Matematyka 2024 — poziom podstawowy — Formuła 2015

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 2 pkt – spełnienie jednego z warunków określonych w zasadach oceniania za 1 pkt oraz zapisanie zbioru rozwiązań nierówności: ⟨−1, 4⟩ lub 𝑥 ∈ ⟨−1, 4⟩ ALBO – spełnienie jednego z warunków określonych w zasadach oceniania za 1 pkt oraz przedstawienie zbioru rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów −1 4 𝑥 1 pkt – obliczenie lub podanie pierwiastków trójmianu kwadratowego 𝑥 2 − 3𝑥 − 4: 𝑥1 = −1 oraz 𝑥2 = 4 ALBO – odczytanie z wykresu funkcji 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 3𝑥 − 4 i zapisanie miejsc zerowych 𝑥1 = −1 oraz 𝑥2 = 4. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający, realizując pierwszy etap rozwiązania zadania, popełni błędy (ale otrzyma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionych błędów zapisze zbiór rozwiązań nierówności, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy błędnie obliczony przez zdającego wyróżnik 𝛥 jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający, rozpoczynając realizację pierwszego etapu rozwiązania, rozpatruje inny niż podany w zadaniu trójmian kwadratowy, który nie wynika z błędu przekształcenia (np. 𝑥 2 − 4), i w konsekwencji rozpatruje inną nierówność (np. 𝑥 2 − 4 ≤ 0), to oznacza, że nie podjął realizacji 1. etapu rozwiązania i otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 4. Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci 𝑎 + 𝑏√𝑐, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 są liczbami wymiernymi. 5. Jeżeli zdający poda zbiór rozwiązań w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów oraz zapisze: 𝑥 ∈ (−1, 4), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci ⟨4, −1⟩, to otrzymuje 2 punkty.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 2 pkt – przekształcenie nierówności (3𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 3𝑦) > 16𝑥𝑦 do postaci 𝑐(𝑥 − 𝑦)2 > 0, gdzie 𝑐 > 0 (np. 3(𝑥 − 𝑦)2 > 0) lub 𝑐(𝑥 − 𝑦)2 < 0, gdzie 𝑐 < 0 (np. −3(𝑥 − 𝑦)2 < 0), lub 2 (𝑐𝑥 − 𝑐𝑦)2 > 0, gdzie 𝑐 ≠ 0 (np. (√3𝑥 − √3𝑦) > 0) oraz powołanie się na założenie i stwierdzenie, że kwadrat każdej liczby rzeczywistej różnej od zera jest liczbą dodatnią ALBO – przekształcenie nierówności (3𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 3𝑦) > 16𝑥𝑦 do postaci 𝑥 2 + 𝑦 2 > 2𝑥𝑦 oraz powołanie się na nierówność 𝑥 2 + 𝑦 2 ≥ 2𝑥𝑦 i stwierdzenie, że dla 𝑥 ≠ 𝑦 nierówność jest ostra, ALBO – obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 3𝑥 2 − 6𝑥𝑦 + 3𝑦 2 zmiennej 𝑥 oraz uzasadnienie, że funkcja 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 − 6𝑥𝑦 + 3𝑦 2 przyjmuje wartości dodatnie dla 𝑥 ≠ 𝑦, ALBO – obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 3𝑦 2 − 6𝑥𝑦 + 3𝑥 2 zmiennej 𝑦 oraz uzasadnienie, że funkcja 𝑓(𝑦) = 3𝑦 2 − 6𝑥𝑦 + 3𝑥 2 przyjmuje wartości dodatnie dla 𝑦 ≠ 𝑥 . 1 pkt – przekształcenie nierówności (3𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 3𝑦) > 16𝑥𝑦 do postaci 3𝑥 2 − 6𝑥𝑦 + 3𝑦 2 > 0 ALBO – przekształcenie nierówności (3𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 3𝑦) > 16𝑥𝑦 do postaci 𝑥 2 + 𝑦 2 > 2𝑥𝑦 , ALBO – obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 3𝑥 2 − 6𝑥𝑦 + 3𝑦 2 zmiennej 𝑥 , ALBO, – obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 3𝑦 2 − 6𝑥𝑦 + 3𝑥 2 zmiennej 𝑦. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwaga: Jeśli zdający sprawdza prawdziwość nierówności tylko dla wybranych wartości 𝑥 i 𝑦, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 2 pkt – zastosowanie poprawnej metody i obliczenie współczynników: 𝑏 = 4, 𝑐 = −5. 