Matematyka 2022 — poziom rozszerzony — Formuła 2015

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 2 pkt – odpowiedź całkowicie poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: Zdający otrzymuje 1 pkt gdy: • zastosuje wzór na różnicę sześcianów i zapisze nierówność w postaci (2𝑥 − 𝑦)(4𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 ) + 2𝑥𝑦(2𝑥 − 𝑦) ≥ 0 lub (2𝑥 − 𝑦)(4𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 ) ≥ −2𝑥𝑦(2𝑥 − 𝑦) ALBO • zastosuje wzór na sześcian różnicy i zapisze nierówność w postaci (2𝑥 − 𝑦)3 + 8𝑥𝑦(2𝑥 − 𝑦) ≥ 0 lub (2𝑥 − 𝑦)3 ≥ −8𝑥𝑦(2𝑥 − 𝑦), ALBO • przekształci nierówność do postaci 2𝑥(4𝑥 2 − 𝑦 2 ) + 𝑦(4𝑥 2 − 𝑦 2 ) ≥ 0 lub 2𝑥(4𝑥 2 − 𝑦 2 ) ≥ −𝑦(4𝑥 2 − 𝑦 2 ), lub 4𝑥 2 (2𝑥 + 𝑦) − 𝑦 2 (2𝑥 + 𝑦) ≥ 0, lub 4𝑥 2 (2𝑥 + 𝑦) ≥ 𝑦 2 (2𝑥 + 𝑦). Zdający otrzymuje 2 pkt gdy przekształci nierówność do postaci (2𝑥 − 𝑦)(2𝑥 + 𝑦)2 ≥ 0. Zdający otrzymuje 3 pkt gdy przeprowadzi pełne rozumowanie – zdający musi spełnić warunek określony w zasadach oceniania za 2 punkty oraz uzasadnić, że (2𝑥 − 𝑦) > 0, powołując się na założenie, oraz zapisać, że kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny. Uwaga: Jeśli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości 𝑥 i 𝑦, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: Zdający otrzymuje 1 pkt gdy: • zapisze przedziały (−∞, 3) oraz ⟨3, +∞) i co najmniej w jednym z nich zapisze poprawną postać równania bez użycia symbolu wartości bezwzględnej ALBO • zapisze alternatywę równań 𝑥 − 3 = 2𝑥 + 11 lub 𝑥 − 3 = −2𝑥 − 11 i rozwiąże 8 oba otrzymane równania: 𝑥 = −14 lub 𝑥 = − , 3 ALBO 8 • zapisze równanie (𝑥 − 3)2 = (2𝑥 + 11)2 i rozwiąże je: 𝑥 = −14 lub 𝑥 = − , 3 ALBO • zapisze alternatywę równań 𝑥 − 3 = 2𝑥 + 11 lub 𝑥 − 3 = −2𝑥 − 11 i zapisze założenie 2𝑥 + 11 ≥ 0, ALBO • narysuje w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji 𝑓 i 𝑔 określonych wzorami 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 3| oraz 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 11. Zdający otrzymuje 2 pkt gdy: • w każdym z przedziałów (−∞, 3) oraz ⟨3, +∞) zapisze poprawną postać równania |𝑥 − 3| = 2𝑥 + 11 bez użycia symbolu wartości bezwzględnej i w jednym z tych przedziałów rozwiąże równanie ALBO • rozwiąże alternatywę równań 𝑥 − 3 = 2𝑥 + 11 lub 𝑥 − 3 = −2𝑥 − 11 i sprawdzi rachunkowo, czy otrzymane liczby są rozwiązaniami równania |𝑥 − 3| = 2𝑥 + 11, ale w trakcie rozwiązania popełni błędy rachunkowe, ALBO • zapisze alternatywę równań 𝑥 − 3 = 2𝑥 + 11 lub 𝑥 − 3 = −2𝑥 − 11 i założenie 8 2𝑥 + 11 ≥ 0 oraz rozwiąże oba równania: 𝑥 = −14 lub 𝑥 = − 3, ALBO 8 • zapisze odciętą punktu przecięcia wykresów funkcji 𝑓 i 𝑔: 𝑥 = − . 3 Zdający otrzymuje 3 pkt gdy zastosuje poprawną metodę rozwiązania równania i otrzyma prawidłowy wynik: 8 8 𝑥 = − 3, a w przypadku metody graficznej sprawdzi rachunkowo, że liczba (− 3) jest rozwiązaniem równania. Uwagi: 1. Jeśli zdający opuści symbol wartości bezwzględnej, nie uwzględniając w żaden sposób przedziału, w którym odpowiednie wyrażenie jest dodatnie/ujemne, i w rezultacie zapisze jedynie alternatywę 𝑥 − 3 = 2𝑥 + 11 lub 𝑥 − 3 = −2𝑥 − 11 i na tym poprzestanie, to otrzymuje 0 punktów. 