Wersja arkusza
EMAP-P0-100-2305 · Formuła 2015
Zadanie 11 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Liczba log 9 27 + log 9 3 jest równa
A. 81 B. 9 C. 4 D. 2
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
D DOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 21 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
3 27 3
Liczba √− ⋅ jest równa
16 √2
3 3 2 2
A. (− ) B. C. D. (− )
2 2 3 3
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A COdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 31 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Cenę aparatu fotograficznego obniżono o 15%, a następnie – o 20% w odniesieniu do
ceny obowiązującej w danym momencie. Po tych dwóch obniżkach aparat kosztuje 340 zł.
Przed obiema obniżkami cena tego aparatu była równa
A. 500 zł B. 425 zł C. 400 zł D. 375 zł
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A AOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 41 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 wyrażenie (2𝑎 − 3)2 − (2𝑎 + 3)2 jest równe
A. −24𝑎 B. 0 C. 18 D. 16𝑎2 − 24𝑎
EMAP-P0_100
EMAP-P0_100
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A BOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 51 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Na rysunku przedstawiono interpretację geometryczną jednego z niżej zapisanych układów
równań.
𝑦
4
3
2
1
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 𝑥
−1
−2
−3
Wskaż ten układ równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku.
𝑦 = −𝑥 + 2
A. {
𝑦 = −2𝑥 + 1
𝑦 =𝑥−2
B. {
𝑦 = −2𝑥 − 1
𝑦 =𝑥−2
C. {
𝑦 = 2𝑥 + 1
𝑦 = −𝑥 + 2
D. {
𝑦 = 2𝑥 − 1
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
D AOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 61 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności
2−𝑥
−2(𝑥 + 3) ≤
3
jest przedział
A. (−∞, −4⟩ B. (−∞, 4⟩ C. ⟨−4, ∞) D. ⟨4, ∞)
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
C AOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 71 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Jednym z rozwiązań równania √3(𝑥 2 − 2)(𝑥 + 3) = 0 jest liczba
A. 3 B. 2 C. √3 D. √2
EMAP-P0_100
EMAP-P0_100
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
D COdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 81 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
2
(𝑥+1)(𝑥−1)
Równanie 2 = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych
(𝑥−1)(𝑥+1)
A. nie ma rozwiązania.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: −1.
C. ma dokładnie jedno rozwiązanie: 1.
D. ma dokładnie dwa rozwiązania: −1 oraz 1.
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A AOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 91 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Miejscem zerowym funkcji liniowej 𝑓(𝑥) = (2𝑝 − 1)𝑥 + 𝑝 jest liczba (−4). Wtedy
4 4 4
A. 𝑝 = B. 𝑝 = C. 𝑝 = −4 D. 𝑝 = −
9 7 7
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
B DOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 101 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Funkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑦
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, gdzie 𝑎 i 𝑏 są pewnymi
liczbami rzeczywistymi. Na rysunku obok
przedstawiono fragment wykresu funkcji 𝑓
1
w układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦).
0 1 𝑥
𝑦 = 𝑓(𝑥)
Liczba 𝑎 oraz liczba 𝑏 we wzorze funkcji 𝑓 spełniają warunki:
A. 𝑎 > 0 i 𝑏 > 0. B. 𝑎 > 0 i 𝑏 < 0.
C. 𝑎 < 0 i 𝑏 > 0. D. 𝑎 < 0 i 𝑏 < 0.
EMAP-P0_100
EMAP-P0_100
Informacja do zadań 11.–13.
W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) 𝑦
narysowano wykres funkcji 𝑦 = 𝑓(𝑥)
(zobacz rysunek). 5
4
3
2
1
−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 𝑥
−1
−2
−3
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
C AOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 111 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Dziedziną funkcji 𝑓 jest zbiór
A. ⟨−6, 5⟩ B. (−6, 5) C. (−3, 5⟩ D. ⟨−3, 5⟩
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A COdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 121 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Funkcja 𝑓 jest malejąca w zbiorze
A. ⟨−6, −3) B. ⟨−3, 1⟩ C. (1, 2⟩ D. ⟨2, 5⟩
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
D COdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 131 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Największa wartość funkcji 𝑓 w przedziale ⟨−4, 1⟩ jest równa
A. 0 B. 1 C. 2 D. 5
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
C BOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 141 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej 𝑓 jest liczba (−5). Pierwsza współrzędna
wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji 𝑓 , jest równa 3.
Drugim miejscem zerowym funkcji 𝑓 jest liczba
A. 11 B. 1 C. (−1) D. (−13)
EMAP-P0_100
EMAP-P0_100
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A COdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 151 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Ciąg (𝑎𝑛 ) jest określony wzorem 𝑎𝑛 = 2𝑛 ⋅ (𝑛 + 1) dla każdej liczby naturalnej 𝑛 ≥ 1.
Wyraz 𝑎4 jest równy
A. 64 B. 40 C. 48 D. 80
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
D AOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 161 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Trzywyrazowy ciąg (27, 9, 𝑎 − 1) jest geometryczny.
Liczba 𝑎 jest równa
A. 3 B. 0 C. 4 D. 2
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
C DOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 171 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
W układzie współrzędnych zaznaczono kąt 𝛼
o wierzchołku w punkcie 𝑂 = (0, 0). Jedno 𝑦
z ramion tego kąta pokrywa się z dodatnią
półosią 𝑂𝑥 , a drugie przechodzi przez punkt 2
𝑃 = (−3, 1)
𝑃 = (−3, 1) (zobacz rysunek).
1
𝛼
𝑂 𝑥
−3 −2 −1 1 2 3
−1
Tangens kąta 𝛼 jest równy
1 3 3 1
A. B. (− ) C. (− ) D. (− )
√10 √10 1 3
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
D BOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 181 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Dla każdego kąta ostrego 𝛼 wyrażenie sin4 𝛼 + sin2 𝛼 ⋅ cos 2 𝛼 jest równe
A. sin2 𝛼 B. sin6 𝛼 ⋅ cos 2 𝛼
C. sin4 𝛼 + 1 D. sin2 𝛼 ⋅ (sin 𝛼 + cos 𝛼) ⋅ (sin 𝛼 − cos 𝛼)
EMAP-P0_100
EMAP-P0_100
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A COdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 191 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Punkty 𝐴, 𝐵, 𝐶 leżą na okręgu o środku w punkcie 𝑂.
Kąt 𝐴𝐶𝑂 ma miarę 70° (zobacz rysunek).
𝐵
𝑂
70°
𝐶
𝐴
Miara kąta ostrego 𝐴𝐵𝐶 jest równa
A. 10° B. 20° C. 35° D. 40°
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
B COdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 201 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
W rombie o boku długości 6√2 kąt rozwarty ma miarę 150°.
Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy
A. 24 B. 72 C. 36 D. 36√2
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
B DOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 211 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Przez punkty 𝐴 i 𝐵, leżące na okręgu
o środku 𝑂, poprowadzono proste styczne
do tego okręgu, przecinające się
w punkcie 𝐶 (zobacz rysunek). 𝐵
𝑂 140°
𝐴 𝐶
Miara kąta 𝐴𝐶𝐵 jest równa
A. 20° B. 35° C. 40° D. 70°
EMAP-P0_100
EMAP-P0_100
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
C BOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 221 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Dany jest trójkąt 𝐴𝐵𝐶 , w którym 𝐵
|𝐵𝐶| = 6. Miara kąta 𝐴𝐶𝐵 jest
równa 150° (zobacz rysunek).
6
150°
𝐶 𝐴
Wysokość trójkąta 𝐴𝐵𝐶 opuszczona z wierzchołka 𝐵 jest równa
A. 3 B. 4 C. 3√3 D. 4√3
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A BOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 231 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
1
Dana jest prosta 𝑘 o równaniu 𝑦 = − 𝑥 + 2.
3
Prosta o równaniu 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 jest równoległa do prostej 𝑘 i przechodzi przez
punkt 𝑃 = (3, 5), gdy
1
A. 𝑎 = 3 i 𝑏 = 4. B. 𝑎 = − i 𝑏 = 4.
3
1
C. 𝑎 = 3 i 𝑏 = −4. D. 𝑎 = − i 𝑏 = 6.
3
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
D BOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 241 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Dane są punkty 𝐾 = (−3, −7) oraz 𝑆 = (5, 3). Punkt 𝑆 jest środkiem odcinka 𝐾𝐿. Wtedy
punkt 𝐿 ma współrzędne
A. (13, 10) B. (13, 13)
C. (1, −2) D. (7, −1)
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
B AOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 251 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Dana jest prosta o równaniu 𝑦 = 2𝑥 − 3. Obrazem tej prostej w symetrii środkowej
względem początku układu współrzędnych jest prosta o równaniu
A. 𝑦 = 2𝑥 + 3 B. 𝑦 = −2𝑥 − 3
C. 𝑦 = −2𝑥 + 3 D. 𝑦 = 2𝑥 − 3
EMAP-P0_100
EMAP-P0_100
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A DOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 261 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma
długość 15. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod
√2
kątem 𝛼 takim, że cos 𝛼 = .
3
Długość przekątnej tego graniastosłupa jest równa
A. 15√2 B. 45 C. 5√2 D. 10
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
B DOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 271 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Średnia arytmetyczna liczb 𝑥 , 𝑦, 𝑧 jest równa 4.
Średnia arytmetyczna czterech liczb: 1 + 𝑥 , 2 + 𝑦, 3 + 𝑧, 14, jest równa
A. 6 B. 9 C. 8 D. 13
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
C BOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 281 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko
cyfry 0, 5, 7 (np. 57 075, 55 555), jest
A. 53 B. 2 ⋅ 43 C. 2 ⋅ 34 D. 35
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
C DOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 291 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
W pewnym ostrosłupie prawidłowym stosunek liczby 𝑊 wszystkich wierzchołków do
𝑊 3
liczby 𝐾 wszystkich krawędzi jest równy = .
𝐾 5
Podstawą tego ostrosłupa jest
A. kwadrat. B. pięciokąt foremny.
C. sześciokąt foremny. D. siedmiokąt foremny.
EMAP-P0_100
EMAP-P0_100
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
B B
ZADANIA OTWARTE
Uwagi ogólne:
1. Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki
zadania.
2. Jeżeli zdający poprawnie rozwiąże zadanie i otrzyma poprawny wynik, lecz w końcowym
zapisie przekształca ten wynik i popełnia przy tym błąd, to może uzyskać maksymalną
liczbę punktów.
3. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które na żadnym etapie rozwiązania nie
upraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę
i konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może
otrzymać co najwyżej (𝑛 − 1) punktów (gdzie 𝑛 jest maksymalną możliwą do uzyskania
liczbą punktów za dane zadanie).Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 302 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Rozwiąż nierówność
𝑥(𝑥 − 2) > 2𝑥 2 − 3
EMAP-P0_100
Pokaż odpowiedź
Zapisujemy nierówność w postaci −𝑥 2 − 2𝑥 + 3 > 0 i obliczamy pierwiastki trójmianu
−𝑥 2 − 2𝑥 + 3.
Obliczamy wyróżnik trójmianu: Δ = 16
i obliczamy jego pierwiastki: 𝑥1 = −3 oraz 𝑥2 = 1
ALBO
podajemy pierwiastki trójmianu bezpośrednio, zapisując je lub zaznaczając je na wykresie:
𝑥1 = −3 oraz 𝑥2 = 1.
Podajemy zbiór rozwiązań nierówności: (−3, 1) lub 𝑥 ∈ (−3, 1), lub zaznaczamy zbiór
rozwiązań na osi liczbowej:
−3 1
𝑥Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 2 pkt – spełnienie jednego z warunków określonych w zasadach oceniania za 1 pkt oraz
zapisanie zbioru rozwiązań nierówności: (−3, 1) lub 𝑥 ∈ (−3, 1)
ALBO
– spełnienie jednego z warunków określonych w zasadach oceniania za 1 pkt oraz
przedstawienie zbioru rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie
zaznaczonymi końcami przedziałów
−3 1
𝑥
1 pkt – obliczenie lub podanie pierwiastków trójmianu kwadratowego −𝑥 2 − 2𝑥 + 3:
𝑥1 = 1 oraz 𝑥2 = −3
ALBO
– odczytanie z wykresu funkcji 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 − 2𝑥 + 3 i zapisanie miejsc zerowych
𝑥1 = 1 oraz 𝑥2 = −3.
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający, realizując pierwszy etap rozwiązania zadania, popełni błędy (ale otrzyma
dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionych błędów zapisze zbiór rozwiązań
nierówności, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
2. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy błędnie
obliczony przez zdającego wyróżnik 𝛥 jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe
rozwiązanie.
3. Jeżeli zdający, rozpoczynając realizację pierwszego etapu rozwiązania, rozpatruje inny niż
podany w zadaniu trójmian kwadratowy, który nie wynika z błędu przekształcenia (np.
𝑥 2 − 2𝑥 ), i w konsekwencji rozpatruje inną nierówność (np. 𝑥 2 − 2𝑥 > 0), to oznacza, że
nie podjął realizacji 1. etapu rozwiązania i otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
4. Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci 𝑎 + 𝑏√𝑐, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 są
liczbami wymiernymi.
5. Jeżeli zdający poda zbiór rozwiązań w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi
końcami przedziałów oraz zapisze: 𝑥 ∈ ⟨−3, 1⟩, to otrzymuje 1 punkt za całe
rozwiązanie.
Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności
w postaci (1, −3), to otrzymuje 2 punkty.
Zadanie 312 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości 8910 zł w osiemnastu ratach. Każda kolejna
rata była mniejsza od poprzedniej o 30 zł.
Oblicz kwotę pierwszej raty.
Nr zadania 30. 31.
Wypełnia Maks. liczba pkt 2 2
egzaminator
Uzyskana liczba pkt
EMAP-P0_100
Pokaż odpowiedź
Sposób I
Kolejne raty tworzą ciąg arytmetyczny, w którym 𝑆18 = 8910 i 𝑟 = −30. Korzystamy ze
wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i otrzymujemy równanie
2𝑎1 + 17 ⋅ (−30)
⋅ 18 = 8910
2
Przekształcając to równanie równoważnie, otrzymujemy
9(2𝑎1 − 510) = 8910
2𝑎1 − 510 = 990
𝑎1 = 750
Pierwsza rata była równa 750 zł.
Sposób II
Przyjmujemy, że kolejne (licząc od końca) raty tworzą ciąg arytmetyczny, w którym
𝑆18 = 8910 i 𝑟 = 30. Korzystamy ze wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu
arytmetycznego i otrzymujemy równanie
2𝑎1 + 17 ⋅ 30
⋅ 18 = 8910
2
Przekształcając to równanie równoważnie, otrzymujemy
9(2𝑎1 + 510) = 8910
2𝑎1 + 510 = 990
𝑎1 = 240
Ostatnia rata była równa 240 zł.
Obliczamy wysokość pierwszej raty
𝑎18 = 240 + 17 ⋅ 30 = 750
Pierwsza rata była równa 750 zł.
Sposób III
Kolejne kwoty, o które pomniejszana jest pierwsza rata, tworzą ciąg arytmetyczny, w którym
różnica jest równa 30. Wtedy osiemnasta rata jest mniejsza od pierwszej raty o kwotę
(18 − 1) ⋅ 30 = 510 zł.
Stąd
𝑎1 + (𝑎1 − 30) + (𝑎1 − 60) + (𝑎1 − 90)+. . . +(𝑎1 − 510) = 8910
18𝑎1 − (30 + 60 + 90+. . . +510) = 8910
gdzie suma siedemnastu liczb 30 + 60 + 90+. . . +510 jest równa
30 + 510
⋅ 17 = 4590
2
Zatem
18𝑎1 − 4590 = 8910
18𝑎1 = 13500
𝑎1 = 750
Pierwsza rata była równa 750 zł.
Sposób IV
Kolejne raty tworzą ciąg arytmetyczny, zatem
𝑎1 + 𝑎18 = 𝑎2 + 𝑎17 = 𝑎3 + 𝑎16 =. . . = 𝑎9 + 𝑎10
Obliczamy wartość pojedynczej sumy
𝑎1 + 𝑎18 = 8910: 9 = 990
Korzystając ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu arytmetycznego, mamy
𝑎1 + 𝑎1 − 17 ⋅ 30 = 990
2𝑎1 = 990 + 510
𝑎1 = 750
Pierwsza rata była równa 750 zł.
Sposób V
Przyjmujemy, że pierwsza rata była równa 1000 zł. Wtedy kolejne raty są równe:
970 zł, 940 zł, … , 490 zł.
Suma wszystkich rat jest równa 13 410 zł i przewyższa kwotę z warunków zadania
o 4500 zł.
Obliczamy, o ile należy zmniejszyć każdą ratę:
4500 ∶ 18 = 250
1000 − 250 = 750
Pierwsza rata była równa 750 zł.
Sposób VI
Kolejne raty są wyrazami osiemnastowyrazowego ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛 ) o różnicy
𝑟 = −30. Obliczymy dowolną ratę (np. dziewiątą), korzystając z własności tego ciągu:
(𝑎9 + 𝑎10 ) ⋅ 9 = 8910 𝑎 + 𝑎10 = 990
{ { 9
𝑎10 = 𝑎9 − 30 𝑎9 − 𝑎10 = 30
2𝑎9 = 1020 𝑎9 = 510
Zatem
𝑎1 = 𝑎9 − 8 ⋅ (−30) = 510 + 240 = 750Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 2 pkt – zastosowanie poprawnej metody i obliczenie pierwszej raty: 750 zł.
