Matematyka 2023 — poziom rozszerzony

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 2 pkt – zapisanie wzoru funkcji 𝑚: 𝑚(𝑡) = 4 ⋅ 0,81𝑡 oraz obliczenie liczby pełnych dni/dób, po których masa substancji będzie mniejsza od 1,5 grama: 5 dób. 1 pkt – zapisanie wzoru funkcji 𝑚: 𝑚(𝑡) = 4 ⋅ 0,81𝑡 ALBO – obliczenie liczby dób, po których masa substancji będzie mniejsza od 1,5 grama: 5 dób. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwaga: Jeżeli jedynym błędem zdającego jest ustalenie niepoprawnego wzoru funkcji w postaci 𝑚(𝑡) = 4 ⋅ 0,81𝑡−1 i zdający konsekwentnie do popełnionego błędu oblicza liczbę dób, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 3 pkt – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: . 64 2 pkt – zapisanie poprawnego prawdopodobieństwa uzyskania co najmniej czterech 5 1 4 3 1 5 1 5 sukcesów w pięciu próbach Bernoullego, np. 𝑃 = ( ) ⋅ ( ) ⋅ ( ) + ( ) ⋅ ( ) , 4 4 4 5 4 4 5 1 3 1 𝑃 = 5 ⋅ (4) ⋅ 4 + (4) , 5 1 0 3 5 5 1 1 3 4 5 1 2 3 3 5 1 3 3 1 𝑃 = 1 − [( ) ⋅ ( ) ⋅ ( ) + ( ) ⋅ ( ) ⋅ ( ) + ( ) ⋅ ( ) ⋅ ( ) + ( ) ⋅ ( ) ⋅ ( ) ] 0 4 4 1 4 4 2 4 4 3 4 4 1 pkt – zapisanie prawdopodobieństwa odniesienia sukcesu (𝑝) i porażki (𝑞 ) w pojedynczej 1 3 partii: 𝑝 = , 𝑞 = 4 4 ALBO – zapisanie prawdopodobieństwa w postaci 𝑝5 + 5𝑝4 ⋅ 𝑞 , gdzie 𝑝 jest prawdopodobieństwem odniesienia sukcesu, 𝑞 – porażki, ALBO – przedstawienie fragmentu drzewa zawierającego wszystkie istotne gałęzie odpowiadające pięciu wygranym i czterem wygranym, ALBO – przedstawienie fragmentu drzewa zawierającego gałąź odpowiadającą czterem wygranym i jednej przegranej oraz określenie na każdym odcinku gałęzi prawdopodobieństwa sukcesu i porażki. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 5 1 4 3 1 1. Jeżeli zdający zapisze poprawne prawdopodobieństwa 𝑃(𝑆54 ) = ( ) ⋅ ( ) ⋅ ( ) oraz 4 4 4 5 5 1 𝑃(𝑆55 ) = ( ) ⋅ (4) , ale z dalszego rozwiązania nie wynika, że 𝑃 = 𝑃(𝑆54 ) + 𝑃(𝑆55 ), to 5 otrzymuje co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający określa błędnie prawdopodobieństwo porażki i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 8 9 3 pkt – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥0 = −3 oraz 𝑦 = − 𝑥 + 11 11 8 (lub 𝑦 = − (𝑥 + 3) + 3). 11 2 pkt – obliczenie odciętej punktu 𝑃 i wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓 : 𝑥0 = −3 oraz (6𝑥−2)⋅(𝑥2 +2𝑥+8)−(3𝑥2 −2𝑥)⋅(2𝑥+2) 𝑓 ′ (𝑥) = 2 . (𝑥2 +2𝑥+8) 1 pkt – obliczenie odciętej punktu 𝑃: 𝑥0 = −3 ALBO (6𝑥−2)⋅(𝑥2 +2𝑥+8)−(3𝑥2 −2𝑥)⋅(2𝑥+2) – wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓 : 𝑓 ′ (𝑥) = 2 . (𝑥2 +2𝑥+8) 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwaga: Jeżeli zdający błędnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 3 pkt – przeprowadzenie pełnego rozumowania, tj. przekształcenie nierówności 𝑥 3 − 𝑥 2 𝑦 ≤ 𝑥𝑦 2 − 𝑦 3 do postaci, z której można bezpośrednio wnioskować o równości liczb 𝑥 i 𝑦 (lub do postaci, z której można bezpośrednio wnioskować, że jedna z liczb: 𝑥 , 𝑦, jest równa 2) oraz obliczenie tych liczb: 𝑥 = 2 oraz 𝑦 = 2. 2 pkt – zastosowanie wzoru na sześcian różnicy oraz kwadrat różnicy, wykorzystanie założenia i zapisanie nierówności kwadratowej z jedną niewiadomą 𝑥 (lub 𝑦) w postaci 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0 lub 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0, np. 16𝑥 2 − 64𝑥 + 64 ≤ 0 ALBO – wykorzystanie założenia 𝑥 + 𝑦 = 4 i zapisanie nierówności w postaci 4(𝑥 − 𝑦)2 ≤ 0 (lub 4(4 − 2𝑦)2 ≤ 0, lub 4(2𝑥 − 4)2 ≤ 0), ALBO – przekształcenie nierówności do postaci (𝑥 − 𝑦)2 ⋅ (𝑥 + 𝑦) ≤ 0 oraz poprawne określenie znaku jednego z czynników iloczynu (𝑥 − 𝑦)2 ⋅ (𝑥 + 𝑦), ALBO – zastosowanie nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną, zapisanie obu przypadków i przeprowadzenie poprawnego rozumowania dla jednego z tych przypadków. 1 pkt – wykorzystanie zależności 𝑥 + 𝑦 = 4 i zapisanie nierówności z jedną niewiadomą, np. 𝑥 3 − 𝑥 2 (4 − 𝑥) ≤ 𝑥(4 − 𝑥)2 − (4 − 𝑥)3 ALBO – przekształcenie nierówności 𝑥 3 − 𝑥 2 𝑦 ≤ 𝑥𝑦 2 − 𝑦 3 do postaci (𝑥 − 𝑦)(𝑥 2 − 𝑦 2 ) ≤ 0, ALBO – przekształcenie nierówności 𝑥 3 − 𝑥 2 𝑦 ≤ 𝑥𝑦 2 − 𝑦 3 do postaci 𝑥 ⋅ 𝑦 ≥ 4. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwaga: Jeżeli zdający podstawia do związków 𝑥 + 𝑦 = 4 oraz 𝑥 3 − 𝑥 2 𝑦 ≤ 𝑥𝑦 2 − 𝑦 3 konkretne wartości liczbowe i na tym opiera swoją argumentację, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 3 pkt – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: |𝑁𝐷| = √3 + 1. 2 pkt – obliczenie długości odcinka 𝐵𝑁: √3 − 1 ALBO – obliczenie długości odcinka 𝐵𝐷 : |𝐵𝐷| = 2√3 i zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑥 (długością odcinka 𝐵𝑁), ALBO 𝑥 2+√3 – zapisanie równania = 1 z niewiadomą 𝑥 = |𝐷𝑁| (otrzymanego 2√3−𝑥 z podobieństwa trójkątów 𝐵𝐿𝑁 i 𝐷𝐸𝑁 , sposób VII), ALBO 1 √3 – obliczenie współrzędnych punktu 𝑁 : 𝑁 = ( , ) i obliczenie długości √3+1 √3+1 odcinka 𝐵𝐷 : |𝐵𝐷| = 2√3 (sposób V), ALBO 1 √3 – obliczenie współrzędnych punktów 𝑁 i 𝐷 : 𝑁 = ( , ) i 𝐷 = (√3, 3) √3+1 √3+1 (sposób V), ALBO 1 √3 – obliczenie współrzędnych punktu 𝑁 : 𝑁 = ( , ) i zapisanie długości |𝐷𝑁| √3+1 √3+1 √3 ⋅ √ 1 − 1 ⋅ √ 3 + 4| √ |− 3 3+1 3+1 w postaci (sposób V). 2 √(− √3 2 ) +(−1) 3 1 pkt – zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑥 = |𝐵𝑁|, np. 1 1 1 ∙ 1 ∙ 𝑥 ∙ sin60° + 2 ∙ 𝑥 ∙ 1 ∙ sin30° = 2 (z sumy pól trójkątów 𝐵𝐿𝑁 oraz 𝐾𝐵𝑁), 2 1 𝑥 = (z twierdzenia sinusów dla trójkąta 𝐵𝑁𝐾 ), sin 105° sin 45° 1 𝑥 = (z twierdzenia sinusów dla trójkąta 𝐵𝑁𝐿), sin 75° sin 45° 1 𝑥⋅√3 1 − 2 ∙ 𝑥 = 2 (ze związków miarowych w trójkątach 𝐵𝐸𝑁 i 𝐸𝐿𝑁), ALBO – obliczenie długości odcinka 𝐵𝐷 i zapisanie |𝐵𝐷| = 2√3, ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑥 (pierwszą lub drugą współrzędną punktu 𝑁 ), np. −𝑥 + 1 = √3𝑥 (sposób V), ALBO – wyznaczenie równań prostych 𝐴𝐶 i 𝐵𝐷 oraz obliczenie współrzędnych punktu 𝐷 : 𝐷 = (√3, 3) (sposób V). 