2. Jeśli zdający rozwiązuje równanie w przedziałach (−∞ , 3) oraz (3, +∞) i nie rozważa przypadku 𝑥 = 3, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie. 3. Jeśli zdający rozwiązuje równanie w przedziałach (−∞, 0) oraz ⟨0, +∞), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 4. Jeśli zdający przedstawia dwa rozwiązania, z których jedno jest w pełni poprawne, a drugie niekompletne/błędne, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: Zdający otrzymuje 1 pkt gdy spełni jeden z poniższych warunków: 1) zapisze związek między długością jednej z podstaw trapezu a promieniem 𝑅2 okręgu opisanego na trójkącie 𝐶𝑃𝐷 (lub promieniem 𝑅1 okręgu opisanego na |𝐶𝐷| |𝐶𝐷|+2 |𝐴𝐵|−2 |𝐴𝐵| |𝐴𝐵| |𝐴𝐵|−2 trójkącie 𝐴𝑃𝐵 ), np. = 𝑅 +3 , 𝑅 = 𝑅 +3 , 𝑅 = 𝑅 −3 𝑅2 2 2 2 1 1 2) zapisze związki między długościami podstaw trapezu, promieniami okręgów opisanych na trójkątach 𝐴𝐵𝑃 i 𝐶𝐷𝑃 oraz związek między długościami podstaw |𝐴𝐵| |𝐶𝐷| trapezu i promieniami okręgów, np. |𝐴𝐵| = |𝐶𝐷| + 2 i 𝑅1 = 𝑅2 + 3 i = 𝑅 , 𝑅1 2 |𝐴𝐵| |𝐶𝐷| 3) zapisze związki: = 2𝑅1 , sin 𝛼 = 2𝑅2, |𝐶𝐷| + 2 = |𝐴𝐵|, 𝑅1 = 𝑅2 + 3, sin 𝛼 4) zapisze równanie z dwiema niewiadomymi – długością jednej z podstaw trapezu |𝐶𝐷| |𝐶𝐷|+2 i sinusem kąta 𝛼 , np. = sin 𝛼 − 6, sin 𝛼 4√2 5) zapisze warunek cos 𝛼 = jako warunek równoważny tezie. 6 Zdający otrzymuje 2 pkt gdy: • gdy spełni jeden z warunków 1)–4) zapisanych w zasadach oceniania za 1 punkt 1 oraz obliczy sin 𝛼 : sin 𝛼 = 3 ALBO • zastosuje twierdzenie cosinusów do trójkąta 𝐴𝑆1 𝐵 i obliczy wartość cosinusa kąta 7 środkowego opartego na tym samym łuku, co kąt 𝐴𝑃𝐵 : cos 2𝛼 = (sposób 4.). 9 Zdający otrzymuje 3 pkt gdy przeprowadzi pełne rozumowanie. Uwagi: 1. Jeśli zdający wprowadzi do rozwiązania dodatkowe założenia, nie wynikające z treści zadania, i korzysta z tych założeń, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów, o ile nie nabył praw do innej punktacji. 1 2. Jeśli zdający w wyniku popełnionego błędu otrzyma równość sin 𝛼 = , to może 3 otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: Zdający otrzymuje 1 pkt gdy: • zapisze równanie z niewiadomą 𝑚 wynikające z warunków zadania: 4 ⋅ (−2)3 − 6 ⋅ (−2)2 − (5𝑚 + 1) ⋅ (−2) − 2𝑚 = −30 ALBO • wyznaczy resztę z dzielenia wielomianu 𝑊 przez dwumian (𝑥 + 2) i zapisze równanie −2𝑚 + 2(5𝑚 − 27) = −30. Zdający otrzymuje 2 pkt gdy obliczy 𝑚: 𝑚 = 3. Zdający otrzymuje 3 pkt gdy obliczy/poda wszystkie pierwiastki wielomianu 𝑊(𝑥) = 4𝑥 3 − 6𝑥 2 − 16𝑥 − 6: 1 𝑥1 = −1, 𝑥2 = − 2 , 𝑥3 = 3. Zdający otrzymuje 4 pkt 1 gdy rozwiąże nierówność 𝑊(𝑥) ≥ 0: 𝑥 ∈ ⟨−1, − ⟩ ∪ 〈3, +∞〉. 2 Uwagi: 1. Jeżeli zdający poprawnie interpretuje warunki zadania 𝑊(−2) = −30, ale popełnia błędy rachunkowe, zapisując równanie wynikające z tego warunku, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający popełnia błąd w interpretacji warunków zadania, zapisując np. 