Wersja arkusza
MMA-R1_1P-152 · Formuła 2015
Zadanie 11 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-R1_1P-152 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Na rysunku przedstawiony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających
nierówność 2 x − 8 ≤ 10 .
–1 k x
Stąd wynika, że
A. k = 2 B. k =4 C. k = 5 D. k = 9
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 21 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-R1_1P-152 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
x − 2 dla x ≤ 0
Dana jest funkcja f określona wzorem f ( x) =
x + 3 − 4 dla x > 0
Równanie f ( x ) = 1 ma dokładnie
A. jedno rozwiązanie.
B. dwa rozwiązania.
C. cztery rozwiązania.
D. pięć rozwiązań.
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 31 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-R1_1P-152 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
(
Liczba 3 − 2 3 )3 jest równa
A. 27 − 24 3 B. 27 − 30 3 C. 135 − 78 3 D. 135 − 30 3
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 41 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-R1_1P-152 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Równanie 2sin x + 3cos x = 6 w przedziale ( 0, 2π )
A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 51 punktOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-R1_1P-152 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu y = 2 x + 4 jest równa
5 4 5 4
A. B. C. D. 4
5 5 5
Strona 2 z 22 MMA_1R
MMA_1R Strona 3 z 22
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 62 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-R1_1P-152 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
11n3 + 6n + 5 2n 2 + 2n + 1
Oblicz granicę lim 3
− . W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę
n →∞
6n + 1 5n 2 − 4
jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Strona 4 z 22 MMA_1R
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 72 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-R1_1P-152 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
f (6)
Liczby ( −1) i 3 są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej f . Oblicz .
f (12 )
Odpowiedź: .
Nr zadania 6. 7.
Wypełnia Maks. liczba pkt 2 2
egzaminator
Uzyskana liczba pkt
MMA_1R Strona 5 z 22
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 83 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-R1_1P-152 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność
x4 − x2 − 2 x + 3 > 0 .
Strona 6 z 22 MMA_1R
Nr zadania 8.
Wypełnia Maks. liczba pkt 3
egzaminator
Uzyskana liczba pkt
MMA_1R Strona 7 z 22
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 93 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-R1_1P-152 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Dwusieczne czworokąta ABCD wpisanego w okrąg przecinają się w czterech różnych
punktach: P, Q, R, S (zobacz rysunek).
D
A S
P R
Q
B
C
Wykaż, że na czworokącie PQRS można opisać okrąg.
Strona 8 z 22 MMA_1R
Nr zadania 9.
Wypełnia Maks. liczba pkt 3
egzaminator
Uzyskana liczba pkt
MMA_1R Strona 9 z 22
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 104 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-R1_1P-152 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Długości boków czworokąta ABCD są równe: AB = 2 , BC = 3 , CD = 4 , DA = 5 .
Na czworokącie ABCD opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej AC tego czworokąta.
Odpowiedź: .
Strona 10 z 22 MMA_1R
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 114 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-R1_1P-152 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
W pierwszej urnie umieszczono 3 kule białe i 5 kul czarnych, a w drugiej urnie 7 kul białych
i 2 kule czarne. Losujemy jedną kulę z pierwszej urny, przekładamy ją do urny drugiej
i dodatkowo dokładamy do urny drugiej jeszcze dwie kule tego samego koloru, co
wylosowana kula. Następnie losujemy dwie kule z urny drugiej. Oblicz prawdopodobieństwo
zdarzenia polegającego na tym, że obie kule wylosowane z drugiej urny będą białe.
Odpowiedź: .
Nr zadania 10. 11.
Wypełnia Maks. liczba pkt 4 4
egzaminator
Uzyskana liczba pkt
MMA_1R Strona 11 z 22
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 124 punktyOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-R1_1P-152 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Funkcja f określona jest wzorem f ( x) = x 3 − 2 x 2 + 1 dla każdej liczby rzeczywistej x.
Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji f , które są równoległe do prostej
o równaniu y = 4 x .
Strona 12 z 22 MMA_1R
Odpowiedź: .
Nr zadania 12.
Wypełnia Maks. liczba pkt 4
egzaminator
Uzyskana liczba pkt
MMA_1R Strona 13 z 22
Pokaż odpowiedź
Aby styczne były równoległe do prostej o równaniu y = 4 x , ich współczynnik kierunkowy
musi być równy 4. Obliczamy pochodną funkcji f: f ' ( x) = 3x 2 − 4 x .
Współczynnik kierunkowy stycznej jest równy wartości pierwszej pochodnej funkcji
w punkcie styczności. Stąd 4 = f ′ ( x0 ) . Wówczas
3x0 2 − 4 x0 = 4 ,
3x0 2 − 4 x0 − 4 = 0 ,
Δ = 64 ,
2
x0 = − lub x0 = 2 .