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano nieprawidłową metodę, albo brak rozwiązania. Uwaga: W rozwiązaniach nie są akceptowane przybliżenia dziesiętne liczb rzeczywistych.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 7 11 3 pkt – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝜋 + 𝑘𝜋 oraz 𝜋 + 𝑘𝜋, 12 12 gdzie 𝑘 ∈ ℤ . 1 1 2 pkt – przekształcenie równania do postaci sin(2𝑥) = − lub sin(−2𝑥) = . 2 2 1 pkt – zastosowanie wzoru na sinus sumy kątów i zapisanie sin(10𝑥) jako sin(6𝑥) cos(4𝑥) + cos(6𝑥) sin(4𝑥) ALBO – zastosowanie wzoru na sumę/różnicę sinusów i zapisanie wyrażenia 2 sin(4𝑥) cos(6𝑥) jako sin(10𝑥) − sin(2𝑥) lub sin(10𝑥) + sin(−2𝑥), ALBO – zastosowanie wzorów na sinus różnicy i cosinus sumy kątów i zapisanie 4 sin(4𝑥) cos(6𝑥) jako [sin(5𝑥) cos 𝑥 − cos(5𝑥) sin 𝑥] ⋅ [cos(5𝑥) cos 𝑥 − sin(5𝑥) sin 𝑥]. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający popełnia błąd rachunkowy, w wyniku którego otrzymuje jedną serię rozwiązań, to otrzymuje co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający popełnia jednokrotnie błąd polegający na: – niepoprawnym zastosowaniu wzorów trygonometrycznych na: sinus sumy/różnicy lub sumy/różnicy sinusów, lub iloczyn sinusa i cosinusa ALBO – błędnym zastosowaniu nieparzystości/parzystości funkcji trygonometrycznej i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, i otrzyma co najmniej jedną serię rozwiązań, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 4 pkt – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: √6. 3 pkt – zapisanie równania z jedną niewiadomą (długością odcinka 𝑆𝑃), np.: |𝑆𝑃| 3√2 = (z podobieństwa trójkątów 𝑃𝐻𝑆 i 𝐴𝐻𝐵, sposób I), 6 6√3 1 1 18√2 = 2 ⋅ 3√2 ⋅ 6 + 2 ⋅ 6√3 ⋅ |𝑆𝑃| (z równości pól 𝑃𝐻𝐴𝐵 = 𝑃𝐵𝐴𝑆 + 𝑃𝐻𝑆𝐵 ), 1 1 1 9√2 = 2 ⋅ 6√3 ⋅ |𝑆𝑃| (z równości 𝑃𝐻𝑆𝐵 = 2 ⋅ |𝐻𝑆| ⋅ |𝐴𝐵| = 2 ⋅ |𝐻𝐵| ⋅ |𝑆𝑃|, sposób II), ALBO 9√2 – obliczenie pola trójkąta 𝐻𝑆𝑅 oraz długości odcinka 𝐻𝑅: 𝑃∆𝐻𝑆𝑅 = oraz 2 |𝐻𝑅| = 3√3, ALBO – obliczenie długości odcinków 𝐻𝑃 i 𝐻𝑆: |𝐻𝑃| = 2√3 i |𝐻𝑆| = 3√2, ALBO – obliczenie długości odcinków 𝐻𝑃 oraz cosinusa/tangensa kąta 𝑆𝐻𝑃: |𝐻𝑃| = 2√3 √6 √2 i cos ∡𝑆𝐻𝑃 = (tg ∡𝑆𝐻𝑃 = ), 3 2 ALBO – obliczenie długości 𝐴𝐾 : 𝐴𝐾 = 2√6. 2 pkt – obliczenie długości boków trójkąta 𝐻𝑆𝐵: |𝐻𝑆| = 3√2, |𝐻𝐵| = 6√3, |𝑆𝐵| = 3√6 ALBO – zapisanie proporcji wynikającej z podobieństwa dwóch trójkątów prostokątnych, przy czym jednym z nich jest trójkąt 𝐻𝑆𝑃, ALBO – obliczenie/zapisanie długości odcinków 𝐵𝐻 oraz 𝑆𝑅 : |𝐵𝐻| = 6√3 oraz |𝑆𝑅| = 3, ALBO √6 – obliczenie wartości funkcji trygonometrycznej kąta 𝑆𝐻𝑅: np. cos ∡𝑆𝐻𝑅 = , 3 √3 √2 sin ∡𝑆𝐻𝑅 = 3 , tg ∡𝑆𝐻𝑅 = 2 , ALBO – obliczenie pola trójkąta 𝐻𝐴𝐵: 𝑃𝛥𝐻𝐴𝐵 = 18√2, ALBO 1 – obliczenie długości odcinka 𝑆𝐵 i sinusa kąta 𝑆𝐵𝐻: |𝑆𝐵| = 3√6 i sin ∡𝑆𝐵𝐻 = , 3 ALBO – zapisanie pola trójkąta 𝐻𝐴𝐵 jako sumy pól trójkątów 𝑆𝐴𝐵 oraz 𝐻𝑆𝐵 i zapisanie 1 1 𝑃𝐻𝑆𝐵 = 2 ⋅ |𝐻𝐵| ⋅ |𝑆𝑃| (lub 𝑃𝐻𝑆𝐵 = 2 ⋅ 𝑃𝐻𝐴𝐵 ), ALBO 1 – zapisanie pola trójkąta 𝐻𝑆𝐵 na dwa sposoby: 𝑃𝐻𝑆𝐵 = ⋅ |𝐻𝑆| ⋅ |𝐴𝐵| oraz 2 1 𝑃𝐻𝑆𝐵 = 2 ⋅ |𝐻𝐵| ⋅ |𝑆𝑃|, ALBO – obliczenie pola trójkąta 𝐻𝑆𝐵: 𝑃𝐻𝑆𝐵 = 9√2. 1 pkt – obliczenie/zapisanie długości jednego z odcinków 𝐵𝐻, 𝑆𝑅, 𝐻𝑆 albo 𝐵𝑆: |𝐵𝐻| = 6√3, |𝑆𝑅| = 3, |𝐻𝑆| = 3√2, |𝐵𝑆| = 3√6. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest: a) zastosowanie niepoprawnej definicji jednej funkcji trygonometrycznej b) błędne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa c) zastosowanie niepoprawnej tożsamości √𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑥 + 𝑦 d) błędne zastosowanie twierdzenia cosinusów lub sinusów e) błędne zastosowanie wzoru Herona to zdający może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie. 1 2. Jeżeli zdający korzysta ze związku |𝐻𝑃| = ⋅ |𝐻𝐵| (gdzie 𝑃 jest spodkiem wysokości 3 poprowadzonej z wierzchołka 𝑆 na podstawę 𝐻𝐵 trójkąta 𝐻𝑆𝐵) i nie uzasadni jego prawdziwości, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 4 pkt – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 16√3 + 10. 3 pkt – obliczenie długości boku 𝐴𝐵 : |𝐴𝐵| = 8√3 i zapisanie 𝑂𝑏𝐴𝐵𝐶𝐷 = 2 ⋅ (|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|) ALBO – obliczenie długości boku 𝐴𝐵 : |𝐴𝐵| = 8√3 i zapisanie równania 8√3 + 5 = 4 + |𝐴𝐷|. 2 pkt – obliczenie długości boku 𝐴𝐵 : 8√3 ALBO – zapisanie równości 1) i 3) określonych w kryterium oceniania za 1 punkt, ALBO – zapisanie równości 2) i 3) określonych w kryterium oceniania za 1 punkt, ALBO – zapisanie równości 1) i 4) określonych w kryterium oceniania za 1 punkt. 1 pkt – zapisanie jednej z poniższych równości 1)- 4): |𝐴𝐵| 4 1 2 √3 1) √ = 1 lub = , 3 4 |𝐴𝐵| 2 4 1 √3 1 1 2) ⋅ 4 ⋅ |𝐴𝐶| ⋅ 2 = 2 ⋅ |𝐴𝐶| ⋅ |𝐴𝐵| ⋅ 4 , 2 3) 𝑂𝑏𝐴𝐵𝐶𝐷 = 2 ⋅ (|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|), 4) |𝐴𝐵| + 5 = 4 + |𝐴𝐷| ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑥 (długością boku 𝐴𝐵 ), np. 2 𝑥√15 𝑥√15 𝑥 2 = 16 + (2 + ) − 4 (2 + ), 4 4 2 √15 √15 √15 16 = (2 + 𝑥) + 𝑥 2 − ⋅ (2 + 𝑥) 𝑥 4 2 4 (z twierdzenia cosinusów dla trójkąta 𝐴𝐵𝐶 i dwóch kątów tego trójkąta). 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 11 14 4 pkt – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥 ∈ (− , ). 3 3 3 pkt – rozwiązanie nierówności w dwóch spośród rozważanych przedziałów/przypadków (o ile rozpatruje nierówność w przedziałach/przypadkach, których suma jest równa ℝ/wyczerpujących zbiór ℝ) ALBO – zapisanie nierówności w postaci równoważnej koniunkcji dwóch nierówności: 25 25 𝑥 + 2 < 3 − |𝑥 − 3| i 𝑥 + 2 > − ( 3 − |𝑥 − 3|), a następnie w postaci równoważnej koniunkcji nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej: 19 19 31 31 𝑥 − 3 < 3 − 𝑥 i 𝑥 − 3 > − ( 3 − 𝑥) i 𝑥 − 3 < 𝑥 + 3 i 𝑥 − 3 > − (𝑥 + 3 ), ALBO – odczytanie z wykresów funkcji 𝑓 oraz 𝑔 pierwszych współrzędnych punktów ich 11 14 przecięcia: 𝑥 = − oraz 𝑥 = i sprawdzenie rachunkiem poprawności 3 3 odczytanych współrzędnych. 