1 pkt – zapisanie drugiego miejsca zerowego funkcji 𝑓: 𝑥2 = −5 ALBO – obliczenie drugiej współrzędnej wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓 : 𝑞 = −9, ALBO – obliczenie współczynnika 𝑏: 𝑏 = 4. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 2 pkt – zastosowanie poprawnej metody i obliczenie różnicy ciągu: 𝑟 = −2. 1 pkt – zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć 𝑟, np.: 2𝑎1 + 14𝑟 −1 = 𝑎1 + 2𝑟 oraz − 165 = ⋅ 15 , 2 𝑎1 + 𝑎15 −1 = 𝑎1 + 2𝑟 oraz 𝑎15 = 𝑎1 + 14𝑟 oraz − 165 = ⋅ 15 , 2 (𝑎3 − 2𝑟) + (𝑎3 + 12𝑟) 𝑎3 = −1 oraz − 165 = ⋅ 15 2 ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑟, np.: (−1 − 2𝑟) + (−1 − 𝑟) + (−1) + (−1 + 𝑟) + … + (−1 + 12𝑟) = −165 , 2(−1 − 2𝑟) + 14𝑟 ⋅ 15 = −165 , 2 (−1 − 2𝑟) + (−1 + 12𝑟) ⋅ 15 = −165 , 2 ALBO – obliczenie ósmego wyrazu ciągu (𝑎𝑛 ) z wykorzystaniem własności ciągu arytmetycznego: 𝑎8 = −11 (dla sposobów IV oraz V), ALBO – zapisanie kolejnych piętnastu początkowych wyrazów ciągu (𝑎𝑛 ): 3, 1, −1, −3, −5, −7, −9, −11, −13, −15, −17, −19, −21, −23, −25. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów. 2. Jeżeli zdający zapisze tylko 𝑟 = −2, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający błędnie interpretuje liczbę (−165) jako piętnasty wyraz ciągu, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 2 pkt – zastosowanie poprawnej metody i obliczenie długości boku 𝐵𝐶 : |𝐵𝐶| = √52. 1 pkt – zapisanie współrzędnych punktu 𝐶 : 𝐶 = (14, 8) ALBO – zapisanie współrzędnych punktu 𝐷 : 𝐷 = (2, 12), ALBO – zapisanie współrzędnych środka 𝑆 boku 𝐴𝐵 : 𝑆 = (4, 4) oraz zapisanie równości |𝐵𝐶| = 2|𝑃𝑆|, ALBO ⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗ – zapisanie równości 𝐶𝐵 𝑃𝐴 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 oraz obliczenie współrzędnych wektorów ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝐴 i ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 : ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝐴 = [−8, −1] oraz ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = [12, −4], ALBO – obliczenie długości odcinków 𝐴𝐵 , 𝐴𝑃 oraz 𝐵𝑃 i cosinusa kąta 𝛼 oraz cosinusa kąta (180° − 𝛼), gdzie 𝛼 = |∡𝐴𝑃𝐵|: |𝐴𝐵| = 4√10 oraz |𝐴𝑃| = √65, oraz 27 27 |𝐵𝑃| = √41, oraz cos 𝛼 = − , oraz cos(180° − 𝛼) = . √65⋅√41 √65⋅√41 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający korzysta z punktów kratowych oraz błędnie zaznaczy w układzie współrzędnych co najmniej jeden z punktów 𝐴, 𝐵, 𝐶 , 𝑃 i na tej podstawie oblicza długość odcinka 𝐵𝐶 , to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie (o ile nie nabył praw do innej punktacji). 2. Jeżeli zdający korzysta z punktów kratowych oraz poprawnie zaznaczy w układzie współrzędnych punkty 𝐴, 𝐵, 𝐶 , 𝑃, lecz błędnie odczyta współrzędne jednego z tych punktów, i na tej podstawie oblicza długość odcinka 𝐵𝐶 , to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający obliczy długość odcinka 𝐵𝐶 , korzystając z przybliżonych wartości funkcji trygonometrycznych, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 2 pkt – zastosowanie poprawnej metody obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴 13 i uzyskanie poprawnego wyniku: 𝑃(𝐴) = . 