W HTML jest już 175 z 175 jednostek arkusza: 0 ma rozwiązanie krok po kroku, a 175 ma odpowiedź w pierwszej redakcji i czeka na wyjaśnienie. Strona pozostaje poza indeksem do czasu ukończenia i recenzji arkusza.
Zadanie 101 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuWarianty A i B · forma 200Modelowanie układem równań
W dwóch sadach posadzono razem 1960 drzew. Po roku pozostało 95% drzew w pierwszym i 90% w drugim; liczba pozostałych w drugim to 60% liczby pozostałych w pierwszym. Wybierz układ dla początkowych liczb x,y.
Pokaż odpowiedź
Wariant A i forma 200: A. x+y=1960 oraz 0,6·0,95x=0,9y. · Wariant B: D. x+y=1960 oraz 0,6·0,95x=0,9y.
Równanie porównuje liczby drzew, które pozostały po roku, a nie liczby uschniętych.
Punktowanie: 1 pkt za poprawny układ; litera zależy od wariantu.
Źródło odpowiedzi: zasady oceniania CKE, strona PDF 11.
Zadanie 25.21 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuWarianty A i B · forma 200Kąt prostej do płaszczyzny
Na którym z rysunków A–D zaznaczono kąt nachylenia najdłuższej przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego do płaszczyzny podstawy?
Zestaw czterech rysunków jest dostępny w źródłowym arkuszu CKE na stronie 23. Kąt między prostą i płaszczyzną mierzy się między przekątną a jej rzutem na podstawę.
Pokaż odpowiedź
D. Kąt między najdłuższą przekątną i jej rzutem na płaszczyznę podstawy.
Na rysunku D oba ramiona kąta wychodzą z tego samego dolnego wierzchołka.
Punktowanie: 1 pkt za rysunek D.
Źródło odpowiedzi: zasady oceniania CKE, strona PDF 25.
Zadanie 314 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuWarianty A i B · forma 200Optymalizacja kwadratowa
Trzy identyczne prostokątne wybiegi mają wspólne ściany wewnętrzne. Na ogrodzenie potrzeba 36 m siatki. Oblicz wymiary x i y jednego wybiegu maksymalizujące sumę pól.
Wybiegi stoją obok siebie; cztery odcinki ogrodzenia mają długość x, a sześć odcinków długość y.
Pokaż odpowiedź
x=4,5 m; y=3 m.
Warunek długości siatki to 4x+6y=36, a suma pól wynosi 3xy; maksimum funkcji kwadratowej występuje dla x=4,5.
Punktowanie: 4 pkt za oba wymiary z metodą; punkty częściowe za wzór pola i maksimum.
Źródło odpowiedzi: zasady oceniania CKE, strona PDF 30.
Zadanie 11 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuForma 660Matematyka — forma 660, odpowiedź według zasad CKE
Na osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów.
4
x
4
x
Dokończ zdanie. Zapisz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Zbiór zaznaczony na osi jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności
A. x-1≤3
B. x-1≥3
C. x-1<3
D. x-1>3
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
B B
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 32 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuForma 660Matematyka — forma 660, odpowiedź według zasad CKE
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n≥1 liczba
n2+n+12+n+22
przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.
Pokaż odpowiedź
Sposób I
Przekształcamy równoważnie dane wyrażenie
𝑛2 + (𝑛 + 1)2 + (𝑛 + 2)2 = 𝑛2 + 𝑛2 + 2𝑛 + 1 + 𝑛2 + 4𝑛 + 4
= 3𝑛2 + 6𝑛 + 5 = 3 ∙ (𝑛2 + 2𝑛 + 1) + 2
Ponieważ 𝑛 jest liczbą naturalną, więc 𝑛2 + 2𝑛 + 1 jest liczbą naturalną.
Zatem 3 ∙ (𝑛2 + 2𝑛 + 1) jest wielokrotnością liczby 3.
Stąd 3 ∙ (𝑛2 + 2𝑛 + 1) + 2 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.
To należało wykazać.
Sposób II
Liczby 𝑛, 𝑛 + 1, 𝑛 + 2 to trzy kolejne liczby naturalne, więc dokładnie jedna z nich jest
podzielna przez 3, a dwie pozostałe nie są podzielne przez 3.
Kwadrat liczby podzielnej przez 3 jest również podzielny przez 3.
Kwadrat liczby niepodzielnej przez 3 daje przy dzieleniu przez 3 resztę 1.
Zatem suma reszt z dzielenia przez 3 liczby 𝑛2 + (𝑛 + 1)2 + (𝑛 + 2)2 jest równa
0 + 1 + 1 = 2.
To należało wykazać.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 2 pkt – przekształcenie wyrażenia 𝑛2 + (𝑛 + 1)2 + (𝑛 + 2)2 do postaci
3(𝑛2 + 2𝑛 + 1) + 2
ALBO
– przekształcenie wyrażenia 𝑛2 + (𝑛 + 1)2 + (𝑛 + 2)2 do postaci
3𝑛2 + 6𝑛 + 5 oraz zapisanie, że składniki 3𝑛2 oraz 6𝑛 są podzielne przez 3,
a reszta z dzielenia liczby 5 przez 3 jest równa 2,
ALBO
– zapisanie, że 𝑛, 𝑛 + 1, 𝑛 + 2, to trzy kolejne liczby całkowite, więc dokładnie jedna
z nich jest podzielna przez 3, a dwie pozostałe nie są podzielne przez 3 oraz
zapisanie, że kwadrat liczby podzielnej przez 3 jest podzielny przez 3, a kwadrat
liczby niepodzielnej przez 3 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1, oraz zapisanie
wniosku, że reszta z dzielenia przez 3 liczby 𝑛2 + (𝑛 + 1)2 + (𝑛 + 2)2 jest
równa 2.
1 pkt – przekształcenie wyrażenia 𝑛2 + (𝑛 + 1)2 + (𝑛 + 2)2 do postaci
𝑛2 + 𝑛2 + 2𝑛 + 1 + 𝑛2 + 4𝑛 + 4
ALBO
– zapisanie, że 𝑛, 𝑛 + 1, 𝑛 + 2, to trzy kolejne liczby naturalne, więc dokładnie jedna
z nich jest podzielna przez 3, a dwie pozostałe nie są podzielne przez 3 oraz
zapisanie, że kwadrat liczby podzielnej przez 3 jest podzielny przez 3, a kwadrat
liczby niepodzielnej przez 3 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1.
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy tylko dla wybranych wartości 𝑛, to otrzymuje
0 punktów za całe rozwiązanie.
2. Jeżeli zdający przyjmuje np. 𝑛 = 3𝑘 + 𝑟, gdzie 𝑘 ∈ ℕ i 𝑟 jest resztą z dzielenia liczby
𝑛 przez 3 (lub 𝑛 = 2𝑘 + 𝑟, gdzie 𝑘 ∈ ℕ i 𝑟 jest resztą z dzielenia liczby 𝑛 przez 2),
i przeprowadzi pełne rozumowanie dla wszystkich przypadków, to otrzymuje 2 punkty.
Gdy przeprowadzi pełne rozumowanie dla co najmniej połowy przypadków, ale nie
przeprowadzi pełnego rozumowania dla wszystkich przypadków, to otrzymuje 1 punkt za
całe rozwiązanie.
3. Jeżeli zdający rozpatruje tylko jeden przypadek 𝑛 = 3𝑘 + 2, to otrzymuje 0 punktów za
całe rozwiązanie.
Zadanie 51 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuForma 660Matematyka — forma 660, odpowiedź według zasad CKE
Dokończ zdanie. Zapisz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla każdej liczby rzeczywistej a i dla każdej liczby rzeczywistej b wartość wyrażenia 2a+b2-2a-b2
jest równa wartości wyrażenia
A. 8a2
B. 8ab
C. -8ab
D. 2b2
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
B D
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 61 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuForma 660Matematyka — forma 660, odpowiedź według zasad CKE
Dokończ zdanie. Zapisz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności
1-32x<23-x
jest przedział
A. -∞,-23
B. -∞, 23
C. -23,+∞
D. 23,+∞
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
D D
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 71 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuForma 660Matematyka — forma 660, odpowiedź według zasad CKE
Dokończ zdanie. Zapisz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Równanie
x+1x+2(x-3)=0
w zbiorze liczb rzeczywistych
A. nie ma rozwiązania.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: -1.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania: -2 oraz 3.
D. ma dokładnie trzy rozwiązania: -1, -2 oraz 3.
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
B B
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 81 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuForma 660Matematyka — forma 660, odpowiedź według zasad CKE
Dany jest wielomian
Wx=3x3+6x2+9x
Oceń prawdziwość podanych stwierdzeń 1. i 2. Zapisz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
1. Wielomian W jest iloczynem wielomianów
Fx=3x i Gx=x2+2x+3.
2. Liczba -1 jest rozwiązaniem równania Wx=0.
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
PF FP
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 93 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuForma 660Matematyka — forma 660, odpowiedź według zasad CKE
Rozwiąż równanie
x3-2x2-3x+6=0
Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź
Sposób I
Przekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:
𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 = 0
𝑥 2 (𝑥 − 2) − 3(𝑥 − 2) = 0
(𝑥 − 2)(𝑥 2 − 3) = 0
(𝑥 − 2)(𝑥 − √3)(𝑥 + √3) = 0
𝑥 − 2 = 0 lub 𝑥 − √3 = 0 lub 𝑥 + √3 = 0
𝑥 = 2 lub 𝑥 = √3 lub 𝑥 = −√3
Rozwiązaniami równania są liczby: (−√3), √3, 2.
Sposób II
Przekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:
𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 = 0
𝑥(𝑥 2 − 3) − 2(𝑥 2 − 3) = 0
(𝑥 − 2)(𝑥 2 − 3) = 0
(𝑥 − 2)(𝑥 − √3)(𝑥 + √3) = 0
𝑥 − 2 = 0 lub 𝑥 − √3 = 0 lub 𝑥 + √3 = 0
𝑥 = 2 lub 𝑥 = √3 lub 𝑥 = −√3
Rozwiązaniami równania są liczby: (−√3), √3, 2.
Sposób III
Obliczamy 𝑊(2) = 0 i stwierdzamy, że liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu
𝑊(𝑥) = 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6.
Zatem wielomian 𝑊 jest podzielny przez dwumian (𝑥 − 2). Dzielimy wielomian 𝑊 przez
dwumian (𝑥 − 2) i otrzymujemy
(𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6): (𝑥 − 2) = 𝑥 2 − 3
Zatem 𝑊(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥 2 − 3) = (𝑥 − 2)(𝑥 − √3)(𝑥 + √3).
Obliczamy pierwiastki wielomianu 𝑊(𝑥):
(𝑥 − 2)(𝑥 − √3)(𝑥 + √3) = 0
𝑥 − 2 = 0 lub 𝑥 − √3 = 0 lub 𝑥 + √3 = 0
𝑥 = 2 lub 𝑥 = √3 lub 𝑥 = −√3
Rozwiązaniami równania są liczby: (−√3), √3, 2.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 3 pkt – poprawna metoda rozwiązania równania i obliczenie wszystkich rozwiązań równania:
(−√3), √3, 2.
2 pkt – przekształcenie lewej strony równania do postaci iloczynu wielomianów stopnia co
najwyżej drugiego oraz rozwiązanie jednego z równań wynikającego z tego
rozkładu, np.:
(𝑥 − 2)(𝑥 2 − 3) = 0 i 𝑥 = 2,
(𝑥 − 2)(𝑥 2 − 3) = 0 i 𝑥 = −√3 oraz 𝑥 = √3
ALBO
– przekształcenie równania 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 = 0 do postaci alternatywy dwóch
równań: kwadratowego i liniowego oraz rozwiązanie jednego z nich:
(𝑥 − 2 = 0, 𝑥 2 − 3 = 0) oraz 𝑥 = 2,
(𝑥 − 2 = 0, 𝑥 2 − 3 = 0) oraz (𝑥 = −√3, 𝑥 = √3),
ALBO
– rozłożenie wielomianu 𝑊(𝑥) = 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 na czynniki liniowe:
𝑊(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥 − √3)(𝑥 + √3),
ALBO
– przekształcenie równania 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 = 0 do postaci alternatywy trzech
równań liniowych: (𝑥 − 2 = 0, 𝑥 − √3 = 0, 𝑥 + √3 = 0),
ALBO
– obliczenie jednego z pierwiastków wielomianu 𝑊(𝑥) = 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 oraz
poprawne podzielenie wielomianu 𝑊 przez odpowiedni dwumian, np.
𝑥 = 2 i (𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6) ∶ (𝑥 − 2) = 𝑥 2 − 3.
1 pkt – zapisanie wielomianu 𝑊(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 − 3𝑥 + 6 w postaci iloczynu wielomianów
stopnia co najwyżej drugiego, np. 𝑊(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥 2 − 3)
ALBO
– przekształcenie równania 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 = 0 do postaci alternatywy dwóch
równań: (𝑥 − 2 = 0, 𝑥 2 − 3 = 0),
ALBO
– przekształcenie równania 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 = 0 do postaci
𝑥 2 (𝑥 − 2) − 3(𝑥 − 2) = 0 lub do postaci 𝑥 2 (𝑥 − 2) = 3(𝑥 − 2) oraz zapisanie
rozwiązania 𝑥 = 2,
ALBO
– zapisanie jednego z rozwiązań równania 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 = 0 oraz zapisanie
sprawdzenia, że ta liczba spełnia to równanie.
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający zapisze tylko trzy poprawne rozwiązania równania, to otrzymuje 1 punkt za
całe rozwiązanie.
2. Jeżeli zdający uzyska trzy poprawne pierwiastki wielomianu, lecz traktuje równanie jako
nierówność (podaje zbiór rozwiązań w postaci przedziału / sumy przedziałów), to
otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.
3. Jeżeli przy przekształcaniu lewej strony równania do postaci iloczynu zdający zapisuje
czynnik (𝑥 − 2) z wykładnikiem 2, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe
rozwiązanie (1 punkt za rozwiązanie równania (𝑥 − 2)2 = 0 i 1 punkt za rozwiązanie
równania 𝑥 2 − 3 = 0).
4. Jeżeli zdający zamiast równania (𝑥 − 2)(𝑥 2 − 3) = 0 zapisze (𝑥 − 2) ± (𝑥 2 − 3) = 0,
ale z dalszego rozwiązania wynika, że traktuje lewą stronę równania jak iloczyn i rozwiąże
zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt
za rozwiązanie równania 𝑥 − 2 = 0 i 1 punkt za rozwiązanie równania 𝑥 2 − 3 = 0).
5. Jeżeli zdający przy przekształcaniu równania do postaci (𝑥 − 2)(𝑥 2 − 3) = 0 popełni
błąd i zapisze:
𝑥 2 (𝑥 + 2) − 3(𝑥 − 2) = 0
lub
𝑥 2 (𝑥 − 2) + 3(𝑥 − 2) = 0
lub
𝑥 2 (𝑥 − 2) − 3(𝑥 + 2) = 0
lub
𝑥(𝑥 2 + 3) − 2(𝑥 2 − 3) = 0
lub
𝑥(𝑥 2 − 3) + 2(𝑥 2 − 3) = 0
lub
𝑥(𝑥 2 − 3) − 2(𝑥 2 + 3) = 0
a następnie:
5.1. zapisze równanie (𝑥 − 2)(𝑥 2 − 3) = 0 lub poprawną alternatywę
(𝑥 − 2 = 0 lub 𝑥 2 − 3 = 0) i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to
otrzymuje co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za rozwiązanie
równania 𝑥 − 2 = 0 i 1 punkt za rozwiązanie równania 𝑥 2 − 3 = 0).
5.2. zapisze równanie (𝑥 − 2)(𝑥 2 + 3) = 0 lub błędną alternatywę
(𝑥 − 2 = 0 lub 𝑥 2 + 3 = 0) i zapisze rozwiązanie 𝑥 = 2, to otrzymuje 1 punkt
za całe rozwiązanie.
5.3. zapisze równanie (𝑥 + 2)(𝑥 2 − 3) = 0 lub błędną alternatywę
(𝑥 + 2 = 0 lub 𝑥 2 − 3 = 0) i zapisze oba rozwiązania równania 𝑥 2 − 3 = 0:
𝑥 = −√3 oraz 𝑥 = √3, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
5.4. zapisze błędne równanie (w którym jedna ze stron jest równa 0, a druga jest
iloczynem wielomianów stopni dodatnich), inne niż w uwagach 5.2 oraz 5.3, np.
(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)(𝑥 2 ± 3) = 0 lub błędną alternatywę inną niż w uwagach 5.2
oraz 5.3, np. (𝑥 − 2 = 0 lub 𝑥 + 2 = 0 lub 𝑥 2 ± 3 = 0), to otrzymuje
0 punktów za całe rozwiązanie.