2 pkt – zastosowanie definicji wartości bezwzględnej lub własności wartości bezwzględnej i zapisanie danej nierówności odpowiednio w trzech przedziałach: (−∞, −2), [−2, 3), [3, +∞), lub w czterech przypadkach: 𝑥 + 2 < 0 i 𝑥 − 3 < 0, 𝑥 + 2 < 0 i 𝑥 − 3 ≥ 0, 𝑥 + 2 ≥ 0 i 𝑥 − 3 < 0, 𝑥 + 2 ≥ 0 i 𝑥 − 3 ≥ 0 (z dokładnością do domknięcia) ALBO – zapisanie nierówności w postaci równoważnej koniunkcji dwóch nierówności: 25 25 𝑥 + 2 < 3 − |𝑥 − 3| i 𝑥 + 2 > − ( 3 − |𝑥 − 3|), ALBO 25 – narysowanie wykresów funkcji 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 2| oraz 𝑔(𝑥) = − |𝑥 − 3|. 3 25 1 pkt – przekształcenie danej nierówności do postaci |𝑥 + 2| < − |𝑥 − 3|. 3 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeśli w rozwiązaniu algebraicznym zdający popełni błąd przy zapisie nierówności tylko w jednym z rozpatrywanych przypadków, ale konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeśli w rozwiązaniu graficznym zdający popełni jeden błąd przy rysowaniu wykresu funkcji 25 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 2| albo 𝑔(𝑥) = 3 − |𝑥 − 3|, ale otrzyma dwa punkty przecięcia i dalej konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za zapisanie wyrażeń w postaci |𝑥 + 2| oraz |𝑥 − 3| oraz konsekwentną interpretację zbioru rozwiązań). 11 14 3. Jeżeli zdający przy rozwiązaniu graficznym poda zbiór rozwiązań 𝑥 ∈ (− , ), ale nie 3 3 sprawdzi rachunkiem pierwszych współrzędnych punktów przecięcia wykresów funkcji 𝑓 i 𝑔, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 4𝑎 4 pkt – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝐿 = 1− 10 √ 4 8⋅(4+√10)𝑎 (lub 𝐿 = ). 3 √10 5 3 pkt – zapisanie: 𝐿 = 4𝑎 (1 + + 8 + … ). 4 √10 2 pkt – obliczenie ilorazu ciągu: 𝑞 = . 4 √10 1 pkt – obliczenie długości boku drugiego kwadratu: 𝑎2 = 𝑎. 4 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający obliczy tylko sumę długości boków (po jednym z każdego kwadratu), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający błędnie ustala stosunek podziału długości boku kwadratu i rozwiązuje zadanie konsekwentnie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za obliczenie ilorazu 𝑞 ciągu, o ile 𝑞 ∈ (0, 1), oraz za konsekwentne obliczenie sumy obwodów wszystkich kwadratów). 3. Jeżeli zdający przyjmuje do obliczeń konkretną długość boku kwadratu 𝐾1 i rozwiązuje zadanie konsekwentnie do końca, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie. 4. Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy i otrzyma iloraz 𝑞 ciągu, który jest liczbą spoza przedziału (0, 1), to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie (za poprawne obliczenie 𝑎2 ).

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów. Pierwszy etap polega na rozwiązaniu nierówności ∆> 0. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt. 11 1 pkt – poprawne rozwiązanie nierówności ∆> 0: 𝑚 ∈ (−∞, 2) ∪ ( , +∞). 5 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwaga: Jeżeli zdający rozwiązuje warunek ∆≥ 0, to za tę część rozwiązania otrzymuje 0 punktów. Drugi etap polega na wyznaczeniu tych wartości parametru 𝑚, dla których jest spełniony warunek 𝑥13 + 𝑥23 > −28. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 3 punkty. Podział punktów za drugi etap rozwiązania: 3 pkt – rozwiązanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚, wynikającej z warunku 9 𝑥13 + 𝑥23 > −28: 𝑚 ∈ (2, 4). 2 pkt – zapisanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚, wynikającej z warunku 𝑚−3 𝑥13 + 𝑥23 > −28, np. −64 − 3 ∙ (− 𝑚−2) ∙ (−4) > −28 ALBO 3 3 5𝑚−11 √5𝑚−11) > −28 i poprawne – zapisanie nierówności (−2 − √ ) + (−2 + 𝑚−2 𝑚−2 zastosowanie wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy/różnicy do co najmniej 3 3 5𝑚−11 5𝑚−11 jednego ze składników sumy (−2 − √ ) + (−2 + √ 𝑚−2 ) . 𝑚−2 1 pkt – przekształcenie nierówności 𝑥13 + 𝑥23 > −28 do postaci pozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, np. (𝑥1 + 𝑥2 )3 − 3𝑥1 𝑥2 (𝑥1 + 𝑥2 ) > −28 ALBO 𝑚−3 – wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego 𝑥 2 + 4𝑥 − w zależności 𝑚−2 −4−√20𝑚−44 𝑚−2 −4+√20𝑚−44 𝑚−2 od 𝑚: 𝑥1 = , 𝑥2 = . 2⋅1 2⋅1 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Trzeci etap polega na wyznaczeniu wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają 11 9 jednocześnie dwa warunki: Δ > 0 i 𝑥13 + 𝑥23 > −28: 𝑚 ∈ ( , ). 5 4 Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt. 1 pkt – poprawne wyznaczenie wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają 11 9 jednocześnie warunki Δ > 0 i 𝑥13 + 𝑥23 > −28: 𝑚 ∈ ( , ). 5 4 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający popełni w I i/lub II etapie jedynie błędy rachunkowe i otrzyma zbiory rozwiązań z I i II etapu, które nie są rozłączne i żaden z nich nie jest zbiorem liczb rzeczywistych, a następnie poprawnie wyznaczy część wspólną zbiorów rozwiązań z etapów I i II, to za III etap otrzymuje 1 punkt. 𝑚−3 2. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania popełni błąd i przyjmie, że 𝑥1 + 𝑥2 = ± lub 𝑚−2 𝑥1 ⋅ 𝑥2 = ± 4, to za II etap może otrzymać co najwyżej 1 punkt, a za III etap otrzymuje 0 punktów. 3. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania popełni błąd, który nie jest rachunkowy (np. pominie istotne nawiasy przy przekształcaniu nierówności 𝑥13 + 𝑥23 > −28 do postaci pozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, albo przyjmie, że 𝑥13 + 𝑥23 = (𝑥1 + 𝑥2 )[(𝑥1 + 𝑥2 )2 − 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ], i konsekwentnie do popełnionego błędu doprowadzi rozwiązanie II etapu zadania do końca, to może uzyskać co najwyżej 1 punkt za II etap.