25 1 pkt – wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych lub obliczenie/podanie liczby tych zdarzeń: |Ω| = 5 ⋅ 5 lub sporządzenie tabeli o 25 polach odpowiadających zdarzeniom elementarnym, z których co najmniej jedno pole jest wypełnione, lub sporządzenie pełnego drzewa stochastycznego ALBO – wypisanie (lub zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego, ALBO – podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴: |𝐴| = 13, o ile nie zostały zliczone błędne pary, ALBO – sporządzenie fragmentu drzewa stochastycznego, które zawiera wszystkie gałęzie sprzyjające zdarzeniu 𝐴 oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej jednym odcinku każdego z etapów doświadczenia, ALBO 1 – podanie prawdopodobieństwa jednoelementowego zdarzenia (elementarnego): , 25 ALBO 13 – zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = . 25 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający zapisuje tylko liczby 13 lub 25 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych liczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający rozważa losowanie bez zwracania, to otrzymuje 0 punktów.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: Część I (Obliczenie cosinusa kąta 𝛼 ) 1 2 pkt – obliczenie cosinusa kąta 𝛼 : cos 𝛼 = . 3 1 pkt – zapisanie przekątnej graniastosłupa jako 3𝑎√2 ALBO – obliczenie tangensa kąta 𝛼 nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny 4 podstawy: tg 𝛼 = , √2 ALBO – obliczenie długości przekątnej graniastosłupa podobnego do rozpatrywanego. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwaga: Jeżeli zdający obliczy wartość cosinusa kąta 𝛼 , popełniając błąd, który nie jest rachunkowy 𝑎 √3 (np. przyjmie, że przekątna podstawy jest równa ), to otrzymuje za tę część rozwiązania 2 0 punktów, o ile nie nabył praw do innej punktacji. Część II (Obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa) 3 pkt – obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa: 𝑃𝑐 = 162. 2 pkt – zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎 lub 𝐻 , np.: 1 2 𝑎2 ⋅ 4𝑎 = 108, (4 𝐻) ⋅ 𝐻 = 108 ALBO – obliczenie skali 𝑘 podobieństwa graniastosłupa podobnego do rozpatrywanego (gdzie 𝑘 ≠ 1). 1 pkt – zapisanie związku pomiędzy krawędzią podstawy a wysokością graniastosłupa, np.: 𝐻 = 4𝑎 , 𝑎2 ∙ 𝐻 = 108 ALBO – obliczenie objętości i pola powierzchni całkowitej graniastosłupa podobnego do rozpatrywanego w skali 𝑘 ≠ 1 (np. przyjmując 𝑎 = 1, 𝐻 = 4 i wtedy 𝑉 = 4 oraz 𝑃𝑐 = 18), ALBO – zapisanie zależności między objętością danego graniastosłupa i graniastosłupa do niego podobnego, np. 108 = 12 ⋅ 4 ⋅ 𝑘 3 (gdzie 𝑘 to skala podobieństwa). 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 2 pkt – spełnienie jednego z warunków określonych w zasadach oceniania za 1 pkt oraz zapisanie zbioru rozwiązań nierówności: ⟨−1, 4⟩ lub 𝑥 ∈ ⟨−1, 4⟩ ALBO – spełnienie jednego z warunków określonych w zasadach oceniania za 1 pkt oraz przedstawienie zbioru rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów −1 4 𝑥 1 pkt – obliczenie lub podanie pierwiastków trójmianu kwadratowego 𝑥 2 − 3𝑥 − 4: 𝑥1 = −1 oraz 𝑥2 = 4 ALBO – odczytanie z wykresu funkcji 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 3𝑥 − 4 i zapisanie miejsc zerowych 𝑥1 = −1 oraz 𝑥2 = 4. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający, realizując pierwszy etap rozwiązania zadania, popełni błędy (ale otrzyma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionych błędów zapisze zbiór rozwiązań nierówności, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy błędnie obliczony przez zdającego wyróżnik 𝛥 jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający, rozpoczynając realizację pierwszego etapu rozwiązania, rozpatruje inny niż podany w zadaniu trójmian kwadratowy, który nie wynika z błędu przekształcenia (np. 