𝑊(2) = −30, w konsekwencji którego zapisuje błędne równanie wynikające z tego warunku, lecz otrzyma wielomian o trzech różnych pierwiastkach i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający w wyniku błędów rachunkowych przekształci wielomian 𝑊 do postaci, w której otrzymany wielomian ma co najwyżej dwa pierwiastki (jeden dwukrotny i jeden pierwiastek jednokrotny), to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej: 3 punkty – jeśli uwzględnia krotności pierwiastków, 2 punkty – jeśli nie uwzględnia krotności pierwiastków.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: dla sposobów 1. i 2. Zdający otrzymuje 1 pkt gdy: 2 • obliczy iloraz 𝑞 ciągu (𝑎𝑛 ): 𝑞 = 5 ALBO • zapisze 𝑏1 + 3𝑟 = 𝑏4 , ALBO 𝑏 +𝑏 2𝑏 +24𝑟 • zapisze 𝑆25 = 1 25 ⋅ 25 lub 𝑆25 = 1 ⋅ 25. 2 2 Zdający otrzymuje 2 pkt gdy: • zapisze równanie z dwiema niewiadomymi 𝑏1 i 𝑟, np. 𝑏1 + 3𝑟 = 108, 2𝑏 +24𝑟 1125 = 1 2 ⋅ 25 ALBO 2𝑏 +24𝑟 • zapisze 𝑆25 = 1 ⋅ 25 oraz 𝑏1 + 3𝑟 = 𝑏4 . 2 Zdający otrzymuje 3 pkt gdy zapisze układ dwóch niezależnych równań z dwiema niewiadomymi 𝑏1 i 𝑟, np. 2𝑏 +24𝑟 𝑏1 + 3𝑟 = 108 oraz 1125 = 1 2 ⋅ 25. Zdający otrzymuje 4 pkt gdy obliczy 𝑏1 : 𝑏1 = 129. Uwagi: 1. Jeżeli zdający myli własności ciągu arytmetycznego z własnościami ciągu geometrycznego, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 2. Jeśli zdający rozpatruje przypadek 𝑞 = 0 i w ostatecznej odpowiedzi nie odrzuca otrzymanej z tego przypadku wartości 𝑏1 , to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie. 3. Jeśli zdający, obliczając iloraz ciągu (𝑎𝑛 ), popełni błąd i otrzyma jedynie wartość ilorazu 𝑞 spoza przedziału (−1, 1), to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie. 4. Jeśli zdający, obliczając iloraz ciągu (𝑎𝑛 ), popełni błąd i uzyska wartość ilorazu ze zbioru (−1,0) ∪ (0,1), to może otrzymać za całe rozwiązanie co najwyżej: 3 punkty – gdy popełni jedynie błąd rachunkowy (lub błąd nieuwagi), 2 punkty – gdy popełni błąd rzeczowy.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: Zdający otrzymuje 1 pkt gdy: • przekształci równoważnie równanie sin 𝑥 + sin 2𝑥 + sin 3𝑥 = 0, stosując wzór na sumę sinusów lub sinus sumy, lub sinus różnicy, lub sinus podwojonego kąta, lub sinus potrojonego kąta, np.: 2 sin 2𝑥 cos(−𝑥) + sin 2𝑥 = 0 lub 2 sin(1,5𝑥) cos(−0,5𝑥) + sin 3𝑥 = 0, lub sin 𝑥 + 2 sin(2,5𝑥) cos(−0,5𝑥) = 0, lub sin 𝑥 + sin 2𝑥 + sin 𝑥 cos 2𝑥 + cos 𝑥 sin 2𝑥 = 0, lub sin 2𝑥 cos 𝑥 − cos 2𝑥 sin 𝑥 + sin 2𝑥 + sin 𝑥 cos 2𝑥 + cos 𝑥 sin 2𝑥 = 0, lub sin 𝑥 + sin 2𝑥 + 2 sin(1,5𝑥) cos(1,5𝑥) = 0, lub sin 𝑥 + sin 2𝑥 + 3 sin 𝑥 − 4 sin3 𝑥 = 0, ALBO 𝜋 • poda dwie spośród liczb: 0, , 𝜋, i zapisze, że podane liczby spełniają równanie. 