Matematyka 2021 — poziom rozszerzony — Formuła 2015

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 2 pkt – odpowiedź całkowicie poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: Zdający otrzymuje 1 p. 4 gdy podczas przekształcenia wyrażenia log 3 4 lub poprawnie zastosuje wzór na log2 18−1 zamianę podstaw logarytmu lub logarytm ilorazu/iloczynu, lub logarytm potęgi, np.: log 2 4 4 4 log 3 4 = , = , log 3 4 = 2log 3 2 , log 2 18 = log 2 2 + log 2 9 log 2 3 log 2 18 − 1 log 2 18 2 Zdający otrzymuje 2 p. gdy: 4 • przekształci wyrażenie log 3 4 lub lub oba te wyrażenia do takiej postaci, log2 18−1 z której poprzez jednokrotne zastosowanie wzoru na zamianę podstaw logarytmu lub logarytm ilorazu/iloczynu, lub logarytm potęgi oraz ewentualne kilkukrotne przekształcenie wyrażenia wymiernego uzyskuje się tezę ALBO 𝑐−1 • wyznaczy log 2 3 w zależności od 𝑐 : log 2 3 = 2 Zdający otrzymuje 3 p. gdy, stosując poprawną metodę, przeprowadzi pełny dowód. Uwaga: 4 Jeżeli zdający, przy rozpoczęciu przekształcania wyrażenia log 3 4 lub , popełnia log2 18−1 błąd rzeczowy (niepoprawnie zastosuje wzór na zamianę podstaw logarytmu lub logarytm ilorazu/iloczynu, lub logarytm potęgi), lecz w dalszej części rozwiązania każdorazowo stosuje te wzory poprawnie, to może otrzymać za całe rozwiązanie co najwyżej 1 punkt.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: Zdający otrzymuje 1 p. gdy: 2 2𝑥−1 2+2𝑥 12𝑥 −5𝑥−2 • przekształci nierówność ≤ do postaci ≤0 lub 1−𝑥 5𝑥 (1−𝑥)⋅5𝑥 (2𝑥−1)⋅5𝑥−(2+2𝑥)(1−𝑥) (1−𝑥)⋅5𝑥 ≤0 ALBO 2𝑥−1 2+2𝑥 • przekształci nierówność ≤ 5𝑥 , mnożąc obie strony tej nierówności przez 1−𝑥 iloczyn (1 − 𝑥)2 (5𝑥)2 , do postaci 5𝑥 ⋅ (1 − 𝑥)[(2𝑥 − 1) ⋅ 5𝑥 − (2 + 2𝑥) ⋅ (1 − 𝑥)] ≤ 0, gdzie 𝑥 ≠ 0 i 𝑥 ≠ 1 ALBO 2𝑥−1 2+2𝑥 • przyjmie, że 𝑥 ∈ (−∞, 0) ∪ (1, +∞) i przekształci nierówność ≤ 5𝑥 1−𝑥 {mnożąc obie strony nierówności przez iloczyn (1 − 𝑥)5𝑥 } do postaci (2𝑥 − 1) ⋅ 5𝑥 ≥ (2 + 2𝑥)(1 − 𝑥) ALBO 2𝑥−1 2+2𝑥 • przyjmie, że 𝑥 ∈ (0, 1) i przekształci nierówność ≤ 5𝑥 {mnożąc obie strony 1−𝑥 nierówności przez iloczyn (1 − 𝑥)5𝑥 } do postaci (2𝑥 − 1) ⋅ 5𝑥 ≤ (2 + 2𝑥)(1 − 𝑥) Zdający otrzymuje 2p. gdy: 12𝑥2 −5𝑥−2 • przekształci nierówność ≤ 0 lub (1−𝑥)⋅5𝑥 5𝑥 ⋅ (1 − 𝑥)[(2𝑥 − 1) ⋅ 5𝑥 − (2 + 2𝑥) ⋅ (1 − 𝑥)] ≤ 0 do postaci iloczynowej i zapisze 2 1 12 (𝑥 − ) (𝑥 + ) (1 − 𝑥) ⋅ 5𝑥 ≤ 0, gdzie 𝑥 ≠ 0 i 𝑥 ≠ 1 3 4 ALBO • rozwiąże nierówność (2𝑥 − 1)5𝑥 ≥ (2 + 2𝑥)(1 − 𝑥) dla 𝑥 ∈ (−∞, 0) ∪ (1, +∞) i zapisze: 1 𝑥 ∈ (−∞, − ⟩ ∪ (1, +∞) 4 ALBO • rozwiąże nierówność (2𝑥 − 1)5𝑥 ≤ (2 + 2𝑥)(1 − 𝑥) dla 𝑥 ∈ (0, 1) i zapisze: 2 𝑥 ∈ (0, ⟩ 3 ALBO • spełni wymagania za 1 punkt oraz obliczy wszystkie pierwiastki wielomianów 12𝑥 2 − 5𝑥 − 2 i 5𝑥(1 − 𝑥) {albo wielomianów 5𝑥(2𝑥 − 1) i (2 + 2𝑥)(1 − 𝑥) } Zdający otrzymuje 3p. gdy zastosuje poprawną metodę rozwiązania nierówności i otrzyma poprawny wynik: 1 2 𝑥 ∈ (−∞, − ⟩ ∪ (0, ⟩ ∪ (1, +∞). 4 3 Uwagi: 1. Jeśli zdający mnoży obie strony nierówności przez iloczyn mianowników bez rozpatrzenia znaków tego iloczynu, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 2. Jeśli zdający nie wyłączy ze zbioru rozwiązań nierówności liczb 𝑥 = 0 i 𝑥 = 1, to otrzymuje za całe rozwiązanie co najwyżej 2 punkty.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: Zdający otrzymuje 1 p. gdy: • zapisze, że trójkąty 𝐴𝐵𝐸 i 𝐵𝐶𝐷 (lub 𝐸𝐵𝐶 i 𝐷𝐶𝐴) są przystające ALBO • zapisze, że trójkąty 𝐷𝐵𝑃 i 𝐷𝐶𝐵 (lub 𝐸𝐵𝐴) są podobne lub zapisze odpowiednie proporcje wynikające z tego podobieństwa ALBO • wyznaczy długość odcinka 𝐶𝐷 w zależności od |𝐷𝐵|: |𝐶𝐷| = |𝐷𝐵| ⋅ √7 ALBO • zastosuje twierdzenie o stosunku pól trójkątów o tych samych wysokościach (np. 