1 pkt – zastosowanie wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
i zapisanie równania z niewiadomą 𝑎1 (pierwszą ratą):
2𝑎1 + 17 ⋅ (−30)
⋅ 18 = 8910
2
ALBO
– zastosowanie wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
oraz zapisanie równania z niewiadomą 𝑎1 :
2𝑎1 +17⋅30
⋅ 18 = 8910 i zapisanie, że 𝑎1 jest ostatnią ratą,
2
ALBO
– zapisanie równania
𝑎1 + (𝑎1 − 30) + (𝑎1 − 2 ⋅ 30) + (𝑎1 − 3 ⋅ 30) + ⋯ + (𝑎1 − 17 ⋅ 30) = 8910,
gdzie 𝑎1 jest pierwszą ratą, lub równania
𝑎1 + (𝑎1 + 30) + (𝑎1 + 2 ⋅ 30) + (𝑎1 + 3 ⋅ 30) + ⋯ + (𝑎1 + 17 ⋅ 30) = 8910
(łącznie z zapisem, że 𝑎1 jest ostatnią ratą),
ALBO
– zapisanie zależności między pierwszą (𝑎1 ) i ostatnią ratą (𝑎18 ), np.
𝑎1 + 𝑎18 = 8910 ∶ 9 albo 𝑎18 = 𝑎1 − 17 ⋅ 30 itp.,
ALBO
– rozpatrzenie osiemnastowyrazowego ciągu arytmetycznego o różnicy (−30) lub 30
i zapisanie co najmniej pierwszego oraz ostatniego wyrazu tego ciągu, np.
(𝑥 , 𝑥 − 30, 𝑥 − 60, …, 𝑥 − 510) dla dowolnego 𝑥 (np. jak w sposobie V),
ALBO
– zapisanie układu równań, z którego można obliczyć jedną z rat, np.
𝑎9 +𝑎10
= 495 i 𝑎10 = 𝑎9 − 30.
2
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe
rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.
2. Jeżeli zdający zapisze tylko 750 zł, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
3. Jeżeli zdający rozważa ciąg arytmetyczny o różnicy 𝑟 = 30, obliczy 𝑎1 = 240 i nie
interpretuje 𝑎1 jako ostatniej raty, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe
rozwiązanie.
4. Jeżeli zdający błędnie interpretuje liczbę 8910 jako wyraz ciągu rat, to otrzymuje
0 punktów za całe rozwiązanie.
Zadanie 322 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 ≠ 1 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦
prawdziwa jest nierówność
𝑥 2 + 𝑦 2 + 5 > 2𝑥 + 4𝑦
EMAP-P0_100
Pokaż odpowiedź
Sposób I
Przekształcamy nierówność 𝑥 2 + 𝑦 2 + 5 > 2𝑥 + 4𝑦 w sposób równoważny:
𝑥 2 − 2𝑥 + 1 + 𝑦 2 − 4𝑦 + 4 > 0
Zauważamy, że lewą stronę nierówności można zapisać w postaci sumy dwóch kwadratów
(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 > 0
Z założenia wiadomo, że 𝑥 ≠ 1, więc (𝑥 − 1)2 jest liczbą dodatnią. Liczba (𝑦 − 2)2 jest
liczbą nieujemną, zatem suma (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 jest liczbą dodatnią.
To należało wykazać.
Sposób II (trójmian kwadratowy zmiennej 𝑥 z parametrem 𝑦)
Przekształcamy równoważnie nierówność 𝑥 2 + 𝑦 2 + 5 > 2𝑥 + 4𝑦 i otrzymujemy
𝑥 2 − 2𝑥 + 𝑦 2 − 4𝑦 + 5 > 0.
Wyrażenie 𝑥 2 − 2𝑥 + (𝑦 2 − 4𝑦 + 5) traktujemy jako trójmian kwadratowy zmiennej 𝑥 .
Obliczamy wyróżnik Δ trójmianu:
Δ = (−2)2 − 4 ⋅ (𝑦 2 − 4𝑦 + 5)
Δ = 4 − 4𝑦 2 + 16𝑦 − 20
Δ = −4(𝑦 2 − 4𝑦 + 4)
Δ = −4(𝑦 − 2)2
Gdy 𝑦 ≠ 2, to Δ < 0 i funkcja kwadratowa 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 + (𝑦 2 − 4𝑦 + 5) zmiennej 𝑥
nie ma miejsc zerowych, a ponieważ współczynnik przy drugiej potędze zmiennej jest
dodatni, więc żaden fragment wykresu funkcji 𝑓 nie leży poniżej osi odciętych. Zatem
funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie.
Gdy 𝑦 = 2, to Δ = 0 i funkcja 𝑓 ma dokładnie jedno miejsce zerowe: 𝑥 = 1. Ponieważ
współczynnik przy drugiej potędze zmiennej jest dodatni, więc żaden fragment wykresu
funkcji 𝑓 nie leży poniżej osi odciętych. Zatem funkcja 𝑓 przyjmuje wartości dodatnie dla
każdego 𝑥 ≠ 1.
Oznacza to, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 ≠ 1 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦
nierówność 𝑥 2 − 2𝑥 + (𝑦 2 − 4𝑦 + 5) > 0 jest prawdziwa.
Zatem nierówność 𝑥 2 + 𝑦 2 + 5 > 2𝑥 + 4𝑦 również jest prawdziwa dla każdej liczby
rzeczywistej 𝑥 ≠ 1 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦. To należało wykazać.
Sposób III (poprzez analizę zbioru wartości dwóch funkcji)
Przekształcamy równoważnie nierówność 𝑥 2 + 𝑦 2 + 5 > 2𝑥 + 4𝑦 do postaci
𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑦), następnie analizujemy zbiory wartości funkcji 𝑓 (określonej dla każdej liczby
rzeczywistej 𝑥 ≠ 1) oraz funkcji 𝑔 (określonej dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦). Takie
przekształcenie równoważne nierówności można wykonać na różne sposoby, np. tak:
𝑥 2 − 2𝑥 + 1 > −𝑦 2 + 4𝑦 − 4 oraz 𝑥 ≠ 1 i 𝑦 ∈ ℝ
Otrzymaną postać nierówności przekształcamy do postaci
(𝑥 − 1)2 > −(𝑦 − 2)2 oraz 𝑥≠1 i 𝑦∈ℝ
Rozważamy funkcje 𝑓 i 𝑔 takie, że
𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)2 dla 𝑥 ≠ 1 oraz 𝑔(𝑦) = −(𝑦 − 2)2 dla 𝑦∈ℝ
Zbiorami wartości tych funkcji są przedziały: 𝑍𝑊𝑓 = (0, +∞) oraz 𝑍𝑊𝑔 = (−∞, 0].
Zauważmy, że każda wartość funkcji 𝑓 jest większa od każdej wartości funkcji 𝑔.
To oznacza, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 ≠ 1 oraz dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦
zachodzi nierówność 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑦).
Zatem nierówność 𝑥 2 + 𝑦 2 + 5 > 2𝑥 + 4𝑦 jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej
𝑥 ≠ 1 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦. To należało wykazać.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 2 pkt – przekształcenie nierówności 𝑥 2 + 𝑦 2 + 5 > 2𝑥 + 4𝑦 do postaci
(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 > 0 oraz powołanie się na założenie i stwierdzenie, że
(𝑥 − 1)2 jest liczbą dodatnią i suma (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 jest liczbą dodatnią
ALBO
– obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 𝑥 2 − 2𝑥 + (𝑦 2 − 4𝑦 + 5)
zmiennej 𝑥 oraz uzasadnienie, że jest on niedodatni, oraz uzasadnienie
prawdziwości nierówności 𝑥 2 + 𝑦 2 + 5 > 2𝑥 + 4𝑦 dla 𝑦 = 2,
ALBO
– obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 𝑦 2 − 4𝑦 + (𝑥 2 − 2𝑥 + 5)
zmiennej 𝑦 oraz uzasadnienie, że ten wyróżnik jest ujemny dla każdego 𝑥 ≠ 1,
ALBO
– przekształcenie nierówności do postaci 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑦) oraz poprawne uzasadnienie
prawdziwości nierówności 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑦) dla każdego 𝑥 ≠ 1 i 𝑦 ∈ ℝ na podstawie
analizy zbiorów wartości obu funkcji.
1 pkt – przekształcenie nierówności 𝑥 2 + 𝑦 2 + 5 > 2𝑥 + 4𝑦 do postaci
(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 > 0
ALBO
– obliczenie wyróżnika Δ trójmianu kwadratowego 𝑥 2 − 2𝑥 + (𝑦 2 − 4𝑦 + 5)
zmiennej 𝑥 oraz przekształcenie tego wyróżnika do postaci Δ = −(2𝑦 − 4)2 bądź
Δ = −4(𝑦 − 2)2 lub (zamiast przekształcenia wyróżnika) zbadanie znaku tego
wyróżnika (np. obliczenie wyróżnika trójmianu −4𝑦 2 + 16𝑦 − 16),
ALBO
– obliczenie wyróżnika Δ trójmianu kwadratowego 𝑦 2 − 4𝑦 + (𝑥 2 − 2𝑥 + 5)
zmiennej 𝑦 oraz przekształcenie tego wyróżnika do postaci Δ = −(2𝑥 − 2)2 bądź
Δ = −4(𝑥 − 1)2 lub (zamiast przekształcenia wyróżnika) zbadanie znaku tego
wyróżnika (np. obliczenie wyróżnika trójmianu −4𝑥 2 + 8𝑥 − 4),
ALBO
– przekształcenie nierówności do postaci 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑦) oraz zbadanie zbioru wartości
jednej z funkcji: 𝑓 albo 𝑔.
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga:
Jeśli zdający sprawdza prawdziwość nierówności tylko dla wybranych wartości 𝑥 i 𝑦, to
otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Zadanie 332 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Trójkąty prostokątne 𝑇1 i 𝑇2 są podobne. Przyprostokątne trójkąta 𝑇1 mają długości
5 i 12. Przeciwprostokątna trójkąta 𝑇2 ma długość 26.
Oblicz pole trójkąta 𝑇2 .
Nr zadania 32. 33.
Wypełnia Maks. liczba pkt 2 2
egzaminator
Uzyskana liczba pkt
EMAP-P0_100
Pokaż odpowiedź
Sposób I
Długości przyprostokątnych trójkątów 𝑇1 i 𝑇2 oznaczymy odpowiednio jako: 𝑎1 , 𝑏1 oraz
𝑎2 , 𝑏2 . Z podobieństwa trójkątów 𝑇1 i 𝑇2 wynika, że stosunki odpowiednich boków są
równe:
𝑎2 𝑎1
= gdzie 𝑎1 = 12, 𝑏1 = 5
𝑏2 𝑏1
Zatem
𝑎2 12 5
= więc 𝑏2 = 𝑎
𝑏2 5 12 2
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝑇2 mamy:
𝑎22 + 𝑏22 = 262
5 2 2
𝑎22 + ( ) 𝑎2 = 262
12
169 2
𝑎2 = 262
144
144
𝑎2 = √ ⋅ 26 = 24
169
5
Zatem 𝑏2 = ⋅ 24 = 10.
12
Obliczamy pole trójkąta 𝑇2 :
1 1
𝑃2 = ⋅ 𝑎2 ⋅ 𝑏2 = ⋅ 24 ⋅ 10 = 120
2 2
Sposób II
Oznaczamy wierzchołki trójkąta 𝑇1 przez 𝐴, 𝐵, 𝐶 , gdzie 𝐵𝐶 jest przeciwprostokątną tego
trójkąta, |𝐴𝐵| = 12 i |𝐴𝐶| = 5. Oznaczamy wierzchołki trójkąta 𝑇2 przez 𝐷 , 𝐸 , 𝐹 , gdzie
𝐸𝐹 jest przeciwprostokątną tego trójkąta.
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝑇1 mamy 𝐵 𝐸
|𝐴𝐵|2 + |𝐴𝐶|2 = |𝐵𝐶|2
122 + 52 = |𝐵𝐶|2
12
|𝐵𝐶|2 = 169
|𝐵𝐶| = 13 26
𝐶 5 𝐴
Obliczamy skalę podobieństwa trójkąta 𝑇2 do trójkąta 𝑇1 :
|𝐸𝐹| 26
𝑘= = =2
|𝐵𝐶| 13
Obliczamy długości przyprostokątnych trójkąta 𝑇2 :
𝐹 𝐷
|𝐷𝐸| = 2 ⋅ |𝐴𝐵| = 2 ⋅ 12 = 24
|𝐷𝐹| = 2 ⋅ |𝐴𝐶| = 2 ⋅ 5 = 10
Obliczamy pole trójkąta 𝑇2 :
1 1
𝑃2 = ⋅ |𝐷𝐸| ⋅ |𝐷𝐹| = ⋅ 24 ⋅ 10 = 120
2 2
Sposób III
Oznaczamy wierzchołki trójkąta 𝑇1 przez 𝐴, 𝐵, 𝐶 , gdzie 𝐵𝐶 jest przeciwprostokątną tego
trójkąta, |𝐴𝐵| = 12 i |𝐴𝐶| = 5. Oznaczamy wierzchołki trójkąta 𝑇2 przez 𝐷 , 𝐸 , 𝐹 , gdzie
𝐸𝐹 jest przeciwprostokątną tego trójkąta. 𝐵 𝐸
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝑇1 mamy
|𝐴𝐵|2 + |𝐴𝐶|2 = |𝐵𝐶|2
12
2 2 |𝐵𝐶|2
12 + 5 =
|𝐵𝐶|2 = 169 26
𝐶 5 𝐴
|𝐵𝐶| = 13
Obliczamy skalę podobieństwa trójkąta 𝑇2 do trójkąta 𝑇1 :
|𝐸𝐹| 26
𝑘= = =2
|𝐵𝐶| 13
𝐹 𝐷
Obliczamy pole 𝑃1 trójkąta 𝑇1 :
1 1
𝑃1 = ⋅ |𝐴𝐵| ⋅ |𝐴𝐶| = ⋅ 12 ⋅ 5 = 30
2 2
Korzystając z tego, że stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali
podobieństwa, obliczamy pole 𝑃2 trójkąta 𝑇2 :
𝑃2
= 𝑘2
𝑃1
Zatem
𝑃2 = 𝑘 2 ⋅ 𝑃1 = 22 ⋅ 30 = 120Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 2 pkt – poprawna metoda i obliczenie pola trójkąta 𝑇2 : 𝑃2 = 120.
1 pkt – wykorzystanie podobieństwa trójkątów i zapisanie układu równań/równania
pozwalającego obliczyć długości przyprostokątnych trójkąta 𝑇2 , np.
𝑎2 12
= 5 i 𝑎22 + 𝑏22 = 262 , (12𝑥)2 + (5𝑥)2 = 262
𝑏2
ALBO
𝑃1 |𝐵𝐶|
2
𝑃 26 2
– zapisanie stosunku pól trójkątów 𝑇1 i 𝑇2 : = ( ) (lub 2 = ( ) ) oraz
𝑃2 26 𝑃1 |𝐵𝐶|
obliczenie długości odcinka 𝐵𝐶 : |𝐵𝐶| = 13,
ALBO
|𝐸𝐹|
– obliczenie/zapisanie skali podobieństwa trójkątów, np. 𝑘 = =2
|𝐵𝐶|
|𝐵𝐶| 1
(lub 𝑘 = = 2),
|𝐸𝐹|
ALBO
– obliczenie/zapisanie długości przyprostokątnych trójkąta 𝑇2 : 10, 24,
ALBO
– obliczenie długości 𝑐1 przeciwprostokątnej trójkąta 𝑇1 oraz zapisanie układu
równań pozwalającego obliczyć długości 𝑎2 , 𝑏2 przyprostokątnych trójkąta 𝑇2 , np.
13 26 13 26
𝑐1 = 13 i 12 = 𝑎 i 5 = 𝑏 .
2 2
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zadanie 342 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
W kwadracie 𝐴𝐵𝐶𝐷 punkty 𝐴 = (−8, −2) oraz 𝐶 = (0, 4) są końcami przekątnej.
Wyznacz równanie prostej zawierającej przekątną 𝐵𝐷 tego kwadratu.
EMAP-P0_100
Pokaż odpowiedź
Ponieważ przekątne w kwadracie dzielą się na połowy, szukamy środka odcinka 𝐴𝐶 :
𝑥𝐴 + 𝑥𝐶 𝑦𝐴 + 𝑦𝐶 −8 + 0 −2 + 4
𝑆=( , )=( , ) = (−4, 1)
2 2 2 2
Korzystając ze wzoru (𝑦 − 𝑦𝐴 )(𝑥𝐶 − 𝑥𝐴 ) − (𝑦𝐶 − 𝑦𝐴 )(𝑥 − 𝑥𝐴 ) = 0, wyznaczamy równanie
prostej 𝐴𝐶 :
(𝑦 − (−2)) (0 − (−8)) − (4 − (−2))(𝑥 − (−8)) = 0
(𝑦 + 2) ⋅ 8 − 6 ⋅ (𝑥 + 8) = 0
8𝑦 = 6𝑥 + 32
3
𝑦= 𝑥+4
4
Prosta zawierająca przekątną 𝐵𝐷 jest prostopadła do prostej 𝐴𝐶 , zatem jej współczynnik
4
kierunkowy jest równy (− ).
3
Obliczamy współczynnik 𝑏 równania kierunkowego prostej 𝐵𝐷 , podstawiając do wzoru
4
𝑦 = − 3 𝑥 + 𝑏 współrzędne punktu 𝑆 = (−4, 1):
4
1 = − ⋅ (−4) + 𝑏
3
13
𝑏=−
3
4 13
Prosta zawierająca przekątną 𝐵𝐷 kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 ma postać 𝑦 = − 𝑥 − .
