⋅ 3 = 108
3
Obliczamy pole powierzchni całkowitej 𝑃𝑐 ostrosłupa:
2 1
𝑃𝑐 = (6√3) + 4 ⋅ ⋅ 6√3 ⋅ 6 = 108 + 72√3
2Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 4 pkt – poprawna metoda obliczenia objętości i pola powierzchni całkowitej ostrosłupa oraz
poprawne wyniki: 𝑉 = 108 i 𝑃𝑐 = 108 + 72√3.
3 pkt – obliczenie objętości ostrosłupa: 𝑉 = 108
ALBO
– obliczenie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa: 𝑃𝑐 = 108 + 72√3 oraz
obliczenie wysokości ostrosłupa: 𝐻 = 3.
2 pkt – obliczenie/zapisanie długości krawędzi podstawy: 𝑎 = 6√3 oraz obliczenie
wysokości ostrosłupa: 𝐻 = 3
ALBO
– obliczenie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa: 𝑃𝑐 = 108 + 72√3.
1 pkt – obliczenie/zapisanie długości krawędzi podstawy: 𝑎 = 6√3
ALBO
– obliczenie wysokości ostrosłupa: 𝐻 = 3.
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający przyjmuje w rozwiązaniu, że trójkąt 𝐸𝑆𝑂 lub 𝐵𝑆𝐷 , lub jedna ze ścian
bocznych ostrosłupa jest trójkątem równobocznym i wykorzystuje to do obliczenia długości
krawędzi podstawy, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie (o ile nie nabył prawa do
uzyskania 1 punktu za obliczenie wysokości ostrosłupa).
2. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:
a) zastosowanie niepoprawnej definicji jednej funkcji trygonometrycznej
b) błędne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa
c) zastosowanie niepoprawnej tożsamości √𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑥 + 𝑦
d) przyjęcie, że wysokość ostrosłupa jest równa 3√3 i |𝑂𝐸| = 3,
i rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać
2 punkty za całe rozwiązanie.
Jeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych błędów a)–d), to otrzymuje
0 punktów za całe rozwiązanie.
Zadanie 271 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAU-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
У певній правильній піраміді відношення кількості 𝑊 усіх вершин до кількості 𝐾 усіх
𝑊 3
граней дорівнює = .
𝐾 5
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
Основою цієї піраміди є
A. квадрат. B. правильний п’ятикутник.
C. правильний шестикутник. D. правильний семикутник.
Чернетка
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
B BOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 281 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAU-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
Усіх п’ятицифрових натуральних чисел, у десятковому записі яких виступають лише
цифри 0, 5, 7 (наприклад, 57 075, 55 555), є
A. 53 B. 2 ⋅ 43 C. 2 ⋅ 34 D. 35
Чернетка
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
C AOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 292 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAU-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
На поданій діаграмі вказано ціни помідорів у шістнадцяти вибраних магазинах.
6
5
4
кількість
магазинів 3
2
1
0
5,05 5,60 5,70 6,00 6,30
ціна за 1 кг помідорів (у зл)
Заповни таблицю. Запиши правильну відповідь у кожній порожній клітинці 29.
таблиці, вибравши серед варіантів A–E. 29.1. Медіана ціни кілограма помідорів у цих магазинах дорівнює
29.2. Середня ціна кілограма помідорів у цих магазинах дорівнює
A. 5,80 зл B. 5,73 зл C. 5,85 зл D. 6,00 зл E. 5,70 зл
Чернетка
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
29.1. C 29.1. B
29.2. A 29.2. EOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 2 pkt – wybranie dwóch poprawnych odpowiedzi.
1 pkt – wybranie jednej poprawnej odpowiedzi.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 302 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAU-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
З восьми кульок, пронумерованих числами 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, двічі вибираємо
з поверненням по одній кульці.
30. Обчисли ймовірність події 𝑨, яка полягає у тому, що добуток номерів вибраних кульок є кратним 𝟏𝟓. Запиши обчислення.
Pokaż odpowiedź
Sposób I
Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych obrazuje tabela 8 × 8, co oznacza, że moc zbioru
Ω jest równa 64.
W tabeli zaznaczamy iloczyny podzielne przez 15.
2 3 4 5 6 7 8 9
2
3 ×
4
5 × × ×
6 ×
7
8
9 ×
Zdarzeń sprzyjających wylosowaniu liczb, których iloczyn jest podzielny przez 15, jest 6.
Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn
6
jest podzielny przez 15, jest równe .
64
Sposób II (drzewo stochastyczne)
Rysujemy fragment drzewa stochastycznego rozważanego doświadczenia z uwzględnieniem
wszystkich istotnych gałęzi.
Oznaczamy przez 𝐴 zdarzenie polegające na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest
podzielny przez 15.
1 1 1 1
8 8 8 8
3 5 6 9
1 1 1 1 1 1
8 8 8 8 8 8
5 3 6 9 5 5
Prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6
𝑃(𝐴) = ∙ + ∙ + ∙ + ∙ + ∙ + ∙ =
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 64
Sposób III
Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych Ω to zbiór par uporządkowanych elementów ze
zbioru 8-elementowego, zatem moc zbioru Ω jest równa |Ω| = 8 ⋅ 8 = 64.
Oznaczamy przez 𝐴 zdarzenie polegające na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest
podzielny przez 15.
Wielokrotności liczby 15, które mogą być iloczynami elementów ze zbioru Ω, to 15, 30, 45.
Wyznaczamy iloczyny, które spełniają powyższy warunek:
15 = 3 ⋅ 5 = 5 ⋅ 3 – dwa iloczyny – dwa zdarzenia elementarne: (3, 5) oraz (5, 3),
30 = 6 ⋅ 5 = 5 ⋅ 6 – dwa iloczyny – dwa zdarzenia elementarne: (6, 5) oraz (5, 6),
45 = 9 ⋅ 5 = 5 ⋅ 9 – dwa iloczyny – dwa zdarzenia elementarne: (9, 5) oraz (5, 9).
6
Sprzyjających zdarzeń elementarnych jest 6, więc 𝑃(𝐴) = .
64Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 2 pkt – zastosowanie poprawnej metody obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴
6
i uzyskanie poprawnego wyniku: 𝑃(𝐴) = .
64
1 pkt – wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych lub obliczenie/podanie liczby tych
zdarzeń: |Ω| = 8 ⋅ 8 lub sporządzenie tabeli o 64 polach odpowiadających
zdarzeniom elementarnym, z których co najmniej jedno pole jest wypełnione, lub
sporządzenie pełnego drzewa stochastycznego
ALBO
– wypisanie (zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających
zdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego:
(3, 5), (5, 3), (6, 5), (5, 6), (5, 9), (9, 5),
ALBO
– podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:
|𝐴| = 6, jeśli nie została otrzymana w wyniku zastosowania błędnej metody,
ALBO
– sporządzenie fragmentu drzewa stochastycznego, które zawiera wszystkie gałęzie
1
sprzyjające zdarzeniu 𝐴 oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej
8
jednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,
ALBO
1
– podanie prawdopodobieństwa jednoelementowego zdarzenia (elementarnego): ,
64
ALBO
6
– zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = .
64
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga:
Jeżeli zdający zapisuje tylko liczby 6 lub 64 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych
liczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Zadanie 31.11 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAU-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Оціни правильність нижченаведених тверджень. Вибери P, якщо твердження
правильне, або F – якщо воно хибне.
Загальна кількість клієнтів, яких було обслужено протягом усіх
P F
проаналізованих днів дорівнює 𝐿(30).
Протягом третього дня аналізованого періоду було обслужено
P F
336 клієнтів.
Чернетка
Власник певної аптеки проаналізував дані щодо кількості клієнтів, яких було обслужено
протягом останніх 30 днів. Приймімо, що кількість 𝐿 клієнтів, яких було обслужено
протягом 𝑛-ного дня, описує функція
𝐿(𝑛) = −𝑛2 + 22𝑛 + 279
де 𝑛 – це натуральне число, яке виконує умови: 𝑛 ≥ 1 і 𝑛 ≤ 30.
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
FP FPOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 31.22 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAU-P0-100-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Котрого дня аналізованого періоду в аптеці було обслужено найбільшу кількість клієнтів? Обчисли кількість клієнтів, яких було обслужено цього дня. Запиши
обчислення.
