Matematyka 2023 — poziom rozszerzony — Formuła 2015

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 2 pkt – odpowiedź całkowicie poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 3 pkt – przeprowadzenie pełnego rozumowania, tj. przekształcenie nierówności 𝑥 3 − 𝑥 2 𝑦 ≤ 𝑥𝑦 2 − 𝑦 3 do postaci, z której można bezpośrednio wnioskować o równości liczb 𝑥 i 𝑦 (lub do postaci, z której można bezpośrednio wnioskować, że jedna z liczb: 𝑥 , 𝑦, jest równa 2) oraz obliczenie tych liczb: 𝑥 = 2 oraz 𝑦 = 2. 2 pkt – zastosowanie wzoru na sześcian różnicy oraz kwadrat różnicy, wykorzystanie założenia i zapisanie nierówności kwadratowej z jedną niewiadomą 𝑥 (lub 𝑦) w postaci 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0 lub 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0, np. 16𝑥 2 − 64𝑥 + 64 ≤ 0 ALBO – wykorzystanie założenia 𝑥 + 𝑦 = 4 i zapisanie nierówności w postaci 4(𝑥 − 𝑦)2 ≤ 0 (lub 4(4 − 2𝑦)2 ≤ 0, lub 4(2𝑥 − 4)2 ≤ 0), ALBO – przekształcenie nierówności do postaci (𝑥 − 𝑦)2 ⋅ (𝑥 + 𝑦) ≤ 0 oraz poprawne określenie znaku jednego z czynników iloczynu (𝑥 − 𝑦)2 ⋅ (𝑥 + 𝑦), ALBO – zastosowanie nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną, zapisanie obu przypadków i przeprowadzenie poprawnego rozumowania dla jednego z tych przypadków. 1 pkt – wykorzystanie zależności 𝑥 + 𝑦 = 4 i zapisanie nierówności z jedną niewiadomą, np. 𝑥 3 − 𝑥 2 (4 − 𝑥) ≤ 𝑥(4 − 𝑥)2 − (4 − 𝑥)3 ALBO – przekształcenie nierówności 𝑥 3 − 𝑥 2 𝑦 ≤ 𝑥𝑦 2 − 𝑦 3 do postaci (𝑥 − 𝑦)(𝑥 2 − 𝑦 2 ) ≤ 0, ALBO – przekształcenie nierówności 𝑥 3 − 𝑥 2 𝑦 ≤ 𝑥𝑦 2 − 𝑦 3 do postaci 𝑥 ⋅ 𝑦 ≥ 4. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwaga: Jeżeli zdający podstawia do związków 𝑥 + 𝑦 = 4 oraz 𝑥 3 − 𝑥 2 𝑦 ≤ 𝑥𝑦 2 − 𝑦 3 konkretne wartości liczbowe i na tym opiera swoją argumentację, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 3 pkt – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: |𝑁𝐷| = √3 + 1. 2 pkt – obliczenie długości odcinka 𝐵𝑁: √3 − 1 ALBO – obliczenie długości odcinka 𝐵𝐷 : |𝐵𝐷| = 2√3 i zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑥 (długością odcinka 𝐵𝑁), ALBO 𝑥 2+√3 – zapisanie równania = 1 z niewiadomą 𝑥 = |𝐷𝑁| (otrzymanego 2√3−𝑥 z podobieństwa trójkątów 𝐵𝐿𝑁 i 𝐷𝐸𝑁 , sposób VII), ALBO 1 √3 – obliczenie współrzędnych punktu 𝑁 : 𝑁 = ( , ) i obliczenie długości √3+1 √3+1 odcinka 𝐵𝐷 : |𝐵𝐷| = 2√3 (sposób V), ALBO 1 √3 – obliczenie współrzędnych punktów 𝑁 i 𝐷 : 𝑁 = ( , ) i 𝐷 = (√3, 3) √3+1 √3+1 (sposób V), ALBO 1 √3 – obliczenie współrzędnych punktu 𝑁 : 𝑁 = ( , ) i zapisanie długości |𝐷𝑁| √3+1 √3+1 √3 ⋅ √ 1 − 1 ⋅ √ 3 + 4| √ |− 3 3+1 3+1 w postaci (sposób V). 2 √(− √3 2 ) +(−1) 3 1 pkt – zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑥 = |𝐵𝑁|, np. 1 1 1 ∙ 1 ∙ 𝑥 ∙ sin60° + 2 ∙ 𝑥 ∙ 1 ∙ sin30° = 2 (z sumy pól trójkątów 𝐵𝐿𝑁 oraz 𝐾𝐵𝑁), 2 1 𝑥 = (z twierdzenia sinusów dla trójkąta 𝐵𝑁𝐾 ), sin 105° sin 45° 1 𝑥 = (z twierdzenia sinusów dla trójkąta 𝐵𝑁𝐿), sin 75° sin 45° 1 𝑥⋅√3 1 − 2 ∙ 𝑥 = 2 (ze związków miarowych w trójkątach 𝐵𝐸𝑁 i 𝐸𝐿𝑁), ALBO – obliczenie długości odcinka 𝐵𝐷 i zapisanie |𝐵𝐷| = 2√3, ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑥 (pierwszą lub drugą współrzędną punktu 𝑁 ), np. −𝑥 + 1 = √3𝑥 (sposób V), ALBO – wyznaczenie równań prostych 𝐴𝐶 i 𝐵𝐷 oraz obliczenie współrzędnych punktu 𝐷 : 𝐷 = (√3, 3) (sposób V). 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano nieprawidłową metodę, albo brak rozwiązania. Uwaga: W rozwiązaniach nie są akceptowane przybliżenia dziesiętne liczb rzeczywistych.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 3 pkt – zastosowanie poprawnej metody obliczenia prawdopodobieństwa i poprawny 2 wynik: . 7 2 pkt – zapisanie/obliczenie prawdopodobieństwa zdarzeń 𝐵1 , 𝐵2 , 𝐵3 oraz prawdopodobieństw warunkowych 𝑃(𝐴|𝐵1 ), 𝑃(𝐴|𝐵2 ), 𝑃(𝐴|𝐵3 ): (2) 5 5 (1) ⋅ (2 2 1) (2) 2 1 𝑃(𝐵1 ) = 7 i 𝑃(𝐵2 ) = 7 ,i 𝑃(𝐵3 ) = 7 ,i 𝑃(𝐴|𝐵1 ) = ,i 𝑃(𝐴|𝐵2 ) = , (2) (2) (2) 5 5 i 𝑃(𝐴|𝐵3 ) = 0 ALBO – zapisanie prawdopodobieństw na wszystkich odcinkach istotnych gałęzi drzewa, ALBO – zapisanie/obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych oraz liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴, przy zastosowaniu klasycznej definicji prawdopodobieństwa: |Ω| = 7 ⋅ 6 ⋅ 5 oraz |𝐴| = 5 ⋅ 4 ⋅ 2 + 5 ⋅ 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ 5 ⋅ 1 (lub |𝐴| = |𝐴1 | + |𝐴2 | + |𝐴3 | = 60). 1 pkt – opisanie zdarzeń losowych 𝐵1 , 𝐵2 , 𝐵3 i obliczenie ich prawdopodobieństw: (2) 5 5 (1) ⋅ (2 2 1) ( ) 𝑃(𝐵1 ) = 7 , 𝑃(𝐵2 ) = 7 , 𝑃(𝐵3 ) = 27 (2) (2) (2) ALBO – narysowanie drzewa stochastycznego doświadczenia i zapisanie prawdopodobieństw na gałęziach drzewa I etapu doświadczenia (dla drzewa dwuetapowego) lub I i II etapu (dla drzewa trzyetapowego), ALBO – obliczenie prawdopodobieństw wylosowania kuli czarnej na ostatnim etapie oraz 2 1 właściwe zinterpretowanie wcześniejszych etapów doświadczenia: , , 5 5 ALBO – zapisanie/obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych lub liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴, przy zastosowaniu klasycznej definicji prawdopodobieństwa: |Ω| = 7 ⋅ 6 ⋅ 5 lub |𝐴| = 5 ⋅ 4 ⋅ 2 + 5 ⋅ 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ 5 ⋅ 1 (lub |𝐴| = |𝐴1 | + |𝐴2 | + |𝐴3 | = 60). 