3 3Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 2 pkt – wyznaczenie i zapisanie równania prostej zawierającej przekątną 𝐵𝐷 (w postaci
4 13
równania stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi) np. 𝑦 = − 𝑥 − .
3 3
1 pkt – obliczenie współrzędnej punktu 𝑆 oraz obliczenie współczynnika kierunkowego
3
prostej 𝐴𝐶 (lub zapisanie równania prostej 𝐴𝐶 ): 𝑆 = (−4, 1) oraz
4
ALBO
4
– wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐵𝐷 : (− ),
3
ALBO
– zapisanie równości |𝑃𝐴| = |𝑃𝐶| wynikającej z własności symetralnej (gdzie 𝑃 jest
punktem leżącym na symetralnej odcinka 𝐴𝐶 ) lub zapisanie równania postaci
√(𝑥 + 8)2 + (𝑦 + 2)2 = √(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 4)2
ALBO
– wyznaczenie współrzędnych punktów 𝐵 i 𝐷 (lub jednego z nich i punktu 𝑆),
z wykorzystaniem punktów kratowych.
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zadanie 352 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Ze zbioru ośmiu liczb {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po
jednej liczbie.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 polegającego na tym, że iloczyn wylosowanych
liczb jest podzielny przez 15.
Nr zadania 34. 35.
Wypełnia Maks. liczba pkt 2 2
egzaminator
Uzyskana liczba pkt
EMAP-P0_100
Pokaż odpowiedź
Sposób I
Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych obrazuje tabela 8 × 8, co oznacza, że moc zbioru
Ω jest równa 64.
W tabeli zaznaczamy iloczyny podzielne przez 15.
2 3 4 5 6 7 8 9
2
3 ×
4
5 × × ×
6 ×
7
8
9 ×
Zdarzeń sprzyjających wylosowaniu liczb, których iloczyn jest podzielny przez 15, jest 6.
Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn
6
jest podzielny przez 15, jest równe .
64
Sposób II (drzewo stochastyczne)
Rysujemy fragment drzewa stochastycznego rozważanego doświadczenia z uwzględnieniem
wszystkich istotnych gałęzi.
Oznaczamy przez 𝐴 zdarzenie polegające na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest
podzielny przez 15.
1 1 1 1
8 8 8 8
3 5 6 9
1 1 1 1 1 1
8 8 8 8 8 8
5 3 6 9 5 5
Prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6
𝑃(𝐴) = ∙ + ∙ + ∙ + ∙ + ∙ + ∙ =
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 64
Sposób III
Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych Ω to zbiór par uporządkowanych elementów ze
zbioru 8-elementowego, zatem moc zbioru Ω jest równa |Ω| = 8 ⋅ 8 = 64.
Oznaczamy przez 𝐴 zdarzenie polegające na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest
podzielny przez 15.
Wielokrotności liczby 15, które mogą być iloczynami elementów ze zbioru Ω, to 15, 30, 45.
Wyznaczamy iloczyny, które spełniają powyższy warunek:
15 = 3 ⋅ 5 = 5 ⋅ 3 – dwa iloczyny – dwa zdarzenia elementarne: (3, 5) oraz (5, 3),
30 = 6 ⋅ 5 = 5 ⋅ 6 – dwa iloczyny – dwa zdarzenia elementarne: (6, 5) oraz (5, 6),
45 = 9 ⋅ 5 = 5 ⋅ 9 – dwa iloczyny – dwa zdarzenia elementarne: (9, 5) oraz (5, 9).
6
Sprzyjających zdarzeń elementarnych jest 6, więc 𝑃(𝐴) = .
64Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 2 pkt – zastosowanie poprawnej metody obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴
6
i uzyskanie poprawnego wyniku: 𝑃(𝐴) = .
64
1 pkt – wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych lub obliczenie/podanie liczby tych
zdarzeń: |Ω| = 8 ⋅ 8 lub sporządzenie tabeli o 64 polach odpowiadających
zdarzeniom elementarnym, z których co najmniej jedno pole jest wypełnione, lub
sporządzenie pełnego drzewa stochastycznego
ALBO
– wypisanie (zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających
zdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego:
(3, 5), (5, 3), (6, 5), (5, 6), (5, 9), (9, 5),
ALBO
– podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:
|𝐴| = 6, jeśli nie została otrzymana w wyniku zastosowania błędnej metody,
ALBO
– sporządzenie fragmentu drzewa stochastycznego, które zawiera wszystkie gałęzie
1
sprzyjające zdarzeniu 𝐴 oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej
8
jednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,
ALBO
1
– podanie prawdopodobieństwa jednoelementowego zdarzenia (elementarnego): ,
64
ALBO
6
– zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = .
64
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga:
Jeżeli zdający zapisuje tylko liczby 6 lub 64 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych
liczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Zadanie 365 punktówOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Podstawą graniastosłupa prostego 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 jest trójkąt 𝐹 𝐸
równoramienny 𝐴𝐵𝐶 , w którym |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|, |𝐴𝐵| = 8.
Wysokość trójkąta 𝐴𝐵𝐶 , poprowadzona z wierzchołka 𝐶 ,
ma długość 3. Przekątna 𝐶𝐸 ściany bocznej tworzy 𝐷
z krawędzią 𝐶𝐵 podstawy 𝐴𝐵𝐶 kąt 60° (zobacz
rysunek).
60°
𝐶 𝐵
3
8
𝐴
Oblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość tego graniastosłupa.
EMAP-P0_100
Nr zadania 36.
Wypełnia Maks. liczba pkt 5
egzaminator
Uzyskana liczba pkt
EMAP-P0_100
EMAP-P0_100
EMAP-P0_100
EMAP-P0_100
Formuła 2015
Formuła 2015
Formuła 2015
Pokaż odpowiedź
Wprowadzamy oznaczenia jak na rysunku.
Oznaczamy ℎ𝑝 – wysokość podstawy graniastosłupa, poprowadzona z wierzchołka 𝐶 .
Podstawą graniastosłupa jest trójkąt równoramienny o wysokości ℎ𝑝 = 3 i długości
podstawy 𝑎 = |𝐴𝐵| = 8.
1
Obliczamy pole podstawy graniastosłupa 𝑃𝑝 = ∙ 3 ∙ 8 = 12.
2
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy długość 𝐹 𝐸
krawędzi 𝐵𝐶 :
1 2 2 𝐷
( 𝑎) + (ℎ𝑝 ) = |𝐵𝐶|2
2
16 + 9 = |𝐵𝐶|2
|𝐵𝐶|2 = 25 𝐻
|𝐵𝐶| = 5
Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznej tangens
dla kąta 𝐵𝐶𝐸 , obliczamy wysokość 𝐻 (długość krawędzi 𝐵𝐸 )
graniastosłupa:
60°
𝐻 𝐶 𝐵
tg 60° = 3
|𝐵𝐶| ℎ𝑝
8
𝐻 𝐴
√3 =
5
Zatem 𝐻 = 5√3.
Obliczamy pole powierzchni całkowitej graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 :
1
𝑃 = 𝑃𝑏 + 2𝑃𝑝 = 2 ∙ 𝐻 ∙ |𝐵𝐶| + |𝐴𝐵| ∙ 𝐻 + 2 ∙ ∙ |𝐴𝐵| ∙ ℎ𝑝 = 2 ∙ 5√3 ∙ 5 + 8 ∙ 5√3 + 2 ∙ 12
2
𝑃 = 24 + 90√3
Obliczamy objętość 𝑉 graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 :
𝑉 = 𝑃𝑝 ∙ 𝐻 = 12 ∙ 5√3 = 60√3
Ocena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią
Obowiązują Zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez
stwierdzonej dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:
a) ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną
dyskalkulią (punkty 1.–12.);
b) dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy
osób ze stwierdzoną dyskalkulią – egzamin maturalny z matematyki, poziom podstawowy,
termin główny 2023.
I. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną
dyskalkulią
1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:
• błędnego przepisania
• przestawienia cyfr
• zapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie
• przestawienia położenia przecinka.
2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu
oddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza
umiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania
badanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.
3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę rozwiązania,
części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej 1 punkt, zgodnie
z kryteriami do poszczególnych zadań.
4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub zapisuje
nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne rozumowanie lub
stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt za rozwiązanie
zadania.
5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu
kwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę
wyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania
wartościach liczbowych.
6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający
może otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności
kwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.
7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej zdający
może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji kwadratowej,
istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.
8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych
lub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie
takiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.
9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na
płaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu
rozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur
geometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.
10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać
przynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających
rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje prawidłową metodę
wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.
11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli
podaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia
rozwiązania.
12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub
geometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która
wyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać
1 punkt.
II. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób
ze stwierdzoną dyskalkulią
1 pkt – zastosowanie poprawnej metody obliczenia pierwiastków trójmianu kwadratowego
−𝑥 2 − 2𝑥 + 3, tzn. zastosowanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego
i obliczenie tych pierwiastków
ALBO
– konsekwentne (do otrzymanego w wyniku popełnienia błędów o charakterze
dyskalkulicznym ujemnego wyróżnika) narysowanie paraboli,
ALBO
– poprawne rozwiązanie nierówności 𝑥 2 − 2𝑥 > 0 (tzn. stosuje się punkt 6. ogólnych
zasad oceniania),
ALBO
– konsekwentne (do wyznaczonych przez siebie pierwiastków oraz rozpatrywanego
trójmianu i nierówności) wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający, rozwiązując nierówność, pomyli porządek liczb na osi liczbowej i zapisze
zbiór rozwiązań nierówności w postaci (1, −3), to może otrzymać 2 punkty za całe
rozwiązanie.
2. Nie stosuje się uwag 2. i 3. z zasad oceniania arkusza standardowego.
Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.
Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.
1 pkt – obliczenie długości 𝑐1 przeciwprostokątnej trójkąta 𝑇1 oraz wykorzystanie
podobieństwa trójkątów i zapisanie związku między długościami przyprostokątnych
𝑎 12
trójkąta 𝑇2 : 𝑐1 = 13 i 2 =
𝑏2 5
ALBO
– obliczenie długości 𝑐1 przeciwprostokątnej trójkąta 𝑇1 oraz zapisanie równania
pozwalającego obliczyć długość jednej z przyprostokątnych trójkąta 𝑇2 , np.
13 26 13 26
𝑐1 = 13 i 12 = 𝑎 , 𝑐1 = 13 i 5 = 𝑏 .
2 2
1 pkt – obliczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐴𝐶 (lub zapisanie równania
3
prostej 𝐴𝐶 ): .
4
1 pkt – zapisanie jedynie liczby 64 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich
zdarzeń elementarnych).
Uwagi:
1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi ze
standardowych zasad oceniania.
2. Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające
zdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (|𝐴| = 5) i konsekwentnie zapisze
5
wynik , to otrzymuje 2 punkty.
64
Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 5 pkt – obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 : 𝑃 = 24 + 90√3
oraz obliczenie objętości graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 : 𝑉 = 60√3.
4 pkt – obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 : 𝑃 = 24 + 90√3
ALBO
– obliczenie objętości graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 : 𝑉 = 60√3.
3 pkt – obliczenie pola podstawy graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 : 𝑃𝑝 = 12 oraz obliczenie
wysokości 𝐻 graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 : 𝐻 = 5√3.
2 pkt – obliczenie długości krawędzi 𝐵𝐶 podstawy graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 : |𝐵𝐶| = 5
oraz obliczenie pola podstawy graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 : 𝑃𝑝 = 12
ALBO
– obliczenie wysokości 𝐻 graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 : 𝐻 = 5√3.
1 pkt – obliczenie długości krawędzi 𝐵𝐶 podstawy graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 : |𝐵𝐶| = 5
ALBO
– obliczenie pola podstawy graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 : 𝑃𝑝 = 12.
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający, obliczając pole powierzchni całkowitej, przyjmuje, że:
a) wszystkie ściany boczne są przystającymi prostokątami
lub
b) graniastosłup ma 4 ściany boczne,
lub
c) graniastosłup ma jedną podstawę,
ale poprawnie obliczy objętość graniastosłupa, to może otrzymać 4 punkty za całe
rozwiązanie.
2. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:
a) zastosowanie niepoprawnej definicji jednej funkcji trygonometrycznej
b) błędne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa
c) zastosowanie niepoprawnej tożsamości √𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑥 + 𝑦
d) zinterpretowanie trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jako równoramiennego (ale nie równobocznego),
w którym |𝐴𝐵| = |𝐵𝐶| = 8
i rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający otrzymuje
3 punkty za całe rozwiązanie.
3. Jeżeli zdający przyjmuje, że podstawa graniastosłupa jest trójkątem równobocznym i na
tym opiera całe swoje rozwiązanie, to otrzymuje 0 punktów (o ile nie nabył praw do innej
punktacji).
Wersja arkusza
EMAU-P0-100-2305 · Formuła 2015
Zadanie 11 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAU-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Число log 9 27 + log 9 3 дорівнює
A. 81 B. 9 C. 4 D. 2
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
D DOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 21 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAU-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
3 27 3
Число √− ⋅ дорівнює
16 √2
3 3 2 2
A. (− ) B. C. D. (− )
2 2 3 3
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A COdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 31 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAU-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Ціну фотоапарата знизили на 15%, а потім ще на 20% відносно ціни на даний
момент. Після цих двох знижок фотоапарат коштує 340 зл.
Перед обома знижками ціна цього фотоапарата дорівнювала
A. 500 зл B. 425 зл C. 400 зл D. 375 зл
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A AOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 41 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAU-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Для кожного дійсного числа 𝑎 вираз (2𝑎 − 3)2 − (2𝑎 + 3)2 дорівнює
A. −24𝑎 B. 0 C. 18 D. 16𝑎2 − 24𝑎
EMAU-P0_100
ЧЕРНЕТКА (не підлягає оцінюванню)
EMAU-P0_100
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A BOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 51 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAU-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
На рисунку представлено геометричну інтерпретацію oднієї з записаних нижче систем
рівнянь A–D.
𝑦
4
3
2
1
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 𝑥
−1
−2
−3
Вкажи систему рівнянь, геометрична інтерпретація якої представлена на рисунку.
𝑦 = −𝑥 + 2
A. {
𝑦 = −2𝑥 + 1
𝑦 =𝑥−2
B. {
𝑦 = −2𝑥 − 1
𝑦 =𝑥−2
C. {
𝑦 = 2𝑥 + 1
𝑦 = −𝑥 + 2
D. {
𝑦 = 2𝑥 − 1
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
D AOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 61 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAU-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Множиною усіх розв’язків нерівності
2−𝑥
−2(𝑥 + 3) ≤
3
є проміжок
A. (−∞, −4⟩ B. (−∞, 4⟩ C. ⟨−4, ∞) D. ⟨4, ∞)
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
C AOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 71 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAU-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Одним з розв’язків рівняння √3(𝑥 2 − 2)(𝑥 + 3) = 0 є число
A. 3 B. 2 C. √3 D. √2
EMAU-P0_100
ЧЕРНЕТКА (не підлягає оцінюванню)
EMAU-P0_100
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
D COdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 81 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAU-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
2
(𝑥+1)(𝑥−1)
Рівняння 2 = 0 у множині дійсних чисел
(𝑥−1)(𝑥+1)
A. не має розв’язку.
B. має точно один розв’язок: −1.
C. має точно один розв’язок: 1.
D. має точно два розв’язки: −1 та 1.
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A AOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 91 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAU-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Нулем лінійної функції 𝑓(𝑥) = (2𝑝 − 1)𝑥 + 𝑝 є число (−4). Тоді
4 4 4
A. 𝑝 = B. 𝑝 = C. 𝑝 = −4 D. 𝑝 = −
9 7 7
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
B DOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 101 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAU-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Лінійна функція 𝑓 задана формулою 𝑦
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, де 𝑎 і 𝑏 є певними
дійсними числами. На рисунку представлено
фрагмент графіка функції 𝑓 в декартовій
1
системі координат (𝑥, 𝑦).
0 1 𝑥
𝑦 = 𝑓(𝑥)
Число 𝑎 та число 𝑏 у формулі функції 𝑓 виконують умови:
A. 𝑎 > 0 i 𝑏 > 0. B. 𝑎 > 0 i 𝑏 < 0.
C. 𝑎 < 0 i 𝑏 > 0. D. 𝑎 < 0 i 𝑏 < 0.
EMAU-P0_100
ЧЕРНЕТКА (не підлягає оцінюванню)
EMAU-P0_100
Інформація до завдань 11.–13.
У системі координат (𝑥, 𝑦) 𝑦
побудовано графік функції 𝑦 = 𝑓(𝑥)
(дивись рисунок). 5
4
3
2
1
−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 𝑥
−1
−2
−3
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
C AOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 111 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAU-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Областю функції 𝑓 є множина
A. ⟨−6, 5⟩ B. (−6, 5) C. (−3, 5⟩ D. ⟨−3, 5⟩
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A COdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 121 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAU-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Функція 𝑓 є спадною на множині
A. ⟨−6, −3) B. ⟨−3, 1⟩ C. (1, 2⟩ D. ⟨2, 5⟩
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
D COdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 131 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAU-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Найбільше значення функції 𝑓 на проміжку ⟨−4, 1⟩ дорівнює
A. 0 B. 1 C. 2 D. 5
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
C BOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 141 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAU-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Одним з нулів квадратичної функції 𝑓 є число (−5). Перша координата вершини
параболи, яка є графіком функції 𝑓 , дорівнює 3.
Другим нулем функції 𝑓 є число
A. 11 B. 1 C. (−1) D. (−13)
EMAU-P0_100
ЧЕРНЕТКА (не підлягає оцінюванню)
EMAU-P0_100
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A COdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 151 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAU-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Послідовність (𝑎𝑛 ) задана формулою 𝑎𝑛 = 2𝑛 ⋅ (𝑛 + 1) для кожного натурального
числа 𝑛 ≥ 1.