𝑃 |𝐹𝐷| w sposobie 8. zapisze, że 𝐹𝐷𝑃 = ) 𝑃𝐷𝐺𝑃 |𝐷𝐺| ALBO • umieści trójkąt 𝐴𝐵𝐶 w układzie współrzędnych i wyznaczy współrzędne punktów 𝐷 i 𝐸 w zależności od długości boku trójkąta 𝐴𝐵𝐶 ALBO • narysuje odcinek 𝐷𝐹 równoległy do 𝐴𝐶 (sposób 5.) i zapisze, że trójkąty 𝐷𝐺𝑃 i 𝐶𝐸𝑃 (lub trójkąty 𝐷𝐵𝐺 i 𝐴𝐵𝐸 ) są podobne ALBO • narysuje odcinek 𝐺𝐹 równoległy do 𝐴𝐶 (sposób 7.) i zapisze, że trójkąty 𝐺𝐷𝑃 i 𝐴𝐷𝐶 (lub trójkąty 𝐺𝐵𝑃 i 𝐴𝐵𝐸 ) są podobne ALBO • narysuje odcinek 𝐸𝐹 równoległy do 𝐴𝐵 (sposób 4.) i zapisze, że trójkąty 𝐴𝐷𝐶 i 𝐸𝐺𝐶 (lub 𝐷𝐵𝐶 i 𝐺𝐹𝐶 , lub trójkąty 𝐷𝐵𝑃 i 𝐺𝐸𝑃 ) są podobne ALBO • zapisze, że trójkąty 𝐷𝐵𝑃 i 𝐷𝐴𝐹 są podobne (sposób 10.) lub zapisze odpowiednie proporcje wynikające z tego podobieństwa Zdający otrzymuje 2 p. gdy: • zapisze, że trójkąty 𝐷𝐵𝑃 i 𝐷𝐶𝐵 (lub 𝐸𝐵𝐴) są podobne i obliczy skalę ich 1 podobieństwa: 𝑠 = √7 ALBO • zapisze układ nie więcej niż czterech niezależnych równań liniowych prowadzących do uzasadnienia tezy ALBO • zapisze równanie z dwiema niewiadomymi 𝑚 i 𝑎, np. 1 2 1 (3 𝑎) = 𝑚2 + (3𝑚)2 − 2 ∙ 𝑚 ∙ 3𝑚 ∙ 2 (sposób 3.) oraz zapisze, że pole trójkąta 1 𝐷𝐵𝑃 jest równe 𝑃𝐷𝐵𝑃 = 2 ⋅ |𝐷𝑃| ∙ |𝐵𝑃| ∙ sin 60° ALBO |𝐷𝑃| 1 • wyznaczy stosunek długości odcinka 𝐷𝑃 do długości odcinka 𝐶𝐷 : = (sposoby |𝐶𝐷| 7 4., 5., 6. i 7.) ALBO • zapisze w zależności od 𝑥 = 𝑃𝐷𝐺𝑃 pola trójkątów: 𝐹𝐺𝑃 , 𝑃𝐻𝐾 , 𝑀𝑃𝐿, 𝐷𝐵𝑃 i co najmniej jednego z trójkątów 𝐴𝐹𝑃 (lub 𝐴𝑃𝑀 ), 𝑃𝐾𝐶 (lub 𝑃𝐶𝐿): 𝑃𝐹𝐺𝑃 = 3𝑥 , 𝑃𝑃𝐻𝐾 = 12𝑥 , 𝑃𝑀𝑃𝐿 = 48𝑥 , 𝑃𝐷𝐵𝑃 = 7𝑥, 𝑃𝑃𝐹𝑃 = 6𝑥 , 𝑃𝑃𝐾𝐶 = 24𝑥 (sposób 8.) ALBO √3 • obliczy drugą współrzędną punktu 𝑃 w zależności od przyjętej zmiennej: 𝑦𝑃 = 𝑎 14 (sposób 9.) ALBO 1 • zapisze 𝑃𝐷𝐵𝑃 = 𝑃𝑃𝐹𝐵 i 𝑃𝐴𝐵𝐶 = 𝑃𝑃𝑅𝑆 + 𝑃𝐴𝐵𝑆 + 𝑃𝐵𝐶𝑃 + 𝑃𝐶𝐴𝑅 (sposób 10.) 3 Zdający otrzymuje 3 p. gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: Zdający otrzymuje 1 p. gdy: • zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: |Ω| = 9000 ALBO • zastosuje poprawną metodę zliczania elementów zbioru 𝐵, zawierającego wszystkie liczby naturalne czterocyfrowe podzielne przez 18 (np. poprzez wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego, stosowanie cech podzielności liczb całkowitych) ALBO • zastosuje poprawną metodę zliczania elementów zbioru 𝐴 ∩ 𝐵 (np. poprzez wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego, stosowanie cech podzielności liczb całkowitych) ALBO • zapisze, że jeżeli 𝐴 jest zdarzeniem polegającym na wylosowaniu liczby podzielnej przez 15, to iloczyn zdarzeń 𝐴 ∩ 𝐵 oznacza wylosowanie liczby podzielnej przez 90 Zdający otrzymuje 2 p. gdy: • obliczy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐵: |𝐵| = 500 ALBO • obliczy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴 ∩ 𝐵: |𝐴 ∩ 𝐵| = 100 Zdający otrzymuje 3 p. gdy: • obliczy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐵 oraz obliczy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴 ∩ 𝐵: |𝐵| = 500, |𝐴 ∩ 𝐵| = 100 Zdający otrzymuje 4 p. gdy zastosuje poprawną metodę i obliczy szukane prawdopodobieństwo warunkowe: 18 1 𝑃(𝐴|𝐵) = 90 = 5 . Uwagi: 1. Jeśli zdający rozwiąże zadanie, rozpatrując wszystkie liczby naturalne spełniające warunek 1 ≤ 𝑥 ≤ 9999, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeśli zdający, wyznaczając, ile jest liczb podzielnych przez 18 lub 15, rozważa, że są one mniejsze niż 9000, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie. |𝐴∪𝐵| 3. Ignorujemy zapis 𝑃(𝐴|𝐵) = |𝐵| , jeżeli z rozwiązania zdającego jednoznacznie wynika, że zliczał wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające iloczynowi tych zdarzeń. 