6. Jeżeli zdający, przekształcając równanie 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 = 0, popełni jeden błąd
(który nie jest błędem znaku) albo dwa błędy znaku i otrzyma równanie trzeciego stopnia,
które ma trzy rozwiązania rzeczywiste, oraz konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to
otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
7. Jeżeli zdający dzieli obustronnie równanie 𝑥 2 (𝑥 − 2) = 3(𝑥 − 2) przez dwumian
(𝑥 − 2) z podaniem odpowiedniego założenia i uzyska tylko dwa poprawne rozwiązania
𝑥 = √3 oraz 𝑥 = −√3, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie, a jeżeli uzyska tylko
jedno z tych rozwiązań, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
8. Jeżeli zdający dzieli obustronnie równanie 𝑥 2 (𝑥 − 2) = 3(𝑥 − 2) przez dwumian
(𝑥 − 2) bez podania odpowiedniego założenia i uzyska tylko dwa poprawne rozwiązania
𝑥 = √3 oraz 𝑥 = −√3, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie, a jeżeli uzyska tylko
jedno z tych rozwiązań, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Zadanie 101 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuForma 660Matematyka — forma 660, odpowiedź według zasad CKE
W październiku 2022 roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie 1960 drzew. Po roku stwierdzono, że uschło 5% drzew w pierwszym sadzie i 10% drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano.
Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła 60% liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie.
Niech x oraz y oznaczają liczby drzew posadzonych – odpowiednio – w pierwszym i drugim sadzie.
Dokończ zdanie. Zapisz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby x drzew posadzonych w pierwszym sadzie oraz liczby y drzew posadzonych w drugim sadzie, jest
A. x+y=19600,6⋅0,95x=0,9y
B. x+y=19600,95x=0,6⋅0,9y
C. x+y=19600,05x=0,6⋅0,1y
D. x+y=19600,4⋅0,95x=0,9y
-305435-1203325y
x
1
1
0y
x
1
1
\s
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A D
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 111 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuForma 660Matematyka — forma 660, odpowiedź według zasad CKE
Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych x, y, przedstawiono dwie proste równoległe, które są interpretacją geometryczną jednego z układów równań A–D.
Dokończ zdanie. Zapisz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest
A. y=-32x+3y=-32x-1
B. y=32x+3y=-23x-1
C. y=32x+3y=32x-1
D. y=-32x-3y=32x+1
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A C
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 121 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuForma 660Matematyka — forma 660, odpowiedź według zasad CKE
Funkcja liniowa f jest określona wzorem
fx=-2k+3x+k-1,
gdzie k∈R.
Dokończ zdanie. Zapisz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Funkcja f jest malejąca dla każdej liczby k należącej do przedziału
A. -∞, 1
B. -∞,-32
C. 1, +∞
D. 32,+∞
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
D B
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 131 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuForma 660Matematyka — forma 660, odpowiedź według zasad CKE
Funkcje liniowe f oraz g, określone wzorami
fx=3x+6 oraz
gx=ax+7,
mają to samo miejsce zerowe.
Dokończ zdanie. Zapisz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Współczynnik a we wzorze funkcji g jest równy
A. -72
B. -27
C. 27
D. 72
-1303020-899795y
1
0
x
−2
1
9
4
y
1
0
x
−2
1
9
4
\s
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
D A
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 14.11 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuForma 660Matematyka — forma 660, odpowiedź według zasad CKE
Dokończ zdanie. Zapisz odpowiedni przedział tak, aby zdanie było prawdziwe.
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności f(x)≥0 jest przedział .
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej f (jak na rysunku). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne (1, 9). Parabola przecina oś Oy w punkcie o współrzędnych (0, 8) oraz oś Ox w punktach o współrzędnych (-2, 0) i 4, 0.
Pokaż odpowiedź
[−2, 4]
Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności
w postaci [4, −2], to otrzymuje 1 punkt.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 14.21 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuForma 660Matematyka — forma 660, odpowiedź według zasad CKE
Dokończ zdanie. Zapisz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem
A. fx=-x+12-9
B. fx=-x-12+9
C. fx=-x-12-9
D. fx=-x+12+9
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej f (jak na rysunku). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne (1, 9). Parabola przecina oś Oy w punkcie o współrzędnych (0, 8) oraz oś Ox w punktach o współrzędnych (-2, 0) i 4, 0.
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
B A
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 14.31 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuForma 660Matematyka — forma 660, odpowiedź według zasad CKE
Dokończ zdanie. Zapisz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla funkcji f prawdziwa jest równość
A. f-4=f6
B. f-4=f5
C. f-4=f4
D. f-4=f7
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej f (jak na rysunku). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne (1, 9). Parabola przecina oś Oy w punkcie o współrzędnych (0, 8) oraz oś Ox w punktach o współrzędnych (-2, 0) i 4, 0.
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A C
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 14.42 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuForma 660Matematyka — forma 660, odpowiedź według zasad CKE
Funkcje kwadratowe g oraz h są określone za pomocą funkcji f (rysunek do zadania 14.) następująco:
gx=f(x+3) oraz
hx=f(-x)
Dokończ zdania. Zapisz właściwą odpowiedź spośród A–D oraz właściwą odpowiedź spośród E–H.
1. Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji y=g(x) ma współrzędne
A. (-2, 9)
B. (3, 9)
C. (1, 6)
D. (1, -9)
2. Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji y=h(x) ma współrzędne
E. (-1, 9)
F. (-1, -9)
G. (1, 6)
H. (1, -9)
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej f (jak na rysunku). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne (1, 9). Parabola przecina oś Oy w punkcie o współrzędnych (0, 8) oraz oś Ox w punktach o współrzędnych (-2, 0) i 4, 0.
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A A
E E
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 2 pkt – dwie poprawne odpowiedzi.
1 pkt – jedna poprawna odpowiedź.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 151 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuForma 660Matematyka — forma 660, odpowiedź według zasad CKE
Ciąg (an) jest określony wzorem
an=(-1)n⋅n-5
dla każdej liczby naturalnej n≥1.
Oceń prawdziwość podanych stwierdzeń 1. i 2. Zapisz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
1. Pierwszy wyraz ciągu an jest dwa razy większy od trzeciego wyrazu tego ciągu.
2. Wszystkie wyrazy ciągu an są dodatnie.
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
PF PF
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 161 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuForma 660Matematyka — forma 660, odpowiedź według zasad CKE
Trzywyrazowy ciąg
12, 6, 2m-1
jest geometryczny.
Dokończ zdanie. Zapisz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3.
Ten ciąg jest
A. rosnący
B. malejący
oraz
1. m=12
2. m=2
3. m=3
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
B2 A2
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 172 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuForma 660Matematyka — forma 660, odpowiedź według zasad CKE
Ciąg arytmetyczny (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. Trzeci wyraz tego ciągu jest równy -1, a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa -165.
Oblicz różnicę tego ciągu.
Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź
Sposób I
Korzystamy ze wzorów na 𝑛-ty wyraz i sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu
arytmetycznego i otrzymujemy układ równań
−1 = 𝑎1 + 2𝑟
{ 2𝑎1 + 14𝑟
−165 = ⋅ 15
2
Przekształcając ten układ równoważnie, otrzymujemy
−1 = 𝑎1 + 2𝑟
{
−11 = 𝑎1 + 7𝑟
Odejmując stronami równania układu, otrzymujemy
10 = −5𝑟
𝑟 = −2
Różnica ciągu jest równa (−2).
Sposób II
Suma kolejnych piętnastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa (−165),
zatem
𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + … + 𝑎15 = −165
(𝑎3 − 2𝑟) + (𝑎3 − 𝑟) + 𝑎3 + (𝑎3 + 𝑟) + (𝑎3 + 2𝑟) + … + (𝑎3 + 12𝑟) = −165
15𝑎3 + (−2𝑟 − 𝑟 + 0 + 𝑟 + 2𝑟 + 3𝑟 + … + 12𝑟) = −165
gdzie 𝑎3 = −1, a suma piętnastu liczb (−2𝑟 − 𝑟 + 0 + 𝑟 + 2𝑟 + 3𝑟 + … + 12𝑟) jest
równa
−2𝑟 + 12𝑟
⋅ 15 = 75𝑟
2
Zatem
15 ∙ (−1) + 75𝑟 = −165
75𝑟 = −150
𝑟 = −2
Różnica ciągu jest równa (−2).
Sposób III
Suma kolejnych piętnastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa (−165),
zatem
𝑎1 + 𝑎15
⋅ 15 = −165
2
𝑎1 + 𝑎15 = −22
(𝑎3 − 2𝑟) + (𝑎3 + 12𝑟) = −22
2𝑎3 + 10𝑟 = −22
Stąd i z tego, że 𝑎3 = −1, otrzymujemy
2 ⋅ (−1) + 10𝑟 = −22
Zatem
10𝑟 = −20
𝑟 = −2
Różnica ciągu jest równa (−2).
Sposób IV
Suma kolejnych piętnastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa (−165),
zatem
𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + … + 𝑎15 = −165
(𝑎8 − 7𝑟) + (𝑎8 − 6𝑟) + … + 𝑎8 + … + (𝑎8 + 6𝑟) + (𝑎8 + 7𝑟) = −165
15𝑎8 = −165
−165
𝑎8 = = −11
15
Korzystamy z własności ciągu arytmetycznego i otrzymujemy
𝑎8 = 𝑎3 + 5𝑟
−11 = −1 + 5𝑟
𝑟 = −2
Różnica ciągu jest równa (−2).
Sposób V
Korzystamy z własności ciągu arytmetycznego i otrzymujemy równania:
𝑎7 + 𝑎9
𝑎8 =
2
𝑎6 + 𝑎10
𝑎8 =
2
𝑎5 + 𝑎11
𝑎8 =
2
𝑎4 + 𝑎12
𝑎8 =
2
𝑎3 + 𝑎13
𝑎8 =
2
𝑎2 + 𝑎14
𝑎8 =
2
𝑎1 + 𝑎15
𝑎8 =
2
Zatem
𝑎1 + 𝑎2 + … + 𝑎14 + 𝑎15 = (𝑎1 + 𝑎15 ) + (𝑎2 + 𝑎14 ) + … + (𝑎7 + 𝑎9 ) + 𝑎8 =
= 15𝑎8 = −165
Stąd 𝑎8 = −11. Ponieważ
𝑎8 = 𝑎3 + 5𝑟
więc otrzymujemy
−11 = −1 + 5𝑟
𝑟 = −2
Różnica ciągu jest równa (−2).
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 2 pkt – zastosowanie poprawnej metody i obliczenie różnicy ciągu: 𝑟 = −2.
1 pkt – zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć 𝑟, np.:
2𝑎1 + 14𝑟
−1 = 𝑎1 + 2𝑟 oraz − 165 = ⋅ 15 ,
2
𝑎1 + 𝑎15
−1 = 𝑎1 + 2𝑟 oraz 𝑎15 = 𝑎1 + 14𝑟 oraz − 165 = ⋅ 15 ,
2
(𝑎3 − 2𝑟) + (𝑎3 + 12𝑟)
𝑎3 = −1 oraz − 165 = ⋅ 15
2
ALBO
– zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑟, np.:
(−1 − 2𝑟) + (−1 − 𝑟) + (−1) + (−1 + 𝑟) + … + (−1 + 12𝑟) = −165 ,
2(−1 − 2𝑟) + 14𝑟
⋅ 15 = −165 ,
2
(−1 − 2𝑟) + (−1 + 12𝑟)
⋅ 15 = −165 ,
2
ALBO
– obliczenie ósmego wyrazu ciągu (𝑎𝑛 ) z wykorzystaniem własności ciągu
arytmetycznego: 𝑎8 = −11 (dla sposobów IV oraz V),
ALBO
– zapisanie kolejnych piętnastu początkowych wyrazów ciągu (𝑎𝑛 ):
3, 1, −1, −3, −5, −7, −9, −11, −13, −15, −17, −19, −21, −23, −25.
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe
rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.
2. Jeżeli zdający zapisze tylko 𝑟 = −2, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
3. Jeżeli zdający błędnie interpretuje liczbę (−165) jako piętnasty wyraz ciągu, to
otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Zadanie 182 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuForma 660Matematyka — forma 660, odpowiedź według zasad CKE
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) zaznaczono kąt o mierze α taki, że
tg α=-3 oraz 90°<α<180° (jak na rysunku).
831851257301
−1
y
x
α
0
3
1
001
−1
y
x
α
0
3
1
Uzupełnij zdanie. Zapisz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami
A–F.
Prawdziwe są zależności oraz .
A. sinα<0
B. sinα⋅cosα<0
C. sinα⋅cosα>0
D. cosα>0
E. sinα=-13cosα
F. sinα=-3cosα
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
BF CF
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 2 pkt – wybranie dwóch odpowiedzi, z których obie są poprawne.
1 pkt – wybranie jednej lub dwóch odpowiedzi, z których jedna jest poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 201 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuForma 660Matematyka — forma 660, odpowiedź według zasad CKE
Dany jest trójkąt KLM, w którym KM=a, LM=b oraz a≠b. Dwusieczna kąta KML przecina bok KL w punkcie N takim, że KN=c, NL=d oraz MN=e (jak na rysunku).
17462545720e
a
M
b
K
d
c
L
N
00e
a
M
b
K
d
c
L
N
Dokończ zdanie. Zapisz właściwą odpowiedź spośród podanych.
W trójkącie KLM prawdziwa jest równość
A. a⋅b=c⋅d
B. a⋅d=b⋅c
C. a⋅c=b⋅d
D. a⋅b=e⋅e
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
B B
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 211 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuForma 660Matematyka — forma 660, odpowiedź według zasad CKE
Dany jest równoległobok o bokach długości 3 i 4 oraz o kącie między nimi o mierze 120°.
Dokończ zdanie. Zapisz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Pole tego równoległoboku jest równe
A. 12
B. 123
C. 6
D. 63
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
D B
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 221 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuForma 660Matematyka — forma 660, odpowiedź według zasad CKE
Trójkąt ABC jest wpisany w okrąg o środku w punkcie S (jak na rysunku). Kąt ACB ma miarę 42°.
Dokończ zdanie. Zapisz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Miara kąta ostrego BAS jest równa
A. 42°
B. 45°
C. 48°
D. 69°
-419735198120A
B
C
S
00A
B
C
S
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
C D
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 231 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuForma 660Matematyka — forma 660, odpowiedź według zasad CKE
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) proste k oraz l są określone równaniami
k: y=m+1x+7
l: y=-2x+7
Dokończ zdanie. Zapisz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Proste k oraz l są prostopadłe, gdy liczba m jest równa
A. -12
B. 12
C. -3
D. 1
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A C
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 242 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuForma 660Matematyka — forma 660, odpowiedź według zasad CKE
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dany jest równoległobok ABCD, w którym
A=-2, 6 oraz B=(10, 2). Przekątne AC oraz BD tego równoległoboku przecinają się w punkcie P=(6, 7).
Oblicz długość boku BC tego równoległoboku.
Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź
Sposób I
Punkt 𝑃 jest środkiem przekątnej 𝐴𝐶 . Ze wzoru na współrzędne środka odcinka
otrzymujemy
−2 + 𝑥𝑐 6 + 𝑦𝑐
= 6 oraz =7
2 2
Zatem 𝐶 = (14, 8).
Obliczamy długość odcinka 𝐵𝐶 :
|𝐵𝐶| = √(14 − 10)2 + (8 − 2)2 = √16 + 36 = √52 = 2√13
Sposób II
Punkt 𝑃 jest środkiem przekątnej 𝐵𝐷 . Ze wzoru na współrzędne środka odcinka
otrzymujemy
10 + 𝑥𝑑 2 + 𝑦𝑑
= 6 oraz =7
2 2
Zatem 𝐷 = (2, 12).
Obliczamy długość odcinka 𝐵𝐶 :
|𝐵𝐶| = |𝐴𝐷| = √(2 + 2)2 + (12 − 6)2 = √16 + 36 = √52 = 2√13
Sposób III
Obliczamy współrzędne punktu 𝑆 środka odcinka 𝐴𝐵 :
−2 + 10 6 + 2
𝑆=( , )
2 2
𝑆 = (4, 4)
Obliczamy długość odcinka 𝐵𝐶 :
|𝐵𝐶| = 2|𝑃𝑆| = 2√(4 − 6)2 + (4 − 7)2 = 2√4 + 9 = 2√13
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 2 pkt – zastosowanie poprawnej metody i obliczenie długości boku 𝐵𝐶 : |𝐵𝐶| = √52.
1 pkt – zapisanie współrzędnych punktu 𝐶 : 𝐶 = (14, 8)
ALBO
– zapisanie współrzędnych punktu 𝐷 : 𝐷 = (2, 12),
ALBO
– zapisanie współrzędnych środka 𝑆 boku 𝐴𝐵 : 𝑆 = (4, 4) oraz zapisanie równości
|𝐵𝐶| = 2|𝑃𝑆|,
ALBO
⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗
– zapisanie równości 𝐶𝐵 𝑃𝐴 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 oraz obliczenie współrzędnych wektorów
𝑃𝐴 i ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 : ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝐴 = [−8, −1] oraz ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = [12, −4],
ALBO
– obliczenie długości odcinków 𝐴𝐵 , 𝐴𝑃 oraz 𝐵𝑃 i cosinusa kąta 𝛼 oraz cosinusa
kąta (180° − 𝛼), gdzie 𝛼 = |∡𝐴𝑃𝐵|: |𝐴𝐵| = 4√10 oraz |𝐴𝑃| = √65, oraz
27 27
|𝐵𝑃| = √41, oraz cos 𝛼 = − , oraz cos(180° − 𝛼) = .
√65⋅√41 √65⋅√41
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający korzysta z punktów kratowych oraz błędnie zaznaczy w układzie
współrzędnych co najmniej jeden z punktów 𝐴, 𝐵, 𝐶 , 𝑃 i na tej podstawie oblicza długość
odcinka 𝐵𝐶 , to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie (o ile nie nabył praw do innej
punktacji).