ЧЕРНЕТКА (не підлягає оцінюванню)
МАТЕМАТИКА
Базовий рівень
Формула 2023
МАТЕМАТИКА
Базовий рівень
Формула 2023
МАТЕМАТИКА
Базовий рівень
Формула 2023
Власник певної аптеки проаналізував дані щодо кількості клієнтів, яких було обслужено
протягом останніх 30 днів. Приймімо, що кількість 𝐿 клієнтів, яких було обслужено
протягом 𝑛-ного дня, описує функція
𝐿(𝑛) = −𝑛2 + 22𝑛 + 279
де 𝑛 – це натуральне число, яке виконує умови: 𝑛 ≥ 1 і 𝑛 ≤ 30.
Pokaż odpowiedź
Sposób I
Wykresem funkcji 𝐿(𝑛) = −𝑛2 + 22𝑛 + 279, gdzie 𝑛 jest liczbą naturalną z przedziału
[1, 30], jest zbiór punktów leżących na paraboli o ramionach skierowanych w dół.
Przekształcamy wzór funkcji 𝐿 do postaci kanonicznej:
𝐿(𝑛) = −𝑛2 + 22𝑛 + 279 = −[𝑛2 − 22𝑛] + 279 = −[(𝑛 − 11)2 − 112 ] + 279 =
= −(𝑛 − 11)2 + 121 + 279 = −(𝑛 − 11)2 + 400
Z postaci kanonicznej odczytujemy współrzędne wierzchołka paraboli: 𝑊 = (11, 400).
Interpretujemy otrzymane wartości: największą liczbę klientów obsłużono jedenastego dnia
badanego okresu i było to 400 osób.
Sposób II
Wykresem funkcji 𝐿(𝑛) = −𝑛2 + 22𝑛 + 279, gdzie 𝑛 jest liczbą naturalną z przedziału
[1, 30], jest zbiór punktów leżących na paraboli o ramionach skierowanych w dół. Jej
największa wartość jest drugą współrzędną wierzchołka paraboli 𝑊 = (𝑝, 𝑞).
Stąd
−22
𝑝= = 11, 11 ∈ {1, 2, … , 30}
2 ⋅ (−1)
𝑞 = 𝐿(𝑝) = −112 + 22 ⋅ 11 + 279 = 400
Największą liczbę klientów obsłużono jedenastego dnia badanego okresu i było to
400 osób.
Sposób III
Wykorzystamy następującą własność funkcji kwadratowej 𝐿(𝑥) = −𝑥 2 + 22𝑥 + 279.
Jeśli 𝐿(𝑘1 ) = 𝐿(𝑘2 ), to liczba
𝑘1 + 𝑘2
2
jest pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝐿. Jeśli ponadto
współczynnik przy 𝑥 2 jest liczbą ujemną, to liczba
𝑘1 + 𝑘2
𝐿( )
2
jest największą wartością funkcji 𝐿.
Wykonujemy obliczenia – szukamy argumentów, dla których funkcja przyjmuje tę samą
wartość:
𝐿(9) = 396
𝐿(10) = 399
𝐿(11) = 400
𝐿(12) = 399
Zauważamy, że 𝐿(10) = 𝐿(12). Ponieważ
10 + 12
= 11 oraz 11 ∈ {1, … 30}
2
więc funkcja 𝐿 przyjmuje wartość największą równą 400 dla argumentu 11. To oznacza,
że największą liczbę klientów obsłużono jedenastego dnia badanego okresu i było to
400 osób.
Ocena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią
Obowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez stwierdzonej
dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:
I. ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze
stwierdzoną dyskalkulią (punkty 1.–12.);
II. dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy
osób ze stwierdzoną dyskalkulią – egzamin maturalny z matematyki, poziom
podstawowy, termin główny 2023.
I. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną
dyskalkulią
1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:
• błędnego przepisania
• przestawienia cyfr
• zapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie
• przestawienia położenia przecinka.
2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu
oddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza
umiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania
badanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.
3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę
rozwiązania, części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej
1 punkt, zgodnie z kryteriami do poszczególnych zadań.
4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub
zapisuje nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne
rozumowanie lub stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt
za rozwiązanie zadania.
5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu
kwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę
wyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania
wartościach liczbowych.
6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający
może otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności
kwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.
7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej
zdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji
kwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.
8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych
lub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie
takiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.
9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na
płaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu
rozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur
geometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.
10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać
przynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych
sprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje
prawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.
11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli
podaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia
rozwiązania.
12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub
geometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która
wyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać
1 punkt.
II. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób
ze stwierdzoną dyskalkulią
1 pkt – zastosowanie wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy do wyrażenia
(2𝑛 + 1)2.
2 pkt – zapisanie dwóch pierwiastków wielomianu 3𝑥 3 − 2𝑥 2 − 12𝑥 + 8 (o ile nie zostały
one uzyskane w wyniku błędnej metody).
1 pkt – przekształcenie wielomianu 3𝑥 3 − 2𝑥 2 − 12𝑥 + 8 do postaci
3(𝑥 2 − 4) − 2(𝑥 2 − 4) lub 𝑥 2 (3𝑥 − 2) − 4(3𝑥 − 2).
Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.
1 pkt – obliczenie długości 𝑐1 przeciwprostokątnej trójkąta 𝑇1 oraz wykorzystanie
podobieństwa trójkątów i zapisanie związku między długościami przyprostokątnych
𝑎 12
trójkąta 𝑇2 : 𝑐1 = 13 i 2 =
𝑏2 5
ALBO
– obliczenie długości 𝑐1 przeciwprostokątnej trójkąta 𝑇1 oraz zapisanie równania
pozwalającego obliczyć długość jednej z przyprostokątnych trójkąta 𝑇2 , np.
13 26 13 26
𝑐1 = 13 i 12 = 𝑎 , 𝑐1 = 13 i 5 = 𝑏 .
2 2
1 pkt – zastosowanie definicji funkcji trygonometrycznej lub związków miarowych w trójkącie
o kątach 30°, 60°, 90° i zapisanie równania z jedną niewiadomą (wysokością
|𝑂𝐸| 𝐻 1
ostrosłupa lub połową długości krawędzi podstawy), np. = cos 30°, 6 = 2 .
6
1 pkt – zapisanie jedynie liczby 64 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich
zdarzeń elementarnych).
Uwagi:
1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi ze
standardowych zasad oceniania.
2. Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające
zdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (|𝐴| = 5) i konsekwentnie zapisze
5
wynik , to otrzymuje 2 punkty.
64
Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 2 pkt – poprawna metoda rozwiązania zadania oraz poprawne wyniki: 11 i 400.
1 pkt – wyznaczenie postaci kanonicznej funkcji 𝐿: 𝐿(𝑛) = −(𝑛 − 11)2 + 400
ALBO
– obliczenie, którego dnia analizowanego okresu w aptece obsłużono największą liczbę
klientów lub obliczenie największej liczby klientów: 11 lub 400,
ALBO
– obliczenie pierwszej współrzędnej 𝑝 wierzchołka paraboli z własności
𝐿(𝑘1 ) = 𝐿(𝑘2 ), gdzie 𝑘1 , 𝑘2 są różnymi liczbami takimi, że |𝑝 − 𝑘1 | = |𝑝 − 𝑘2 |:
𝑘1 + 𝑘2
𝑝= = 11
2
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający błędnie oblicza pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli,
i konsekwentnie do popełnionego błędu oblicza drugą współrzędną, to może otrzymać
1 punkt za całe rozwiązanie (o ile pierwsza współrzędna jest liczbą należącą do
dziedziny).
2. Jeżeli zdający nie zapisze, że 11 należy do dziedziny funkcji 𝐿, to może otrzymać
2 punkty za całe rozwiązanie.
3. Jeżeli zdający oblicza największą wartość funkcji 𝐿, korzystając z rachunku
różniczkowego, i nie zapisze przedziałów monotoniczności funkcji, to może otrzymać
2 punkty za całe rozwiązanie (gdy wyznaczy pochodną funkcji 𝐿(𝑥) określoną dla
𝑥 ∈ [1, 30], obliczy miejsce zerowe pochodnej funkcji 𝐿(𝑥) i wartość funkcji 𝐿 w tym
punkcie).
4. Jeżeli zdający oblicza 𝐿(11) = 400 i 𝐿(11 − 𝑘) = 𝐿(11 + 𝑘), gdzie 𝑘 ≠ 0, i wskaże
wartość największą, to może otrzymać 2 punkty za całe rozwiązanie.
5. Jeżeli zdający zapisze tylko 𝐿(11) = 400, to otrzymuje 1 punkt.
Wersja arkusza
MMAP-P0-660-2305 · Formuła 2023
Zadanie 11 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-660-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Na osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów.