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano nieprawidłową metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający, stosując twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym, pominie składnik 𝑃(𝐵3 ) ⋅ 𝑃(𝐴|𝐵3), to może otrzymać 3 punkty za całe rozwiązanie. 2 2. Jeżeli zdający zapisze jedynie 𝑃(𝐴) = , to otrzymuje 1 punkt. 7 2 3. Jeżeli zdający zapisze 𝑃(𝐴) = i zapisze poprawny komentarz uzasadniający 7 otrzymany wynik, to otrzymuje 3 punkty.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 8 9 3 pkt – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥0 = −3 oraz 𝑦 = − 𝑥 + 11 11 8 (lub 𝑦 = − (𝑥 + 3) + 3). 11 2 pkt – obliczenie odciętej punktu 𝑃 i wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓 : 𝑥0 = −3 oraz (6𝑥−2)⋅(𝑥2 +2𝑥+8)−(3𝑥2 −2𝑥)⋅(2𝑥+2) 𝑓 ′ (𝑥) = 2 . (𝑥2 +2𝑥+8) 1 pkt – obliczenie odciętej punktu 𝑃: 𝑥0 = −3 ALBO (6𝑥−2)⋅(𝑥2 +2𝑥+8)−(3𝑥2 −2𝑥)⋅(2𝑥+2) ′ (𝑥) – wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓 : 𝑓 = 2 . (𝑥2 +2𝑥+8) 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwaga: Jeżeli zdający błędnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 11 14 4 pkt – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥 ∈ (− , ). 3 3 3 pkt – rozwiązanie nierówności w dwóch spośród rozważanych przedziałów/przypadków (o ile rozpatruje nierówność w przedziałach/przypadkach, których suma jest równa ℝ/wyczerpujących zbiór ℝ) ALBO – zapisanie nierówności w postaci równoważnej koniunkcji dwóch nierówności: 25 25 𝑥 + 2 < 3 − |𝑥 − 3| i 𝑥 + 2 > − ( 3 − |𝑥 − 3|), a następnie w postaci równoważnej koniunkcji nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej: 19 19 31 31 𝑥 − 3 < 3 − 𝑥 i 𝑥 − 3 > − ( 3 − 𝑥) i 𝑥 − 3 < 𝑥 + 3 i 𝑥 − 3 > − (𝑥 + 3 ), ALBO – odczytanie z wykresów funkcji 𝑓 oraz 𝑔 pierwszych współrzędnych punktów ich 11 14 przecięcia: 𝑥 = − oraz 𝑥 = i sprawdzenie rachunkiem poprawności 3 3 odczytanych współrzędnych. 2 pkt – zastosowanie definicji wartości bezwzględnej lub własności wartości bezwzględnej i zapisanie danej nierówności odpowiednio w trzech przedziałach: (−∞, −2), ⟨−2, 3), ⟨3, +∞), lub w czterech przypadkach: 𝑥 + 2 < 0 i 𝑥 − 3 < 0, 𝑥 + 2 < 0 i 𝑥 − 3 ≥ 0, 𝑥 + 2 ≥ 0 i 𝑥 − 3 < 0, 𝑥 + 2 ≥ 0 i 𝑥 − 3 ≥ 0 (z dokładnością do domknięcia) ALBO – zapisanie nierówności w postaci równoważnej koniunkcji dwóch nierówności: 25 25 𝑥 + 2 < 3 − |𝑥 − 3| i 𝑥 + 2 > − ( 3 − |𝑥 − 3|), ALBO 25 – narysowanie wykresów funkcji 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 2| oraz 𝑔(𝑥) = − |𝑥 − 3|. 3 25 1 pkt – przekształcenie danej nierówności do postaci |𝑥 + 2| < − |𝑥 − 3|. 3 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeśli w rozwiązaniu algebraicznym zdający popełni błąd przy zapisie nierówności tylko w jednym z rozpatrywanych przypadków, ale konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeśli w rozwiązaniu graficznym zdający popełni jeden błąd przy rysowaniu wykresu funkcji 25 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 2| albo 𝑔(𝑥) = 3 − |𝑥 − 3|, ale otrzyma dwa punkty przecięcia i dalej konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za zapisanie wyrażeń w postaci |𝑥 + 2| oraz |𝑥 − 3| oraz konsekwentną interpretację zbioru rozwiązań). 11 14 3. Jeżeli zdający przy rozwiązaniu graficznym poda zbiór rozwiązań 𝑥 ∈ (− , ), ale nie 3 3 sprawdzi rachunkiem pierwszych współrzędnych punktów przecięcia wykresów funkcji 𝑓 i 𝑔, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 4𝑎 4 pkt – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝐿 = 1− 10 √ 4 8⋅(4+√10)𝑎 (lub 𝐿 = ). 3 √10 5 3 pkt – zapisanie: 𝐿 = 4𝑎 (1 + + 8 + … ). 4 √10 2 pkt – obliczenie ilorazu ciągu: 𝑞 = . 4 √10 1 pkt – obliczenie długości boku drugiego kwadratu: 𝑎2 = 𝑎. 4 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający obliczy tylko sumę długości boków (po jednym z każdego kwadratu), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający błędnie ustala stosunek podziału długości boku kwadratu i rozwiązuje zadanie konsekwentnie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za obliczenie ilorazu 𝑞 ciągu, o ile 𝑞 ∈ (0, 1), oraz za konsekwentne obliczenie sumy obwodów wszystkich kwadratów). 3. Jeżeli zdający przyjmuje do obliczeń konkretną długość boku kwadratu 𝐾1 i rozwiązuje zadanie konsekwentnie do końca, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie. 4. Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy i otrzyma iloraz 𝑞 ciągu, który jest liczbą spoza przedziału (0, 1), to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie (za poprawne obliczenie 𝑎2 ).