2. Jeżeli zdający korzysta z punktów kratowych oraz poprawnie zaznaczy w układzie
współrzędnych punkty 𝐴, 𝐵, 𝐶 , 𝑃, lecz błędnie odczyta współrzędne jednego z tych
punktów, i na tej podstawie oblicza długość odcinka 𝐵𝐶 , to otrzymuje 1 punkt za całe
rozwiązanie.
3. Jeżeli zdający obliczy długość odcinka 𝐵𝐶 , korzystając z przybliżonych wartości funkcji
trygonometrycznych, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.
Zadanie 25.21 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuForma 660Matematyka — forma 660, odpowiedź według zasad CKE
Dokończ zdanie. Zapisz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Tangens kąta nachylenia przekątnej tego graniastosłupa do płaszczyzny podstawy jest równy
A. 6
B. 33
C. 1
D. 3
Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy 32. Wysokość tego graniastosłupa jest równa 63.
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
D D
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 261 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuForma 660Matematyka — forma 660, odpowiedź według zasad CKE
Ostrosłup F1 jest podobny do ostrosłupa F2.
Objętość ostrosłupa F1 jest równa 64.
Objętość ostrosłupa F2 jest równa 512.
Dokończ zdanie. Zapisz odpowiednią liczbę tak, aby zdanie było prawdziwe.
Stosunek pola powierzchni całkowitej ostrosłupa F2 do pola powierzchni całkowitej
ostrosłupa F1 jest równy .
Pokaż odpowiedź
4
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 271 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuForma 660Matematyka — forma 660, odpowiedź według zasad CKE
Rozważamy wszystkie kody czterocyfrowe utworzone tylko z cyfr 1, 3, 6, 8, przy czym w każdym kodzie każda z tych cyfr występuje dokładnie jeden raz.
Dokończ zdanie. Zapisz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba wszystkich takich kodów jest równa
A. 4
B. 10
C. 24
D. 16
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
C D
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 281 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuForma 660Matematyka — forma 660, odpowiedź według zasad CKE
Średnia arytmetyczna trzech liczb: a, b, c, jest równa 9.
Dokończ zdanie. Zapisz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Średnia arytmetyczna sześciu liczb: a, a, b, b, c, c, jest równa
A. 9
B. 6
C. 4,5
D. 18
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A C
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 291 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuForma 660Matematyka — forma 660, odpowiedź według zasad CKE
W tabeli przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej.
Oznaczenia kolumn:
I – oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy
II – liczba uczniów, którzy otrzymali daną ocenę
Tabela
I
II
1
2
2
7
3
4
4
3
5
6
6
4
Dokończ zdanie. Zapisz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa
A. 4,5
B. 4
C. 3,5
D. 3
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
C B
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 302 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuForma 660Matematyka — forma 660, odpowiedź według zasad CKE
Dany jest pięcioelementowy zbiór K=5, 6, 7, 8, 9. Wylosowanie każdej liczby z tego zbioru jest jednakowo prawdopodobne. Ze zbioru K losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą.
Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź
Sposób I
Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑥, 𝑦), gdzie
𝑥, 𝑦 ∈ {5, 6, 7, 8, 9}.
Liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych obliczamy, korzystając z reguły mnożenia.
Moc zbioru Ω jest równa 5 ∙ 5 = 25.
Liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴 obliczamy,
korzystając z reguły mnożenia i reguły dodawania. Suma dwóch liczb naturalnych jest liczbą
parzystą, gdy sumujemy dwie liczby parzyste lub dwie liczby nieparzyste. Stąd moc zbioru 𝐴
jest równa 3 ∙ 3 + 2 ∙ 2 = 13.
13
Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe .
25
Sposób II
W tabeli literą 𝐴 zaznaczamy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴 (pary liczb,
których suma jest liczbą parzystą).
5 6 7 8 9
5 𝐴 𝐴 𝐴
6 𝐴 𝐴
7 𝐴 𝐴 𝐴
8 𝐴 𝐴
9 𝐴 𝐴 𝐴
Moc zbioru Ω jest równa 25.
Zdarzeń sprzyjających wylosowaniu liczb, których suma jest parzysta, jest 13.
13
Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe .
25
Sposób III (drzewo stochastyczne)
Rysujemy drzewo stochastyczne rozważanego doświadczenia.
2 3
5 5
liczba liczba
parzysta nieparzysta
2 3 2 3
5 5 5 5
5
liczba liczba liczba liczba
parzysta nieparzysta parzysta nieparzysta
Prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe
2 2 3 3 13
𝑃(𝐴) = ⋅ + ⋅ =
5 5 5 5 25
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 2 pkt – zastosowanie poprawnej metody obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴
13
i uzyskanie poprawnego wyniku: 𝑃(𝐴) = .
25
1 pkt – wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych lub obliczenie/podanie liczby tych
zdarzeń: |Ω| = 5 ⋅ 5 lub sporządzenie tabeli o 25 polach odpowiadających
zdarzeniom elementarnym, z których co najmniej jedno pole jest wypełnione, lub
sporządzenie pełnego drzewa stochastycznego
ALBO
– wypisanie (lub zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych
sprzyjających zdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego,
ALBO
– podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:
|𝐴| = 13, o ile nie zostały zliczone błędne pary,
ALBO
– sporządzenie fragmentu drzewa stochastycznego, które zawiera wszystkie gałęzie
sprzyjające zdarzeniu 𝐴 oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej
jednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,
ALBO
1
– podanie prawdopodobieństwa jednoelementowego zdarzenia (elementarnego): ,
25
ALBO
13
– zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = .
25
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający zapisuje tylko liczby 13 lub 25 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych
liczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
2. Jeżeli zdający rozważa losowanie bez zwracania, to otrzymuje 0 punktów.
Zadanie 314 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuForma 660Matematyka — forma 660, odpowiedź według zasad CKE
W schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki wydzielające trzy identyczne wybiegi o wspólnych ścianach wewnętrznych.
Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt (jak na rysunku).
Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć 36 metrów bieżących siatki.
Schematyczny rysunek trzech wybiegów (widok z góry).
Linią zaznaczono siatkę.
8464552428875y
y
y
x
00y
y
y
x
Oblicz wymiary x oraz y jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych trzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na każdy z wybiegów.
Zapisz obliczenia.
Koniec
Pokaż odpowiedź
Sposób I
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku w zadaniu. Długość siatki użytej do wykonania
ogrodzenia – po uwzględnieniu warunków zadania – można zapisać równaniem
4𝑥 + 6𝑦 = 36
2
Stąd wyznaczamy 𝑦: 𝑦 = 6 − 𝑥.
3
Z warunków zadania wynika, że
𝑥>0 i 𝑦>0
Niech 𝑃 oznacza sumę pól podstaw trzech wybiegów.
Suma pól podstaw trzech wybiegów jest równa polu prostokąta o bokach długości 𝑥 oraz 3𝑦.
Zatem
𝑃 = 3𝑥𝑦
Sumę pól podstaw trzech wybiegów zapisujemy jako funkcję jednej zmiennej 𝑥. W tym celu
2
podstawiamy 𝑦 = 6 − 𝑥 i otrzymujemy
3
2
𝑃(𝑥) = 3𝑥 (6 − 𝑥) = −2𝑥 2 + 18𝑥
3
Wyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑃. Wykorzystamy związek między wymiarami 𝑥 i 𝑦 oraz
wykorzystamy warunki, jakie te wymiary spełniają
2
𝑦 = 6 − 𝑥 > 0 oraz 𝑥 > 0
3
Zatem
𝑥 < 9 oraz 𝑥 > 0
Zmienna 𝑥 może przyjmować wartości z przedziału (0, 9).
Wykresem funkcji 𝑃 jest fragment paraboli skierowanej ramionami do dołu. Obliczamy
pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli:
18
𝑝=− = 4,5 ∈ (0, 9)
2 ⋅ (−2)
Zatem funkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla argumentu 4,5.
Obliczamy drugi wymiar, dla którego suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa
2
𝑦 = 6 − ⋅ 4,5 = 3
3
Suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa, gdy: 𝑥 = 4,5 m oraz 𝑦 = 3 m.
Sposób II
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku w zadaniu. Długość siatki użytej do wykonania
ogrodzenia – po uwzględnieniu warunków zadania – można zapisać równaniem
4𝑥 + 6𝑦 = 36
3
Stąd wyznaczamy 𝑥 : 𝑥 = 9 − 𝑦.
2
Z warunków zadania wynika, że
𝑥>0 i 𝑦>0
Niech 𝑃 oznacza sumę pól podstaw trzech wybiegów.
Suma pól podstaw trzech wybiegów jest równa polu prostokąta o bokach długości 𝑥 oraz 3𝑦.
Zatem
𝑃 = 3𝑥𝑦
Sumę pól podstaw trzech wybiegów zapisujemy jako funkcję jednej zmiennej 𝑦. W tym celu
3
podstawiamy 𝑥 = 9 − 𝑦 i otrzymujemy
2
3 9
𝑃(𝑦) = 3 (9 − 𝑦) 𝑦 = − 𝑦(𝑦 − 6)
2 2
Wyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑃. Wykorzystamy związek między wymiarami 𝑥 i 𝑦 oraz
wykorzystamy warunki, jakie te wymiary spełniają
3
𝑥 = 9 − 2 𝑦 > 0 oraz 𝑦 > 0
Zatem
𝑦 < 6 oraz 𝑦 > 0
Zmienna 𝑦 może przyjmować wartości z przedziału (0, 6).
Wykresem funkcji 𝑃 jest fragment paraboli skierowanej ramionami do dołu. Pierwsza
współrzędna wierzchołka paraboli jest średnią arytmetyczną pierwiastków równania:
9
− 𝑦(𝑦 − 6) = 0
2
Zatem pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli jest równa
0+6
𝑝= = 3 ∈ (0, 6)
2
Zatem funkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla argumentu 3.
Obliczamy drugi wymiar, dla którego suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa:
3
𝑥 = 9− ⋅ 3 = 4,5
2
Suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa, gdy: 𝑥 = 4,5 m oraz 𝑦 = 3 m.
Sposób III
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku w zadaniu. Niech 𝑧 oznacza łączną szerokość trzech
wybiegów. Wtedy 𝑧 = 3𝑦.
Długość siatki użytej do wykonanie ogrodzenia – po uwzględnieniu warunków zadania –
można zapisać równaniem
4𝑥 + 2𝑧 = 36
Stąd wyznaczamy 𝑧: 𝑧 = 18 − 2𝑥 .
Z warunków zadania wynika, że
𝑥>0 i 𝑧>0
Niech 𝑃 oznacza sumę pól podstaw trzech wybiegów.
Suma pól podstaw trzech wybiegów jest równa polu prostokąta o bokach długości 𝑥 oraz 𝑧.
Zatem
𝑃 = 𝑥𝑧
Sumę pól podstaw trzech wybiegów zapisujemy jako funkcję jednej zmiennej 𝑥. W tym celu
podstawiamy 𝑧 = 18 − 2𝑥 i otrzymujemy
𝑃(𝑥) = 𝑥(18 − 2𝑥) = −2𝑥 2 + 18𝑥
Wyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑃. Wykorzystamy związek między wymiarami 𝑥 i 𝑧 oraz
wykorzystamy warunki, jakie te wymiary spełniają
𝑧 = 18 − 2𝑥 > 0 oraz 𝑥 > 0
Zatem
𝑥 < 9 oraz 𝑥 > 0
Zmienna 𝑥 może przyjmować wartości z przedziału (0, 9).
Wykresem funkcji 𝑃 jest fragment paraboli skierowanej ramionami do dołu. Obliczamy
pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli:
18
𝑝=− = 4,5 ∈ (0, 9)
2 ⋅ (−2)
Zatem funkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla argumentu 4,5.
Obliczamy drugi wymiar, dla którego suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa:
𝑧 = 18 − 2 ∙ 4,5 = 18 − 9 = 9
𝑧 9
𝑦= = =3
3 3
Suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa, gdy 𝑥 = 4,5 m oraz 𝑦 = 3 m.
Sposób IV
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku w zadaniu. Długość siatki użytej do wykonania
ogrodzenia – po uwzględnieniu warunków zadania – można zapisać równaniem
4𝑥 + 6𝑦 = 36
2
Stąd wyznaczamy 𝑦: 𝑦 = 6 − 𝑥.
3
Z warunków zadania wynika, że
𝑥>0 i 𝑦>0
Niech 𝑃 oznacza sumę pól podstaw trzech wybiegów.
Suma pól podstaw trzech wybiegów jest równa polu prostokąta o bokach długości 𝑥 oraz 3𝑦.
Zatem
𝑃 = 3𝑥𝑦
Sumę pól podstaw trzech wybiegów zapisujemy jako funkcję jednej zmiennej 𝑥. W tym celu
2
podstawiamy 𝑦 = 6 − 𝑥 i otrzymujemy
3
2
𝑃(𝑥) = 3𝑥 (6 − 𝑥) = 2𝑥(9 − 𝑥)
3
Wyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑃. Wykorzystamy związek między wymiarami 𝑥 i 𝑦 oraz
wykorzystamy warunki, jakie te wymiary spełniają
2
𝑦 = 6 − 3 𝑥 > 0 oraz 𝑥 > 0
Zatem
𝑥 < 9 oraz 𝑥 > 0
Zmienna 𝑥 może przyjmować wartości z przedziału (0, 9).
Z nierówności między średnią geometryczną i średnią arytmetyczną dla liczb dodatnich
𝑥 i (9 − 𝑥) otrzymujemy
𝑥+9−𝑥
√𝑥(9 − 𝑥) ≤
2
√𝑥(9 − 𝑥) ≤ 4,5
Stąd
𝑥(9 − 𝑥) ≤ 20,25
przy czym równość zachodzi tylko wtedy, gdy 𝑥 = 9 − 𝑥 , czyli dla 𝑥 = 4,5.
Zatem funkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla argumentu 4,5.
Obliczamy drugi wymiar, dla którego suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa:
2
𝑦 = 6 − ⋅ 4,5 = 3
3
Suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa, gdy: 𝑥 = 4,5 m oraz 𝑦 = 3 m.
Sposób V
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku w zadaniu. Długość siatki użytej do wykonania
ogrodzenia – po uwzględnieniu warunków zadania – można zapisać równaniem
4𝑥 + 6𝑦 = 36
2
Stąd wyznaczamy 𝑦: 𝑦 = 6 − 𝑥.
3
Z warunków zadania wynika, że
𝑥>0 i 𝑦>0
Niech 𝑃 oznacza sumę pól podstaw trzech wybiegów.
Suma pól podstaw trzech wybiegów jest równa polu prostokąta o bokach długości 𝑥 oraz 3𝑦.
Zatem
𝑃 = 3𝑥𝑦
Sumę pól podstaw trzech wybiegów zapisujemy jako funkcję jednej zmiennej 𝑥 . W tym celu
2
podstawiamy 𝑦 = 6 − 𝑥 i otrzymujemy
3
2
𝑃(𝑥) = 3𝑥 (6 − 𝑥) = −2𝑥 2 + 18𝑥
3
Wyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑃. Wykorzystamy związek między wymiarami 𝑥 i 𝑦 oraz
wykorzystamy warunki, jakie te wymiary spełniają
2
𝑦 = 6 − 3 𝑥 > 0 oraz 𝑥 > 0
Zatem
𝑥 < 9 oraz 𝑥 > 0
Zmienna 𝑥 może przyjmować wartości z przedziału (0, 9).
Wyznaczamy pochodną funkcji 𝑃: 𝑃′ (𝑥) = −4𝑥 + 18 dla 𝑥 ∈ (0, 9)
Obliczamy miejsce zerowe pochodnej funkcji 𝑃:
𝑃′ (𝑥) = 0
−4𝑥 + 18 = 0
𝑥 = 4,5 ∈ (0, 9)
Badamy znak pochodnej:
1
𝑃′ (𝑥) > 0 dla 𝑥 ∈ (0, 4 2)
1
𝑃′ (𝑥) < 0 dla 𝑥 ∈ (4 2 , 9)
1 1
Zatem funkcja 𝑃 jest rosnąca w przedziale (0, 4 ] oraz malejąca w przedziale [4 2 , 9).
2
Stąd dla 𝑥 = 4,5 funkcja 𝑃 osiąga wartość największą.
Obliczamy drugi wymiar, dla którego suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa:
2
𝑦 = 6 − ⋅ 4,5 = 3
3
Suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa, gdy: 𝑥 = 4,5 m oraz 𝑦 = 3 m.
Sposób VI
Rozważmy prostokąt o bokach długości 2𝑥 oraz 3𝑦 (jak na rysunku poniżej).
𝑦 𝑦 𝑦
𝑥
𝑥
Obwód tego prostokąta jest równy długości siatki użytej do wykonania ogrodzenia wybiegów.
Zatem obwód tego prostokąta jest równy 4𝑥 + 6𝑦 = 36.
Ze wszystkich prostokątów o danym obwodzie największe pole ma kwadrat.
Zatem pole rozważanego prostokąta będzie największe, gdy 2𝑥 = 3𝑦.
Rozwiązujemy układ równań
4𝑥 + 6𝑦 = 36
{
2𝑥 = 3𝑦
i otrzymujemy
𝑥 = 4,5
{
𝑦=3
Pole tego prostokąta jest największe, gdy 𝑥 = 4,5 oraz 𝑦 = 3.
Pole tego prostokąta jest dwa razy większe od sumy pól podstaw trzech wybiegów.
