Zadanie 1 2 punkty Odpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniu Formy 100 i 200 Model wykładniczy temperatury
Oblicz temperaturę kawy po następnych pięciu minutach i zaokrąglij do pełnych stopni Celsjusza. Kawa miała początkowo 80 °C, a po 10 minutach 65 °C. Temperatura pokoju wynosi stale 20 °C. W modelu T(t)=(Tₚ−T𝓏)·k⁻ᵗ+T𝓏 czas t podano w minutach.
Pokaż odpowiedź 59 °C. Po 10 minutach różnica temperatur względem otoczenia spadła z 60 °C do 45 °C, więc k⁻¹⁰=3/4. Po kolejnych 5 minutach daje to około 59 °C.
Punktowanie: 2 pkt za poprawną metodę i wynik po zaokrągleniu; CKE przyznaje punkt częściowy za prawidłowe wyznaczenie k⁻¹⁰.
Źródło odpowiedzi: zasady oceniania CKE, strona PDF 2.
Zadanie 2 2 punkty Odpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniu Formy 100 i 200 Granica jednostronna
Oblicz granicę lewostronną. lim x → 2 − x 3 − 8 ( x − 2 ) 2 \lim_{x\to2^-}\frac{x^3-8}{(x-2)^2} x → 2 − lim ( x − 2 ) 2 x 3 − 8 Pokaż odpowiedź −∞. Po rozłożeniu różnicy sześcianów i skróceniu otrzymujemy (x²+2x+4)/(x−2); licznik dąży do 12, a mianownik do zera od strony ujemnej.
Punktowanie: 2 pkt za poprawny wniosek z uzasadnieniem znaku; częściowy punkt za właściwe przekształcenie granicy.
Źródło odpowiedzi: zasady oceniania CKE, strona PDF 3.
Zadanie 3 3 punkty Odpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniu Formy 100 i 200 Schemat Bernoulliego
Oblicz prawdopodobieństwo, że co najwyżej jedno z 10 losowo wybranych opakowań ma mniej niż 36% tłuszczu. Zaokrąglij do części tysięcznych. Prawdopodobieństwo takiej zawartości tłuszczu w pojedynczym opakowaniu śmietany wynosi 0,01.
Pokaż odpowiedź 0,996. Dodajemy przypadki 0 i 1 opakowania spełniającego warunek: 0,99¹⁰+10·0,01·0,99⁹≈0,995734, czyli po zaokrągleniu 0,996.
Punktowanie: 3 pkt za model, obliczenie i zaokrąglenie; CKE punktuje też poprawne składniki sumy.
Źródło odpowiedzi: zasady oceniania CKE, strona PDF 5.
Zadanie 4 3 punkty Odpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniu Formy 100 i 200 Pochodna i równanie stycznej
Wyznacz współczynniki a i b stycznej y=ax+b do wykresu funkcji w punkcie o pierwszej współrzędnej 2. Funkcja jest określona dla x≠0.
f ( x ) = x 3 − 3 x + 2 x f(x)=\frac{x^3-3x+2}{x} f ( x ) = x x 3 − 3 x + 2 Pokaż odpowiedź a=7/2, b=−5. f(2)=2, a pochodna f′(2)=7/2. Punkt (2,2) należy do stycznej, więc 2=(7/2)·2+b i b=−5.
Punktowanie: 3 pkt za oba współczynniki; punkty częściowe przewidziano za pochodną i współczynnik kierunkowy.
Źródło odpowiedzi: zasady oceniania CKE, strona PDF 6.
Zadanie 5 3 punkty Odpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniu Formy 100 i 200 Dowód z logarytmów
Wykaż podaną zależność między logarytmami. Przyjmij a=log₅4 oraz b=log₄3.
log 12 80 = 2 a + 1 a ( 1 + b ) \log_{12}80=\frac{2a+1}{a(1+b)} log 12 80 = a ( 1 + b ) 2 a + 1 Pokaż przykładowy dowód log₄80=log₄(5·16)=1/a+2, a log₄12=log₄(4·3)=1+b. Ze zmiany podstawy: log₁₂80=(1/a+2)/(1+b)=(2a+1)/[a(1+b)]. To jedna z poprawnych argumentacji; sama teza przepisana z polecenia nie stanowi dowodu.