5
x
5
x
Dokończ zdanie. Zapisz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Zbiór zaznaczony na osi jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności
A. x-3,5≥1,5
B. x-1,5≥3,5
C. x-3,5≤1,5
D. x-1,5≤3,5
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
B DOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 21 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-660-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Dokończ zdanie. Zapisz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba 3-2716⋅32 jest równa
A. -32
B. 32
C. 23
D. -23
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A BOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 32 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-660-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n≥1 liczba 2n+12-1 jest podzielna przez 8.
Pokaż odpowiedź
Sposób I
Korzystając z wzoru skróconego mnożenia, zapisujemy liczbę (2𝑛 + 1)2 − 1 w postaci
(2𝑛 + 1)2 − 1 = 4𝑛2 + 4𝑛 + 1 − 1 = 4𝑛(𝑛 + 1)
Ponieważ liczby 𝑛 oraz 𝑛 + 1 są kolejnymi liczbami naturalnymi, to jedna z nich jest liczbą
parzystą, zatem iloczyn 𝑛(𝑛 + 1) jest liczbą parzystą, więc iloczyn 4𝑛(𝑛 + 1) jest
podzielny przez 8. To należało wykazać.
Sposób II
Korzystając z wzoru skróconego mnożenia, zapisujemy liczbę (2𝑛 + 1)2 − 1 w postaci
(2𝑛 + 1)2 − 1 = 4𝑛2 + 4𝑛 + 1 − 1 = 4(𝑛2 + 𝑛)
Gdy 𝑛 jest liczbą nieparzystą, to liczba 𝑛2 jest liczbą nieparzystą. Zatem 𝑛2 + 𝑛 jest
liczbą parzystą jako suma dwóch liczb nieparzystych.
Gdy 𝑛 jest liczbą parzystą, to liczba 𝑛2 jest liczbą parzystą. Zatem 𝑛2 + 𝑛 jest liczbą
parzystą jako suma dwóch liczb parzystych.
Stąd 4(𝑛2 + 𝑛) jest liczbą podzielną przez 8. To należało wykazać.
Sposób III
Korzystając z wzoru skróconego mnożenia, zapisujemy liczbę (2𝑛 + 1)2 − 1 w postaci
(2𝑛 + 1)2 − 1 = [(2𝑛 + 1) − 1] ⋅ [(2𝑛 + 1) + 1] = 2𝑛 ⋅ (2𝑛 + 2)
Ponieważ liczby 2𝑛 oraz 2𝑛 + 2 są kolejnymi liczbami parzystymi, to jedna z nich jest
liczbą podzielną przez 4. Zatem iloczyn 2𝑛(2𝑛 + 2) jest liczbą podzielną przez 2 ⋅ 4, czyli
przez 8. To należało wykazać.
Sposób IV
Rozważmy dwa przypadki: gdy 𝑛 jest liczbą parzystą oraz gdy 𝑛 jest liczbą nieparzystą.
Jeśli 𝑛 jest liczbą parzystą, możemy ją zapisać w postaci 𝑛 = 2𝑙 , gdzie 𝑙 ∈ ℕ. Wówczas
badana liczba ma postać
(2𝑛 + 1)2 − 1 = (2 ⋅ 2𝑙 + 1)2 − 1 = 16𝑙 2 + 8𝑙 + 1 − 1 = 8𝑙(2𝑙 + 1)
Ponieważ 𝑙 ∈ ℕ, to również iloczyn 𝑙(2𝑙 + 1) jest liczbą naturalną. Zatem iloczyn
8𝑙(2𝑙 + 1) jest podzielny przez 8.
Jeśli liczba 𝑛 jest nieparzysta, zapisujemy ją w postaci 𝑛 = 2𝑙 + 1, gdzie 𝑙 ∈ ℕ. Wówczas
badana liczba ma postać
(2𝑛 + 1)2 − 1 = [2(2𝑙 + 1) + 1]2 − 1 = [4𝑙 + 3]2 − 1 =
= 16𝑙 2 + 24𝑙 + 9 − 1 = 8(2𝑙 2 + 3𝑙 + 1)
Ponieważ 𝑙 ∈ ℕ, to również 2𝑙 2 + 3𝑙 + 1 jest liczbą naturalną. Zatem iloczyn
8(2𝑙 2 + 3𝑙 + 1) jest podzielny przez 8. To należało wykazać.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 2 pkt – przekształcenie wyrażenia (2𝑛 + 1)2 − 1 do postaci iloczynu 4𝑛(𝑛 + 1) oraz
stwierdzenie, że iloczyn 𝑛(𝑛 + 1) jest liczbą parzystą
lub przekształcenie wyrażenia (2𝑛 + 1)2 − 1 do postaci 4(𝑛2 + 𝑛) i uzasadnienie,
że suma 𝑛2 + 𝑛 jest liczbą parzystą
ALBO
– przekształcenie wyrażenia (2𝑛 + 1)2 − 1 do postaci 2𝑛(2𝑛 + 2) oraz
stwierdzenie, że wśród dwóch kolejnych liczb parzystych jedna z nich jest liczbą
podzielną przez 4,
ALBO
– rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛 = 2𝑙 (gdzie 𝑙 ∈ ℕ), tj. przekształcenie wyrażenia
(2𝑛 + 1)2 − 1 do postaci 8𝑙(2𝑙 + 1) i zapisanie, że iloczyn 𝑙(2𝑙 + 1) jest liczbą
naturalną/całkowitą oraz rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛 = 2𝑙 + 1 (gdzie 𝑙 ∈ ℕ),
tj. przekształcenie wyrażenia (2𝑛 + 1)2 − 1 do postaci 8(2𝑙 2 + 3𝑙 + 1) i
zapisanie, że suma 2𝑙 2 + 3𝑙 + 1 jest liczbą naturalną/całkowitą.
1 pkt – przekształcenie wyrażenia (2𝑛 + 1)2 − 1 do postaci 4𝑛(𝑛 + 1) lub 4(𝑛2 + 𝑛),
lub 2𝑛(2𝑛 + 2)
ALBO
– przekształcenie wyrażenia (2𝑛 + 1)2 − 1 do postaci 4𝑛2 + 4𝑛 i stwierdzenie, że
ta suma jest liczbą podzielną przez 4,
ALBO
– rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛 = 2𝑙 (gdzie 𝑙 ∈ ℕ), tj. przekształcenie wyrażenia
(2𝑛 + 1)2 − 1 do postaci 8𝑙(2𝑙 + 1) i zapisanie, że iloczyn 𝑙(2𝑙 + 1) jest liczbą
naturalną/całkowitą,
ALBO
– rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛 = 2𝑙 + 1 (gdzie 𝑙 ∈ ℕ), tj. przekształcenie
wyrażenia (2𝑛 + 1)2 − 1 do postaci 8(2𝑙 2 + 3𝑙 + 1) i zapisanie, że suma
2𝑙 2 + 3𝑙 + 1 jest liczbą naturalną/całkowitą.
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy tylko dla wybranych wartości 𝑛, to otrzymuje
0 punktów za całe rozwiązanie.
2. Jeżeli zdający przyjmuje np. 𝑛 = 8𝑘 + 𝑟, gdzie 𝑘 ∈ ℕ i 𝑟 jest resztą z dzielenia liczby 𝑛
przez 8, i przeprowadzi poprawne rozumowanie dla co najmniej połowy przypadków, ale
nie przeprowadzi pełnego rozumowania dla wszystkich przypadków, to otrzymuje 1 punkt
za całe rozwiązanie.