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 2 ⋅ log2 √27 ⋅ log3 2 2 2 pkt – poprawne przekształcenie wyrażenia 81log3 𝑥 + ⋅ 𝑥 − 6𝑥 do 3 postaci 𝑥 4 + 𝑥 2 − 6𝑥 . 4 1 pkt – poprawne zastosowanie własności 𝑎log𝑎 𝑏 = 𝑏 , tj. przekształcenie wyrażenia 3log3 𝑥 4 (lub (3log3 𝑥 ) ) do postaci 𝑥 4 ALBO – poprawne zastosowanie wzoru na zamianę podstawy logarytmu. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 4 pkt – uzasadnienie, że funkcja 𝑓 przyjmuje wartość najmniejszą dla 𝑥 = 1 i obliczenie wartości najmniejszej funkcji 𝑓 : (−4). 3 pkt – uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja 𝑓 przyjmuje wartość najmniejszą dla 𝑥 = 1. 2 pkt – poprawne rozwiązanie równania 4𝑥 3 + 2𝑥 − 6 = 0: 𝑥 = 1. 1 pkt – wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓 : 𝑓 ′ (𝑥) = 4𝑥 3 + 2𝑥 − 6. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający wyznaczy pochodną funkcji 𝑓 z błędem i wyznaczona pochodna nie jest wielomianem stopnia trzeciego, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 2. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja posiada wartość najmniejszą dla wyznaczonej wartości 𝑥 , przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy zdający bada znak pochodnej oraz: – opisuje (słownie lub graficznie - np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji 𝑓 LUB – zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑥 funkcja 𝑓 ma minimum lokalne i jest to jednocześnie jej najmniejsza wartość LUB – zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑥 funkcja 𝑓 ma minimum lokalne i jest to jedyne ekstremum tej funkcji. 3. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku, np. znakami „+” i „-” znak pochodnej. 4. Jeżeli zdający przedstawi niepełne uzasadnienie, że dla 𝑥 = 1 funkcja 𝑓 osiąga najmniejszą wartość i obliczy 𝑓(1) = −4, to otrzymuje 3 punkty za całe rozwiązanie. Jeśli zdający nie przedstawi żadnego uzasadnienia i obliczy 𝑓(1) = −4, to otrzymuje co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie. 5. Jeżeli zdający: – nie rozwiązuje równania 4𝑥 3 + 2𝑥 − 6 = 0, lecz stwierdza, że liczba 1 jest jego rozwiązaniem bez uzasadnienia, że jest to jedyne rozwiązanie rzeczywiste tego równania ALBO – popełnia błąd (który nie jest błędem rachunkowym) przy rozkładzie wielomianu 4𝑥 3 + 2𝑥 − 6 na czynniki, ale otrzymuje wielomian stopnia trzeciego, który przyjmuje w zbiorze (0, +∞) wartość najmniejszą i dalej konsekwentnie rozwiązuje zadanie do końca, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 11 3 6 pkt – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝐶 = ( , − 10). 10 5 pkt – zapisanie jednego równania stopnia pierwszego i równania stopnia drugiego z dwiema niewiadomymi, np. 1 3 𝑦 = 2 (𝑥 − 2) − 2 { (pr. 𝐴𝐶 i okrąg 𝒪), 1 (𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 1)2 = 2 𝑦 = 7(𝑥 − 1) − 1 { 1 (pr. 𝑆𝐶 i okrąg 𝒪), (𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 1)2 = 2 ALBO 4 – wyznaczenie równania prostej 𝐶𝐶1 : 𝑦 = −𝑥 + , 5 ALBO – zapisanie układu równań liniowych, np. równań prostych 𝐴𝐶 i 𝐵𝐶 . 4 pkt – zapisanie jednego równania z dwiema niewiadomymi, np. 1 3 𝑦 = 2 (𝑥 − 2) − 2 (pr. 𝐴𝐶 ), 1 (𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 1)2 = (okrąg 𝒪), 2 𝑦 = 7(𝑥 − 1) − 1 (pr. 𝑆𝐶), 2 2 √ 2 = √(3 − 𝑥) + (− 1 − 𝑦) (okrąg o środku w punkcie 𝐵 i promieniu 𝐵𝐶 ), 10 2 2 2 2 2 1 3 3√ = √( − 𝑥) + (− − 𝑦) (okrąg o środku w punkcie 𝐴 i promieniu 𝐴𝐶 ), 10 2 2 2 2 √(3 −𝑥) +(−1 −𝑦) 2 2 1 2 2 = 3 (wykorzystanie zależności między przyprostokątnymi 𝐵𝐶 √(1 −𝑥) +(−3−𝑦) 2 2 oraz 𝐴𝐶 ). 3 pkt – obliczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐴𝐶 : 2 oraz obliczenie 1 3 współrzędnych punktów przecięcia paraboli z prostą 𝑙 : 𝐴 = ( , − ) oraz 2 2 3 1 𝐵 = ( ,− ) 2 2 ALBO – obliczenie współrzędnych środka 𝑆 okręgu 𝒪 lub promienia 𝑅 okręgu 𝒪: √2 𝑆 = (1, −1) lub 𝑅 = 2 , lub |𝐴𝐵| = √2, ALBO – obliczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝑆𝐶 : 7 oraz obliczenie 1 3 współrzędnych punktów przecięcia paraboli z prostą 𝑙 : 𝐴 = ( , − ) oraz 2 2 3 1 𝐵 = ( , − ). 2 2 1 3 2 pkt – obliczenie współrzędnych punktów przecięcia paraboli z prostą 𝑙 : 𝐴 = ( , − ) 2 2 3 1 oraz 𝐵 = ( , − ) 2 2 ALBO – obliczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐴𝐶 : 2, ALBO – obliczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝑆𝐶 : 7, ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą (jedną ze współrzędnych punktu 𝐴 lub 𝐵), 𝑦 = 4𝑥 2 − 7𝑥 + 1 które wynika z układu równań { oraz zapisanie, że 𝑥−𝑦−2=0 𝑎𝐴𝐶 = tg(𝛼 + 45°) (lub 𝑎𝑆𝐶 = tg(2𝛼 + 45°) ), ALBO – zapisanie, że pierwsza/druga współrzędna środka 𝑆 okręgu jest średnią arytmetyczną rozwiązań równania 4𝑥 2 − 8𝑥 + 3 = 0 (lub 4𝑦 2 + 8𝑦 + 3 = 0), np. 8 𝑥1 +𝑥2 𝑥𝑆 = , 𝑥𝑆 = 24 (wzory Viète’a). 2 1 pkt – zapisanie równania z jedną niewiadomą (jedną ze współrzędnych punktu 𝐴 lub 𝐵), 𝑦 = 4𝑥 2 − 7𝑥 + 1 które wynika z układu równań { , np. 𝑥−𝑦−2=0 𝑥 − 2 = 4𝑥 2 − 7𝑥 + 1, 𝑦 = 4(𝑦 + 2)2 − 7(𝑦 + 2) + 1 ALBO – zapisanie, że 𝑎𝐴𝐶 = tg(𝛼 + 45°) lub 𝑎𝑆𝐶 = tg(2𝛼 + 45°). 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 11 3 1. Jeżeli zdający obliczy 𝐶1 = ( , − 10) oraz 𝐶2 (różny od 𝐶1 ) i nie odrzuci 𝐶2 , to 10 otrzymuje 5 punktów za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest: a) zastosowanie niepoprawnej równości tg(𝛼 + 𝛽) = tg𝛼 + tg𝛽 , b) zastosowanie niepoprawnej definicji funkcji trygonometrycznej, c) podstawienie do równania okręgu średnicy zamiast promienia, d) błędne zastosowanie wzorów Viète’a przy obliczaniu współrzędnych środka okręgu, to zdający może otrzymać co najwyżej 4 punkty za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 2 pkt – zapisanie wzoru funkcji 𝑚: 𝑚(𝑡) = 4 ⋅ 0,81𝑡 oraz obliczenie liczby pełnych dni/dób, po których masa substancji będzie mniejsza od 1,5 grama: 5 dób. 1 pkt – zapisanie wzoru funkcji 𝑚: 𝑚(𝑡) = 4 ⋅ 0,81𝑡 ALBO – obliczenie liczby dób, po których masa substancji będzie mniejsza od 1,5 grama: 5 dób. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwaga: Jeżeli jedynym błędem zdającego jest ustalenie niepoprawnego wzoru funkcji w postaci 𝑚(𝑡) = 4 ⋅ 0,81𝑡−1 i zdający konsekwentnie do popełnionego błędu oblicza liczbę dób, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 3 pkt – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: . 64 2 pkt – zapisanie poprawnego prawdopodobieństwa uzyskania co najmniej czterech 5 1 4 3 1 5 1 5 sukcesów w pięciu próbach Bernoullego, np. 𝑃 = ( ) ⋅ ( ) ⋅ ( ) + ( ) ⋅ ( ) , 4 4 4 5 4 4 5 1 3 1 𝑃 = 5 ⋅ (4) ⋅ 4 + (4) , 5 1 0 3 5 5 1 1 3 4 5 1 2 3 3 5 1 3 3 1 𝑃 = 1 − [( ) ⋅ ( ) ⋅ ( ) + ( ) ⋅ ( ) ⋅ ( ) + ( ) ⋅ ( ) ⋅ ( ) + ( ) ⋅ ( ) ⋅ ( ) ] 0 4 4 1 4 4 2 4 4 3 4 4 1 pkt – zapisanie prawdopodobieństwa odniesienia sukcesu (𝑝) i porażki (𝑞 ) w pojedynczej 1 3 partii: 𝑝 = , 𝑞 = 4 4 ALBO – zapisanie prawdopodobieństwa w postaci 𝑝5 + 5𝑝4 ⋅ 𝑞 , gdzie 𝑝 jest prawdopodobieństwem odniesienia sukcesu, 𝑞 – porażki, ALBO – przedstawienie fragmentu drzewa zawierającego wszystkie istotne gałęzie odpowiadające pięciu wygranym i czterem wygranym, ALBO – przedstawienie fragmentu drzewa zawierającego gałąź odpowiadającą czterem wygranym i jednej przegranej oraz określenie na każdym odcinku gałęzi prawdopodobieństwa sukcesu i porażki. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 5 1 4 3 1 1. Jeżeli zdający zapisze poprawne prawdopodobieństwa 𝑃(𝑆54 ) = ( ) ⋅ ( ) ⋅ ( ) oraz 4 4 4 5 5 1 𝑃(𝑆55 ) = ( ) ⋅ (4) , ale z dalszego rozwiązania nie wynika, że 𝑃 = 𝑃(𝑆54 ) + 𝑃(𝑆55 ), to 5 otrzymuje co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający określa błędnie prawdopodobieństwo porażki i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 8 9 3 pkt – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥0 = −3 oraz 𝑦 = − 𝑥 + 11 11 8 (lub 𝑦 = − (𝑥 + 3) + 3). 11 2 pkt – obliczenie odciętej punktu 𝑃 i wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓 : 𝑥0 = −3 oraz (6𝑥−2)⋅(𝑥2 +2𝑥+8)−(3𝑥2 −2𝑥)⋅(2𝑥+2) 𝑓 ′ (𝑥) = 2 . (𝑥2 +2𝑥+8) 1 pkt – obliczenie odciętej punktu 𝑃: 𝑥0 = −3 ALBO (6𝑥−2)⋅(𝑥2 +2𝑥+8)−(3𝑥2 −2𝑥)⋅(2𝑥+2) – wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓 : 𝑓 ′ (𝑥) = 2 . (𝑥2 +2𝑥+8) 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwaga: Jeżeli zdający błędnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 3 pkt – przeprowadzenie pełnego rozumowania, tj. przekształcenie nierówności 𝑥 3 − 𝑥 2 𝑦 ≤ 𝑥𝑦 2 − 𝑦 3 do postaci, z której można bezpośrednio wnioskować o równości liczb 𝑥 i 𝑦 (lub do postaci, z której można bezpośrednio wnioskować, że jedna z liczb: 𝑥 , 𝑦, jest równa 2) oraz obliczenie tych liczb: 𝑥 = 2 oraz 𝑦 = 2. 2 pkt – zastosowanie wzoru na sześcian różnicy oraz kwadrat różnicy, wykorzystanie założenia i zapisanie nierówności kwadratowej z jedną niewiadomą 𝑥 (lub 𝑦) w postaci 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0 lub 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0, np. 16𝑥 2 − 64𝑥 + 64 ≤ 0 ALBO – wykorzystanie założenia 𝑥 + 𝑦 = 4 i zapisanie nierówności w postaci 4(𝑥 − 𝑦)2 ≤ 0 (lub 4(4 − 2𝑦)2 ≤ 0, lub 4(2𝑥 − 4)2 ≤ 0), ALBO – przekształcenie nierówności do postaci (𝑥 − 𝑦)2 ⋅ (𝑥 + 𝑦) ≤ 0 oraz poprawne określenie znaku jednego z czynników iloczynu (𝑥 − 𝑦)2 ⋅ (𝑥 + 𝑦), ALBO – zastosowanie nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną, zapisanie obu przypadków i przeprowadzenie poprawnego rozumowania dla jednego z tych przypadków. 1 pkt – wykorzystanie zależności 𝑥 + 𝑦 = 4 i zapisanie nierówności z jedną niewiadomą, np. 𝑥 3 − 𝑥 2 (4 − 𝑥) ≤ 𝑥(4 − 𝑥)2 − (4 − 𝑥)3 ALBO – przekształcenie nierówności 𝑥 3 − 𝑥 2 𝑦 ≤ 𝑥𝑦 2 − 𝑦 3 do postaci (𝑥 − 𝑦)(𝑥 2 − 𝑦 2 ) ≤ 0, ALBO – przekształcenie nierówności 𝑥 3 − 𝑥 2 𝑦 ≤ 𝑥𝑦 2 − 𝑦 3 do postaci 𝑥 ⋅ 𝑦 ≥ 4. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwaga: Jeżeli zdający podstawia do związków 𝑥 + 𝑦 = 4 oraz 𝑥 3 − 𝑥 2 𝑦 ≤ 𝑥𝑦 2 − 𝑦 3 konkretne wartości liczbowe i na tym opiera swoją argumentację, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 3 pkt – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: |𝑁𝐷| = √3 + 1. 2 pkt – obliczenie długości odcinka 𝐵𝑁: √3 − 1 ALBO – obliczenie długości odcinka 𝐵𝐷 : |𝐵𝐷| = 2√3 i zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑥 (długością odcinka 𝐵𝑁), ALBO 𝑥 2+√3 – zapisanie równania = 1 z niewiadomą 𝑥 = |𝐷𝑁| (otrzymanego 2√3−𝑥 z podobieństwa trójkątów 𝐵𝐿𝑁 i 𝐷𝐸𝑁 , sposób VII), ALBO 1 √3 – obliczenie współrzędnych punktu 𝑁 : 𝑁 = ( , ) i obliczenie długości √3+1 √3+1 odcinka 𝐵𝐷 : |𝐵𝐷| = 2√3 (sposób V), ALBO 1 √3 – obliczenie współrzędnych punktów 𝑁 i 𝐷 : 𝑁 = ( , ) i 𝐷 = (√3, 3) √3+1 √3+1 (sposób V), ALBO 1 √3 – obliczenie współrzędnych punktu 𝑁 : 𝑁 = ( , ) i zapisanie długości |𝐷𝑁| √3+1 √3+1 √3 ⋅ √ 1 − 1 ⋅ √ 3 + 4| √ |− 3 3+1 3+1 w postaci (sposób V). 2 √(− √3 2 ) +(−1) 3 1 pkt – zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑥 = |𝐵𝑁|, np. 1 1 1 ∙ 1 ∙ 𝑥 ∙ sin60° + 2 ∙ 𝑥 ∙ 1 ∙ sin30° = 2 (z sumy pól trójkątów 𝐵𝐿𝑁 oraz 𝐾𝐵𝑁), 2 1 𝑥 = (z twierdzenia sinusów dla trójkąta 𝐵𝑁𝐾 ), sin 105° sin 45° 1 𝑥 = (z twierdzenia sinusów dla trójkąta 𝐵𝑁𝐿), sin 75° sin 45° 1 𝑥⋅√3 1 − 2 ∙ 𝑥 = 2 (ze związków miarowych w trójkątach 𝐵𝐸𝑁 i 𝐸𝐿𝑁), ALBO – obliczenie długości odcinka 𝐵𝐷 i zapisanie |𝐵𝐷| = 2√3, ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑥 (pierwszą lub drugą współrzędną punktu 𝑁 ), np. −𝑥 + 1 = √3𝑥 (sposób V), ALBO – wyznaczenie równań prostych 𝐴𝐶 i 𝐵𝐷 oraz obliczenie współrzędnych punktu 𝐷 : 𝐷 = (√3, 3) (sposób V). 