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 7𝜋 11𝜋 4 pkt – poprawna metoda rozwiązania równania i poprawny wynik: 𝜋, , , 2𝜋. 6 6 3 pkt – przekształcenie równania 3 sin2 𝑥 − sin2 2𝑥 = 0 do alternatywy równań trygonometrycznych i rozwiązanie dwóch z otrzymanych równań w zbiorze ℝ lub jednego z nich w przedziale 〈𝜋, 2𝜋〉. 2 pkt – zapisanie alternatywy równań: sin2 𝑥 = 0 lub 3 − 4 cos 2 𝑥 = 0 ALBO – zapisanie alternatywy równań: sin2 𝑥 = 0 lub 4 sin2 𝑥 − 1 = 0, ALBO – zapisanie alternatywy równań: √3 sin 𝑥 − 2sin 𝑥 cos 𝑥 = 0 lub √3 sin 𝑥 + 2sin 𝑥 cos 𝑥 = 0, ALBO – zapisanie i rozwiązanie równania kwadratowego z niewiadomą 𝑡 = cos 2 𝑥 (np. 3 4𝑡 2 − 7𝑡 + 3 = 0 i 𝑡 = 1 oraz 𝑡 = 4 ), ALBO – zapisanie i rozwiązanie równania kwadratowego z niewiadomą 𝑡 = sin2 𝑥 (np. 1 4𝑡 2 − 𝑡 = 0 i 𝑡 = 0 oraz 𝑡 = 4 ), ALBO – zapisanie alternatywy równań: |sin 𝑥| = 0 lub √3 − 2|cos 𝑥| = 0. 1 pkt – przekształcenie równania 3 sin2 𝑥 − sin2 2𝑥 = 0 do jednej z poniższych postaci: sin2 𝑥 (3 − 4 cos2 𝑥) = 0 lub sin2 𝑥 (4 sin2 𝑥 − 1) = 0, lub 4 cos 4 𝑥 − 7 cos 2 𝑥 + 3 = 0, lub 4 sin4 𝑥 − sin2 𝑥 = 0, lub (√3 sin 𝑥 − sin 2𝑥)(√3 sin 𝑥 + sin 2𝑥) = 0, lub |√3 sin 𝑥| = |sin 2𝑥|. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano nieprawidłową metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest: – podzielenie obu stron równania przez sin 𝑥 (bez stosownego założenia) – zastosowania niepoprawnej zależności √𝑎2 = 𝑎 – zastosowania niepoprawnej zależności √𝑎2 − 𝑏 2 = 𝑎 − 𝑏 i zdający konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (o ile nie nabył praw do innej punktacji). 2. Jeżeli zdający, przekształcając lewą stronę równania, zapisze ją w postaci sin 𝑥 ⋅ (3 − 4 cos 2 𝑥) lub sin 𝑥 ⋅ (√3 − 2 cos 𝑥)(√3 + 2 cos 𝑥), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 4 pkt – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 16√3 + 10. 3 pkt – obliczenie długości boku 𝐴𝐵 : |𝐴𝐵| = 8√3 i zapisanie 𝑂𝑏𝐴𝐵𝐶𝐷 = 2 ⋅ (|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|) ALBO – obliczenie długości boku 𝐴𝐵 : |𝐴𝐵| = 8√3 i zapisanie równania 8√3 + 5 = 4 + |𝐴𝐷|. 2 pkt – obliczenie długości boku 𝐴𝐵 : 8√3 ALBO – zapisanie równości 1) i 3) określonych w kryterium oceniania za 1 punkt, ALBO – zapisanie równości 2) i 3) określonych w kryterium oceniania za 1 punkt, ALBO – zapisanie równości 1) i 4) określonych w kryterium oceniania za 1 punkt. 1 pkt – zapisanie jednej z poniższych równości 1)- 4): |𝐴𝐵| 4 1 2 √3 1) √ = 1 lub = , 3 4 |𝐴𝐵| 2 4 1 √3 1 1 2) ⋅ 4 ⋅ |𝐴𝐶| ⋅ = ⋅ |𝐴𝐶| ⋅ |𝐴𝐵| ⋅ , 2 2 2 4 3) 𝑂𝑏𝐴𝐵𝐶𝐷 = 2 ⋅ (|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|), 4) |𝐴𝐵| + 5 = 4 + |𝐴𝐷| ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑥 (długością boku 𝐴𝐵 ), np. 2 𝑥√15 𝑥√15 𝑥 2 = 16 + (2 + ) − 4 (2 + ), 4 4 2 √15 √15 √15 16 = (2 + 𝑥) + 𝑥 2 − ⋅ (2 + 𝑥) 𝑥 4 2 4 (z twierdzenia cosinusów dla trójkąta 𝐴𝐵𝐶 i dwóch kątów tego trójkąta). 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 4 pkt – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: √6. 3 pkt – zapisanie równania z jedną niewiadomą (długością odcinka 𝑆𝑃), np.: |𝑆𝑃| 3√2 = (z podobieństwa trójkątów 𝑃𝐻𝑆 i 𝐴𝐻𝐵, sposób I), 6 6√3 1 1 18√2 = 2 ⋅ 3√2 ⋅ 6 + 2 ⋅ 6√3 ⋅ |𝑆𝑃| (z równości pól 𝑃𝐻𝐴𝐵 = 𝑃𝐵𝐴𝑆 + 𝑃𝐻𝑆𝐵 ), 1 1 1 9√2 = 2 ⋅ 6√3 ⋅ |𝑆𝑃| (z równości 𝑃𝐻𝑆𝐵 = 2 ⋅ |𝐻𝑆| ⋅ |𝐴𝐵| = 2 ⋅ |𝐻𝐵| ⋅ |𝑆𝑃|, sposób II), ALBO 9√2 – obliczenie pola trójkąta 𝐻𝑆𝑅 oraz długości odcinka 𝐻𝑅: 𝑃∆𝐻𝑆𝑅 = oraz 2 |𝐻𝑅| = 3√3, ALBO – obliczenie długości odcinków 𝐻𝑃 i 𝐻𝑆: |𝐻𝑃| = 2√3 i |𝐻𝑆| = 3√2, ALBO – obliczenie długości odcinków 𝐻𝑃 oraz cosinusa/tangensa kąta 𝑆𝐻𝑃: |𝐻𝑃| = 2√3 √6 √2 i cos ∡𝑆𝐻𝑃 = (tg ∡𝑆𝐻𝑃 = ), 3 2 ALBO – obliczenie długości 𝐴𝐾 : 𝐴𝐾 = 2√6. 2 pkt – obliczenie długości boków trójkąta 𝐻𝑆𝐵: |𝐻𝑆| = 3√2, |𝐻𝐵| = 6√3, |𝑆𝐵| = 3√6 ALBO – zapisanie proporcji wynikającej z podobieństwa dwóch trójkątów prostokątnych, przy czym jednym z nich jest trójkąt 𝐻𝑆𝑃, ALBO – obliczenie/zapisanie długości odcinków 𝐵𝐻 oraz 𝑆𝑅 : |𝐵𝐻| = 6√3 oraz |𝑆𝑅| = 3, ALBO √6 – obliczenie wartości funkcji trygonometrycznej kąta 𝑆𝐻𝑅: np. cos ∡𝑆𝐻𝑅 = , 3 √3 √2 sin ∡𝑆𝐻𝑅 = 3 , tg ∡𝑆𝐻𝑅 = 2 , ALBO – obliczenie pola trójkąta 𝐻𝐴𝐵: 𝑃𝛥𝐻𝐴𝐵 = 18√2, ALBO 1 – obliczenie długości odcinka 𝑆𝐵 i sinusa kąta 𝑆𝐵𝐻: |𝑆𝐵| = 3√6 i sin ∡𝑆𝐵𝐻 = , 3 ALBO – zapisanie pola trójkąta 𝐻𝐴𝐵 jako sumy pól trójkątów 𝑆𝐴𝐵 oraz 𝐻𝑆𝐵 i zapisanie 1 1 𝑃𝐻𝑆𝐵 = 2 ⋅ |𝐻𝐵| ⋅ |𝑆𝑃| (lub 𝑃𝐻𝑆𝐵 = 2 ⋅ 𝑃𝐻𝐴𝐵 ), ALBO 1 – zapisanie pola trójkąta 𝐻𝑆𝐵 na dwa sposoby: 𝑃𝐻𝑆𝐵 = ⋅ |𝐻𝑆| ⋅ |𝐴𝐵| oraz 2 1 𝑃𝐻𝑆𝐵 = 2 ⋅ |𝐻𝐵| ⋅ |𝑆𝑃|, ALBO – obliczenie pola trójkąta 𝐻𝑆𝐵: 𝑃𝐻𝑆𝐵 = 9√2. 1 pkt – obliczenie/zapisanie długości jednego z odcinków 𝐵𝐻, 𝑆𝑅, 𝐻𝑆 albo 𝐵𝑆: |𝐵𝐻| = 6√3, |𝑆𝑅| = 3, |𝐻𝑆| = 3√2, |𝐵𝑆| = 3√6. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest: a) zastosowanie niepoprawnej definicji jednej funkcji trygonometrycznej b) błędne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa c) zastosowanie niepoprawnej tożsamości √𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑥 + 𝑦 d) błędne zastosowanie twierdzenia cosinusów lub sinusów e) błędne zastosowanie wzoru Herona to zdający może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie. 1 2. Jeżeli zdający korzysta ze związku |𝐻𝑃| = ⋅ |𝐻𝐵| (gdzie 𝑃 jest spodkiem wysokości 3 poprowadzonej z wierzchołka 𝑆 na podstawę 𝐻𝐵 trójkąta 𝐻𝑆𝐵) i nie uzasadni jego prawdziwości, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie. 𝐻 𝐺