3. Jeżeli zdający rozpatruje przypadki 𝑛 = 2𝑙 oraz 𝑛 = 2𝑙 + 1 (gdzie 𝑙 ∈ ℕ) i przekształca
wyrażenie (2𝑛 + 1)2 − 1 do postaci, odpowiednio, 8𝑙(2𝑙 + 1) oraz 2𝑙 2 + 3𝑙 + 1, ale
nie zapisze, że 8𝑙(2𝑙 + 1) oraz 2𝑙 2 + 3𝑙 + 1 są liczbami naturalnymi/całkowitymi, to
otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
Zadanie 41 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-660-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Dokończ zdanie. Zapisz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba log927+log93 jest równa
A. 81
B. 9
C. 4
D. 2
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
D COdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 51 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-660-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Dokończ zdanie. Zapisz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla każdej liczby rzeczywistej a wyrażenie
2a-32-2a+32
jest równe
A. -24a
B. 0
C. 18
D. 16a2-24a
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A BOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 61 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-660-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Dokończ zdanie. Zapisz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności
-2x+3≤2-x3
jest przedział
A. -∞, -4
B. -∞, 4
C. -4, ∞
D. 4, ∞
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
C AOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 71 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-660-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Dokończ zdanie. Zapisz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Jednym z rozwiązań równania
3x2-2x+3=0
jest liczba
A. 3
B. 2
C. 3
D. 2
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
D DOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 81 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-660-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Dokończ zdanie. Zapisz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Równanie
x+1x-12x-1x+12=0
w zbiorze liczb rzeczywistych
A. nie ma rozwiązania.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: -1.
C. ma dokładnie jedno rozwiązanie: 1.
D. ma dokładnie dwa rozwiązania: -1 oraz 1.
-1483018-5231281
1
0
y
x
−1
2
2
001
1
0
y
x
−1
2
2
\s
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A AOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 93 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-660-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Rozwiąż równanie
3x3-2x2-12x+8=0
Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź
Sposób I
Przekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:
3𝑥 3 − 2𝑥 2 − 12𝑥 + 8 = 0
𝑥 2 (3𝑥 − 2) − 4(3𝑥 − 2) = 0
(3𝑥 − 2)(𝑥 2 − 4) = 0
(3𝑥 − 2)(𝑥 − 2)(𝑥 + 2) = 0
3𝑥 − 2 = 0 lub 𝑥 − 2 = 0 lub 𝑥 + 2 = 0
2
𝑥= lub 𝑥 = 2 lub 𝑥 = −2
3
2
Rozwiązaniami równania są liczby: (−2), , 2.
3
Sposób II
Przekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:
3𝑥 3 − 2𝑥 2 − 12𝑥 + 8 = 0
3𝑥(𝑥 2 − 4) − 2(𝑥 2 − 4) = 0
(3𝑥 − 2)(𝑥 2 − 4) = 0
(3𝑥 − 2)(𝑥 − 2)(𝑥 + 2) = 0
3𝑥 − 2 = 0 lub 𝑥 − 2 = 0 lub 𝑥 + 2 = 0
2
𝑥= lub 𝑥 = 2 lub 𝑥 = −2
3
2
Rozwiązaniami równania są liczby: (−2), , 2.
3
Sposób III
Obliczamy 𝑊(2) = 0 i stwierdzamy, że liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu
𝑊(𝑥) = 3𝑥 3 − 2𝑥 2 − 12𝑥 + 8.
Zatem wielomian 𝑊 jest podzielny przez dwumian 𝑥 − 2. Dzielimy wielomian 𝑊 przez
dwumian 𝑥 − 2 i otrzymujemy
(3𝑥 3 − 2𝑥 2 − 12𝑥 + 8): (𝑥 − 2) = 3𝑥 2 + 4𝑥 − 4
Zatem 𝑊(𝑥) = (𝑥 − 2)(3𝑥 2 + 4𝑥 − 4).
Obliczamy pierwiastki trójmianu 3𝑥 2 + 4𝑥 − 4:
Δ = 42 − 4 ⋅ 3 ⋅ (−4) = 64
−4 − 8 −4 + 8 2
𝑥= = −2 oraz 𝑥 = =
2⋅3 2⋅3 3
2
Rozwiązaniami równania są liczby: (−2), , 2.
3
Sposób IV
Obliczamy 𝑊(2) = 0 i stwierdzamy, że liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu
𝑊(𝑥) = 3𝑥 3 − 2𝑥 2 − 12𝑥 + 8.
Obliczamy 𝑊(−2) = 0 i stwierdzamy, że liczba (−2) jest pierwiastkiem wielomianu
𝑊(𝑥) = 3𝑥 3 − 2𝑥 2 − 12𝑥 + 8.
2 2
Obliczamy 𝑊 ( ) = 0 i stwierdzamy, że liczba jest pierwiastkiem wielomianu
3 3
𝑊(𝑥) = 3𝑥 3 − 2𝑥 2 − 12𝑥 + 8.
Ponieważ 𝑊 jest wielomianem stopnia trzeciego, więc ma co najwyżej trzy pierwiastki
rzeczywiste. Oznacza to, że jedynymi rozwiązaniami równania 3𝑥 3 − 2𝑥 2 − 12𝑥 + 8 = 0
2
są liczby: (−2), , 2.
3Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 3 pkt – poprawna metoda rozwiązania równania i obliczenie wszystkich rozwiązań równania:
2
(−2), , 2
3
ALBO
2
– wyznaczenie wszystkich rozwiązań równania: (−2), , 2, oraz stwierdzenie, że są
3
to jedyne rozwiązania równania.
2 pkt – przekształcenie lewej strony równania do postaci iloczynu wielomianów stopnia co
najwyżej drugiego oraz rozwiązanie jednego z równań wynikającego z tego rozkładu,
2
np. (3𝑥 − 2)(𝑥 2 − 4) = 0 i 𝑥 = ,
3
2
(3𝑥 − 2)(𝑥 − 4) = 0 i 𝑥 = −2 oraz 𝑥 = 2
ALBO
– obliczenie jednego z pierwiastków wielomianu 𝑊 oraz poprawne podzielenie
wielomianu 𝑊 przez odpowiedni dwumian, np.
𝑥 = 2 i (3𝑥 3 − 2𝑥 2 − 12𝑥 + 8): (𝑥 − 2) = 3𝑥 2 + 4𝑥 − 4,
ALBO
– rozłożenie wielomianu 𝑊(𝑥) = 3𝑥 3 − 2𝑥 2 − 12𝑥 + 8 na czynniki liniowe, np.
𝑊(𝑥) = (3𝑥 − 2)(𝑥 − 2)(𝑥 + 2),
ALBO
– przekształcenie równania 3𝑥 3 − 2𝑥 2 − 12𝑥 + 8 = 0 do postaci alternatywy równań
i rozwiązanie jednego z nich, np.
(3𝑥 − 2 = 0 lub 𝑥 2 − 4 = 0) i 𝑥 = 2 oraz 𝑥 = −2.
1 pkt – przekształcenie lewej strony równania do postaci iloczynu wielomianów stopnia co
najwyżej drugiego, np. (3𝑥 − 2)(𝑥 2 − 4) = 0
ALBO
– zapisanie jednego z rozwiązań równania 3𝑥 3 − 2𝑥 2 − 12𝑥 + 8 = 0 (jeśli to
rozwiązanie nie zostało otrzymane w wyniku zastosowania błędnej metody),
ALBO
– przekształcenie równania 3𝑥 3 − 2𝑥 2 − 12𝑥 + 8 = 0 do postaci alternatywy równań,
np. 3𝑥 − 2 = 0 lub 𝑥 2 − 4 = 0.
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający uzyska trzy poprawne pierwiastki wielomianu, lecz traktuje równanie jako
nierówność (podaje zbiór rozwiązań w postaci przedziału/ sumy przedziałów), to otrzymuje
2 punkty za całe rozwiązanie.
2. Jeżeli zdający przy przekształcaniu lewej strony równania do postaci iloczynu zapisuje
czynnik (3𝑥 − 2) z wykładnikiem 2, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe
rozwiązanie.
Zadanie 101 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-660-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Na rysunku przedstawiono interpretację geometryczną w kartezjańskim układzie współrzędnych x, y jednego z zapisanych układów równań A–D.
Dokończ zdanie. Zapisz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest
A. y=-x+2y=-2x+1
B. y=x-2y=-2x-1
C. y=x-2y=2x+1
D. y=-x+2y=2x-1
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
D COdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 112 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-660-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Dany jest prostokąt o bokach długości a i b, gdzie a>b. Obwód tego prostokąta jest równy 30. Jeden z boków prostokąta jest o 5 krótszy od drugiego.
Uzupełnij zdanie. Zapisz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F.
Zależności między długościami boków tego prostokąta zapisano w układach równań oznaczonych literami: oraz .
A. 2ab=30a-b=5
B. 2a+b=30a=5b
C. 2(a+b)=30b=a-5
D. 2a+2b=30b=5a
E. 2a+2b=30a-b=5
F. a+b=30a=b+5
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
CE ADOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 2 pkt – wybranie dwóch odpowiedzi, z których obie są poprawne.
1 pkt – wybranie jednej lub dwóch odpowiedzi, z których jedna jest poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 12.11 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-660-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Dokończ zdanie. Zapisz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dziedziną funkcji f jest zbiór
A. -6, 3
B. -6, 3
C. -3, 3
D. -3, 3
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) narysowano wykres funkcji y=f(x).
00y
5
2
3
x
1
1
−3
−3
−6
00y
5
2
3
x
1
1
−3
−3
−6
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A COdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 12.21 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-660-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Dokończ zdanie. Zapisz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Największa wartość funkcji f w przedziale -6, 1 jest równa
A. 0
B. 1
C. 2
D. 5
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) narysowano wykres funkcji y=f(x).
