Matematyka 2025 — poziom podstawowy

1. 1
   Wyłącz pełny kwadrat spod pierwiastka

   Liczbę 32 zapisz jako 16 · 2. Dzięki temu pierwiastek z 32 można uprościć.

   $$\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot2}=4\sqrt{2}$$
2. 2
   Odejmij wyrażenia podobne

   Oba składniki zawierają √2, więc odejmujemy ich współczynniki.

   $$4\sqrt{2}-\sqrt{2}=3\sqrt{2}$$
3. 3
   Podnieś wynik do kwadratu

   Kwadrat iloczynu jest iloczynem kwadratów.

   $$\begin{aligned}(3\sqrt{2})^2&=3^2\cdot(\sqrt{2})^2\\&=9\cdot2=18\end{aligned}$$

Typowy błąd: Traktowanie √32 jako 16 albo pominięcie kwadratu obejmującego całe wyrażenie.

1. 1
   Wyłącz wspólną potęgę

   Najmniejszą potęgą w liczniku jest 5¹². Jest ona wspólnym czynnikiem wszystkich trzech składników.

   $$5^{12}+5^{13}+5^{14}=5^{12}(1+5+5^2)$$
2. 2
   Skróć ułamek

   W liczniku i mianowniku występuje ten sam niezerowy czynnik 5¹².

   $$\frac{5^{12}(1+5+25)}{5^{12}}=1+5+25$$
3. 3
   Dodaj składniki

   Po skróceniu zostaje zwykła suma liczb.

   $$1+5+25=31$$

Typowy błąd: Dodawanie wykładników potęg przy dodawaniu liczb. Wykładniki dodajemy przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie, nie przy ich sumie.

1. 1
   Przenieś współczynnik do wykładnika

   Korzystamy ze wzoru k · logₐb = logₐ(bᵏ).

   $$2\log_3 2=\log_3(2^2)=\log_3 4$$
2. 2
   Zamień różnicę logarytmów na logarytm ilorazu

   Logarytmy mają tę samą podstawę, więc możemy połączyć je w jeden.

   $$\begin{aligned}\log_3 108-\log_3 4&=\log_3\left(\frac{108}{4}\right)\\&=\log_3 27\end{aligned}$$
3. 3
   Rozpoznaj potęgę podstawy

   Ponieważ 27 = 3³, logarytm przy podstawie 3 jest równy wykładnikowi.

   $$\log_3 27=\log_3(3^3)=3$$

Typowy błąd: Odejmowanie argumentów logarytmów, np. 108 − 4. Różnica logarytmów odpowiada logarytmowi ilorazu.

1. 1
   Rozwiń pierwszy kwadrat

   Użyj wzoru (a + b)² = a² + 2ab + b².

   $$(3x+2)^2=9x^2+12x+4$$
2. 2
   Rozwiń drugi kwadrat

   Dla (a − b)² środkowy składnik ma znak minus.

   $$(2x-3)^2=4x^2-12x+9$$
3. 3
   Odejmij cały drugi wielomian

   Minus przed nawiasem zmienia znak każdego składnika w drugim wielomianie.

   $$\begin{aligned}&9x^2+12x+4-(4x^2-12x+9)\\&=5x^2+24x-5\end{aligned}$$

Typowy błąd: Niezmienienie wszystkich znaków po usunięciu nawiasu poprzedzonego minusem.

1. 1
   Zapisz liczbę nieparzystą w postaci ogólnej

   Każdą nieparzystą liczbę naturalną można zapisać jako 2k + 1 dla pewnej liczby całkowitej k ≥ 0.

   $$n=2k+1$$
2. 2
   Podstaw do badanego wyrażenia

   Zastępujemy każde n przez 2k + 1, a następnie rozwijamy kwadrat.

   $$3(2k+1)^2+2(2k+1)+7$$
3. 3
   Uporządkuj składniki

   Po wykonaniu działań wszystkie współczynniki mają wspólny czynnik 4.

   $$12k^2+16k+12=4(3k^2+4k+3)$$
4. 4
   Sformułuj wniosek

   Wyrażenie w nawiasie jest liczbą całkowitą, więc całe wyrażenie jest czterokrotnością liczby całkowitej. To kończy dowód.

Typowy błąd: Sprawdzenie kilku przykładowych liczb nieparzystych nie jest dowodem dla wszystkich takich liczb.

1. 1
   Usuń nawias

   Rozmnażamy −2 przez oba składniki w nawiasie.

   $$3-2+4xgeq 2x-17$$
2. 2
   Zbierz wyrazy z x

   Przenosimy 2x na lewą stronę, a liczby na prawą.

   $$2xgeq -18$$
3. 3
   Podziel przez dodatnią liczbę

   Dzielenie przez 2 nie zmienia zwrotu nierówności.

   $$xgeq -9$$

Typowy błąd: Zmiana zwrotu nierówności przy dzieleniu przez dodatnią liczbę albo błędne usunięcie nawiasu po −2.

Punktowanie: 1 pkt za odpowiedź D.

1. 1
   Zastosuj zasadę iloczynu

   Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden jego czynnik jest równy zeru.

   $$x=0quad ext{lub}quad x+3=0quad ext{lub}quad x^2+25=0$$
2. 2
   Sprawdź czynnik kwadratowy

   Dla liczby rzeczywistej x mamy x²≥0, więc x²+25>0 i ten czynnik nie daje rozwiązania rzeczywistego.

3. 3
   Zapisz rozwiązania

   Pozostają dwa rozwiązania z czynników liniowych.

   $$xin{-3,0}$$

Typowy błąd: Dopisanie liczb ±5 jako rozwiązań równania x²+25=0; w zbiorze liczb rzeczywistych takich rozwiązań nie ma.

Punktowanie: 1 pkt za odpowiedź A.

1. 1
   Rozłóż wielomiany na czynniki

   Wyłączamy x przed nawias i rozpoznajemy kwadrat sumy.

   $$x^2+x=x(x+1),qquad x^2+4x+4=(x+2)^2$$
2. 2
   Zapisz iloczyn czynników

   Podstawiamy rozkłady do wyrażenia.

   rac{x(x+1)}{(x+2)^2}cdotrac{x+2}{x}
3. 3
   Skróć niezerowe czynniki

   Warunki x≠0 i x≠−2 pozwalają skrócić x oraz jeden czynnik x+2.

   rac{x+1}{x+2}

Typowy błąd: Skracanie składników sumy zamiast całych czynników albo pominięcie założeń x≠0 i x≠−2.

Punktowanie: 1 pkt za odpowiedź C.

1. 1
   Oznacz szukaną kwotę

   Niech x oznacza kwotę zespołu A. Zespół B otrzymał wtedy 1 200 000−x zł.

2. 2
   Ułóż równanie procentowe

   Suma wykorzystanych części obu kwot wynosi 146 700 zł.

   $$0{,}13x+0{,}11(1,200,000-x)=146,700$$
3. 3
   Rozwiąż równanie

   Po redukcji otrzymujemy 0,02x+132 000=146 700.

   $$0{,}02x=14,700quadRightarrowquad x=735,000$$

Typowy błąd: Liczenie obu procentów od całej kwoty 1 200 000 zł zamiast od oddzielnych przydziałów zespołów.

Punktowanie: 2 pkt za poprawną metodę i wynik; 1 pkt za równanie lub układ równań prowadzący do wyniku.

1. 1
   Sprowadź nierówność do postaci ogólnej

   Rozwijamy lewą stronę i przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę.

   $$6x^2-11x+3<0$$
2. 2
   Wyznacz miejsca zerowe

   Wyróżnik wynosi 49.

   x_1=rac{11-7}{12}=rac13,qquad x_2=rac{11+7}{12}=rac32
3. 3
   Odczytaj znak trójmianu

   Parabola ma ramiona skierowane w górę, więc trójmian jest ujemny między miejscami zerowymi.

   xinleft(rac13,rac32 ight)

Typowy błąd: Włączenie końców przedziału mimo ostrej nierówności albo wybranie obszaru na zewnątrz miejsc zerowych.

Punktowanie: 2 pkt za metodę i otwarty przedział; 1 pkt za oba poprawne miejsca zerowe.

1. 1
   Połącz przedziały definicji

   Trzy części funkcji obejmują [−4,−2], (−2,2] i (2,4), więc dziedziną jest [−4,4).

2. 2
   Odczytaj osiągane wartości

   Pierwsza część rośnie od 1 do 3, środkowa ma wartość 3, a ostatnia maleje od wartości bliskich 3 do wartości bliskich −3.

   $$W_f=(-3,3]$$
3. 3
   Rozwiąż dwa warunki

   Z wykresu lub wzorów kawałkami otrzymujemy dodatniość do x=3 oraz poziom y=3 od x=−2 do x=2.

   $$f(x)>0iff xin[-4,3),qquad f(x)=3iff xin[-2,2]$$

Typowy błąd: Nieuwzględnienie otwartych i domkniętych końców poszczególnych fragmentów wykresu.

Punktowanie: Po 1 pkt za każdy z czterech poprawnych przedziałów.

1. 1
   Zapisz postać kanoniczną

   Wierzchołek (3,6) daje p=3 i q=6.

   $$f(x)=a(x-3)^2+6$$
2. 2
   Podstaw znany punkt

   Parabola przechodzi przez (0,3).

   $$3=a(0-3)^2+6$$
3. 3
   Wyznacz współczynnik

   Z równania 9a=−3 dostajemy a=−1/3.

   f(x)=-rac13(x-3)^2+6

Typowy błąd: Zamiana współrzędnych wierzchołka albo zapisanie (x+3)² zamiast (x−3)².

Punktowanie: 2 pkt za metodę i wzór; 1 pkt m.in. za poprawny zapis postaci kanonicznej z nieznanym a.

1. 1
   Odczytaj pierwszą współrzędną wierzchołka

   Wierzchołek paraboli ma współrzędne (3,6).

2. 2
   Zapisz oś symetrii

   Oś paraboli jest pionową prostą przechodzącą przez wierzchołek.

   $$x=3$$

Typowy błąd: Podanie równania y=6; jest to pozioma prosta, a nie oś symetrii tej paraboli.

Punktowanie: 1 pkt za odpowiedź A.

1. 1
   Przekształć warunek na miejsca zerowe

   Równanie g(x)=0 jest równoważne f(x)=3.

2. 2
   Znajdź pierwszy punkt

   Z danych wiemy, że f(0)=3, więc x₁=0.

3. 3
   Użyj symetrii paraboli

   Drugi argument leży w tej samej odległości od osi x=3 po drugiej stronie.

   $$x_2=6,qquad x_1+x_2=6$$

Typowy błąd: Szukanie miejsc zerowych funkcji f zamiast rozwiązań równania f(x)=3.

Punktowanie: 1 pkt za liczbę 6.

1. 1
   Sprawdź współczynnik kierunkowy

   Funkcja liniowa ax+b z b≠0 nie ma miejsca zerowego tylko wtedy, gdy a=0.

2. 2
   Wyzeruj współczynnik przy x

   Rozwiązujemy 3−m=0.

   $$m=3$$
3. 3
   Sprawdź funkcję

   Dla m=3 otrzymujemy f(x)=−4, więc funkcja nigdy nie przyjmuje wartości 0.

Typowy błąd: Rozwiązywanie równania f(x)=0 bez zauważenia, że dla m=3 znika składnik z x.

Punktowanie: 1 pkt za odpowiedź C.

1. 1
   Oblicz drugi wyraz

   Podstawiamy a₁=2 do wzoru rekurencyjnego.

   $$a_2=2cdot2+1=5$$
2. 2
   Oblicz trzeci wyraz

   W następnym kroku używamy już a₂.

   $$a_3=2cdot5+1=11$$

Typowy błąd: Dwukrotne podstawienie a₁ zamiast użycia obliczonego wyrazu a₂ w drugim kroku.

Punktowanie: 1 pkt za odpowiedź D.

1. 1
   Wypisz pierwsze wyrazy

   Z rekurencji otrzymujemy 2, 5, 11.

2. 2
   Porównaj różnice

   Różnice 5−2=3 i 11−5=6 nie są równe, więc ciąg nie jest arytmetyczny.

3. 3
   Porównaj ilorazy

   Ilorazy 5/2 i 11/5 nie są równe, więc ciąg nie jest geometryczny.

Typowy błąd: Rozpoznanie rodzaju ciągu na podstawie tylko jednej pary kolejnych wyrazów.

Punktowanie: 1 pkt za obie poprawne oceny F, F.

1. 1
   Użyj warunku arytmetyczności

   Podwojony wyraz środkowy musi być sumą skrajnych.

   $$2(m^2+3)=(2m+11)+(5-m)$$
2. 2
   Rozwiąż równanie

   Po uporządkowaniu otrzymujemy trójmian iloczynowy.

   $$2m^2-m-10=(2m-5)(m+2)=0$$
3. 3
   Sprawdź malejący charakter

   Dla m=−2 ciąg jest stały (7,7,7), a dla m=5/2 ma wyrazy 16, 37/4, 5/2 i jest malejący.

   m=rac52

Typowy błąd: Zatrzymanie się na obu pierwiastkach równania bez sprawdzenia dodatkowego warunku, że ciąg jest malejący.

Punktowanie: 3 pkt za jedyną wartość z uzasadnieniem; 2 pkt za obie wartości spełniające sam warunek arytmetyczności.

1. 1
   Wyznacz iloraz

   Dzielimy drugi wyraz przez pierwszy.

   q=rac{9}{27}=rac13
2. 2
   Dopisz kolejne wyrazy

   Każdy kolejny wyraz mnożymy przez 1/3.

   $$a_3=3,qquad a_4=1$$

Typowy błąd: Potraktowanie różnicy 9−27 jako stałej zamiast użycia ilorazu ciągu geometrycznego.

Punktowanie: 1 pkt za odpowiedź B.

1. 1
   Zastąp tangens ilorazem

   Dla kąta ostrego cos α jest dodatni i niezerowy.

   sqrt3,rac{sinalpha}{cosalpha}=2sinalpha
2. 2
   Skróć przez sinus

   Kąt jest ostry, więc sin α>0.

   rac{sqrt3}{cosalpha}=2
3. 3
   Wyznacz cosinus

   Mnożymy obie strony przez cos α i dzielimy przez 2.

   cosalpha=rac{sqrt3}{2}

Typowy błąd: Skrócenie przez sin α bez uzasadnienia, że nie jest zerem, albo użycie tg α=cos α/sin α.

Punktowanie: 1 pkt za odpowiedź C.

1. 1
   Wyznacz krótszą przyprostokątną

   D jest środkiem AB=6, więc AD=3.

2. 2
   Oblicz AC

   W trójkącie prostokątnym ACD przeciwprostokątna CD ma długość 5.

   $$AC=sqrt{5^2-3^2}=4$$
3. 3
   Zastosuj definicję tangensa

   Dla kąta ADC bokiem naprzeciw jest AC, a przyległym AD.

   anangle ADC=rac43

Typowy błąd: Odwrócenie stosunku przyprostokątnych w definicji tangensa.

Punktowanie: 1 pkt za odpowiedź D.

1. 1
   Ustal długości przyprostokątnych

   Jak w poprzednim podpunkcie: AB=6 i AC=4.