Stąd suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa, gdy 𝑥 = 4,5 m oraz 𝑦 = 3 m.
Ocena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią
Obowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez stwierdzonej
dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:
I. ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze
stwierdzoną dyskalkulią (punkty 1.–12.);
II. dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy
osób ze stwierdzoną dyskalkulią – egzamin maturalny z matematyki, poziom
podstawowy, termin główny 2024.
I. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną
dyskalkulią
1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:
• błędnego przepisania
• przestawienia cyfr
• zapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie
• przestawienia położenia przecinka
• przestawienia położenia znaku liczby.
2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu
oddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza
umiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania
badanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.
3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę
rozwiązania, części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej
1 punkt, zgodnie z kryteriami do poszczególnych zadań.
4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub
zapisuje nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne
rozumowanie lub stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt
za rozwiązanie zadania.
5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu
kwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę
wyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania
wartościach liczbowych.
6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający
może otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności
kwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.
7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej
zdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji
kwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.
8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych
lub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie
takiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.
9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na
płaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu
rozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur
geometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.
10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać
przynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych
sprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje
prawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.
11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli
podaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia
rozwiązania.
12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub
geometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która
wyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać
1 punkt.
II. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób
ze stwierdzoną dyskalkulią
1 pkt – zastosowanie wzoru skróconego mnożenia do wyrażenia (𝑛 + 1)2
ALBO
– zastosowanie wzoru skróconego mnożenia do wyrażenia (𝑛 + 2)2 ,
ALBO
– przekształcenie wyrażenia (𝑛 + 1)2 do postaci 𝑛2 + 𝑛 + 𝑛 + 1 ,
ALBO
– przekształcenie wyrażenia (𝑛 + 2)2 do postaci 𝑛2 + 2𝑛 + 2𝑛 + 4 .
1 pkt – przekształcenie wielomianu 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 do postaci
𝑥 2 (𝑥 − 2) − 3(𝑥 − 2) lub 𝑥(𝑥 2 − 3) − 2(𝑥 2 − 3)
ALBO
– zapisanie jednego z rozwiązań równania 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 = 0 .
Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.
1 pkt – zapisanie równania z dwiema niewiadomymi, gdzie jedną z niewiadomych jest
2𝑎1 +14𝑟
różnica ciągu arytmetycznego, np.: −1 = 𝑎1 + 2𝑟, −165 = ⋅ 15 .
2
1 pkt – poprawne zaznaczenie w kartezjańskim układzie współrzędnych punktu 𝐶
ALBO
– poprawne zaznaczenie w kartezjańskim układzie współrzędnych punktu 𝐷 ,
ALBO
– zapisanie współrzędnych środka 𝑆 boku 𝐴𝐵 : 𝑆 = (4, 4).
Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.
1 pkt – zapisanie jedynie liczby 25 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich
zdarzeń elementarnych).
Uwagi:
1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi 1.
ze standardowych zasad oceniania.
2. Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające
zdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (np. |𝐴| = 12) i konsekwentnie zapisze
12
wynik (np. ), to otrzymuje 2 punkty.
25
1 pkt – zapisanie 𝑥 = 4,5 oraz 𝑦 = 3.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: dla sposobów I–V
4 pkt – poprawna metoda obliczenia obu wymiarów prostokąta oraz podanie poprawnego
wyniku: 𝑥 = 4,5 m oraz 𝑦 = 3 m.
3 pkt – zapisanie poprawnego wzoru na sumę pól trzech prostokątów jako funkcji zmiennej 𝑥
oraz obliczenie argumentu, dla którego ta funkcja przyjmuje wartość największą:
𝑥 = 4,5 m
ALBO
– zapisanie poprawnego wzoru na sumę pól trzech prostokątów jako funkcji zmiennej 𝑦
oraz obliczenie argumentu, dla którego ta funkcja przyjmuje wartość największą:
𝑦 = 3 m,
ALBO
– zapisanie poprawnego wzoru na pole jednego prostokąta jako funkcji zmiennej 𝑥
oraz obliczenie argumentu, dla którego ta funkcja przyjmuje wartość największą:
𝑥 = 4,5 m,
ALBO
– zapisanie poprawnego wzoru na pole jednego prostokąta jako funkcji zmiennej 𝑦
oraz obliczenie argumentu, dla którego ta funkcja przyjmuje wartość największą:
𝑦 = 3 m.
2 pkt – zapisanie poprawnego wzoru na sumę pól trzech prostokątów w zależności od jednej
2 3
zmiennej, np.: 𝑃(𝑥) = 3𝑥 (6 − 𝑥), 𝑃(𝑥) = 𝑥(18 − 2𝑥), 𝑃(𝑦) = 3 (9 − 𝑦) 𝑦
3 2
ALBO
– zapisanie poprawnego wzoru na pole jednego prostokąta w zależności od jednej
2 3
zmiennej, np.: 𝑃(𝑥) = 𝑥 (6 − 𝑥), 𝑃(𝑦) = (9 − 𝑦) 𝑦.
3 2
1 pkt – zapisanie poprawnego związku między wymiarami jednego wybiegu a całkowitą
długością siatki, np. 4𝑥 + 6𝑦 = 36.
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający przyjmie 𝑃 = 𝑘𝑥𝑦, gdzie 𝑘 > 0 i 𝑘 ≠ 1, i 𝑘 ≠ 3, ale nie zapisze, że dla
przyjętej wartości współczynnika 𝑘 pole 𝑃 osiąga wartość największą wtedy i tylko
wtedy, gdy największą wartość osiąga iloczyn 𝑥𝑦, to może otrzymać co najwyżej
3 punkty (za zapisanie warunku początkowego, za obliczenie wymiaru 𝑥 oraz obliczenie
wymiaru 𝑦 adekwatnie do obranego sposobu rozwiązania).
2. Jeżeli zdający zapisze błędną zależność między wymiarami jednego wybiegu a całkowitą
długością siatki, ale jest ona postaci 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 36, gdzie 𝑎, 𝑏 ∈ {2, 3, 4, 5, 6}, i rozwiąże
zadanie konsekwentnie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe
rozwiązanie (za konsekwentne: wyznaczenie wzoru funkcji pola, obliczenie wymiaru 𝑥
oraz obliczenie wymiaru 𝑦, adekwatnie do obranego sposobu rozwiązania).
3. Jeżeli zdający zapisze poprawnie warunek początkowy 4𝑥 + 6𝑦 = 36, a następnie sumę
pól trzech prostokątów (lub pole jednego prostokąta) jako funkcję 𝑃 jednej zmiennej
i otrzyma wartość pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli zawierającej wykres
funkcji 𝑃, która leży poza właściwą dziedziną funkcji 𝑃, to może otrzymać co najwyżej
2 punkty za całe rozwiązanie (za zapisanie warunku początkowego i wzoru na sumę pól
lub pole jednego prostokąta).
Jeżeli natomiast zdający zapisze błędny warunek początkowy, ale taki jak wymieniony
w uwadze 2., a następnie konsekwentnie do tego warunku wyznaczy sumę pól trzech
prostokątów (lub pole jednego prostokąta) jako funkcję 𝑃 jednej zmiennej i otrzyma
wartość pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli zawierającej wykres funkcji 𝑃, która
leży poza dziedziną odpowiadającą wyznaczonej przez zdającego funkcji 𝑃, to może
otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie (za wyznaczenie wzoru funkcji 𝑃).
4. Jeżeli zdający zapisze sumę pól trzech prostokątów (lub pole jednego prostokąta) jako
funkcję 𝑃 jednej zmiennej, a następnie obliczy wartości tej funkcji dla pierwszej
współrzędnej wierzchołka i dwóch argumentów leżących symetrycznie względem
pierwszej współrzędnej wierzchołka, i nie odwoła się do własności wykresu funkcji
kwadratowej, to otrzymuje co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.
5. Jeżeli zdający nie zapisze sumy pól trzech prostokątów (lub jednego prostokąta) jako
funkcji jednej zmiennej, a jedynie oblicza wartości pola dla wybranych par liczb 𝑥 oraz 𝑦
i na tej podstawie wskazuje największą wartość pola, to za całe rozwiązanie otrzymuje
0 punktów, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.
6. Jeżeli zdający oblicza największą wartość funkcji 𝑃, korzystając z rachunku
różniczkowego, i nie uzasadni, że w punkcie będącym miejscem zerowym pochodnej
funkcji 𝑃 jest największa wartość funkcji 𝑃, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za
całe rozwiązanie.
Za poprawne uzasadnienie, że w punkcie będącym miejscem zerowym pochodnej
funkcji 𝑃 jest największa wartość funkcji 𝑃, można uznać sytuację, gdy zdający bada
znak pochodnej (np. szkicując wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna
zmienia znak, i zaznaczając na rysunku, np. znakami „+” i „-”, znak pochodnej) oraz:
– opisuje (słownie lub graficznie - np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji 𝑃
LUB
– zapisuje, że dla wyznaczonego miejsca zerowego pochodnej, funkcja 𝑃 ma maksimum
lokalne i jest to jednocześnie jej największa wartość,
LUB
– zapisuje, że dla wyznaczonego miejsca zerowego pochodnej, funkcja 𝑃 ma maksimum
lokalne i jest to jedyne ekstremum tej funkcji.
Zasady oceniania dla sposobu VI
4 pkt – poprawna metoda obliczenia obu wymiarów prostokąta oraz podanie poprawnego
wyniku: 𝑥 = 4,5 m oraz 𝑦 = 3 m.
3 pkt – zapisanie, że spośród prostokątów o danym obwodzie największe pole ma kwadrat
4𝑥 + 6𝑦 = 36
oraz zapisanie układu równań { oraz obliczenie 𝑥 = 4,5 m
2𝑥 = 3𝑦
ALBO
– zapisanie, że spośród prostokątów o danym obwodzie największe pole ma kwadrat
4𝑥 + 6𝑦 = 36
oraz zapisanie układu równań { oraz obliczenie 𝑦 = 3 m.
2𝑥 = 3𝑦
2 pkt – zapisanie, że spośród prostokątów o danym obwodzie największe pole ma kwadrat
4𝑥 + 6𝑦 = 36
oraz zapisanie układu równań {
2𝑥 = 3𝑦
1 pkt – zapisanie związku między wymiarami prostokąta, np. 4𝑥 + 6𝑦 = 36.
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zadanie 11 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuArkusz MMAU · wersja polsko-ukraińskaMatematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
Dana jest nierówność
Дано нерівність
|𝑥 − 1| ≥ 3
Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb
rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź
spośród podanych.
На якому рисунку на числовій осі правильно зазначено множину усіх дійсних
чисел, які виконують вищенаведену нерівність? Вибери правильну відповідь
серед поданих.
A. B.
−2 4 𝑥 −2 4 𝑥
C. D.
−2 4 𝑥 −2 4 𝑥
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
B B
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 21 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuArkusz MMAU · wersja polsko-ukraińskaMatematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
1 8
Liczba ( ) ⋅ 816 jest równa
16
1 8
Число ( ) ⋅ 816 дорівнює
16
A. 224 B. 216 C. 212 D. 28
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
B C
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 32 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuArkusz MMAU · wersja polsko-ukraińskaMatematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej 𝒏 ≥ 𝟏 liczba 𝒏𝟐 + (𝒏 + 𝟏)𝟐 + (𝒏 + 𝟐)𝟐 przy
dzieleniu przez 𝟑 daje resztę 𝟐.
Доведи, що для кожного натурального числа 𝒏 ≥ 𝟏 число
𝒏𝟐 + (𝒏 + 𝟏)𝟐 + (𝒏 + 𝟐)𝟐 при діленні на 𝟑 дає остачу 𝟐.
Pokaż odpowiedź
Sposób I
Przekształcamy równoważnie dane wyrażenie
𝑛2 + (𝑛 + 1)2 + (𝑛 + 2)2 = 𝑛2 + 𝑛2 + 2𝑛 + 1 + 𝑛2 + 4𝑛 + 4
= 3𝑛2 + 6𝑛 + 5 = 3 ∙ (𝑛2 + 2𝑛 + 1) + 2
Ponieważ 𝑛 jest liczbą naturalną, więc 𝑛2 + 2𝑛 + 1 jest liczbą naturalną.
Zatem 3 ∙ (𝑛2 + 2𝑛 + 1) jest wielokrotnością liczby 3.
Stąd 3 ∙ (𝑛2 + 2𝑛 + 1) + 2 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.
To należało wykazać.
Sposób II
Liczby 𝑛, 𝑛 + 1, 𝑛 + 2 to trzy kolejne liczby naturalne, więc dokładnie jedna z nich jest
podzielna przez 3, a dwie pozostałe nie są podzielne przez 3.
Kwadrat liczby podzielnej przez 3 jest również podzielny przez 3.
Kwadrat liczby niepodzielnej przez 3 daje przy dzieleniu przez 3 resztę 1.
Zatem suma reszt z dzielenia przez 3 liczby 𝑛2 + (𝑛 + 1)2 + (𝑛 + 2)2 jest równa
0 + 1 + 1 = 2.
To należało wykazać.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 2 pkt – przekształcenie wyrażenia 𝑛2 + (𝑛 + 1)2 + (𝑛 + 2)2 do postaci
3(𝑛2 + 2𝑛 + 1) + 2
ALBO
– przekształcenie wyrażenia 𝑛2 + (𝑛 + 1)2 + (𝑛 + 2)2 do postaci
3𝑛2 + 6𝑛 + 5 oraz zapisanie, że składniki 3𝑛2 oraz 6𝑛 są podzielne przez 3,
a reszta z dzielenia liczby 5 przez 3 jest równa 2,
ALBO
– zapisanie, że 𝑛, 𝑛 + 1, 𝑛 + 2, to trzy kolejne liczby całkowite, więc dokładnie jedna
z nich jest podzielna przez 3, a dwie pozostałe nie są podzielne przez 3 oraz
zapisanie, że kwadrat liczby podzielnej przez 3 jest podzielny przez 3, a kwadrat
liczby niepodzielnej przez 3 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1, oraz zapisanie
wniosku, że reszta z dzielenia przez 3 liczby 𝑛2 + (𝑛 + 1)2 + (𝑛 + 2)2 jest
równa 2.
1 pkt – przekształcenie wyrażenia 𝑛2 + (𝑛 + 1)2 + (𝑛 + 2)2 do postaci
𝑛2 + 𝑛2 + 2𝑛 + 1 + 𝑛2 + 4𝑛 + 4
ALBO
– zapisanie, że 𝑛, 𝑛 + 1, 𝑛 + 2, to trzy kolejne liczby naturalne, więc dokładnie jedna
z nich jest podzielna przez 3, a dwie pozostałe nie są podzielne przez 3 oraz
zapisanie, że kwadrat liczby podzielnej przez 3 jest podzielny przez 3, a kwadrat
liczby niepodzielnej przez 3 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1.
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy tylko dla wybranych wartości 𝑛, to otrzymuje
0 punktów za całe rozwiązanie.
2. Jeżeli zdający przyjmuje np. 𝑛 = 3𝑘 + 𝑟, gdzie 𝑘 ∈ ℕ i 𝑟 jest resztą z dzielenia liczby
𝑛 przez 3 (lub 𝑛 = 2𝑘 + 𝑟, gdzie 𝑘 ∈ ℕ i 𝑟 jest resztą z dzielenia liczby 𝑛 przez 2),
i przeprowadzi pełne rozumowanie dla wszystkich przypadków, to otrzymuje 2 punkty.
Gdy przeprowadzi pełne rozumowanie dla co najmniej połowy przypadków, ale nie
przeprowadzi pełnego rozumowania dla wszystkich przypadków, to otrzymuje 1 punkt za
całe rozwiązanie.
3. Jeżeli zdający rozpatruje tylko jeden przypadek 𝑛 = 3𝑘 + 2, to otrzymuje 0 punktów za
całe rozwiązanie.
Zadanie 41 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuArkusz MMAU · wersja polsko-ukraińskaMatematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
Liczba log √3 9 jest równa
Число log √3 9 дорівнює
A. 2 B. 3 C. 4 D. 9
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
C B
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 51 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuArkusz MMAU · wersja polsko-ukraińskaMatematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
Dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑏 wartość wyrażenia
(2𝑎 + 𝑏)2 − (2𝑎 − 𝑏)2 jest równa wartości wyrażenia
Для кожного дійсного числа 𝑎 і для кожного дійсного числа 𝑏 значення виразу
(2𝑎 + 𝑏)2 − (2𝑎 − 𝑏)2 дорівнює значенню виразу
A. 8𝑎2 B. 8𝑎𝑏 C. −8𝑎𝑏 D. 2𝑏 2
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
B D
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 61 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuArkusz MMAU · wersja polsko-ukraińskaMatematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności
Множиною усіх розв’язків нерівності
3 2
1− 𝑥 < −𝑥
2 3
jest przedział
є проміжок
2 2 2 2
A. (−∞, − ) B. (−∞, ) C. (− , +∞) D. ( , +∞)
3 3 3 3
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
D D
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 71 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuArkusz MMAU · wersja polsko-ukraińskaMatematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
𝑥+1
Równanie = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych
(𝑥+2)(𝑥−3)
𝑥+1
Рівняння = 0 у множині дійсних чисел
(𝑥+2)(𝑥−3)
A. nie ma rozwiązania.
не має розв’язку.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: (−1).
має точно один розв’язок: (−1).
C. ma dokładnie dwa rozwiązania: (−2) oraz 3.
має точно два розв’язки: (−2) та 3.