2 Zdający otrzymuje 2 pkt gdy przekształci równanie sin 𝑥 + sin 2𝑥 + sin 3𝑥 = 0 do postaci alternatywy równań trygonometrycznych, np.: sin 2𝑥 = 0 lub 2 cos 𝑥 + 1 = 0, sin(1,5𝑥) = 0 lub cos(−0,5𝑥) + cos(1, 5𝑥) = 0, cos(0,5𝑥) = 0 lub sin(0,5𝑥) + sin(2,5𝑥) = 0, sin 𝑥 = 0 lub 4 cos 2 𝑥 + 2 cos 𝑥 = 0. Zdający otrzymuje 3 pkt gdy: • przekształci równanie sin 𝑥 + sin 2𝑥 + sin 3𝑥 = 0 do postaci alternatywy równań trygonometrycznych i rozwiąże każde z tych równań w zbiorze liczb rzeczywistych ALBO • przekształci równanie sin 𝑥 + sin 2𝑥 + sin 3𝑥 = 0 do postaci alternatywy równań trygonometrycznych i rozwiąże jedno z tych równań w przedziale ⟨0, 𝜋⟩. Zdający otrzymuje 4 pkt gdy zastosuje poprawną metodę rozwiązania równania sin 𝑥 + sin 2𝑥 + sin 3𝑥 = 0 𝜋 2𝜋 i otrzyma poprawny zbiór rozwiązań w przedziale ⟨0, 𝜋⟩: {0, , , 𝜋 }. 2 3 Uwagi: 1. Jeśli zdający popełnia jednokrotnie błąd polegający na: • niepoprawnym zastosowaniu wzorów trygonometrycznych na: sinus sumy/różnicy lub sumę/różnicę sinusów, lub sinus podwojonego/potrojonego kąta ALBO • błędnym zastosowaniu nieparzystości/parzystości funkcji trygonometrycznej i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca oraz otrzyma co najmniej trzy rozwiązania z przedziału ⟨0, 𝜋⟩, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie, o ile nie nabył praw do innej punktacji. 2. Jeśli zdający zastępuje cos 𝑥 przez √1 − sin2 𝑥 i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, otrzymując co najmniej trzy rozwiązania z przedziału ⟨0, 𝜋⟩, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie. 3. Jeśli zdający dzieli obie strony równania przez wyrażenie 𝑎(𝑥) zawierające niewiadomą 𝑥 i nie rozważa przypadku 𝑎(𝑥) = 0, ale konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca i otrzyma co najmniej trzy rozwiązania z przedziału ⟨0, 𝜋⟩, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: Zdający otrzymuje 1 pkt gdy: • poprawnie rozwiąże nierówność ∆ > 0: 𝑚 ≠ 1 (dla sposobu 1.) ALBO 1 1 1 1 • przekształci warunek + + 2 = + do postaci pozwalającej bezpośrednio 𝑥1 𝑥2 𝑥1 𝑥22 2 2 𝑥1 +𝑥2 (𝑥 +𝑥 ) −2𝑥1 ⋅𝑥2 zastosować wzory Viète’a, np. +2= 1 2 2 𝑥1 ⋅𝑥2 (𝑥 ⋅𝑥 ) 1 2 (dla sposobów 1. i 2.), ALBO • wyznaczy pierwiastki trójmianu 𝑥 2 − (𝑚 + 1)𝑥 + 𝑚: 𝑥1 = 1, 𝑥2 = 𝑚 (dla sposobu 2.). Zdający otrzymuje 2 pkt gdy: • poprawnie rozwiąże nierówność ∆ > 0: 𝑚 ≠ 1 oraz 1 1 1 1 przekształci warunek + + 2 = 2 + 2 do postaci pozwalającej bezpośrednio 𝑥1 𝑥2 𝑥1 𝑥2 2 𝑥1 +𝑥2 (𝑥1 +𝑥2 ) −2𝑥1 ⋅𝑥2 zastosować wzory Viète’a, np. +2= 2 𝑥1 ⋅𝑥2 (𝑥 ⋅𝑥 ) 1 2 (dla sposobu 1.) ALBO • zapisze równanie z jedną niewiadomą 𝑚, np. 2 𝑚+1 (𝑚+1) −2𝑚 1 1 +2= 2 ,1+ +2= 1+ 2 𝑚 𝑚 𝑚 𝑚 (dla sposobów 1. i 2.), ALBO • wyznaczy pierwiastki trójmianu 𝑥 2 − (𝑚 + 1)𝑥 + 𝑚: 𝑥1 = 1 lub 𝑥2 = 𝑚 oraz zapisze, że 𝑥1 ≠ 𝑥2 dla 𝑚 ≠ 1 (dla sposobu 2.). Zdający otrzymuje 3 pkt gdy: • poprawnie rozwiąże nierówność ∆ > 0: 𝑚 ≠ 1 oraz zapisze równanie z jedną niewiadomą 𝑚, np. 2 𝑚+1 (𝑚+1) −2𝑚 1 1 +2= 2 ,1+ +2= 1+ 2 𝑚 𝑚 𝑚 𝑚 (dla sposobu 1.) ALBO • zapisze równanie 2𝑚2 +𝑚−1 2𝑚2 + 𝑚 − 1 = 0 lub = 0 lub 𝑚(2𝑚2 + 𝑚 − 1) = 0 𝑚2 (dla sposobów 1. i 2.), ALBO • zapisze, że 𝑥1 ≠ 𝑥2 dla 𝑚 ≠ 1 oraz zapisze równanie z jedną niewiadomą 𝑚, np. 2 𝑚+1 (𝑚+1) −2𝑚 1 1 +2= 2 ,1+ +2= 1+ 2 𝑚 𝑚 𝑚 𝑚 (dla sposobu 2.). Zdający otrzymuje 4 pkt gdy: • poprawnie rozwiąże nierówność ∆ > 0: 𝑚 ≠ 1 oraz gdy zapisze równanie 2𝑚2 +𝑚−1 2𝑚2 + 𝑚 − 1 = 0 lub = 0 lub 𝑚(2𝑚2 + 𝑚 − 1) = 0 𝑚2 (dla sposobu 1.) ALBO 2 𝑚+1 (𝑚+1) −2𝑚 1 1 • rozwiąże równanie +2= 2 lub 1 + + 2 = 1 + 2 : 𝑚 𝑚 𝑚 𝑚 1 𝑚 = −1 lub 𝑚 = 2 (dla sposobów 1. i 2.), ALBO • zapisze, że 𝑥1 ≠ 𝑥2 dla 𝑚 ≠ 1 oraz zapisze równanie 2𝑚2 +𝑚−1 2𝑚2 + 𝑚 − 1 = 0 lub = 0 lub 𝑚(2𝑚2 + 𝑚 − 1) = 0 𝑚2 (dla sposobu 2.). Zdający otrzymuje 5 pkt gdy spełni następujące cztery warunki: 1) zapisze 𝑚 ≠ 0 2 𝑚+1 (𝑚+1) −2𝑚 1 1 2) rozwiąże równanie +2= lub 1 + + 2 = 1 + 2 : 𝑚 𝑚2 𝑚 𝑚 1 𝑚 = −1 lub 𝑚 = 2 3) rozwiąże nierówność ∆ > 0 LUB wyznaczy wartości parametru 𝑚, dla których 𝑥1 ≠ 𝑥2 : 𝑚 ≠ 1 oraz sprawdzi, że otrzymane wartości parametru 𝑚 spełniają warunki zadania 1 4) zapisze poprawną odpowiedź: 𝑚 = −1 lub 𝑚 = . 2 Uwagi: 1. Jeśli zdający wprowadza dodatkowe założenie, nie wynikające z warunków zadania (np. 𝑥1 + 𝑥2 ≠ 0), to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 4 punkty. 2. Jeśli zdający stosuje błędną tożsamość: 𝑥12 + 𝑥22 = (𝑥1 + 𝑥2 )2 i zamiast 2 2 𝑥1 +𝑥2 (𝑥1 +𝑥2 ) −2𝑥1 ⋅𝑥2 𝑥1 +𝑥2 (𝑥1 +𝑥2 ) + 2 = 2 otrzyma + 2 = 2 oraz doprowadzi 𝑥1 ⋅𝑥2 (𝑥 ⋅𝑥 ) 𝑥1 ⋅𝑥2 (𝑥 ⋅𝑥 ) 1 2 1 2 rozwiązanie konsekwentnie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie. 3. Jeśli zdający, wyznaczając pierwiastki trójmianu 𝑥1 = 1 oraz 𝑥2 = 𝑚, przyjmuje błędnie √Δ = 𝑚 − 1, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie. 1 1 1 1 4. Jeśli zdający przy przekształcaniu warunku + + 2 = 2 + 2 do postaci 𝑥1 𝑥2 𝑥1 𝑥2 pozwalającej na zastosowanie wzorów Viète’a popełni błąd, w konsekwencji którego otrzymuje równanie liniowe z niewiadomą 𝑚, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za poprawne zastosowanie wzorów Viète’a oraz rozwiązanie warunku Δ > 0). 1 1 1 1 5. Jeśli zdający poprawnie przekształci warunek + + 2 = 2 + 2 i zapisze 𝑥1 𝑥2 𝑥1 𝑥2 poprawne równanie z niewiadomą 𝑚, lecz w dalszej części popełnia błąd prowadzący do otrzymania równania liniowego z niewiadomą 𝑚, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: Zdający otrzymuje 1 pkt gdy spełni jeden z poniższych warunków: 5 1) obliczy cos 𝛼 : cos 𝛼 = 13 2) wyznaczy lub obliczy iloczyn długości przekątnych 𝐴𝐹 i 𝐴𝐻 : 2𝑃 |𝐴𝐹| ⋅ |𝐴𝐻| = Δ𝐴𝐹𝐻 lub |𝐴𝐹| ⋅ |𝐴𝐻| = 57,2 sin 𝛼 3) zapisze związek między długością przekątnej podstawy graniastosłupa i długościami krawędzi jego podstawy oraz związek między długością przekątnej jednej ze ścian bocznych graniastosłupa a długościami krawędzi tej ściany bocznej, np.: |𝐵𝐷|2 = |𝐴𝐵|2 + |𝐴𝐷|2 i |𝐴𝐻|2 = ℎ2 + |𝐴𝐷|2 (lub |𝐵𝐷|2 = |𝐴𝐵|2 + |𝐴𝐷|2 i |𝐴𝐹|2 = ℎ2 + |𝐴𝐵|2 ) 4) zapisze równość wynikającą z twierdzenia cosinusów dla trójkąta 𝐴𝐹𝐻 : |𝐹𝐻|2 = |𝐴𝐻|2 + |𝐴𝐹|2 − 2 ⋅ |𝐴𝐻| ⋅ |𝐴𝐹| ⋅ cos 𝛼 . Zdający otrzymuje 2 pkt gdy spełni dwa spośród warunków 1)–4) określonych w zasadach oceniania za 1 punkt. Zdający otrzymuje 3 pkt gdy spełni warunek 4) oraz dwa spośród warunków 1)–3) określonych w zasadach oceniania za 1 punkt. Zdający otrzymuje 4 pkt gdy: • spełni wszystkie warunki od 1) do 4) określone w zasadach oceniania za 1 punkt ALBO • zapisze równość, której bezpośrednie przekształcenie prowadzi do obliczenia 5 wysokości graniastosłupa, np. ℎ2 = √𝑎2 + ℎ2 ⋅ √𝑏 2 + ℎ2 . 