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów. Pierwszy etap polega na rozwiązaniu nierówności ∆> 0. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt. 11 1 pkt – poprawne rozwiązanie nierówności ∆> 0: 𝑚 ∈ (−∞, 2) ∪ ( , +∞). 5 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwaga: Jeżeli zdający rozwiązuje warunek ∆≥ 0, to za tę część rozwiązania otrzymuje 0 punktów. Drugi etap polega na wyznaczeniu tych wartości parametru 𝑚, dla których jest spełniony warunek 𝑥13 + 𝑥23 > −28. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 3 punkty. Podział punktów za drugi etap rozwiązania: 3 pkt – rozwiązanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚, wynikającej z warunku 9 𝑥13 + 𝑥23 > −28: 𝑚 ∈ (2, 4). 2 pkt – zapisanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚, wynikającej z warunku 𝑚−3 𝑥13 + 𝑥23 > −28, np. −64 − 3 ∙ (− 𝑚−2) ∙ (−4) > −28 ALBO 3 3 5𝑚−11 5𝑚−11 – zapisanie nierówności (−2 − √ ) + (−2 + √ 𝑚−2 ) > −28 i poprawne 𝑚−2 zastosowanie wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy/różnicy do co najmniej 3 3 5𝑚−11 5𝑚−11 jednego ze składników sumy (−2 − √ ) + (−2 + √ 𝑚−2 ) . 𝑚−2 1 pkt – przekształcenie nierówności 𝑥13 + 𝑥23 > −28 do postaci pozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, np. (𝑥1 + 𝑥2 )3 − 3𝑥1 𝑥2 (𝑥1 + 𝑥2 ) > −28 ALBO 𝑚−3 – wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego 𝑥 2 + 4𝑥 − w zależności 𝑚−2 −4−√20𝑚−44 𝑚−2 −4+√20𝑚−44 𝑚−2 od 𝑚: 𝑥1 = , 𝑥2 = . 2⋅1 2⋅1 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Trzeci etap polega na wyznaczeniu wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają 11 9 jednocześnie dwa warunki: Δ > 0 i 𝑥13 + 𝑥23 > −28: 𝑚 ∈ ( , ). 5 4 Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt. 1 pkt – poprawne wyznaczenie wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają 11 9 jednocześnie warunki Δ > 0 i 𝑥13 + 𝑥23 > −28: 𝑚 ∈ ( , ). 5 4 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający popełni w I i/lub II etapie jedynie błędy rachunkowe i otrzyma zbiory rozwiązań z I i II etapu, które nie są rozłączne i żaden z nich nie jest zbiorem liczb rzeczywistych, a następnie poprawnie wyznaczy część wspólną zbiorów rozwiązań z etapów I i II, to za III etap otrzymuje 1 punkt. 𝑚−3 2. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania popełni błąd i przyjmie, że 𝑥1 + 𝑥2 = ± lub 𝑚−2 𝑥1 ⋅ 𝑥2 = ± 4, to za II etap może otrzymać co najwyżej 1 punkt, a za III etap otrzymuje 0 punktów. 3. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania popełni błąd, który nie jest rachunkowy (np. pominie istotne nawiasy przy przekształcaniu nierówności 𝑥13 + 𝑥23 > −28 do postaci pozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, albo przyjmie, że 𝑥13 + 𝑥23 = (𝑥1 + 𝑥2 )[(𝑥1 + 𝑥2 )2 − 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ], i konsekwentnie do popełnionego błędu doprowadzi rozwiązanie II etapu zadania do końca, to może uzyskać co najwyżej 1 punkt za II etap.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: Część a) 𝑚2 3 pkt – wyznaczenie pola 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jako funkcji zmiennej 𝑚: 𝑃(𝑚) = . 𝑚−4 𝑚 2 pkt – wyznaczenie pierwszej (lub drugiej) współrzędnej punktu 𝐶 : 𝑥𝐶 = 4−𝑚 2𝑚 (lub 𝑦𝐶 = ). 𝑚−4 2 1 pkt – wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐵𝐷 : 3−𝑚 ALBO – zapisanie równania prostej 𝐵𝐷 w postaci ogólnej, np. 2𝑥 + (𝑚 − 3)𝑦 − 2𝑚 = 0. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Część b) 4 pkt – wyznaczenie równania prostej 𝐵𝐶 w przypadku, gdy pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest 2 16 najmniejsze, np. 𝑦 = − 𝑥 + . 5 5 3 pkt – zbadanie znaku pochodnej funkcji 𝑃: 𝑃′ (𝑚) > 0 dla 𝑚 ∈ (8, +∞) oraz 𝑃′ (𝑚) < 0 dla 𝑚 ∈ (4, 8), oraz wyznaczenie (z uzasadnieniem) wartości zmiennej 𝑚, dla której funkcja 𝑃 osiąga wartość najmniejszą, np. funkcja 𝑃 zmiennej 𝑚 (określona na przedziale (4, +∞)) jest rosnąca w przedziale ⟨8, +∞) oraz malejąca w przedziale (4, 8⟩, więc w punkcie 𝑚 = 8 osiąga najmniejszą wartość ALBO – uzasadnienie, że dla 𝑚 = 8 funkcja 𝑃 osiąga wartość najmniejszą (przy metodzie średnich liczbowych). 2 pkt – obliczenie miejsc zerowych pochodnej funkcji 𝑃: 𝑚 = 8 ALBO – obliczenie wartości 𝑚, dla której zachodzi równość średniej arytmetycznej 16 i geometrycznej liczb dodatnich 𝑚 − 4 oraz : 𝑚 = 8. 𝑚−4 2𝑚(𝑚−4)−𝑚2 ⋅1 1 pkt – wyznaczenie wzoru pochodnej funkcji 𝑃, np. 𝑃′ (𝑚) = 2 (𝑚−4) ALBO – zapisanie nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną liczb 𝑚 − 4 16 oraz : 𝑚−4 16 𝑚−4+ 16 𝑚−4 ≥ √(𝑚 − 4) ⋅ 2 𝑚−4 ALBO – zapisanie nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną liczb 𝑚 − 4, 4 16 oraz : 𝑚−4 16 𝑚 − 4 + 4 + 𝑚−4 3 16 ≥ √(𝑚 − 4) ⋅ 4 ⋅ 3 𝑚−4 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi do części b): 1. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak i zaznaczając na rysunku, np. znakami „+” i „-”, znak pochodnej. 2. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja posiada wartość najmniejszą dla wyznaczonej wartości 𝑚, przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy zdający: – opisuje (słownie lub graficznie - np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji 𝑃 lub – zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑚 funkcja 𝑃 ma minimum lokalne i jest to jednocześnie jej najmniejsza wartość. Jeżeli zdający nie przedstawi takiego uzasadnienia, to za część b) może otrzymać co najwyżej 3 punkty. 3. Jeżeli zdający, przy uzasadnieniu, że funkcja 𝑃 przyjmuje najmniejszą wartość dla 𝑚 = 8, nie ogranicza się do przedziału (4, +∞), to za część b) może otrzymać co najwyżej 3 punkty. 4. Akceptujemy przedziały monotoniczności (4, 8), (8, +∞). 5. Jeżeli zdający wyznaczy minimum lokalne i nie zapisze, że jest to wartość najmniejsza, to otrzymuje co najwyżej 3 punkty za część b).