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano nieprawidłową metodę, albo brak rozwiązania. Uwaga: W rozwiązaniach nie są akceptowane przybliżenia dziesiętne liczb rzeczywistych.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 7 11 3 pkt – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝜋 + 𝑘𝜋 oraz 𝜋 + 𝑘𝜋, 12 12 gdzie 𝑘 ∈ ℤ . 1 1 2 pkt – przekształcenie równania do postaci sin(2𝑥) = − lub sin(−2𝑥) = . 2 2 1 pkt – zastosowanie wzoru na sinus sumy kątów i zapisanie sin(10𝑥) jako sin(6𝑥) cos(4𝑥) + cos(6𝑥) sin(4𝑥) ALBO – zastosowanie wzoru na sumę/różnicę sinusów i zapisanie wyrażenia 2 sin(4𝑥) cos(6𝑥) jako sin(10𝑥) − sin(2𝑥) lub sin(10𝑥) + sin(−2𝑥), ALBO – zastosowanie wzorów na sinus różnicy i cosinus sumy kątów i zapisanie 4 sin(4𝑥) cos(6𝑥) jako [sin(5𝑥) cos 𝑥 − cos(5𝑥) sin 𝑥] ⋅ [cos(5𝑥) cos 𝑥 − sin(5𝑥) sin 𝑥]. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający popełnia błąd rachunkowy, w wyniku którego otrzymuje jedną serię rozwiązań, to otrzymuje co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający popełnia jednokrotnie błąd polegający na: – niepoprawnym zastosowaniu wzorów trygonometrycznych na: sinus sumy/różnicy lub sumy/różnicy sinusów, lub iloczyn sinusa i cosinusa ALBO – błędnym zastosowaniu nieparzystości/parzystości funkcji trygonometrycznej i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, i otrzyma co najmniej jedną serię rozwiązań, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 4 pkt – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: √6. 3 pkt – zapisanie równania z jedną niewiadomą (długością odcinka 𝑆𝑃), np.: |𝑆𝑃| 3√2 = (z podobieństwa trójkątów 𝑃𝐻𝑆 i 𝐴𝐻𝐵, sposób I), 6 6√3 1 1 18√2 = 2 ⋅ 3√2 ⋅ 6 + 2 ⋅ 6√3 ⋅ |𝑆𝑃| (z równości pól 𝑃𝐻𝐴𝐵 = 𝑃𝐵𝐴𝑆 + 𝑃𝐻𝑆𝐵 ), 1 1 1 9√2 = 2 ⋅ 6√3 ⋅ |𝑆𝑃| (z równości 𝑃𝐻𝑆𝐵 = 2 ⋅ |𝐻𝑆| ⋅ |𝐴𝐵| = 2 ⋅ |𝐻𝐵| ⋅ |𝑆𝑃|, sposób II), ALBO 9√2 – obliczenie pola trójkąta 𝐻𝑆𝑅 oraz długości odcinka 𝐻𝑅: 𝑃∆𝐻𝑆𝑅 = oraz 2 |𝐻𝑅| = 3√3, ALBO – obliczenie długości odcinków 𝐻𝑃 i 𝐻𝑆: |𝐻𝑃| = 2√3 i |𝐻𝑆| = 3√2, ALBO – obliczenie długości odcinków 𝐻𝑃 oraz cosinusa/tangensa kąta 𝑆𝐻𝑃: |𝐻𝑃| = 2√3 √6 √2 i cos ∡𝑆𝐻𝑃 = (tg ∡𝑆𝐻𝑃 = ), 3 2 ALBO – obliczenie długości 𝐴𝐾 : 𝐴𝐾 = 2√6. 2 pkt – obliczenie długości boków trójkąta 𝐻𝑆𝐵: |𝐻𝑆| = 3√2, |𝐻𝐵| = 6√3, |𝑆𝐵| = 3√6 ALBO – zapisanie proporcji wynikającej z podobieństwa dwóch trójkątów prostokątnych, przy czym jednym z nich jest trójkąt 𝐻𝑆𝑃, ALBO – obliczenie/zapisanie długości odcinków 𝐵𝐻 oraz 𝑆𝑅 : |𝐵𝐻| = 6√3 oraz |𝑆𝑅| = 3, ALBO √6 – obliczenie wartości funkcji trygonometrycznej kąta 𝑆𝐻𝑅: np. cos ∡𝑆𝐻𝑅 = , 3 √3 √2 sin ∡𝑆𝐻𝑅 = 3 , tg ∡𝑆𝐻𝑅 = 2 , ALBO – obliczenie pola trójkąta 𝐻𝐴𝐵: 𝑃𝛥𝐻𝐴𝐵 = 18√2, ALBO 1 – obliczenie długości odcinka 𝑆𝐵 i sinusa kąta 𝑆𝐵𝐻: |𝑆𝐵| = 3√6 i sin ∡𝑆𝐵𝐻 = , 3 ALBO – zapisanie pola trójkąta 𝐻𝐴𝐵 jako sumy pól trójkątów 𝑆𝐴𝐵 oraz 𝐻𝑆𝐵 i zapisanie 1 1 𝑃𝐻𝑆𝐵 = 2 ⋅ |𝐻𝐵| ⋅ |𝑆𝑃| (lub 𝑃𝐻𝑆𝐵 = 2 ⋅ 𝑃𝐻𝐴𝐵 ), ALBO 1 – zapisanie pola trójkąta 𝐻𝑆𝐵 na dwa sposoby: 𝑃𝐻𝑆𝐵 = ⋅ |𝐻𝑆| ⋅ |𝐴𝐵| oraz 2 1 𝑃𝐻𝑆𝐵 = 2 ⋅ |𝐻𝐵| ⋅ |𝑆𝑃|, ALBO – obliczenie pola trójkąta 𝐻𝑆𝐵: 𝑃𝐻𝑆𝐵 = 9√2. 1 pkt – obliczenie/zapisanie długości jednego z odcinków 𝐵𝐻, 𝑆𝑅, 𝐻𝑆 albo 𝐵𝑆: |𝐵𝐻| = 6√3, |𝑆𝑅| = 3, |𝐻𝑆| = 3√2, |𝐵𝑆| = 3√6. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest: a) zastosowanie niepoprawnej definicji jednej funkcji trygonometrycznej b) błędne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa c) zastosowanie niepoprawnej tożsamości √𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑥 + 𝑦 d) błędne zastosowanie twierdzenia cosinusów lub sinusów e) błędne zastosowanie wzoru Herona to zdający może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie. 1 2. Jeżeli zdający korzysta ze związku |𝐻𝑃| = ⋅ |𝐻𝐵| (gdzie 𝑃 jest spodkiem wysokości 3 poprowadzonej z wierzchołka 𝑆 na podstawę 𝐻𝐵 trójkąta 𝐻𝑆𝐵) i nie uzasadni jego prawdziwości, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 4 pkt – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 16√3 + 10. 3 pkt – obliczenie długości boku 𝐴𝐵 : |𝐴𝐵| = 8√3 i zapisanie 𝑂𝑏𝐴𝐵𝐶𝐷 = 2 ⋅ (|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|) ALBO – obliczenie długości boku 𝐴𝐵 : |𝐴𝐵| = 8√3 i zapisanie równania 8√3 + 5 = 4 + |𝐴𝐷|. 2 pkt – obliczenie długości boku 𝐴𝐵 : 8√3 ALBO – zapisanie równości 1) i 3) określonych w kryterium oceniania za 1 punkt, ALBO – zapisanie równości 2) i 3) określonych w kryterium oceniania za 1 punkt, ALBO – zapisanie równości 1) i 4) określonych w kryterium oceniania za 1 punkt. 1 pkt – zapisanie jednej z poniższych równości 1)- 4): |𝐴𝐵| 4 1 2 √3 1) √ = 1 lub = , 3 4 |𝐴𝐵| 2 4 1 √3 1 1 2) ⋅ 4 ⋅ |𝐴𝐶| ⋅ 2 = 2 ⋅ |𝐴𝐶| ⋅ |𝐴𝐵| ⋅ 4 , 2 3) 𝑂𝑏𝐴𝐵𝐶𝐷 = 2 ⋅ (|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|), 4) |𝐴𝐵| + 5 = 4 + |𝐴𝐷| ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑥 (długością boku 𝐴𝐵 ), np. 2 𝑥√15 𝑥√15 𝑥 2 = 16 + (2 + ) − 4 (2 + ), 4 4 2 √15 √15 √15 16 = (2 + 𝑥) + 𝑥 2 − ⋅ (2 + 𝑥) 𝑥 4 2 4 (z twierdzenia cosinusów dla trójkąta 𝐴𝐵𝐶 i dwóch kątów tego trójkąta). 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 11 14 4 pkt – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥 ∈ (− , ). 3 3 3 pkt – rozwiązanie nierówności w dwóch spośród rozważanych przedziałów/przypadków (o ile rozpatruje nierówność w przedziałach/przypadkach, których suma jest równa ℝ/wyczerpujących zbiór ℝ) ALBO – zapisanie nierówności w postaci równoważnej koniunkcji dwóch nierówności: 25 25 𝑥 + 2 < 3 − |𝑥 − 3| i 𝑥 + 2 > − ( 3 − |𝑥 − 3|), a następnie w postaci równoważnej koniunkcji nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej: 19 19 31 31 𝑥 − 3 < 3 − 𝑥 i 𝑥 − 3 > − ( 3 − 𝑥) i 𝑥 − 3 < 𝑥 + 3 i 𝑥 − 3 > − (𝑥 + 3 ), ALBO – odczytanie z wykresów funkcji 𝑓 oraz 𝑔 pierwszych współrzędnych punktów ich 11 14 przecięcia: 𝑥 = − oraz 𝑥 = i sprawdzenie rachunkiem poprawności 3 3 odczytanych współrzędnych. 