4. Jeżeli w sposobie zliczania elementów zbioru |𝐵| (lub |𝐴 ∩ 𝐵|) opartym na kolejnych wyrazach ciągu arytmetycznego zdający poprawnie ustala pierwszy i ostatni wyraz ciągu oraz różnicę tego ciągu, to przyjmujemy ten sposób zliczania jest poprawny. Jeżeli natomiast błędnie ustali pierwszy lub ostatni wyraz ciągu, lub różnicę tego ciągu, to sposób uznajemy za niepoprawny. Jeżeli zdający podzieli zbiór wszystkich liczb całkowitych czterocyfrowych na rozłączne niepuste podzbiory i zlicza liczby podzielne przez 18 (lub 90) w każdym z tych podzbiorów, to ten sposób uznajemy za poprawny tylko wtedy, gdy popełni błąd w zliczaniu co najwyżej w jednym z tych podzbiorów.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: Zdający otrzymuje 1 p. gdy: • wyznaczy równanie prostej 𝐴𝐵 , np.: 𝑦 = −7𝑥 + 50 ALBO • obliczy długość odcinka 𝐴𝐵 oraz pole trójkąta 𝐴𝑂𝐵: |𝐴𝐵| = 15√2, 𝑃Δ𝐴𝑂𝐵 = 75 ALBO 1 • wyznaczy równanie prostej prostopadłej do 𝐴𝐵 : 𝑦 = 𝑥 7 Zdający otrzymuje 2 p. gdy: 1 𝑦 = 7𝑥 • zapisze układ równań złożony z równań dwóch prostych: { 𝑦 = −7𝑥 + 50 ALBO • obliczy promień okręgu, korzystając ze wzoru na odległość punktu od prostej lub obliczając wysokość trójkąta 𝐴𝑂𝐵: 𝑟 = 5√2 ALBO • zapisze, że punkt styczności prostej 𝐴𝐵 do okręgu ma współrzędne 𝑃 = (𝑥0 , 𝑓(𝑥0 )) i 𝑓 ′ (𝑥0 ) = −7, gdzie 𝑓(𝑥) = √50 − 𝑥 2 i 50 − 𝑥 2 > 0 ALBO • zapisze odległość 𝑔 (lub kwadrat odległości) punktu (0, 0) od dowolnego punktu prostej 𝐴𝐵 w zależności od jednej zmiennej, np. 𝑔(𝑥) = √𝑥 2 + (−7𝑥 + 50)2 ALBO • wyznaczy równanie prostej 𝐴𝐵 oraz poda współrzędne wektora prostopadłego do prostej 𝐴𝐵 Zdający otrzymuje 3 p. gdy zapisze równanie z jedną niewiadomą, prowadzące do obliczenia współrzędnych punktu 1 1 2 styczności, np.: 𝑥 = −7𝑥 + 50 lub 𝑥 2 + ( 𝑥 ) = 50, lub 𝑥 2 + (−7𝑥 + 50)2 = 50, lub 7 7 −2𝑥 |7⋅0+0−50| = −7, lub √(𝑥 2 + (−7𝑥 + 50)2 ) = 2√50−𝑥2 √72 +12 Zdający otrzymuje 4 p. gdy zastosuje poprawną metodę i obliczy promień okręgu oraz współrzędne punktu styczności prostej 𝐴𝐵 do okręgu: 𝑟 = 5√2, 𝑃 = (7, 1). Uwagi: 1. Jeżeli zdający realizuje strategię rozwiązania i jedynym błędem zdającego, który jednak nie ułatwia zagadnienia na żadnym etapie rozwiązania, jest błąd polegający na: a) zastosowaniu nieistniejącego wzoru √𝑎2 ± 𝑏 2 = 𝑎 ± 𝑏 lub (𝑎 ± 𝑏)2 = 𝑎2 ± 𝑏 2 b) niepoprawnym użyciu współrzędnych punktów 𝐴 i 𝐵 przy wyznaczaniu równania prostej 𝐴𝐵 c) niepoprawnym zastosowaniu wzoru na odległość punktu od prostej lub na odległość dwóch punktów, lub wzoru na pole trójkąta, lub równania okręgu d) niepoprawnym wyznaczeniu współczynnika kierunkowego prostej prostopadłej do danej prostej e) wyznaczeniu jednej z niewiadomych z równania 𝑥 2 + 𝑦 2 = 50 bez koniecznych założeń to zdający otrzymuje co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający wyznaczy równanie prostej 𝐴𝐵 i obliczy promień okręgu stycznego do prostej 𝐴𝐵 , a następnie poda (bez obliczeń) współrzędne punktu styczności, to otrzymuje: – 3 punkty za całe rozwiązanie, jeśli nie sprawdzi rachunkiem, że punkt 𝑃 = (7, 1) należy do prostej 𝐴𝐵 oraz do prostej prostopadłej (lub do prostej 𝐴𝐵 i okręgu) – 4 punkty za całe rozwiązanie, jeśli sprawdzi, wykonując stosowne obliczenia, że punkt 𝑃 = (7, 1) należy do prostej 𝐴𝐵 oraz do prostej prostopadłej (lub do prostej 𝐴𝐵 i okręgu). 