Punktowanie: 3 pkt za pełne uzasadnienie; CKE dopuszcza inne poprawne przekształcenia i punkty częściowe.
Źródło odpowiedzi: zasady oceniania CKE, strona PDF 8.
Zadanie 6 3 punkty Odpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniu Formy 100 i 200 Zliczanie liczb pięciocyfrowych
Ile jest liczb naturalnych o niepowtarzających się cyfrach, z dokładnie trzema cyframi nieparzystymi i dwiema parzystymi? Pokaż odpowiedź 11 040. W zasadach CKE rozdzielono przypadki: z cyfrą 0 jest 3 840 możliwości, bez zera 7 200; suma to 11 040.
Punktowanie: 3 pkt za poprawne rozróżnienie zera na początku i wynik; kryteria obejmują częściowe zliczenia.
Źródło odpowiedzi: zasady oceniania CKE, strona PDF 10.
Zadanie 7 4 punkty Odpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniu Formy 100 i 200 Ciąg geometryczny i arytmetyczny
Oblicz x, y i z, uwzględniając, że ciąg geometryczny jest rosnący. Trzywyrazowy ciąg (x,y,z) jest geometryczny, rosnący, a x+y+z=105. Liczby x, y, z są odpowiednio 1., 2. i 6. wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego.
Pokaż odpowiedź x=5, y=20, z=80. Warunki dają iloraz ciągu geometrycznego q=4; suma 1+4+16=21 części, więc x=105/21=5.
Punktowanie: 4 pkt za obie relacje ciągów, warunek rośnięcia i trzy poprawne wartości.
Źródło odpowiedzi: zasady oceniania CKE, strona PDF 14.
Zadanie 8 4 punkty Odpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniu Formy 100 i 200 Dowód geometryczny z twierdzenia sinusów
Wykaż zależność między bokami trójkąta ABC. Trójkąt nie jest równoramienny, a miara kąta ABC jest dwukrotnie większa od miary kąta BAC.
∣ A C ∣ 2 = ∣ B C ∣ 2 + ∣ A B ∣ ⋅ ∣ B C ∣ |AC|^2=|BC|^2+|AB|\cdot|BC| ∣ A C ∣ 2 = ∣ B C ∣ 2 + ∣ A B ∣ ⋅ ∣ B C ∣ Pokaż przykładowy dowód Niech α=∠BAC, a=|BC|, b=|AC|, c=|AB|. Z twierdzenia sinusów b/a=sin(2α)/sinα=2cosα oraz c/a=sin(3α)/sinα=4cos²α−1. Zatem b²=4a²cos²α=a²+ac. To jedna z dopuszczalnych argumentacji. Sam rysunek albo sprawdzenie jednego trójkąta nie wystarcza.
Punktowanie: 4 pkt za pełny dowód; CKE przyznaje punkty częściowe za prawidłowe relacje boków i kątów.
Źródło odpowiedzi: zasady oceniania CKE, strona PDF 18.
Zadanie 9 4 punkty Odpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniu Formy 100 i 200 Pola figur w kwadracie
Oblicz pola figur AGF oraz CEFG w zależności od boku a. ABCD jest kwadratem o boku a, E to środek CD. Przekątna BD przecina AC w G i AE w F, dzieląc trójkąt ACE na dwie figury. Rysunek jest autorskim schematem tej konfiguracji.
Autorski schemat zadania 9, nie kopia grafiki CKE · kliknij, aby powiększyć Pokaż odpowiedź P(AGF)=a²/12, P(CEFG)=a²/6. Można przyjąć A=(0,0), B=(a,0), C=(a,a), D=(0,a), E=(a/2,a). Wtedy F=(a/3,2a/3) i G=(a/2,a/2).
Punktowanie: 4 pkt za oba pola i uzasadnienie; CKE dopuszcza rozumowanie geometryczne albo analityczne.
Źródło odpowiedzi: zasady oceniania CKE, strona PDF 32.
Zadanie 10 5 punktów Odpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniu Formy 100 i 200 Równanie trygonometryczne
Rozwiąż równanie w przedziale [0,2π]. sin ( 4 x ) − sin ( 2 x ) = 4 cos 2 x − 3 \sin(4x)-\sin(2x)=4\cos^2x-3 sin ( 4 x ) − sin ( 2 x ) = 4 cos 2 x − 3 Pokaż odpowiedź x ∈ {π/6, π/4, 5π/6, 7π/6, 5π/4, 11π/6}. Zasady CKE rozdzielają rozwiązania równań sin(2x)=1 oraz sin x=±1/2. Należy zachować wszystkie sześć wartości w przedziale.