𝑥 2 − 4), i w konsekwencji rozpatruje inną nierówność (np. 𝑥 2 − 4 ≤ 0), to oznacza, że nie podjął realizacji 1. etapu rozwiązania i otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 4. Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci 𝑎 + 𝑏√𝑐, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 są liczbami wymiernymi. 5. Jeżeli zdający poda zbiór rozwiązań w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów oraz zapisze: 𝑥 ∈ (−1, 4), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci ⟨4, −1⟩, to otrzymuje 2 punkty.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 2 pkt – przekształcenie nierówności (3𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 3𝑦) > 16𝑥𝑦 do postaci 𝑐(𝑥 − 𝑦)2 > 0, gdzie 𝑐 > 0 (np. 3(𝑥 − 𝑦)2 > 0) lub 𝑐(𝑥 − 𝑦)2 < 0, gdzie 𝑐 < 0 (np. −3(𝑥 − 𝑦)2 < 0), lub 2 (𝑐𝑥 − 𝑐𝑦)2 > 0, gdzie 𝑐 ≠ 0 (np. (√3𝑥 − √3𝑦) > 0) oraz powołanie się na założenie i stwierdzenie, że kwadrat każdej liczby rzeczywistej różnej od zera jest liczbą dodatnią ALBO – przekształcenie nierówności (3𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 3𝑦) > 16𝑥𝑦 do postaci 𝑥 2 + 𝑦 2 > 2𝑥𝑦 oraz powołanie się na nierówność 𝑥 2 + 𝑦 2 ≥ 2𝑥𝑦 i stwierdzenie, że dla 𝑥 ≠ 𝑦 nierówność jest ostra, ALBO – obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 3𝑥 2 − 6𝑥𝑦 + 3𝑦 2 zmiennej 𝑥 oraz uzasadnienie, że funkcja 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 − 6𝑥𝑦 + 3𝑦 2 przyjmuje wartości dodatnie dla 𝑥 ≠ 𝑦, ALBO – obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 3𝑦 2 − 6𝑥𝑦 + 3𝑥 2 zmiennej 𝑦 oraz uzasadnienie, że funkcja 𝑓(𝑦) = 3𝑦 2 − 6𝑥𝑦 + 3𝑥 2 przyjmuje wartości dodatnie dla 𝑦 ≠ 𝑥 . 1 pkt – przekształcenie nierówności (3𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 3𝑦) > 16𝑥𝑦 do postaci 3𝑥 2 − 6𝑥𝑦 + 3𝑦 2 > 0 ALBO – przekształcenie nierówności (3𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 3𝑦) > 16𝑥𝑦 do postaci 𝑥 2 + 𝑦 2 > 2𝑥𝑦 , ALBO – obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 3𝑥 2 − 6𝑥𝑦 + 3𝑦 2 zmiennej 𝑥 , ALBO, – obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 3𝑦 2 − 6𝑥𝑦 + 3𝑥 2 zmiennej 𝑦. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwaga: Jeśli zdający sprawdza prawdziwość nierówności tylko dla wybranych wartości 𝑥 i 𝑦, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 2 pkt – zastosowanie poprawnej metody i obliczenie współczynników: 𝑏 = 4, 𝑐 = −5. 1 pkt – zapisanie drugiego miejsca zerowego funkcji 𝑓: 𝑥2 = −5 ALBO – obliczenie drugiej współrzędnej wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓 : 𝑞 = −9, ALBO – obliczenie współczynnika 𝑏: 𝑏 = 4. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 2 pkt – zastosowanie poprawnej metody i obliczenie różnicy ciągu: 𝑟 = −2. 1 pkt – zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć 𝑟, np.: 2𝑎1 + 14𝑟 −1 = 𝑎1 + 2𝑟 oraz − 165 = ⋅ 15 , 2 𝑎1 + 𝑎15 −1 = 𝑎1 + 2𝑟 oraz 𝑎15 = 𝑎1 + 14𝑟 oraz − 165 = ⋅ 15 , 2 (𝑎3 − 2𝑟) + (𝑎3 + 12𝑟) 𝑎3 = −1 oraz − 165 = ⋅ 15 2 ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑟, np.: (−1 − 2𝑟) + (−1 − 𝑟) + (−1) + (−1 + 𝑟) + … + (−1 + 12𝑟) = −165 , 2(−1 − 2𝑟) + 14𝑟 ⋅ 15 = −165 , 2 (−1 − 2𝑟) + (−1 + 12𝑟) ⋅ 15 = −165 , 2 ALBO – obliczenie ósmego wyrazu ciągu (𝑎𝑛 ) z wykorzystaniem własności ciągu arytmetycznego: 𝑎8 = −11 (dla sposobów IV oraz V), ALBO – zapisanie kolejnych piętnastu początkowych wyrazów ciągu (𝑎𝑛 ): 3, 1, −1, −3, −5, −7, −9, −11, −13, −15, −17, −19, −21, −23, −25. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów. 2. Jeżeli zdający zapisze tylko 𝑟 = −2, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający błędnie interpretuje liczbę (−165) jako piętnasty wyraz ciągu, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 2 pkt – zastosowanie poprawnej metody i obliczenie długości boku 𝐵𝐶 : |𝐵𝐶| = √52. 1 pkt – zapisanie współrzędnych punktu 𝐶 : 𝐶 = (14, 8) ALBO – zapisanie współrzędnych punktu 𝐷 : 𝐷 = (2, 12), ALBO – zapisanie współrzędnych środka 𝑆 boku 𝐴𝐵 : 𝑆 = (4, 4) oraz zapisanie równości |𝐵𝐶| = 2|𝑃𝑆|, ALBO ⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗ – zapisanie równości 𝐶𝐵 𝑃𝐴 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 oraz obliczenie współrzędnych wektorów ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝐴 i ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 : ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝐴 = [−8, −1] oraz ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = [12, −4], ALBO – obliczenie długości odcinków 𝐴𝐵 , 𝐴𝑃 oraz 𝐵𝑃 i cosinusa kąta 𝛼 oraz cosinusa kąta (180° − 𝛼), gdzie 𝛼 = |∡𝐴𝑃𝐵|: |𝐴𝐵| = 4√10 oraz |𝐴𝑃| = √65, oraz 27 27 |𝐵𝑃| = √41, oraz cos 𝛼 = − , oraz cos(180° − 𝛼) = . √65⋅√41 √65⋅√41 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający korzysta z punktów kratowych oraz błędnie zaznaczy w układzie współrzędnych co najmniej jeden z punktów 𝐴, 𝐵, 𝐶 , 𝑃 i na tej podstawie oblicza długość odcinka 𝐵𝐶 , to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie (o ile nie nabył praw do innej punktacji). 2. Jeżeli zdający korzysta z punktów kratowych oraz poprawnie zaznaczy w układzie współrzędnych punkty 𝐴, 𝐵, 𝐶 , 𝑃, lecz błędnie odczyta współrzędne jednego z tych punktów, i na tej podstawie oblicza długość odcinka 𝐵𝐶 , to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający obliczy długość odcinka 𝐵𝐶 , korzystając z przybliżonych wartości funkcji trygonometrycznych, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 2 pkt – zastosowanie poprawnej metody obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴 13 i uzyskanie poprawnego wyniku: 𝑃(𝐴) = . 25 1 pkt – wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych lub obliczenie/podanie liczby tych zdarzeń: |Ω| = 5 ⋅ 5 lub sporządzenie tabeli o 25 polach odpowiadających zdarzeniom elementarnym, z których co najmniej jedno pole jest wypełnione, lub sporządzenie pełnego drzewa stochastycznego ALBO – wypisanie (lub zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego, ALBO – podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴: |𝐴| = 13, o ile nie zostały zliczone błędne pary, ALBO – sporządzenie fragmentu drzewa stochastycznego, które zawiera wszystkie gałęzie sprzyjające zdarzeniu 𝐴 oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej jednym odcinku każdego z etapów doświadczenia, ALBO 1 – podanie prawdopodobieństwa jednoelementowego zdarzenia (elementarnego): , 25 ALBO 13 – zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = . 25 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający zapisuje tylko liczby 13 lub 25 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych liczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający rozważa losowanie bez zwracania, to otrzymuje 0 punktów.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: Część I (Obliczenie cosinusa kąta 𝛼 ) 1 2 pkt – obliczenie cosinusa kąta 𝛼 : cos 𝛼 = . 3 1 pkt – zapisanie przekątnej graniastosłupa jako 3𝑎√2 ALBO – obliczenie tangensa kąta 𝛼 nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny 4 podstawy: tg 𝛼 = , √2 ALBO – obliczenie długości przekątnej graniastosłupa podobnego do rozpatrywanego. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwaga: Jeżeli zdający obliczy wartość cosinusa kąta 𝛼 , popełniając błąd, który nie jest rachunkowy 𝑎 √3 (np. przyjmie, że przekątna podstawy jest równa ), to otrzymuje za tę część rozwiązania 2 0 punktów, o ile nie nabył praw do innej punktacji. Część II (Obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa) 3 pkt – obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa: 𝑃𝑐 = 162. 2 pkt – zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎 lub 𝐻 , np.: 1 2 𝑎2 ⋅ 4𝑎 = 108, (4 𝐻) ⋅ 𝐻 = 108 ALBO – obliczenie skali 𝑘 podobieństwa graniastosłupa podobnego do rozpatrywanego (gdzie 𝑘 ≠ 1). 1 pkt – zapisanie związku pomiędzy krawędzią podstawy a wysokością graniastosłupa, np.: 𝐻 = 4𝑎 , 𝑎2 ∙ 𝐻 = 108 ALBO – obliczenie objętości i pola powierzchni całkowitej graniastosłupa podobnego do rozpatrywanego w skali 𝑘 ≠ 1 (np. przyjmując 𝑎 = 1, 𝐻 = 4 i wtedy 𝑉 = 4 oraz 𝑃𝑐 = 18), ALBO – zapisanie zależności między objętością danego graniastosłupa i graniastosłupa do niego podobnego, np. 108 = 12 ⋅ 4 ⋅ 𝑘 3 (gdzie 𝑘 to skala podobieństwa). 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 2 pkt – spełnienie jednego z warunków określonych w zasadach oceniania za 1 pkt oraz zapisanie zbioru rozwiązań nierówności: ⟨−1, 4⟩ lub 𝑥 ∈ ⟨−1, 4⟩ ALBO – spełnienie jednego z warunków określonych w zasadach oceniania za 1 pkt oraz przedstawienie zbioru rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów −1 4 𝑥 1 pkt – obliczenie lub podanie pierwiastków trójmianu kwadratowego 𝑥 2 − 3𝑥 − 4: 𝑥1 = −1 oraz 𝑥2 = 4 ALBO – odczytanie z wykresu funkcji 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 3𝑥 − 4 i zapisanie miejsc zerowych 𝑥1 = −1 oraz 𝑥2 = 4. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający, realizując pierwszy etap rozwiązania zadania, popełni błędy (ale otrzyma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionych błędów zapisze zbiór rozwiązań nierówności, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy błędnie obliczony przez zdającego wyróżnik 𝛥 jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający, rozpoczynając realizację pierwszego etapu rozwiązania, rozpatruje inny niż podany w zadaniu trójmian kwadratowy, który nie wynika z błędu przekształcenia (np. 𝑥 2 − 4), i w konsekwencji rozpatruje inną nierówność (np. 𝑥 2 − 4 ≤ 0), to oznacza, że nie podjął realizacji 1. etapu rozwiązania i otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 4. Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci 𝑎 + 𝑏√𝑐, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 są liczbami wymiernymi. 5. Jeżeli zdający poda zbiór rozwiązań w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów oraz zapisze: 𝑥 ∈ (−1, 4), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci ⟨4, −1⟩, to otrzymuje 2 punkty.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 2 pkt – przekształcenie nierówności (3𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 3𝑦) > 16𝑥𝑦 do postaci 𝑐(𝑥 − 𝑦)2 > 0, gdzie 𝑐 > 0 (np. 3(𝑥 − 𝑦)2 > 0) lub 𝑐(𝑥 − 𝑦)2 < 0, gdzie 𝑐 < 0 (np. −3(𝑥 − 𝑦)2 < 0), lub 2 (𝑐𝑥 − 𝑐𝑦)2 > 0, gdzie 𝑐 ≠ 0 (np. (√3𝑥 − √3𝑦) > 0) oraz powołanie się na założenie i stwierdzenie, że kwadrat każdej liczby rzeczywistej różnej od zera jest liczbą dodatnią ALBO – przekształcenie nierówności (3𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 3𝑦) > 16𝑥𝑦 do postaci 𝑥 2 + 𝑦 2 > 2𝑥𝑦 oraz powołanie się na nierówność 𝑥 2 + 𝑦 2 ≥ 2𝑥𝑦 i stwierdzenie, że dla 𝑥 ≠ 𝑦 nierówność jest ostra, ALBO – obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 3𝑥 2 − 6𝑥𝑦 + 3𝑦 2 zmiennej 𝑥 oraz uzasadnienie, że funkcja 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 − 6𝑥𝑦 + 3𝑦 2 przyjmuje wartości dodatnie dla 𝑥 ≠ 𝑦, ALBO – obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 3𝑦 2 − 6𝑥𝑦 + 3𝑥 2 zmiennej 𝑦 oraz uzasadnienie, że funkcja 𝑓(𝑦) = 3𝑦 2 − 6𝑥𝑦 + 3𝑥 2 przyjmuje wartości dodatnie dla 𝑦 ≠ 𝑥 . 