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 2 pkt – odpowiedź całkowicie poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 3 pkt – przeprowadzenie pełnego rozumowania, tj. przekształcenie nierówności 𝑥 3 − 𝑥 2 𝑦 ≤ 𝑥𝑦 2 − 𝑦 3 do postaci, z której można bezpośrednio wnioskować o równości liczb 𝑥 i 𝑦 (lub do postaci, z której można bezpośrednio wnioskować, że jedna z liczb: 𝑥 , 𝑦, jest równa 2) oraz obliczenie tych liczb: 𝑥 = 2 oraz 𝑦 = 2. 2 pkt – zastosowanie wzoru na sześcian różnicy oraz kwadrat różnicy, wykorzystanie założenia i zapisanie nierówności kwadratowej z jedną niewiadomą 𝑥 (lub 𝑦) w postaci 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0 lub 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0, np. 16𝑥 2 − 64𝑥 + 64 ≤ 0 ALBO – wykorzystanie założenia 𝑥 + 𝑦 = 4 i zapisanie nierówności w postaci 4(𝑥 − 𝑦)2 ≤ 0 (lub 4(4 − 2𝑦)2 ≤ 0, lub 4(2𝑥 − 4)2 ≤ 0), ALBO – przekształcenie nierówności do postaci (𝑥 − 𝑦)2 ⋅ (𝑥 + 𝑦) ≤ 0 oraz poprawne określenie znaku jednego z czynników iloczynu (𝑥 − 𝑦)2 ⋅ (𝑥 + 𝑦), ALBO – zastosowanie nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną, zapisanie obu przypadków i przeprowadzenie poprawnego rozumowania dla jednego z tych przypadków. 1 pkt – wykorzystanie zależności 𝑥 + 𝑦 = 4 i zapisanie nierówności z jedną niewiadomą, np. 𝑥 3 − 𝑥 2 (4 − 𝑥) ≤ 𝑥(4 − 𝑥)2 − (4 − 𝑥)3 ALBO – przekształcenie nierówności 𝑥 3 − 𝑥 2 𝑦 ≤ 𝑥𝑦 2 − 𝑦 3 do postaci (𝑥 − 𝑦)(𝑥 2 − 𝑦 2 ) ≤ 0, ALBO – przekształcenie nierówności 𝑥 3 − 𝑥 2 𝑦 ≤ 𝑥𝑦 2 − 𝑦 3 do postaci 𝑥 ⋅ 𝑦 ≥ 4. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwaga: Jeżeli zdający podstawia do związków 𝑥 + 𝑦 = 4 oraz 𝑥 3 − 𝑥 2 𝑦 ≤ 𝑥𝑦 2 − 𝑦 3 konkretne wartości liczbowe i na tym opiera swoją argumentację, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 3 pkt – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: |𝑁𝐷| = √3 + 1. 2 pkt – obliczenie długości odcinka 𝐵𝑁: √3 − 1 ALBO – obliczenie długości odcinka 𝐵𝐷 : |𝐵𝐷| = 2√3 i zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑥 (długością odcinka 𝐵𝑁), ALBO 𝑥 2+√3 – zapisanie równania = 1 z niewiadomą 𝑥 = |𝐷𝑁| (otrzymanego 2√3−𝑥 z podobieństwa trójkątów 𝐵𝐿𝑁 i 𝐷𝐸𝑁 , sposób VII), ALBO 1 √3 – obliczenie współrzędnych punktu 𝑁 : 𝑁 = ( , ) i obliczenie długości √3+1 √3+1 odcinka 𝐵𝐷 : |𝐵𝐷| = 2√3 (sposób V), ALBO 1 √3 – obliczenie współrzędnych punktów 𝑁 i 𝐷 : 𝑁 = ( , ) i 𝐷 = (√3, 3) √3+1 √3+1 (sposób V), ALBO 1 √3 – obliczenie współrzędnych punktu 𝑁 : 𝑁 = ( , ) i zapisanie długości |𝐷𝑁| √3+1 √3+1 √3 ⋅ √ 1 − 1 ⋅ √ 3 + 4| √ |− 3 3+1 3+1 w postaci (sposób V). 2 √(− √3 2 ) +(−1) 3 1 pkt – zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑥 = |𝐵𝑁|, np. 1 1 1 ∙ 1 ∙ 𝑥 ∙ sin60° + 2 ∙ 𝑥 ∙ 1 ∙ sin30° = 2 (z sumy pól trójkątów 𝐵𝐿𝑁 oraz 𝐾𝐵𝑁), 2 1 𝑥 = (z twierdzenia sinusów dla trójkąta 𝐵𝑁𝐾 ), sin 105° sin 45° 1 𝑥 = (z twierdzenia sinusów dla trójkąta 𝐵𝑁𝐿), sin 75° sin 45° 1 𝑥⋅√3 1 − 2 ∙ 𝑥 = 2 (ze związków miarowych w trójkątach 𝐵𝐸𝑁 i 𝐸𝐿𝑁), ALBO – obliczenie długości odcinka 𝐵𝐷 i zapisanie |𝐵𝐷| = 2√3, ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑥 (pierwszą lub drugą współrzędną punktu 𝑁 ), np. −𝑥 + 1 = √3𝑥 (sposób V), ALBO – wyznaczenie równań prostych 𝐴𝐶 i 𝐵𝐷 oraz obliczenie współrzędnych punktu 𝐷 : 𝐷 = (√3, 3) (sposób V). 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano nieprawidłową metodę, albo brak rozwiązania. Uwaga: W rozwiązaniach nie są akceptowane przybliżenia dziesiętne liczb rzeczywistych.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 3 pkt – zastosowanie poprawnej metody obliczenia prawdopodobieństwa i poprawny 2 wynik: . 7 2 pkt – zapisanie/obliczenie prawdopodobieństwa zdarzeń 𝐵1 , 𝐵2 , 𝐵3 oraz prawdopodobieństw warunkowych 𝑃(𝐴|𝐵1 ), 𝑃(𝐴|𝐵2 ), 𝑃(𝐴|𝐵3 ): (2) 5 5 (1) ⋅ (2 2 1) (2) 2 1 𝑃(𝐵1 ) = 7 i 𝑃(𝐵2 ) = 7 ,i 𝑃(𝐵3 ) = 7 ,i 𝑃(𝐴|𝐵1 ) = ,i 𝑃(𝐴|𝐵2 ) = , (2) (2) (2) 5 5 i 𝑃(𝐴|𝐵3 ) = 0 ALBO – zapisanie prawdopodobieństw na wszystkich odcinkach istotnych gałęzi drzewa, ALBO – zapisanie/obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych oraz liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴, przy zastosowaniu klasycznej definicji prawdopodobieństwa: |Ω| = 7 ⋅ 6 ⋅ 5 oraz |𝐴| = 5 ⋅ 4 ⋅ 2 + 5 ⋅ 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ 5 ⋅ 1 (lub |𝐴| = |𝐴1 | + |𝐴2 | + |𝐴3 | = 60). 1 pkt – opisanie zdarzeń losowych 𝐵1 , 𝐵2 , 𝐵3 i obliczenie ich prawdopodobieństw: (2) 5 5 (1) ⋅ (2 2 1) ( ) 𝑃(𝐵1 ) = 7 , 𝑃(𝐵2 ) = 7 , 𝑃(𝐵3 ) = 27 (2) (2) (2) ALBO – narysowanie drzewa stochastycznego doświadczenia i zapisanie prawdopodobieństw na gałęziach drzewa I etapu doświadczenia (dla drzewa dwuetapowego) lub I i II etapu (dla drzewa trzyetapowego), ALBO – obliczenie prawdopodobieństw wylosowania kuli czarnej na ostatnim etapie oraz 2 1 właściwe zinterpretowanie wcześniejszych etapów doświadczenia: , , 5 5 ALBO – zapisanie/obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych lub liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴, przy zastosowaniu klasycznej definicji prawdopodobieństwa: |Ω| = 7 ⋅ 6 ⋅ 5 lub |𝐴| = 5 ⋅ 4 ⋅ 2 + 5 ⋅ 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ 5 ⋅ 1 (lub |𝐴| = |𝐴1 | + |𝐴2 | + |𝐴3 | = 60). 