2. 2
   Oblicz przeciwprostokątną

   Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ABC.

   $$BC=sqrt{6^2+4^2}=sqrt{52}=2sqrt{13}$$
3. 3
   Zastosuj definicję sinusa

   Bok naprzeciw kąta ABC to AC.

   sinangle ABC=rac{4}{2sqrt{13}}=rac{2}{sqrt{13}}

Typowy błąd: Użycie CD=5 jako przeciwprostokątnej całego trójkąta ABC.

Punktowanie: 1 pkt za odpowiedź A.

1. 1
   Wyznacz kąt środkowy

   Kąt środkowy oparty na tym samym łuku AB jest dwa razy większy od kąta wpisanego.

   $$angle AOB=2cdot50^circ=100^circ$$
2. 2
   Użyj równoramienności

   OA=OB jako promienie, więc kąty przy podstawie trójkąta AOB są równe.

3. 3
   Oblicz kąt ABO

   Suma kątów w trójkącie wynosi 180°.

   angle ABO=rac{180^circ-100^circ}{2}=40^circ

Typowy błąd: Uznanie kąta środkowego za równy kątowi wpisanemu zamiast dwa razy większy.

Punktowanie: 1 pkt za odpowiedź C.

1. 1
   Dopasuj odpowiadające boki

   Z podobieństwa trójkątów ABC i BDA wynika proporcja BD/AB=AB/BC.

2. 2
   Podstaw długości

   Mamy AB=3 i BC=4.

   rac{BD}{3}=rac34
3. 3
   Oblicz BD

   Mnożymy obie strony przez 3.

   BD=rac94=2{,}25

Typowy błąd: Zestawienie w proporcji boków, które nie odpowiadają sobie w podobnych trójkątach.

Punktowanie: 1 pkt za odpowiedź B.

1. 1
   Oblicz trzeci bok

   Stosujemy twierdzenie cosinusów dla kąta 60° między bokami 11 i 12.

   AC^2=11^2+12^2-2cdot11cdot12cdotrac12=133
2. 2
   Oceń równoramienność

   AC=√133 nie jest równe ani 11, ani 12, więc pierwsze zdanie jest fałszywe.

3. 3
   Oblicz pole

   Korzystamy ze wzoru na pole z dwóch boków i kąta między nimi.

   P=rac12cdot11cdot12cdotsin60^circ=33sqrt3

Typowy błąd: Pominięcie czynnika 1/2 we wzorze na pole albo przyjęcie, że bok √133 ma długość 11.

Punktowanie: 1 pkt za obie poprawne oceny F, P.

1. 1
   Oblicz odległość A od środka

   S jest punktem przecięcia przekątnych.

   $$AS=sqrt{(4-1)^2+(-1-3)^2}=sqrt{9+16}=5$$
2. 2
   Użyj własności przekątnych kwadratu

   Punkt przecięcia dzieli każdą przekątną na połowy.

   $$AC=2cdot AS=10$$

Typowy błąd: Podanie długości AS=5 jako całej przekątnej.

Punktowanie: 1 pkt za odpowiedź C.

1. 1
   Porównaj współczynniki kierunkowe

   Proste równoległe mają równe współczynniki przy x.

   $$m-2=-4$$
2. 2
   Rozwiąż równanie

   Dodajemy 2 do obu stron.

   $$m=-2$$

Typowy błąd: Porównywanie wyrazów wolnych zamiast współczynników kierunkowych.

Punktowanie: 1 pkt za odpowiedź B.

1. 1
   Zapisz postać równania okręgu

   Dla środka (2,4) lewa strona ma postać (x−2)²+(y−4)².

2. 2
   Oblicz kwadrat promienia

   Promień jest odległością środka od punktu P=(0,0).

   $$r^2=(2-0)^2+(4-0)^2=20$$
3. 3
   Zapisz równanie

   Po prawej stronie równania występuje r², a nie r.

   $$(x-2)^2+(y-4)^2=20$$

Typowy błąd: Wpisanie po prawej stronie długości promienia 2√5 zamiast jego kwadratu 20.

Punktowanie: 1 pkt za odpowiedź B.

1. 1
   Przejdź do przekroju osiowego

   Połowa kąta rozwarcia ma 60°, a tworząca długości 8 jest przeciwprostokątną.

2. 2
   Wyznacz promień i wysokość

   Korzystamy z sinusa i cosinusa kąta 60°.

   $$r=8sin60^circ=4sqrt3,qquad H=8cos60^circ=4$$
3. 3
   Oblicz objętość

   Podstawiamy r²=48 i H=4 do wzoru na objętość stożka.

   V=rac13pi r^2H=rac13picdot48cdot4=64pi

Typowy błąd: Użycie całego kąta 120° zamiast jego połowy w trójkącie prostokątnym przekroju osiowego.

Punktowanie: 3 pkt za metodę i wynik; 2 pkt m.in. za poprawne r oraz H; 1 pkt za wyznaczenie jednej z tych wielkości.

1. 1
   Wyznacz krawędź

   Objętość sześcianu to a³.

   $$a^3=729quadRightarrowquad a=9$$
2. 2
   Oblicz przekątną przestrzenną

   Przekątna sześcianu ma długość a√3.

   $$d=9sqrt3$$

Typowy błąd: Użycie wzoru a√2 na przekątną ściany zamiast a√3 na przekątną sześcianu.

Punktowanie: 1 pkt za odpowiedź A.

1. 1
   Ustal pozycję zera

   Liczba ma być trzycyfrowa i nieparzysta, więc 0 nie może być cyfrą setek ani jedności. Musi być cyfrą dziesiątek.

2. 2
   Policz cyfry setek

   Cyfra setek może być dowolną z liczb 1–9: 9 możliwości.

3. 3
   Policz cyfry jedności

   Nieparzysta cyfra jedności to 1, 3, 5, 7 lub 9: 5 możliwości.

   $$9cdot5=45$$

Typowy błąd: Dopuszczenie zera na początku zapisu albo na miejscu jedności mimo warunku nieparzystości.

Punktowanie: 1 pkt za odpowiedź A.

1. 1
   Policz wszystkie wyniki

   Dwa uporządkowane rzuty kostką dają 6·6=36 równoprawdopodobnych wyników.

2. 2
   Wypisz wyniki sprzyjające

   Sumę 11 dają wyłącznie pary (5,6) i (6,5).

3. 3
   Oblicz prawdopodobieństwo

   Dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich wyników.

   P=rac2{36}=rac1{18}

Typowy błąd: Potraktowanie par (5,6) i (6,5) jako jednego wyniku, mimo że rzuty są uporządkowane.

Punktowanie: 1 pkt za odpowiedź D.

1. 1
   Oblicz sumę wszystkich liczb

   Średnia 3 dla siedmiu liczb oznacza sumę 7·3.

   $$S=21$$
2. 2
   Dodaj znane liczby

   Suma 1+2+3+4+5 wynosi 15.

3. 3
   Wyznacz x+y

   Odejmujemy sumę znanych składników od sumy wszystkich.

   $$x+y=21-15=6$$

Typowy błąd: Dzielenie sumy x+y przez 7 zamiast odtworzenia całkowitej sumy z podanej średniej.

Punktowanie: 1 pkt za odpowiedź C.

1. 1
   Wyznacz pozycje środkowe

   Dla 24 wyników mediana jest średnią wartości na pozycjach 12. i 13.

2. 2
   Odczytaj medianę

   Po zsumowaniu liczebności pozycja 12. ma ocenę 4, a 13. ocenę 5.

   Me=rac{4+5}{2}=4{,}5
3. 3
   Odczytaj dominantę

   Najczęściej występuje ocena 6 — uzyskało ją 7 uczniów.

   $$D=6$$

Typowy błąd: Zaokrąglenie mediany 4,5 do 5 albo wskazanie największej oceny bez sprawdzenia jej liczebności.

Punktowanie: Po 1 pkt za każdą poprawną wartość. CKE nie akceptuje zaokrągleń.

1. 1
   Wyraź trzecią krawędź

   Z warunku x+4+|BF|=15 wynika |BF|=11−x. Dodatnie długości dają 0<x<11.

2. 2
   Zbuduj funkcję pola

   Sumujemy pola trzech par przeciwległych ścian.

   $$P(x)=2[4x+x(11-x)+4(11-x)]=-2x^2+22x+88$$
3. 3
   Znajdź maksimum paraboli

   Współczynnik przy x² jest ujemny, więc maksimum jest w wierzchołku.

   x_w=-rac{22}{2cdot(-2)}=rac{11}{2}in(0,11)

Typowy błąd: Pominięcie dziedziny wynikającej z dodatnich długości albo maksymalizowanie pola podstawy zamiast pola całkowitego.

Punktowanie: 4 pkt za wzór, dziedzinę i argument maksimum; 3 pkt za poprawny wzór i dziedzinę albo wzór i argument wierzchołka.

1. 1
   Rozpoznaj dane i wymaganą metodę

   Zadanie sprawdza obszar „Matematyka — odpowiedź według zasad CKE”. Zapisz wielkości dane w poleceniu i ustal, jaki wynik trzeba otrzymać.

2. 2
   Przeprowadź rachunki według klucza CKE

   Zadanie 1. (0–1) Wymagania określone w podstawie programowej1 Wymaganie ogólne Wymagania szczegółowe I. Sprawność rachunkowa. Zdający: Wykonywanie obliczeń na liczbach I.3) stosuje własności pierwiastków rzeczywistych, także przy użyciu dowolnego stopnia […]; kalkulatora, stosowanie praw działań I.4) stosuje związek pierwiastkowania matematycznych przy przekształcaniu z potęgowaniem oraz prawa działań na wyrażeń algebraicznych oraz potęgach i pierwiastkach. wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych. Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie Wersja A Wersja B B C 1 Rozporządzenie Ministra Edukacji z dnia 28 czerwca 2024 r. zmieniające rozporządzenie w sprawie podstawy programowej kształcenia ogólnego dla liceum ogólnokształcącego, technikum oraz branżowej szkoły II stopnia (Dz.U. z 2024 r. poz. 1019).

3. 3
   Porównaj wynik z odpowiedzią

   Poprawna odpowiedź: B

4. 4
   Sprawdź kompletność zapisu

   Skontroluj założenia, jednostki, znaki i wszystkie części polecenia. W zadaniu zamkniętym dopiero po rachunkach wybierz wariant odpowiadający otrzymanemu wynikowi.

Typowy błąd: Pominięcie warunku z polecenia albo przepisanie końcowej odpowiedzi bez wykonania i sprawdzenia rachunków prowadzących do wyniku.

Punktowanie: Zadanie 1. (0–1) Wymagania określone w podstawie programowej1 Wymaganie ogólne Wymagania szczegółowe I. Sprawność rachunkowa. Zdający: Wykonywanie obliczeń na liczbach I.3) stosuje własności pierwiastków rzeczywistych, także przy użyciu dowolnego stopnia […]; kalkulatora, stosowanie praw działań I.4) stosuje związek pierwiastkowania matematycznych przy przekształcaniu z potęgowaniem oraz prawa działań na wyrażeń algebraicznych oraz potęgach i pierwiastkach. wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych. Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie Wersja A Wersja B B C 1 Rozporządzenie Ministra Edukacji z dnia 28 czerwca 2024 r. zmieniające rozporządzenie w sprawie podstawy programowej kształcenia ogólnego dla liceum ogólnokształcącego, technikum oraz branżowej szkoły II stopnia (Dz.U. z 2024 r. poz. 1019).

1. 1
   Rozpoznaj dane i wymaganą metodę

   Zadanie sprawdza obszar „Matematyka — odpowiedź według zasad CKE”. Zapisz wielkości dane w poleceniu i ustal, jaki wynik trzeba otrzymać.

2. 2
   Przeprowadź rachunki według klucza CKE

   Zadanie 2. (0–1) Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe I. Sprawność rachunkowa. Zdający: Wykonywanie obliczeń na liczbach I.4) stosuje […] prawa działań na potęgach rzeczywistych, także przy użyciu […]. kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych. Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie Wersja A Wersja B B D

3. 3
   Porównaj wynik z odpowiedzią

   Zadanie 2. (0–1) Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe I. Sprawność rachunkowa. Zdający: Wykonywanie obliczeń na liczbach I.4) stosuje […] prawa działań na potęgach rzeczywistych, także przy użyciu […]. kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych. Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie Wersja A Wersja B B D

4. 4
   Sprawdź kompletność zapisu

   Skontroluj założenia, jednostki, znaki i wszystkie części polecenia. W zadaniu zamkniętym dopiero po rachunkach wybierz wariant odpowiadający otrzymanemu wynikowi.

Typowy błąd: Pominięcie warunku z polecenia albo przepisanie końcowej odpowiedzi bez wykonania i sprawdzenia rachunków prowadzących do wyniku.

Punktowanie: Zadanie 2. (0–1) Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe I. Sprawność rachunkowa. Zdający: Wykonywanie obliczeń na liczbach I.4) stosuje […] prawa działań na potęgach rzeczywistych, także przy użyciu […]. kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych. Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie Wersja A Wersja B B D

1. 1
   Rozpoznaj dane i wymaganą metodę

   Zadanie sprawdza obszar „Matematyka — odpowiedź według zasad CKE”. Zapisz wielkości dane w poleceniu i ustal, jaki wynik trzeba otrzymać.

2. 2
   Przeprowadź rachunki według klucza CKE

   Zadanie 3. (0–1) Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe III. Wykorzystanie i interpretowanie Zdający: reprezentacji. I.9) stosuje związek logarytmowania 1. Stosowanie obiektów matematycznych z potęgowaniem, posługuje się wzorami na i operowanie nimi, interpretowanie pojęć […] logarytm ilorazu i logarytm potęgi. matematycznych. Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie Wersja A Wersja B A C

3. 3
   Porównaj wynik z odpowiedzią

   Zadanie 3. (0–1) Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe III. Wykorzystanie i interpretowanie Zdający: reprezentacji. I.9) stosuje związek logarytmowania 1. Stosowanie obiektów matematycznych z potęgowaniem, posługuje się wzorami na i operowanie nimi, interpretowanie pojęć […] logarytm ilorazu i logarytm potęgi. matematycznych. Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie Wersja A Wersja B A C

4. 4
   Sprawdź kompletność zapisu

   Skontroluj założenia, jednostki, znaki i wszystkie części polecenia. W zadaniu zamkniętym dopiero po rachunkach wybierz wariant odpowiadający otrzymanemu wynikowi.

Typowy błąd: Pominięcie warunku z polecenia albo przepisanie końcowej odpowiedzi bez wykonania i sprawdzenia rachunków prowadzących do wyniku.

Punktowanie: Zadanie 3. (0–1) Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe III. Wykorzystanie i interpretowanie Zdający: reprezentacji. I.9) stosuje związek logarytmowania 1. Stosowanie obiektów matematycznych z potęgowaniem, posługuje się wzorami na i operowanie nimi, interpretowanie pojęć […] logarytm ilorazu i logarytm potęgi. matematycznych. Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie Wersja A Wersja B A C

1. 1
   Rozpoznaj dane i wymaganą metodę

   Zadanie sprawdza obszar „Matematyka — odpowiedź według zasad CKE”. Zapisz wielkości dane w poleceniu i ustal, jaki wynik trzeba otrzymać.