2 pkt – zastosowanie definicji wartości bezwzględnej lub własności wartości bezwzględnej i zapisanie danej nierówności odpowiednio w trzech przedziałach: (−∞, −2), [−2, 3), [3, +∞), lub w czterech przypadkach: 𝑥 + 2 < 0 i 𝑥 − 3 < 0, 𝑥 + 2 < 0 i 𝑥 − 3 ≥ 0, 𝑥 + 2 ≥ 0 i 𝑥 − 3 < 0, 𝑥 + 2 ≥ 0 i 𝑥 − 3 ≥ 0 (z dokładnością do domknięcia) ALBO – zapisanie nierówności w postaci równoważnej koniunkcji dwóch nierówności: 25 25 𝑥 + 2 < 3 − |𝑥 − 3| i 𝑥 + 2 > − ( 3 − |𝑥 − 3|), ALBO 25 – narysowanie wykresów funkcji 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 2| oraz 𝑔(𝑥) = − |𝑥 − 3|. 3 25 1 pkt – przekształcenie danej nierówności do postaci |𝑥 + 2| < − |𝑥 − 3|. 3 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeśli w rozwiązaniu algebraicznym zdający popełni błąd przy zapisie nierówności tylko w jednym z rozpatrywanych przypadków, ale konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeśli w rozwiązaniu graficznym zdający popełni jeden błąd przy rysowaniu wykresu funkcji 25 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 2| albo 𝑔(𝑥) = 3 − |𝑥 − 3|, ale otrzyma dwa punkty przecięcia i dalej konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za zapisanie wyrażeń w postaci |𝑥 + 2| oraz |𝑥 − 3| oraz konsekwentną interpretację zbioru rozwiązań). 11 14 3. Jeżeli zdający przy rozwiązaniu graficznym poda zbiór rozwiązań 𝑥 ∈ (− , ), ale nie 3 3 sprawdzi rachunkiem pierwszych współrzędnych punktów przecięcia wykresów funkcji 𝑓 i 𝑔, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 4𝑎 4 pkt – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝐿 = 1− 10 √ 4 8⋅(4+√10)𝑎 (lub 𝐿 = ). 3 √10 5 3 pkt – zapisanie: 𝐿 = 4𝑎 (1 + + 8 + … ). 4 √10 2 pkt – obliczenie ilorazu ciągu: 𝑞 = . 4 √10 1 pkt – obliczenie długości boku drugiego kwadratu: 𝑎2 = 𝑎. 4 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający obliczy tylko sumę długości boków (po jednym z każdego kwadratu), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający błędnie ustala stosunek podziału długości boku kwadratu i rozwiązuje zadanie konsekwentnie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za obliczenie ilorazu 𝑞 ciągu, o ile 𝑞 ∈ (0, 1), oraz za konsekwentne obliczenie sumy obwodów wszystkich kwadratów). 3. Jeżeli zdający przyjmuje do obliczeń konkretną długość boku kwadratu 𝐾1 i rozwiązuje zadanie konsekwentnie do końca, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie. 4. Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy i otrzyma iloraz 𝑞 ciągu, który jest liczbą spoza przedziału (0, 1), to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie (za poprawne obliczenie 𝑎2 ).

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów. Pierwszy etap polega na rozwiązaniu nierówności ∆> 0. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt. 11 1 pkt – poprawne rozwiązanie nierówności ∆> 0: 𝑚 ∈ (−∞, 2) ∪ ( , +∞). 5 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwaga: Jeżeli zdający rozwiązuje warunek ∆≥ 0, to za tę część rozwiązania otrzymuje 0 punktów. Drugi etap polega na wyznaczeniu tych wartości parametru 𝑚, dla których jest spełniony warunek 𝑥13 + 𝑥23 > −28. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 3 punkty. Podział punktów za drugi etap rozwiązania: 3 pkt – rozwiązanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚, wynikającej z warunku 9 𝑥13 + 𝑥23 > −28: 𝑚 ∈ (2, 4). 2 pkt – zapisanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚, wynikającej z warunku 𝑚−3 𝑥13 + 𝑥23 > −28, np. −64 − 3 ∙ (− 𝑚−2) ∙ (−4) > −28 ALBO 3 3 5𝑚−11 √5𝑚−11) > −28 i poprawne – zapisanie nierówności (−2 − √ ) + (−2 + 𝑚−2 𝑚−2 zastosowanie wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy/różnicy do co najmniej 3 3 5𝑚−11 5𝑚−11 jednego ze składników sumy (−2 − √ ) + (−2 + √ 𝑚−2 ) . 𝑚−2 1 pkt – przekształcenie nierówności 𝑥13 + 𝑥23 > −28 do postaci pozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, np. (𝑥1 + 𝑥2 )3 − 3𝑥1 𝑥2 (𝑥1 + 𝑥2 ) > −28 ALBO 𝑚−3 – wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego 𝑥 2 + 4𝑥 − w zależności 𝑚−2 −4−√20𝑚−44 𝑚−2 −4+√20𝑚−44 𝑚−2 od 𝑚: 𝑥1 = , 𝑥2 = . 2⋅1 2⋅1 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Trzeci etap polega na wyznaczeniu wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają 11 9 jednocześnie dwa warunki: Δ > 0 i 𝑥13 + 𝑥23 > −28: 𝑚 ∈ ( , ). 5 4 Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt. 1 pkt – poprawne wyznaczenie wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają 11 9 jednocześnie warunki Δ > 0 i 𝑥13 + 𝑥23 > −28: 𝑚 ∈ ( , ). 5 4 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający popełni w I i/lub II etapie jedynie błędy rachunkowe i otrzyma zbiory rozwiązań z I i II etapu, które nie są rozłączne i żaden z nich nie jest zbiorem liczb rzeczywistych, a następnie poprawnie wyznaczy część wspólną zbiorów rozwiązań z etapów I i II, to za III etap otrzymuje 1 punkt. 𝑚−3 2. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania popełni błąd i przyjmie, że 𝑥1 + 𝑥2 = ± lub 𝑚−2 𝑥1 ⋅ 𝑥2 = ± 4, to za II etap może otrzymać co najwyżej 1 punkt, a za III etap otrzymuje 0 punktów. 3. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania popełni błąd, który nie jest rachunkowy (np. pominie istotne nawiasy przy przekształcaniu nierówności 𝑥13 + 𝑥23 > −28 do postaci pozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, albo przyjmie, że 𝑥13 + 𝑥23 = (𝑥1 + 𝑥2 )[(𝑥1 + 𝑥2 )2 − 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ], i konsekwentnie do popełnionego błędu doprowadzi rozwiązanie II etapu zadania do końca, to może uzyskać co najwyżej 1 punkt za II etap.