13 Zdający otrzymuje 5 pkt gdy zastosuje poprawną metodę i obliczy wysokość ℎ graniastosłupa: ℎ = √22. Uwagi: 1. Jeśli zdający niepoprawnie stosuje twierdzenie Pitagorasa lub twierdzenie cosinusów, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać za całe rozwiązanie co najwyżej 3 punkty. 2. Jeśli zdający zakłada, że |𝐴𝐻| = |𝐴𝐹| albo że czworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest kwadratem i korzysta z tego, to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 3 punkty. 3. Jeśli zdający zakłada, że trójkąt 𝐴𝐹𝐻 jest prostokątny i z tego założenia korzysta, to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 1 punkt (gdy spełni trzecie kryterium zasad oceniania za 1 punkt). 1 4. Jeśli zdający pomija współczynnik we wzorze na pole trójkąta, to może otrzymać za 2 całe rozwiązanie co najwyżej 4 punkty. 5. Jeśli zdający przyjmuje konkretne wartości długości krawędzi graniastosłupa, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: Zdający otrzymuje 1 pkt gdy: • obliczy odległość punktu 𝐴 od prostej 𝑦 = 𝑥 − 1: 𝑑 = 3√2 ALBO • gdy zapisze współrzędne punktu 𝐵 lub 𝐶 w zależności od jednej zmiennej, np. 𝐵 = (𝑥𝐵 , 𝑥𝐵 − 1), 𝐶 = (𝑥𝐶 , 𝑥𝐶 − 1), ALBO • zapisze równanie z niewiadomymi 𝑥𝐵 , 𝑦𝐵 , 𝑥𝐶 , 𝑦𝐶 wynikające z warunków zadania, np. 1 ⋅ |(𝑥𝐵 + 3) ∙ (𝑦𝐶 − 2) − (𝑦𝐵 − 2) ∙ (𝑥𝐶 + 3)| = 15 2 LUB √(𝑥𝐶 + 3)2 + (𝑦𝐶 − 2)2 = √(𝑥𝐶 − 𝑥𝐵 )2 + (𝑦𝐶 − 𝑦𝐵 )2 Zdający otrzymuje 2 pkt gdy: • obliczy odległość 𝑑 punktu 𝐴 od prostej 𝑦 = 𝑥 − 1 oraz obliczy długości odcinków 𝐴𝐶 i 𝐵𝐶 : |𝐵𝐶| = 5√2, 𝑑 = 3√2 ALBO • zapisze równanie z niewiadomymi 𝑥𝐵 i 𝑥𝐶 , np. 1 ⋅ |(𝑥𝐵 + 3) ∙ (𝑥𝐶 − 3) − (𝑥𝐵 − 3) ∙ (𝑥𝐶 + 3)| = 15 2 LUB √(𝑥𝐶 + 3)2 + (𝑥𝐶 − 3)2 = √(𝑥𝐶 − 𝑥𝐵 )2 + (𝑥𝐶 − 𝑥𝐵 )2 ALBO • wyznaczy równanie prostej 𝐶𝑆, w którym współczynniki są zależne od 𝑥𝐵 : 𝑥 +1 𝑥 +3 𝑥 −3 𝑦 − 𝐵2 = − 𝑥𝐵 −3 ⋅ (𝑥 − 𝐵2 ) (sposób 3.), 𝐵 ALBO • zapisze układ dwóch równań z czterema niewiadomymi 𝑥𝐵 , 𝑦𝐵 , 𝑥𝐶 , 𝑦𝐶 , np. 1 ⋅ |(𝑥𝐵 + 3) ∙ (𝑦𝐶 − 2) − (𝑦𝐵 − 2) ∙ (𝑥𝐶 + 3)| = 15 2 i √(𝑥𝐶 + 3)2 + (𝑦𝐶 − 2)2 = √(𝑥𝐶 − 𝑥𝐵 )2 + (𝑦𝐶 − 𝑦𝐵 )2 . Zdający otrzymuje 3 pkt gdy: • zapisze równanie, w którym niewiadomymi są współrzędne 𝑥𝐶 oraz 𝑦𝐶 punktu 𝐶 , np. √(𝑥𝐶 + 3)2 + (𝑦𝐶 − 2)2 = 5√2 ALBO • wyznaczy odległość 𝐴𝐶 w zależności od pierwszej współrzędnej punktu 𝐶 : 2 |𝐴𝐶 | = √(𝑥𝐶 − (−3)) + (𝑥𝐶 − 1 − 2)2 oraz obliczy odległość 𝑑 punktu 𝐴 od prostej 𝑦 = 𝑥 − 1: 𝑑 = 3√2, ALBO • zapisze układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi 𝑥𝐵 i 𝑥𝐶 , np. 1 ⋅ |(𝑥𝐵 + 3) ∙ (𝑥𝐶 − 3) − (𝑥𝐵 − 3) ∙ (𝑥𝐶 + 3)| = 15 2 i √(𝑥𝐶 + 3)2 + (𝑥𝐶 − 3)2 = √(𝑥𝐶 − 𝑥𝐵 )2 + (𝑥𝐶 − 𝑥𝐵 )2 , ALBO • wyznaczy współrzędne punktu 𝐶 w zależności od 𝑥𝐵 : 𝑥 2 −9 𝑥 2 −2𝑥 −9 𝐵 𝐶 = ( 2𝑥 , 𝐵 2𝑥 𝐵 ) (sposób 3.), 𝐵 𝐵 ALBO • zapisze jedno z równań z dwiema niewiadomymi 𝑥𝐵 i 𝑦𝐵 : √(𝑥𝐵 − 0)2 + (𝑦𝐵 + 1)2 = √2 lub √(𝑥𝐵 − 0)2 + (𝑦𝐵 + 1)2 = 9√2 (sposób 4.), ALBO • zapisze równanie z dwiema niewiadomymi 𝑥𝐶 i 𝑦𝐶 : √(𝑥𝐶 − 0)2 + (𝑦𝐶 + 1)2 = 4√2 (sposób 4.). Zdający otrzymuje 4 pkt gdy: • zapisze równanie z jedną niewiadomą, pozwalające wyznaczyć współrzędne punktu 