2. 2
   Przeprowadź rachunki według klucza CKE

   Zadanie 4. (0–1) Wymaganie ogólne Wymagania szczegółowe I. Sprawność rachunkowa. Zdający: Wykonywanie obliczeń na liczbach II.1) stosuje wzory skróconego mnożenia rzeczywistych, także przy użyciu na: (𝑎 + 𝑏)2 , (𝑎 − 𝑏)2 , 𝑎2 − 𝑏 2 ; kalkulatora, stosowanie praw działań II.2) dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany matematycznych przy przekształcaniu jednej i wielu zmiennych. wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych. Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie Wersja A Wersja B C D

3. 3
   Porównaj wynik z odpowiedzią

   Zadanie 4. (0–1) Wymaganie ogólne Wymagania szczegółowe I. Sprawność rachunkowa. Zdający: Wykonywanie obliczeń na liczbach II.1) stosuje wzory skróconego mnożenia rzeczywistych, także przy użyciu na: (𝑎 + 𝑏)2 , (𝑎 − 𝑏)2 , 𝑎2 − 𝑏 2 ; kalkulatora, stosowanie praw działań II.2) dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany matematycznych przy przekształcaniu jednej i wielu zmiennych. wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych. Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie Wersja A Wersja B C D

4. 4
   Sprawdź kompletność zapisu

   Skontroluj założenia, jednostki, znaki i wszystkie części polecenia. W zadaniu zamkniętym dopiero po rachunkach wybierz wariant odpowiadający otrzymanemu wynikowi.

Typowy błąd: Pominięcie warunku z polecenia albo przepisanie końcowej odpowiedzi bez wykonania i sprawdzenia rachunków prowadzących do wyniku.

Punktowanie: Zadanie 4. (0–1) Wymaganie ogólne Wymagania szczegółowe I. Sprawność rachunkowa. Zdający: Wykonywanie obliczeń na liczbach II.1) stosuje wzory skróconego mnożenia rzeczywistych, także przy użyciu na: (𝑎 + 𝑏)2 , (𝑎 − 𝑏)2 , 𝑎2 − 𝑏 2 ; kalkulatora, stosowanie praw działań II.2) dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany matematycznych przy przekształcaniu jednej i wielu zmiennych. wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych. Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie Wersja A Wersja B C D

1. 1
   Rozpoznaj dane i wymaganą metodę

   Zadanie sprawdza obszar „Matematyka — odpowiedź według zasad CKE”. Zapisz wielkości dane w poleceniu i ustal, jaki wynik trzeba otrzymać.

2. 2
   Przeprowadź rachunki według klucza CKE

   Zadanie 5. (0–2) Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe IV. Rozumowanie i argumentacja. Zdający: 1. Przeprowadzanie rozumowań, także I.2) przeprowadza proste dowody dotyczące kilkuetapowych, podawanie argumentów podzielności liczb całkowitych i reszt uzasadniających poprawność rozumowania, z dzielenia […]. odróżnianie dowodu od przykładu. Zasady oceniania 2 pkt – zapisanie, że 𝑛 = 2𝑙 + 1, oraz przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 do postaci 4(3𝑙 2 + 4𝑙 + 3) ALBO – przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 do postaci sumy algebraicznej liczb podzielnych przez 4 oraz uzasadnienie, że każdy ze składników tej sumy jest podzielny przez 4, ALBO – rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛 = 4𝑙 + 1, tj. przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 do postaci 4(12𝑙 2 + 8𝑙 + 3), oraz rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛 = 4𝑙 + 3, tj. przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 do postaci 4(12𝑙 2 + 20𝑙 + 10), ALBO – zapisanie, że liczba 3𝑛2 przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3 oraz zapisanie, że liczba 2𝑛 przy dzieleniu przez 4 daje resztę 2 oraz zapisanie, że suma reszt z dzielenia przez 4 liczb: 3𝑛2 , 2𝑛, 7, jest podzielna przez 4. 1 pkt – zapisanie, że 𝑛 = 2𝑙 + 1, oraz przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 do postaci 3(4𝑙 2 + 4𝑙 + 1) + 2(2𝑙 + 1) + 7 ALBO – przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 do postaci sumy algebraicznej liczb podzielnych przez 4, w której podzielność przez 4 jednego ze składników nie wymaga uzasadnienia: 4(𝑛2 + 𝑛 + 2) − (𝑛 + 1)2 , (3𝑛 − 1)(𝑛 + 1) + 8, 4(𝑛2 + 𝑛 + 1) − (𝑛 + 3)(𝑛 − 1), ALBO – przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 do postaci sumy algebraicznej liczb podzielnych przez 4: 2𝑛(𝑛 + 1) + (𝑛2 + 7), (𝑛 + 1)2 + 2(𝑛2 + 3), oraz uzasadnienie podzielności przez 4 jednego ze składników tej sumy, ALBO – rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛 = 4𝑙 + 1, tj. przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 do postaci 4(12𝑙 2 + 8𝑙 + 3), ALBO – rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛 = 4𝑙 + 3, tj. przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 do postaci 4(12𝑙 2 + 20𝑙 + 10), ALBO – zapisanie, że liczba 3𝑛2 przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3 oraz zapisanie, że liczba 2𝑛 przy dzieleniu przez 4 daje resztę 2. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy tylko dla wybranych wartości 𝑛, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający wykazuje, że dla każdej liczby naturalnej nieparzystej 𝑛 wyrażenie 3𝑛2 − 2𝑛 + 7 (zamiast 3𝑛2 + 2𝑛 + 7) jest podzielne przez 4, to otrzymuje 1 punkt. 3. Jeżeli zdający przedstawia 𝑛 w postaci 2𝑙 + 1, a następnie przekształca wyrażenie 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 np. do postaci 4(3𝑙 2 + 4𝑙 + 3) i kontynuuje rozumowanie, popełniając błędy we wnioskowaniu, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. 4. Jeżeli zdający przedstawia 𝑛 w postaci 2𝑙 + 1, a następnie błędnie przekształca wyrażenie 3(2𝑙 + 1)2 + 2(2𝑙 + 1) + 7, ale uzyskuje całkowitą wielokrotność liczby 4 postaci 4 ⋅ (𝑎 ⋅ 𝑙 2 + 𝑏 ⋅ 𝑙 + 𝑐), gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ i 𝑎 ≠ 0, to może otrzymać 1 punkt za całe rozwiązanie. Przykładowe pełne rozwiązania Sposób I Ponieważ liczba 𝑛 jest nieparzysta, więc zapisujemy ją w postaci 𝑛 = 2𝑙 + 1, gdzie 𝑙 ∈ ℤ i 𝑙 ≥ 0. Wówczas 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 = 3(2𝑙 + 1)2 + 2(2𝑙 + 1) + 7 = 3(4𝑙 2 + 4𝑙 + 1) + 4𝑙 + 2 + 7 = = 12𝑙 2 + 12𝑙 + 3 + 4𝑙 + 9 = 12𝑙 2 + 16𝑙 + 12 = 4(3𝑙 2 + 4𝑙 + 3) Ponieważ 𝑙 ∈ ℤ, więc również suma 3𝑙 2 + 4𝑙 + 3 jest liczbą całkowitą. Zatem iloczyn 4(3𝑙 2 + 4𝑙 + 3) jest podzielny przez 4. To należało wykazać. Sposób II Zapisujemy liczbę 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 w postaci sumy algebraicznej liczb podzielnych przez 4, np.: 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 = 4𝑛2 − 𝑛2 + 4𝑛 − 2𝑛 + 8 − 1 = 4(𝑛2 + 𝑛 + 2) − (𝑛 + 1)2 Liczba 4(𝑛2 + 𝑛 + 2) jest podzielna przez 4 dla dowolnej liczby całkowitej 𝑛. Liczba 𝑛 jest nieparzysta, zatem liczba 𝑛 + 1 jest parzysta. Stąd jej kwadrat jest liczbą podzielną przez 4. Zatem liczba 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 jest podzielna przez 4 jako różnica liczb podzielnych przez 4. To należało wykazać. Sposób III Reszty z dzielenia liczby naturalnej nieparzystej przez 4 mogą być równe jedynie 1 lub 3. Rozważmy dwa przypadki. Przypadek pierwszy – gdy 𝑛 jest liczbą, która przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1. Wtedy możemy ją zapisać w postaci 𝑛 = 4𝑙 + 1, gdzie 𝑙 ∈ ℤ i 𝑙 ≥ 0. Wówczas 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 = 3(4𝑙 + 1)2 + 2(4𝑙 + 1) + 7 = 3(16𝑙 2 + 8𝑙 + 1) + 8𝑙 + 2 + 7 = = 48𝑙 2 + 24𝑙 + 3 + 8𝑙 + 9 = 48𝑙 2 + 32𝑙 + 12 = 4(12𝑙 2 + 8𝑙 + 3) Ponieważ 𝑙 ∈ ℤ, więc również suma 12𝑙 2 + 8𝑙 + 3 jest liczbą całkowitą. Zatem iloczyn 4(12𝑙 2 + 8𝑙 + 3) jest podzielny przez 4. Przypadek drugi – gdy 𝑛 jest liczbą, która przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3. Wtedy możemy ją zapisać w postaci 𝑛 = 4𝑙 + 3, gdzie 𝑙 ∈ ℤ i 𝑙 ≥ 0. Wówczas 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 = 3(4𝑙 + 3)2 + 2(4𝑙 + 3) + 7 = 3(16𝑙 2 + 24𝑙 + 9) + 8𝑙 + 6 + 7 = = 48𝑙 2 + 72𝑙 + 27 + 8𝑙 + 13 = 48𝑙 2 + 80𝑙 + 40 = 4(12𝑙 2 + 20𝑙 + 10) Ponieważ 𝑙 ∈ ℤ, więc również suma 12𝑙 2 + 20𝑙 + 10 jest liczbą całkowitą. Zatem iloczyn 4(12𝑙 2 + 20𝑙 + 10) jest podzielny przez 4. To należało wykazać. Sposób IV Ponieważ liczba 𝑛 jest nieparzysta, więc liczba 𝑛2 przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1. Stąd wynika, że liczba 3𝑛2 daje przy dzieleniu przez 4 resztę 3, a liczba 2𝑛 daje przy dzieleniu przez 4 resztę 2. Ponadto liczba 7 daje przy dzieleniu przez 4 resztę 3. Zatem reszta z dzielenia przez 4 liczby 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 jest równa reszcie z dzielenia przez 4 liczby 3 + 2 + 3 = 8. Liczba 8 jest podzielna przez 4, zatem liczba 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 jest również podzielna przez 4. To należało wykazać.

3. 3
   Porównaj wynik z odpowiedzią

   Zadanie 5. (0–2) Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe IV. Rozumowanie i argumentacja. Zdający: 1. Przeprowadzanie rozumowań, także I.2) przeprowadza proste dowody dotyczące kilkuetapowych, podawanie argumentów podzielności liczb całkowitych i reszt uzasadniających poprawność rozumowania, z dzielenia […]. odróżnianie dowodu od przykładu. Zasady oceniania 2 pkt – zapisanie, że 𝑛 = 2𝑙 + 1, oraz przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 do postaci 4(3𝑙 2 + 4𝑙 + 3) ALBO – przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 do postaci sumy algebraicznej liczb podzielnych przez 4 oraz uzasadnienie, że każdy ze składników tej sumy jest podzielny przez 4, ALBO – rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛 = 4𝑙 + 1, tj. przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 do postaci 4(12𝑙 2 + 8𝑙 + 3), oraz rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛 = 4𝑙 + 3, tj. przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 do postaci 4(12𝑙 2 + 20𝑙 + 10), ALBO – zapisanie, że liczba 3𝑛2 przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3 oraz zapisanie, że liczba 2𝑛 przy dzieleniu przez 4 daje resztę 2 oraz zapisanie, że suma reszt z dzielenia przez 4 liczb: 3𝑛2 , 2𝑛, 7, jest podzielna przez 4. 1 pkt – zapisanie, że 𝑛 = 2𝑙 + 1, oraz przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 do postaci 3(4𝑙 2 + 4𝑙 + 1) + 2(2𝑙 + 1) + 7 ALBO – przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 do postaci sumy algebraicznej liczb podzielnych przez 4, w której podzielność przez 4 jednego ze składników nie wymaga uzasadnienia: 4(𝑛2 + 𝑛 + 2) − (𝑛 + 1)2 , (3𝑛 − 1)(𝑛 + 1) + 8, 4(𝑛2 + 𝑛 + 1) − (𝑛 + 3)(𝑛 − 1), ALBO – przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 do postaci sumy algebraicznej liczb podzielnych przez 4: 2𝑛(𝑛 + 1) + (𝑛2 + 7), (𝑛 + 1)2 + 2(𝑛2 + 3), oraz uzasadnienie podzielności przez 4 jednego ze składników tej sumy, ALBO – rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛 = 4𝑙 + 1, tj. przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 do postaci 4(12𝑙 2 + 8𝑙 + 3), ALBO – rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛 = 4𝑙 + 3, tj. przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 do postaci 4(12𝑙 2 + 20𝑙 + 10), ALBO – zapisanie, że liczba 3𝑛2 przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3 oraz zapisanie, że liczba 2𝑛 przy dzieleniu przez 4 daje resztę 2. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy tylko dla wybranych wartości 𝑛, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający wykazuje, że dla każdej liczby naturalnej nieparzystej 𝑛 wyrażenie 3𝑛2 − 2𝑛 + 7 (zamiast 3𝑛2 + 2𝑛 + 7) jest podzielne przez 4, to otrzymuje 1 punkt. 3. Jeżeli zdający przedstawia 𝑛 w postaci 2𝑙 + 1, a następnie przekształca wyrażenie 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 np. do postaci 4(3𝑙 2 + 4𝑙 + 3) i kontynuuje rozumowanie, popełniając błędy we wnioskowaniu, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. 4. Jeżeli zdający przedstawia 𝑛 w postaci 2𝑙 + 1, a następnie błędnie przekształca wyrażenie 3(2𝑙 + 1)2 + 2(2𝑙 + 1) + 7, ale uzyskuje całkowitą wielokrotność liczby 4 postaci 4 ⋅ (𝑎 ⋅ 𝑙 2 + 𝑏 ⋅ 𝑙 + 𝑐), gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ i 𝑎 ≠ 0, to może otrzymać 1 punkt za całe rozwiązanie. Przykładowe pełne rozwiązania Sposób I Ponieważ liczba 𝑛 jest nieparzysta, więc zapisujemy ją w postaci 𝑛 = 2𝑙 + 1, gdzie 𝑙 ∈ ℤ i 𝑙 ≥ 0. Wówczas 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 = 3(2𝑙 + 1)2 + 2(2𝑙 + 1) + 7 = 3(4𝑙 2 + 4𝑙 + 1) + 4𝑙 + 2 + 7 = = 12𝑙 2 + 12𝑙 + 3 + 4𝑙 + 9 = 12𝑙 2 + 16𝑙 + 12 = 4(3𝑙 2 + 4𝑙 + 3) Ponieważ 𝑙 ∈ ℤ, więc również suma 3𝑙 2 + 4𝑙 + 3 jest liczbą całkowitą. Zatem iloczyn 4(3𝑙 2 + 4𝑙 + 3) jest podzielny przez 4. To należało wykazać. Sposób II Zapisujemy liczbę 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 w postaci sumy algebraicznej liczb podzielnych przez 4, np.: 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 = 4𝑛2 − 𝑛2 + 4𝑛 − 2𝑛 + 8 − 1 = 4(𝑛2 + 𝑛 + 2) − (𝑛 + 1)2 Liczba 4(𝑛2 + 𝑛 + 2) jest podzielna przez 4 dla dowolnej liczby całkowitej 𝑛. Liczba 𝑛 jest nieparzysta, zatem liczba 𝑛 + 1 jest parzysta. Stąd jej kwadrat jest liczbą podzielną przez 4. Zatem liczba 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 jest podzielna przez 4 jako różnica liczb podzielnych przez 4. To należało wykazać. Sposób III Reszty z dzielenia liczby naturalnej nieparzystej przez 4 mogą być równe jedynie 1 lub 3. Rozważmy dwa przypadki. Przypadek pierwszy – gdy 𝑛 jest liczbą, która przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1. Wtedy możemy ją zapisać w postaci 𝑛 = 4𝑙 + 1, gdzie 𝑙 ∈ ℤ i 𝑙 ≥ 0. Wówczas 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 = 3(4𝑙 + 1)2 + 2(4𝑙 + 1) + 7 = 3(16𝑙 2 + 8𝑙 + 1) + 8𝑙 + 2 + 7 = = 48𝑙 2 + 24𝑙 + 3 + 8𝑙 + 9 = 48𝑙 2 + 32𝑙 + 12 = 4(12𝑙 2 + 8𝑙 + 3) Ponieważ 𝑙 ∈ ℤ, więc również suma 12𝑙 2 + 8𝑙 + 3 jest liczbą całkowitą. Zatem iloczyn 4(12𝑙 2 + 8𝑙 + 3) jest podzielny przez 4. Przypadek drugi – gdy 𝑛 jest liczbą, która przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3. Wtedy możemy ją zapisać w postaci 𝑛 = 4𝑙 + 3, gdzie 𝑙 ∈ ℤ i 𝑙 ≥ 0. Wówczas 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 = 3(4𝑙 + 3)2 + 2(4𝑙 + 3) + 7 = 3(16𝑙 2 + 24𝑙 + 9) + 8𝑙 + 6 + 7 = = 48𝑙 2 + 72𝑙 + 27 + 8𝑙 + 13 = 48𝑙 2 + 80𝑙 + 40 = 4(12𝑙 2 + 20𝑙 + 10) Ponieważ 𝑙 ∈ ℤ, więc również suma 12𝑙 2 + 20𝑙 + 10 jest liczbą całkowitą. Zatem iloczyn 4(12𝑙 2 + 20𝑙 + 10) jest podzielny przez 4. To należało wykazać. Sposób IV Ponieważ liczba 𝑛 jest nieparzysta, więc liczba 𝑛2 przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1. Stąd wynika, że liczba 3𝑛2 daje przy dzieleniu przez 4 resztę 3, a liczba 2𝑛 daje przy dzieleniu przez 4 resztę 2. Ponadto liczba 7 daje przy dzieleniu przez 4 resztę 3. Zatem reszta z dzielenia przez 4 liczby 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 jest równa reszcie z dzielenia przez 4 liczby 3 + 2 + 3 = 8. Liczba 8 jest podzielna przez 4, zatem liczba 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 jest również podzielna przez 4. To należało wykazać.