Член 𝑎4 дорівнює
A. 64 B. 40 C. 48 D. 80
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
D AOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 161 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAU-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Геометрична прогресія (27, 9, 𝑎 − 1) складається з трьох членів.
Число 𝑎 дорівнює
A. 3 B. 0 C. 4 D. 2
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
C DOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 171 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAU-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
У системі координат зазначено кут 𝛼 𝑦
з вершиною в точці 𝑂 = (0, 0). Один
з променів цього кута збігається з додатною
𝑃 = (−3, 1) 2
піввіссю 𝑂𝑥 , а другий проходить через
точку 𝑃 = (−3, 1) (дивись рисунок). 1
𝛼
𝑂 𝑥
−3 −2 −1 1 2 3
−1
Тангенс кута 𝛼 дорівнює
1 3 3 1
A. B. (− ) C. (− ) D. (− )
√10 √10 1 3
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
D BOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 181 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAU-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Для кожного гострого кута 𝛼 вираз sin4 𝛼 + sin2 𝛼 ⋅ cos 2 𝛼 дорівнює
A. sin2 𝛼 B. sin6 𝛼 ⋅ cos 2 𝛼
C. sin4 𝛼 + 1 D. sin2 𝛼 ⋅ (sin 𝛼 + cos 𝛼) ⋅ (sin 𝛼 − cos 𝛼)
EMAU-P0_100
ЧЕРНЕТКА (не підлягає оцінюванню)
EMAU-P0_100
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A COdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 191 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAU-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Точки 𝐴, 𝐵, 𝐶 лежать на колі з центром в точці 𝑂.
Міра кута 𝐴𝐶𝑂 дорівнює 70° (дивись рисунок).
𝐵
𝑂
70°
𝐶
𝐴
Міра гострого кута 𝐴𝐵𝐶 дорівнює
A. 10° B. 20° C. 35° D. 40°
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
B COdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 201 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAU-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
У ромбі зі стороною завдовжки 6√2 міра тупого кута дорівнює 150°.
Добуток довжин діагоналей цього ромба дорівнює
A. 24 B. 72 C. 36 D. 36√2
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
B DOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 211 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAU-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Через точки 𝐴 і 𝐵, що лежать на колі
з центром 𝑂, проведено дотичні прямі до
цього кола, які перетинаються в точці 𝐶
(дивись рисунок). 𝐵
𝑂 140°
𝐴 𝐶
Міра кута 𝐴𝐶𝐵 дорівнює
A. 20° B. 35° C. 40° D. 70°
EMAU-P0_100
ЧЕРНЕТКА (не підлягає оцінюванню)
EMAU-P0_100
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
C BOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 221 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAU-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Дано трикутник 𝐴𝐵𝐶 , 𝐵
у якого |𝐵𝐶| = 6. Міра кута 𝐴𝐶𝐵
дорівнює 150° (дивись рисунок).
6
150°
𝐶 𝐴
Висота трикутника 𝐴𝐵𝐶 , проведена з вершини 𝐵, дорівнює
A. 3 B. 4 C. 3√3 D. 4√3
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A BOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 231 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAU-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
1
Дано пряму 𝑘 , описану рівнянням 𝑦 = − 𝑥 + 2.
3
Пряма, описана рівнянням 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, паралельна до прямої 𝑘 і проходить через
точку 𝑃 = (3, 5), коли
1
A. 𝑎 = 3 i 𝑏 = 4. B. 𝑎 = − i 𝑏 = 4.
3
1
C. 𝑎 = 3 i 𝑏 = −4. D. 𝑎 = − i 𝑏 = 6.
3
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
D BOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 241 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAU-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Дано точки 𝐾 = (−3, −7) та 𝑆 = (5, 3). Точка 𝑆 є серединою відрізка 𝐾𝐿. Тоді
точка 𝐿 має координати
A. (13, 10) B. (13, 13)
C. (1, −2) D. (7, −1)
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
B AOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 251 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAU-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Дано пряму, описану рівнянням 𝑦 = 2𝑥 − 3. Образом цієї прямої при центральній
симетрії відносно початку системи координат є пряма, описана рівнянням
A. 𝑦 = 2𝑥 + 3 B. 𝑦 = −2𝑥 − 3
C. 𝑦 = −2𝑥 + 3 D. 𝑦 = 2𝑥 − 3
EMAU-P0_100
ЧЕРНЕТКА (не підлягає оцінюванню)
EMAU-P0_100
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A DOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 261 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAU-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Дано правильну чотирикутну призму, довжина ребра основи якої дорівнює 15.
√2
Діагональ призми нахилена до площини основи під кутом 𝛼 , причому cos 𝛼 = .
3
Довжина діагоналі цієї призми дорівнює
A. 15√2 B. 45 C. 5√2 D. 10
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
B DOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 271 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAU-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Середнє арифметичне чисел 𝑥 , 𝑦, 𝑧 дорівнює 4.
Середнє арифметичне чотирьох чисел: 1 + 𝑥 , 2 + 𝑦, 3 + 𝑧, 14, дорівнює
A. 6 B. 9 C. 8 D. 13
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
C BOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 281 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAU-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Усіх п’ятицифрових натуральних чисел, у десятковому записі яких виступають лише
цифри 0, 5, 7 (наприклад, 57 075, 55 555), є
A. 53 B. 2 ⋅ 43 C. 2 ⋅ 34 D. 35
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
C DOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 291 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAU-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
У певній правильній піраміді відношення кількості 𝑊 усіх вершин до кількості 𝐾 усіх
𝑊 3
граней дорівнює = .
𝐾 5
Основою цієї піраміди є
A. квадрат. B. правильний п’ятикутник.
C. правильний шестикутник. D. правильний семикутник.
EMAU-P0_100
ЧЕРНЕТКА (не підлягає оцінюванню)
EMAU-P0_100
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
B B
ZADANIA OTWARTE
Uwagi ogólne:
1. Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki
zadania.
2. Jeżeli zdający poprawnie rozwiąże zadanie i otrzyma poprawny wynik, lecz w końcowym
zapisie przekształca ten wynik i popełnia przy tym błąd, to może uzyskać maksymalną
liczbę punktów.
3. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które na żadnym etapie rozwiązania nie
upraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę
i konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może
otrzymać co najwyżej (𝑛 − 1) punktów (gdzie 𝑛 jest maksymalną możliwą do uzyskania
liczbą punktów za dane zadanie).Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 302 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAU-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Розв’яжи нерівність
𝑥(𝑥 − 2) > 2𝑥 2 − 3
EMAU-P0_100
Pokaż odpowiedź
Zapisujemy nierówność w postaci −𝑥 2 − 2𝑥 + 3 > 0 i obliczamy pierwiastki trójmianu
−𝑥 2 − 2𝑥 + 3.
Obliczamy wyróżnik trójmianu: Δ = 16
i obliczamy jego pierwiastki: 𝑥1 = −3 oraz 𝑥2 = 1
ALBO
podajemy pierwiastki trójmianu bezpośrednio, zapisując je lub zaznaczając je na wykresie:
𝑥1 = −3 oraz 𝑥2 = 1.
Podajemy zbiór rozwiązań nierówności: (−3, 1) lub 𝑥 ∈ (−3, 1), lub zaznaczamy zbiór
rozwiązań na osi liczbowej:
−3 1
𝑥Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 2 pkt – spełnienie jednego z warunków określonych w zasadach oceniania za 1 pkt oraz
zapisanie zbioru rozwiązań nierówności: (−3, 1) lub 𝑥 ∈ (−3, 1)
ALBO
– spełnienie jednego z warunków określonych w zasadach oceniania za 1 pkt oraz
przedstawienie zbioru rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie
zaznaczonymi końcami przedziałów
−3 1
𝑥
1 pkt – obliczenie lub podanie pierwiastków trójmianu kwadratowego −𝑥 2 − 2𝑥 + 3:
𝑥1 = 1 oraz 𝑥2 = −3
ALBO
– odczytanie z wykresu funkcji 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 − 2𝑥 + 3 i zapisanie miejsc zerowych
𝑥1 = 1 oraz 𝑥2 = −3.
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający, realizując pierwszy etap rozwiązania zadania, popełni błędy (ale otrzyma
dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionych błędów zapisze zbiór rozwiązań
nierówności, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
2. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy błędnie
obliczony przez zdającego wyróżnik 𝛥 jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe
rozwiązanie.
3. Jeżeli zdający, rozpoczynając realizację pierwszego etapu rozwiązania, rozpatruje inny niż
podany w zadaniu trójmian kwadratowy, który nie wynika z błędu przekształcenia (np.
𝑥 2 − 2𝑥 ), i w konsekwencji rozpatruje inną nierówność (np. 𝑥 2 − 2𝑥 > 0), to oznacza, że
nie podjął realizacji 1. etapu rozwiązania i otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
4. Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci 𝑎 + 𝑏√𝑐, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 są
liczbami wymiernymi.
5. Jeżeli zdający poda zbiór rozwiązań w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi
końcami przedziałów oraz zapisze: 𝑥 ∈ ⟨−3, 1⟩, to otrzymuje 1 punkt za całe
rozwiązanie.
Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności
w postaci (1, −3), to otrzymuje 2 punkty.
Zadanie 312 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAU-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Пан Станіслав сплатив позику у розмірі 8910 зл за вісімнадцять платежів. Кожен
наступний платіж був менший ніж попередній на 30 зл.
Обчисли розмір першого платежу.
EMAU-P0_100
Pokaż odpowiedź
Sposób I
Kolejne raty tworzą ciąg arytmetyczny, w którym 𝑆18 = 8910 i 𝑟 = −30. Korzystamy ze
wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i otrzymujemy równanie
2𝑎1 + 17 ⋅ (−30)
⋅ 18 = 8910
2
Przekształcając to równanie równoważnie, otrzymujemy
9(2𝑎1 − 510) = 8910
2𝑎1 − 510 = 990
𝑎1 = 750
Pierwsza rata była równa 750 zł.
Sposób II
Przyjmujemy, że kolejne (licząc od końca) raty tworzą ciąg arytmetyczny, w którym
𝑆18 = 8910 i 𝑟 = 30. Korzystamy ze wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu
arytmetycznego i otrzymujemy równanie
2𝑎1 + 17 ⋅ 30
⋅ 18 = 8910
2
Przekształcając to równanie równoważnie, otrzymujemy
9(2𝑎1 + 510) = 8910
2𝑎1 + 510 = 990
𝑎1 = 240
Ostatnia rata była równa 240 zł.
Obliczamy wysokość pierwszej raty
𝑎18 = 240 + 17 ⋅ 30 = 750
Pierwsza rata była równa 750 zł.
Sposób III
Kolejne kwoty, o które pomniejszana jest pierwsza rata, tworzą ciąg arytmetyczny, w którym
różnica jest równa 30. Wtedy osiemnasta rata jest mniejsza od pierwszej raty o kwotę
(18 − 1) ⋅ 30 = 510 zł.
Stąd
𝑎1 + (𝑎1 − 30) + (𝑎1 − 60) + (𝑎1 − 90)+. . . +(𝑎1 − 510) = 8910
18𝑎1 − (30 + 60 + 90+. . . +510) = 8910
gdzie suma siedemnastu liczb 30 + 60 + 90+. . . +510 jest równa
30 + 510
⋅ 17 = 4590
2
Zatem
18𝑎1 − 4590 = 8910
18𝑎1 = 13500
𝑎1 = 750
Pierwsza rata była równa 750 zł.
Sposób IV
Kolejne raty tworzą ciąg arytmetyczny, zatem
𝑎1 + 𝑎18 = 𝑎2 + 𝑎17 = 𝑎3 + 𝑎16 =. . . = 𝑎9 + 𝑎10
Obliczamy wartość pojedynczej sumy
𝑎1 + 𝑎18 = 8910: 9 = 990
Korzystając ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu arytmetycznego, mamy
𝑎1 + 𝑎1 − 17 ⋅ 30 = 990
2𝑎1 = 990 + 510
𝑎1 = 750
Pierwsza rata była równa 750 zł.
Sposób V
Przyjmujemy, że pierwsza rata była równa 1000 zł. Wtedy kolejne raty są równe:
970 zł, 940 zł, … , 490 zł.
Suma wszystkich rat jest równa 13 410 zł i przewyższa kwotę z warunków zadania
o 4500 zł.
Obliczamy, o ile należy zmniejszyć każdą ratę:
4500 ∶ 18 = 250
1000 − 250 = 750
Pierwsza rata była równa 750 zł.
Sposób VI
Kolejne raty są wyrazami osiemnastowyrazowego ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛 ) o różnicy
𝑟 = −30. Obliczymy dowolną ratę (np. dziewiątą), korzystając z własności tego ciągu:
(𝑎9 + 𝑎10 ) ⋅ 9 = 8910 𝑎 + 𝑎10 = 990
{ { 9
𝑎10 = 𝑎9 − 30 𝑎9 − 𝑎10 = 30
2𝑎9 = 1020 𝑎9 = 510
Zatem
𝑎1 = 𝑎9 − 8 ⋅ (−30) = 510 + 240 = 750Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 2 pkt – zastosowanie poprawnej metody i obliczenie pierwszej raty: 750 zł.
1 pkt – zastosowanie wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
i zapisanie równania z niewiadomą 𝑎1 (pierwszą ratą):
2𝑎1 + 17 ⋅ (−30)
⋅ 18 = 8910
2
ALBO
– zastosowanie wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
oraz zapisanie równania z niewiadomą 𝑎1 :
2𝑎1 +17⋅30
⋅ 18 = 8910 i zapisanie, że 𝑎1 jest ostatnią ratą,
2
ALBO
– zapisanie równania
𝑎1 + (𝑎1 − 30) + (𝑎1 − 2 ⋅ 30) + (𝑎1 − 3 ⋅ 30) + ⋯ + (𝑎1 − 17 ⋅ 30) = 8910,
gdzie 𝑎1 jest pierwszą ratą, lub równania
𝑎1 + (𝑎1 + 30) + (𝑎1 + 2 ⋅ 30) + (𝑎1 + 3 ⋅ 30) + ⋯ + (𝑎1 + 17 ⋅ 30) = 8910
(łącznie z zapisem, że 𝑎1 jest ostatnią ratą),
ALBO
– zapisanie zależności między pierwszą (𝑎1 ) i ostatnią ratą (𝑎18 ), np.
𝑎1 + 𝑎18 = 8910 ∶ 9 albo 𝑎18 = 𝑎1 − 17 ⋅ 30 itp.,
ALBO
– rozpatrzenie osiemnastowyrazowego ciągu arytmetycznego o różnicy (−30) lub 30
i zapisanie co najmniej pierwszego oraz ostatniego wyrazu tego ciągu, np.
(𝑥 , 𝑥 − 30, 𝑥 − 60, …, 𝑥 − 510) dla dowolnego 𝑥 (np. jak w sposobie V),
ALBO
– zapisanie układu równań, z którego można obliczyć jedną z rat, np.
𝑎9 +𝑎10
= 495 i 𝑎10 = 𝑎9 − 30.
2
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe
rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.
2. Jeżeli zdający zapisze tylko 750 zł, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
3. Jeżeli zdający rozważa ciąg arytmetyczny o różnicy 𝑟 = 30, obliczy 𝑎1 = 240 i nie
interpretuje 𝑎1 jako ostatniej raty, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe
rozwiązanie.
4. Jeżeli zdający błędnie interpretuje liczbę 8910 jako wyraz ciągu rat, to otrzymuje
0 punktów za całe rozwiązanie.
Zadanie 322 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAU-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Доведи, що для кожного дійсного числа 𝑥 ≠ 1 і для кожного дійсного числа 𝑦
справджується нерівність
𝑥 2 + 𝑦 2 + 5 > 2𝑥 + 4𝑦
EMAU-P0_100
Pokaż odpowiedź
Sposób I
Przekształcamy nierówność 𝑥 2 + 𝑦 2 + 5 > 2𝑥 + 4𝑦 w sposób równoważny:
𝑥 2 − 2𝑥 + 1 + 𝑦 2 − 4𝑦 + 4 > 0
Zauważamy, że lewą stronę nierówności można zapisać w postaci sumy dwóch kwadratów
(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 > 0
Z założenia wiadomo, że 𝑥 ≠ 1, więc (𝑥 − 1)2 jest liczbą dodatnią. Liczba (𝑦 − 2)2 jest
liczbą nieujemną, zatem suma (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 jest liczbą dodatnią.
To należało wykazać.
Sposób II (trójmian kwadratowy zmiennej 𝑥 z parametrem 𝑦)
Przekształcamy równoważnie nierówność 𝑥 2 + 𝑦 2 + 5 > 2𝑥 + 4𝑦 i otrzymujemy
𝑥 2 − 2𝑥 + 𝑦 2 − 4𝑦 + 5 > 0.
Wyrażenie 𝑥 2 − 2𝑥 + (𝑦 2 − 4𝑦 + 5) traktujemy jako trójmian kwadratowy zmiennej 𝑥 .
Obliczamy wyróżnik Δ trójmianu:
Δ = (−2)2 − 4 ⋅ (𝑦 2 − 4𝑦 + 5)
Δ = 4 − 4𝑦 2 + 16𝑦 − 20
Δ = −4(𝑦 2 − 4𝑦 + 4)
Δ = −4(𝑦 − 2)2
Gdy 𝑦 ≠ 2, to Δ < 0 i funkcja kwadratowa 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 + (𝑦 2 − 4𝑦 + 5) zmiennej 𝑥
nie ma miejsc zerowych, a ponieważ współczynnik przy drugiej potędze zmiennej jest
dodatni, więc żaden fragment wykresu funkcji 𝑓 nie leży poniżej osi odciętych. Zatem
funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie.