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano nieprawidłową metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający, stosując twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym, pominie składnik 𝑃(𝐵3 ) ⋅ 𝑃(𝐴|𝐵3), to może otrzymać 3 punkty za całe rozwiązanie. 2 2. Jeżeli zdający zapisze jedynie 𝑃(𝐴) = , to otrzymuje 1 punkt. 7 2 3. Jeżeli zdający zapisze 𝑃(𝐴) = i zapisze poprawny komentarz uzasadniający 7 otrzymany wynik, to otrzymuje 3 punkty.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 8 9 3 pkt – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥0 = −3 oraz 𝑦 = − 𝑥 + 11 11 8 (lub 𝑦 = − (𝑥 + 3) + 3). 11 2 pkt – obliczenie odciętej punktu 𝑃 i wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓 : 𝑥0 = −3 oraz (6𝑥−2)⋅(𝑥2 +2𝑥+8)−(3𝑥2 −2𝑥)⋅(2𝑥+2) 𝑓 ′ (𝑥) = 2 . (𝑥2 +2𝑥+8) 1 pkt – obliczenie odciętej punktu 𝑃: 𝑥0 = −3 ALBO (6𝑥−2)⋅(𝑥2 +2𝑥+8)−(3𝑥2 −2𝑥)⋅(2𝑥+2) ′ (𝑥) – wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓 : 𝑓 = 2 . (𝑥2 +2𝑥+8) 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwaga: Jeżeli zdający błędnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 11 14 4 pkt – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥 ∈ (− , ). 3 3 3 pkt – rozwiązanie nierówności w dwóch spośród rozważanych przedziałów/przypadków (o ile rozpatruje nierówność w przedziałach/przypadkach, których suma jest równa ℝ/wyczerpujących zbiór ℝ) ALBO – zapisanie nierówności w postaci równoważnej koniunkcji dwóch nierówności: 25 25 𝑥 + 2 < 3 − |𝑥 − 3| i 𝑥 + 2 > − ( 3 − |𝑥 − 3|), a następnie w postaci równoważnej koniunkcji nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej: 19 19 31 31 𝑥 − 3 < 3 − 𝑥 i 𝑥 − 3 > − ( 3 − 𝑥) i 𝑥 − 3 < 𝑥 + 3 i 𝑥 − 3 > − (𝑥 + 3 ), ALBO – odczytanie z wykresów funkcji 𝑓 oraz 𝑔 pierwszych współrzędnych punktów ich 11 14 przecięcia: 𝑥 = − oraz 𝑥 = i sprawdzenie rachunkiem poprawności 3 3 odczytanych współrzędnych. 2 pkt – zastosowanie definicji wartości bezwzględnej lub własności wartości bezwzględnej i zapisanie danej nierówności odpowiednio w trzech przedziałach: (−∞, −2), ⟨−2, 3), ⟨3, +∞), lub w czterech przypadkach: 𝑥 + 2 < 0 i 𝑥 − 3 < 0, 𝑥 + 2 < 0 i 𝑥 − 3 ≥ 0, 𝑥 + 2 ≥ 0 i 𝑥 − 3 < 0, 𝑥 + 2 ≥ 0 i 𝑥 − 3 ≥ 0 (z dokładnością do domknięcia) ALBO – zapisanie nierówności w postaci równoważnej koniunkcji dwóch nierówności: 25 25 𝑥 + 2 < 3 − |𝑥 − 3| i 𝑥 + 2 > − ( 3 − |𝑥 − 3|), ALBO 25 – narysowanie wykresów funkcji 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 2| oraz 𝑔(𝑥) = − |𝑥 − 3|. 3 25 1 pkt – przekształcenie danej nierówności do postaci |𝑥 + 2| < − |𝑥 − 3|. 3 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeśli w rozwiązaniu algebraicznym zdający popełni błąd przy zapisie nierówności tylko w jednym z rozpatrywanych przypadków, ale konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeśli w rozwiązaniu graficznym zdający popełni jeden błąd przy rysowaniu wykresu funkcji 25 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 2| albo 𝑔(𝑥) = 3 − |𝑥 − 3|, ale otrzyma dwa punkty przecięcia i dalej konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za zapisanie wyrażeń w postaci |𝑥 + 2| oraz |𝑥 − 3| oraz konsekwentną interpretację zbioru rozwiązań). 11 14 3. Jeżeli zdający przy rozwiązaniu graficznym poda zbiór rozwiązań 𝑥 ∈ (− , ), ale nie 3 3 sprawdzi rachunkiem pierwszych współrzędnych punktów przecięcia wykresów funkcji 𝑓 i 𝑔, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 4𝑎 4 pkt – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝐿 = 1− 10 √ 4 8⋅(4+√10)𝑎 (lub 𝐿 = ). 3 √10 5 3 pkt – zapisanie: 𝐿 = 4𝑎 (1 + + 8 + … ). 4 √10 2 pkt – obliczenie ilorazu ciągu: 𝑞 = . 4 √10 1 pkt – obliczenie długości boku drugiego kwadratu: 𝑎2 = 𝑎. 4 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający obliczy tylko sumę długości boków (po jednym z każdego kwadratu), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający błędnie ustala stosunek podziału długości boku kwadratu i rozwiązuje zadanie konsekwentnie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za obliczenie ilorazu 𝑞 ciągu, o ile 𝑞 ∈ (0, 1), oraz za konsekwentne obliczenie sumy obwodów wszystkich kwadratów). 3. Jeżeli zdający przyjmuje do obliczeń konkretną długość boku kwadratu 𝐾1 i rozwiązuje zadanie konsekwentnie do końca, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie. 4. Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy i otrzyma iloraz 𝑞 ciągu, który jest liczbą spoza przedziału (0, 1), to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie (za poprawne obliczenie 𝑎2 ).