4. 4
   Sprawdź kompletność zapisu

   Skontroluj założenia, jednostki, znaki i wszystkie części polecenia. W zadaniu zamkniętym dopiero po rachunkach wybierz wariant odpowiadający otrzymanemu wynikowi.

Typowy błąd: Pominięcie warunku z polecenia albo przepisanie końcowej odpowiedzi bez wykonania i sprawdzenia rachunków prowadzących do wyniku.

Punktowanie: Zadanie 5. (0–2) Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe IV. Rozumowanie i argumentacja. Zdający: 1. Przeprowadzanie rozumowań, także I.2) przeprowadza proste dowody dotyczące kilkuetapowych, podawanie argumentów podzielności liczb całkowitych i reszt uzasadniających poprawność rozumowania, z dzielenia […]. odróżnianie dowodu od przykładu. Zasady oceniania 2 pkt – zapisanie, że 𝑛 = 2𝑙 + 1, oraz przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 do postaci 4(3𝑙 2 + 4𝑙 + 3) ALBO – przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 do postaci sumy algebraicznej liczb podzielnych przez 4 oraz uzasadnienie, że każdy ze składników tej sumy jest podzielny przez 4, ALBO – rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛 = 4𝑙 + 1, tj. przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 do postaci 4(12𝑙 2 + 8𝑙 + 3), oraz rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛 = 4𝑙 + 3, tj. przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 do postaci 4(12𝑙 2 + 20𝑙 + 10), ALBO – zapisanie, że liczba 3𝑛2 przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3 oraz zapisanie, że liczba 2𝑛 przy dzieleniu przez 4 daje resztę 2 oraz zapisanie, że suma reszt z dzielenia przez 4 liczb: 3𝑛2 , 2𝑛, 7, jest podzielna przez 4. 1 pkt – zapisanie, że 𝑛 = 2𝑙 + 1, oraz przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 do postaci 3(4𝑙 2 + 4𝑙 + 1) + 2(2𝑙 + 1) + 7 ALBO – przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 do postaci sumy algebraicznej liczb podzielnych przez 4, w której podzielność przez 4 jednego ze składników nie wymaga uzasadnienia: 4(𝑛2 + 𝑛 + 2) − (𝑛 + 1)2 , (3𝑛 − 1)(𝑛 + 1) + 8, 4(𝑛2 + 𝑛 + 1) − (𝑛 + 3)(𝑛 − 1), ALBO – przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 do postaci sumy algebraicznej liczb podzielnych przez 4: 2𝑛(𝑛 + 1) + (𝑛2 + 7), (𝑛 + 1)2 + 2(𝑛2 + 3), oraz uzasadnienie podzielności przez 4 jednego ze składników tej sumy, ALBO – rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛 = 4𝑙 + 1, tj. przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 do postaci 4(12𝑙 2 + 8𝑙 + 3), ALBO – rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛 = 4𝑙 + 3, tj. przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 do postaci 4(12𝑙 2 + 20𝑙 + 10), ALBO – zapisanie, że liczba 3𝑛2 przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3 oraz zapisanie, że liczba 2𝑛 przy dzieleniu przez 4 daje resztę 2. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy tylko dla wybranych wartości 𝑛, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający wykazuje, że dla każdej liczby naturalnej nieparzystej 𝑛 wyrażenie 3𝑛2 − 2𝑛 + 7 (zamiast 3𝑛2 + 2𝑛 + 7) jest podzielne przez 4, to otrzymuje 1 punkt. 3. Jeżeli zdający przedstawia 𝑛 w postaci 2𝑙 + 1, a następnie przekształca wyrażenie 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 np. do postaci 4(3𝑙 2 + 4𝑙 + 3) i kontynuuje rozumowanie, popełniając błędy we wnioskowaniu, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. 4. Jeżeli zdający przedstawia 𝑛 w postaci 2𝑙 + 1, a następnie błędnie przekształca wyrażenie 3(2𝑙 + 1)2 + 2(2𝑙 + 1) + 7, ale uzyskuje całkowitą wielokrotność liczby 4 postaci 4 ⋅ (𝑎 ⋅ 𝑙 2 + 𝑏 ⋅ 𝑙 + 𝑐), gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ i 𝑎 ≠ 0, to może otrzymać 1 punkt za całe rozwiązanie. Przykładowe pełne rozwiązania Sposób I Ponieważ liczba 𝑛 jest nieparzysta, więc zapisujemy ją w postaci 𝑛 = 2𝑙 + 1, gdzie 𝑙 ∈ ℤ i 𝑙 ≥ 0. Wówczas 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 = 3(2𝑙 + 1)2 + 2(2𝑙 + 1) + 7 = 3(4𝑙 2 + 4𝑙 + 1) + 4𝑙 + 2 + 7 = = 12𝑙 2 + 12𝑙 + 3 + 4𝑙 + 9 = 12𝑙 2 + 16𝑙 + 12 = 4(3𝑙 2 + 4𝑙 + 3) Ponieważ 𝑙 ∈ ℤ, więc również suma 3𝑙 2 + 4𝑙 + 3 jest liczbą całkowitą. Zatem iloczyn 4(3𝑙 2 + 4𝑙 + 3) jest podzielny przez 4. To należało wykazać. Sposób II Zapisujemy liczbę 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 w postaci sumy algebraicznej liczb podzielnych przez 4, np.: 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 = 4𝑛2 − 𝑛2 + 4𝑛 − 2𝑛 + 8 − 1 = 4(𝑛2 + 𝑛 + 2) − (𝑛 + 1)2 Liczba 4(𝑛2 + 𝑛 + 2) jest podzielna przez 4 dla dowolnej liczby całkowitej 𝑛. Liczba 𝑛 jest nieparzysta, zatem liczba 𝑛 + 1 jest parzysta. Stąd jej kwadrat jest liczbą podzielną przez 4. Zatem liczba 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 jest podzielna przez 4 jako różnica liczb podzielnych przez 4. To należało wykazać. Sposób III Reszty z dzielenia liczby naturalnej nieparzystej przez 4 mogą być równe jedynie 1 lub 3. Rozważmy dwa przypadki. Przypadek pierwszy – gdy 𝑛 jest liczbą, która przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1. Wtedy możemy ją zapisać w postaci 𝑛 = 4𝑙 + 1, gdzie 𝑙 ∈ ℤ i 𝑙 ≥ 0. Wówczas 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 = 3(4𝑙 + 1)2 + 2(4𝑙 + 1) + 7 = 3(16𝑙 2 + 8𝑙 + 1) + 8𝑙 + 2 + 7 = = 48𝑙 2 + 24𝑙 + 3 + 8𝑙 + 9 = 48𝑙 2 + 32𝑙 + 12 = 4(12𝑙 2 + 8𝑙 + 3) Ponieważ 𝑙 ∈ ℤ, więc również suma 12𝑙 2 + 8𝑙 + 3 jest liczbą całkowitą. Zatem iloczyn 4(12𝑙 2 + 8𝑙 + 3) jest podzielny przez 4. Przypadek drugi – gdy 𝑛 jest liczbą, która przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3. Wtedy możemy ją zapisać w postaci 𝑛 = 4𝑙 + 3, gdzie 𝑙 ∈ ℤ i 𝑙 ≥ 0. Wówczas 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 = 3(4𝑙 + 3)2 + 2(4𝑙 + 3) + 7 = 3(16𝑙 2 + 24𝑙 + 9) + 8𝑙 + 6 + 7 = = 48𝑙 2 + 72𝑙 + 27 + 8𝑙 + 13 = 48𝑙 2 + 80𝑙 + 40 = 4(12𝑙 2 + 20𝑙 + 10) Ponieważ 𝑙 ∈ ℤ, więc również suma 12𝑙 2 + 20𝑙 + 10 jest liczbą całkowitą. Zatem iloczyn 4(12𝑙 2 + 20𝑙 + 10) jest podzielny przez 4. To należało wykazać. Sposób IV Ponieważ liczba 𝑛 jest nieparzysta, więc liczba 𝑛2 przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1. Stąd wynika, że liczba 3𝑛2 daje przy dzieleniu przez 4 resztę 3, a liczba 2𝑛 daje przy dzieleniu przez 4 resztę 2. Ponadto liczba 7 daje przy dzieleniu przez 4 resztę 3. Zatem reszta z dzielenia przez 4 liczby 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 jest równa reszcie z dzielenia przez 4 liczby 3 + 2 + 3 = 8. Liczba 8 jest podzielna przez 4, zatem liczba 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 jest również podzielna przez 4. To należało wykazać.

1. 1
   Usuń nawias

   Rozmnażamy −2 przez oba składniki w nawiasie.

   $$3-2+4xgeq 2x-17$$
2. 2
   Zbierz wyrazy z x

   Przenosimy 2x na lewą stronę, a liczby na prawą.

   $$2xgeq -18$$
3. 3
   Podziel przez dodatnią liczbę

   Dzielenie przez 2 nie zmienia zwrotu nierówności.

   $$xgeq -9$$

Typowy błąd: Zmiana zwrotu nierówności przy dzieleniu przez dodatnią liczbę albo błędne usunięcie nawiasu po −2.

Punktowanie: Zadanie 6. (0–1) Wymaganie ogólne Wymagania szczegółowe II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Zdający: 1. Interpretowanie i operowanie III.3) rozwiązuje nierówności liniowe z jedną informacjami przedstawionymi w tekście, niewiadomą. zarówno matematycznym, jak I.6) posługuje się pojęciem przedziału i popularnonaukowym, a także w formie liczbowego, zaznacza przedziały na osi wykresów, diagramów, tabel. liczbowej. Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie Wersja A Wersja B D D

1. 1
   Zastosuj zasadę iloczynu

   Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden jego czynnik jest równy zeru.

   $$x=0quad ext{lub}quad x+3=0quad ext{lub}quad x^2+25=0$$
2. 2
   Sprawdź czynnik kwadratowy

   Dla liczby rzeczywistej x mamy x²≥0, więc x²+25>0 i ten czynnik nie daje rozwiązania rzeczywistego.

3. 3
   Zapisz rozwiązania

   Pozostają dwa rozwiązania z czynników liniowych.

   $$xin{-3,0}$$

Typowy błąd: Dopisanie liczb ±5 jako rozwiązań równania x²+25=0; w zbiorze liczb rzeczywistych takich rozwiązań nie ma.

Punktowanie: Zadanie 7. (0–1) Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe III. Wykorzystanie i interpretowanie Zdający: reprezentacji. III.5) rozwiązuje równania wielomianowe 1. Stosowanie obiektów matematycznych postaci 𝑊(𝑥) = 0 dla wielomianów i operowanie nimi, interpretowanie pojęć doprowadzonych do postaci iloczynowej. matematycznych. Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie Wersja A Wersja B A A

1. 1
   Rozłóż wielomiany na czynniki

   Wyłączamy x przed nawias i rozpoznajemy kwadrat sumy.

   $$x^2+x=x(x+1),qquad x^2+4x+4=(x+2)^2$$
2. 2
   Zapisz iloczyn czynników

   Podstawiamy rozkłady do wyrażenia.

   rac{x(x+1)}{(x+2)^2}cdotrac{x+2}{x}
3. 3
   Skróć niezerowe czynniki

   Warunki x≠0 i x≠−2 pozwalają skrócić x oraz jeden czynnik x+2.

   rac{x+1}{x+2}

Typowy błąd: Skracanie składników sumy zamiast całych czynników albo pominięcie założeń x≠0 i x≠−2.

Punktowanie: Zadanie 8. (0–1) Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe III. Wykorzystanie i interpretowanie Zdający: reprezentacji. II.4) mnoży […] wyrażenia wymierne. 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie Wersja A Wersja B C B

1. 1
   Oznacz szukaną kwotę

   Niech x oznacza kwotę zespołu A. Zespół B otrzymał wtedy 1 200 000−x zł.