1 pkt – przekształcenie nierówności (3𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 3𝑦) > 16𝑥𝑦 do postaci 3𝑥 2 − 6𝑥𝑦 + 3𝑦 2 > 0 ALBO – przekształcenie nierówności (3𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 3𝑦) > 16𝑥𝑦 do postaci 𝑥 2 + 𝑦 2 > 2𝑥𝑦 , ALBO – obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 3𝑥 2 − 6𝑥𝑦 + 3𝑦 2 zmiennej 𝑥 , ALBO, – obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 3𝑦 2 − 6𝑥𝑦 + 3𝑥 2 zmiennej 𝑦. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwaga: Jeśli zdający sprawdza prawdziwość nierówności tylko dla wybranych wartości 𝑥 i 𝑦, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 2 pkt – zastosowanie poprawnej metody i obliczenie współczynników: 𝑏 = 4, 𝑐 = −5. 1 pkt – zapisanie drugiego miejsca zerowego funkcji 𝑓: 𝑥2 = −5 ALBO – obliczenie drugiej współrzędnej wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓 : 𝑞 = −9, ALBO – obliczenie współczynnika 𝑏: 𝑏 = 4. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 2 pkt – zastosowanie poprawnej metody i obliczenie różnicy ciągu: 𝑟 = −2. 1 pkt – zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć 𝑟, np.: 2𝑎1 + 14𝑟 −1 = 𝑎1 + 2𝑟 oraz − 165 = ⋅ 15 , 2 𝑎1 + 𝑎15 −1 = 𝑎1 + 2𝑟 oraz 𝑎15 = 𝑎1 + 14𝑟 oraz − 165 = ⋅ 15 , 2 (𝑎3 − 2𝑟) + (𝑎3 + 12𝑟) 𝑎3 = −1 oraz − 165 = ⋅ 15 2 ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑟, np.: (−1 − 2𝑟) + (−1 − 𝑟) + (−1) + (−1 + 𝑟) + … + (−1 + 12𝑟) = −165 , 2(−1 − 2𝑟) + 14𝑟 ⋅ 15 = −165 , 2 (−1 − 2𝑟) + (−1 + 12𝑟) ⋅ 15 = −165 , 2 ALBO – obliczenie ósmego wyrazu ciągu (𝑎𝑛 ) z wykorzystaniem własności ciągu arytmetycznego: 𝑎8 = −11 (dla sposobów IV oraz V), ALBO – zapisanie kolejnych piętnastu początkowych wyrazów ciągu (𝑎𝑛 ): 3, 1, −1, −3, −5, −7, −9, −11, −13, −15, −17, −19, −21, −23, −25. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów. 2. Jeżeli zdający zapisze tylko 𝑟 = −2, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający błędnie interpretuje liczbę (−165) jako piętnasty wyraz ciągu, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 2 pkt – zastosowanie poprawnej metody i obliczenie długości boku 𝐵𝐶 : |𝐵𝐶| = √52. 1 pkt – zapisanie współrzędnych punktu 𝐶 : 𝐶 = (14, 8) ALBO – zapisanie współrzędnych punktu 𝐷 : 𝐷 = (2, 12), ALBO – zapisanie współrzędnych środka 𝑆 boku 𝐴𝐵 : 𝑆 = (4, 4) oraz zapisanie równości |𝐵𝐶| = 2|𝑃𝑆|, ALBO ⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗ – zapisanie równości 𝐶𝐵 𝑃𝐴 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 oraz obliczenie współrzędnych wektorów ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝐴 i ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 : ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝐴 = [−8, −1] oraz ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = [12, −4], ALBO – obliczenie długości odcinków 𝐴𝐵 , 𝐴𝑃 oraz 𝐵𝑃 i cosinusa kąta 𝛼 oraz cosinusa kąta (180° − 𝛼), gdzie 𝛼 = |∡𝐴𝑃𝐵|: |𝐴𝐵| = 4√10 oraz |𝐴𝑃| = √65, oraz 27 27 |𝐵𝑃| = √41, oraz cos 𝛼 = − , oraz cos(180° − 𝛼) = . √65⋅√41 √65⋅√41 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający korzysta z punktów kratowych oraz błędnie zaznaczy w układzie współrzędnych co najmniej jeden z punktów 𝐴, 𝐵, 𝐶 , 𝑃 i na tej podstawie oblicza długość odcinka 𝐵𝐶 , to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie (o ile nie nabył praw do innej punktacji). 