𝐶 lub punktu 𝐵, np. √(𝑥𝐶 + 3)2 + (𝑥𝐶 − 3)2 = 5√2 LUB √(4 − 𝑥𝐵 )2 + (4 − 𝑥𝐵 )2 = 5√2, LUB √(𝑥𝐶 − 0)2 + (𝑥𝐶 − 1 + 1)2 = 4√2 ALBO • zapisze równanie z niewiadomą 𝑥𝐵 : 2 2 𝑥 2 −9 𝑥 −3 𝑥 2 −2𝑥 −9 𝑥 +1 ((𝑥𝐵 + 3)2 + (𝑥𝐵 − 3)2 ) (( 𝐵 − 𝐵2 ) + ( 𝐵 2𝑥 𝐵 − 𝐵2 ) ) = 900 (sposób 3.), 2𝑥𝐵 𝐵 ALBO • zapisze dwa równania z niewiadomą 𝑥𝐵 : √(𝑥𝐵 − 0)2 + (𝑥𝐵 − 1 + 1)2 = √2 i √(𝑥𝐵 − 0)2 + (𝑥𝐵 − 1 + 1)2 = 9√2 (sposób 4.). Zdający otrzymuje 5 pkt gdy nie utożsamia żadnego wierzchołka 𝐵 z żadnym z wierzchołków 𝐶 (ani 𝐶 z 𝐵) oraz spełni jeden z poniższych warunków: 1) obliczy odcięte punktów 𝐶1 i 𝐶2 2) obliczy odcięte punktów 𝐵1 , 𝐵2 , 𝐵3 , 𝐵4 3) obliczy odciętą jednego z punktów 𝐶 i odcięte odpowiadających temu punktowi dwóch punktów 𝐵 4) obliczy odcięte dwóch punktów 𝐵 i odcięte punktów 𝐶 , odpowiadających tym punktom 𝐵. Zdający otrzymuje 6 pkt gdy obliczy współrzędne punktów 𝐵 i 𝐶 oraz zapisze te punkty w odpowiednich parach: 𝐶 = (4, 3) i 𝐵 = (−1, −2) oraz 𝐶 = (4, 3) i 𝐵 = (9, 8), oraz 𝐶 = (−4, −5) i 𝐵 = (1, 0), oraz 𝐶 = (−4, −5) i 𝐵 = (−9, −10). Uwagi: 1. Jeśli zdający obliczy długości odcinków 𝐴𝐷 , 𝐴𝐶 i 𝐶𝐷 (punkt 𝐷 jest rzutem prostokątnym punktu 𝐴 na prostą o równaniu 𝑦 = 𝑥 − 1) i odczyta współrzędne punktu 𝐶 z rysunku, gubiąc jedno rozwiązanie, to otrzymuje 4 punkty. 2. Jeśli zdający rozważa trójkąt równoramienny 𝐴𝐵𝐶 , w którym |𝐴𝐵| = |𝐴𝐶|, to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 1 punkt (za obliczenie odległości punktu 𝐴 od prostej 𝐵𝐶 lub zapisanie współrzędnych punktu 𝐵 (lub 𝐶 ) za pomocą jednej zmiennej, 1 lub zapisanie równania ⋅ |(𝑥𝐵 + 3) ∙ (𝑦𝐶 − 2) − (𝑦𝐵 − 2) ∙ (𝑥𝐶 + 3)| = 15), o ile nie 2 nabył praw do innej punktacji. 3. Jeśli zdający popełni w rozwiązaniu błąd merytoryczny (np. zamiana miejscami współrzędnych punktu, błędne zastosowanie wzoru na odległość punktu od prostej, błędne zastosowanie wzorów skróconego mnożenia, stosowanie nieistniejącego wzoru √𝑡 + 𝑢 = √𝑡 + √𝑢, błędnie zapisana równość wynikająca z twierdzenia Pitagorasa) i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 4 punkty. 4. Jeśli zdający popełni w rozwiązaniu błąd rachunkowy, w konsekwencji którego otrzymuje dwie pary punktów, to może otrzymać co najwyżej 5 punktów. 5. Jeśli zdający narysuje w układzie współrzędnych prostą o równaniu 𝑦 = 𝑥 − 1, zaznaczy punkt 𝐴 oraz jedną parę punktów 𝐵 i 𝐶 i na tej podstawie zapisze współrzędne wierzchołków 𝐵 i 𝐶 jednego z trójkątów spełniających warunki zadania oraz sprawdzi rachunkiem, że pole tego trójkąta jest równe 15, to otrzymuje 1 punkt.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: dla sposobu 1. Część a) Zdający otrzymuje 1 pkt gdy wyznaczy i zapisze długość 𝑎 podstawy oraz wysokość ℎ trójkąta w zależności od długości 𝑏 ramienia trójkąta: 𝑎 = 18 − 2𝑏, ℎ = √18𝑏 − 81. Zdający otrzymuje 2 pkt gdy zapisze pole trójkąta jako funkcję jednej zmiennej 𝑏: (18 − 2𝑏) ⋅ √18𝑏 − 81 √(18 − 2𝑏)2 (18𝑏 − 81) 𝑃(𝑏) = = 2 2 Część b) Zdający otrzymuje 1 pkt 9 gdy poprawnie wyznaczy dziedzinę funkcji 𝑃: ( , 9). 