Gdy 𝑦 = 2, to Δ = 0 i funkcja 𝑓 ma dokładnie jedno miejsce zerowe: 𝑥 = 1. Ponieważ
współczynnik przy drugiej potędze zmiennej jest dodatni, więc żaden fragment wykresu
funkcji 𝑓 nie leży poniżej osi odciętych. Zatem funkcja 𝑓 przyjmuje wartości dodatnie dla
każdego 𝑥 ≠ 1.
Oznacza to, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 ≠ 1 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦
nierówność 𝑥 2 − 2𝑥 + (𝑦 2 − 4𝑦 + 5) > 0 jest prawdziwa.
Zatem nierówność 𝑥 2 + 𝑦 2 + 5 > 2𝑥 + 4𝑦 również jest prawdziwa dla każdej liczby
rzeczywistej 𝑥 ≠ 1 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦. To należało wykazać.
Sposób III (poprzez analizę zbioru wartości dwóch funkcji)
Przekształcamy równoważnie nierówność 𝑥 2 + 𝑦 2 + 5 > 2𝑥 + 4𝑦 do postaci
𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑦), następnie analizujemy zbiory wartości funkcji 𝑓 (określonej dla każdej liczby
rzeczywistej 𝑥 ≠ 1) oraz funkcji 𝑔 (określonej dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦). Takie
przekształcenie równoważne nierówności można wykonać na różne sposoby, np. tak:
𝑥 2 − 2𝑥 + 1 > −𝑦 2 + 4𝑦 − 4 oraz 𝑥 ≠ 1 i 𝑦 ∈ ℝ
Otrzymaną postać nierówności przekształcamy do postaci
(𝑥 − 1)2 > −(𝑦 − 2)2 oraz 𝑥≠1 i 𝑦∈ℝ
Rozważamy funkcje 𝑓 i 𝑔 takie, że
𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)2 dla 𝑥 ≠ 1 oraz 𝑔(𝑦) = −(𝑦 − 2)2 dla 𝑦∈ℝ
Zbiorami wartości tych funkcji są przedziały: 𝑍𝑊𝑓 = (0, +∞) oraz 𝑍𝑊𝑔 = (−∞, 0].
Zauważmy, że każda wartość funkcji 𝑓 jest większa od każdej wartości funkcji 𝑔.
To oznacza, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 ≠ 1 oraz dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦
zachodzi nierówność 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑦).
Zatem nierówność 𝑥 2 + 𝑦 2 + 5 > 2𝑥 + 4𝑦 jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej
𝑥 ≠ 1 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦. To należało wykazać.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 2 pkt – przekształcenie nierówności 𝑥 2 + 𝑦 2 + 5 > 2𝑥 + 4𝑦 do postaci
(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 > 0 oraz powołanie się na założenie i stwierdzenie, że
(𝑥 − 1)2 jest liczbą dodatnią i suma (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 jest liczbą dodatnią
ALBO
– obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 𝑥 2 − 2𝑥 + (𝑦 2 − 4𝑦 + 5)
zmiennej 𝑥 oraz uzasadnienie, że jest on niedodatni, oraz uzasadnienie
prawdziwości nierówności 𝑥 2 + 𝑦 2 + 5 > 2𝑥 + 4𝑦 dla 𝑦 = 2,
ALBO
– obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 𝑦 2 − 4𝑦 + (𝑥 2 − 2𝑥 + 5)
zmiennej 𝑦 oraz uzasadnienie, że ten wyróżnik jest ujemny dla każdego 𝑥 ≠ 1,
ALBO
– przekształcenie nierówności do postaci 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑦) oraz poprawne uzasadnienie
prawdziwości nierówności 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑦) dla każdego 𝑥 ≠ 1 i 𝑦 ∈ ℝ na podstawie
analizy zbiorów wartości obu funkcji.
1 pkt – przekształcenie nierówności 𝑥 2 + 𝑦 2 + 5 > 2𝑥 + 4𝑦 do postaci
(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 > 0
ALBO
– obliczenie wyróżnika Δ trójmianu kwadratowego 𝑥 2 − 2𝑥 + (𝑦 2 − 4𝑦 + 5)
zmiennej 𝑥 oraz przekształcenie tego wyróżnika do postaci Δ = −(2𝑦 − 4)2 bądź
Δ = −4(𝑦 − 2)2 lub (zamiast przekształcenia wyróżnika) zbadanie znaku tego
wyróżnika (np. obliczenie wyróżnika trójmianu −4𝑦 2 + 16𝑦 − 16),
ALBO
– obliczenie wyróżnika Δ trójmianu kwadratowego 𝑦 2 − 4𝑦 + (𝑥 2 − 2𝑥 + 5)
zmiennej 𝑦 oraz przekształcenie tego wyróżnika do postaci Δ = −(2𝑥 − 2)2 bądź
Δ = −4(𝑥 − 1)2 lub (zamiast przekształcenia wyróżnika) zbadanie znaku tego
wyróżnika (np. obliczenie wyróżnika trójmianu −4𝑥 2 + 8𝑥 − 4),
ALBO
– przekształcenie nierówności do postaci 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑦) oraz zbadanie zbioru wartości
jednej z funkcji: 𝑓 albo 𝑔.
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga:
Jeśli zdający sprawdza prawdziwość nierówności tylko dla wybranych wartości 𝑥 i 𝑦, to
otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Zadanie 332 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAU-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Прямокутні трикутники 𝑇1 і 𝑇2 є подібними. Довжини катетів трикутника 𝑇1
дорівнюють 5 i 12. Довжина гіпотенузи трикутника 𝑇2 дорівнює 26.
Обчисли площу трикутника 𝑇2 .
EMAU-P0_100
Pokaż odpowiedź
Sposób I
Długości przyprostokątnych trójkątów 𝑇1 i 𝑇2 oznaczymy odpowiednio jako: 𝑎1 , 𝑏1 oraz
𝑎2 , 𝑏2 . Z podobieństwa trójkątów 𝑇1 i 𝑇2 wynika, że stosunki odpowiednich boków są
równe:
𝑎2 𝑎1
= gdzie 𝑎1 = 12, 𝑏1 = 5
𝑏2 𝑏1
Zatem
𝑎2 12 5
= więc 𝑏2 = 𝑎
𝑏2 5 12 2
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝑇2 mamy:
𝑎22 + 𝑏22 = 262
5 2 2
𝑎22 + ( ) 𝑎2 = 262
12
169 2
𝑎2 = 262
144
144
𝑎2 = √ ⋅ 26 = 24
169
5
Zatem 𝑏2 = ⋅ 24 = 10.
12
Obliczamy pole trójkąta 𝑇2 :
1 1
𝑃2 = ⋅ 𝑎2 ⋅ 𝑏2 = ⋅ 24 ⋅ 10 = 120
2 2
Sposób II
Oznaczamy wierzchołki trójkąta 𝑇1 przez 𝐴, 𝐵, 𝐶 , gdzie 𝐵𝐶 jest przeciwprostokątną tego
trójkąta, |𝐴𝐵| = 12 i |𝐴𝐶| = 5. Oznaczamy wierzchołki trójkąta 𝑇2 przez 𝐷 , 𝐸 , 𝐹 , gdzie
𝐸𝐹 jest przeciwprostokątną tego trójkąta.
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝑇1 mamy 𝐵 𝐸
|𝐴𝐵|2 + |𝐴𝐶|2 = |𝐵𝐶|2
122 + 52 = |𝐵𝐶|2
12
|𝐵𝐶|2 = 169
|𝐵𝐶| = 13 26
𝐶 5 𝐴
Obliczamy skalę podobieństwa trójkąta 𝑇2 do trójkąta 𝑇1 :
|𝐸𝐹| 26
𝑘= = =2
|𝐵𝐶| 13
Obliczamy długości przyprostokątnych trójkąta 𝑇2 :
𝐹 𝐷
|𝐷𝐸| = 2 ⋅ |𝐴𝐵| = 2 ⋅ 12 = 24
|𝐷𝐹| = 2 ⋅ |𝐴𝐶| = 2 ⋅ 5 = 10
Obliczamy pole trójkąta 𝑇2 :
1 1
𝑃2 = ⋅ |𝐷𝐸| ⋅ |𝐷𝐹| = ⋅ 24 ⋅ 10 = 120
2 2
Sposób III
Oznaczamy wierzchołki trójkąta 𝑇1 przez 𝐴, 𝐵, 𝐶 , gdzie 𝐵𝐶 jest przeciwprostokątną tego
trójkąta, |𝐴𝐵| = 12 i |𝐴𝐶| = 5. Oznaczamy wierzchołki trójkąta 𝑇2 przez 𝐷 , 𝐸 , 𝐹 , gdzie
𝐸𝐹 jest przeciwprostokątną tego trójkąta. 𝐵 𝐸
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝑇1 mamy
|𝐴𝐵|2 + |𝐴𝐶|2 = |𝐵𝐶|2
12
2 2 |𝐵𝐶|2
12 + 5 =
|𝐵𝐶|2 = 169 26
𝐶 5 𝐴
|𝐵𝐶| = 13
Obliczamy skalę podobieństwa trójkąta 𝑇2 do trójkąta 𝑇1 :
|𝐸𝐹| 26
𝑘= = =2
|𝐵𝐶| 13
𝐹 𝐷
Obliczamy pole 𝑃1 trójkąta 𝑇1 :
1 1
𝑃1 = ⋅ |𝐴𝐵| ⋅ |𝐴𝐶| = ⋅ 12 ⋅ 5 = 30
2 2
Korzystając z tego, że stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali
podobieństwa, obliczamy pole 𝑃2 trójkąta 𝑇2 :
𝑃2
= 𝑘2
𝑃1
Zatem
𝑃2 = 𝑘 2 ⋅ 𝑃1 = 22 ⋅ 30 = 120Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 2 pkt – poprawna metoda i obliczenie pola trójkąta 𝑇2 : 𝑃2 = 120.
1 pkt – wykorzystanie podobieństwa trójkątów i zapisanie układu równań/równania
pozwalającego obliczyć długości przyprostokątnych trójkąta 𝑇2 , np.
𝑎2 12
= 5 i 𝑎22 + 𝑏22 = 262 , (12𝑥)2 + (5𝑥)2 = 262
𝑏2
ALBO
𝑃1 |𝐵𝐶|
2
𝑃 26 2
– zapisanie stosunku pól trójkątów 𝑇1 i 𝑇2 : = ( ) (lub 2 = ( ) ) oraz
𝑃2 26 𝑃1 |𝐵𝐶|
obliczenie długości odcinka 𝐵𝐶 : |𝐵𝐶| = 13,
ALBO
|𝐸𝐹|
– obliczenie/zapisanie skali podobieństwa trójkątów, np. 𝑘 = =2
|𝐵𝐶|
|𝐵𝐶| 1
(lub 𝑘 = = 2),
|𝐸𝐹|
ALBO
– obliczenie/zapisanie długości przyprostokątnych trójkąta 𝑇2 : 10, 24,
ALBO
– obliczenie długości 𝑐1 przeciwprostokątnej trójkąta 𝑇1 oraz zapisanie układu
równań pozwalającego obliczyć długości 𝑎2 , 𝑏2 przyprostokątnych trójkąta 𝑇2 , np.
13 26 13 26
𝑐1 = 13 i 12 = 𝑎 i 5 = 𝑏 .
2 2
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zadanie 342 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAU-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
У квадраті 𝐴𝐵𝐶𝐷 точки 𝐴 = (−8, −2) та 𝐶 = (0, 4) є кінцями діагоналі. Визнач
рівняння прямої, яка містить діагональ 𝐵𝐷 цього квадрата.
EMAU-P0_100
Pokaż odpowiedź
Ponieważ przekątne w kwadracie dzielą się na połowy, szukamy środka odcinka 𝐴𝐶 :
𝑥𝐴 + 𝑥𝐶 𝑦𝐴 + 𝑦𝐶 −8 + 0 −2 + 4
𝑆=( , )=( , ) = (−4, 1)
2 2 2 2
Korzystając ze wzoru (𝑦 − 𝑦𝐴 )(𝑥𝐶 − 𝑥𝐴 ) − (𝑦𝐶 − 𝑦𝐴 )(𝑥 − 𝑥𝐴 ) = 0, wyznaczamy równanie
prostej 𝐴𝐶 :
(𝑦 − (−2)) (0 − (−8)) − (4 − (−2))(𝑥 − (−8)) = 0
(𝑦 + 2) ⋅ 8 − 6 ⋅ (𝑥 + 8) = 0
8𝑦 = 6𝑥 + 32
3
𝑦= 𝑥+4
4
Prosta zawierająca przekątną 𝐵𝐷 jest prostopadła do prostej 𝐴𝐶 , zatem jej współczynnik
4
kierunkowy jest równy (− ).
3
Obliczamy współczynnik 𝑏 równania kierunkowego prostej 𝐵𝐷 , podstawiając do wzoru
4
𝑦 = − 3 𝑥 + 𝑏 współrzędne punktu 𝑆 = (−4, 1):
4
1 = − ⋅ (−4) + 𝑏
3
13
𝑏=−
3
4 13
Prosta zawierająca przekątną 𝐵𝐷 kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 ma postać 𝑦 = − 𝑥 − .
3 3Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 2 pkt – wyznaczenie i zapisanie równania prostej zawierającej przekątną 𝐵𝐷 (w postaci
4 13
równania stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi) np. 𝑦 = − 𝑥 − .
3 3
1 pkt – obliczenie współrzędnej punktu 𝑆 oraz obliczenie współczynnika kierunkowego
3
prostej 𝐴𝐶 (lub zapisanie równania prostej 𝐴𝐶 ): 𝑆 = (−4, 1) oraz
4
ALBO
4
– wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐵𝐷 : (− ),
3
ALBO
– zapisanie równości |𝑃𝐴| = |𝑃𝐶| wynikającej z własności symetralnej (gdzie 𝑃 jest
punktem leżącym na symetralnej odcinka 𝐴𝐶 ) lub zapisanie równania postaci
√(𝑥 + 8)2 + (𝑦 + 2)2 = √(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 4)2
ALBO
– wyznaczenie współrzędnych punktów 𝐵 i 𝐷 (lub jednego z nich i punktu 𝑆),
z wykorzystaniem punktów kratowych.
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zadanie 352 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAU-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
З восьми кульок, пронумерованих числами 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, двічі вибираємо
з поверненням по одній кульці.
Обчисли ймовірність події 𝐴, яка полягає у тому, що добуток номерів вибраних кульок
є кратним 15.
EMAU-P0_100
Pokaż odpowiedź
Sposób I
Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych obrazuje tabela 8 × 8, co oznacza, że moc zbioru
Ω jest równa 64.
W tabeli zaznaczamy iloczyny podzielne przez 15.
2 3 4 5 6 7 8 9
2
3 ×
4
5 × × ×
6 ×
7
8
9 ×
Zdarzeń sprzyjających wylosowaniu liczb, których iloczyn jest podzielny przez 15, jest 6.
Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn
6
jest podzielny przez 15, jest równe .
64
Sposób II (drzewo stochastyczne)
Rysujemy fragment drzewa stochastycznego rozważanego doświadczenia z uwzględnieniem
wszystkich istotnych gałęzi.
Oznaczamy przez 𝐴 zdarzenie polegające na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest
podzielny przez 15.
1 1 1 1
8 8 8 8
3 5 6 9
1 1 1 1 1 1
8 8 8 8 8 8
5 3 6 9 5 5
Prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6
𝑃(𝐴) = ∙ + ∙ + ∙ + ∙ + ∙ + ∙ =
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 64
Sposób III
Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych Ω to zbiór par uporządkowanych elementów ze
zbioru 8-elementowego, zatem moc zbioru Ω jest równa |Ω| = 8 ⋅ 8 = 64.
Oznaczamy przez 𝐴 zdarzenie polegające na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest
podzielny przez 15.
Wielokrotności liczby 15, które mogą być iloczynami elementów ze zbioru Ω, to 15, 30, 45.
Wyznaczamy iloczyny, które spełniają powyższy warunek:
15 = 3 ⋅ 5 = 5 ⋅ 3 – dwa iloczyny – dwa zdarzenia elementarne: (3, 5) oraz (5, 3),
30 = 6 ⋅ 5 = 5 ⋅ 6 – dwa iloczyny – dwa zdarzenia elementarne: (6, 5) oraz (5, 6),
45 = 9 ⋅ 5 = 5 ⋅ 9 – dwa iloczyny – dwa zdarzenia elementarne: (9, 5) oraz (5, 9).
6
Sprzyjających zdarzeń elementarnych jest 6, więc 𝑃(𝐴) = .
64Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 2 pkt – zastosowanie poprawnej metody obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴
6
i uzyskanie poprawnego wyniku: 𝑃(𝐴) = .
64
1 pkt – wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych lub obliczenie/podanie liczby tych
zdarzeń: |Ω| = 8 ⋅ 8 lub sporządzenie tabeli o 64 polach odpowiadających
zdarzeniom elementarnym, z których co najmniej jedno pole jest wypełnione, lub
sporządzenie pełnego drzewa stochastycznego
ALBO
– wypisanie (zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających
zdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego:
(3, 5), (5, 3), (6, 5), (5, 6), (5, 9), (9, 5),
ALBO
– podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:
|𝐴| = 6, jeśli nie została otrzymana w wyniku zastosowania błędnej metody,
ALBO
– sporządzenie fragmentu drzewa stochastycznego, które zawiera wszystkie gałęzie
1
sprzyjające zdarzeniu 𝐴 oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej
8
jednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,
ALBO
1
– podanie prawdopodobieństwa jednoelementowego zdarzenia (elementarnego): ,
64
ALBO
6
– zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = .
64
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga:
Jeżeli zdający zapisuje tylko liczby 6 lub 64 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych
liczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Zadanie 365 punktówOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAU-P0-100-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Основою прямокутної призми 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 𝐹 𝐸
є рівнобедрений трикутник 𝐴𝐵𝐶 , у якому |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|,
|𝐴𝐵| = 8. Довжина висоти трикутника 𝐴𝐵𝐶 , проведеної
з вершини 𝐶 , дорівнює 3. Діагональ 𝐶𝐸 бічної грані та 𝐷
ребро 𝐶𝐵 основи 𝐴𝐵𝐶 утворюють кут 60° (дивись
рисунок).
60°
𝐶 𝐵
3
8
𝐴
Обчисли площу повної поверхні й об’єм цієї призми.
EMAU-P0_100
EMAU-P0_100
ЧЕРНЕТКА (не підлягає оцінюванню)
EMAU-P0_100
EMAU-P0_100
EMAU-P0_100
МАТЕМАТИКА
Базовий рівень
Формула 2015
МАТЕМАТИКА
Базовий рівень
Формула 2015
МАТЕМАТИКА
Базовий рівень
Формула 2015
Pokaż odpowiedź
Wprowadzamy oznaczenia jak na rysunku.
Oznaczamy ℎ𝑝 – wysokość podstawy graniastosłupa, poprowadzona z wierzchołka 𝐶 .
Podstawą graniastosłupa jest trójkąt równoramienny o wysokości ℎ𝑝 = 3 i długości
podstawy 𝑎 = |𝐴𝐵| = 8.
1
Obliczamy pole podstawy graniastosłupa 𝑃𝑝 = ∙ 3 ∙ 8 = 12.
2
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy długość 𝐹 𝐸
krawędzi 𝐵𝐶 :
1 2 2 𝐷
( 𝑎) + (ℎ𝑝 ) = |𝐵𝐶|2
2
16 + 9 = |𝐵𝐶|2
|𝐵𝐶|2 = 25 𝐻
|𝐵𝐶| = 5
Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznej tangens
dla kąta 𝐵𝐶𝐸 , obliczamy wysokość 𝐻 (długość krawędzi 𝐵𝐸 )
graniastosłupa:
60°
𝐻 𝐶 𝐵
tg 60° = 3
|𝐵𝐶| ℎ𝑝
8
𝐻 𝐴
√3 =
5
Zatem 𝐻 = 5√3.
Obliczamy pole powierzchni całkowitej graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 :
1
𝑃 = 𝑃𝑏 + 2𝑃𝑝 = 2 ∙ 𝐻 ∙ |𝐵𝐶| + |𝐴𝐵| ∙ 𝐻 + 2 ∙ ∙ |𝐴𝐵| ∙ ℎ𝑝 = 2 ∙ 5√3 ∙ 5 + 8 ∙ 5√3 + 2 ∙ 12
2
𝑃 = 24 + 90√3
Obliczamy objętość 𝑉 graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 :
𝑉 = 𝑃𝑝 ∙ 𝐻 = 12 ∙ 5√3 = 60√3
Ocena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią
Obowiązują Zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez
stwierdzonej dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:
a) ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną
dyskalkulią (punkty 1.–12.);
b) dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy
osób ze stwierdzoną dyskalkulią – egzamin maturalny z matematyki, poziom podstawowy,
termin główny 2023.
I. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną
dyskalkulią
1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:
• błędnego przepisania
• przestawienia cyfr
• zapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie
• przestawienia położenia przecinka.
2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu
oddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza
umiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania
badanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.
3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę rozwiązania,
części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej 1 punkt, zgodnie
z kryteriami do poszczególnych zadań.
4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub zapisuje
nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne rozumowanie lub
stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt za rozwiązanie
zadania.
5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu
kwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę
wyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania
wartościach liczbowych.
6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający
może otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności
kwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.
7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej zdający
może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji kwadratowej,
istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.
8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych
lub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie
takiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.
9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na
płaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu
rozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur
geometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.
10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać
przynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających
rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje prawidłową metodę
wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.
11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli
podaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia
rozwiązania.
12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub
geometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która
wyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać
1 punkt.
II. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób
ze stwierdzoną dyskalkulią
1 pkt – zastosowanie poprawnej metody obliczenia pierwiastków trójmianu kwadratowego
−𝑥 2 − 2𝑥 + 3, tzn. zastosowanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego
i obliczenie tych pierwiastków
ALBO
– konsekwentne (do otrzymanego w wyniku popełnienia błędów o charakterze
dyskalkulicznym ujemnego wyróżnika) narysowanie paraboli,
ALBO
– poprawne rozwiązanie nierówności 𝑥 2 − 2𝑥 > 0 (tzn. stosuje się punkt 6. ogólnych
zasad oceniania),
ALBO
– konsekwentne (do wyznaczonych przez siebie pierwiastków oraz rozpatrywanego
trójmianu i nierówności) wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający, rozwiązując nierówność, pomyli porządek liczb na osi liczbowej i zapisze
zbiór rozwiązań nierówności w postaci (1, −3), to może otrzymać 2 punkty za całe
rozwiązanie.
2. Nie stosuje się uwag 2. i 3. z zasad oceniania arkusza standardowego.
Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.
Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.
1 pkt – obliczenie długości 𝑐1 przeciwprostokątnej trójkąta 𝑇1 oraz wykorzystanie
podobieństwa trójkątów i zapisanie związku między długościami przyprostokątnych
𝑎 12
trójkąta 𝑇2 : 𝑐1 = 13 i 2 =
𝑏2 5
ALBO
– obliczenie długości 𝑐1 przeciwprostokątnej trójkąta 𝑇1 oraz zapisanie równania
pozwalającego obliczyć długość jednej z przyprostokątnych trójkąta 𝑇2 , np.
13 26 13 26
𝑐1 = 13 i 12 = 𝑎 , 𝑐1 = 13 i 5 = 𝑏 .
2 2
1 pkt – obliczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐴𝐶 (lub zapisanie równania
3
prostej 𝐴𝐶 ): .
4
1 pkt – zapisanie jedynie liczby 64 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich
zdarzeń elementarnych).
Uwagi:
1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi ze
standardowych zasad oceniania.
2. Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające
zdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (|𝐴| = 5) i konsekwentnie zapisze
5
wynik , to otrzymuje 2 punkty.
64
Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 5 pkt – obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 : 𝑃 = 24 + 90√3
oraz obliczenie objętości graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 : 𝑉 = 60√3.
4 pkt – obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 : 𝑃 = 24 + 90√3
ALBO
– obliczenie objętości graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 : 𝑉 = 60√3.
3 pkt – obliczenie pola podstawy graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 : 𝑃𝑝 = 12 oraz obliczenie
wysokości 𝐻 graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 : 𝐻 = 5√3.
2 pkt – obliczenie długości krawędzi 𝐵𝐶 podstawy graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 : |𝐵𝐶| = 5
oraz obliczenie pola podstawy graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 : 𝑃𝑝 = 12
ALBO
– obliczenie wysokości 𝐻 graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 : 𝐻 = 5√3.
1 pkt – obliczenie długości krawędzi 𝐵𝐶 podstawy graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 : |𝐵𝐶| = 5
ALBO
– obliczenie pola podstawy graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 : 𝑃𝑝 = 12.
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający, obliczając pole powierzchni całkowitej, przyjmuje, że:
a) wszystkie ściany boczne są przystającymi prostokątami
lub
b) graniastosłup ma 4 ściany boczne,
lub
c) graniastosłup ma jedną podstawę,
ale poprawnie obliczy objętość graniastosłupa, to może otrzymać 4 punkty za całe
rozwiązanie.
2. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:
a) zastosowanie niepoprawnej definicji jednej funkcji trygonometrycznej
b) błędne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa
c) zastosowanie niepoprawnej tożsamości √𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑥 + 𝑦
d) zinterpretowanie trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jako równoramiennego (ale nie równobocznego),
w którym |𝐴𝐵| = |𝐵𝐶| = 8
i rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający otrzymuje
3 punkty za całe rozwiązanie.
3. Jeżeli zdający przyjmuje, że podstawa graniastosłupa jest trójkątem równobocznym i na
tym opiera całe swoje rozwiązanie, to otrzymuje 0 punktów (o ile nie nabył praw do innej
punktacji).
Wersja arkusza
EMAP-P0-660-2305 · Formuła 2015
Zadanie 11 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-660-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Liczba log927+log93 jest równa
A. 81
B. 9
C. 4
D. 2
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
D DOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 21 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-660-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Liczba 3-2716⋅32 jest równa
A. -32
B. 32
C. 23
D. -23
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A COdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 31 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-660-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Cenę aparatu fotograficznego obniżono o 15%, a następnie – o 20% w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie. Po tych dwóch obniżkach aparat kosztuje 340 zł.
Przed obiema obniżkami cena tego aparatu była równa
A. 500 zł
B. 425 zł
C. 400 zł
D. 375 zł
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A AOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 41 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-660-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Dla każdej liczby rzeczywistej a wyrażenie
2a-32-2a+32
jest równe
A. -24a
B. 0
C. 18
D. 16a2-24a
-1364237-14478001
1
0
y
x
−1
2
2
001
1
0
y
x
−1
2
2
\s
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A BOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 51 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-660-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Na rysunku przedstawiono interpretację geometryczną jednego z zapisanych układów równań.
Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest
A. y=-x+2y=-2x+1
B. y=x-2y=-2x-1
C. y=x-2y=2x+1
D. y=-x+2y=2x-1
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
D AOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 61 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-660-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności
-2x+3≤2-x3
jest przedział
A. -∞, -4
B. -∞, 4
C. -4, ∞
D. 4, ∞
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
C AOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 71 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-660-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Jednym z rozwiązań równania
3x2-2x+3=0
jest liczba
A. 3
B. 2
C. 3
D. 2
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
D COdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 81 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-660-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Równanie
x+1x-12x-1x+12=0
w zbiorze liczb rzeczywistych
A. nie ma rozwiązania.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: -1.
C. ma dokładnie jedno rozwiązanie: 1.
D. ma dokładnie dwa rozwiązania: -1 oraz 1.
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A AOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 91 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-660-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Miejscem zerowym funkcji liniowej f(x)=2p-1x+p jest liczba -4.
Wtedy p jest równe
A. 49
B. 47
C. -4
D. -47
-717550-9010650
y
x
1
1
00
y
x
1
1
\s
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
B DOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 101 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-660-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Funkcja liniowa f jest określona wzorem fx=ax+b, gdzie a i b są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji f w układzie współrzędnych x, y.
Liczba a oraz liczba b we wzorze funkcji f spełniają warunki:
A. a>0 i b>0.
B. a>0 i b<0.
C. a<0 i b>0.
D. a<0 i b<0.
Informacja do zadań 11. –13.
W układzie współrzędnych (x, y) narysowano wykres funkcji y=f(x).
-4445186055y
5
2
3
x
1
1
−3
−3
−6
00y
5
2
3
x
1
1
−3
−3
−6
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
C AOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 111 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-660-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Dziedziną funkcji f jest zbiór
A. -6, 3
B. (-6, 3)
C. -3, 3
D.-3, 3
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A COdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 121 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-660-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Funkcja f jest malejąca w zbiorze
A. (1, 3⟩
B. -3, 3
C. (-3,1⟩
D. ⟨-6, -3⟩
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
D COdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 131 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-660-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Największa wartość funkcji f w przedziale -6, 1 jest równa
A. 0
B. 1
C. 2
D. 5
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
C BOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 141 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-660-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej f jest liczba -5. Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji f, jest równa 3.
Drugim miejscem zerowym funkcji f jest liczba
A. 11
B. 1
C. -1
D. -13
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A COdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 151 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-660-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Ciąg (an) jest określony wzorem an=2n⋅n+1 dla każdej liczby naturalnej n≥1.
Wyraz a4 jest równy
A. 64
B. 40
C. 48
D. 80
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
D AOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 161 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-660-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Trzywyrazowy ciąg 27, 9, a-1 jest geometryczny.
Liczba a jest równa
A. 3
B. 0
C. 4
D. 2
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
C DOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 171 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-660-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
W układzie współrzędnych zaznaczono kąt α o wierzchołku w punkcie O=0, 0. Jedno z ramion tego kąta pokrywa się z dodatnią półosią Ox, a drugie przechodzi przez
punkt P=-3, 1 (jak na rysunku).
Tangens kąta α jest równy
A. 110
B. -310
C. -31
D. -13
left450851
−3
y
x
α
O
2
1
001
−3
y
x
α
O
2
1
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
D BOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 181 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-660-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Dla każdego kąta ostrego α wyrażenie
sin4α +sin2α ⋅cos2α
jest równe
A. sin2α
B. sin6α ⋅cos2α
C. sin4α+1
D. sin2α⋅sinα+cosα⋅sinα-cosα
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A COdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 191 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-660-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Punkty A, B, C leżą na okręgu o środku w punkcie O. Kąt ACO ma miarę 50° (jak na rysunku).
Miara kąta ostrego ABC jest równa
A. 80°
B. 40°
10604529210B
C
O
A
00B
C
O
A
C. 25°
D. 15°
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
B COdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 201 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-660-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
W rombie o boku długości 62 kąt rozwarty ma miarę 150°.
Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy
A. 24
B. 72
C. 36
D. 362
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
B DOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 211 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-660-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Przez punkty A i B, leżące na okręgu o środku O, poprowadzono proste styczne do tego okręgu, przecinające się w punkcie C (jak na rysunku). Kąt środkowy AOB=α ma miarę 140°.
Miara kąta ACB jest równa
A. 20°
B. 35°
C. 40°
042766A
C
B
O
α
A
C
B
O
α
D. 70°
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
C BOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 221 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-660-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Dany jest trójkąt ABC, w którym |BC|=6. Miara kąta ACB jest równa 150° (jak na rysunku).
Wysokość trójkąta ABC opuszczona z wierzchołka B jest równa
A. 3
B. 4
C. 33
D. 43
left57785B
A
C
6
00B
A
C
6
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A BOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 231 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-660-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Dana jest prosta k o równaniu y=-13x+2.
Prosta o równaniu y=ax+b jest równoległa do prostej k i przechodzi przez
punkt P=(3, 5), gdy
A. a=3 i b=4.
B. a=-13 i b=4.
C. a=3 i b=-4.
D. a=-13 i b=6.
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
D BOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 241 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-660-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Dane są punkty K=-3, -7 oraz S=5, 3. Punkt S jest środkiem odcinka KL.
Wtedy punkt L ma współrzędne
A. 13, 10
B. 13, 13
C. 1,-2
D. 7, -1
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
B AOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 251 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-660-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Dana jest prosta o równaniu y=2x-3.
Obrazem tej prostej w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych jest prosta o równaniu
A. y=2x+3
B. y=-2x-3
C. y=-2x+3
D. y=2x-3
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A DOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 261 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-660-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość 15. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α takim, że cosα=23 .
Długość przekątnej tego graniastosłupa jest równa
A. 152
B. 45
C. 52
D. 10
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
B DOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 271 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-660-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Średnia arytmetyczna liczb x, y, z jest równa 4.
Średnia arytmetyczna czterech liczb: 1+x, 2+y, 3+z, 14, jest równa
A. 6
B. 9
C. 8
D. 13
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
C BOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 281 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-660-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry 0, 5, 7 (np. 57075, 55555), jest
A. 53
B. 2⋅43
C. 2⋅34
D. 35
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
C DOdpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 291 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-660-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
W pewnym ostrosłupie prawidłowym stosunek liczby W wszystkich wierzchołków do liczby K wszystkich krawędzi jest równy WK=35 .
Podstawą tego ostrosłupa jest
A. kwadrat.
B. pięciokąt foremny.
C. sześciokąt foremny.
D. siedmiokąt foremny.
W zadaniach od 30. do 36. zapisz rozwiązania. Pamiętaj o podaniu numeru zadania.
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
B B
ZADANIA OTWARTE
Uwagi ogólne:
1. Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki
zadania.
2. Jeżeli zdający poprawnie rozwiąże zadanie i otrzyma poprawny wynik, lecz w końcowym
zapisie przekształca ten wynik i popełnia przy tym błąd, to może uzyskać maksymalną
liczbę punktów.
3. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które na żadnym etapie rozwiązania nie
upraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę
i konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może
otrzymać co najwyżej (𝑛 − 1) punktów (gdzie 𝑛 jest maksymalną możliwą do uzyskania
liczbą punktów za dane zadanie).Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 302 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-660-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Rozwiąż nierówność
x(x-2)>2x2-3
Pokaż odpowiedź
Zapisujemy nierówność w postaci −𝑥 2 − 2𝑥 + 3 > 0 i obliczamy pierwiastki trójmianu
−𝑥 2 − 2𝑥 + 3.
Obliczamy wyróżnik trójmianu: Δ = 16
i obliczamy jego pierwiastki: 𝑥1 = −3 oraz 𝑥2 = 1
ALBO
podajemy pierwiastki trójmianu bezpośrednio, zapisując je lub zaznaczając je na wykresie:
𝑥1 = −3 oraz 𝑥2 = 1.