D. ma dokładnie trzy rozwiązania: (−1), (−2) oraz 3.
має точно три розв’язки: (−1), (−2) та 3.
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
B B
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 81 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuArkusz MMAU · wersja polsko-ukraińskaMatematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
Dany jest wielomian 𝑊(𝑥) = 3𝑥 3 + 6𝑥 2 + 9𝑥 .
Дано многочлен 𝑊(𝑥) = 3𝑥 3 + 6𝑥 2 + 9𝑥 .
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest
prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Оціни правильність нижченаведених тверджень. Вибери P, якщо твердження
правильне, або F – якщо воно хибне.
Wielomian 𝑊 jest iloczynem wielomianów 𝐹(𝑥) = 3𝑥 i 𝐺(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥 + 3.
P F
Многочлен 𝑊 є добутком многочленів 𝐹(𝑥) = 3𝑥 і 𝐺(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥 + 3.
Liczba (−1) jest rozwiązaniem równania 𝑊(𝑥) = 0.
P F
Число (−1) є розв’язком рівняння 𝑊(𝑥) = 0.
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
PF FP
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 93 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuArkusz MMAU · wersja polsko-ukraińskaMatematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
Sposób I
Przekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:
𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 = 0
𝑥 2 (𝑥 − 2) − 3(𝑥 − 2) = 0
(𝑥 − 2)(𝑥 2 − 3) = 0
(𝑥 − 2)(𝑥 − √3)(𝑥 + √3) = 0
𝑥 − 2 = 0 lub 𝑥 − √3 = 0 lub 𝑥 + √3 = 0
𝑥 = 2 lub 𝑥 = √3 lub 𝑥 = −√3
Rozwiązaniami równania są liczby: (−√3), √3, 2.
Sposób II
Przekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:
𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 = 0
𝑥(𝑥 2 − 3) − 2(𝑥 2 − 3) = 0
(𝑥 − 2)(𝑥 2 − 3) = 0
(𝑥 − 2)(𝑥 − √3)(𝑥 + √3) = 0
𝑥 − 2 = 0 lub 𝑥 − √3 = 0 lub 𝑥 + √3 = 0
𝑥 = 2 lub 𝑥 = √3 lub 𝑥 = −√3
Rozwiązaniami równania są liczby: (−√3), √3, 2.
Sposób III
Obliczamy 𝑊(2) = 0 i stwierdzamy, że liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu
𝑊(𝑥) = 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6.
Zatem wielomian 𝑊 jest podzielny przez dwumian (𝑥 − 2). Dzielimy wielomian 𝑊 przez
dwumian (𝑥 − 2) i otrzymujemy
(𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6): (𝑥 − 2) = 𝑥 2 − 3
Zatem 𝑊(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥 2 − 3) = (𝑥 − 2)(𝑥 − √3)(𝑥 + √3).
Obliczamy pierwiastki wielomianu 𝑊(𝑥):
(𝑥 − 2)(𝑥 − √3)(𝑥 + √3) = 0
𝑥 − 2 = 0 lub 𝑥 − √3 = 0 lub 𝑥 + √3 = 0
𝑥 = 2 lub 𝑥 = √3 lub 𝑥 = −√3
Rozwiązaniami równania są liczby: (−√3), √3, 2.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 3 pkt – poprawna metoda rozwiązania równania i obliczenie wszystkich rozwiązań równania:
(−√3), √3, 2.
2 pkt – przekształcenie lewej strony równania do postaci iloczynu wielomianów stopnia co
najwyżej drugiego oraz rozwiązanie jednego z równań wynikającego z tego
rozkładu, np.:
(𝑥 − 2)(𝑥 2 − 3) = 0 i 𝑥 = 2,
(𝑥 − 2)(𝑥 2 − 3) = 0 i 𝑥 = −√3 oraz 𝑥 = √3
ALBO
– przekształcenie równania 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 = 0 do postaci alternatywy dwóch
równań: kwadratowego i liniowego oraz rozwiązanie jednego z nich:
(𝑥 − 2 = 0, 𝑥 2 − 3 = 0) oraz 𝑥 = 2,
(𝑥 − 2 = 0, 𝑥 2 − 3 = 0) oraz (𝑥 = −√3, 𝑥 = √3),
ALBO
– rozłożenie wielomianu 𝑊(𝑥) = 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 na czynniki liniowe:
𝑊(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥 − √3)(𝑥 + √3),
ALBO
– przekształcenie równania 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 = 0 do postaci alternatywy trzech
równań liniowych: (𝑥 − 2 = 0, 𝑥 − √3 = 0, 𝑥 + √3 = 0),
ALBO
– obliczenie jednego z pierwiastków wielomianu 𝑊(𝑥) = 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 oraz
poprawne podzielenie wielomianu 𝑊 przez odpowiedni dwumian, np.
𝑥 = 2 i (𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6) ∶ (𝑥 − 2) = 𝑥 2 − 3.
1 pkt – zapisanie wielomianu 𝑊(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 − 3𝑥 + 6 w postaci iloczynu wielomianów
stopnia co najwyżej drugiego, np. 𝑊(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥 2 − 3)
ALBO
– przekształcenie równania 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 = 0 do postaci alternatywy dwóch
równań: (𝑥 − 2 = 0, 𝑥 2 − 3 = 0),
ALBO
– przekształcenie równania 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 = 0 do postaci
𝑥 2 (𝑥 − 2) − 3(𝑥 − 2) = 0 lub do postaci 𝑥 2 (𝑥 − 2) = 3(𝑥 − 2) oraz zapisanie
rozwiązania 𝑥 = 2,
ALBO
– zapisanie jednego z rozwiązań równania 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 = 0 oraz zapisanie
sprawdzenia, że ta liczba spełnia to równanie.
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający zapisze tylko trzy poprawne rozwiązania równania, to otrzymuje 1 punkt za
całe rozwiązanie.
2. Jeżeli zdający uzyska trzy poprawne pierwiastki wielomianu, lecz traktuje równanie jako
nierówność (podaje zbiór rozwiązań w postaci przedziału / sumy przedziałów), to
otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.
3. Jeżeli przy przekształcaniu lewej strony równania do postaci iloczynu zdający zapisuje
czynnik (𝑥 − 2) z wykładnikiem 2, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe
rozwiązanie (1 punkt za rozwiązanie równania (𝑥 − 2)2 = 0 i 1 punkt za rozwiązanie
równania 𝑥 2 − 3 = 0).
4. Jeżeli zdający zamiast równania (𝑥 − 2)(𝑥 2 − 3) = 0 zapisze (𝑥 − 2) ± (𝑥 2 − 3) = 0,
ale z dalszego rozwiązania wynika, że traktuje lewą stronę równania jak iloczyn i rozwiąże
zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt
za rozwiązanie równania 𝑥 − 2 = 0 i 1 punkt za rozwiązanie równania 𝑥 2 − 3 = 0).
5. Jeżeli zdający przy przekształcaniu równania do postaci (𝑥 − 2)(𝑥 2 − 3) = 0 popełni
błąd i zapisze:
𝑥 2 (𝑥 + 2) − 3(𝑥 − 2) = 0
lub
𝑥 2 (𝑥 − 2) + 3(𝑥 − 2) = 0
lub
𝑥 2 (𝑥 − 2) − 3(𝑥 + 2) = 0
lub
𝑥(𝑥 2 + 3) − 2(𝑥 2 − 3) = 0
lub
𝑥(𝑥 2 − 3) + 2(𝑥 2 − 3) = 0
lub
𝑥(𝑥 2 − 3) − 2(𝑥 2 + 3) = 0
a następnie:
5.1. zapisze równanie (𝑥 − 2)(𝑥 2 − 3) = 0 lub poprawną alternatywę
(𝑥 − 2 = 0 lub 𝑥 2 − 3 = 0) i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to
otrzymuje co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za rozwiązanie
równania 𝑥 − 2 = 0 i 1 punkt za rozwiązanie równania 𝑥 2 − 3 = 0).
5.2. zapisze równanie (𝑥 − 2)(𝑥 2 + 3) = 0 lub błędną alternatywę
(𝑥 − 2 = 0 lub 𝑥 2 + 3 = 0) i zapisze rozwiązanie 𝑥 = 2, to otrzymuje 1 punkt
za całe rozwiązanie.
5.3. zapisze równanie (𝑥 + 2)(𝑥 2 − 3) = 0 lub błędną alternatywę
(𝑥 + 2 = 0 lub 𝑥 2 − 3 = 0) i zapisze oba rozwiązania równania 𝑥 2 − 3 = 0:
𝑥 = −√3 oraz 𝑥 = √3, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
5.4. zapisze błędne równanie (w którym jedna ze stron jest równa 0, a druga jest
iloczynem wielomianów stopni dodatnich), inne niż w uwagach 5.2 oraz 5.3, np.
(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)(𝑥 2 ± 3) = 0 lub błędną alternatywę inną niż w uwagach 5.2
oraz 5.3, np. (𝑥 − 2 = 0 lub 𝑥 + 2 = 0 lub 𝑥 2 ± 3 = 0), to otrzymuje
0 punktów za całe rozwiązanie.
6. Jeżeli zdający, przekształcając równanie 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 = 0, popełni jeden błąd
(który nie jest błędem znaku) albo dwa błędy znaku i otrzyma równanie trzeciego stopnia,
które ma trzy rozwiązania rzeczywiste, oraz konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to
otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
7. Jeżeli zdający dzieli obustronnie równanie 𝑥 2 (𝑥 − 2) = 3(𝑥 − 2) przez dwumian
(𝑥 − 2) z podaniem odpowiedniego założenia i uzyska tylko dwa poprawne rozwiązania
𝑥 = √3 oraz 𝑥 = −√3, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie, a jeżeli uzyska tylko
jedno z tych rozwiązań, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
8. Jeżeli zdający dzieli obustronnie równanie 𝑥 2 (𝑥 − 2) = 3(𝑥 − 2) przez dwumian
(𝑥 − 2) bez podania odpowiedniego założenia i uzyska tylko dwa poprawne rozwiązania
𝑥 = √3 oraz 𝑥 = −√3, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie, a jeżeli uzyska tylko
jedno z tych rozwiązań, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Zadanie 101 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuArkusz MMAU · wersja polsko-ukraińskaMatematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
W październiku 2022 roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie 1960 drzew.
Po roku stwierdzono, że uschło 5% drzew w pierwszym sadzie i 10% drzew w drugim
sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano.
Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła 60% liczby drzew, które
pozostały w pierwszym sadzie.
Niech 𝑥 oraz 𝑦 oznaczają liczby drzew posadzonych – odpowiednio – w pierwszym
i drugim sadzie.
У жовтні 2022 року було посаджено два сади, у яких висадили всього 1960 дерев.
Через рік було виявлено, що у першому саду засохло 5% дерев, а у другому саду
10% дерев. Засохлі дерева усунули, а нові не висадили.
Кількість дерев, які залишилися у другому саду, становила 60% від кількості дерев, які
залишилися у першому саду.
Нехай 𝑥 та 𝑦 означають кількості висаджених дерев – відповідно – в першому
і другому саду.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby 𝑥 drzew
posadzonych w pierwszym sadzie oraz liczby 𝑦 drzew posadzonych w drugim sadzie, jest
Система рівнянь, правильне розв’язання якої призводить до обчислення кількості 𝑥
дерев, висаджених у першому саду, та кількості 𝑦 дерев, висаджених у другому саду,
це
𝑥 + 𝑦 = 1960
A. {
0,6 ⋅ 0,95𝑥 = 0,9𝑦
𝑥 + 𝑦 = 1960
B. {
0,95𝑥 = 0,6 ⋅ 0,9𝑦
𝑥 + 𝑦 = 1960
C. {
0,05𝑥 = 0,6 ⋅ 0,1𝑦
𝑥 + 𝑦 = 1960
D. {
0,4 ⋅ 0,95𝑥 = 0,9𝑦
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A D
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 111 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuArkusz MMAU · wersja polsko-ukraińskaMatematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦), przedstawiono dwie proste
równoległe, które są interpretacją geometryczną jednego z poniższych układów równań A–D.
На рисунку в декартовій системі координат (𝑥, 𝑦) представлено дві паралельні прямі,
які є геометричною інтерпретацією oднієї з нижченаведених систем рівнянь A–D.
𝑦
1
0 𝑥
1
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest
Система рівнянь, геометрична інтерпретація якої представлена на рисунку, це
3
𝑦 = −2𝑥 + 3
A. {
3
𝑦 = −2𝑥 − 1
3
𝑦 = 2𝑥 + 3
B. {
2
𝑦 = −3𝑥 − 1
3
𝑦 = 2𝑥 + 3
C. {
3
𝑦 = 2𝑥 − 1
3
𝑦 = −2𝑥 − 3
D. {
3
𝑦 = 2𝑥 + 1
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A C
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 121 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuArkusz MMAU · wersja polsko-ukraińskaMatematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
Funkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = (−2𝑘 + 3)𝑥 + 𝑘 − 1, gdzie 𝑘 ∈ ℝ.
Лінійна функція 𝑓 задана формулою 𝑓(𝑥) = (−2𝑘 + 3)𝑥 + 𝑘 − 1, де 𝑘 ∈ ℝ.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
Funkcja 𝑓 jest malejąca dla każdej liczby 𝑘 należącej do przedziału
Функція 𝑓 є спадною для кожного числа 𝑘 , яке належить проміжку
3 3
A. (−∞, 1) B. (−∞, − ) C. (1, +∞) D. ( , +∞)
2 2
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
D B
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 131 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuArkusz MMAU · wersja polsko-ukraińskaMatematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
Funkcje liniowe 𝑓 oraz 𝑔, określone wzorami 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 6 oraz 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 + 7, mają
to samo miejsce zerowe.
Лінійні функції 𝑓 та 𝑔 задані формулами 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 6 та 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 + 7.
Нуль функції 𝑓 і нуль функції 𝑔 однакові.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
Współczynnik 𝑎 we wzorze funkcji 𝑔 jest równy
Коефіцієнт 𝑎 у формулі функції 𝑔 дорівнює
7 2 2 7
A. (− ) B. (− ) C. D.
2 7 7 2
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
D A
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 14.11 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuArkusz MMAU · wersja polsko-ukraińskaMatematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiedni przedział w wykropkowanym miejscu
tak, aby zdanie było prawdziwe.
Доповни нижченаведене речення. Запиши відповідний проміжок у зазначеному
крапками місці так, щоб речення було правдивим.
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 𝑓(𝑥) ≥ 0 jest przedział / Множиною всіх
розв’язків нерівності 𝑓(𝑥) ≥ 0 є проміжок .
W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) przedstawiono fragment paraboli, która jest
wykresem funkcji kwadratowej 𝑓 (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty
przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.
У декартовій системі координат (𝑥, 𝑦) представлено фрагмент параболи, яка
є графіком квадратичної функції 𝑓 (дивись рисунок). Вершина цієї параболи та точки
перетину параболи з осями системи координат мають обидві цілі координати.
𝑦
10
9
8
7
6
𝑦 = 𝑓(𝑥) 5
4
3
2
1
0 𝑥
−7−6−5−4−3−2−1
−1 1 2 3 4 5 6 7
−2
−3
−4
−5
−6
Pokaż odpowiedź
[−2, 4]
Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności
w postaci [4, −2], to otrzymuje 1 punkt.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 14.21 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuArkusz MMAU · wersja polsko-ukraińskaMatematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
Funkcja kwadratowa 𝑓 jest określona wzorem
Квадратична функція 𝑓 задана формулою
A. 𝑓(𝑥) = −(𝑥 + 1)2 − 9 B. 𝑓(𝑥) = −(𝑥 − 1)2 + 9
C. 𝑓(𝑥) = −(𝑥 − 1)2 − 9 D. 𝑓(𝑥) = −(𝑥 + 1)2 + 9
W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) przedstawiono fragment paraboli, która jest
wykresem funkcji kwadratowej 𝑓 (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty
przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.
У декартовій системі координат (𝑥, 𝑦) представлено фрагмент параболи, яка
є графіком квадратичної функції 𝑓 (дивись рисунок). Вершина цієї параболи та точки
перетину параболи з осями системи координат мають обидві цілі координати.
𝑦
10
9
8
7
6
𝑦 = 𝑓(𝑥) 5
4
3
2
1
0 𝑥
−7−6−5−4−3−2−1
−1 1 2 3 4 5 6 7
−2
−3
−4
−5
−6
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
B A
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 14.31 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuArkusz MMAU · wersja polsko-ukraińskaMatematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
Dla funkcji 𝑓 prawdziwa jest równość
Для функції 𝑓 справджується рівність
A. 𝑓(−4) = 𝑓(6) B. 𝑓(−4) = 𝑓(5)
C. 𝑓(−4) = 𝑓(4) D. 𝑓(−4) = 𝑓(7)
W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) przedstawiono fragment paraboli, która jest
wykresem funkcji kwadratowej 𝑓 (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty
przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.
У декартовій системі координат (𝑥, 𝑦) представлено фрагмент параболи, яка
є графіком квадратичної функції 𝑓 (дивись рисунок). Вершина цієї параболи та точки
перетину параболи з осями системи координат мають обидві цілі координати.