3. Jeżeli zdający odczyta z rysunku współrzędne punktu styczności 𝑃 = (7,1) (bez obliczeń) i obliczy długość promienia, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. Jeżeli zdający nie sporządzi rysunku i poda bez stosownych obliczeń współrzędne punktu styczności 𝑃 = (7,1) i obliczy długość promienia, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: Rozwiązanie składa się z trzech etapów. Pierwszy etap polega na rozwiązaniu nierówności Δ > 0: 𝑚 ≠ 1. Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt. Uwaga do pierwszego etapu: Jeżeli zdający rozwiązuje nierówność Δ ≥ 0, to za pierwszy etap otrzymuje 0 punktów. 1 1 Drugi etap polega na rozwiązaniu nierówności 𝑥1 + 𝑥2 ≤ + . 𝑥1 𝑥2 Za poprawne rozwiązanie drugiego etapu zdający otrzymuje 3 punkty. Podział punktów za drugi etap rozwiązania: 1 punkt zdający otrzymuje, gdy: 1 1 𝑥 +𝑥 • przekształci nierówność 𝑥1 + 𝑥2 ≤ + do postaci 𝑥1 + 𝑥2 ≤ 1 2 lub 𝑥1 𝑥2 𝑥1 ⋅𝑥2 (𝑥1 + 𝑥2 ) ⋅ (𝑥1 𝑥2 )2 ≤ (𝑥1 + 𝑥2 )𝑥1 𝑥2 ALBO 1 𝑚 • wyznaczy pierwiastki trójmianu 4𝑥 2 − 2(𝑚 + 1)𝑥 + 𝑚: 𝑥1 = , 𝑥2 = . 2 2 2 punkty zdający otrzymuje, gdy zapisze nierówność z jedną niewiadomą 𝑚: 2(𝑚+1) 2(𝑚 + 1) 4 1 𝑚 2 2(𝑚 + 1) 𝑚 2 2(𝑚 + 1) 𝑚 ≤ 𝑚 lub + ≤2+ lub ⋅( ) ≤ ⋅ 4 2 2 𝑚 4 4 4 4 4 2(𝑚+1) 2(𝑚+1) 4 3 punkty zdający otrzymuje, gdy rozwiąże nierówność ≤ 𝑚 : 4 4 𝑚 ∈ (−∞, −1⟩ ∪ (0, 4⟩. Uwagi do drugiego etapu: 2(𝑚+1) 2(𝑚+1) 4 1. Jeżeli zdający, rozwiązując nierówność ≤ 𝑚 , nie uwzględni warunku 𝑚 ≠ 0, 4 4 to za drugi etap może otrzymać co najwyżej 2 punkty. 2. Jeżeli zdający: 1 1 • mnoży nierówność 𝑥1 + 𝑥2 ≤ 𝑥 + 𝑥 stronami przez iloczyn 𝑥1 ⋅ 𝑥2 bez 1 2 rozpatrzenia znaku tego iloczynu ALBO 𝑥 +𝑥 • dzieli nierówność 𝑥1 + 𝑥2 ≤ 1 2 stronami przez sumę 𝑥1 + 𝑥2 bez rozpatrzenia 𝑥1 ⋅𝑥2 znaku tej sumy to za drugi etap może otrzymać co najwyżej 1 punkt. Trzeci etap polega na wyznaczeniu szukanych wartości parametru 𝑚: 𝑚 ∈ (−∞, −1⟩ ∪ (0, 1) ∪ (1, 4⟩. Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt. Uwagi do trzeciego etapu: 1. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe w etapach I i II (nie otrzymując pustego zbioru rozwiązań ani zbioru ℝ wszystkich liczb rzeczywistych), lecz konsekwentnie wyznaczy iloczyn w etapie III, to za III etap otrzymuje 1 punkt. 2. Zdający może otrzymać 1 punkt za III etap, jeżeli jedynymi błędami jakie popełni w I i II etapie są błędy rachunkowe.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: Zdający otrzymuje 1 p. gdy: √2 • zapisze alternatywę równań cos 𝑥 − sin 𝑥 = 0 lub cos 𝑥 + sin 𝑥 = 2 ALBO • zastosuje wzór na cosinus podwojonego argumentu i zapisze równanie √2 cos 2𝑥 = 2 (cos 𝑥 − sin 𝑥) w postaci √2 (cos 𝑥 − sin 𝑥)(cos 𝑥 + sin 𝑥) = (cos 𝑥 − sin 𝑥) 2 ALBO √2 • zapisze równanie cos 2𝑥 = (cos 𝑥 − sin 𝑥) w postaci 2 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 cos 2𝑥 = cos 𝑥 ⋅ cos − sin 𝑥 ⋅ sin lub cos 2𝑥 = cos 𝑥 ⋅ sin − sin 𝑥 ⋅ cos 4 4 4 4 Zdający otrzymuje 2 p. gdy: √2 • zapisze alternatywę równań cos 𝑥 − sin 𝑥 = 0 lub cos 𝑥 + sin 𝑥 = i spełni jeden 2 z poniższych warunków: 𝜋 1) rozwiąże równanie cos 𝑥 − sin 𝑥 = 0: 𝑥 = + 𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą, 4 𝜋 lub 𝑥 = , 4 √2 𝜋 1 2) przekształci równanie cos 𝑥 + sin 𝑥 = do postaci cos ( − 𝑥) = , 2 4 2 √2 3) skorzysta z „jedynki trygonometrycznej”, zapisze układ równań { cos 𝑥 + sin 𝑥 = 2 sin2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1 i przekształci go do równania, w którym występuje jedna funkcja trygonometryczna zmiennej 𝑥: 2 2 √2 2 2 √2 ( 2 − cos 𝑥) + cos 𝑥 = 1 lub sin 𝑥 + ( 2 − sin𝑥) = 1 1 1 lub 2 cos 2 𝑥 − √2 cos 𝑥 − = 0 lub 2 sin2 𝑥 − √2 sin 𝑥 − 2 = 0 2 ALBO √2 𝜋 • przekształci