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 2 ⋅ log2 √27 ⋅ log3 2 2 2 pkt – poprawne przekształcenie wyrażenia 81log3 𝑥 + ⋅ 𝑥 − 6𝑥 do 3 postaci 𝑥 4 + 𝑥 2 − 6𝑥 . 4 1 pkt – poprawne zastosowanie własności 𝑎log𝑎 𝑏 = 𝑏 , tj. przekształcenie wyrażenia 3log3 𝑥 4 (lub (3log3 𝑥 ) ) do postaci 𝑥 4 ALBO – poprawne zastosowanie wzoru na zamianę podstawy logarytmu. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 4 pkt – uzasadnienie, że funkcja 𝑓 przyjmuje wartość najmniejszą dla 𝑥 = 1 i obliczenie wartości najmniejszej funkcji 𝑓 : (−4). 3 pkt – uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja 𝑓 przyjmuje wartość najmniejszą dla 𝑥 = 1. 2 pkt – poprawne rozwiązanie równania 4𝑥 3 + 2𝑥 − 6 = 0: 𝑥 = 1. 1 pkt – wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓 : 𝑓 ′ (𝑥) = 4𝑥 3 + 2𝑥 − 6. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający wyznaczy pochodną funkcji 𝑓 z błędem i wyznaczona pochodna nie jest wielomianem stopnia trzeciego, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 2. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja posiada wartość najmniejszą dla wyznaczonej wartości 𝑥 , przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy zdający bada znak pochodnej oraz: – opisuje (słownie lub graficznie - np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji 𝑓 LUB – zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑥 funkcja 𝑓 ma minimum lokalne i jest to jednocześnie jej najmniejsza wartość LUB – zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑥 funkcja 𝑓 ma minimum lokalne i jest to jedyne ekstremum tej funkcji. 3. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku, np. znakami „+” i „-” znak pochodnej. 4. Jeżeli zdający przedstawi niepełne uzasadnienie, że dla 𝑥 = 1 funkcja 𝑓 osiąga najmniejszą wartość i obliczy 𝑓(1) = −4, to otrzymuje 3 punkty za całe rozwiązanie. Jeśli zdający nie przedstawi żadnego uzasadnienia i obliczy 𝑓(1) = −4, to otrzymuje co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie. 5. Jeżeli zdający: – nie rozwiązuje równania 4𝑥 3 + 2𝑥 − 6 = 0, lecz stwierdza, że liczba 1 jest jego rozwiązaniem bez uzasadnienia, że jest to jedyne rozwiązanie rzeczywiste tego równania ALBO – popełnia błąd (który nie jest błędem rachunkowym) przy rozkładzie wielomianu 4𝑥 3 + 2𝑥 − 6 na czynniki, ale otrzymuje wielomian stopnia trzeciego, który przyjmuje w zbiorze (0, +∞) wartość najmniejszą i dalej konsekwentnie rozwiązuje zadanie do końca, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 11 3 6 pkt – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝐶 = ( , − 10). 10 5 pkt – zapisanie jednego równania stopnia pierwszego i równania stopnia drugiego z dwiema niewiadomymi, np. 1 3 𝑦 = 2 (𝑥 − 2) − 2 { (pr. 𝐴𝐶 i okrąg 𝒪), 1 (𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 1)2 = 2 𝑦 = 7(𝑥 − 1) − 1 { 1 (pr. 𝑆𝐶 i okrąg 𝒪), (𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 1)2 = 2 ALBO 4 – wyznaczenie równania prostej 𝐶𝐶1 : 𝑦 = −𝑥 + , 5 ALBO – zapisanie układu równań liniowych, np. równań prostych 𝐴𝐶 i 𝐵𝐶 . 4 pkt – zapisanie jednego równania z dwiema niewiadomymi, np. 1 3 𝑦 = 2 (𝑥 − 2) − 2 (pr. 𝐴𝐶 ), 1 (𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 1)2 = (okrąg 𝒪), 2 𝑦 = 7(𝑥 − 1) − 1 (pr. 𝑆𝐶), 2 2 √ 2 = √(3 − 𝑥) + (− 1 − 𝑦) (okrąg o środku w punkcie 𝐵 i promieniu 𝐵𝐶 ), 10 2 2 2 2 2 1 3 3√ = √( − 𝑥) + (− − 𝑦) (okrąg o środku w punkcie 𝐴 i promieniu 𝐴𝐶 ), 10 2 2 2 2 √(3 −𝑥) +(−1 −𝑦) 2 2 1 2 2 = 3 (wykorzystanie zależności między przyprostokątnymi 𝐵𝐶 √(1 −𝑥) +(−3−𝑦) 2 2 oraz 𝐴𝐶 ). 3 pkt – obliczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐴𝐶 : 2 oraz obliczenie 1 3 współrzędnych punktów przecięcia paraboli z prostą 𝑙 : 𝐴 = ( , − ) oraz 2 2 3 1 𝐵 = ( ,− ) 2 2 ALBO – obliczenie współrzędnych środka 𝑆 okręgu 𝒪 lub promienia 𝑅 okręgu 𝒪: √2 𝑆 = (1, −1) lub 𝑅 = 2 , lub |𝐴𝐵| = √2, ALBO – obliczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝑆𝐶 : 7 oraz obliczenie 1 3 współrzędnych punktów przecięcia paraboli z prostą 𝑙 : 𝐴 = ( , − ) oraz 2 2 3 1 𝐵 = ( , − ). 2 2 1 3 2 pkt – obliczenie współrzędnych punktów przecięcia paraboli z prostą 𝑙 : 𝐴 = ( , − ) 2 2 3 1 oraz 𝐵 = ( , − ) 2 2 ALBO – obliczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐴𝐶 : 2, ALBO – obliczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝑆𝐶 : 7, ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą (jedną ze współrzędnych punktu 𝐴 lub 𝐵), 𝑦 = 4𝑥 2 − 7𝑥 + 1 które wynika z układu równań { oraz zapisanie, że 𝑥−𝑦−2=0 𝑎𝐴𝐶 = tg(𝛼 + 45°) (lub 𝑎𝑆𝐶 = tg(2𝛼 + 45°) ), ALBO – zapisanie, że pierwsza/druga współrzędna środka 𝑆 okręgu jest średnią arytmetyczną rozwiązań równania 4𝑥 2 − 8𝑥 + 3 = 0 (lub 4𝑦 2 + 8𝑦 + 3 = 0), np. 8 𝑥1 +𝑥2 𝑥𝑆 = , 𝑥𝑆 = 24 (wzory Viète’a). 2 1 pkt – zapisanie równania z jedną niewiadomą (jedną ze współrzędnych punktu 𝐴 lub 𝐵), 𝑦 = 4𝑥 2 − 7𝑥 + 1 które wynika z układu równań { , np. 𝑥−𝑦−2=0 𝑥 − 2 = 4𝑥 2 − 7𝑥 + 1, 𝑦 = 4(𝑦 + 2)2 − 7(𝑦 + 2) + 1 ALBO – zapisanie, że 𝑎𝐴𝐶 = tg(𝛼 + 45°) lub 𝑎𝑆𝐶 = tg(2𝛼 + 45°). 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 11 3 1. Jeżeli zdający obliczy 𝐶1 = ( , − 10) oraz 𝐶2 (różny od 𝐶1 ) i nie odrzuci 𝐶2 , to 10 otrzymuje 5 punktów za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest: a) zastosowanie niepoprawnej równości tg(𝛼 + 𝛽) = tg𝛼 + tg𝛽 , b) zastosowanie niepoprawnej definicji funkcji trygonometrycznej, c) podstawienie do równania okręgu średnicy zamiast promienia, d) błędne zastosowanie wzorów Viète’a przy obliczaniu współrzędnych środka okręgu, to zdający może otrzymać co najwyżej 4 punkty za całe rozwiązanie.