00y
5
2
3
x
1
1
−3
−3
−6
00y
5
2
3
x
1
1
−3
−3
−6
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
C BOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 12.31 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-660-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Dokończ zdanie. Zapisz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Funkcja f jest malejąca w zbiorze
A. 1, 3
B. -3, 3
C. -3,1
D. -6, -3
-733871-9913970
y
x
1
1
00
y
x
1
1
\s
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) narysowano wykres funkcji y=f(x).
00y
5
2
3
x
1
1
−3
−3
−6
00y
5
2
3
x
1
1
−3
−3
−6
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
D BOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 131 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-660-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Funkcja liniowa f jest określona wzorem fx=ax+b, gdzie a i b są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji f w kartezjańskim układzie współrzędnych x, y.
Dokończ zdanie. Zapisz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba a oraz liczba b we wzorze funkcji f spełniają warunki:
A. a>0 i b>0.
B. a>0 i b<0.
C. a<0 i b>0.
D. a<0 i b<0.
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
C DOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 141 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-660-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej f jest liczba -5. Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji f, jest równa 3.
Dokończ zdanie. Zapisz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Drugim miejscem zerowym funkcji f jest liczba
A. 11
B. 1
C. -1
D. -13
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A COdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 151 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-660-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Ciąg (an) jest określony wzorem an=2n⋅n+1 dla każdej liczby naturalnej n≥1.
Dokończ zdanie. Zapisz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wyraz a4 jest równy
A. 64
B. 40
C. 48
D. 80
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
D COdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 161 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-660-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Trzywyrazowy ciąg 27, 9, a-1 jest geometryczny.
Dokończ zdanie. Zapisz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba a jest równa
A. 3
B. 0
C. 4
D. 2
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
C BOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 172 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-660-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości 8910 zł w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o 30 zł.
Oblicz kwotę pierwszej raty.
Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź
Sposób I
Kolejne raty tworzą ciąg arytmetyczny, w którym 𝑆18 = 8910 i 𝑟 = −30. Korzystamy ze
wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i otrzymujemy równanie
2𝑎1 + 17 ⋅ (−30)
⋅ 18 = 8910
2
Przekształcając to równanie równoważnie, otrzymujemy
9(2𝑎1 − 510) = 8910
2𝑎1 − 510 = 990
𝑎1 = 750
Pierwsza rata była równa 750 zł.
Sposób II
Przyjmujemy, że kolejne (licząc od końca) raty tworzą ciąg arytmetyczny, w którym
𝑆18 = 8910 i 𝑟 = 30. Korzystamy ze wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu
arytmetycznego i otrzymujemy równanie
2𝑎1 + 17 ⋅ 30
⋅ 18 = 8910
2
Przekształcając to równanie równoważnie, otrzymujemy
9(2𝑎1 + 510) = 8910
2𝑎1 + 510 = 990
𝑎1 = 240
Ostatnia rata była równa 240 zł.
Obliczamy wysokość pierwszej raty
𝑎18 = 240 + 17 ⋅ 30 = 750
Pierwsza rata była równa 750 zł.
Sposób III
Kolejne kwoty, o które pomniejszana jest pierwsza rata, tworzą ciąg arytmetyczny, w którym
różnica jest równa 30. Wtedy osiemnasta rata jest mniejsza od pierwszej raty o kwotę
(18 − 1) ⋅ 30 = 510 zł.
Stąd
𝑎1 + (𝑎1 − 30) + (𝑎1 − 60) + (𝑎1 − 90)+. . . +(𝑎1 − 510) = 8910
18𝑎1 − (30 + 60 + 90+. . . +510) = 8910
gdzie suma siedemnastu liczb 30 + 60 + 90+. . . +510 jest równa
30 + 510
⋅ 17 = 4590
2
Zatem
18𝑎1 − 4590 = 8910
18𝑎1 = 13500
𝑎1 = 750
Pierwsza rata była równa 750 zł.
Sposób IV
Kolejne raty tworzą ciąg arytmetyczny, zatem
𝑎1 + 𝑎18 = 𝑎2 + 𝑎17 = 𝑎3 + 𝑎16 =. . . = 𝑎9 + 𝑎10
Obliczamy wartość pojedynczej sumy
𝑎1 + 𝑎18 = 8910: 9 = 990
Korzystając ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu arytmetycznego, mamy
𝑎1 + 𝑎1 − 17 ⋅ 30 = 990
2𝑎1 = 990 + 510
𝑎1 = 750
Pierwsza rata była równa 750 zł.
Sposób V
Przyjmujemy, że pierwsza rata była równa 1000 zł. Wtedy kolejne raty są równe:
970 zł, 940 zł, … , 490 zł.
Suma wszystkich rat jest równa 13 410 zł i przewyższa kwotę z warunków zadania
o 4500 zł.
Obliczamy, o ile należy zmniejszyć każdą ratę:
4500 ∶ 18 = 250
1000 − 250 = 750
Pierwsza rata była równa 750 zł.
Sposób VI
Kolejne raty są wyrazami osiemnastowyrazowego ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛 ) o różnicy
𝑟 = −30. Obliczymy dowolną ratę (np. dziewiątą), korzystając z własności tego ciągu:
(𝑎9 + 𝑎10 ) ⋅ 9 = 8910 𝑎 + 𝑎10 = 990
{ { 9
𝑎10 = 𝑎9 − 30 𝑎9 − 𝑎10 = 30
2𝑎9 = 1020 𝑎9 = 510
Zatem
𝑎1 = 𝑎9 − 8 ⋅ (−30) = 510 + 240 = 750
Pierwsza rata była równa 750 zł.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 2 pkt – zastosowanie poprawnej metody i obliczenie pierwszej raty: 750 zł.
1 pkt – zastosowanie wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
i zapisanie równania z niewiadomą 𝑎1 (pierwszą ratą):
2𝑎1 + 17 ⋅ (−30)
⋅ 18 = 8910
2
ALBO
– zastosowanie wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
oraz zapisanie równania z niewiadomą 𝑎1 :
2𝑎1 +17⋅30
⋅ 18 = 8910 i zapisanie, że 𝑎1 jest ostatnią ratą,
2
ALBO
– zapisanie równania
𝑎1 + (𝑎1 − 30) + (𝑎1 − 2 ⋅ 30) + (𝑎1 − 3 ⋅ 30) + ⋯ + (𝑎1 − 17 ⋅ 30) = 8910,
gdzie 𝑎1 jest pierwszą ratą, lub równania
𝑎1 + (𝑎1 + 30) + (𝑎1 + 2 ⋅ 30) + (𝑎1 + 3 ⋅ 30) + ⋯ + (𝑎1 + 17 ⋅ 30) = 8910
(łącznie z zapisem, że 𝑎1 jest ostatnią ratą),
ALBO
– zapisanie zależności między pierwszą (𝑎1 ) i ostatnią ratą (𝑎18 ), np.
𝑎1 + 𝑎18 = 8910 ∶ 9 albo 𝑎18 = 𝑎1 − 17 ⋅ 30 itp.,
ALBO
– rozpatrzenie osiemnastowyrazowego ciągu arytmetycznego o różnicy (−30) lub 30
i zapisanie co najmniej pierwszego oraz ostatniego wyrazu tego ciągu, np.
(𝑥 , 𝑥 − 30, 𝑥 − 60, …, 𝑥 − 510) dla dowolnego 𝑥 (np. jak w sposobie V),
ALBO
– zapisanie układu równań, z którego można obliczyć jedną z rat, np.
𝑎9 +𝑎10
= 495 i 𝑎10 = 𝑎9 − 30.
2
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe
rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.
2. Jeżeli zdający zapisze tylko 750 zł, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
3. Jeżeli zdający rozważa ciąg arytmetyczny o różnicy 𝑟 = 30, obliczy 𝑎1 = 240 i nie
interpretuje 𝑎1 jako ostatniej raty, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe
rozwiązanie.
4. Jeżeli zdający błędnie interpretuje liczbę 8910 jako wyraz ciągu rat, to otrzymuje
0 punktów za całe rozwiązanie.
Zadanie 181 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-660-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
W kartezjańskim układzie współrzędnych x, y zaznaczono kąt α o wierzchołku w punkcie O=0, 0. Jedno z ramion tego kąta pokrywa się z dodatnią półosią Ox, a drugie przechodzi przez punkt P=-3, 1 (jak na rysunku).