równanie cos 2𝑥 = (cos 𝑥 − sin 𝑥) do postaci cos 2𝑥 = cos (𝑥 + ) 2 4 Zdający otrzymuje 3 p. gdy: 𝜋 • rozwiąże równanie cos 𝑥 − sin 𝑥 = 0: 𝑥 = + 𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą, lub 4 𝜋 𝑥 = oraz spełni jeden z poniższych warunków: 4 √2 𝜋 1 1) przekształci równanie cos 𝑥 + sin 𝑥 = do postaci cos ( − 𝑥) = 2 4 2 √2 2) skorzysta z „jedynki trygonometrycznej”, zapisze układ równań { cos 𝑥 + sin 𝑥 = 2 sin2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1 i przekształci go do równania, w którym występuje jedna funkcja trygonometryczna zmiennej 𝑥: 2 2 √2 2 2 √2 ( 2 − cos 𝑥) + cos 𝑥 = 1 lub sin 𝑥 + ( 2 − sin𝑥) = 1 1 1 lub 2 cos 2 𝑥 − √2 cos 𝑥 − = 0 lub 2 sin2 𝑥 − √2 sin 𝑥 − 2 = 0 2 ALBO √2 • zapisze alternatywę równań cos 𝑥 − sin 𝑥 = 0 lub cos 𝑥 + sin 𝑥 = oraz zapisze 2 √2 poprawnie jedną serię rozwiązań równania cos 𝑥 + sin 𝑥 = 2 : 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 − 𝑥 = 3 + 2𝑘𝜋 lub 4 − 𝑥 = − 3 + 2𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą 4 ALBO 𝜋 • zapisze poprawnie jedną serię rozwiązań równania cos 2𝑥 = cos (𝑥 + 4): 𝜋 𝜋 2𝑥 = 𝑥 + 4 + 2𝑘𝜋 lub 2𝑥 = − (𝑥 + 4) + 2𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą (bez wyznaczenia rozwiązań z danego przedziału), albo zapisze poprawnie jedno 𝜋 7𝜋 rozwiązanie w przedziale 〈0, 𝜋〉: lub . 4 12 ALBO 𝜋 • zastosuje wzór na różnicę cosinusów i przekształci równanie cos 2𝑥 = cos (𝑥 + ) 4 do postaci: 𝜋 𝜋 2𝑥 + 𝑥 + 4 2𝑥 − 𝑥 − 4 −2 sin ( ) ⋅ sin ( )=0 2 2 Zdający otrzymuje 4 p. gdy: 𝜋 • rozwiąże równanie cos 𝑥 − sin 𝑥 = 0 w przedziale 〈0, 𝜋〉: i spełni jeden 4 z poniższych warunków: 𝜋 1 1) rozwiąże równanie cos ( − 𝑥) = i poda dwie serie rozwiązań: 4 2 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 − 𝑥 = + 2𝑘𝜋 oraz − 𝑥 = − + 2𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą (bez 4 3 4 3 wyznaczenia rozwiązań z danego przedziału) 1 2) przekształci równanie 2 sin2 𝑥 − √2 sin 𝑥 − = 0 do alternatywy: 2 √2+√6 √2−√6 sin 𝑥 = 4 lub sin 𝑥 = 4 ALBO 1 przekształci równanie 2 cos 2 𝑥 − √2 cos 𝑥 − = 0 do alternatywy: 2 √2+√6 √2−√6 cos 𝑥 = 4 lub cos 𝑥 = 4 ALBO 𝜋 • zapisze poprawnie dwie serie rozwiązań równania cos 2𝑥 = cos (𝑥 + 4): 𝜋 𝜋 2𝑥 = 𝑥 + 4 + 2𝑘𝜋 oraz 2𝑥 = − (𝑥 + 4) + 2𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą (bez wyznaczenia rozwiązań z danego przedziału) ALBO 3 𝜋 7𝜋 • rozwiąże równanie sin ( 𝑥 + ) = 0 w przedziale 〈0, 𝜋〉: 2 8 12 ALBO 1 𝜋 𝜋 • rozwiąże równanie sin ( 𝑥 − ) = 0 w przedziale 〈0, 𝜋〉: 2 8 4 ALBO 3 𝜋 1 𝜋 • zapisze poprawnie dwie serie rozwiązań równań sin ( 𝑥 + ) = 0 i sin ( 𝑥 − ) = 0: 2 8 2 8 𝜋 2 𝜋 𝑥 = − 12 + 3 𝑘𝜋 oraz 𝑥 = 4 + 2𝑘𝜋 , gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą Zdający otrzymuje 5 p. √2 gdy zastosuje poprawną metodę rozwiązania równania cos 2𝑥 = (cos 𝑥 − sin 𝑥) i poda 2 𝜋 7𝜋 prawidłowe rozwiązania w przedziale 〈0, 𝜋〉: , . 4 12 Uwagi: 1. Jeśli zdający zapisze równanie √2 (cos 𝑥 − sin 𝑥)(cos 𝑥 + sin 𝑥) = (cos 𝑥 − sin 𝑥) 2 i podzieli obie strony równania przez cos 𝑥 − sin 𝑥 (bez rozstrzygania sytuacji, gdy √2 cos 𝑥 = sin 𝑥), otrzyma równanie cos 𝑥 + sin 𝑥 = 2 i doprowadzi rozwiązanie do końca, to traktujemy to jako błąd merytoryczny, nie przekreślający całości rozwiązania i zdający może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest błąd przy przepisywaniu wzoru trygonometrycznego, np. zapisuje sinus sumy argumentów zamiast sinusa ich różnicy, i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca, to zdający może otrzymać 3 punkty za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający, rozwiązując jedno z otrzymanych równań, stosuje metodę analizy √2 starożytnych, np. podnosi obie strony równania cos 𝑥 + sin 𝑥 = do kwadratu i nie 2 odrzuci rozwiązań obcych, to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 3 punkty.