𝑦
10
9
8
7
6
𝑦 = 𝑓(𝑥) 5
4
3
2
1
0 𝑥
−7−6−5−4−3−2−1
−1 1 2 3 4 5 6 7
−2
−3
−4
−5
−6
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A C
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 14.42 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuArkusz MMAU · wersja polsko-ukraińskaMatematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
Funkcje kwadratowe 𝑔 oraz ℎ są określone za pomocą funkcji 𝑓 (zobacz rysunek na
stronie 16) następująco: 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 3), ℎ(𝑥) = 𝑓(−𝑥).
Na rysunkach A–F przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦),
fragmenty wykresów różnych funkcji – w tym fragment wykresu funkcji 𝑔 oraz fragment
wykresu funkcji ℎ.
Квадратичні функції 𝑔 та ℎ окреслені за допомогою функції 𝑓 (дивись рисунок на
сторінці 16) наступним чином: 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 3), ℎ(𝑥) = 𝑓(−𝑥).
На рисунках A–F у декартовій системі координат (𝑥, 𝑦) представлено фрагменти
графіків різних функцій – у тому числі і фрагмент графіка функції 𝑔 та фрагмент
графіка функції ℎ.
Uzupełnij tabelę. Każdej z funkcji 𝒈 oraz 𝒉 przyporządkuj fragment jej wykresu.
Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród
oznaczonych literami A–F.
Заповни таблицю. До кожної з функцій 𝒈 та 𝒉 підбери фрагмент її графіка.
Запиши правильну відповідь у кожній порожній клітинці таблиці, вибравши
серед варіантів A–F.
Fragment wykresu funkcji 𝑦 = 𝑔(𝑥) przedstawiono na rysunku
Фрагмент графіка функції 𝑦 = 𝑔(𝑥) представлено на рисунку
Fragment wykresu funkcji 𝑦 = ℎ(𝑥) przedstawiono na rysunku
Фрагмент графіка функції 𝑦 = ℎ(𝑥) представлено на рисунку
A. 𝑦 B. 𝑦
10 10
9 9
8 8
7 7
6 6
5 5
4 4
3 3
2 2
1 1
0 𝑥 0 𝑥
−7−6−5−4−3−2−1
−1 1 2 3 −3−2−1
−1 1 2 3 4 5 6 7
−2 −2
−3 −3
−4 −4
−5 −5
−6 −6
C. 𝑦 D. 𝑦
8 6
7 5
6 4
5 3
4 2
3 1
2 0 𝑥
1 −4−3−2−1
−1 1 2 3 4 5 6
0 𝑥 −2
−4−3−2−1
−1 1 2 3 4 5 6 −3
−2 −4
−3 −5
−4 −6
−5 −7
−6 −8
−7 −9
−8 −10
E. 𝑦 F. 𝑦
10 6
9 5
8 4
7 3
6 2
5 1
4 𝑥
0
3 −6−5−4−3−2−1
−1 1 2 3 4
2 −2
1 −3
0 𝑥 −4
−6−5−4−3−2−1
−1 1 2 3 4 −5
−2 −6
−3 −7
−4 −8
−5 −9
−6 −10
W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) przedstawiono fragment paraboli, która jest
wykresem funkcji kwadratowej 𝑓 (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty
przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.
У декартовій системі координат (𝑥, 𝑦) представлено фрагмент параболи, яка
є графіком квадратичної функції 𝑓 (дивись рисунок). Вершина цієї параболи та точки
перетину параболи з осями системи координат мають обидві цілі координати.
𝑦
10
9
8
7
6
𝑦 = 𝑓(𝑥) 5
4
3
2
1
0 𝑥
−7−6−5−4−3−2−1
−1 1 2 3 4 5 6 7
−2
−3
−4
−5
−6
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A A
E E
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 2 pkt – dwie poprawne odpowiedzi.
1 pkt – jedna poprawna odpowiedź.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 151 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuArkusz MMAU · wersja polsko-ukraińskaMatematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
Ciąg (𝑎𝑛 ) jest określony wzorem 𝑎𝑛 = (−1)𝑛 ⋅ (𝑛 − 5) dla każdej liczby
naturalnej 𝑛 ≥ 1.
Послідовність (𝑎𝑛 ) визначена формулою 𝑎𝑛 = (−1)𝑛 ⋅ (𝑛 − 5) для кожного
натурального числа 𝑛 ≥ 1.
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest
prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Оціни правильність нижченаведених тверджень. Вибери P, якщо твердження
правильне, або F – якщо воно хибне.
Pierwszy wyraz ciągu (𝑎𝑛 ) jest dwa razy większy od trzeciego wyrazu tego
ciągu.
P F
Перший член послідовності (𝑎𝑛 ) удвічі більший ніж третій член цієї
послідовності.
Wszystkie wyrazy ciągu (𝑎𝑛 ) są dodatnie.
P F
Усі члени послідовності (𝑎𝑛 ) є додатними.
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
PF PF
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 161 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuArkusz MMAU · wersja polsko-ukraińskaMatematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
Trzywyrazowy ciąg (12, 6, 2𝑚 − 1) jest geometryczny.
Геометрична прогресія (12, 6, 2𝑚 − 1) складається з трьох членів.
Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3.
Закінчи речення. Вибери відповідь A або B та відповідь 1., 2. або 3.
Ten ciąg jest
Ця прогресія
1
rosnący 1. 𝑚=2
A.
зростає
oraz
2. 𝑚=2
та
malejący
B.
спадає 3. 𝑚=3
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
B2 A2
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 172 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuArkusz MMAU · wersja polsko-ukraińskaMatematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
Ciąg arytmetyczny (𝑎𝑛 ) jest określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛 ≥ 1. Trzeci wyraz
tego ciągu jest równy (−1), a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu
jest równa (−165).
Арифметична прогресія (𝑎𝑛 ) визначена для кожного натурального числа 𝑛 ≥ 1.
Третій член цієї прогресії дорівнює (−1), а сума перших п’ятнадцяти послідовних
членів цієї прогресії дорівнює (−165).
Oblicz różnicę tego ciągu. Zapisz obliczenia.
Обчисли різницю цієї прогресії. Запиши обчислення.
Pokaż odpowiedź
Sposób I
Korzystamy ze wzorów na 𝑛-ty wyraz i sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu
arytmetycznego i otrzymujemy układ równań
−1 = 𝑎1 + 2𝑟
{ 2𝑎1 + 14𝑟
−165 = ⋅ 15
2
Przekształcając ten układ równoważnie, otrzymujemy
−1 = 𝑎1 + 2𝑟
{
−11 = 𝑎1 + 7𝑟
Odejmując stronami równania układu, otrzymujemy
10 = −5𝑟
𝑟 = −2
Różnica ciągu jest równa (−2).
Sposób II
Suma kolejnych piętnastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa (−165),
zatem
𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + … + 𝑎15 = −165
(𝑎3 − 2𝑟) + (𝑎3 − 𝑟) + 𝑎3 + (𝑎3 + 𝑟) + (𝑎3 + 2𝑟) + … + (𝑎3 + 12𝑟) = −165
15𝑎3 + (−2𝑟 − 𝑟 + 0 + 𝑟 + 2𝑟 + 3𝑟 + … + 12𝑟) = −165
gdzie 𝑎3 = −1, a suma piętnastu liczb (−2𝑟 − 𝑟 + 0 + 𝑟 + 2𝑟 + 3𝑟 + … + 12𝑟) jest
równa
−2𝑟 + 12𝑟
⋅ 15 = 75𝑟
2
Zatem
15 ∙ (−1) + 75𝑟 = −165
75𝑟 = −150
𝑟 = −2
Różnica ciągu jest równa (−2).
Sposób III
Suma kolejnych piętnastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa (−165),
zatem
𝑎1 + 𝑎15
⋅ 15 = −165
2
𝑎1 + 𝑎15 = −22
(𝑎3 − 2𝑟) + (𝑎3 + 12𝑟) = −22
2𝑎3 + 10𝑟 = −22
Stąd i z tego, że 𝑎3 = −1, otrzymujemy
2 ⋅ (−1) + 10𝑟 = −22
Zatem
10𝑟 = −20
𝑟 = −2
Różnica ciągu jest równa (−2).
Sposób IV
Suma kolejnych piętnastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa (−165),
zatem
𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + … + 𝑎15 = −165
(𝑎8 − 7𝑟) + (𝑎8 − 6𝑟) + … + 𝑎8 + … + (𝑎8 + 6𝑟) + (𝑎8 + 7𝑟) = −165
15𝑎8 = −165
−165
𝑎8 = = −11
15
Korzystamy z własności ciągu arytmetycznego i otrzymujemy
𝑎8 = 𝑎3 + 5𝑟
−11 = −1 + 5𝑟
𝑟 = −2
Różnica ciągu jest równa (−2).
Sposób V
Korzystamy z własności ciągu arytmetycznego i otrzymujemy równania:
𝑎7 + 𝑎9
𝑎8 =
2
𝑎6 + 𝑎10
𝑎8 =
2
𝑎5 + 𝑎11
𝑎8 =
2
𝑎4 + 𝑎12
𝑎8 =
2
𝑎3 + 𝑎13
𝑎8 =
2
𝑎2 + 𝑎14
𝑎8 =
2
𝑎1 + 𝑎15
𝑎8 =
2
Zatem
𝑎1 + 𝑎2 + … + 𝑎14 + 𝑎15 = (𝑎1 + 𝑎15 ) + (𝑎2 + 𝑎14 ) + … + (𝑎7 + 𝑎9 ) + 𝑎8 =
= 15𝑎8 = −165
Stąd 𝑎8 = −11. Ponieważ
𝑎8 = 𝑎3 + 5𝑟
więc otrzymujemy
−11 = −1 + 5𝑟
𝑟 = −2
Różnica ciągu jest równa (−2).
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 2 pkt – zastosowanie poprawnej metody i obliczenie różnicy ciągu: 𝑟 = −2.
1 pkt – zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć 𝑟, np.:
2𝑎1 + 14𝑟
−1 = 𝑎1 + 2𝑟 oraz − 165 = ⋅ 15 ,
2
𝑎1 + 𝑎15
−1 = 𝑎1 + 2𝑟 oraz 𝑎15 = 𝑎1 + 14𝑟 oraz − 165 = ⋅ 15 ,
2
(𝑎3 − 2𝑟) + (𝑎3 + 12𝑟)
𝑎3 = −1 oraz − 165 = ⋅ 15
2
ALBO
– zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑟, np.:
(−1 − 2𝑟) + (−1 − 𝑟) + (−1) + (−1 + 𝑟) + … + (−1 + 12𝑟) = −165 ,
2(−1 − 2𝑟) + 14𝑟
⋅ 15 = −165 ,
2
(−1 − 2𝑟) + (−1 + 12𝑟)
⋅ 15 = −165 ,
2
ALBO
– obliczenie ósmego wyrazu ciągu (𝑎𝑛 ) z wykorzystaniem własności ciągu
arytmetycznego: 𝑎8 = −11 (dla sposobów IV oraz V),
ALBO
– zapisanie kolejnych piętnastu początkowych wyrazów ciągu (𝑎𝑛 ):
3, 1, −1, −3, −5, −7, −9, −11, −13, −15, −17, −19, −21, −23, −25.
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe
rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.
2. Jeżeli zdający zapisze tylko 𝑟 = −2, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
3. Jeżeli zdający błędnie interpretuje liczbę (−165) jako piętnasty wyraz ciągu, to
otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Zadanie 182 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuArkusz MMAU · wersja polsko-ukraińskaMatematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) zaznaczono kąt o mierze 𝛼 taki, że
tg 𝛼 = −3 oraz 90° < 𝛼 < 180° (zobacz rysunek).
У декартовій системі координат (𝑥, 𝑦) зазначено кут з мірою 𝛼 , причому tg 𝛼 = −3
та 90° < 𝛼 < 180° (дивись рисунок).
𝑦
3
2
1
𝛼
𝑥
−3 −2 −1 0 1 2 3
−1
Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami
A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.
Доповни речення. Вибери дві правильні відповіді серед варіантів, позначених
літерами A–F, і запиши ці літери у зазначених крапками місцях.
Prawdziwe są zależności: / Справджуються залежності: …………… oraz / та ………….. .
A. sin 𝛼 < 0 B. sin 𝛼 ⋅ cos 𝛼 < 0
C. sin 𝛼 ⋅ cos 𝛼 > 0 D. cos 𝛼 > 0
1
E. sin 𝛼 = − cos 𝛼 F. sin 𝛼 = −3 cos 𝛼
3
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
BF CF
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 2 pkt – wybranie dwóch odpowiedzi, z których obie są poprawne.
1 pkt – wybranie jednej lub dwóch odpowiedzi, z których jedna jest poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 191 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuArkusz MMAU · wersja polsko-ukraińskaMatematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
Liczba sin3 20° + cos 2 20° ⋅ sin 20° jest równa
Число sin3 20° + cos 2 20° ⋅ sin 20° дорівнює
A. cos 20° B. sin 20°
C. tg 20° D. sin 20° ⋅ cos 20°
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
B A
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 201 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuArkusz MMAU · wersja polsko-ukraińskaMatematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
Dany jest trójkąt 𝐾𝐿𝑀 , w którym |𝐾𝑀| = 𝑎, |𝐿𝑀| = 𝑏 oraz 𝑎 ≠ 𝑏 . Dwusieczna kąta
𝐾𝑀𝐿 przecina bok 𝐾𝐿 w punkcie 𝑁 takim, że |𝐾𝑁| = 𝑐 , |𝑁𝐿| = 𝑑 oraz |𝑀𝑁| = 𝑒
(zobacz rysunek).
Дано трикутник 𝐾𝐿𝑀 , у якому |𝐾𝑀| = 𝑎, |𝐿𝑀| = 𝑏 та 𝑎 ≠ 𝑏 . Бісектриса кута 𝐾𝑀𝐿
перетинає сторону 𝐾𝐿 в точці 𝑁 , причому |𝐾𝑁| = 𝑐 , |𝑁𝐿| = 𝑑 та |𝑀𝑁| = 𝑒 (дивись
рисунок).
𝑀
𝑎 𝑒 𝑏
𝐾 𝑐 𝑁 𝑑 𝐿
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
W trójkącie 𝐾𝐿𝑀 prawdziwa jest równość
У трикутнику 𝐾𝐿𝑀 справджується рівність
A. 𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑐 ⋅ 𝑑 B. 𝑎 ⋅ 𝑑 = 𝑏 ⋅ 𝑐
C. 𝑎 ⋅ 𝑐 = 𝑏 ⋅ 𝑑 D. 𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑒 ⋅ 𝑒
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
B B
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 211 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuArkusz MMAU · wersja polsko-ukraińskaMatematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
Dany jest równoległobok o bokach długości 3 i 4 oraz o kącie między nimi o mierze 120°.
Дано паралелограм зі сторонами завдовжки 3 і 4 та кутом між ними, міра якого
дорівнює 120°.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
Pole tego równoległoboku jest równe
Площа цього паралелограма дорівнює
A. 12 B. 12√3 C. 6 D. 6√3
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
D B
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 221 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuArkusz MMAU · wersja polsko-ukraińskaMatematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
W trójkącie 𝐴𝐵𝐶 , wpisanym w okrąg o środku w punkcie 𝑆, kąt 𝐴𝐶𝐵 ma miarę 42°
(zobacz rysunek).
У трикутнику 𝐴𝐵𝐶 , вписаному в коло з центром в точці 𝑆, міра кута 𝐴𝐶𝐵 дорівнює
42° (дивись рисунок).
𝐶
42° 𝑆
𝐴
𝐵
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
Miara kąta ostrego 𝐵𝐴𝑆 jest równa
Міра гострого кута 𝐵𝐴𝑆 дорівнює
A. 42° B. 45° C. 48° D. 69°
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
C D
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 231 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuArkusz MMAU · wersja polsko-ukraińskaMatematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) proste 𝑘 oraz 𝑙 są określone równaniami
У декартовій системі координат (𝑥, 𝑦) прямі 𝑘 та 𝑙 визначені рівняннями
𝑘: 𝑦 = (𝑚 + 1)𝑥 + 7
𝑙: 𝑦 = −2𝑥 + 7
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
Proste 𝑘 oraz 𝑙 są prostopadłe, gdy liczba 𝑚 jest równa
Прямі 𝑘 та 𝑙 є перпендикулярними, якщо число 𝑚 дорівнює
1 1
A. (− ) B. C. (−3) D. 1
2 2
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A C
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 242 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuArkusz MMAU · wersja polsko-ukraińskaMatematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷 , w którym
𝐴 = (−2, 6) oraz 𝐵 = (10, 2). Przekątne 𝐴𝐶 oraz 𝐵𝐷 tego równoległoboku przecinają
się w punkcie 𝑃 = (6, 7).
У декартовій системі координат (𝑥, 𝑦) дано паралелограм 𝐴𝐵𝐶𝐷 , у якому
𝐴 = (−2, 6) та 𝐵 = (10, 2). Діагоналі 𝐴𝐶 та 𝐵𝐷 цього паралелограма
перетинаються у точці 𝑃 = (6, 7).
Oblicz długość boku 𝑩𝑪 tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.
Обчисли довжину сторони 𝑩𝑪 цього паралелограма. Запиши обчислення.
Pokaż odpowiedź
Sposób I
Punkt 𝑃 jest środkiem przekątnej 𝐴𝐶 . Ze wzoru na współrzędne środka odcinka
otrzymujemy
−2 + 𝑥𝑐 6 + 𝑦𝑐
= 6 oraz =7
2 2
Zatem 𝐶 = (14, 8).