Podajemy zbiór rozwiązań nierówności: (−3, 1) lub 𝑥 ∈ (−3, 1), lub zaznaczamy zbiór
rozwiązań na osi liczbowej:
−3 1
𝑥Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 2 pkt – spełnienie jednego z warunków określonych w zasadach oceniania za 1 pkt oraz
zapisanie zbioru rozwiązań nierówności: (−3, 1) lub 𝑥 ∈ (−3, 1)
ALBO
– spełnienie jednego z warunków określonych w zasadach oceniania za 1 pkt oraz
przedstawienie zbioru rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie
zaznaczonymi końcami przedziałów
−3 1
𝑥
1 pkt – obliczenie lub podanie pierwiastków trójmianu kwadratowego −𝑥 2 − 2𝑥 + 3:
𝑥1 = 1 oraz 𝑥2 = −3
ALBO
– odczytanie z wykresu funkcji 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 − 2𝑥 + 3 i zapisanie miejsc zerowych
𝑥1 = 1 oraz 𝑥2 = −3.
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający, realizując pierwszy etap rozwiązania zadania, popełni błędy (ale otrzyma
dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionych błędów zapisze zbiór rozwiązań
nierówności, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
2. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy błędnie
obliczony przez zdającego wyróżnik 𝛥 jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe
rozwiązanie.
3. Jeżeli zdający, rozpoczynając realizację pierwszego etapu rozwiązania, rozpatruje inny niż
podany w zadaniu trójmian kwadratowy, który nie wynika z błędu przekształcenia (np.
𝑥 2 − 2𝑥 ), i w konsekwencji rozpatruje inną nierówność (np. 𝑥 2 − 2𝑥 > 0), to oznacza, że
nie podjął realizacji 1. etapu rozwiązania i otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
4. Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci 𝑎 + 𝑏√𝑐, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 są
liczbami wymiernymi.
5. Jeżeli zdający poda zbiór rozwiązań w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi
końcami przedziałów oraz zapisze: 𝑥 ∈ ⟨−3, 1⟩, to otrzymuje 1 punkt za całe
rozwiązanie.
Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności
w postaci (1, −3), to otrzymuje 2 punkty.
Zadanie 312 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-660-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości 8910 zł w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o 30 zł.
Oblicz kwotę pierwszej raty.
Pokaż odpowiedź
Sposób I
Kolejne raty tworzą ciąg arytmetyczny, w którym 𝑆18 = 8910 i 𝑟 = −30. Korzystamy ze
wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i otrzymujemy równanie
2𝑎1 + 17 ⋅ (−30)
⋅ 18 = 8910
2
Przekształcając to równanie równoważnie, otrzymujemy
9(2𝑎1 − 510) = 8910
2𝑎1 − 510 = 990
𝑎1 = 750
Pierwsza rata była równa 750 zł.
Sposób II
Przyjmujemy, że kolejne (licząc od końca) raty tworzą ciąg arytmetyczny, w którym
𝑆18 = 8910 i 𝑟 = 30. Korzystamy ze wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu
arytmetycznego i otrzymujemy równanie
2𝑎1 + 17 ⋅ 30
⋅ 18 = 8910
2
Przekształcając to równanie równoważnie, otrzymujemy
9(2𝑎1 + 510) = 8910
2𝑎1 + 510 = 990
𝑎1 = 240
Ostatnia rata była równa 240 zł.
Obliczamy wysokość pierwszej raty
𝑎18 = 240 + 17 ⋅ 30 = 750
Pierwsza rata była równa 750 zł.
Sposób III
Kolejne kwoty, o które pomniejszana jest pierwsza rata, tworzą ciąg arytmetyczny, w którym
różnica jest równa 30. Wtedy osiemnasta rata jest mniejsza od pierwszej raty o kwotę
(18 − 1) ⋅ 30 = 510 zł.
Stąd
𝑎1 + (𝑎1 − 30) + (𝑎1 − 60) + (𝑎1 − 90)+. . . +(𝑎1 − 510) = 8910
18𝑎1 − (30 + 60 + 90+. . . +510) = 8910
gdzie suma siedemnastu liczb 30 + 60 + 90+. . . +510 jest równa
30 + 510
⋅ 17 = 4590
2
Zatem
18𝑎1 − 4590 = 8910
18𝑎1 = 13500
𝑎1 = 750
Pierwsza rata była równa 750 zł.
Sposób IV
Kolejne raty tworzą ciąg arytmetyczny, zatem
𝑎1 + 𝑎18 = 𝑎2 + 𝑎17 = 𝑎3 + 𝑎16 =. . . = 𝑎9 + 𝑎10
Obliczamy wartość pojedynczej sumy
𝑎1 + 𝑎18 = 8910: 9 = 990
Korzystając ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu arytmetycznego, mamy
𝑎1 + 𝑎1 − 17 ⋅ 30 = 990
2𝑎1 = 990 + 510
𝑎1 = 750
Pierwsza rata była równa 750 zł.
Sposób V
Przyjmujemy, że pierwsza rata była równa 1000 zł. Wtedy kolejne raty są równe:
970 zł, 940 zł, … , 490 zł.
Suma wszystkich rat jest równa 13 410 zł i przewyższa kwotę z warunków zadania
o 4500 zł.
Obliczamy, o ile należy zmniejszyć każdą ratę:
4500 ∶ 18 = 250
1000 − 250 = 750
Pierwsza rata była równa 750 zł.
Sposób VI
Kolejne raty są wyrazami osiemnastowyrazowego ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛 ) o różnicy
𝑟 = −30. Obliczymy dowolną ratę (np. dziewiątą), korzystając z własności tego ciągu:
(𝑎9 + 𝑎10 ) ⋅ 9 = 8910 𝑎 + 𝑎10 = 990
{ { 9
𝑎10 = 𝑎9 − 30 𝑎9 − 𝑎10 = 30
2𝑎9 = 1020 𝑎9 = 510
Zatem
𝑎1 = 𝑎9 − 8 ⋅ (−30) = 510 + 240 = 750Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 2 pkt – zastosowanie poprawnej metody i obliczenie pierwszej raty: 750 zł.
1 pkt – zastosowanie wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
i zapisanie równania z niewiadomą 𝑎1 (pierwszą ratą):
2𝑎1 + 17 ⋅ (−30)
⋅ 18 = 8910
2
ALBO
– zastosowanie wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
oraz zapisanie równania z niewiadomą 𝑎1 :
2𝑎1 +17⋅30
⋅ 18 = 8910 i zapisanie, że 𝑎1 jest ostatnią ratą,
2
ALBO
– zapisanie równania
𝑎1 + (𝑎1 − 30) + (𝑎1 − 2 ⋅ 30) + (𝑎1 − 3 ⋅ 30) + ⋯ + (𝑎1 − 17 ⋅ 30) = 8910,
gdzie 𝑎1 jest pierwszą ratą, lub równania
𝑎1 + (𝑎1 + 30) + (𝑎1 + 2 ⋅ 30) + (𝑎1 + 3 ⋅ 30) + ⋯ + (𝑎1 + 17 ⋅ 30) = 8910
(łącznie z zapisem, że 𝑎1 jest ostatnią ratą),
ALBO
– zapisanie zależności między pierwszą (𝑎1 ) i ostatnią ratą (𝑎18 ), np.
𝑎1 + 𝑎18 = 8910 ∶ 9 albo 𝑎18 = 𝑎1 − 17 ⋅ 30 itp.,
ALBO
– rozpatrzenie osiemnastowyrazowego ciągu arytmetycznego o różnicy (−30) lub 30
i zapisanie co najmniej pierwszego oraz ostatniego wyrazu tego ciągu, np.
(𝑥 , 𝑥 − 30, 𝑥 − 60, …, 𝑥 − 510) dla dowolnego 𝑥 (np. jak w sposobie V),
ALBO
– zapisanie układu równań, z którego można obliczyć jedną z rat, np.
𝑎9 +𝑎10
= 495 i 𝑎10 = 𝑎9 − 30.
2
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe
rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.
2. Jeżeli zdający zapisze tylko 750 zł, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
3. Jeżeli zdający rozważa ciąg arytmetyczny o różnicy 𝑟 = 30, obliczy 𝑎1 = 240 i nie
interpretuje 𝑎1 jako ostatniej raty, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe
rozwiązanie.
4. Jeżeli zdający błędnie interpretuje liczbę 8910 jako wyraz ciągu rat, to otrzymuje
0 punktów za całe rozwiązanie.
Zadanie 322 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-660-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x≠1 i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność
x2+y2 +5>2x+4y
Pokaż odpowiedź
Sposób I
Przekształcamy nierówność 𝑥 2 + 𝑦 2 + 5 > 2𝑥 + 4𝑦 w sposób równoważny:
𝑥 2 − 2𝑥 + 1 + 𝑦 2 − 4𝑦 + 4 > 0
Zauważamy, że lewą stronę nierówności można zapisać w postaci sumy dwóch kwadratów
(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 > 0
Z założenia wiadomo, że 𝑥 ≠ 1, więc (𝑥 − 1)2 jest liczbą dodatnią. Liczba (𝑦 − 2)2 jest
liczbą nieujemną, zatem suma (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 jest liczbą dodatnią.
To należało wykazać.
Sposób II (trójmian kwadratowy zmiennej 𝑥 z parametrem 𝑦)
Przekształcamy równoważnie nierówność 𝑥 2 + 𝑦 2 + 5 > 2𝑥 + 4𝑦 i otrzymujemy
𝑥 2 − 2𝑥 + 𝑦 2 − 4𝑦 + 5 > 0.
Wyrażenie 𝑥 2 − 2𝑥 + (𝑦 2 − 4𝑦 + 5) traktujemy jako trójmian kwadratowy zmiennej 𝑥 .
Obliczamy wyróżnik Δ trójmianu:
Δ = (−2)2 − 4 ⋅ (𝑦 2 − 4𝑦 + 5)
Δ = 4 − 4𝑦 2 + 16𝑦 − 20
Δ = −4(𝑦 2 − 4𝑦 + 4)
Δ = −4(𝑦 − 2)2
Gdy 𝑦 ≠ 2, to Δ < 0 i funkcja kwadratowa 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 + (𝑦 2 − 4𝑦 + 5) zmiennej 𝑥
nie ma miejsc zerowych, a ponieważ współczynnik przy drugiej potędze zmiennej jest
dodatni, więc żaden fragment wykresu funkcji 𝑓 nie leży poniżej osi odciętych. Zatem
funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie.
Gdy 𝑦 = 2, to Δ = 0 i funkcja 𝑓 ma dokładnie jedno miejsce zerowe: 𝑥 = 1. Ponieważ
współczynnik przy drugiej potędze zmiennej jest dodatni, więc żaden fragment wykresu
funkcji 𝑓 nie leży poniżej osi odciętych. Zatem funkcja 𝑓 przyjmuje wartości dodatnie dla
każdego 𝑥 ≠ 1.
Oznacza to, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 ≠ 1 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦
nierówność 𝑥 2 − 2𝑥 + (𝑦 2 − 4𝑦 + 5) > 0 jest prawdziwa.
Zatem nierówność 𝑥 2 + 𝑦 2 + 5 > 2𝑥 + 4𝑦 również jest prawdziwa dla każdej liczby
rzeczywistej 𝑥 ≠ 1 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦. To należało wykazać.
Sposób III (poprzez analizę zbioru wartości dwóch funkcji)
Przekształcamy równoważnie nierówność 𝑥 2 + 𝑦 2 + 5 > 2𝑥 + 4𝑦 do postaci
𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑦), następnie analizujemy zbiory wartości funkcji 𝑓 (określonej dla każdej liczby
rzeczywistej 𝑥 ≠ 1) oraz funkcji 𝑔 (określonej dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦). Takie
przekształcenie równoważne nierówności można wykonać na różne sposoby, np. tak:
𝑥 2 − 2𝑥 + 1 > −𝑦 2 + 4𝑦 − 4 oraz 𝑥 ≠ 1 i 𝑦 ∈ ℝ
Otrzymaną postać nierówności przekształcamy do postaci
(𝑥 − 1)2 > −(𝑦 − 2)2 oraz 𝑥≠1 i 𝑦∈ℝ
Rozważamy funkcje 𝑓 i 𝑔 takie, że
𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)2 dla 𝑥 ≠ 1 oraz 𝑔(𝑦) = −(𝑦 − 2)2 dla 𝑦∈ℝ
Zbiorami wartości tych funkcji są przedziały: 𝑍𝑊𝑓 = (0, +∞) oraz 𝑍𝑊𝑔 = (−∞, 0].
Zauważmy, że każda wartość funkcji 𝑓 jest większa od każdej wartości funkcji 𝑔.
To oznacza, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 ≠ 1 oraz dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦
zachodzi nierówność 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑦).
Zatem nierówność 𝑥 2 + 𝑦 2 + 5 > 2𝑥 + 4𝑦 jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej
𝑥 ≠ 1 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦. To należało wykazać.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 2 pkt – przekształcenie nierówności 𝑥 2 + 𝑦 2 + 5 > 2𝑥 + 4𝑦 do postaci
(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 > 0 oraz powołanie się na założenie i stwierdzenie, że
(𝑥 − 1)2 jest liczbą dodatnią i suma (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 jest liczbą dodatnią
ALBO
– obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 𝑥 2 − 2𝑥 + (𝑦 2 − 4𝑦 + 5)
zmiennej 𝑥 oraz uzasadnienie, że jest on niedodatni, oraz uzasadnienie
prawdziwości nierówności 𝑥 2 + 𝑦 2 + 5 > 2𝑥 + 4𝑦 dla 𝑦 = 2,
ALBO
– obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 𝑦 2 − 4𝑦 + (𝑥 2 − 2𝑥 + 5)
zmiennej 𝑦 oraz uzasadnienie, że ten wyróżnik jest ujemny dla każdego 𝑥 ≠ 1,
ALBO
– przekształcenie nierówności do postaci 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑦) oraz poprawne uzasadnienie
prawdziwości nierówności 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑦) dla każdego 𝑥 ≠ 1 i 𝑦 ∈ ℝ na podstawie
analizy zbiorów wartości obu funkcji.
1 pkt – przekształcenie nierówności 𝑥 2 + 𝑦 2 + 5 > 2𝑥 + 4𝑦 do postaci
(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 > 0
ALBO
– obliczenie wyróżnika Δ trójmianu kwadratowego 𝑥 2 − 2𝑥 + (𝑦 2 − 4𝑦 + 5)
zmiennej 𝑥 oraz przekształcenie tego wyróżnika do postaci Δ = −(2𝑦 − 4)2 bądź
Δ = −4(𝑦 − 2)2 lub (zamiast przekształcenia wyróżnika) zbadanie znaku tego
wyróżnika (np. obliczenie wyróżnika trójmianu −4𝑦 2 + 16𝑦 − 16),
ALBO
– obliczenie wyróżnika Δ trójmianu kwadratowego 𝑦 2 − 4𝑦 + (𝑥 2 − 2𝑥 + 5)
zmiennej 𝑦 oraz przekształcenie tego wyróżnika do postaci Δ = −(2𝑥 − 2)2 bądź
Δ = −4(𝑥 − 1)2 lub (zamiast przekształcenia wyróżnika) zbadanie znaku tego
wyróżnika (np. obliczenie wyróżnika trójmianu −4𝑥 2 + 8𝑥 − 4),
ALBO
– przekształcenie nierówności do postaci 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑦) oraz zbadanie zbioru wartości
jednej z funkcji: 𝑓 albo 𝑔.
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga:
Jeśli zdający sprawdza prawdziwość nierówności tylko dla wybranych wartości 𝑥 i 𝑦, to
otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Zadanie 332 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-660-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Trójkąty prostokątne T1 i T2 są podobne. Przyprostokątne trójkąta T1 mają długości 5 i 12. Przeciwprostokątna trójkąta T2 ma długość 26.
Oblicz pole trójkąta T2.
Pokaż odpowiedź
Sposób I
Długości przyprostokątnych trójkątów 𝑇1 i 𝑇2 oznaczymy odpowiednio jako: 𝑎1 , 𝑏1 oraz
𝑎2 , 𝑏2 . Z podobieństwa trójkątów 𝑇1 i 𝑇2 wynika, że stosunki odpowiednich boków są
równe:
𝑎2 𝑎1
= gdzie 𝑎1 = 12, 𝑏1 = 5
𝑏2 𝑏1
Zatem
𝑎2 12 5
= więc 𝑏2 = 𝑎
𝑏2 5 12 2
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝑇2 mamy:
𝑎22 + 𝑏22 = 262
5 2 2
𝑎22 + ( ) 𝑎2 = 262
12
169 2
𝑎2 = 262
144
144
𝑎2 = √ ⋅ 26 = 24
169
5
Zatem 𝑏2 = ⋅ 24 = 10.
12
Obliczamy pole trójkąta 𝑇2 :
1 1
𝑃2 = ⋅ 𝑎2 ⋅ 𝑏2 = ⋅ 24 ⋅ 10 = 120
2 2
Sposób II
Oznaczamy wierzchołki trójkąta 𝑇1 przez 𝐴, 𝐵, 𝐶 , gdzie 𝐵𝐶 jest przeciwprostokątną tego
trójkąta, |𝐴𝐵| = 12 i |𝐴𝐶| = 5. Oznaczamy wierzchołki trójkąta 𝑇2 przez 𝐷 , 𝐸 , 𝐹 , gdzie
𝐸𝐹 jest przeciwprostokątną tego trójkąta.