2. 2
   Ułóż równanie procentowe

   Suma wykorzystanych części obu kwot wynosi 146 700 zł.

   $$0{,}13x+0{,}11(1,200,000-x)=146,700$$
3. 3
   Rozwiąż równanie

   Po redukcji otrzymujemy 0,02x+132 000=146 700.

   $$0{,}02x=14,700quadRightarrowquad x=735,000$$

Typowy błąd: Liczenie obu procentów od całej kwoty 1 200 000 zł zamiast od oddzielnych przydziałów zespołów.

Punktowanie: Zadanie 9. (0–2) Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe III. Wykorzystanie i interpretowanie Zdający: reprezentacji. IV.2) stosuje układy równań do 2. Dobieranie i tworzenie modeli rozwiązywania zadań tekstowych. matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. Zasady oceniania 2 pkt – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 735 000 zł. 1 pkt – zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć kwoty przyznane poszczególnym zespołom, np. 𝑥 + 𝑦 = 1 200 000 oraz 0,13𝑥 + 0,11𝑦 = 146 700 ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego obliczyć kwotę przyznaną zespołowi A, np.: 2% ⋅ 𝑥 = 14 700, 0,13𝑥 + 0,11 ⋅ (1 200 000 − 𝑥) = 146 700, ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego obliczyć kwotę przyznaną zespołowi B, np. 0,13 ⋅ (1 200 000 − 𝑦) + 0,11𝑦 = 146 700. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający sprawdza warunki zadania dla wybranych par liczb 𝑥 oraz 𝑦 i wskaże właściwą odpowiedź, ale nie uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie zadania, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający w rozwiązaniu używa wartości przybliżonych i otrzymuje wynik różny od 735 000, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie. Przykładowe pełne rozwiązanie Oznaczmy: 𝑥 – kwota przyznana zespołowi A, 𝑦 – kwota przyznana zespołowi B. Po uwzględnieniu warunków zadania otrzymujemy: 𝑥 + 𝑦 = 1 200 000 oraz 0,13𝑥 + 0,11𝑦 = 146 700 Z pierwszego z tych równań wyznaczamy 𝑦 = 1 200 000 − 𝑥 i podstawiamy w miejsce 𝑦 do drugiego z równań, otrzymując 0,13𝑥 + 0,11 ⋅ (1 200 000 − 𝑥) = 146 700 0,13𝑥 + 132 000 − 0,11𝑥 = 146 700 0,02𝑥 = 14 700 𝑥 = 735 000 Zespół A otrzymał 735 000 zł.

1. 1
   Sprowadź nierówność do postaci ogólnej

   Rozwijamy lewą stronę i przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę.

   $$6x^2-11x+3<0$$
2. 2
   Wyznacz miejsca zerowe

   Wyróżnik wynosi 49.

   x_1=rac{11-7}{12}=rac13,qquad x_2=rac{11+7}{12}=rac32
3. 3
   Odczytaj znak trójmianu

   Parabola ma ramiona skierowane w górę, więc trójmian jest ujemny między miejscami zerowymi.

   xinleft(rac13,rac32 ight)

Typowy błąd: Włączenie końców przedziału mimo ostrej nierówności albo wybranie obszaru na zewnątrz miejsc zerowych.

Punktowanie: Zadanie 10. (0–2) Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe III. Wykorzystanie i interpretowanie Zdający: reprezentacji. III.4) rozwiązuje […] nierówności 1. Stosowanie obiektów matematycznych kwadratowe. i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. Zasady oceniania 2 pkt – zastosowanie poprawnej metody i zapisanie zbioru rozwiązań nierówności: 1 3 𝑥 ∈ (3 , 2) ALBO – zastosowanie poprawnej metody i przedstawienie zbioru rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziału, np. 1 3 𝑥 3 2 1 pkt – obliczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego 6𝑥 2 − 11𝑥 + 3: 1 3 𝑥1 = 3 oraz 𝑥2 = 2 . 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający, obliczając pierwiastki trójmianu 6𝑥 2 − 11𝑥 + 3, popełni błędy (ale otrzyma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionych błędów zapisze zbiór rozwiązań nierówności, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego, w przypadku gdy błędnie obliczony przez zdającego wyróżnik Δ jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający rozpatruje inny niż podany w zadaniu trójmian kwadratowy, który nie wynika z błędu przekształcenia (np. 3(2𝑥 2 + 1)), i w konsekwencji rozpatruje inną nierówność (np. 3(2𝑥 2 + 1) < 0), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 4. Jeżeli zdający poda zbiór rozwiązań w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziału i jednocześnie zapisze niewłaściwy przedział jako zbiór rozwiązań 1 3 (np. 𝑥 ∈ [ , ]), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. 3 2 Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki Jeśli zdający spełni kryterium za 1 punkt, a następnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności 3 1 w postaci ( , ), to otrzymuje 2 punkty. 2 3 Przykładowe pełne rozwiązanie Zapisujemy nierówność w postaci 6𝑥 2 − 11𝑥 + 3 < 0 i obliczamy miejsca zerowe funkcji 𝑦 = 6𝑥 2 − 11𝑥 + 3. Obliczamy wyróżnik trójmianu 6𝑥 2 − 11𝑥 + 3: Δ = (−11)2 − 4 ⋅ 6 ⋅ 3 = 49 Stąd −(−11) − √49 1 𝑥1 = = 2⋅6 3 −(−11) + √49 3 𝑥2 = = 2⋅6 2 Szkicujemy wykres funkcji 𝑦 = 6𝑥 2 − 11𝑥 + 3. Odczytujemy argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne. 1 3 𝑥 3 2 1 3 Zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział ( , ). 3 2

1. 1
   Połącz przedziały definicji

   Trzy części funkcji obejmują [−4,−2], (−2,2] i (2,4), więc dziedziną jest [−4,4).

2. 2
   Odczytaj osiągane wartości

   Pierwsza część rośnie od 1 do 3, środkowa ma wartość 3, a ostatnia maleje od wartości bliskich 3 do wartości bliskich −3.

   $$W_f=(-3,3]$$
3. 3
   Rozwiąż dwa warunki

   Z wykresu lub wzorów kawałkami otrzymujemy dodatniość do x=3 oraz poziom y=3 od x=−2 do x=2.

   $$f(x)>0iff xin[-4,3),qquad f(x)=3iff xin[-2,2]$$

Typowy błąd: Nieuwzględnienie otwartych i domkniętych końców poszczególnych fragmentów wykresu.

Punktowanie: Zadanie 11. (0–4) Wymaganie ogólne Wymagania szczegółowe II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Zdający: 1. Interpretowanie i operowanie V.4) odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, informacjami przedstawionymi w tekście, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały zarówno matematycznym, jak monotoniczności, przedziały, w których i popularnonaukowym, a także w formie funkcja przyjmuje wartości większe (nie wykresów, diagramów, tabel. mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane. I.6) posługuje się pojęciem przedziału liczbowego […]. Zasady oceniania 4 pkt – poprawne uzupełnienie czterech zdań. 3 pkt – poprawne uzupełnienie trzech zdań. 2 pkt – poprawne uzupełnienie dwóch zdań. 1 pkt – poprawne uzupełnienie jednego zdania. 0 pkt – brak spełnienia powyższych kryteriów. Rozwiązanie 1. Dziedziną funkcji 𝑓 jest przedział [−4, 4). 2. Zbiorem wartości funkcji 𝑓 jest przedział (−3, 3]. 3. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja 𝑓 przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział [−4, 3). 4. Zbiorem wszystkich rozwiązań równania 𝑓(𝑥) = 3 jest przedział [−2, 2]. Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej przy zachowaniu poprawnych krańców przedziału, np. zapisze, że dziedziną funkcji 𝑓 jest przedział (4, −4], to otrzymuje 1 punkt za tak uzupełnione zdanie.

1. 1
   Zapisz postać kanoniczną

   Wierzchołek (3,6) daje p=3 i q=6.

   $$f(x)=a(x-3)^2+6$$
2. 2
   Podstaw znany punkt

   Parabola przechodzi przez (0,3).

   $$3=a(0-3)^2+6$$
3. 3
   Wyznacz współczynnik

   Z równania 9a=−3 dostajemy a=−1/3.

   f(x)=-rac13(x-3)^2+6

Typowy błąd: Zamiana współrzędnych wierzchołka albo zapisanie (x+3)² zamiast (x−3)².

Punktowanie: Zadanie 12.1. (0–2) Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Zdający: 1. Interpretowanie i operowanie V.9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na informacjami przedstawionymi w tekście, podstawie informacji o tej funkcji lub o jej zarówno matematycznym, jak wykresie. i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel. Zasady oceniania 2 pkt – poprawna metoda i zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej: 1 𝑓(𝑥) = − 3 (𝑥 − 3)2 + 6. 1 pkt – zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 3)2 + 6 ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą prowadzącego do obliczenia 𝑎, np.: 3𝑎 − 1 3 = 𝑎(0 − 3)2 + 6, = 3, 2𝑎 ALBO 1 – obliczenie (lub podanie wraz z uzasadnieniem) współczynnika 𝑎: 𝑎 = − . 3 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1 1. Jeżeli zdający zapisze 𝑓(𝑥) = − (𝑥 − 3)2 + 6 i nie obliczy (ani nie uzasadni), że 3 1 𝑎 = − 3 , to otrzymuje 1 punkt. 2. Jeżeli zdający zapisze wzór funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 3)2 + 6 oraz poprawnie obliczy współczynnik 𝑎, to otrzymuje 2 punkty. Przykładowe pełne rozwiązania Sposób I Korzystamy ze wzoru na postać kanoniczną funkcji kwadratowej i zapisujemy: 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 3)2 + 6, gdzie 𝑎 ≠ 0 Punkt (0, 3) leży na wykresie funkcji 𝑓 , więc 𝑓(0) = 3 𝑎(0 − 3)2 + 6 = 3 9𝑎 = −3 1 𝑎=− 3 1 Zatem 𝑓(𝑥) = − (𝑥 − 3)2 + 6. 3 Sposób II Korzystamy ze wzoru na postać ogólną funkcji kwadratowej i zapisujemy: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, gdzie 𝑎 ≠ 0 Punkty (0, 3), (3, 6), (6, 3) leżą na wykresie funkcji 𝑓 , zatem 𝑓(0) = 3 { 𝑓(3) = 6 𝑓(6) = 3 𝑎 ⋅ 02 + 𝑏 ⋅ 0 + 𝑐 = 3 { 𝑎 ⋅ 32 + 𝑏 ⋅ 3 + 𝑐 = 6 𝑎 ⋅ 62 + 𝑏 ⋅ 6 + 𝑐 = 3 𝑐=3 { 9𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 = 6 36𝑎 + 6𝑏 + 𝑐 = 3 9𝑎 + 3𝑏 + 3 = 6 { 36𝑎 + 6𝑏 + 3 = 3 3𝑎 + 𝑏 = 1 { 6𝑎 + 𝑏 = 0 Odejmujemy równania stronami i otrzymujemy: −3𝑎 = 1 1 𝑎=− 3 Stąd 1 𝑏 = 1 − 3𝑎 = 1 − 3 ⋅ (− ) = 1 + 1 = 2 3 Zapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci ogólnej: 1 𝑓(𝑥) = − 𝑥 2 + 2𝑥 + 3 3 Przekształcamy wzór funkcji 𝑓 do postaci kanonicznej: 1 1 1 𝑓(𝑥) = − 𝑥 2 + 2𝑥 + 3 = − (𝑥 2 − 6𝑥 − 9) = − (𝑥 2 − 6𝑥 + 9 − 18) = 3 3 3 1 1 = − [(𝑥 − 3)2 − 18] = − (𝑥 − 3)2 + 6 3 3

1. 1
   Odczytaj pierwszą współrzędną wierzchołka

   Wierzchołek paraboli ma współrzędne (3,6).

2. 2
   Zapisz oś symetrii

   Oś paraboli jest pionową prostą przechodzącą przez wierzchołek.

   $$x=3$$

Typowy błąd: Podanie równania y=6; jest to pozioma prosta, a nie oś symetrii tej paraboli.

Punktowanie: Zadanie 12.2. (0–1) Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Zdający: 1. Interpretowanie i operowanie V.11) wykorzystuje własności funkcji […] informacjami przedstawionymi w tekście, kwadratowej do interpretacji zagadnień zarówno matematycznym, jak geometrycznych […]. i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel. Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie Wersja A Wersja B A B

1. 1
   Przekształć warunek na miejsca zerowe

   Równanie g(x)=0 jest równoważne f(x)=3.

2. 2
   Znajdź pierwszy punkt

   Z danych wiemy, że f(0)=3, więc x₁=0.

3. 3
   Użyj symetrii paraboli

   Drugi argument leży w tej samej odległości od osi x=3 po drugiej stronie.

   $$x_2=6,qquad x_1+x_2=6$$

Typowy błąd: Szukanie miejsc zerowych funkcji f zamiast rozwiązań równania f(x)=3.

Punktowanie: Zadanie 12.3. (0–1) Wymaganie ogólne Wymagania szczegółowe II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Zdający: 1. Interpretowanie i operowanie V.12) na podstawie wykresu funkcji informacjami przedstawionymi w tekście, 𝑦 = 𝑓(𝑥) szkicuje wykresy funkcji […] zarówno matematycznym, jak 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑏; i popularnonaukowym, a także w formie V.4) odczytuje z wykresu funkcji: […] wykresów, diagramów, tabel. miejsca zerowe […]. Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie Suma 𝑥1 + 𝑥2 jest równa 6.

1. 1
   Sprawdź współczynnik kierunkowy

   Funkcja liniowa ax+b z b≠0 nie ma miejsca zerowego tylko wtedy, gdy a=0.

2. 2
   Wyzeruj współczynnik przy x

   Rozwiązujemy 3−m=0.

   $$m=3$$
3. 3
   Sprawdź funkcję

   Dla m=3 otrzymujemy f(x)=−4, więc funkcja nigdy nie przyjmuje wartości 0.

Typowy błąd: Rozwiązywanie równania f(x)=0 bez zauważenia, że dla m=3 znika składnik z x.

Punktowanie: Zadanie 13. (0–1) Wymaganie ogólne Wymagania szczegółowe III. Wykorzystanie i interpretowanie Zdający: reprezentacji. V.5) interpretuje współczynniki występujące 1. Stosowanie obiektów matematycznych we wzorze funkcji liniowej; i operowanie nimi, interpretowanie pojęć V.6) wyznacza wzór funkcji liniowej na matematycznych. podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach. Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie Wersja A Wersja B C B

1. 1
   Oblicz drugi wyraz

   Podstawiamy a₁=2 do wzoru rekurencyjnego.

   $$a_2=2cdot2+1=5$$
2. 2
   Oblicz trzeci wyraz

   W następnym kroku używamy już a₂.

   $$a_3=2cdot5+1=11$$

Typowy błąd: Dwukrotne podstawienie a₁ zamiast użycia obliczonego wyrazu a₂ w drugim kroku.

Punktowanie: Zadanie 14.1. (0–1) Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe III. Wykorzystanie i interpretowanie Zdający: reprezentacji. VI.2) oblicza początkowe wyrazy ciągów 1. Stosowanie obiektów matematycznych określonych rekurencyjnie. i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie Wersja A Wersja B D A

1. 1
   Wypisz pierwsze wyrazy

   Z rekurencji otrzymujemy 2, 5, 11.