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: Zdający otrzymuje 1 p. gdy: • zapisze zależność między długościami boków trójkąta 𝐴𝐵𝐶 , wykorzystując warunek 𝑎+𝑏−𝑐 1 dotyczący promienia, np.: = 5𝑐 2 ALBO • zapisze zależności między długościami boków trójkąta 𝐴𝐵𝐶 , długościami dwóch odcinków stycznych i promieniem okręgu wpisanego w trójkąt , np. 𝑎 = 𝑥 + 𝑟 , 𝑏 = 𝑦 + 𝑟, 5𝑟 = 𝑥 + 𝑦 ALBO 𝛼 𝛽 𝛼 𝑟 𝛽 𝑟 • zapisze tangensy kątów i w zależności od 𝑟, 𝑥 i 𝑦, np.: tg = , tg = 2 2 2 𝑦 2 𝑥 Zdający otrzymuje 2 p. gdy: • zapisze równanie kwadratowe z dwiema niewiadomymi wynikające z zastosowania twierdzenia Pitagorasa, np.: 2 7 𝑎2 + (5 𝑐 − 𝑎) = 𝑐 2 lub 𝑎2 + (7𝑟 − 𝑎)2 = (5𝑟)2 ALBO • zapisze równanie trygonometryczne prowadzące do wyznaczenia kąta ostrego trójkąta, np.: 7 sin 𝛼 + cos 𝛼 = 5 ALBO • zapisze równanie trygonometryczne prowadzące do wyznaczenia kąta ostrego trójkąta, np.: 𝛼 1 1 + tg 2 𝛼+ 𝛼 =5 tg 2 1 − tg 2 ALBO • zapisze równanie trygonometryczne prowadzące do wyznaczenia kąta ostrego trójkąta, np.: 25 ∙ sin2𝛼 = 24 Zdający otrzymuje 3 p. gdy: 3 4 • rozwiąże otrzymane równanie kwadratowe (np.: 𝑎 = 𝑐 lub 𝑎 = 𝑐 ) lub obliczy stosunek 5 5 𝑎 3 𝑎 4 dwóch różnych boków trójkąta, np.: = lub = 𝑐 5 𝑐 5 ALBO • rozwiąże otrzymane równanie kwadratowe i obliczy zależność między długością przyprostokątnej trójkąta i promieniem okręgu wpisanego, np.: 𝑎 = 4𝑟 lub 𝑎 = 3𝑟 ALBO • zapisze równanie, w którym występuje tylko sinus/cosinus kąta ostrego trójkąta, np. 2 7 sin2 𝛼 + (5 − sinα) = 1 ALBO 1 1+tg(𝛼2) 𝛼 𝛼 1 𝛼 1 • rozwiąże równanie + = 5 z niewiadomą tg 2: tg 2 = 3 lub tg 2 = 2 tg(𝛼) 1−tg(𝛼) 2 2 ALBO • zapisze dwa równania z tą samą niewiadomą 7 7 1 − 2sin2 𝛼 = 25 lub 1 − 2sin2 𝛼 = − 25. Zdający otrzymuje 4 p. 4 gdy zastosuje poprawną metodę i obliczy wartość sinusa większego z kątów ostrych trójkąta: . 5 Uwagi: 1. Jeżeli zdający, realizując strategię rozwiązania zadania, popełnia błędy rachunkowe, które nie przekreślają poprawności rozumowania i doprowadza rozwiązanie do końca to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie. 4 2. Jeżeli zdający rozwiąże zadanie do końca i w odpowiedzi zapisuje: sin 𝛼 = oraz 5 3 sin 𝛽 = 5, to otrzymuje 3 punkty za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający, realizując strategię rozwiązania zadania, popełni błąd merytoryczny i doprowadza rozwiązanie do końca, to może otrzymać maksymalnie 2 punkty za całe rozwiązanie, o ile wcześniej zdający nie nabył praw do otrzymania 3 punktów. 4. Jeżeli zdający zapisze bez uzasadnienia, że boki trójkąta mają długości 3𝑟, 4𝑟, 5𝑟 i w odpowiedzi poda sinus większego z kątów ostrych, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. 5. Jeżeli zdający błędnie założy, że 𝑟 > 𝑐 , to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: dla podpunktu a) Zdający otrzymuje 1 p. gdy zapisze współrzędne punktu 𝐶 w zależności od zmiennej 𝑚: 𝐶 = (𝑚, 𝑚2 ). Zdający otrzymuje 2 p. gdy: • wyznaczy wysokość ℎ𝐶 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 opuszczoną z wierzchołka 𝐶 w zależności |𝑚−𝑚2 +2| od 𝑚: ℎ𝐶 = √2 ALBO • wyznaczy współrzędne dwóch wektorów zaczepionych w jednym z wierzchołków trójkąta 𝐴𝐵𝐶 , rozpinających trójkąt 𝐴𝐵𝐶 , np. ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 = [𝑚, 𝑚2 − 2], ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = [1, 1] ALBO • wyznaczy długości odcinków 𝐴𝐶 i 𝐵𝐶 w zależności od zmiennej 𝑚 oraz wyznaczy długość odcinka 𝐴𝐵 : |𝐴𝐶| = √𝑚2 + (𝑚2 − 2)2 , |𝐵𝐶| = √(𝑚 − 1)2 + (𝑚2 − 3)2 , |𝐴𝐵| = √2 Zdający otrzymuje 3 p. gdy zastosuje poprawną metodę i zapisze wzór na pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 w zależności od zmiennej 𝑚: 1 𝑃(𝑚) = ⋅ |𝑚2 − 𝑚 − 2| dla 𝑚 ≠ −1 i 𝑚 ≠ 2 2 Uwagi: 1. Jeżeli zdający wyznaczy poprawny wzór funkcji 𝑃(𝑚), lecz nie poda dziedziny tej funkcji, to może za rozwiązanie podpunktu a) otrzymać 3 punkty. 2. Jeżeli zdający przyjmuje 𝐶 = (𝑥, 𝑥 2 ), konsekwentnie rozwiązuje podpunkt a) zadania do 1 końca, otrzymując 𝑃(𝑥) = ⋅ |𝑥 2 − 𝑥 − 2|, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty. 2 Zasady oceniania dla podpunktu b) Zdający otrzymuje 1 p. gdy: • zauważy, że trójkąt ten jest ostrokątny wtedy i tylko wtedy, gdy punkt 𝐶 leży na jednym z fragmentów 𝑀1 𝑀2 lub 𝑁1 𝑁2 paraboli ALBO • zapisze równania prostych prostopadłych do prostej 𝐴𝐵 przechodzących przez punkt 𝐴 i 𝐵 ALBO • zapisze, że w każdym z rozpatrywanych trójkątów 𝐴𝐵𝐶 kąt przy wierzchołku 𝐶 jest ostry i zapisze warunki na to, żeby kąty przy wierzchołkach 𝐴 i 𝐵 były ostre ALBO • zapisze warunki na to, aby kąty przy wierzchołkach 𝐴, 𝐵 i 𝐶 były ostre, np.: cos|∡𝐶𝐴𝐵| > 0 oraz cos|∡𝐴𝐵𝐶| > 0 oraz cos|∡𝐴𝐶𝐵| > 0 lub ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ cos|∡(𝐴𝐵, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐵 𝐴𝐶 )| > 0 oraz cos|∡(𝐶𝐴, ⃗⃗⃗⃗⃗ )| > 0 oraz cos|∡(𝐵𝐴, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ )| > 0 lub ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 > 0 oraz ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ > 0 oraz ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐴 ⋅ 𝐶𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ > 0 𝐵𝐴 ⋅ 𝐵𝐶 lub |𝐴𝐵|2 + |𝐵𝐶|2 > |𝐶𝐴|2, |𝐵𝐶|2 + |𝐶𝐴|2 > |𝐴𝐵|2, |𝐴𝐶|2 + |𝐴𝐵|2 > |𝐵𝐶|2 Zdający otrzymuje 2 p. gdy: • wyznaczy równania prostych 𝑀1 𝑁1 oraz 𝑀2 𝑁2 oraz obliczy odcięte co najmniej dwóch punktów spośród 𝑀1 , 𝑁1 , 𝑀2 , 𝑁2 i stwierdzi, że trójkąt ten jest ostrokątny wtedy i tylko wtedy, gdy punkt 𝐶 leży na jednym z fragmentów 𝑀1 𝑀2 lub 𝑁1 𝑁2 paraboli ALBO • zapisze układ nierówności: 𝑚2 + (𝑚2 − 2)2 + 2 − (𝑚 − 1)2 − (𝑚2 − 3)2 > 0 i (𝑚 − 1)2 + (𝑚2 − 3)2 + 2 − 𝑚2 − (𝑚2 − 2)2 > 0 i 𝑚2 + (𝑚2 − 2)2 + (𝑚 − 1)2 + (𝑚2 − 3)2 − 2 > 0 ALBO • stwierdzi, że w każdym z rozpatrywanych trójkątów 𝐴𝐵𝐶 kąt przy wierzchołku 𝐶 jest ostry oraz zapisze układ nierówności: 𝑚2 + (𝑚2 − 2)2 + 2 − (𝑚 − 1)2 − (𝑚2 − 3)2 > 0 i (𝑚 − 1)2 + (𝑚2 − 3)2 + 2 − 𝑚2 − (𝑚2 − 2)2 > 0 ALBO • zapisze układ nierówności: 𝑚2 + 𝑚 − 2 > 0 i 𝑚4 − 4𝑚2 − 𝑚 + 6 > 0 i −𝑚2 − 𝑚 + 4 > 0 Zdający otrzymuje 3 p. gdy zastosuje poprawną metodę i wyznaczy wartości 𝑚 dla których trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest ostrokątny: −1−√17 −1+√17 𝑚∈( , −2) ∪ (1, ). 2 2 Uwaga: Jeżeli zdający, rozwiązując część b) sposobem 1., nie stwierdzi, że kąt przy wierzchołku 𝐶 jest zawsze ostry, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: Rozwiązanie zadania optymalizacyjnego składa się z trzech etapów: - zbudowanie modelu opisującego sytuację podaną w zadaniu - zbadanie modelu i jego własności - przeprowadzenie końcowych obliczeń. Pierwszy etap składa się z trzech kroków. Krok pierwszy: przyjęcie jednego z wymiarów zbiornika (𝑥 – długość krawędzi podstawy zbiornika, ℎ – wysokość zbiornika) za zmienną badanej funkcji i obliczenie drugiego wymiaru zbiornika: 144 ℎ= 𝑥2 lub 144 𝑥=√ ℎ Krok drugi: zapisanie funkcji kosztu wykonania 𝑓 zbiornika za pomocą jednej zmiennej: 144 𝑓(𝑥) = 100𝑥 2 + 4𝑥 ⋅ ⋅ 75 𝑥2 lub 144 144 𝑓(ℎ) = 100 ⋅ +4⋅√ ⋅ ℎ ⋅ 75 ℎ ℎ 16 Krok trzeci: ustalenie dziedziny funkcji 𝑓 : 𝐷𝑥 = [4, 9] lub 𝐷ℎ = [ , 9]. 