679451536701
−3
y
x
α
O
2
1
001
−3
y
x
α
O
2
1
Dokończ zdanie. Zapisz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Tangens kąta α jest równy
A. 110
B. -310
C. -31
D. -13
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
D COdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 191 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-660-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Dokończ zdanie. Zapisz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla każdego kąta ostrego α wyrażenie sin4α +sin2α ⋅cos2α jest równe
A. sin2α
B. sin6α ⋅cos2α
C. sin4α+1
D. sin2α⋅sinα+cosα⋅sinα-cosα
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A BOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 201 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-660-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
W rombie o boku długości 62 kąt rozwarty ma miarę 150°.
Dokończ zdanie. Zapisz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy
A. 24
B. 72
C. 36
D. 362
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
B DOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 211 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-660-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
18224529210B
C
O
A
00B
C
O
A
Punkty A, B, C leżą na okręgu o środku w punkcie O. Kąt ACO ma miarę 50° (jak na rysunku).
Dokończ zdanie. Zapisz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Miara kąta ostrego ABC jest równa
A. 80°
B. 40°
C. 25°
D. 15°
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
B COdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 222 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-660-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Trójkąty prostokątne T1 i T2 są podobne. Przyprostokątne trójkąta T1 mają długości 5 i 12. Przeciwprostokątna trójkąta T2 ma długość 26.
Oblicz pole trójkąta T2.
Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź
Sposób I
Długości przyprostokątnych trójkątów 𝑇1 i 𝑇2 oznaczymy odpowiednio jako: 𝑎1 , 𝑏1 oraz
𝑎2 , 𝑏2 . Z podobieństwa trójkątów 𝑇1 i 𝑇2 wynika, że stosunki odpowiednich boków są
równe:
𝑎2 𝑎1
= gdzie 𝑎1 = 12, 𝑏1 = 5
𝑏2 𝑏1
Zatem
𝑎2 12 5
= więc 𝑏2 = 𝑎
𝑏2 5 12 2
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝑇2 mamy:
𝑎22 + 𝑏22 = 262
5 2 2
𝑎22 + ( ) 𝑎2 = 262
12
169 2
𝑎 = 262
144 2
144
𝑎2 = √ ⋅ 26 = 24
169
5
Zatem 𝑏2 = ⋅ 24 = 10.
12
Obliczamy pole trójkąta 𝑇2 :
1 1
𝑃2 = ⋅ 𝑎2 ⋅ 𝑏2 = ⋅ 24 ⋅ 10 = 120
2 2
Sposób II
Oznaczamy wierzchołki trójkąta 𝑇1 przez 𝐴, 𝐵, 𝐶 , gdzie 𝐵𝐶 jest przeciwprostokątną tego
trójkąta, |𝐴𝐵| = 12 i |𝐴𝐶| = 5. Oznaczamy wierzchołki trójkąta 𝑇2 przez 𝐷 , 𝐸 , 𝐹 , gdzie
𝐸𝐹 jest przeciwprostokątną tego trójkąta.
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝑇1 mamy 𝐵 𝐸
|𝐴𝐵|2 + |𝐴𝐶|2 = |𝐵𝐶|2
122 + 52 = |𝐵𝐶|2
12
|𝐵𝐶|2 = 169
|𝐵𝐶| = 13 26
𝐶 5 𝐴
Obliczamy skalę podobieństwa trójkąta 𝑇2 do trójkąta 𝑇1 :
|𝐸𝐹| 26
𝑘= = =2
|𝐵𝐶| 13
Obliczamy długości przyprostokątnych trójkąta 𝑇2 :
𝐹 𝐷
|𝐷𝐸| = 2 ⋅ |𝐴𝐵| = 2 ⋅ 12 = 24
|𝐷𝐹| = 2 ⋅ |𝐴𝐶| = 2 ⋅ 5 = 10
Obliczamy pole trójkąta 𝑇2 :
1 1
𝑃2 = ⋅ |𝐷𝐸| ⋅ |𝐷𝐹| = ⋅ 24 ⋅ 10 = 120
2 2
Sposób III
Oznaczamy wierzchołki trójkąta 𝑇1 przez 𝐴, 𝐵, 𝐶 , gdzie 𝐵𝐶 jest przeciwprostokątną tego
trójkąta, |𝐴𝐵| = 12 i |𝐴𝐶| = 5. Oznaczamy wierzchołki trójkąta 𝑇2 przez 𝐷 , 𝐸 , 𝐹 , gdzie
𝐸𝐹 jest przeciwprostokątną tego trójkąta. 𝐵 𝐸
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝑇1 mamy
|𝐴𝐵|2 + |𝐴𝐶|2 = |𝐵𝐶|2
12
2 2 |𝐵𝐶|2
12 + 5 =
|𝐵𝐶|2 = 169 26
𝐶 5 𝐴
|𝐵𝐶| = 13
Obliczamy skalę podobieństwa trójkąta 𝑇2 do trójkąta 𝑇1 :
|𝐸𝐹| 26
𝑘= = =2
|𝐵𝐶| 13
𝐹 𝐷
Obliczamy pole 𝑃1 trójkąta 𝑇1 :
1 1
𝑃1 = ⋅ |𝐴𝐵| ⋅ |𝐴𝐶| = ⋅ 12 ⋅ 5 = 30
2 2
Korzystając z tego, że stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali
podobieństwa, obliczamy pole 𝑃2 trójkąta 𝑇2 :
𝑃2
= 𝑘2
𝑃1
Zatem
𝑃2 = 𝑘 2 ⋅ 𝑃1 = 22 ⋅ 30 = 120Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 2 pkt – poprawna metoda i obliczenie pola trójkąta 𝑇2 : 𝑃2 = 120.
1 pkt – wykorzystanie podobieństwa trójkątów i zapisanie układu równań/równania
pozwalającego obliczyć długości przyprostokątnych trójkąta 𝑇2 , np.
𝑎2 12
= 5 i 𝑎22 + 𝑏22 = 262 , (12𝑥)2 + (5𝑥)2 = 262
𝑏2
ALBO
𝑃 |𝐵𝐶|
2
𝑃 26 2
– zapisanie stosunku pól trójkątów 𝑇1 i 𝑇2 : 1 = ( ) (lub 2 = ( ) ) oraz
𝑃2 26 𝑃1 |𝐵𝐶|
obliczenie długości odcinka 𝐵𝐶 : |𝐵𝐶| = 13,
ALBO
|𝐸𝐹|
– obliczenie/zapisanie skali podobieństwa trójkątów, np. 𝑘 = =2
|𝐵𝐶|
|𝐵𝐶| 1
(lub 𝑘 = = 2),
|𝐸𝐹|
ALBO
– obliczenie/zapisanie długości przyprostokątnych trójkąta 𝑇2 : 10, 24,
ALBO
– obliczenie długości 𝑐1 przeciwprostokątnej trójkąta 𝑇1 oraz zapisanie układu
równań pozwalającego obliczyć długości 𝑎2 , 𝑏2 przyprostokątnych trójkąta 𝑇2 , np.
13 26 13 26
𝑐1 = 13 i 12 = 𝑎 i 5 = 𝑏 .
2 2
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zadanie 231 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-660-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
W kartezjańskim układzie współrzędnych x, y dane są proste k oraz l o równaniach
k: y=23x
l: y=-32x+13
Dokończ zdanie. Zapisz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3.
Proste k oraz l
A. są prostopadłe
B. nie są prostopadłe
i przecinają się w punkcie P o współrzędnych
1. -6, -4
2. 6, 4
3. -6, 4
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A2 A3Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 241 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-660-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
W kartezjańskim układzie współrzędnych x, y dana jest prosta k
o równaniu y=-13x+2.
Dokończ zdanie. Zapisz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Prosta o równaniu y=ax+b jest równoległa do prostej k i przechodzi przez
punkt P=(3, 5), gdy
A. a=3 i b=4.
B. a=-13 i b=4.
C. a=3 i b=-4.
D. a=-13 i b=6.
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
D BOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 251 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-660-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość 15. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α takim, że cosα=23 .
Dokończ zdanie. Zapisz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Długość przekątnej tego graniastosłupa jest równa
A. 152
B. 45
C. 52
D. 10
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
B DOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 264 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-660-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD. Punkty E i F są środkami odcinków odpowiednio AB i CD. Wysokość SE ściany bocznej ABS tego ostrosłupa jest równa 6 i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α=30°. Na rysunku przedstawiono trójkąt równoramienny FES , którego ramiona są wysokościami przeciwległych ścian bocznych tego ostrosłupa.
Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
-432681299266
α
S
E
F
06
α
S
E
F
Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź
𝑆
Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku:
𝑎 – długość krawędzi podstawy, 𝐶 𝐵
𝐻 – wysokość ostrosłupa. 𝐻 6
30°
Zauważamy, że 𝑎 > 0 i 𝐻 > 0. 𝑂 𝐸
Ponieważ 𝑂 jest punktem przecięcia
1 𝐷 𝑎 𝐴
przekątnych kwadratu, to |𝑂𝐸| = 𝑎.