2. 2
   Porównaj różnice

   Różnice 5−2=3 i 11−5=6 nie są równe, więc ciąg nie jest arytmetyczny.

3. 3
   Porównaj ilorazy

   Ilorazy 5/2 i 11/5 nie są równe, więc ciąg nie jest geometryczny.

Typowy błąd: Rozpoznanie rodzaju ciągu na podstawie tylko jednej pary kolejnych wyrazów.

Punktowanie: Zadanie 14.2. (0–1) Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe III. Wykorzystanie i interpretowanie Zdający: reprezentacji. VI.4) sprawdza, czy dany ciąg jest 1. Stosowanie obiektów matematycznych arytmetyczny lub geometryczny. i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie Wersja A Wersja B FF FF

1. 1
   Użyj warunku arytmetyczności

   Podwojony wyraz środkowy musi być sumą skrajnych.

   $$2(m^2+3)=(2m+11)+(5-m)$$
2. 2
   Rozwiąż równanie

   Po uporządkowaniu otrzymujemy trójmian iloczynowy.

   $$2m^2-m-10=(2m-5)(m+2)=0$$
3. 3
   Sprawdź malejący charakter

   Dla m=−2 ciąg jest stały (7,7,7), a dla m=5/2 ma wyrazy 16, 37/4, 5/2 i jest malejący.

   m=rac52

Typowy błąd: Zatrzymanie się na obu pierwiastkach równania bez sprawdzenia dodatkowego warunku, że ciąg jest malejący.

Punktowanie: Zadanie 15. (0–3) Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe IV. Rozumowanie i argumentacja. Zdający: 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy VI.7) wykorzystuje własności ciągów […] rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach arytmetycznych […] do rozwiązywania nietypowych. zadań […]. Zasady oceniania 3 pkt – obliczenie i uzasadnienie, że jedyną wartością 𝑚, dla której ciąg 5 (2𝑚 + 11, 𝑚2 + 3, 5 − 𝑚) jest arytmetyczny i malejący jest . 2 2 pkt – wyznaczenie wartości 𝑚, dla których ciąg (2𝑚 + 11, 𝑚2 + 3, 5 − 𝑚) jest 5 arytmetyczny: 𝑚 = −2 oraz 𝑚 = 2 ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑚, np.: 2𝑚 + 11 + 5 − 𝑚 = 𝑚 2 + 3, 2 (𝑚2 + 3) − (2𝑚 + 11) = (5 − 𝑚) − (𝑚2 + 3), oraz rozwiązanie co najmniej jednej z trzech nierówności: • 2𝑚 + 11 > 𝑚2 + 3 : 𝑚 ∈ (−2, 4) • 𝑚2 + 3 > 5 − 𝑚 : 𝑚 ∈ (−∞, −2) ∪ (1, +∞) • 2𝑚 + 11 > 5 − 𝑚 : 𝑚 ∈ (−2, +∞), ALBO – obliczenie wszystkich wartości 𝑟, dla których ciąg (2𝑚 + 11, 𝑚2 + 3, 5 − 𝑚) jest 27 arytmetyczny: 𝑟 = − lub 𝑟 = 0, 4 ALBO – obliczenie wartości 𝑟, dla której ciąg (2𝑚 + 11, 𝑚2 + 3, 5 − 𝑚) jest arytmetyczny 27 i malejący: 𝑟 = − . 4 1 pkt – zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑚, np.: 2𝑚 + 11 + 5 − 𝑚 = 𝑚2 + 3, 2 (𝑚2 + 3) − (2𝑚 + 11) = (5 − 𝑚) − (𝑚2 + 3) ALBO – zapisanie układu równań z dwiema niewiadomymi pozwalającego obliczyć 𝑚 i 𝑟, np. 𝑚2 + 3 = 2𝑚 + 11 + 𝑟 oraz 5 − 𝑚 = 2𝑚 + 11 + 2𝑟, ALBO – rozwiązanie co najmniej jednej z trzech nierówności: • 2𝑚 + 11 > 𝑚2 + 3 : 𝑚 ∈ (−2, 4) • 𝑚2 + 3 > 5 − 𝑚 : 𝑚 ∈ (−∞, −2) ∪ (1, +∞) • 2𝑚 + 11 > 5 − 𝑚 : 𝑚 ∈ (−2, +∞). 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów (np. za rozwiązanie nierówności 2𝑚 + 11 > 𝑚2 + 3). 2. Jeżeli zdający nie uwzględnia istotnych nawiasów i rozwiązuje równanie postaci (𝑚2 + 3) − 2𝑚 + 11 = (5 − 𝑚) − 𝑚2 + 3, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów (np. za rozwiązanie nierówności 2𝑚 + 11 > 𝑚2 + 3). 5 3. Jeżeli zdający zapisze tylko 𝑚 = , to otrzymuje 0 punktów. Natomiast jeżeli zdający 2 dodatkowo sprawdzi, zapisując odpowiednie obliczenia, że dla tej wartości 𝑚 spełnione są warunki zadania, ale nie uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. 4. Jeżeli zdający wyznaczy wartości 𝑚, dla których ciąg (2𝑚 + 11, 𝑚2 + 3, 5 − 𝑚) jest 5 arytmetyczny: 𝑚 = −2 oraz 𝑚 = , i zapisze, że dla 𝑚 = −2 ciąg nie jest malejący, to 2 otrzymuje 3 punkty. 5. Jeżeli zdający wyznaczy wartości 𝑚, dla których ciąg (2𝑚 + 11, 𝑚2 + 3, 5 − 𝑚) jest 5 arytmetyczny: 𝑚 = −2 oraz 𝑚 = , a następnie obliczy dla każdej z tych wartości 𝑚 2 5 wyrazy ciągu i nie wskaże, że 𝑚 = jest jedyną szukaną wartością, to otrzymuje 2 2 punkty za całe rozwiązanie. Przykładowe pełne rozwiązania Sposób I Z własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy: 2𝑚 + 11 + 5 − 𝑚 = 𝑚2 + 3 2 𝑚 + 16 = 2𝑚2 + 6 2𝑚2 − 𝑚 − 10 = 0 Obliczamy wyróżnik trójmianu 2𝑚2 − 𝑚 − 10: Δ = (−1)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ (−10) = 81 Stąd −(−1) − √81 𝑚1 = = −2 2⋅2 −(−1) + √81 5 𝑚2 = = 2⋅2 2 Dla 𝑚 = −2 otrzymujemy ciąg (7, 7, 7), który jest stały. 5 37 5 Dla 𝑚 = otrzymujemy ciąg (16, , ), który jest malejący. 2 4 2 Zatem ciąg (2𝑚 + 11, 𝑚2 + 3, 5 − 𝑚) jest malejącym ciągiem arytmetycznym, gdy 5 𝑚 = 2. Sposób II Ciąg (2𝑚 + 11, 𝑚2 + 3, 5 − 𝑚) jest malejący, gdy (𝑚2 + 3) − (2𝑚 + 11) < 0 i (5 − 𝑚) − (𝑚2 + 3) < 0 𝑚2 − 2𝑚 − 8 < 0 i − 𝑚2 − 𝑚 + 2 < 0 𝑚2 − 4𝑚 + 2𝑚 − 8 < 0 i − 𝑚2 − 2𝑚 + 𝑚 + 2 < 0 𝑚(𝑚 − 4) + 2(𝑚 − 4) < 0 i − 𝑚(𝑚 + 2) + (𝑚 + 2) < 0 (𝑚 − 4)(𝑚 + 2) < 0 i − (𝑚 + 2)(𝑚 − 1) < 0 𝑚 ∈ (−2, 4) i 𝑚 ∈ (−∞, −2) ∪ (1, +∞) Zatem ciąg (2𝑚 + 11, 𝑚2 + 3, 5 − 𝑚) jest malejący, gdy 𝑚 ∈ (1, 4). Z definicji/własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy: (𝑚2 + 3) − (2𝑚 + 11) = (5 − 𝑚) − (𝑚2 + 3) Stąd 𝑚2 − 2𝑚 − 8 = −𝑚2 − 𝑚 + 2 2𝑚2 − 𝑚 − 10 = 0 2𝑚2 + 4𝑚 − 5𝑚 − 10 = 0 2𝑚2 + 4𝑚 − 5𝑚 − 10 = 0 2𝑚(𝑚 + 2) − 5(𝑚 + 2) = 0 (𝑚 + 2)(2𝑚 − 5) = 0 𝑚+2=0 lub 2𝑚 − 5 = 0 5 𝑚 = −2 ∉ (1, 4) lub 𝑚= ∈ (1, 4) 2 Zatem ciąg (2𝑚 + 11, 𝑚2 + 3, 5 − 𝑚) jest malejącym ciągiem arytmetycznym, gdy 5 𝑚 = 2. Sposób III Ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego otrzymujemy: 2 { 𝑚 + 3 = 2𝑚 + 11 + 𝑟 5 − 𝑚 = 2𝑚 + 11 + 2𝑟 gdzie 𝑟 jest różnicą ciągu arytmetycznego. Stąd 2 { 2𝑚 + 6 = 4𝑚 + 22 + 2𝑟 5 − 𝑚 = 2𝑚 + 11 + 2𝑟 Odejmujemy równania stronami i otrzymujemy: 2𝑚2 + 6 − 5 + 𝑚 = 4𝑚 + 22 + 2𝑟 − 2𝑚 − 11 − 2𝑟 2𝑚2 − 𝑚 − 10 = 0 Obliczamy wyróżnik trójmianu 2𝑚2 − 𝑚 − 10: Δ = (−1)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ (−10) = 81 Stąd −(−1) − √81 𝑚1 = = −2 2⋅2 −(−1) + √81 5 𝑚2 = = 2⋅2 2 Ciąg (2𝑚 + 11, 𝑚2 + 3, 5 − 𝑚) jest malejący, zatem 2𝑚 + 11 > 5 − 𝑚 Stąd 𝑚 > −2 5 37 5 Dla 𝑚 = otrzymujemy ciąg arytmetyczny (16, , ), który jest malejący. 2 4 2 Zatem ciąg (2𝑚 + 11, 𝑚2 + 3, 5 − 𝑚) jest malejącym ciągiem arytmetycznym, gdy 5 𝑚 = 2. Sposób IV Ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego otrzymujemy: 2 { 𝑚 + 3 = 2𝑚 + 11 + 𝑟 5 − 𝑚 = 2𝑚 + 11 + 2𝑟 gdzie 𝑟 jest różnicą ciągu arytmetycznego. Stąd 2 { 𝑚 − 2𝑚 − 𝑟 − 8 = 0 3𝑚 + 2𝑟 + 6 = 0 2 Z drugiego z tych równań wyznaczamy 𝑚 = − 𝑟 − 2 i podstawiamy w miejsce 𝑚 do 3 pierwszego z równań, otrzymując: 2 2 2 (− 𝑟 − 2) − 2 ⋅ (− 𝑟 − 2) − 𝑟 − 8 = 0 3 3 4 2 8 4 𝑟 + 𝑟+4+ 𝑟+4−𝑟−8=0 9 3 3 4 2 𝑟 + 3𝑟 = 0 / ∶ 𝑟 (ciąg jest malejący, więc 𝑟 < 0) 9 4 𝑟+3=0 9 27 𝑟=− 4 27 Gdy 𝑟 = − , to ciąg (2𝑚 + 11, 𝑚2 + 3, 5 − 𝑚) jest malejący 4 2 27 9 5 i 𝑚 = − ⋅ (− ) − 2 = − 2 = . 3 4 2 2 Zatem ciąg (2𝑚 + 11, 𝑚2 + 3, 5 − 𝑚) jest malejącym ciągiem arytmetycznym, gdy 5 𝑚 = 2.

1. 1
   Wyznacz iloraz

   Dzielimy drugi wyraz przez pierwszy.

   q=rac{9}{27}=rac13
2. 2
   Dopisz kolejne wyrazy

   Każdy kolejny wyraz mnożymy przez 1/3.

   $$a_3=3,qquad a_4=1$$

Typowy błąd: Potraktowanie różnicy 9−27 jako stałej zamiast użycia ilorazu ciągu geometrycznego.

Punktowanie: Zadanie 16. (0–1) Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe III. Wykorzystanie i interpretowanie Zdający: reprezentacji. VI.6) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu 1. Stosowanie obiektów matematycznych geometrycznego. i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie Wersja A Wersja B B A

1. 1
   Zastąp tangens ilorazem

   Dla kąta ostrego cos α jest dodatni i niezerowy.

   sqrt3,rac{sinalpha}{cosalpha}=2sinalpha
2. 2
   Skróć przez sinus

   Kąt jest ostry, więc sin α>0.

   rac{sqrt3}{cosalpha}=2
3. 3
   Wyznacz cosinus

   Mnożymy obie strony przez cos α i dzielimy przez 2.

   cosalpha=rac{sqrt3}{2}

Typowy błąd: Skrócenie przez sin α bez uzasadnienia, że nie jest zerem, albo użycie tg α=cos α/sin α.

Punktowanie: Zadanie 17. (0–1) Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe III. Wykorzystanie i interpretowanie Zdający: reprezentacji. VII.2) korzysta z wzorów 1. Stosowanie obiektów matematycznych sin 𝛼 sin2 𝛼 + cos 2 𝛼 = 1, tg 𝛼 = cos 𝛼 ; i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie Wersja A Wersja B C D

1. 1
   Wyznacz krótszą przyprostokątną

   D jest środkiem AB=6, więc AD=3.

2. 2
   Oblicz AC

   W trójkącie prostokątnym ACD przeciwprostokątna CD ma długość 5.

   $$AC=sqrt{5^2-3^2}=4$$
3. 3
   Zastosuj definicję tangensa

   Dla kąta ADC bokiem naprzeciw jest AC, a przyległym AD.

   anangle ADC=rac43

Typowy błąd: Odwrócenie stosunku przyprostokątnych w definicji tangensa.

Punktowanie: Zadanie 18.1. (0–1) Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe III. Wykorzystanie i interpretowanie Zdający: reprezentacji. VII.1) wykorzystuje definicje funkcji […] 1. Stosowanie obiektów matematycznych tangens dla kątów od 0° do 180° […]. i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie Wersja A Wersja B D C

1. 1
   Ustal długości przyprostokątnych

   Jak w poprzednim podpunkcie: AB=6 i AC=4.

2. 2
   Oblicz przeciwprostokątną

   Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ABC.

   $$BC=sqrt{6^2+4^2}=sqrt{52}=2sqrt{13}$$
3. 3
   Zastosuj definicję sinusa

   Bok naprzeciw kąta ABC to AC.

   sinangle ABC=rac{4}{2sqrt{13}}=rac{2}{sqrt{13}}

Typowy błąd: Użycie CD=5 jako przeciwprostokątnej całego trójkąta ABC.

Punktowanie: Zadanie 18.2. (0–1) Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe III. Wykorzystanie i interpretowanie Zdający: reprezentacji. VII.1) wykorzystuje definicje funkcji: sinus 1. Stosowanie obiektów matematycznych […] dla kątów od 0° do 180° […]. i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie Wersja A Wersja B A B

1. 1
   Wyznacz kąt środkowy

   Kąt środkowy oparty na tym samym łuku AB jest dwa razy większy od kąta wpisanego.

   $$angle AOB=2cdot50^circ=100^circ$$
2. 2
   Użyj równoramienności

   OA=OB jako promienie, więc kąty przy podstawie trójkąta AOB są równe.