3
Istnieją zatem dwie styczne do wykresu funkcji f równoległe do prostej o równaniu y = 4 x
( )5 oraz P = ( 2,1) . Styczne mają zatem równania postaci
w punktach P1 = − 23 , − 27 2
( 3)
5 = 4 x + 2 oraz y − 1 = 4 ( x − 2 ) , czyli y + = 4 x + 67 oraz y = 4 x − 7 .
y + 27 27
67
Odp. Równania prostych stycznych mają postać: y = 4 x + oraz y = 4 x − 7 .
27
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania 1 p.
Zdający
• obliczy pochodną funkcji f: f ' ( x) = 3x 2 − 4 x
albo
• zapisze warunek f ′ ( x0 ) = 4 .
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający obliczy pochodną funkcji f: f ' ( x) = 3x 2 − 4 x i zapisze warunek f ′ ( x0 ) = 4 .
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający rozwiąże równanie 3x0 2 − 4 x0 = 4 i obliczy współrzędne obu punktów styczności:
2 5
P1 = − , − , P2 = ( 2,1)
3 27
Uwaga
Jeżeli zdający korzysta ze wzoru y = f ′ ( x0 ) x + b , gdzie b = f ( x0 ) − f ′ ( x0 ) ⋅ x0 , to obliczenie
współczynnika b traktujemy jak obliczenie drugiej współrzędnej punktu styczności.
Rozwiązanie pełne 4 p.
67
Wyznaczenie równań stycznych: y = 4 x + i y = 4x − 7 .
27
Uwaga
Jeżeli zdający wyznaczy poprawnie współrzędne tylko jednego punktu styczności
i w konsekwencji wyznaczy poprawnie równanie jednej stycznej, to otrzymuje 3 punkty.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 135 punktówOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-R1_1P-152 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Dany jest trójmian kwadratowy f ( x) = (m + 1)x 2 + 2(m − 2)x − m + 4 . Wyznacz wszystkie
wartości parametru m, dla których trójmian f ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1 , x2 ,
spełniające warunek x12 − x2 2 = x14 − x2 4 .
Strona 14 z 22 MMA_1R
Odpowiedź: .
Nr zadania 13.
Wypełnia Maks. liczba pkt 5
egzaminator
Uzyskana liczba pkt
MMA_1R Strona 15 z 22
Pokaż odpowiedź
Z treści zadania wynika, że m + 1 ≠ 0 , czyli m ≠ −1 .
Trójmian f ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, gdy jego wyróżnik jest dodatni, czyli
Δ = ( 2 ( m − 2 ) ) − 4 ⋅ (m + 1) ⋅ ( − m + 4 ) > 0 ,
2
8m 2 − 28m > 0 ,
4m(2m − 7 ) > 0 .
(
Stąd m ∈ ( −∞, 0 ) ∪ 72 , +∞ . )
( )
D = ( −∞, − 1) ∪ ( −1, 0 ) ∪ 72 , + ∞ jest zbiorem wszystkich wartości parametru m, dla których
funkcja f jest trójmianem kwadratowym i ma dwa różne pierwiastki.
Warunek x12 − x 22 = x14 − x 24 możemy zapisać w postaci równoważnej
x12 − x 22 = (x12 + x 22 )(x12 − x 22 ) ,
(x1 − x2 )(x1 + x2 )(1 − (x12 + x22 )) = 0 .
Stąd
x1 − x 2 = 0 lub x1 + x 2 = 0 lub 1 − (x12 + x 22 ) = 0 .
Równość x1 − x 2 = 0 przeczy założeniu x1 ≠ x2 .
Ze wzoru Viète’a na sumę pierwiastków trójmianu kwadratowego możemy równanie
− 2(m − 2)
x1 + x 2 = 0 zapisać w postaci = 0 . Stąd m = 2 ∉ D .
m +1
Równanie 1 − (x12 + x 22 ) = 0 możemy zapisać w postaci równoważnej
( x + x ) − 2x x = 1 .
2
1 2 1 2
Ze wzorów Viète’a otrzymujemy
2
−2(m − 2) −m + 4
− 2⋅ = 1,
m +1 m +1
4 ( m 2 − 4m + 4 ) 2 m − 8
+ −1 = 0 ,
( m + 1)
2
m +1
4m 2 − 16m + 16 + ( 2m − 8 )( m + 1) − ( m + 1) = 0 ,
2
5m 2 − 24m + 7 = 0 .
Rozwiązaniami tego równania są liczby
12 − 109 12 + 109
m1 = ∉ D oraz m2 = ∈D.
5 5
12 + 109
Istnieje zatem jedna wartość parametru m = , dla której trójmian f ma dwa różne
5
pierwiastki rzeczywiste spełniające warunek x12 − x 22 = x14 − x 24 .
Schemat oceniania
Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.