Obliczamy długość odcinka 𝐵𝐶 :
|𝐵𝐶| = √(14 − 10)2 + (8 − 2)2 = √16 + 36 = √52 = 2√13
Sposób II
Punkt 𝑃 jest środkiem przekątnej 𝐵𝐷 . Ze wzoru na współrzędne środka odcinka
otrzymujemy
10 + 𝑥𝑑 2 + 𝑦𝑑
= 6 oraz =7
2 2
Zatem 𝐷 = (2, 12).
Obliczamy długość odcinka 𝐵𝐶 :
|𝐵𝐶| = |𝐴𝐷| = √(2 + 2)2 + (12 − 6)2 = √16 + 36 = √52 = 2√13
Sposób III
Obliczamy współrzędne punktu 𝑆 środka odcinka 𝐴𝐵 :
−2 + 10 6 + 2
𝑆=( , )
2 2
𝑆 = (4, 4)
Obliczamy długość odcinka 𝐵𝐶 :
|𝐵𝐶| = 2|𝑃𝑆| = 2√(4 − 6)2 + (4 − 7)2 = 2√4 + 9 = 2√13
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 2 pkt – zastosowanie poprawnej metody i obliczenie długości boku 𝐵𝐶 : |𝐵𝐶| = √52.
1 pkt – zapisanie współrzędnych punktu 𝐶 : 𝐶 = (14, 8)
ALBO
– zapisanie współrzędnych punktu 𝐷 : 𝐷 = (2, 12),
ALBO
– zapisanie współrzędnych środka 𝑆 boku 𝐴𝐵 : 𝑆 = (4, 4) oraz zapisanie równości
|𝐵𝐶| = 2|𝑃𝑆|,
ALBO
⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗
– zapisanie równości 𝐶𝐵 𝑃𝐴 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 oraz obliczenie współrzędnych wektorów
𝑃𝐴 i ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 : ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝐴 = [−8, −1] oraz ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = [12, −4],
ALBO
– obliczenie długości odcinków 𝐴𝐵 , 𝐴𝑃 oraz 𝐵𝑃 i cosinusa kąta 𝛼 oraz cosinusa
kąta (180° − 𝛼), gdzie 𝛼 = |∡𝐴𝑃𝐵|: |𝐴𝐵| = 4√10 oraz |𝐴𝑃| = √65, oraz
27 27
|𝐵𝑃| = √41, oraz cos 𝛼 = − , oraz cos(180° − 𝛼) = .
√65⋅√41 √65⋅√41
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający korzysta z punktów kratowych oraz błędnie zaznaczy w układzie
współrzędnych co najmniej jeden z punktów 𝐴, 𝐵, 𝐶 , 𝑃 i na tej podstawie oblicza długość
odcinka 𝐵𝐶 , to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie (o ile nie nabył praw do innej
punktacji).
2. Jeżeli zdający korzysta z punktów kratowych oraz poprawnie zaznaczy w układzie
współrzędnych punkty 𝐴, 𝐵, 𝐶 , 𝑃, lecz błędnie odczyta współrzędne jednego z tych
punktów, i na tej podstawie oblicza długość odcinka 𝐵𝐶 , to otrzymuje 1 punkt za całe
rozwiązanie.
3. Jeżeli zdający obliczy długość odcinka 𝐵𝐶 , korzystając z przybliżonych wartości funkcji
trygonometrycznych, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.
Zadanie 25.11 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuArkusz MMAU · wersja polsko-ukraińskaMatematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
Pole jednej ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe
Площа однієї бічної грані цієї призми дорівнює
A. 36√10 B. 60 C. 6√10 D. 360
Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa 6 (zobacz rysunek).
Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe 15√3.
Висота правильної шестикутної призми дорівнює 6 (дивись рисунок). Площа основи
цієї призми дорівнює 15√3.
6
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
C A
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 25.21 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuArkusz MMAU · wersja polsko-ukraińskaMatematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
Kąt nachylenia najdłuższej przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego do
płaszczyzny podstawy jest zaznaczony na rysunku
Кут нахилу найдовшої діагоналі правильної шестикутної призми до площини основи
зазначено на рисунку
A. B.
C. D.
Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa 6 (zobacz rysunek).
Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe 15√3.
Висота правильної шестикутної призми дорівнює 6 (дивись рисунок). Площа основи
цієї призми дорівнює 15√3.
6
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
D D
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 261 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuArkusz MMAU · wersja polsko-ukraińskaMatematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
Ostrosłup 𝐹1 jest podobny do ostrosłupa 𝐹2 .
Objętość ostrosłupa 𝐹1 jest równa 64.
Objętość ostrosłupa 𝐹2 jest równa 512.
Піраміда 𝐹1 подібна до піраміди 𝐹2 .
Об’єм піраміди 𝐹1 дорівнює 64.
Об’єм піраміди 𝐹2 дорівнює 512.
Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu tak,
aby zdanie było prawdziwe.
Доповни нижченаведене речення. Запиши відповідне число у зазначеному
крапками місці так, щоб речення було правдивим.
Stosunek pola powierzchni całkowitej ostrosłupa 𝐹2 do pola powierzchni całkowitej
ostrosłupa 𝐹1 jest równy / Відношення площі повної поверхні піраміди 𝐹2 до площі
повної поверхні піраміди 𝐹1 дорівнює ………. .
Pokaż odpowiedź
4
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 271 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuArkusz MMAU · wersja polsko-ukraińskaMatematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
Rozważamy wszystkie kody czterocyfrowe utworzone tylko z cyfr 1, 3, 6, 8, przy czym
w każdym kodzie każda z tych cyfr występuje dokładnie jeden raz.
Розглядаємо всі чотирицифрові коди, утворені лише з цифр 1, 3, 6, 8, причому
у кожному коду кожна з цих цифр з’являється рівно один раз.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
Liczba wszystkich takich kodów jest równa
Кількість усіх таких кодів дорівнює
A. 4 B. 10 C. 24 D. 16
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
C D
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 281 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuArkusz MMAU · wersja polsko-ukraińskaMatematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
Średnia arytmetyczna trzech liczb: 𝑎, 𝑏, 𝑐 , jest równa 9.
Середнє арифметичне трьох чисел: 𝑎, 𝑏, 𝑐 , дорівнює 9.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
Średnia arytmetyczna sześciu liczb: 𝑎, 𝑎, 𝑏, 𝑏, 𝑐 , 𝑐 , jest równa
Середнє арифметичне шести чисел: 𝑎, 𝑎, 𝑏, 𝑏, 𝑐 , 𝑐 , дорівнює
A. 9 B. 6 C. 4,5 D. 18
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
A C
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 291 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuArkusz MMAU · wersja polsko-ukraińskaMatematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej.
Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano
liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.
На діаграмі показано результати контрольної роботи з математики у певному
випускному класі. На горизонтальній осі вказано оцінки, які отримали учні цього класу,
а на вертикальній осі вказано кількість учнів, які отримали дану оцінку.
8
7
6
liczba 5
uczniów
4
кількість
учнів 3
2
1
0
1 2 3 4 5 6
ocena
оцінка
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa
Медіана оцінок, отриманих учнями цього класу за цю контрольну роботу, дорівнює
A. 4,5 B. 4 C. 3,5 D. 3
Pokaż odpowiedź
Wersja A Wersja B
C B
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Zadanie 302 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuArkusz MMAU · wersja polsko-ukraińskaMatematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
Dany jest pięcioelementowy zbiór 𝐾 = {5, 6, 7, 8, 9}. Wylosowanie każdej liczby z tego
zbioru jest jednakowo prawdopodobne. Ze zbioru 𝐾 losujemy ze zwracaniem kolejno dwa
razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.
Дано множину 𝐾 = {5, 6, 7, 8, 9}, яка складається з п’яти елементів. Ймовірність
випадання кожного числа з цієї множини є однаковою. З множини 𝐾 два рази
послідовно вибираємо з поверненням по одному числу і записуємо їх у послідовному
порядку.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝑨 polegającego na tym, że suma
wylosowanych liczb jest liczbą parzystą. Zapisz obliczenia.
Обчисли ймовірність події 𝑨, яка полягає у тому, що сума вибраних чисел
є парним числом. Запиши обчислення.
Pokaż odpowiedź
Sposób I
Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑥, 𝑦), gdzie
𝑥, 𝑦 ∈ {5, 6, 7, 8, 9}.
Liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych obliczamy, korzystając z reguły mnożenia.
Moc zbioru Ω jest równa 5 ∙ 5 = 25.
Liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴 obliczamy,
korzystając z reguły mnożenia i reguły dodawania. Suma dwóch liczb naturalnych jest liczbą
parzystą, gdy sumujemy dwie liczby parzyste lub dwie liczby nieparzyste. Stąd moc zbioru 𝐴
jest równa 3 ∙ 3 + 2 ∙ 2 = 13.
13
Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe .
25
Sposób II
W tabeli literą 𝐴 zaznaczamy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴 (pary liczb,
których suma jest liczbą parzystą).
5 6 7 8 9
5 𝐴 𝐴 𝐴
6 𝐴 𝐴
7 𝐴 𝐴 𝐴
8 𝐴 𝐴
9 𝐴 𝐴 𝐴
Moc zbioru Ω jest równa 25.
Zdarzeń sprzyjających wylosowaniu liczb, których suma jest parzysta, jest 13.
13
Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe .
25
Sposób III (drzewo stochastyczne)
Rysujemy drzewo stochastyczne rozważanego doświadczenia.
2 3
5 5
liczba liczba
parzysta nieparzysta
2 3 2 3
5 5 5 5
5
liczba liczba liczba liczba
parzysta nieparzysta parzysta nieparzysta
Prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe
2 2 3 3 13
𝑃(𝐴) = ⋅ + ⋅ =
5 5 5 5 25
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: 2 pkt – zastosowanie poprawnej metody obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴
13
i uzyskanie poprawnego wyniku: 𝑃(𝐴) = .
25
1 pkt – wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych lub obliczenie/podanie liczby tych
zdarzeń: |Ω| = 5 ⋅ 5 lub sporządzenie tabeli o 25 polach odpowiadających
zdarzeniom elementarnym, z których co najmniej jedno pole jest wypełnione, lub
sporządzenie pełnego drzewa stochastycznego
ALBO
– wypisanie (lub zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych
sprzyjających zdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego,
ALBO
– podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:
|𝐴| = 13, o ile nie zostały zliczone błędne pary,
ALBO
– sporządzenie fragmentu drzewa stochastycznego, które zawiera wszystkie gałęzie
sprzyjające zdarzeniu 𝐴 oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej
jednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,
ALBO
1
– podanie prawdopodobieństwa jednoelementowego zdarzenia (elementarnego): ,
25
ALBO
13
– zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = .
25
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający zapisuje tylko liczby 13 lub 25 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych
liczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
2. Jeżeli zdający rozważa losowanie bez zwracania, to otrzymuje 0 punktów.
Zadanie 314 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuArkusz MMAU · wersja polsko-ukraińskaMatematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
W schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki
wydzielające trzy identyczne wybiegi o wspólnych ścianach wewnętrznych.
Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt (jak pokazano na rysunku).
Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć 36 metrów bieżących siatki.
У притулку для тварин на плоскій поверхні потрібно збудувати огорожу з сітки, яка
відділятиме три ідентичні вольєри зі спільними внутрішніми перегородками.
Основою кожного з трьох вольєрів є прямокутник (як показано на рисунку).
Для спорудження цієї огорожі слід використати 36 погонних метрів сітки.
Schematyczny rysunek trzech wybiegów (widok z góry).
Linią przerywaną zaznaczono siatkę.
Схематичний рисунок трьох вольєрів (вид зверху).
Пунктирною лінією позначено сітку.
𝑦 𝑦 𝑦
wybieg 1. wybieg 2. wybieg 3.
𝑥 вольєр 1. вольєр 2. вольєр 3.
Oblicz wymiary 𝒙 oraz 𝒚 jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych
trzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na
każdy z wybiegów. Zapisz obliczenia.
Обчисли розміри 𝒙 та 𝒚 одного вольєра, за яких сума площ основ цих трьох
вольєрів буде найбільшою. В обчисленнях не враховуй ширину входів до
вольєрів. Запиши обчислення.
ЧЕРНЕТКА (не підлягає оцінюванню)
МАТЕМАТИКА
Базовий рівень
Формула 2023
МАТЕМАТИКА
Базовий рівень
Формула 2023
МАТЕМАТИКА
Базовий рівень
Формула 2023
Pokaż odpowiedź
Sposób I
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku w zadaniu. Długość siatki użytej do wykonania
ogrodzenia – po uwzględnieniu warunków zadania – można zapisać równaniem
4𝑥 + 6𝑦 = 36
2
Stąd wyznaczamy 𝑦: 𝑦 = 6 − 𝑥.
3
Z warunków zadania wynika, że
𝑥>0 i 𝑦>0
Niech 𝑃 oznacza sumę pól podstaw trzech wybiegów.
Suma pól podstaw trzech wybiegów jest równa polu prostokąta o bokach długości 𝑥 oraz 3𝑦.
Zatem
𝑃 = 3𝑥𝑦
Sumę pól podstaw trzech wybiegów zapisujemy jako funkcję jednej zmiennej 𝑥. W tym celu
2
podstawiamy 𝑦 = 6 − 𝑥 i otrzymujemy
3
2
𝑃(𝑥) = 3𝑥 (6 − 𝑥) = −2𝑥 2 + 18𝑥
3
Wyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑃. Wykorzystamy związek między wymiarami 𝑥 i 𝑦 oraz
wykorzystamy warunki, jakie te wymiary spełniają
2
𝑦 = 6 − 𝑥 > 0 oraz 𝑥 > 0
3
Zatem
𝑥 < 9 oraz 𝑥 > 0
Zmienna 𝑥 może przyjmować wartości z przedziału (0, 9).
Wykresem funkcji 𝑃 jest fragment paraboli skierowanej ramionami do dołu. Obliczamy
pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli:
18
𝑝=− = 4,5 ∈ (0, 9)
2 ⋅ (−2)
Zatem funkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla argumentu 4,5.
Obliczamy drugi wymiar, dla którego suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa
2
𝑦 = 6 − ⋅ 4,5 = 3
3
Suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa, gdy: 𝑥 = 4,5 m oraz 𝑦 = 3 m.
Sposób II
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku w zadaniu. Długość siatki użytej do wykonania
ogrodzenia – po uwzględnieniu warunków zadania – można zapisać równaniem
4𝑥 + 6𝑦 = 36
3
Stąd wyznaczamy 𝑥 : 𝑥 = 9 − 𝑦.
2
Z warunków zadania wynika, że
𝑥>0 i 𝑦>0
Niech 𝑃 oznacza sumę pól podstaw trzech wybiegów.
Suma pól podstaw trzech wybiegów jest równa polu prostokąta o bokach długości 𝑥 oraz 3𝑦.
Zatem
𝑃 = 3𝑥𝑦
Sumę pól podstaw trzech wybiegów zapisujemy jako funkcję jednej zmiennej 𝑦. W tym celu
3
podstawiamy 𝑥 = 9 − 𝑦 i otrzymujemy
2
3 9
𝑃(𝑦) = 3 (9 − 𝑦) 𝑦 = − 𝑦(𝑦 − 6)
2 2
Wyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑃. Wykorzystamy związek między wymiarami 𝑥 i 𝑦 oraz
wykorzystamy warunki, jakie te wymiary spełniają
3
𝑥 = 9 − 2 𝑦 > 0 oraz 𝑦 > 0
Zatem
𝑦 < 6 oraz 𝑦 > 0
Zmienna 𝑦 może przyjmować wartości z przedziału (0, 6).
Wykresem funkcji 𝑃 jest fragment paraboli skierowanej ramionami do dołu. Pierwsza
współrzędna wierzchołka paraboli jest średnią arytmetyczną pierwiastków równania:
9
− 𝑦(𝑦 − 6) = 0
2
Zatem pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli jest równa
0+6
𝑝= = 3 ∈ (0, 6)
2
Zatem funkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla argumentu 3.
Obliczamy drugi wymiar, dla którego suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa:
3
𝑥 = 9− ⋅ 3 = 4,5
2
Suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa, gdy: 𝑥 = 4,5 m oraz 𝑦 = 3 m.
Sposób III
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku w zadaniu. Niech 𝑧 oznacza łączną szerokość trzech
wybiegów. Wtedy 𝑧 = 3𝑦.
Długość siatki użytej do wykonanie ogrodzenia – po uwzględnieniu warunków zadania –
można zapisać równaniem
4𝑥 + 2𝑧 = 36
Stąd wyznaczamy 𝑧: 𝑧 = 18 − 2𝑥 .
Z warunków zadania wynika, że
𝑥>0 i 𝑧>0
Niech 𝑃 oznacza sumę pól podstaw trzech wybiegów.
Suma pól podstaw trzech wybiegów jest równa polu prostokąta o bokach długości 𝑥 oraz 𝑧.
Zatem
𝑃 = 𝑥𝑧
Sumę pól podstaw trzech wybiegów zapisujemy jako funkcję jednej zmiennej 𝑥. W tym celu
podstawiamy 𝑧 = 18 − 2𝑥 i otrzymujemy
𝑃(𝑥) = 𝑥(18 − 2𝑥) = −2𝑥 2 + 18𝑥
Wyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑃. Wykorzystamy związek między wymiarami 𝑥 i 𝑧 oraz
wykorzystamy warunki, jakie te wymiary spełniają
𝑧 = 18 − 2𝑥 > 0 oraz 𝑥 > 0
Zatem
𝑥 < 9 oraz 𝑥 > 0
Zmienna 𝑥 może przyjmować wartości z przedziału (0, 9).