3. 3
   Oblicz kąt ABO

   Suma kątów w trójkącie wynosi 180°.

   angle ABO=rac{180^circ-100^circ}{2}=40^circ

Typowy błąd: Uznanie kąta środkowego za równy kątowi wpisanemu zamiast dwa razy większy.

Punktowanie: Zadanie 19. (0–1) Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe IV. Rozumowanie i argumentacja. Zdający: 1. Przeprowadzanie rozumowań, także VIII.5) stosuje własności kątów wpisanych kilkuetapowych, podawanie argumentów i środkowych. uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu. Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie Wersja A Wersja B C B

1. 1
   Dopasuj odpowiadające boki

   Z podobieństwa trójkątów ABC i BDA wynika proporcja BD/AB=AB/BC.

2. 2
   Podstaw długości

   Mamy AB=3 i BC=4.

   rac{BD}{3}=rac34
3. 3
   Oblicz BD

   Mnożymy obie strony przez 3.

   BD=rac94=2{,}25

Typowy błąd: Zestawienie w proporcji boków, które nie odpowiadają sobie w podobnych trójkątach.

Punktowanie: Zadanie 20. (0–1) Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe IV. Rozumowanie i argumentacja. Zdający: 1. Przeprowadzanie rozumowań, także VIII.8) korzysta z cech podobieństwa kilkuetapowych, podawanie argumentów trójkątów. uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu. Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie Wersja A Wersja B B C

1. 1
   Oblicz trzeci bok

   Stosujemy twierdzenie cosinusów dla kąta 60° między bokami 11 i 12.

   AC^2=11^2+12^2-2cdot11cdot12cdotrac12=133
2. 2
   Oceń równoramienność

   AC=√133 nie jest równe ani 11, ani 12, więc pierwsze zdanie jest fałszywe.

3. 3
   Oblicz pole

   Korzystamy ze wzoru na pole z dwóch boków i kąta między nimi.

   P=rac12cdot11cdot12cdotsin60^circ=33sqrt3

Typowy błąd: Pominięcie czynnika 1/2 we wzorze na pole albo przyjęcie, że bok √133 ma długość 11.

Punktowanie: Zadanie 21. (0–1) Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe IV. Rozumowanie i argumentacja. Zdający: 3. Dobieranie argumentów do uzasadnienia VII.3) stosuje twierdzenie cosinusów oraz poprawności rozwiązywania problemów, 1 wzór na pole trójkąta 𝑃 = ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅ sin 𝛾. tworzenie ciągu argumentów, 2 gwarantujących poprawność rozwiązania i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia. Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie Wersja A Wersja B FP FP

1. 1
   Oblicz odległość A od środka

   S jest punktem przecięcia przekątnych.

   $$AS=sqrt{(4-1)^2+(-1-3)^2}=sqrt{9+16}=5$$
2. 2
   Użyj własności przekątnych kwadratu

   Punkt przecięcia dzieli każdą przekątną na połowy.

   $$AC=2cdot AS=10$$

Typowy błąd: Podanie długości AS=5 jako całej przekątnej.

Punktowanie: Zadanie 22. (0–1) Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe IV. Rozumowanie i argumentacja. Zdający: 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy IX.3) oblicza odległość dwóch punktów rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach w układzie współrzędnych. nietypowych. Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie Wersja A Wersja B C B

1. 1
   Porównaj współczynniki kierunkowe

   Proste równoległe mają równe współczynniki przy x.

   $$m-2=-4$$
2. 2
   Rozwiąż równanie

   Dodajemy 2 do obu stron.

   $$m=-2$$

Typowy błąd: Porównywanie wyrazów wolnych zamiast współczynników kierunkowych.

Punktowanie: Zadanie 23. (0–1) Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe III. Wykorzystanie i interpretowanie Zdający: reprezentacji. IX.2) posługuje się równaniami prostych na 1. Stosowanie obiektów matematycznych płaszczyźnie, w postaci kierunkowej […], i operowanie nimi, interpretowanie pojęć w tym wyznacza równanie prostej matematycznych. o zadanych własnościach (takich, jak np. […] równoległość do innej prostej). Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie Wersja A Wersja B B A

1. 1
   Zapisz postać równania okręgu

   Dla środka (2,4) lewa strona ma postać (x−2)²+(y−4)².

2. 2
   Oblicz kwadrat promienia

   Promień jest odległością środka od punktu P=(0,0).

   $$r^2=(2-0)^2+(4-0)^2=20$$
3. 3
   Zapisz równanie

   Po prawej stronie równania występuje r², a nie r.

   $$(x-2)^2+(y-4)^2=20$$

Typowy błąd: Wpisanie po prawej stronie długości promienia 2√5 zamiast jego kwadratu 20.

Punktowanie: Zadanie 24. (0–1) Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe III. Wykorzystanie i interpretowanie Zdający: reprezentacji. IX.4) posługuje się równaniem okręgu 1. Stosowanie obiektów matematycznych (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟 2 . i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie Wersja A Wersja B B C

1. 1
   Przejdź do przekroju osiowego

   Połowa kąta rozwarcia ma 60°, a tworząca długości 8 jest przeciwprostokątną.

2. 2
   Wyznacz promień i wysokość

   Korzystamy z sinusa i cosinusa kąta 60°.

   $$r=8sin60^circ=4sqrt3,qquad H=8cos60^circ=4$$
3. 3
   Oblicz objętość

   Podstawiamy r²=48 i H=4 do wzoru na objętość stożka.

   V=rac13pi r^2H=rac13picdot48cdot4=64pi

Typowy błąd: Użycie całego kąta 120° zamiast jego połowy w trójkącie prostokątnym przekroju osiowego.

Punktowanie: Zadanie 25. (0–3) Wymaganie ogólne Wymagania szczegółowe IV. Rozumowanie i argumentacja. Zdający: 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy X.4) rozpoznaje […] w stożkach kąt między rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach odcinkami oraz kąt między odcinkami nietypowych. i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą) […]; X.5) oblicza objętości […] stożka […], również z wykorzystaniem trygonometrii. Zasady oceniania 3 pkt – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑉 = 64𝜋. 2 pkt – zapisanie promienia podstawy stożka: 𝑟 = 4√3 oraz zapisanie wysokości stożka: 𝐻 = 4 ALBO – obliczenie kwadratu promienia podstawy stożka: 𝑟 2 = 48 oraz zapisanie wysokości stożka: 𝐻 = 4, ALBO – zapisanie wysokości stożka: 𝐻 = 4 oraz wyznaczenie objętości stożka 1 2 w zależności od 𝐻 , np. 𝑉 = 𝜋(𝐻√3) ⋅ 𝐻, 3 ALBO – zapisanie promienia podstawy stożka: 𝑟 = 4√3 oraz wyznaczenie objętości stożka 1 𝑟 w zależności od 𝑟, np. 𝑉 = 𝜋𝑟 2 ⋅ , 3 √3 ALBO 2 1 𝑙√3 𝑙 – wyznaczenie objętości stożka w zależności od tworzącej 𝑙 , np. 𝑉 = 𝜋 ( ) ⋅ . 3 2 2 1 pkt – zapisanie promienia podstawy stożka: 𝑟 = 4√3 ALBO – zapisanie wysokości stożka: 𝐻 = 4, ALBO – obliczenie kwadratu promienia podstawy stożka: 𝑟 2 = 48, ALBO – zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć 𝑟 oraz 𝐻 , np.: 𝑟 = 𝑥√3 oraz 𝐻=𝑥 oraz 𝑙 = 2𝑥 oraz 𝑙 = 8, 𝑟 𝐻 = sin 60° oraz = cos 60° , 8 8 1 1 ⋅ 2𝑟 ⋅ 𝐻 = ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅ sin 120° oraz 𝑟 2 + 𝐻 2 = 82 , 2 2 (2𝑟)2 = 82 + 82 − 2 ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅ cos 120° oraz 𝑟 2 + 𝐻 2 = 82 , ALBO 1 2 – wyznaczenie objętości stożka w zależności od 𝐻, np. 𝑉 = 𝜋(𝐻√3) ⋅ 𝐻, 3 ALBO 1 2 𝑟 – wyznaczenie objętości stożka w zależności od 𝑟, np. 𝑉 = 𝜋𝑟 ⋅ . 3 √3 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający przyjmuje w rozwiązaniu, że: a) trójkąt 𝑆𝑂𝐵 jest trójkątem równobocznym, b) wysokość stożka jest równa 8, lub c) promień podstawy stożka jest równy 8, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest: a) zastosowanie niepoprawnej definicji jednej funkcji trygonometrycznej, b) błędne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa, c) błędne zastosowanie twierdzenia cosinusów, d) zastosowanie niepoprawnej tożsamości √𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑥 + 𝑦, e) błędne zastosowanie własności trójkąta o kątach 30°, 60°, 90° (tzn. zapisanie, że promień podstawy stożka jest równy 4 i wysokość stożka jest równa 4√3 ), lub f) przyjęcie, że kąt 120° to kąt wycinka koła o promieniu 8 tworzącego powierzchnię boczną stożka, i rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać 1 punkt za całe rozwiązanie (za konsekwentne obliczenie objętości stożka). Jeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych błędów a)–f), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów (np. za zapisanie wysokości stożka: 𝐻 = 4). Przykładowe pełne rozwiązania Sposób I 𝑆 Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku przedstawiającym przekrój osiowy 120° rozważanego stożka: 60° 8 𝑆 – wierzchołek stożka, 𝐻 𝑂 – spodek wysokości stożka, 𝑟 – promień podstawy stożka, 𝐴 𝑂 𝑟 𝐵 𝐻 – wysokość stożka. Zauważamy, że 𝑟 > 0 i 𝐻 > 0. Ponieważ 𝑂 jest spodkiem wysokości stożka, to |∡𝑂𝑆𝐵| = 60°. W trójkącie prostokątnym 𝑂𝐵𝑆 mamy |𝑂𝐵| 𝑟 sin 60° = = |𝑆𝐵| 8 Zatem √3 𝑟 = 8 ⋅ sin 60° = 8 ⋅ = 4√3 2 Ponadto |𝑆𝑂| 𝐻 cos 60° = = |𝑆𝐵| 8 Stąd 1 𝐻 = 8 ⋅ cos 60° = 8 ⋅ =4 2 Obliczamy objętość 𝑉 stożka: 1 1 2 𝑉= ⋅ 𝜋 ⋅ 𝑟 2 ⋅ 𝐻 = ⋅ 𝜋 ⋅ (4√3) ⋅ 4 = 64𝜋 3 3 Sposób II Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku 𝑆 przedstawiającym przekrój osiowy rozważanego stożka: 120° 𝑆 – wierzchołek stożka, 8 𝑂 – spodek wysokości stożka, 𝐻 𝑟 – promień podstawy stożka, 𝐻 – wysokość stożka. 𝐴 𝑂 𝑟 𝐵 Zauważamy, że 𝑟 > 0 i 𝐻 > 0. Korzystamy z twierdzenia cosinusów dla trójkąta 𝐴𝐵𝑆 i otrzymujemy: (2𝑟)2 = 82 + 82 − 2 ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅ cos 120° 4𝑟 2 = 128 − 128 ⋅ cos 120° 1 Ponieważ cos 120° = − cos 60° = − , więc 2 1 4𝑟 2 = 128 − 128 ⋅ (− ) 2 4𝑟 2 = 192 𝑟 2 = 48 Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝑂𝐵𝑆 i obliczamy wysokość stożka: 𝐻 2 = 82 − 𝑟 2 𝐻 2 = 64 − 48 𝐻 2 = 16 𝐻=4 Obliczamy objętość 𝑉 stożka: 1 1 𝑉= ⋅ 𝜋 ⋅ 𝑟 2 ⋅ 𝐻 = ⋅ 𝜋 ⋅ 48 ⋅ 4 = 64𝜋 3 3 Sposób III Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku 𝑆 przedstawiającym przekrój osiowy rozważanego stożka: 120° 𝑆 – wierzchołek stożka, 8 𝑂 – spodek wysokości stożka, 𝐻 𝑟 – promień podstawy stożka, 𝐻 – wysokość stożka. 𝐴 𝑂 𝑟 𝐵 Zauważamy, że 𝑟 > 0 i 𝐻 > 0. Pole trójkąta 𝐴𝐵𝑆 jest równe 1 √3 𝑃𝐴𝐵𝑆 = ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅ sin 120° = 32 ⋅ sin 60° = 32 ⋅ = 16√3 2 2 Zatem 1 ⋅ 2𝑟 ⋅ 𝐻 = 16√3 2 stąd 𝑟 ⋅ 𝐻 = 16√3 Korzystamy z twierdzenia cosinusów dla trójkąta 𝐴𝐵𝑆 i otrzymujemy: (2𝑟)2 = 82 + 82 − 2 ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅ cos 120° 4𝑟 2 = 128 − 128 ⋅ (−cos 60°) 1 4𝑟 2 = 128 − 128 ⋅ (− ) 2 4𝑟 2 = 192 𝑟 2 = 48 𝑟 = 4√3 Obliczamy objętość 𝑉 stożka: 1 1 1 𝑉= ⋅ 𝜋 ⋅ 𝑟 2 ⋅ 𝐻 = ⋅ 𝜋 ⋅ 𝑟 ⋅ 𝑟 ⋅ 𝐻 = ⋅ 𝜋 ⋅ 4√3 ⋅ 16√3 = 64𝜋 3 3 3

1. 1
   Wyznacz krawędź

   Objętość sześcianu to a³.

   $$a^3=729quadRightarrowquad a=9$$
2. 2
   Oblicz przekątną przestrzenną

   Przekątna sześcianu ma długość a√3.

   $$d=9sqrt3$$

Typowy błąd: Użycie wzoru a√2 na przekątną ściany zamiast a√3 na przekątną sześcianu.

Punktowanie: Zadanie 26. (0–1) Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe III. Wykorzystanie i interpretowanie Zdający: reprezentacji. X.5) oblicza objętości […] graniastosłupów 1. Stosowanie obiektów matematycznych […]. i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie Wersja A Wersja B A D

1. 1
   Ustal pozycję zera

   Liczba ma być trzycyfrowa i nieparzysta, więc 0 nie może być cyfrą setek ani jedności. Musi być cyfrą dziesiątek.

2. 2
   Policz cyfry setek

   Cyfra setek może być dowolną z liczb 1–9: 9 możliwości.

3. 3
   Policz cyfry jedności

   Nieparzysta cyfra jedności to 1, 3, 5, 7 lub 9: 5 możliwości.

   $$9cdot5=45$$

Typowy błąd: Dopuszczenie zera na początku zapisu albo na miejscu jedności mimo warunku nieparzystości.

Punktowanie: Zadanie 27. (0–1) Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe III. Wykorzystanie i interpretowanie Zdający: reprezentacji. XI.2) zlicza obiekty, stosując reguły 2. Dobieranie i tworzenie modeli mnożenia i dodawania […]. matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie Wersja A Wersja B A D

1. 1
   Policz wszystkie wyniki

   Dwa uporządkowane rzuty kostką dają 6·6=36 równoprawdopodobnych wyników.

