Matematyka 2024 — poziom rozszerzony — Formuła 2015

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 2 pkt – odpowiedź całkowicie poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 3 pkt – przeprowadzenie pełnego rozumowania. 2 log5 4 + log4 3 2 pkt – przekształcenie wyrażenia lub log12 80, lub obydwu tych log5 4 ⋅(1 + log4 3) wyrażeń do takiej postaci, z której poprzez jednokrotne zastosowanie wzoru na logarytm iloczynu lub wzoru na zamianę podstawy logarytmu, lub logarytmu potęgi oraz ewentualne kilkukrotne przekształcenie wyrażenia wymiernego można otrzymać tezę ALBO – zapisanie jednego równania wymiernego z 𝑎, 𝑏 oraz niewiadomą 𝑥 , np. 1 𝑏𝑥 + 𝑥 = 𝑎 + 2 (dla sposobu III), ALBO 1 1 𝑎 1+𝑏 – zapisanie liczby 5 w postaci 4 oraz liczby 4 w postaci 12 (dla sposobu IV). 1 pkt – zastosowanie wzoru na zamianę podstawy logarytmu lub na logarytm iloczynu, np. log 80 log 80 log12 80 = log4 12 , log12 80 = log5 12 , 2 ⋅ log 5 4 + 1 = log 5 (4 ⋅ 4 ⋅ 5), 4 5 1 + log 4 3 = log 4 (4 ⋅ 3) ALBO – zapisanie dwóch spośród liczb 3, 4, 5 jako potęgi, której podstawą jest trzecia 1 𝑎 z nich, a wykładnik jest zależny od 𝑎 lub 𝑏, np.: 5 = 4 i 3 = 4𝑏 oraz zapisanie równania 12𝑥 = 80 (dla sposobu III), ALBO 1 1+𝑏 – zapisanie liczby 4 w postaci 12 (dla sposobu IV). 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 3 pkt – przeprowadzenie pełnego rozumowania, tj. zapisanie, że trójkąty 𝐴𝑆𝐷 i 𝐵𝑆𝐶 są podobne, zapisanie, że trójkąty 𝐴𝑆𝐵 i 𝐷𝑆𝐶 są podobne, zapisanie równości miar odpowiednich kątów tych trójkątów, zapisanie równości |∡𝐷𝐴𝐵| + |∡𝐵𝐶𝐷| = |∡𝐴𝐵𝐶| + |∡𝐶𝐷𝐴| i sformułowanie wniosku, że na czworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷 można opisać okrąg. 2 pkt – zapisanie, że trójkąty 𝐴𝑆𝐷 i 𝐵𝑆𝐶 są podobne oraz |∡𝑆𝐴𝐷| = |∡𝑆𝐵𝐶| i |∡𝑆𝐷𝐴| = |∡𝑆𝐶𝐵| ALBO – zapisanie, że trójkąty 𝐴𝑆𝐵 i 𝐷𝑆𝐶 są podobne oraz |∡𝑆𝐴𝐵| = |∡𝑆𝐷𝐶| i |∡𝑆𝐵𝐴| = |∡𝑆𝐶𝐷|. 1 pkt – zapisanie, że trójkąty 𝐴𝑆𝐷 i 𝐵𝑆𝐶 są podobne na mocy cechy bkb ALBO – zapisanie, że trójkąty 𝐴𝑆𝐵 i 𝐷𝑆𝐶 są podobne na mocy cechy bkb. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Zdający, przeprowadzając pełne rozumowanie, może także zapisać, że dowolne dwa kolejne wierzchołki czworokąta leżą po tej samej stronie prostej wyznaczonej przez dwa pozostałe wierzchołki, np. 𝐶 i 𝐷 leżą po tej samej stronie prostej 𝐴𝐵 , gdyż czworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest wypukły. Stąd i z równości kątów 𝐴𝐶𝐵 i 𝐴𝐷𝐵 (wynikającej z podobieństwa trójkątów 𝐴𝑆𝐷 i 𝐵𝑆𝐶 ) zapisze wniosek, że punkty 𝐴, 𝐵, 𝐶 , 𝐷 leżą na jednym okręgu. 2. Nie akceptujemy rozumowania, w którym zdający powołuje się na twierdzenie odwrotne do twierdzenia o siecznych, gdyż zadanie to w istocie wymaga przeprowadzenia dowodu tego twierdzenia w przypadku, gdy punkt przecięcia siecznych leży wewnątrz okręgu.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 3 pkt – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 11 040. 