2 Część c) Zdający otrzymuje 1 pkt gdy wyznaczy wzór pochodnej funkcji 𝑓 , np. 𝑓 ′ (𝑏) = (−72 + 8𝑏)(18𝑏 − 81) + (324 − 72𝑏 + 4𝑏 2 ) ∙ 18 lub 𝑓 ′ (𝑏) = 216𝑏 2 − 3240𝑏 + 11664, lub 𝑓 ′ (𝑏) = 216(𝑏 2 − 15𝑏 + 54). Zdający otrzymuje 2 pkt gdy obliczy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑓 : 𝑏 = 6. Zdający otrzymuje 3 pkt 9 gdy zbada znak pochodnej funkcji 𝑓 : 𝑓 ′ (𝑏) > 0 dla 𝑏 ∈ ( , 6) oraz 𝑓 ′ (𝑏) < 0 dla 2 𝑏 ∈ (6, 9) oraz wyznaczy (z uzasadnieniem) wartość zmiennej 𝑏, dla której funkcja 𝑓 osiąga wartość największą, np. 9 9 funkcja 𝑓 zmiennej 𝑏 (określona na przedziale ( , 9)) jest rosnąca w przedziale ( , 6] 2 2 oraz malejąca w przedziale [6, 9), więc w punkcie 𝑏 = 6 osiąga największą wartość. Zdający otrzymuje 4 pkt gdy zapisze, że długość podstawy i ramienia trójkąta o największym polu są równe odpowiednio 𝑎 = 6 i 𝑏 = 6. Uwagi do części c): 1. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak i zaznaczając na rysunku, np. znakami „+” i „-”, znak pochodnej. 2. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja posiada wartość największą dla wyznaczonej wartości 𝑏, przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy zdający: – opisuje (słownie lub graficznie -np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji 𝑓 lub – zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑏 funkcja 𝑓 ma maksimum lokalne i jest to jednocześnie jej największa wartość. Jeżeli zdający nie przedstawi takiego uzasadnienia, to za część c) może otrzymać co najwyżej 3 punkty. 3. Jeśli zdający błędnie wyznaczy dziedzinę funkcji 𝑃 zmiennej 𝑏, to może otrzymać punkt za dwa ostatnie kroki w części c) tylko wtedy, gdy wyznaczone przez zdającego miejsce zerowe pochodnej należy do części wspólnej wyznaczonej przez zdającego dziedziny 9 i przedziału ( , 9). 2 4. Jeśli zdający uzasadnia istnienie największej wartości funkcji pola trójkąta w zbiorze ℝ, to nie otrzymuje punktu za krok trzeci w części c). (18−2𝑏)(18𝑏−81) 5. Jeśli w części c) zdający bada błędną funkcję , np. 𝑓(𝑏) = , to za 2 część c) otrzymuje 0 punktów. Zasady oceniania dla sposobu 2. Część a) Zdający otrzymuje 1 pkt gdy zapisze długość 𝑎 podstawy w zależności od długości 𝑏 ramienia trójkąta oraz 2𝑏+𝑎 długości potrzebnych do zastosowania wzoru Herona : 𝑎 = 18 − 2𝑏, 𝑝 = , 2 2𝑏−𝑎 𝑎 𝑝−𝑎 = 2 ,𝑝−𝑏 =2. Zdający otrzymuje 2 pkt gdy zapisze pole trójkąta jako funkcję jednej zmiennej 𝑏: (18 − 2𝑏) ⋅ √18𝑏 − 81 √(18 − 2𝑏)2 (18𝑏 − 81) 𝑃(𝑏) = = 2 2 Część b) Zdający otrzymuje 1 pkt 9 gdy poprawnie wyznaczy dziedzinę funkcji 𝑃: ( , 9). 2 Część c) Zdający otrzymuje 1 pkt gdy zapisze zależność między średnią arytmetyczną i średnią geometryczną : 2𝑏 − 9 + 9 − 𝑏 + 9 − 𝑏 3 ≥ √(2𝑏 − 9) ∙ (9 − 𝑏) ∙ (9 − 𝑏) 3 Zdający otrzymuje 2 pkt gdy obliczy 𝑏 , dla którego zachodzi równość średniej arytmetycznej i geometrycznej: 𝑏 = 6. Zdający otrzymuje 3 pkt gdy uzasadni, że dla 𝑏 = 6 funkcja 𝑃 osiąga wartość największą. Zdający otrzymuje 4 pkt gdy zapisze, że długość podstawy i ramienia trójkąta o największym polu są równe odpowiednio 𝑎 = 6, 𝑏 = 6.