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 7𝜋 11𝜋 4 pkt – poprawna metoda rozwiązania równania i poprawny wynik: 𝜋, , , 2𝜋. 6 6 3 pkt – przekształcenie równania 3 sin2 𝑥 − sin2 2𝑥 = 0 do alternatywy równań trygonometrycznych i rozwiązanie dwóch z otrzymanych równań w zbiorze ℝ lub jednego z nich w przedziale 〈𝜋, 2𝜋〉. 2 pkt – zapisanie alternatywy równań: sin2 𝑥 = 0 lub 3 − 4 cos 2 𝑥 = 0 ALBO – zapisanie alternatywy równań: sin2 𝑥 = 0 lub 4 sin2 𝑥 − 1 = 0, ALBO – zapisanie alternatywy równań: √3 sin 𝑥 − 2sin 𝑥 cos 𝑥 = 0 lub √3 sin 𝑥 + 2sin 𝑥 cos 𝑥 = 0, ALBO – zapisanie i rozwiązanie równania kwadratowego z niewiadomą 𝑡 = cos 2 𝑥 (np. 3 4𝑡 2 − 7𝑡 + 3 = 0 i 𝑡 = 1 oraz 𝑡 = 4 ), ALBO – zapisanie i rozwiązanie równania kwadratowego z niewiadomą 𝑡 = sin2 𝑥 (np. 1 4𝑡 2 − 𝑡 = 0 i 𝑡 = 0 oraz 𝑡 = 4 ), ALBO – zapisanie alternatywy równań: |sin 𝑥| = 0 lub √3 − 2|cos 𝑥| = 0. 1 pkt – przekształcenie równania 3 sin2 𝑥 − sin2 2𝑥 = 0 do jednej z poniższych postaci: sin2 𝑥 (3 − 4 cos2 𝑥) = 0 lub sin2 𝑥 (4 sin2 𝑥 − 1) = 0, lub 4 cos 4 𝑥 − 7 cos 2 𝑥 + 3 = 0, lub 4 sin4 𝑥 − sin2 𝑥 = 0, lub (√3 sin 𝑥 − sin 2𝑥)(√3 sin 𝑥 + sin 2𝑥) = 0, lub |√3 sin 𝑥| = |sin 2𝑥|. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano nieprawidłową metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest: – podzielenie obu stron równania przez sin 𝑥 (bez stosownego założenia) – zastosowania niepoprawnej zależności √𝑎2 = 𝑎 – zastosowania niepoprawnej zależności √𝑎2 − 𝑏 2 = 𝑎 − 𝑏 i zdający konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (o ile nie nabył praw do innej punktacji). 2. Jeżeli zdający, przekształcając lewą stronę równania, zapisze ją w postaci sin 𝑥 ⋅ (3 − 4 cos 2 𝑥) lub sin 𝑥 ⋅ (√3 − 2 cos 𝑥)(√3 + 2 cos 𝑥), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 4 pkt – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 16√3 + 10. 3 pkt – obliczenie długości boku 𝐴𝐵 : |𝐴𝐵| = 8√3 i zapisanie 𝑂𝑏𝐴𝐵𝐶𝐷 = 2 ⋅ (|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|) ALBO – obliczenie długości boku 𝐴𝐵 : |𝐴𝐵| = 8√3 i zapisanie równania 8√3 + 5 = 4 + |𝐴𝐷|. 2 pkt – obliczenie długości boku 𝐴𝐵 : 8√3 ALBO – zapisanie równości 1) i 3) określonych w kryterium oceniania za 1 punkt, ALBO – zapisanie równości 2) i 3) określonych w kryterium oceniania za 1 punkt, ALBO – zapisanie równości 1) i 4) określonych w kryterium oceniania za 1 punkt. 1 pkt – zapisanie jednej z poniższych równości 1)- 4): |𝐴𝐵| 4 1 2 √3 1) √ = 1 lub = , 3 4 |𝐴𝐵| 2 4 1 √3 1 1 2) ⋅ 4 ⋅ |𝐴𝐶| ⋅ = ⋅ |𝐴𝐶| ⋅ |𝐴𝐵| ⋅ , 2 2 2 4 3) 𝑂𝑏𝐴𝐵𝐶𝐷 = 2 ⋅ (|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|), 4) |𝐴𝐵| + 5 = 4 + |𝐴𝐷| ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑥 (długością boku 𝐴𝐵 ), np. 2 𝑥√15 𝑥√15 𝑥 2 = 16 + (2 + ) − 4 (2 + ), 4 4 2 √15 √15 √15 16 = (2 + 𝑥) + 𝑥 2 − ⋅ (2 + 𝑥) 𝑥 4 2 4 (z twierdzenia cosinusów dla trójkąta 𝐴𝐵𝐶 i dwóch kątów tego trójkąta). 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 4 pkt – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: √6. 3 pkt – zapisanie równania z jedną niewiadomą (długością odcinka 𝑆𝑃), np.: |𝑆𝑃| 3√2 = (z podobieństwa trójkątów 𝑃𝐻𝑆 i 𝐴𝐻𝐵, sposób I), 6 6√3 1 1 18√2 = 2 ⋅ 3√2 ⋅ 6 + 2 ⋅ 6√3 ⋅ |𝑆𝑃| (z równości pól 𝑃𝐻𝐴𝐵 = 𝑃𝐵𝐴𝑆 + 𝑃𝐻𝑆𝐵 ), 1 1 1 9√2 = 2 ⋅ 6√3 ⋅ |𝑆𝑃| (z równości 𝑃𝐻𝑆𝐵 = 2 ⋅ |𝐻𝑆| ⋅ |𝐴𝐵| = 2 ⋅ |𝐻𝐵| ⋅ |𝑆𝑃|, sposób II), ALBO 9√2 – obliczenie pola trójkąta 𝐻𝑆𝑅 oraz długości odcinka 𝐻𝑅: 𝑃∆𝐻𝑆𝑅 = oraz 2 |𝐻𝑅| = 3√3, ALBO – obliczenie długości odcinków 𝐻𝑃 i 𝐻𝑆: |𝐻𝑃| = 2√3 i |𝐻𝑆| = 3√2, ALBO – obliczenie długości odcinków 𝐻𝑃 oraz cosinusa/tangensa kąta 𝑆𝐻𝑃: |𝐻𝑃| = 2√3 √6 √2 i cos ∡𝑆𝐻𝑃 = (tg ∡𝑆𝐻𝑃 = ), 3 2 ALBO – obliczenie długości 𝐴𝐾 : 𝐴𝐾 = 2√6. 2 pkt – obliczenie długości boków trójkąta 𝐻𝑆𝐵: |𝐻𝑆| = 3√2, |𝐻𝐵| = 6√3, |𝑆𝐵| = 3√6 ALBO – zapisanie proporcji wynikającej z podobieństwa dwóch trójkątów prostokątnych, przy czym jednym z nich jest trójkąt 𝐻𝑆𝑃, ALBO – obliczenie/zapisanie długości odcinków 𝐵𝐻 oraz 𝑆𝑅 : |𝐵𝐻| = 6√3 oraz |𝑆𝑅| = 3, ALBO √6 – obliczenie wartości funkcji trygonometrycznej kąta 𝑆𝐻𝑅: np. cos ∡𝑆𝐻𝑅 = , 3 √3 √2 sin ∡𝑆𝐻𝑅 = 3 , tg ∡𝑆𝐻𝑅 = 2 , ALBO – obliczenie pola trójkąta 𝐻𝐴𝐵: 𝑃𝛥𝐻𝐴𝐵 = 18√2, ALBO 1 – obliczenie długości odcinka 𝑆𝐵 i sinusa kąta 𝑆𝐵𝐻: |𝑆𝐵| = 3√6 i sin ∡𝑆𝐵𝐻 = , 3 ALBO – zapisanie pola trójkąta 𝐻𝐴𝐵 jako sumy pól trójkątów 𝑆𝐴𝐵 oraz 𝐻𝑆𝐵 i zapisanie 1 1 𝑃𝐻𝑆𝐵 = 2 ⋅ |𝐻𝐵| ⋅ |𝑆𝑃| (lub 𝑃𝐻𝑆𝐵 = 2 ⋅ 𝑃𝐻𝐴𝐵 ), ALBO 1 – zapisanie pola trójkąta 𝐻𝑆𝐵 na dwa sposoby: 𝑃𝐻𝑆𝐵 = ⋅ |𝐻𝑆| ⋅ |𝐴𝐵| oraz 2 1 𝑃𝐻𝑆𝐵 = 2 ⋅ |𝐻𝐵| ⋅ |𝑆𝑃|, ALBO – obliczenie pola trójkąta 𝐻𝑆𝐵: 𝑃𝐻𝑆𝐵 = 9√2. 1 pkt – obliczenie/zapisanie długości jednego z odcinków 𝐵𝐻, 𝑆𝑅, 𝐻𝑆 albo 𝐵𝑆: |𝐵𝐻| = 6√3, |𝑆𝑅| = 3, |𝐻𝑆| = 3√2, |𝐵𝑆| = 3√6. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest: a) zastosowanie niepoprawnej definicji jednej funkcji trygonometrycznej b) błędne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa c) zastosowanie niepoprawnej tożsamości √𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑥 + 𝑦 d) błędne zastosowanie twierdzenia cosinusów lub sinusów e) błędne zastosowanie wzoru Herona to zdający może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie. 1 2. Jeżeli zdający korzysta ze związku |𝐻𝑃| = ⋅ |𝐻𝐵| (gdzie 𝑃 jest spodkiem wysokości 3 poprowadzonej z wierzchołka 𝑆 na podstawę 𝐻𝐵 trójkąta 𝐻𝑆𝐵) i nie uzasadni jego prawdziwości, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie. 𝐻 𝐺