2 pkt – zapisanie 𝐿1 : (53) ⋅ (52) ⋅ 5! oraz zapisanie liczby zbiorów czteroelementowych złożonych z trzech cyfr nieparzystych i jednej cyfry parzystej różnej od zera: (53) ⋅ (41) ALBO – zapisanie 𝐿2 : (53) ⋅ (41) ⋅ 4! oraz zapisanie liczby zbiorów pięcioelementowych złożonych z trzech cyfr nieparzystych i dwóch cyfr parzystych: (53) ⋅ (52), ALBO – zapisanie 𝑃 : 4 ⋅ (41) ⋅ (53) ⋅ 4! oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych w jednym z przypadków, w których pierwszy wyraz jest cyfrą nieparzystą, np. liczba ciągów postaci (𝑛, 𝑝, 𝑛, 𝑝, 𝑛) jest równa 5 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 3, ALBO – zapisanie 𝑁: 5 ⋅ (52) ⋅ (42) ⋅ 4! oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych w jednym z przypadków, w których pierwszy wyraz jest cyfrą parzystą różną od zera, np. liczba ciągów postaci (𝑝, 𝑛, 𝑛, 𝑝, 𝑛) jest równa 4 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 3, ALBO – zapisanie 𝑍 + : 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych w jednym z przypadków, w których żaden wyraz nie jest równy zero, np. liczba ciągów postaci (𝑛, 𝑛, 𝑛, 𝑝, 𝑝), gdzie 𝑝 ∈ {2, 4, 6, 8}, jest równa 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 3, ALBO – zapisanie 𝑍 − : 10 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych w jednym z przypadków, w których jeden z wyrazów jest równy zero, np. liczba ciągów postaci (𝑝, 𝑛, 𝑛, 𝑛, 0), gdzie 𝑝 ∈ {2, 4, 6, 8}, jest równa 4 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 1. 1 pkt – zapisanie 𝐿1 (lub 𝐿2 ), np. 𝐿1 = (53) ⋅ (52) ⋅ 5!, 𝐿2 = (53) ⋅ (41) ⋅ 4! ALBO – zapisanie 𝑃 (lub 𝑁 ), np. 𝑃 = 4 ⋅ (41) ⋅ (53) ⋅ 4!, 𝑁 = 5 ⋅ (52) ⋅ (42) ⋅ 4!, ALBO – zapisanie 𝑍 + (lub 𝑍 − ), np. 𝑍 + = 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 3 840, 𝑍 − = 10 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 7 200, ALBO – zapisanie liczby zbiorów pięcioelementowych złożonych z trzech cyfr nieparzystych i dwóch cyfr parzystych: (53) ⋅ (52) oraz zapisanie liczby zbiorów czteroelementowych złożonych z trzech cyfr nieparzystych i jednej cyfry parzystej różnej od zera: (53) ⋅ (41), ALBO – zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych w jednym z przypadków, w których pierwszy wyraz jest cyfrą nieparzystą (np. liczba ciągów postaci (𝑛, 𝑝, 𝑛, 𝑝, 𝑛) jest równa 5 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 3) oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych w jednym z przypadków, w których pierwszy wyraz jest cyfrą parzystą różną od zera (np. liczba ciągów postaci (𝑝, 𝑛, 𝑛, 𝑝, 𝑛) jest równa 4 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 3). 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwaga: Jeżeli zdający rozpatruje liczby inne niż pięciocyfrowe, to otrzymuje 0 punktów.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 7 3 pkt – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑎 = oraz 𝑏 = −5. 2 2 pkt – obliczenie współczynnika kierunkowego stycznej do wykresu funkcji 𝑓 w punkcie 𝑃: 7 𝑎 = 𝑓 ′ (2) = 2 . (3𝑥2 −3)⋅𝑥−(𝑥3 −3𝑥+2)⋅1 1 pkt – wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓 , np. 𝑓 ′ (𝑥) = , 𝑥2 1 𝑓 ′ (𝑥) = 2𝑥 + 2 ⋅ (− 2 ). 𝑥 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwaga: Jeżeli zdający błędnie zastosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji lub błędnie obliczy pochodną funkcji 𝑦 = 𝑥 3 − 3𝑥 + 2, lub 𝑦 = 𝑥 , to może otrzymać 1 punkt za całe rozwiązanie, o ile nie popełni błędu w obliczaniu współczynnika 𝑎 oraz 𝑏.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 28 7 3 pkt – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑃(𝐴) = 6 = . 