2. 2
   Wypisz wyniki sprzyjające

   Sumę 11 dają wyłącznie pary (5,6) i (6,5).

3. 3
   Oblicz prawdopodobieństwo

   Dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich wyników.

   P=rac2{36}=rac1{18}

Typowy błąd: Potraktowanie par (5,6) i (6,5) jako jednego wyniku, mimo że rzuty są uporządkowane.

Punktowanie: Zadanie 28. (0–1) Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe III. Wykorzystanie i interpretowanie Zdający: reprezentacji. XII.1) oblicza prawdopodobieństwo 2. Dobieranie i tworzenie modeli w modelu klasycznym. matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie Wersja A Wersja B D B

1. 1
   Oblicz sumę wszystkich liczb

   Średnia 3 dla siedmiu liczb oznacza sumę 7·3.

   $$S=21$$
2. 2
   Dodaj znane liczby

   Suma 1+2+3+4+5 wynosi 15.

3. 3
   Wyznacz x+y

   Odejmujemy sumę znanych składników od sumy wszystkich.

   $$x+y=21-15=6$$

Typowy błąd: Dzielenie sumy x+y przez 7 zamiast odtworzenia całkowitej sumy z podanej średniej.

Punktowanie: Zadanie 29. (0–1) Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe III. Wykorzystanie i interpretowanie Zdający: reprezentacji. XII.2) oblicza średnią arytmetyczną […]. 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie Wersja A Wersja B C A

1. 1
   Wyznacz pozycje środkowe

   Dla 24 wyników mediana jest średnią wartości na pozycjach 12. i 13.

2. 2
   Odczytaj medianę

   Po zsumowaniu liczebności pozycja 12. ma ocenę 4, a 13. ocenę 5.

   Me=rac{4+5}{2}=4{,}5
3. 3
   Odczytaj dominantę

   Najczęściej występuje ocena 6 — uzyskało ją 7 uczniów.

   $$D=6$$

Typowy błąd: Zaokrąglenie mediany 4,5 do 5 albo wskazanie największej oceny bez sprawdzenia jej liczebności.

Punktowanie: Zadanie 30. (0–2) Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Zdający: 1. Interpretowanie i operowanie XII.2) […] znajduje medianę i dominantę. informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel. Zasady oceniania 2 pkt – poprawne uzupełnienie dwóch zdań. 1 pkt – poprawne uzupełnienie jednego zdania. 0 pkt – brak spełnienia powyższych kryteriów. Uwaga: Nie akceptuje się zaokrągleń otrzymanych wyników. Rozwiązanie 1. Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa 4,5. 2. Dominanta ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa 6.

1. 1
   Wyraź trzecią krawędź

   Z warunku x+4+|BF|=15 wynika |BF|=11−x. Dodatnie długości dają 0<x<11.

2. 2
   Zbuduj funkcję pola

   Sumujemy pola trzech par przeciwległych ścian.

   $$P(x)=2[4x+x(11-x)+4(11-x)]=-2x^2+22x+88$$
3. 3
   Znajdź maksimum paraboli

   Współczynnik przy x² jest ujemny, więc maksimum jest w wierzchołku.

   x_w=-rac{22}{2cdot(-2)}=rac{11}{2}in(0,11)

Typowy błąd: Pominięcie dziedziny wynikającej z dodatnich długości albo maksymalizowanie pola podstawy zamiast pola całkowitego.

Punktowanie: Zadanie 31. (0–4) Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe III. Wykorzystanie i interpretowanie Zdający: reprezentacji. XIII) rozwiązuje zadania optymalizacyjne 2. Dobieranie i tworzenie modeli w sytuacjach dających się opisać funkcją matematycznych przy rozwiązywaniu kwadratową. problemów praktycznych i teoretycznych. Zasady oceniania 4 pkt – zastosowanie poprawnej metody i poprawne wyniki, np. 11 𝑃(𝑥) = −2𝑥 2 + 22𝑥 + 88 oraz 𝐷 = (0, 11) oraz 𝑥 = 2 . 3 pkt – wyznaczenie poprawnego wzoru na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 w zależności od zmiennej 𝑥 oraz wyznaczenie dziedziny 𝐷 tej funkcji, np. 𝑃(𝑥) = −2𝑥 2 + 22𝑥 + 88 oraz 𝐷 = (0, 11), ALBO – wyznaczenie poprawnego wzoru na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 w zależności od zmiennej 𝑥 (bez wyznaczonej dziedziny funkcji 𝑃) oraz prawidłowe obliczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka wykresu funkcji 𝑃, 11 np. 𝑃(𝑥) = −2𝑥 2 + 22𝑥 + 88 oraz 𝑥 = . 2 2 pkt – wyznaczenie poprawnego wzoru na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 w zależności od zmiennej 𝑥 (bez wyznaczonej dziedziny funkcji 𝑃), np. 𝑃(𝑥) = −2𝑥 2 + 22𝑥 + 88, ALBO – zapisanie zależności między długościami krawędzi 𝐵𝐹 i 𝐴𝐵 prostopadłościanu oraz wyznaczenie zakresu zmienności 𝑥 , np. 𝑥 + 4 + |𝐵𝐹| = 15 oraz 𝑥 ∈ (0, 11). 1 pkt – zapisanie zależności między długościami krawędzi 𝐵𝐹 i 𝐴𝐵 prostopadłościanu, np. 𝑥 + 4 + |𝐵𝐹| = 15, ALBO – zapisanie wzoru na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu w zależności od długości 𝑥 krawędzi 𝐴𝐵 oraz długości krawędzi 𝐵𝐹 : 𝑃 = 2 ⋅ (4𝑥 + 𝑥 ⋅ |𝐵𝐹| + 4 ⋅ |𝐵𝐹|), ALBO – wyznaczenie zakresu zmienności 𝑥 : 𝑥 ∈ (0, 11). 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający zapisze jedynie zakres zmienności 𝑥 : 𝑥 ∈ (0, 11) oraz zapisze, że 11 szukaną wartością 𝑥 jest liczba , to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. Jeżeli 2 11 zdający zapisze jedynie, że szukaną wartością 𝑥 jest liczba , to otrzymuje 0 punktów 2 za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający nie zapisze pola powierzchni całkowitej prostopadłościanu jako funkcji 𝑃 zmiennej 𝑥 , a jedynie obliczy wartości pola dla wybranych długości krawędzi i na tej podstawie wskaże największą wartość pola, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów (np. za zapisanie zależności między długościami krawędzi 𝐵𝐹 i 𝐴𝐵 prostopadłościanu: 𝑥 + 4 + |𝐵𝐹| = 15). 3. Jeżeli zdający przyjmuje, że ściany 𝐴𝐵𝐹𝐸 oraz 𝐵𝐶𝐺𝐹 są przystającymi prostokątami i na tym opiera swoje rozwiązanie, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za zapisanie zależności między długościami krawędzi 𝐴𝐵 i 𝐵𝐹 oraz za wyznaczenie dziedziny funkcji). 4. Jeżeli zdający zamiast funkcji 𝑃(𝑥) rozważa w całym rozwiązaniu funkcję postaci 1 ⋅ 𝑃(𝑥) albo funkcję pola powierzchni całkowitej w zależności od długości krawędzi 𝐵𝐹 , 2 to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (za związek między długościami krawędzi 𝐴𝐵 i 𝐵𝐹 , za wyznaczenie dziedziny funkcji i za poprawne wyznaczenie argumentu, dla którego pole powierzchni całkowitej jest największe). 5. Jeżeli zdający stosuje rachunek różniczkowy i nie uzasadni, że w punkcie będącym miejscem zerowym pochodnej funkcji 𝑃 jest największa wartość funkcji 𝑃, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie. Za poprawne uzasadnienie, że w punkcie będącym miejscem zerowym pochodnej funkcji 𝑃 jest największa wartość funkcji 𝑃, można uznać sytuację, gdy zdający bada znak pochodnej (np. szkicuje wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznacza na rysunku, np. znakami „+” i „-”, znak pochodnej), oraz: – opisuje przedziały monotoniczności funkcji 𝑃 (słownie lub graficznie – np. przy użyciu strzałek) LUB – zapisuje, że dla wyznaczonego miejsca zerowego pochodnej, funkcja 𝑃 ma maksimum lokalne i jest to jednocześnie jej największa wartość, LUB – zapisuje, że dla wyznaczonego miejsca zerowego pochodnej, funkcja 𝑃 ma maksimum lokalne i jest to jedyne ekstremum tej funkcji. Przykładowe pełne rozwiązanie Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. 𝐻 𝐺 𝐸 𝐹 𝐷 𝐶 4 𝐴 𝑥 𝐵 Suma długości wszystkich trzech krawędzi prostopadłościanu wychodzących z wierzchołka 𝐵 jest równa 15, zatem |𝐴𝐵| + |𝐵𝐶| + |𝐵𝐹| = 15 𝑥 + 4 + |𝐵𝐹| = 15 |𝐵𝐹| = 11 − 𝑥 Pole 𝑃 powierzchni całkowitej prostopadłościanu 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 jest równe 𝑃 = 2 ⋅ (|𝐴𝐵| ∙ |𝐵𝐶| + |𝐴𝐵| ⋅ |𝐵𝐹| + |𝐵𝐶| ⋅ |𝐵𝐹|) Ponieważ |𝐴𝐵| = 𝑥, |𝐵𝐶| = 4, |𝐵𝐹| = 11 − 𝑥 , więc wzór funkcji 𝑃 zmiennej 𝑥 ma postać 𝑃(𝑥) = 2 ⋅ [𝑥 ⋅ 4 + 𝑥 ⋅ (11 − 𝑥) + 4 ⋅ (11 − 𝑥)] 𝑃(𝑥) = 2 ⋅ (4𝑥 + 11𝑥 − 𝑥 2 + 44 − 4𝑥) 𝑃(𝑥) = 2 ⋅ (−𝑥 2 + 11𝑥 + 44) 𝑃(𝑥) = −2𝑥 2 + 22𝑥 + 88 Wyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑃. Z warunków zadania wynika, że: |𝐴𝐵| = 𝑥 > 0 oraz |𝐵𝐹| = 11 − 𝑥 > 0 Zatem 𝑥 > 0 oraz 𝑥 < 11 Zmienna 𝑥 może przyjmować wartości z przedziału 𝐷 = (0, 11). Wykresem funkcji 𝑃 jest fragment paraboli skierowanej ramionami do dołu. Obliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka tej paraboli: −22 −22 11 𝑝= = = ∈ (0, 11) 2 ⋅ (−2) −4 2 11 Zatem funkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla argumentu . 2 Spośród rozważanych prostopadłościanów największe pole powierzchni całkowitej ma ten, 11 w którym 𝑥 = . 2 Ocena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią Obowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez stwierdzonej dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem: I. ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną dyskalkulią (punkty 1.–12.); II. dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną dyskalkulią – egzamin maturalny z matematyki, poziom podstawowy, termin główny 2025. I. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną dyskalkulią 1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z: • błędnego przepisania • przestawienia cyfr • zapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie • przestawienia położenia przecinka • przestawienia położenia znaku liczby. 2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu oddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza umiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania badanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt. 3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę rozwiązania, części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej 1 punkt, zgodnie z kryteriami do poszczególnych zadań. 4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub zapisuje nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne rozumowanie lub stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt za rozwiązanie zadania. 5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu kwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę wyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych. 6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności kwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych. 7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej zdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji kwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania. 8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych lub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie takiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania. 9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na płaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu rozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur geometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie. 10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje prawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych. 11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli podaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia rozwiązania. 12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub geometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która wyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać 1 punkt. II. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną dyskalkulią Zadanie 5. 1 pkt – zapisanie, że 𝑛 = 2𝑙 + 1, oraz przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 do postaci 3(2𝑙 + 1)2 + 2(2𝑙 + 1) + 7. Zadanie 9. 1 pkt – zapisanie równania 13% ⋅ 𝑥 + 11% ⋅ 𝑦 = 146 700. Zadanie 10. 1 pkt – zastosowanie poprawnej metody obliczenia pierwiastków trójmianu kwadratowego 6𝑥 2 − 11𝑥 + 3, tzn. zastosowanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego i obliczenie tych pierwiastków ALBO – konsekwentne (do otrzymanego w wyniku popełnienia błędów o charakterze dyskalkulicznym ujemnego wyróżnika) narysowanie paraboli, ALBO – poprawne rozwiązanie nierówności 3(2𝑥 2 + 1) < 0 (tzn. stosuje się punkt 6. ogólnych zasad oceniania), ALBO – konsekwentne (do wyznaczonych przez siebie pierwiastków oraz rozpatrywanego trójmianu i nierówności) wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności. Uwagi: 1. Jeżeli zdający, rozwiązując nierówność, pomyli porządek liczb na osi liczbowej i zapisze 3 1 zbiór rozwiązań nierówności w postaci ( , ), to może otrzymać 2 punkty za całe 2 3 rozwiązanie. 2. Nie stosuje się uwag 2. i 3. z zasad oceniania arkusza standardowego. 3. Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci 𝑎 + 𝑏√𝑐, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 są liczbami wymiernymi. Zadanie 11. Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego. Zadanie 12.1. 1 pkt – zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑝)2 + 𝑞 oraz zapisanie 𝑝 = 3 oraz 𝑞 = 6. Zadanie 12.3. Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego. Zadanie 15. 2 pkt – zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑚, np.: 2𝑚 + 11 + 5 − 𝑚 = 𝑚2 + 3, 2 (𝑚2 + 3) − (2𝑚 + 11) = (5 − 𝑚) − (𝑚2 + 3), oraz zapisanie co najmniej jednej z trzech nierówności: • 2𝑚 + 11 > 𝑚2 + 3 • 𝑚2 + 3 > 5 − 𝑚 • 2𝑚 + 11 > 5 − 𝑚 1 pkt – zapisanie co najmniej jednej z trzech nierówności: • 2𝑚 + 11 > 𝑚2 + 3 • 𝑚2 + 3 > 5 − 𝑚 • 2𝑚 + 11 > 5 − 𝑚 ALBO – zapisanie równania z dwiema niewiadomymi: 𝑚 oraz 𝑟 (gdzie 𝑟 jest różnicą ciągu arytmetycznego), np. 2𝑚 + 11 + 𝑟 = 𝑚2 + 3. Zadanie 25. 1 pkt – zastosowanie definicji funkcji trygonometrycznej lub związków miarowych w trójkącie o kątach 30°, 60°, 90° i zapisanie równania z jedną niewiadomą (wysokością stożka 𝐻 𝑟 √3 lub promieniem podstawy stożka), np.: = cos 60° , = . 8 8 2 Zadanie 30. Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego. Zadanie 31. 2 pkt – zapisanie zależności między długościami krawędzi 𝐵𝐹 i 𝐴𝐵 prostopadłościanu, np. 𝑥 + 4 + |𝐵𝐹| = 15 oraz zapisanie wzoru na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu w zależności od długości 𝑥 krawędzi 𝐴𝐵 oraz długości krawędzi 𝐵𝐹 : 𝑃 = 2 ⋅ (4𝑥 + 𝑥 ⋅ |𝐵𝐹| + 4 ⋅ |𝐵𝐹|).