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝑇1 mamy 𝐵 𝐸
|𝐴𝐵|2 + |𝐴𝐶|2 = |𝐵𝐶|2
122 + 52 = |𝐵𝐶|2
12
|𝐵𝐶|2 = 169
|𝐵𝐶| = 13 26
𝐶 5 𝐴
Obliczamy skalę podobieństwa trójkąta 𝑇2 do trójkąta 𝑇1 :
|𝐸𝐹| 26
𝑘= = =2
|𝐵𝐶| 13
Obliczamy długości przyprostokątnych trójkąta 𝑇2 :
𝐹 𝐷
|𝐷𝐸| = 2 ⋅ |𝐴𝐵| = 2 ⋅ 12 = 24
|𝐷𝐹| = 2 ⋅ |𝐴𝐶| = 2 ⋅ 5 = 10
Obliczamy pole trójkąta 𝑇2 :
1 1
𝑃2 = ⋅ |𝐷𝐸| ⋅ |𝐷𝐹| = ⋅ 24 ⋅ 10 = 120
2 2
Sposób III
Oznaczamy wierzchołki trójkąta 𝑇1 przez 𝐴, 𝐵, 𝐶 , gdzie 𝐵𝐶 jest przeciwprostokątną tego
trójkąta, |𝐴𝐵| = 12 i |𝐴𝐶| = 5. Oznaczamy wierzchołki trójkąta 𝑇2 przez 𝐷 , 𝐸 , 𝐹 , gdzie
𝐸𝐹 jest przeciwprostokątną tego trójkąta. 𝐵 𝐸
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝑇1 mamy
|𝐴𝐵|2 + |𝐴𝐶|2 = |𝐵𝐶|2
12
2 2 |𝐵𝐶|2
12 + 5 =
|𝐵𝐶|2 = 169 26
𝐶 5 𝐴
|𝐵𝐶| = 13
Obliczamy skalę podobieństwa trójkąta 𝑇2 do trójkąta 𝑇1 :
|𝐸𝐹| 26
𝑘= = =2
|𝐵𝐶| 13
𝐹 𝐷
Obliczamy pole 𝑃1 trójkąta 𝑇1 :
1 1
𝑃1 = ⋅ |𝐴𝐵| ⋅ |𝐴𝐶| = ⋅ 12 ⋅ 5 = 30
2 2
Korzystając z tego, że stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali
podobieństwa, obliczamy pole 𝑃2 trójkąta 𝑇2 :
𝑃2
= 𝑘2
𝑃1
Zatem
𝑃2 = 𝑘 2 ⋅ 𝑃1 = 22 ⋅ 30 = 120Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 2 pkt – poprawna metoda i obliczenie pola trójkąta 𝑇2 : 𝑃2 = 120.
1 pkt – wykorzystanie podobieństwa trójkątów i zapisanie układu równań/równania
pozwalającego obliczyć długości przyprostokątnych trójkąta 𝑇2 , np.
𝑎2 12
= 5 i 𝑎22 + 𝑏22 = 262 , (12𝑥)2 + (5𝑥)2 = 262
𝑏2
ALBO
𝑃1 |𝐵𝐶|
2
𝑃 26 2
– zapisanie stosunku pól trójkątów 𝑇1 i 𝑇2 : = ( ) (lub 2 = ( ) ) oraz
𝑃2 26 𝑃1 |𝐵𝐶|
obliczenie długości odcinka 𝐵𝐶 : |𝐵𝐶| = 13,
ALBO
|𝐸𝐹|
– obliczenie/zapisanie skali podobieństwa trójkątów, np. 𝑘 = =2
|𝐵𝐶|
|𝐵𝐶| 1
(lub 𝑘 = = 2),
|𝐸𝐹|
ALBO
– obliczenie/zapisanie długości przyprostokątnych trójkąta 𝑇2 : 10, 24,
ALBO
– obliczenie długości 𝑐1 przeciwprostokątnej trójkąta 𝑇1 oraz zapisanie układu
równań pozwalającego obliczyć długości 𝑎2 , 𝑏2 przyprostokątnych trójkąta 𝑇2 , np.
13 26 13 26
𝑐1 = 13 i 12 = 𝑎 i 5 = 𝑏 .
2 2
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zadanie 342 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-660-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
W kwadracie ABCD punkty A=-8, -2 oraz C=0, 4 są końcami przekątnej.
Wyznacz równanie prostej zawierającej przekątną BD tego kwadratu.
Pokaż odpowiedź
Ponieważ przekątne w kwadracie dzielą się na połowy, szukamy środka odcinka 𝐴𝐶 :
𝑥𝐴 + 𝑥𝐶 𝑦𝐴 + 𝑦𝐶 −8 + 0 −2 + 4
𝑆=( , )=( , ) = (−4, 1)
2 2 2 2
Korzystając ze wzoru (𝑦 − 𝑦𝐴 )(𝑥𝐶 − 𝑥𝐴 ) − (𝑦𝐶 − 𝑦𝐴 )(𝑥 − 𝑥𝐴 ) = 0, wyznaczamy równanie
prostej 𝐴𝐶 :
(𝑦 − (−2)) (0 − (−8)) − (4 − (−2))(𝑥 − (−8)) = 0
(𝑦 + 2) ⋅ 8 − 6 ⋅ (𝑥 + 8) = 0
8𝑦 = 6𝑥 + 32
3
𝑦= 𝑥+4
4
Prosta zawierająca przekątną 𝐵𝐷 jest prostopadła do prostej 𝐴𝐶 , zatem jej współczynnik
4
kierunkowy jest równy (− ).
3
Obliczamy współczynnik 𝑏 równania kierunkowego prostej 𝐵𝐷 , podstawiając do wzoru
4
𝑦 = − 3 𝑥 + 𝑏 współrzędne punktu 𝑆 = (−4, 1):
4
1 = − ⋅ (−4) + 𝑏
3
13
𝑏=−
3
4 13
Prosta zawierająca przekątną 𝐵𝐷 kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 ma postać 𝑦 = − 𝑥 − .
3 3Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 2 pkt – wyznaczenie i zapisanie równania prostej zawierającej przekątną 𝐵𝐷 (w postaci
4 13
równania stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi) np. 𝑦 = − 𝑥 − .
3 3
1 pkt – obliczenie współrzędnej punktu 𝑆 oraz obliczenie współczynnika kierunkowego
3
prostej 𝐴𝐶 (lub zapisanie równania prostej 𝐴𝐶 ): 𝑆 = (−4, 1) oraz
4
ALBO
4
– wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐵𝐷 : (− ),
3
ALBO
– zapisanie równości |𝑃𝐴| = |𝑃𝐶| wynikającej z własności symetralnej (gdzie 𝑃 jest
punktem leżącym na symetralnej odcinka 𝐴𝐶 ) lub zapisanie równania postaci
√(𝑥 + 8)2 + (𝑦 + 2)2 = √(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 4)2
ALBO
– wyznaczenie współrzędnych punktów 𝐵 i 𝐷 (lub jednego z nich i punktu 𝑆),
z wykorzystaniem punktów kratowych.
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zadanie 352 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-660-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Ze zbioru ośmiu liczb 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez 15.
Pokaż odpowiedź
Sposób I
Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych obrazuje tabela 8 × 8, co oznacza, że moc zbioru
Ω jest równa 64.
W tabeli zaznaczamy iloczyny podzielne przez 15.
2 3 4 5 6 7 8 9
2
3 ×
4
5 × × ×
6 ×
7
8
9 ×
Zdarzeń sprzyjających wylosowaniu liczb, których iloczyn jest podzielny przez 15, jest 6.
Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn
6
jest podzielny przez 15, jest równe .
64
Sposób II (drzewo stochastyczne)
Rysujemy fragment drzewa stochastycznego rozważanego doświadczenia z uwzględnieniem
wszystkich istotnych gałęzi.
Oznaczamy przez 𝐴 zdarzenie polegające na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest
podzielny przez 15.
1 1 1 1
8 8 8 8
3 5 6 9
1 1 1 1 1 1
8 8 8 8 8 8
5 3 6 9 5 5
Prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6
𝑃(𝐴) = ∙ + ∙ + ∙ + ∙ + ∙ + ∙ =
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 64
Sposób III
Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych Ω to zbiór par uporządkowanych elementów ze
zbioru 8-elementowego, zatem moc zbioru Ω jest równa |Ω| = 8 ⋅ 8 = 64.
Oznaczamy przez 𝐴 zdarzenie polegające na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest
podzielny przez 15.
Wielokrotności liczby 15, które mogą być iloczynami elementów ze zbioru Ω, to 15, 30, 45.
Wyznaczamy iloczyny, które spełniają powyższy warunek:
15 = 3 ⋅ 5 = 5 ⋅ 3 – dwa iloczyny – dwa zdarzenia elementarne: (3, 5) oraz (5, 3),
30 = 6 ⋅ 5 = 5 ⋅ 6 – dwa iloczyny – dwa zdarzenia elementarne: (6, 5) oraz (5, 6),
45 = 9 ⋅ 5 = 5 ⋅ 9 – dwa iloczyny – dwa zdarzenia elementarne: (9, 5) oraz (5, 9).
6
Sprzyjających zdarzeń elementarnych jest 6, więc 𝑃(𝐴) = .
64Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 2 pkt – zastosowanie poprawnej metody obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴
6
i uzyskanie poprawnego wyniku: 𝑃(𝐴) = .
64
1 pkt – wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych lub obliczenie/podanie liczby tych
zdarzeń: |Ω| = 8 ⋅ 8 lub sporządzenie tabeli o 64 polach odpowiadających
zdarzeniom elementarnym, z których co najmniej jedno pole jest wypełnione, lub
sporządzenie pełnego drzewa stochastycznego
ALBO
– wypisanie (zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających
zdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego:
(3, 5), (5, 3), (6, 5), (5, 6), (5, 9), (9, 5),
ALBO
– podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:
|𝐴| = 6, jeśli nie została otrzymana w wyniku zastosowania błędnej metody,
ALBO
– sporządzenie fragmentu drzewa stochastycznego, które zawiera wszystkie gałęzie
1
sprzyjające zdarzeniu 𝐴 oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej
8
jednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,
ALBO
1
– podanie prawdopodobieństwa jednoelementowego zdarzenia (elementarnego): ,
64
ALBO
6
– zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = .
64
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga:
Jeżeli zdający zapisuje tylko liczby 6 lub 64 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych
liczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Zadanie 365 punktówOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuEMAP-P0-660-2305 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Podstawą graniastosłupa prostego ABCDEF jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC|=|BC|, |AB|=8. Wysokość trójkąta ABC, poprowadzona z wierzchołka C, ma długość 3 (jak na rysunku 1. podstawy ABC tego graniastosłupa). Przekątna CE ściany bocznej tworzy z krawędzią CB podstawy ABC kąt 60° (jak na rysunku 2. ściany bocznej CBEF tego graniastosłupa).
Oblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość tego graniastosłupa.
-23495-8255A
B
C
3
8
Rys. 1.
Rys. 2.
F
E
C
B
A
B
C
3
8
Rys. 1.
Rys. 2.
F
E
C
B
Koniec
Formuła 2015
Formuła 2015
Formuła 2015
Pokaż odpowiedź
Wprowadzamy oznaczenia jak na rysunku.
Oznaczamy ℎ𝑝 – wysokość podstawy graniastosłupa, poprowadzona z wierzchołka 𝐶 .
Podstawą graniastosłupa jest trójkąt równoramienny o wysokości ℎ𝑝 = 3 i długości
podstawy 𝑎 = |𝐴𝐵| = 8.
1
Obliczamy pole podstawy graniastosłupa 𝑃𝑝 = ∙ 3 ∙ 8 = 12.
2
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy długość 𝐹 𝐸
krawędzi 𝐵𝐶 :
1 2 2 𝐷
( 𝑎) + (ℎ𝑝 ) = |𝐵𝐶|2
2
16 + 9 = |𝐵𝐶|2
|𝐵𝐶|2 = 25 𝐻
|𝐵𝐶| = 5
Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznej tangens
dla kąta 𝐵𝐶𝐸 , obliczamy wysokość 𝐻 (długość krawędzi 𝐵𝐸 )
graniastosłupa:
60°
𝐻 𝐶 𝐵
tg 60° = 3
|𝐵𝐶| ℎ𝑝
8
𝐻 𝐴
√3 =
5
Zatem 𝐻 = 5√3.
Obliczamy pole powierzchni całkowitej graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 :
1
𝑃 = 𝑃𝑏 + 2𝑃𝑝 = 2 ∙ 𝐻 ∙ |𝐵𝐶| + |𝐴𝐵| ∙ 𝐻 + 2 ∙ ∙ |𝐴𝐵| ∙ ℎ𝑝 = 2 ∙ 5√3 ∙ 5 + 8 ∙ 5√3 + 2 ∙ 12
2
𝑃 = 24 + 90√3
Obliczamy objętość 𝑉 graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 :
𝑉 = 𝑃𝑝 ∙ 𝐻 = 12 ∙ 5√3 = 60√3
Ocena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią
Obowiązują Zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez
stwierdzonej dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:
a) ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną
dyskalkulią (punkty 1.–12.);
b) dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy
osób ze stwierdzoną dyskalkulią – egzamin maturalny z matematyki, poziom podstawowy,
termin główny 2023.
I. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną
dyskalkulią
1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:
• błędnego przepisania
• przestawienia cyfr
• zapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie
• przestawienia położenia przecinka.
2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu
oddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza
umiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania
badanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.
3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę rozwiązania,
części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej 1 punkt, zgodnie
z kryteriami do poszczególnych zadań.
4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub zapisuje
nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne rozumowanie lub
stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt za rozwiązanie
zadania.
5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu
kwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę
wyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania
wartościach liczbowych.
6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający
może otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności
kwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.
7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej zdający
może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji kwadratowej,
istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.
8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych
lub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie
takiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.
9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na
płaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu
rozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur
geometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.
10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać
przynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających
rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje prawidłową metodę
wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.
11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli
podaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia
rozwiązania.
12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub
geometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która
wyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać
1 punkt.
II. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób
ze stwierdzoną dyskalkulią
1 pkt – zastosowanie poprawnej metody obliczenia pierwiastków trójmianu kwadratowego
−𝑥 2 − 2𝑥 + 3, tzn. zastosowanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego
i obliczenie tych pierwiastków
ALBO
– konsekwentne (do otrzymanego w wyniku popełnienia błędów o charakterze
dyskalkulicznym ujemnego wyróżnika) narysowanie paraboli,
ALBO
– poprawne rozwiązanie nierówności 𝑥 2 − 2𝑥 > 0 (tzn. stosuje się punkt 6. ogólnych
zasad oceniania),
ALBO
– konsekwentne (do wyznaczonych przez siebie pierwiastków oraz rozpatrywanego
trójmianu i nierówności) wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający, rozwiązując nierówność, pomyli porządek liczb na osi liczbowej i zapisze
zbiór rozwiązań nierówności w postaci (1, −3), to może otrzymać 2 punkty za całe
rozwiązanie.
2. Nie stosuje się uwag 2. i 3. z zasad oceniania arkusza standardowego.
Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.
Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.
1 pkt – obliczenie długości 𝑐1 przeciwprostokątnej trójkąta 𝑇1 oraz wykorzystanie
podobieństwa trójkątów i zapisanie związku między długościami przyprostokątnych
𝑎 12
trójkąta 𝑇2 : 𝑐1 = 13 i 2 =
𝑏2 5
ALBO
– obliczenie długości 𝑐1 przeciwprostokątnej trójkąta 𝑇1 oraz zapisanie równania
pozwalającego obliczyć długość jednej z przyprostokątnych trójkąta 𝑇2 , np.
13 26 13 26
𝑐1 = 13 i 12 = 𝑎 , 𝑐1 = 13 i 5 = 𝑏 .
2 2
1 pkt – obliczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐴𝐶 (lub zapisanie równania
3
prostej 𝐴𝐶 ): .
4
1 pkt – zapisanie jedynie liczby 64 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich
zdarzeń elementarnych).
Uwagi:
1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi ze
standardowych zasad oceniania.
2. Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające
zdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (|𝐴| = 5) i konsekwentnie zapisze
5
wynik , to otrzymuje 2 punkty.
64
Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 5 pkt – obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 : 𝑃 = 24 + 90√3
oraz obliczenie objętości graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 : 𝑉 = 60√3.
4 pkt – obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 : 𝑃 = 24 + 90√3
ALBO
– obliczenie objętości graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 : 𝑉 = 60√3.
3 pkt – obliczenie pola podstawy graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 : 𝑃𝑝 = 12 oraz obliczenie
wysokości 𝐻 graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 : 𝐻 = 5√3.
2 pkt – obliczenie długości krawędzi 𝐵𝐶 podstawy graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 : |𝐵𝐶| = 5
oraz obliczenie pola podstawy graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 : 𝑃𝑝 = 12
ALBO
– obliczenie wysokości 𝐻 graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 : 𝐻 = 5√3.
1 pkt – obliczenie długości krawędzi 𝐵𝐶 podstawy graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 : |𝐵𝐶| = 5
ALBO
– obliczenie pola podstawy graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 : 𝑃𝑝 = 12.
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający, obliczając pole powierzchni całkowitej, przyjmuje, że:
a) wszystkie ściany boczne są przystającymi prostokątami
lub
b) graniastosłup ma 4 ściany boczne,
lub
c) graniastosłup ma jedną podstawę,
ale poprawnie obliczy objętość graniastosłupa, to może otrzymać 4 punkty za całe
rozwiązanie.
2. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:
a) zastosowanie niepoprawnej definicji jednej funkcji trygonometrycznej
b) błędne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa
c) zastosowanie niepoprawnej tożsamości √𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑥 + 𝑦
d) zinterpretowanie trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jako równoramiennego (ale nie równobocznego),
w którym |𝐴𝐵| = |𝐵𝐶| = 8
i rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający otrzymuje
3 punkty za całe rozwiązanie.
3. Jeżeli zdający przyjmuje, że podstawa graniastosłupa jest trójkątem równobocznym i na
tym opiera całe swoje rozwiązanie, to otrzymuje 0 punktów (o ile nie nabył praw do innej
punktacji).