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów. Pierwszy etap polega na rozwiązaniu nierówności ∆> 0. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt. 11 1 pkt – poprawne rozwiązanie nierówności ∆> 0: 𝑚 ∈ (−∞, 2) ∪ ( , +∞). 5 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwaga: Jeżeli zdający rozwiązuje warunek ∆≥ 0, to za tę część rozwiązania otrzymuje 0 punktów. Drugi etap polega na wyznaczeniu tych wartości parametru 𝑚, dla których jest spełniony warunek 𝑥13 + 𝑥23 > −28. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 3 punkty. Podział punktów za drugi etap rozwiązania: 3 pkt – rozwiązanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚, wynikającej z warunku 9 𝑥13 + 𝑥23 > −28: 𝑚 ∈ (2, 4). 2 pkt – zapisanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚, wynikającej z warunku 𝑚−3 𝑥13 + 𝑥23 > −28, np. −64 − 3 ∙ (− 𝑚−2) ∙ (−4) > −28 ALBO 3 3 5𝑚−11 5𝑚−11 – zapisanie nierówności (−2 − √ ) + (−2 + √ 𝑚−2 ) > −28 i poprawne 𝑚−2 zastosowanie wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy/różnicy do co najmniej 3 3 5𝑚−11 5𝑚−11 jednego ze składników sumy (−2 − √ ) + (−2 + √ 𝑚−2 ) . 𝑚−2 1 pkt – przekształcenie nierówności 𝑥13 + 𝑥23 > −28 do postaci pozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, np. (𝑥1 + 𝑥2 )3 − 3𝑥1 𝑥2 (𝑥1 + 𝑥2 ) > −28 ALBO 𝑚−3 – wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego 𝑥 2 + 4𝑥 − w zależności 𝑚−2 −4−√20𝑚−44 𝑚−2 −4+√20𝑚−44 𝑚−2 od 𝑚: 𝑥1 = , 𝑥2 = . 2⋅1 2⋅1 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Trzeci etap polega na wyznaczeniu wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają 11 9 jednocześnie dwa warunki: Δ > 0 i 𝑥13 + 𝑥23 > −28: 𝑚 ∈ ( , ). 5 4 Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt. 1 pkt – poprawne wyznaczenie wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają 11 9 jednocześnie warunki Δ > 0 i 𝑥13 + 𝑥23 > −28: 𝑚 ∈ ( , ). 5 4 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający popełni w I i/lub II etapie jedynie błędy rachunkowe i otrzyma zbiory rozwiązań z I i II etapu, które nie są rozłączne i żaden z nich nie jest zbiorem liczb rzeczywistych, a następnie poprawnie wyznaczy część wspólną zbiorów rozwiązań z etapów I i II, to za III etap otrzymuje 1 punkt. 𝑚−3 2. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania popełni błąd i przyjmie, że 𝑥1 + 𝑥2 = ± lub 𝑚−2 𝑥1 ⋅ 𝑥2 = ± 4, to za II etap może otrzymać co najwyżej 1 punkt, a za III etap otrzymuje 0 punktów. 3. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania popełni błąd, który nie jest rachunkowy (np. pominie istotne nawiasy przy przekształcaniu nierówności 𝑥13 + 𝑥23 > −28 do postaci pozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, albo przyjmie, że 𝑥13 + 𝑥23 = (𝑥1 + 𝑥2 )[(𝑥1 + 𝑥2 )2 − 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ], i konsekwentnie do popełnionego błędu doprowadzi rozwiązanie II etapu zadania do końca, to może uzyskać co najwyżej 1 punkt za II etap.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: Część a) 𝑚2 3 pkt – wyznaczenie pola 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jako funkcji zmiennej 𝑚: 𝑃(𝑚) = . 𝑚−4 𝑚 2 pkt – wyznaczenie pierwszej (lub drugiej) współrzędnej punktu 𝐶 : 𝑥𝐶 = 4−𝑚 2𝑚 (lub 𝑦𝐶 = ). 𝑚−4 2 1 pkt – wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐵𝐷 : 3−𝑚 ALBO – zapisanie równania prostej 𝐵𝐷 w postaci ogólnej, np. 2𝑥 + (𝑚 − 3)𝑦 − 2𝑚 = 0. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Część b) 4 pkt – wyznaczenie równania prostej 𝐵𝐶 w przypadku, gdy pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest 2 16 najmniejsze, np. 𝑦 = − 𝑥 + . 5 5 3 pkt – zbadanie znaku pochodnej funkcji 𝑃: 𝑃′ (𝑚) > 0 dla 𝑚 ∈ (8, +∞) oraz 𝑃′ (𝑚) < 0 dla 𝑚 ∈ (4, 8), oraz wyznaczenie (z uzasadnieniem) wartości zmiennej 𝑚, dla której funkcja 𝑃 osiąga wartość najmniejszą, np. funkcja 𝑃 zmiennej 𝑚 (określona na przedziale (4, +∞)) jest rosnąca w przedziale ⟨8, +∞) oraz malejąca w przedziale (4, 8⟩, więc w punkcie 𝑚 = 8 osiąga najmniejszą wartość ALBO – uzasadnienie, że dla 𝑚 = 8 funkcja 𝑃 osiąga wartość najmniejszą (przy metodzie średnich liczbowych). 2 pkt – obliczenie miejsc zerowych pochodnej funkcji 𝑃: 𝑚 = 8 ALBO – obliczenie wartości 𝑚, dla której zachodzi równość średniej arytmetycznej 16 i geometrycznej liczb dodatnich 𝑚 − 4 oraz : 𝑚 = 8. 𝑚−4 2𝑚(𝑚−4)−𝑚2 ⋅1 1 pkt – wyznaczenie wzoru pochodnej funkcji 𝑃, np. 𝑃′ (𝑚) = 2 (𝑚−4) ALBO – zapisanie nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną liczb 𝑚 − 4 16 oraz : 𝑚−4 16 𝑚−4+ 16 𝑚−4 ≥ √(𝑚 − 4) ⋅ 2 𝑚−4 ALBO – zapisanie nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną liczb 𝑚 − 4, 4 16 oraz : 𝑚−4 16 𝑚 − 4 + 4 + 𝑚−4 3 16 ≥ √(𝑚 − 4) ⋅ 4 ⋅ 3 𝑚−4 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi do części b): 1. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak i zaznaczając na rysunku, np. znakami „+” i „-”, znak pochodnej. 2. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja posiada wartość najmniejszą dla wyznaczonej wartości 𝑚, przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy zdający: – opisuje (słownie lub graficznie - np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji 𝑃 lub – zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑚 funkcja 𝑃 ma minimum lokalne i jest to jednocześnie jej najmniejsza wartość. Jeżeli zdający nie przedstawi takiego uzasadnienia, to za część b) może otrzymać co najwyżej 3 punkty. 3. Jeżeli zdający, przy uzasadnieniu, że funkcja 𝑃 przyjmuje najmniejszą wartość dla 𝑚 = 8, nie ogranicza się do przedziału (4, +∞), to za część b) może otrzymać co najwyżej 3 punkty. 4. Akceptujemy przedziały monotoniczności (4, 8), (8, +∞). 5. Jeżeli zdający wyznaczy minimum lokalne i nie zapisze, że jest to wartość najmniejsza, to otrzymuje co najwyżej 3 punkty za część b).