2
W trójkącie prostokątnym 𝑆𝑂𝐸 mamy 𝑆
|𝑆𝑂| 𝐻
sin 30° = = 6
|𝑆𝐸| 6 𝐻
Zatem 30°
𝑂 1 𝐸
1 𝑎
𝐻 = 6 ⋅ sin 30° = 6 ⋅ = 3 2
2
Ponadto
1
|𝑂𝐸| 2 𝑎 𝑎
cos 30° = = =
|𝑆𝐸| 6 12
Stąd
√3
𝑎 = 12 ⋅ cos 30° = 12 ⋅ = 6√3
2
Obliczamy objętość 𝑉 ostrosłupa:
1 2
𝑉= ⋅ (6√3) ⋅ 3 = 108
3
Obliczamy pole powierzchni całkowitej 𝑃𝑐 ostrosłupa:
2 1
𝑃𝑐 = (6√3) + 4 ⋅ ⋅ 6√3 ⋅ 6 = 108 + 72√3
2Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 4 pkt – poprawna metoda obliczenia objętości i pola powierzchni całkowitej ostrosłupa oraz
poprawne wyniki: 𝑉 = 108 i 𝑃𝑐 = 108 + 72√3.
3 pkt – obliczenie objętości ostrosłupa: 𝑉 = 108
ALBO
– obliczenie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa: 𝑃𝑐 = 108 + 72√3 oraz
obliczenie wysokości ostrosłupa: 𝐻 = 3.
2 pkt – obliczenie/zapisanie długości krawędzi podstawy: 𝑎 = 6√3 oraz obliczenie
wysokości ostrosłupa: 𝐻 = 3
ALBO
– obliczenie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa: 𝑃𝑐 = 108 + 72√3.
1 pkt – obliczenie/zapisanie długości krawędzi podstawy: 𝑎 = 6√3
ALBO
– obliczenie wysokości ostrosłupa: 𝐻 = 3.
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający przyjmuje w rozwiązaniu, że trójkąt 𝐸𝑆𝑂 lub 𝐵𝑆𝐷 , lub jedna ze ścian
bocznych ostrosłupa jest trójkątem równobocznym i wykorzystuje to do obliczenia długości
krawędzi podstawy, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie (o ile nie nabył prawa do
uzyskania 1 punktu za obliczenie wysokości ostrosłupa).
2. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:
a) zastosowanie niepoprawnej definicji jednej funkcji trygonometrycznej
b) błędne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa
c) zastosowanie niepoprawnej tożsamości √𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑥 + 𝑦
d) przyjęcie, że wysokość ostrosłupa jest równa 3√3 i |𝑂𝐸| = 3,
i rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać
2 punkty za całe rozwiązanie.
Jeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych błędów a)–d), to otrzymuje
0 punktów za całe rozwiązanie.
Zadanie 271 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-660-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
W pewnym ostrosłupie prawidłowym stosunek liczby W wszystkich wierzchołków do liczby K wszystkich krawędzi jest równy WK=35 .
Dokończ zdanie. Zapisz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Podstawą tego ostrosłupa jest
A. kwadrat.
B. pięciokąt foremny.
C. sześciokąt foremny.
D. siedmiokąt foremny.
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
B BOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 281 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-660-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Dokończ zdanie. Zapisz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry 0, 5, 7 (np. 57075, 55555), jest
A. 53
B. 2⋅43
C. 2⋅34
D. 35
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
C AOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 292 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-660-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
W tabeli przedstawiono ceny pomidorów w szesnastu wybranych sklepach.
Oznaczenia:
Cena – cena za 1 kg pomidorów (w zł)
Ls – liczba sklepów
Tabela
Cena
Ls
5,05
2
5,60
4
5,70
2
6,00
5
6,30
3
Uzupełnij zdania 1. i 2. Zapisz po numerze zdania właściwą odpowiedź, wybraną
spośród oznaczonych literami A–E.
1. Mediana ceny kilograma pomidorów w tych wybranych sklepach jest równa .
2. Średnia cena kilograma pomidorów w tych wybranych sklepach jest równa .
A. 5,80 zł
B. 5,73 zł
C. 5,85 zł
D. 6,00 zł
E. 5,70 zł
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
29.1. C 29.1. B
29.2. A 29.2. EOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 2 pkt – wybranie dwóch poprawnych odpowiedzi.
1 pkt – wybranie jednej poprawnej odpowiedzi.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 302 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-660-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Ze zbioru ośmiu liczb 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez 15.
Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź
Sposób I
Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych obrazuje tabela 8 × 8, co oznacza, że moc zbioru
Ω jest równa 64.
W tabeli zaznaczamy iloczyny podzielne przez 15.
2 3 4 5 6 7 8 9
2
3 ×
4
5 × × ×
6 ×
7
8
9 ×
Zdarzeń sprzyjających wylosowaniu liczb, których iloczyn jest podzielny przez 15, jest 6.
Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn
6
jest podzielny przez 15, jest równe .
64
Sposób II (drzewo stochastyczne)
Rysujemy fragment drzewa stochastycznego rozważanego doświadczenia z uwzględnieniem
wszystkich istotnych gałęzi.
Oznaczamy przez 𝐴 zdarzenie polegające na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest
podzielny przez 15.
1 1 1 1
8 8 8 8
3 5 6 9
1 1 1 1 1 1
8 8 8 8 8 8
5 3 6 9 5 5
Prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6
𝑃(𝐴) = ∙ + ∙ + ∙ + ∙ + ∙ + ∙ =
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 64
Sposób III
Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych Ω to zbiór par uporządkowanych elementów ze
zbioru 8-elementowego, zatem moc zbioru Ω jest równa |Ω| = 8 ⋅ 8 = 64.
Oznaczamy przez 𝐴 zdarzenie polegające na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest
podzielny przez 15.
Wielokrotności liczby 15, które mogą być iloczynami elementów ze zbioru Ω, to 15, 30, 45.
Wyznaczamy iloczyny, które spełniają powyższy warunek:
15 = 3 ⋅ 5 = 5 ⋅ 3 – dwa iloczyny – dwa zdarzenia elementarne: (3, 5) oraz (5, 3),
30 = 6 ⋅ 5 = 5 ⋅ 6 – dwa iloczyny – dwa zdarzenia elementarne: (6, 5) oraz (5, 6),
45 = 9 ⋅ 5 = 5 ⋅ 9 – dwa iloczyny – dwa zdarzenia elementarne: (9, 5) oraz (5, 9).
6
Sprzyjających zdarzeń elementarnych jest 6, więc 𝑃(𝐴) = .
64Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 2 pkt – zastosowanie poprawnej metody obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴
6
i uzyskanie poprawnego wyniku: 𝑃(𝐴) = .
64
1 pkt – wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych lub obliczenie/podanie liczby tych
zdarzeń: |Ω| = 8 ⋅ 8 lub sporządzenie tabeli o 64 polach odpowiadających
zdarzeniom elementarnym, z których co najmniej jedno pole jest wypełnione, lub
sporządzenie pełnego drzewa stochastycznego
ALBO
– wypisanie (zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających
zdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego:
(3, 5), (5, 3), (6, 5), (5, 6), (5, 9), (9, 5),
ALBO
– podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:
|𝐴| = 6, jeśli nie została otrzymana w wyniku zastosowania błędnej metody,
ALBO
– sporządzenie fragmentu drzewa stochastycznego, które zawiera wszystkie gałęzie
1
sprzyjające zdarzeniu 𝐴 oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej
8
jednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,
ALBO
1
– podanie prawdopodobieństwa jednoelementowego zdarzenia (elementarnego): ,
64
ALBO
6
– zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = .
64
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga:
Jeżeli zdający zapisuje tylko liczby 6 lub 64 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych
liczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Zadanie 31.11 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-660-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Oceń prawdziwość podanych stwierdzeń 1. i 2. Zapisz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
1. Łączna liczba klientów obsłużonych w czasie wszystkich analizowanych dni jest równa L(30).
2. W trzecim dniu analizowanego okresu obsłużono 336 klientów.
Właściciel pewnej apteki przeanalizował dane dotyczące liczby obsługiwanych klientów z 30 kolejnych dni. Przyjmijmy, że liczbę L obsługiwanych klientów n-tego dnia opisuje funkcja
Ln=-n2+22n+279
gdzie n jest liczbą naturalną spełniającą warunki n≥1 i n≤30.