Punktowanie: 5 pkt za pełny zbiór i metodę; punktowanie częściowe obejmuje rozkład na równania prostsze.
Źródło odpowiedzi: zasady oceniania CKE, strona PDF 40.
Zadanie 11 5 punktów Odpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniu Formy 100 i 200 Okrąg i styczne
Wyznacz wszystkie możliwe współrzędne środka S okręgu. Okrąg ma promień √5, a S leży na prostej y=x+1. Z punktu A=(1,2), położonego na zewnątrz, poprowadzono styczne w B i C. Pole czworokąta ABSC wynosi 15.
Pokaż odpowiedź S=(6,7) albo S=(−4,−3). Z pola wynika długość stycznej |AB|=|AC|=3√5. Stąd |AS|=√50 i na prostej y=x+1 są dwa punkty spełniające warunek.
Punktowanie: 5 pkt za oba środki z uzasadnieniem; tylko jeden przypadek nie daje pełnej punktacji.
Źródło odpowiedzi: zasady oceniania CKE, strona PDF 44.
Zadanie 12 6 punktów Odpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniu Formy 100 i 200 Równanie kwadratowe z parametrem
Wyznacz wszystkie m, dla których równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste spełniające podany warunek. Dla pierwiastków x₁, x₂ wymagamy x₁³+x₂³+3x₁x₂(x₁+x₂−3)≤3m−7.
x 2 − ( 3 m + 1 ) x + 2 m 2 + m + 1 = 0 x^2-(3m+1)x+2m^2+m+1=0 x 2 − ( 3 m + 1 ) x + 2 m 2 + m + 1 = 0 Pokaż odpowiedź m ∈ (−∞, −3). Warunek Δ>0 daje m<−3 lub m>1. Nierówność z pierwiastkami jest równoważna (3m−1)(3m+1)²≤0; część wspólna to m<−3.
Punktowanie: 6 pkt za oba warunki i część wspólną; CKE rozdziela punktowanie za deltę, zastosowanie wzorów Viète’a i nierówność.
Źródło odpowiedzi: zasady oceniania CKE, strona PDF 48.
Zadanie 13.1 2 punkty Odpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniu Formy 100 i 200 Wzór na pole graniastosłupa
Wykaż wzór na pole powierzchni całkowitej w zależności od długości krawędzi podstawy a. Rozważamy graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości 3456 i 0<a≤8√3.
P ( a ) = a 2 3 2 + 13824 3 a P(a)=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}+\frac{13824\sqrt{3}}{a} P ( a ) = 2 a 2 3 + a 13824 3 Pokaż przykładowy dowód Pole podstawy to a²√3/4, więc z objętości 3456 dostajemy wysokość H=4608√3/a². Po podstawieniu do P=2·(a²√3/4)+3aH otrzymujemy wskazany wzór. Samo przepisanie wzoru z polecenia nie jest dowodem.
Punktowanie: 2 pkt za pełne uzasadnienie; 1 pkt za poprawne wyznaczenie wysokości w funkcji a.
Źródło odpowiedzi: zasady oceniania CKE, strona PDF 51.
Zadanie 13.2 4 punkty Odpowiedź wg zasad CKE · wyjaśnienie w przygotowaniu Formy 100 i 200 Optymalizacja na ograniczonej dziedzinie
Wyznacz a dla graniastosłupa o najmniejszym polu całkowitym i oblicz to pole. P(a)=a²√3/2+13824√3/a, przy ograniczeniu 0<a≤8√3.
Pokaż odpowiedź a=8√3, Pₘᵢₙ=1728+96√3. Miejsce zerowe pochodnej a=24 leży poza dziedziną. Funkcja P maleje na całym (0,8√3], więc minimum jest na prawym końcu.
Punktowanie: 4 pkt za sprawdzenie dziedziny, minimum brzegowe i oba wyniki; krytyczny punkt 24 nie jest odpowiedzią.
Źródło odpowiedzi: zasady oceniania CKE, strona PDF 52.