(
Pierwszy z nich polega na rozwiązaniu nierówności Δ > 0 : m ∈ ( −∞, 0 ) ∪ 72 , +∞ . )
Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.
Uwaga
Jeżeli zdający zapisze Δ ≥ 0 , to za tę część otrzymuje 0 punktów.
Drugi etap polega na rozwiązaniu równania x12 − x 22 = x14 − x 24 .
Za tę część rozwiązania zdający otrzymuje 3 punkty.
Podział punktów za drugi etap rozwiązania:
1 punkt zdający otrzymuje za zapisanie równania w postaci:
(x1 − x2 )(x1 + x2 )(1 − (x12 + x22 )) = 0 lub równoważnej.
2 punkty zdający otrzymuje za:
• zapisanie równości x1 − x 2 = 0 i stwierdzenie, że przeczy ona założeniu x1 ≠ x2
albo
− 2(m − 2)
• rozwiązanie równania = 0: m = 2
m +1
albo
2
−2(m − 2) −m + 4
• zapisanie równania 1 − (x + x )
2
1
2
2 = 0 w postaci, np.: − 2⋅ = 1.
m +1 m +1
3 punkty zdający otrzymuje za:
− 2(m − 2)
• rozwiązanie równania = 0: m = 2
m +1
oraz
2
−2(m − 2) −m + 4 12 − 109
• rozwiązanie równania − 2⋅ = 1 : m1 = ,
m +1 m +1 5
12 + 109
m2 = .
5
12 + 109
Trzeci etap polega na wyznaczeniu szukanej wartości parametru m: m = . Za ten
5
etap zdający otrzymuje 1 punkt, o ile poprawnie wykona etapy I i II rozwiązania albo
poprawnie wykona etap I i popełnia błędy w rozwiązaniu równania z etapu II, albo gdy
popełnia błędy w etapie I i dobrze rozwiąże równanie z etapu II.
Uwagi:
1. Akceptujemy rozwiązania, w których zdający nie zapisuje założenia m + 1 ≠ 0 , które
wynika ze sformułowania zadania.
2. Zdający nie musi rozwiązywać nierówności Δ > 0 , o ile sprawdzi czy dla m = 2 ,
12 − 109 12 + 109
m= , m= trójmian ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste.
5 5
3. Jeżeli zdający podzieli obie strony równania x12 − x 22 = x14 − x 24 przez x12 − x22 bez
12 − 109
stosownego założenia i rozwiąże równanie 1 = x12 + x22 , otrzymując m= lub
5
12 + 109
m= , to otrzymuje co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie, przy czym
5
1 punkt może otrzymać za rozwiązanie nierówności Δ > 0 , 1 punkt za zapisanie
równania 1 = x12 + x22 w postaci równania wymiernego z jedną niewiadomą,
2
−2(m − 2) −m + 4
np.: − 2⋅ = 1 oraz 1 punkt za wyznaczenie tego rozwiązania
m +1 m +1
równania, które spełnia nierówność Δ > 0 .
4. Jeżeli zdający nie rozwiązywał nierówności Δ > 0, ale rozwiązał równanie
2
−2(m − 2) −m + 4
− 2⋅ = 1 i sprawdził, dla której z otrzymanych wartości m trójmian ma
m +1 m +1
pierwiastki rzeczywiste, to otrzymuje 3 punkty.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 145 punktówOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-R1_1P-152 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD. Krawędź boczna SD jest wysokością
ostrosłupa, a jej długość jest dwa razy większa od długości krawędzi podstawy. Oblicz sinus
kąta między ścianami bocznymi ABS i CBS tego ostrosłupa.
Strona 16 z 22 MMA_1R
Odpowiedź: .
Nr zadania 14.
Wypełnia Maks. liczba pkt 5
egzaminator
Uzyskana liczba pkt
MMA_1R Strona 17 z 22
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 156 punktówOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-R1_1P-152 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu W ( x) = x 3 + ax 2 + bx + c jest
równa 0. Trzy pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej 3.
Oblicz współczynniki a , b i c . Rozważ wszystkie możliwe przypadki.
Strona 18 z 22 MMA_1R
Odpowiedź: .
Nr zadania 15.
Wypełnia Maks. liczba pkt 6
egzaminator
Uzyskana liczba pkt
MMA_1R Strona 19 z 22
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.
Zadanie 167 punktówOdpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniuMMA-R1_1P-152 · Formuła 2015Matematyka — odpowiedź według zasad CKE
Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 20.
Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz
objętość tego stożka.
Strona 20 z 22 MMA_1R
Odpowiedź: .
Nr zadania 16.
Wypełnia Maks. liczba pkt 7
egzaminator
Uzyskana liczba pkt
MMA_1R Strona 21 z 22
Strona 22 z 22 MMA_1R
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź wymaga sprawdzenia zgodności z oficjalnymi zasadami CKE.Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.