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
FP FPOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 31.22 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMAP-P0-660-2305 · Formuła 2023Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Którego dnia analizowanego okresu w aptece obsłużono największą liczbę klientów?
Oblicz liczbę klientów obsłużonych tego dnia.
Zapisz obliczenia.
Koniec
Właściciel pewnej apteki przeanalizował dane dotyczące liczby obsługiwanych klientów z 30 kolejnych dni. Przyjmijmy, że liczbę L obsługiwanych klientów n-tego dnia opisuje funkcja
Ln=-n2+22n+279
gdzie n jest liczbą naturalną spełniającą warunki n≥1 i n≤30.
Pokaż odpowiedź
Sposób I
Wykresem funkcji 𝐿(𝑛) = −𝑛2 + 22𝑛 + 279, gdzie 𝑛 jest liczbą naturalną z przedziału
[1, 30], jest zbiór punktów leżących na paraboli o ramionach skierowanych w dół.
Przekształcamy wzór funkcji 𝐿 do postaci kanonicznej:
𝐿(𝑛) = −𝑛2 + 22𝑛 + 279 = −[𝑛2 − 22𝑛] + 279 = −[(𝑛 − 11)2 − 112 ] + 279 =
= −(𝑛 − 11)2 + 121 + 279 = −(𝑛 − 11)2 + 400
Z postaci kanonicznej odczytujemy współrzędne wierzchołka paraboli: 𝑊 = (11, 400).
Interpretujemy otrzymane wartości: największą liczbę klientów obsłużono jedenastego dnia
badanego okresu i było to 400 osób.
Sposób II
Wykresem funkcji 𝐿(𝑛) = −𝑛2 + 22𝑛 + 279, gdzie 𝑛 jest liczbą naturalną z przedziału
[1, 30], jest zbiór punktów leżących na paraboli o ramionach skierowanych w dół. Jej
największa wartość jest drugą współrzędną wierzchołka paraboli 𝑊 = (𝑝, 𝑞).
Stąd
−22
𝑝= = 11, 11 ∈ {1, 2, … , 30}
2 ⋅ (−1)
𝑞 = 𝐿(𝑝) = −112 + 22 ⋅ 11 + 279 = 400
Największą liczbę klientów obsłużono jedenastego dnia badanego okresu i było to
400 osób.
Sposób III
Wykorzystamy następującą własność funkcji kwadratowej 𝐿(𝑥) = −𝑥 2 + 22𝑥 + 279.
Jeśli 𝐿(𝑘1 ) = 𝐿(𝑘2 ), to liczba
𝑘1 + 𝑘2
2
jest pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝐿. Jeśli ponadto
współczynnik przy 𝑥 2 jest liczbą ujemną, to liczba
𝑘1 + 𝑘2
𝐿( )
2
jest największą wartością funkcji 𝐿.
Wykonujemy obliczenia – szukamy argumentów, dla których funkcja przyjmuje tę samą
wartość:
𝐿(9) = 396
𝐿(10) = 399
𝐿(11) = 400
𝐿(12) = 399
Zauważamy, że 𝐿(10) = 𝐿(12). Ponieważ
10 + 12
= 11 oraz 11 ∈ {1, … 30}
2
więc funkcja 𝐿 przyjmuje wartość największą równą 400 dla argumentu 11. To oznacza,
że największą liczbę klientów obsłużono jedenastego dnia badanego okresu i było to
400 osób.
Ocena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią
Obowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez stwierdzonej
dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:
I. ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze
stwierdzoną dyskalkulią (punkty 1.–12.);
II. dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy
osób ze stwierdzoną dyskalkulią – egzamin maturalny z matematyki, poziom
podstawowy, termin główny 2023.
I. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną
dyskalkulią
1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:
• błędnego przepisania
• przestawienia cyfr
• zapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie
• przestawienia położenia przecinka.
2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu
oddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza
umiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania
badanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.
3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę
rozwiązania, części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej
1 punkt, zgodnie z kryteriami do poszczególnych zadań.
4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub
zapisuje nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne
rozumowanie lub stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt
za rozwiązanie zadania.
5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu
kwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę
wyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania
wartościach liczbowych.
6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający
może otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności
kwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.
7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej
zdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji
kwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.
8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych
lub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie
takiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.
9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na
płaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu
rozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur
geometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.
10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać
przynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych
sprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje
prawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.
11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli
podaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia
rozwiązania.
12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub
geometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która
wyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać
1 punkt.
II. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób
ze stwierdzoną dyskalkulią
1 pkt – zastosowanie wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy do wyrażenia
(2𝑛 + 1)2.
2 pkt – zapisanie dwóch pierwiastków wielomianu 3𝑥 3 − 2𝑥 2 − 12𝑥 + 8 (o ile nie zostały
one uzyskane w wyniku błędnej metody).
1 pkt – przekształcenie wielomianu 3𝑥 3 − 2𝑥 2 − 12𝑥 + 8 do postaci
3(𝑥 2 − 4) − 2(𝑥 2 − 4) lub 𝑥 2 (3𝑥 − 2) − 4(3𝑥 − 2).
Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.
1 pkt – obliczenie długości 𝑐1 przeciwprostokątnej trójkąta 𝑇1 oraz wykorzystanie
podobieństwa trójkątów i zapisanie związku między długościami przyprostokątnych
𝑎 12
trójkąta 𝑇2 : 𝑐1 = 13 i 2 =
𝑏2 5
ALBO
– obliczenie długości 𝑐1 przeciwprostokątnej trójkąta 𝑇1 oraz zapisanie równania
pozwalającego obliczyć długość jednej z przyprostokątnych trójkąta 𝑇2 , np.
13 26 13 26
𝑐1 = 13 i 12 = 𝑎 , 𝑐1 = 13 i 5 = 𝑏 .
2 2
1 pkt – zastosowanie definicji funkcji trygonometrycznej lub związków miarowych w trójkącie
o kątach 30°, 60°, 90° i zapisanie równania z jedną niewiadomą (wysokością
|𝑂𝐸| 𝐻 1
ostrosłupa lub połową długości krawędzi podstawy), np. = cos 30°, 6 = 2 .
6
1 pkt – zapisanie jedynie liczby 64 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich
zdarzeń elementarnych).
Uwagi:
1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi ze
standardowych zasad oceniania.
2. Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające
zdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (|𝐴| = 5) i konsekwentnie zapisze
5
wynik , to otrzymuje 2 punkty.
64
Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 2 pkt – poprawna metoda rozwiązania zadania oraz poprawne wyniki: 11 i 400.
1 pkt – wyznaczenie postaci kanonicznej funkcji 𝐿: 𝐿(𝑛) = −(𝑛 − 11)2 + 400
ALBO
– obliczenie, którego dnia analizowanego okresu w aptece obsłużono największą liczbę
klientów lub obliczenie największej liczby klientów: 11 lub 400,
ALBO
– obliczenie pierwszej współrzędnej 𝑝 wierzchołka paraboli z własności
𝐿(𝑘1 ) = 𝐿(𝑘2 ), gdzie 𝑘1 , 𝑘2 są różnymi liczbami takimi, że |𝑝 − 𝑘1 | = |𝑝 − 𝑘2 |:
𝑘1 + 𝑘2
𝑝= = 11
2
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający błędnie oblicza pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli,
i konsekwentnie do popełnionego błędu oblicza drugą współrzędną, to może otrzymać
1 punkt za całe rozwiązanie (o ile pierwsza współrzędna jest liczbą należącą do
dziedziny).
2. Jeżeli zdający nie zapisze, że 11 należy do dziedziny funkcji 𝐿, to może otrzymać
2 punkty za całe rozwiązanie.
3. Jeżeli zdający oblicza największą wartość funkcji 𝐿, korzystając z rachunku
różniczkowego, i nie zapisze przedziałów monotoniczności funkcji, to może otrzymać
2 punkty za całe rozwiązanie (gdy wyznaczy pochodną funkcji 𝐿(𝑥) określoną dla
𝑥 ∈ [1, 30], obliczy miejsce zerowe pochodnej funkcji 𝐿(𝑥) i wartość funkcji 𝐿 w tym
punkcie).
4. Jeżeli zdający oblicza 𝐿(11) = 400 i 𝐿(11 − 𝑘) = 𝐿(11 + 𝑘), gdzie 𝑘 ≠ 0, i wskaże
wartość największą, to może otrzymać 2 punkty za całe rozwiązanie.
5. Jeżeli zdający zapisze tylko 𝐿(11) = 400, to otrzymuje 1 punkt.