9 Drugi etap składa się z trzech kroków. Krok pierwszy: wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓 : 43200 216 𝑓 ′ (𝑥) = 200𝑥 − = 200 (𝑥 − ) 𝑥2 𝑥2 lub 14400 1800 𝑓 ′ (ℎ) = − + ℎ2 √ℎ Krok drugi: zastosowanie warunku koniecznego istnienia ekstremum funkcji 𝑓 – obliczenie miejsc zerowych pochodnej: 𝑥 = 6 (lub ℎ = 4) Krok trzeci: zbadanie znaku pochodnej funkcji 𝑓 : 𝑓 ′ (𝑥) > 0 dla 𝑥 ∈ (6, 9), 𝑓 ′ (𝑥) < 0 dla 𝑥 ∈ (4, 6) lub 𝑓 ′ (ℎ) > 0 dla ℎ ∈ (4, 9), 16 𝑓 ′ (ℎ) < 0 dla ℎ ∈ ( 9 , 4) oraz wyznaczenie (z uzasadnieniem) wartości zmiennej 𝑥 (lub zmiennej ℎ), dla której funkcja 𝑓 przyjmuje wartość najmniejszą, np.: funkcja 𝑓 zmiennej 𝑥 (określona na przedziale [4, 9]) jest malejąca w przedziale [4, 6] oraz rosnąca w przedziale [6, 9], więc w punkcie 𝑥 = 6 funkcja 𝑓 osiąga najmniejszą wartość. LUB 16 16 funkcja 𝑓 zmiennej ℎ (określona na przedziale [ , 9])jest malejąca w przedziale [ 9 , 4] 9 oraz rosnąca w przedziale [4, 9], więc w punkcie ℎ = 4 funkcja 𝑓 osiąga najmniejszą wartość. Za poprawne wykonanie każdego z tych kroków zdający otrzymuje 1 punkt, o ile poprzednie kroki też były wykonane poprawnie. Etap trzeci polega na obliczeniu wymiarów zbiornika, przy których koszt wykonania zbiornika jest najmniejszy: 𝑥 = 6, ℎ = 4. Za poprawne wykonanie trzeciego etapu zdający otrzymuje 1 punkt. Uwagi: 1. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak. 2. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja posiada wartość najmniejszą dla wyznaczonej wartości 𝑥 (czy też ℎ), przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuacje, gdy zdający: a) opisuje słownie lub graficznie (np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji 𝑓 ; LUB b) zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑥 (czy też ℎ) funkcja 𝑓 ma minimum lokalne i jest to jednocześnie jej najmniejsza wartość. Jeżeli zdający nie przedstawi takiego uzasadnienia, to za II etap może otrzymać co najwyżej 2 punkty. 3. Jeżeli zdający wyznacza metodą prób i błędów wymiary zbiornika, przy których koszt wykonania zbiornika będzie najmniejszy, to otrzymuje 0 punktów za II i III etap.. 𝑏 4. Jeżeli zdający rozpatruje funkcję kosztów postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + (gdzie 𝑎 > 0, 𝑏 > 0), 𝑥 nie uwzględniając wszystkich ścian bocznych lub uwzględniając dwie podstawy, to może otrzymać co najwyżej 5 punktów za całe rozwiązanie (nie otrzymuje punktów za drugi krok pierwszego etapu oraz za trzeci etap). 5. Jeżeli zdający rozpatruje funkcję pola zamiast funkcji kosztów, to może otrzymać co najwyżej 5 punktów za całe rozwiązanie (nie otrzymuje punktów za drugi krok pierwszego 𝑏 etapu oraz za trzeci etap). Jeżeli zdający rozpatruje funkcję pola postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑥 (gdzie 𝑎 > 0, 𝑏 > 0), nie uwzględniając wszystkich ścian bocznych lub uwzględniając dwie podstawy, to może otrzymać co najwyżej 4 punkty za całe rozwiązanie (nie otrzymuje punktów za drugi krok pierwszego etapu, trzeci krok drugiego etapu oraz za trzeci etap). 6. Jeżeli zdający uzasadnia istnienie najmniejszej wartości funkcji kosztów w zbiorze 𝑅\{0} , to nie otrzymuje punktu za trzeci krok drugiego etapu.