Wykresem funkcji 𝑃 jest fragment paraboli skierowanej ramionami do dołu. Obliczamy
pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli:
18
𝑝=− = 4,5 ∈ (0, 9)
2 ⋅ (−2)
Zatem funkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla argumentu 4,5.
Obliczamy drugi wymiar, dla którego suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa:
𝑧 = 18 − 2 ∙ 4,5 = 18 − 9 = 9
𝑧 9
𝑦= = =3
3 3
Suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa, gdy 𝑥 = 4,5 m oraz 𝑦 = 3 m.
Sposób IV
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku w zadaniu. Długość siatki użytej do wykonania
ogrodzenia – po uwzględnieniu warunków zadania – można zapisać równaniem
4𝑥 + 6𝑦 = 36
2
Stąd wyznaczamy 𝑦: 𝑦 = 6 − 𝑥.
3
Z warunków zadania wynika, że
𝑥>0 i 𝑦>0
Niech 𝑃 oznacza sumę pól podstaw trzech wybiegów.
Suma pól podstaw trzech wybiegów jest równa polu prostokąta o bokach długości 𝑥 oraz 3𝑦.
Zatem
𝑃 = 3𝑥𝑦
Sumę pól podstaw trzech wybiegów zapisujemy jako funkcję jednej zmiennej 𝑥. W tym celu
2
podstawiamy 𝑦 = 6 − 𝑥 i otrzymujemy
3
2
𝑃(𝑥) = 3𝑥 (6 − 𝑥) = 2𝑥(9 − 𝑥)
3
Wyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑃. Wykorzystamy związek między wymiarami 𝑥 i 𝑦 oraz
wykorzystamy warunki, jakie te wymiary spełniają
2
𝑦 = 6 − 3 𝑥 > 0 oraz 𝑥 > 0
Zatem
𝑥 < 9 oraz 𝑥 > 0
Zmienna 𝑥 może przyjmować wartości z przedziału (0, 9).
Z nierówności między średnią geometryczną i średnią arytmetyczną dla liczb dodatnich
𝑥 i (9 − 𝑥) otrzymujemy
𝑥+9−𝑥
√𝑥(9 − 𝑥) ≤
2
√𝑥(9 − 𝑥) ≤ 4,5
Stąd
𝑥(9 − 𝑥) ≤ 20,25
przy czym równość zachodzi tylko wtedy, gdy 𝑥 = 9 − 𝑥 , czyli dla 𝑥 = 4,5.
Zatem funkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla argumentu 4,5.
Obliczamy drugi wymiar, dla którego suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa:
2
𝑦 = 6 − ⋅ 4,5 = 3
3
Suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa, gdy: 𝑥 = 4,5 m oraz 𝑦 = 3 m.
Sposób V
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku w zadaniu. Długość siatki użytej do wykonania
ogrodzenia – po uwzględnieniu warunków zadania – można zapisać równaniem
4𝑥 + 6𝑦 = 36
2
Stąd wyznaczamy 𝑦: 𝑦 = 6 − 𝑥.
3
Z warunków zadania wynika, że
𝑥>0 i 𝑦>0
Niech 𝑃 oznacza sumę pól podstaw trzech wybiegów.
Suma pól podstaw trzech wybiegów jest równa polu prostokąta o bokach długości 𝑥 oraz 3𝑦.
Zatem
𝑃 = 3𝑥𝑦
Sumę pól podstaw trzech wybiegów zapisujemy jako funkcję jednej zmiennej 𝑥 . W tym celu
2
podstawiamy 𝑦 = 6 − 𝑥 i otrzymujemy
3
2
𝑃(𝑥) = 3𝑥 (6 − 𝑥) = −2𝑥 2 + 18𝑥
3
Wyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑃. Wykorzystamy związek między wymiarami 𝑥 i 𝑦 oraz
wykorzystamy warunki, jakie te wymiary spełniają
2
𝑦 = 6 − 3 𝑥 > 0 oraz 𝑥 > 0
Zatem
𝑥 < 9 oraz 𝑥 > 0
Zmienna 𝑥 może przyjmować wartości z przedziału (0, 9).
Wyznaczamy pochodną funkcji 𝑃: 𝑃′ (𝑥) = −4𝑥 + 18 dla 𝑥 ∈ (0, 9)
Obliczamy miejsce zerowe pochodnej funkcji 𝑃:
𝑃′ (𝑥) = 0
−4𝑥 + 18 = 0
𝑥 = 4,5 ∈ (0, 9)
Badamy znak pochodnej:
1
𝑃′ (𝑥) > 0 dla 𝑥 ∈ (0, 4 2)
1
𝑃′ (𝑥) < 0 dla 𝑥 ∈ (4 2 , 9)
1 1
Zatem funkcja 𝑃 jest rosnąca w przedziale (0, 4 ] oraz malejąca w przedziale [4 2 , 9).
2
Stąd dla 𝑥 = 4,5 funkcja 𝑃 osiąga wartość największą.
Obliczamy drugi wymiar, dla którego suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa:
2
𝑦 = 6 − ⋅ 4,5 = 3
3
Suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa, gdy: 𝑥 = 4,5 m oraz 𝑦 = 3 m.
Sposób VI
Rozważmy prostokąt o bokach długości 2𝑥 oraz 3𝑦 (jak na rysunku poniżej).
𝑦 𝑦 𝑦
𝑥
𝑥
Obwód tego prostokąta jest równy długości siatki użytej do wykonania ogrodzenia wybiegów.
Zatem obwód tego prostokąta jest równy 4𝑥 + 6𝑦 = 36.
Ze wszystkich prostokątów o danym obwodzie największe pole ma kwadrat.
Zatem pole rozważanego prostokąta będzie największe, gdy 2𝑥 = 3𝑦.
Rozwiązujemy układ równań
4𝑥 + 6𝑦 = 36
{
2𝑥 = 3𝑦
i otrzymujemy
𝑥 = 4,5
{
𝑦=3
Pole tego prostokąta jest największe, gdy 𝑥 = 4,5 oraz 𝑦 = 3.
Pole tego prostokąta jest dwa razy większe od sumy pól podstaw trzech wybiegów.
Stąd suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa, gdy 𝑥 = 4,5 m oraz 𝑦 = 3 m.
Ocena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią
Obowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez stwierdzonej
dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:
I. ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze
stwierdzoną dyskalkulią (punkty 1.–12.);
II. dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy
osób ze stwierdzoną dyskalkulią – egzamin maturalny z matematyki, poziom
podstawowy, termin główny 2024.
I. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną
dyskalkulią
1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:
• błędnego przepisania
• przestawienia cyfr
• zapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie
• przestawienia położenia przecinka
• przestawienia położenia znaku liczby.
2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu
oddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza
umiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania
badanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.
3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę
rozwiązania, części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej
1 punkt, zgodnie z kryteriami do poszczególnych zadań.
4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub
zapisuje nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne
rozumowanie lub stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt
za rozwiązanie zadania.
5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu
kwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę
wyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania
wartościach liczbowych.
6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający
może otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności
kwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.
7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej
zdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji
kwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.
8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych
lub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie
takiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.
9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na
płaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu
rozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur
geometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.
10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać
przynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych
sprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje
prawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.
11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli
podaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia
rozwiązania.
12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub
geometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która
wyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać
1 punkt.
II. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób
ze stwierdzoną dyskalkulią
1 pkt – zastosowanie wzoru skróconego mnożenia do wyrażenia (𝑛 + 1)2
ALBO
– zastosowanie wzoru skróconego mnożenia do wyrażenia (𝑛 + 2)2 ,
ALBO
– przekształcenie wyrażenia (𝑛 + 1)2 do postaci 𝑛2 + 𝑛 + 𝑛 + 1 ,
ALBO
– przekształcenie wyrażenia (𝑛 + 2)2 do postaci 𝑛2 + 2𝑛 + 2𝑛 + 4 .
1 pkt – przekształcenie wielomianu 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 do postaci
𝑥 2 (𝑥 − 2) − 3(𝑥 − 2) lub 𝑥(𝑥 2 − 3) − 2(𝑥 2 − 3)
ALBO
– zapisanie jednego z rozwiązań równania 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 = 0 .
Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.
1 pkt – zapisanie równania z dwiema niewiadomymi, gdzie jedną z niewiadomych jest
2𝑎1 +14𝑟
różnica ciągu arytmetycznego, np.: −1 = 𝑎1 + 2𝑟, −165 = ⋅ 15 .
2
1 pkt – poprawne zaznaczenie w kartezjańskim układzie współrzędnych punktu 𝐶
ALBO
– poprawne zaznaczenie w kartezjańskim układzie współrzędnych punktu 𝐷 ,
ALBO
– zapisanie współrzędnych środka 𝑆 boku 𝐴𝐵 : 𝑆 = (4, 4).
Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.
1 pkt – zapisanie jedynie liczby 25 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich
zdarzeń elementarnych).
Uwagi:
1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi 1.
ze standardowych zasad oceniania.
2. Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające
zdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (np. |𝐴| = 12) i konsekwentnie zapisze
12
wynik (np. ), to otrzymuje 2 punkty.
25
1 pkt – zapisanie 𝑥 = 4,5 oraz 𝑦 = 3.
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Punktowanie: dla sposobów I–V
4 pkt – poprawna metoda obliczenia obu wymiarów prostokąta oraz podanie poprawnego
wyniku: 𝑥 = 4,5 m oraz 𝑦 = 3 m.
3 pkt – zapisanie poprawnego wzoru na sumę pól trzech prostokątów jako funkcji zmiennej 𝑥
oraz obliczenie argumentu, dla którego ta funkcja przyjmuje wartość największą:
𝑥 = 4,5 m
ALBO
– zapisanie poprawnego wzoru na sumę pól trzech prostokątów jako funkcji zmiennej 𝑦
oraz obliczenie argumentu, dla którego ta funkcja przyjmuje wartość największą:
𝑦 = 3 m,
ALBO
– zapisanie poprawnego wzoru na pole jednego prostokąta jako funkcji zmiennej 𝑥
oraz obliczenie argumentu, dla którego ta funkcja przyjmuje wartość największą:
𝑥 = 4,5 m,
ALBO
– zapisanie poprawnego wzoru na pole jednego prostokąta jako funkcji zmiennej 𝑦
oraz obliczenie argumentu, dla którego ta funkcja przyjmuje wartość największą:
𝑦 = 3 m.
2 pkt – zapisanie poprawnego wzoru na sumę pól trzech prostokątów w zależności od jednej
2 3
zmiennej, np.: 𝑃(𝑥) = 3𝑥 (6 − 𝑥), 𝑃(𝑥) = 𝑥(18 − 2𝑥), 𝑃(𝑦) = 3 (9 − 𝑦) 𝑦
3 2
ALBO
– zapisanie poprawnego wzoru na pole jednego prostokąta w zależności od jednej
2 3
zmiennej, np.: 𝑃(𝑥) = 𝑥 (6 − 𝑥), 𝑃(𝑦) = (9 − 𝑦) 𝑦.
3 2
1 pkt – zapisanie poprawnego związku między wymiarami jednego wybiegu a całkowitą
długością siatki, np. 4𝑥 + 6𝑦 = 36.
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający przyjmie 𝑃 = 𝑘𝑥𝑦, gdzie 𝑘 > 0 i 𝑘 ≠ 1, i 𝑘 ≠ 3, ale nie zapisze, że dla
przyjętej wartości współczynnika 𝑘 pole 𝑃 osiąga wartość największą wtedy i tylko
wtedy, gdy największą wartość osiąga iloczyn 𝑥𝑦, to może otrzymać co najwyżej
3 punkty (za zapisanie warunku początkowego, za obliczenie wymiaru 𝑥 oraz obliczenie
wymiaru 𝑦 adekwatnie do obranego sposobu rozwiązania).
2. Jeżeli zdający zapisze błędną zależność między wymiarami jednego wybiegu a całkowitą
długością siatki, ale jest ona postaci 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 36, gdzie 𝑎, 𝑏 ∈ {2, 3, 4, 5, 6}, i rozwiąże
zadanie konsekwentnie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe
rozwiązanie (za konsekwentne: wyznaczenie wzoru funkcji pola, obliczenie wymiaru 𝑥
oraz obliczenie wymiaru 𝑦, adekwatnie do obranego sposobu rozwiązania).
3. Jeżeli zdający zapisze poprawnie warunek początkowy 4𝑥 + 6𝑦 = 36, a następnie sumę
pól trzech prostokątów (lub pole jednego prostokąta) jako funkcję 𝑃 jednej zmiennej
i otrzyma wartość pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli zawierającej wykres
funkcji 𝑃, która leży poza właściwą dziedziną funkcji 𝑃, to może otrzymać co najwyżej
2 punkty za całe rozwiązanie (za zapisanie warunku początkowego i wzoru na sumę pól
lub pole jednego prostokąta).
Jeżeli natomiast zdający zapisze błędny warunek początkowy, ale taki jak wymieniony
w uwadze 2., a następnie konsekwentnie do tego warunku wyznaczy sumę pól trzech
prostokątów (lub pole jednego prostokąta) jako funkcję 𝑃 jednej zmiennej i otrzyma
wartość pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli zawierającej wykres funkcji 𝑃, która
leży poza dziedziną odpowiadającą wyznaczonej przez zdającego funkcji 𝑃, to może
otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie (za wyznaczenie wzoru funkcji 𝑃).
4. Jeżeli zdający zapisze sumę pól trzech prostokątów (lub pole jednego prostokąta) jako
funkcję 𝑃 jednej zmiennej, a następnie obliczy wartości tej funkcji dla pierwszej
współrzędnej wierzchołka i dwóch argumentów leżących symetrycznie względem
pierwszej współrzędnej wierzchołka, i nie odwoła się do własności wykresu funkcji
kwadratowej, to otrzymuje co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.
5. Jeżeli zdający nie zapisze sumy pól trzech prostokątów (lub jednego prostokąta) jako
funkcji jednej zmiennej, a jedynie oblicza wartości pola dla wybranych par liczb 𝑥 oraz 𝑦
i na tej podstawie wskazuje największą wartość pola, to za całe rozwiązanie otrzymuje
0 punktów, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.
6. Jeżeli zdający oblicza największą wartość funkcji 𝑃, korzystając z rachunku
różniczkowego, i nie uzasadni, że w punkcie będącym miejscem zerowym pochodnej
funkcji 𝑃 jest największa wartość funkcji 𝑃, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za
całe rozwiązanie.
Za poprawne uzasadnienie, że w punkcie będącym miejscem zerowym pochodnej
funkcji 𝑃 jest największa wartość funkcji 𝑃, można uznać sytuację, gdy zdający bada
znak pochodnej (np. szkicując wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna
zmienia znak, i zaznaczając na rysunku, np. znakami „+” i „-”, znak pochodnej) oraz:
– opisuje (słownie lub graficznie - np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji 𝑃
LUB
– zapisuje, że dla wyznaczonego miejsca zerowego pochodnej, funkcja 𝑃 ma maksimum
lokalne i jest to jednocześnie jej największa wartość,
LUB
– zapisuje, że dla wyznaczonego miejsca zerowego pochodnej, funkcja 𝑃 ma maksimum
lokalne i jest to jedyne ekstremum tej funkcji.
Zasady oceniania dla sposobu VI
4 pkt – poprawna metoda obliczenia obu wymiarów prostokąta oraz podanie poprawnego
wyniku: 𝑥 = 4,5 m oraz 𝑦 = 3 m.
3 pkt – zapisanie, że spośród prostokątów o danym obwodzie największe pole ma kwadrat
4𝑥 + 6𝑦 = 36
oraz zapisanie układu równań { oraz obliczenie 𝑥 = 4,5 m
2𝑥 = 3𝑦
ALBO
– zapisanie, że spośród prostokątów o danym obwodzie największe pole ma kwadrat
4𝑥 + 6𝑦 = 36
oraz zapisanie układu równań { oraz obliczenie 𝑦 = 3 m.
2𝑥 = 3𝑦
2 pkt – zapisanie, że spośród prostokątów o danym obwodzie największe pole ma kwadrat
4𝑥 + 6𝑦 = 36
oraz zapisanie układu równań {
2𝑥 = 3𝑦
1 pkt – zapisanie związku między wymiarami prostokąta, np. 4𝑥 + 6𝑦 = 36.
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Ekstrakcja pytań. 175 jednostek zadaniowych zapisano w drafcie redakcyjnym.
2
Odpowiedzi i rozwiązania. 175 z 175 jednostek zestawów źródłowych ma odpowiedź; 0 ma również pełny tok rozumowania, a dla 175 pozostaje on do opracowania.
3
Weryfikacja. Porównamy całość z oficjalnymi zasadami CKE przed indeksacją.
175 z 175 jednostek zestawów źródłowych ma odpowiedź · 175 bez rozwiązania krok po kroku · bez indeksacji do czasu drugiej recenzji
Dokumenty źródłowe
Oficjalne materiały CKE
PDF-y nie są osadzane ani wczytywane razem ze stroną. Każdy link prowadzi bezpośrednio do dokumentu źródłowego CKE.
Forma arkuszaMMAP-P0-100-2405 · MMAU-P0-100-2405 · MMAP-P0-200-2405 · MMAP-P0-660-2405