8 65536 2 pkt – zapisanie liczby |Ω| wszystkich zdarzeń elementarnych oraz zapisanie liczby |𝐴| wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴, np. |Ω| = 86 oraz |𝐴| = (86) ALBO – zapisanie liczby |Ω| wszystkich zdarzeń elementarnych oraz wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego zdarzenia niewłaściwego, np. |Ω| = 86 oraz 𝐴 = {876543, 876542, 876541, 876532, 876531, 876521, 876432, 876431, 876421, 876321, 875432, 875431, 875421, 875321, 874321, 865432, 865431, 865421, 865321, 864321, 854321, 765432, 765431, 765421, 765321, 764321, 754321, 654321}. 1 pkt – zapisanie liczby |Ω| wszystkich zdarzeń elementarnych: np. |Ω| = 86 ALBO – zapisanie liczby |𝐴| wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴: np. |𝐴| = (86), ALBO – wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego zdarzenia niewłaściwego: 654321, 765432, 765321, 876543, 875432, 865432, 864321, 854321, 765431, 764321, 876542, 875431, 865431, 765421, 754321, 876541, 875421, 865421, 876532, 875321, 865321, 876531, 874321, 876521, 876432, 876431, 876421, 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: (dla sposobu I i II) 4 pkt – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥 = 5, 𝑦 = 20, 𝑧 = 80. 3 pkt – zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑟, np. (35 − 𝑟)2 = (35 − 2𝑟) ⋅ (35 + 3𝑟) ALBO – poprawne wyznaczenie 𝑟 w zależności od 𝑥 z równania (𝑥 + 𝑟)2 = 𝑥(𝑥 + 5𝑟): 𝑟 = 3𝑥 . 2 pkt – zapisanie 𝑥 , 𝑦 oraz 𝑧 w zależności od 𝑟: 𝑥 = 35 − 2𝑟 , 𝑦 = 35 − 𝑟, 𝑧 = 35 + 3𝑟 ALBO – zapisanie układu równań 𝑥 + 𝑥 + 𝑟 + 𝑥 + 5𝑟 = 105 i (𝑥 + 𝑟)2 = 𝑥(𝑥 + 5𝑟) lub 𝑥 + 5𝑟 𝑥 + 5𝑟 2 𝑥 + 𝑥 + 𝑟 + 𝑥 + 5𝑟 = 105 i 𝑥 + 𝑥 ⋅ 𝑥 + 𝑟 + 𝑥 ⋅ ( 𝑥 + 𝑟 ) = 105 1 pkt – zapisanie równania 𝑥 + 𝑥 + 𝑟 + 𝑥 + 5𝑟 = 105 ALBO – zapisanie równania (𝑥 + 𝑟)2 = 𝑥(𝑥 + 5𝑟), ALBO 𝑥 + 5𝑟 𝑥 + 5𝑟 2 – zapisanie równania 𝑥 + 𝑥 ⋅ + 𝑥 ⋅ ( ) = 105. 𝑥+𝑟 𝑥+𝑟 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Zasady oceniania (dla sposobu III) 4 pkt – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥 = 5, 𝑦 = 20, 𝑧 = 80. 3 pkt – zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑦, np. 𝑦 2 = (2𝑦 − 35) ⋅ (140 − 3𝑦). 2 pkt – zapisanie 𝑥 oraz 𝑧 w zależności od 𝑦: 𝑥 = 2𝑦 − 35, 𝑧 = 140 − 3𝑦. 1 pkt – zapisanie równania 4 ⋅ (𝑦 − 𝑥) = 𝑧 − 𝑦 lub 𝑦 2 = 𝑥𝑧, lub 5(𝑦 − 𝑥) = 𝑧 − 𝑥 . 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Zasady oceniania (dla sposobu IV) 4 pkt – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥 = 5, 𝑦 = 20, 𝑧 = 80. 3 pkt – zapisanie równania 𝑥 + 𝑥 ⋅ 𝑞 + 𝑥 ⋅ 𝑞 2 = 105 oraz obliczenie 𝑞 : 𝑞 = 4 ALBO – zapisanie równania 𝑥 + 𝑥 ⋅ 𝑞 + 𝑥 ⋅ 𝑞 2 = 105 oraz zapisanie, że ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) jest rosnący, więc 𝑥 ≠ 0, oraz zapisanie równania 𝑞 2 − 5𝑞 + 4 = 0. 2 pkt – zapisanie równania 4 ⋅ (𝑥 ⋅ 𝑞 − 𝑥) = 𝑥 ⋅ 𝑞 2 − 𝑥 ⋅ 𝑞 oraz zapisanie, że ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) jest rosnący, więc 𝑥 ≠ 0 i 𝑞 ≠ 1, oraz obliczenie 𝑞 : 𝑞 = 4 ALBO – zapisanie równań 4 ⋅ (𝑥 ⋅ 𝑞 − 𝑥) = 𝑥 ⋅ 𝑞 2 − 𝑥 ⋅ 𝑞 oraz 𝑥 + 𝑥 ⋅ 𝑞 + 𝑥 ⋅ 𝑞 2 = 105. 1 pkt – zapisanie równania 4 ⋅ (𝑥 ⋅ 𝑞 − 𝑥) = 𝑥 ⋅ 𝑞 2 − 𝑥 ⋅ 𝑞 lub 𝑥 + 𝑥 ⋅ 𝑞 + 𝑥 ⋅ 𝑞 2 = 105. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający dzieli obie strony otrzymanego równania przez wyrażenie zawierające niewiadomą i nie umieszcza zapisu, że to wyrażenie jest różne od zera, oraz konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie. 𝑎 + 𝑎1 + 5𝑟 2. Jeżeli zdający popełni błąd, który nie jest rachunkowy, np. 1 ⋅ 6 = 105, 2 𝑦 − 𝑥 = 4 ⋅ (𝑧 − 𝑦) i rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za spełnienie kryterium z kategorii za 1 pkt oraz za obliczenie 𝑥 , 𝑦 oraz 𝑧).