2. Jeżeli zdający korzysta z punktów kratowych oraz poprawnie zaznaczy w układzie współrzędnych punkty 𝐴, 𝐵, 𝐶 , 𝑃, lecz błędnie odczyta współrzędne jednego z tych punktów, i na tej podstawie oblicza długość odcinka 𝐵𝐶 , to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający obliczy długość odcinka 𝐵𝐶 , korzystając z przybliżonych wartości funkcji trygonometrycznych, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 2 pkt – zastosowanie poprawnej metody obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴 13 i uzyskanie poprawnego wyniku: 𝑃(𝐴) = . 25 1 pkt – wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych lub obliczenie/podanie liczby tych zdarzeń: |Ω| = 5 ⋅ 5 lub sporządzenie tabeli o 25 polach odpowiadających zdarzeniom elementarnym, z których co najmniej jedno pole jest wypełnione, lub sporządzenie pełnego drzewa stochastycznego ALBO – wypisanie (lub zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego, ALBO – podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴: |𝐴| = 13, o ile nie zostały zliczone błędne pary, ALBO – sporządzenie fragmentu drzewa stochastycznego, które zawiera wszystkie gałęzie sprzyjające zdarzeniu 𝐴 oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej jednym odcinku każdego z etapów doświadczenia, ALBO 1 – podanie prawdopodobieństwa jednoelementowego zdarzenia (elementarnego): , 25 ALBO 13 – zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = . 25 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający zapisuje tylko liczby 13 lub 25 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych liczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający rozważa losowanie bez zwracania, to otrzymuje 0 punktów.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: Część I (Obliczenie cosinusa kąta 𝛼 ) 1 2 pkt – obliczenie cosinusa kąta 𝛼 : cos 𝛼 = . 3 1 pkt – zapisanie przekątnej graniastosłupa jako 3𝑎√2 ALBO – obliczenie tangensa kąta 𝛼 nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny 4 podstawy: tg 𝛼 = , √2 ALBO – obliczenie długości przekątnej graniastosłupa podobnego do rozpatrywanego. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwaga: Jeżeli zdający obliczy wartość cosinusa kąta 𝛼 , popełniając błąd, który nie jest rachunkowy 𝑎 √3 (np. przyjmie, że przekątna podstawy jest równa ), to otrzymuje za tę część rozwiązania 2 0 punktów, o ile nie nabył praw do innej punktacji. Część II (Obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa) 3 pkt – obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa: 𝑃𝑐 = 162. 2 pkt – zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎 lub 𝐻 , np.: 1 2 𝑎2 ⋅ 4𝑎 = 108, (4 𝐻) ⋅ 𝐻 = 108 ALBO – obliczenie skali 𝑘 podobieństwa graniastosłupa podobnego do rozpatrywanego (gdzie 𝑘 ≠ 1). 1 pkt – zapisanie związku pomiędzy krawędzią podstawy a wysokością graniastosłupa, np.: 𝐻 = 4𝑎 , 𝑎2 ∙ 𝐻 = 108 ALBO – obliczenie objętości i pola powierzchni całkowitej graniastosłupa podobnego do rozpatrywanego w skali 𝑘 ≠ 1 (np. przyjmując 𝑎 = 1, 𝐻 = 4 i wtedy 𝑉 = 4 oraz 𝑃𝑐 = 18), ALBO – zapisanie zależności między objętością danego graniastosłupa i graniastosłupa do niego podobnego, np. 108 = 12 ⋅ 4 ⋅ 𝑘 3 (gdzie 𝑘 to skala podobieństwa). 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.