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 𝜋 7𝜋 5𝜋 11𝜋 4 pkt – poprawna metoda rozwiązania równania i poprawne wyniki: , , oraz . 4 6 4 6 1 𝜋 3 pkt – rozwiązanie równań sin 𝑥 = cos 𝑥 oraz sin 𝑥 = − w zbiorze ℝ: + 𝑘 ⋅ 𝜋 oraz 2 4 7𝜋 11𝜋 + 2𝑘 ⋅ 𝜋 i 6 + 2𝑘 ⋅ 𝜋, gdzie 𝑘 ∈ ℤ 6 ALBO 1 – rozwiązanie równania sin 𝑥 = cos 𝑥 (lub równania sin 𝑥 = − ) w zbiorze ⟨0, 2𝜋⟩: 2 𝜋 5𝜋 7𝜋 11𝜋 oraz (lub: oraz ). 4 4 6 6 2 pkt – przekształcenie równoważne równania sin(2𝑥) + cos(2𝑥) = 1 + sin 𝑥 − cos 𝑥 do postaci (sin 𝑥 − cos 𝑥)(2 sin 𝑥 + 1) = 0. 1 pkt – zastosowanie wzorów na sinus oraz cosinus podwojonego kąta. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwaga: Jeżeli zdający podczas przekształcania równania sin(2𝑥) + cos(2𝑥) = 1 + sin 𝑥 − cos 𝑥 podzieli obie strony równania przez (cos 𝑥 − sin 𝑥) bez stosownych założeń i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 4 pkt – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 15√3 + 8 (lub √739 + 240√3). 3 pkt – zapisanie równania z jedną niewiadomą (długością boku 𝐴𝐶 ), np. √3 172 = |𝐴𝐶|2 + 302 − 2 ⋅ 30 ⋅ |𝐴𝐶| ⋅ 2 , 15−8√3 |𝐴𝐶|2 = 302 + 172 − 2 ⋅ 30 ⋅ 17 ⋅ , 34 8 302 = |𝐴𝐶|2 + 172 − 2 ⋅ |𝐴𝐶| ⋅ 17 ⋅ 17 ALBO – obliczenie długości odcinków 𝐵𝐷 oraz 𝐴𝐷 : |𝐵𝐷| = 15 oraz |𝐴𝐷| = 15√3 (dla sposobu II), ALBO 15√3+8 – obliczenie sinusa kąta 𝐴𝐵𝐶 : (dla sposobu III). 34 2 pkt – obliczenie miary kąta 𝐵𝐴𝐶 : 30°. 1 pkt – zapisanie, że kąt 𝐵𝑆𝐶 ma miarę 60° ALBO – zapisanie równania, w którym jedyną niewiadomą jest miara kąta 𝐵𝐴𝐶 (lub miara 17 30 1 30⋅17 kąta 𝐴𝐶𝐵), np. = 34, sin |∡𝐴𝐶𝐵| = 34, 2 ⋅ 30 ⋅ sin|∡𝐵𝐴𝐶| = 4⋅17 , sin |∡𝐵𝐴𝐶| ALBO – zapisanie układu równań: |𝐴𝐶|2 = 302 + 172 − 2 ⋅ 30 ⋅ 17 ⋅ cos|∡𝐴𝐵𝐶| oraz |𝐴𝐶| = 34. sin |∡𝐴𝐵𝐶| 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: 5 pkt – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑆 = (6, 7) oraz 𝑆 = (−4, −3). 4 pkt – obliczenie obydwu wartości 𝑥𝑆 : 6 oraz (−4) ALBO – obliczenie obydwu współrzędnych punktu 𝑆 tylko dla jednego przypadku: 𝑆 = (6, 7) albo 𝑆 = (−4, −3). 3 pkt – zapisanie równania z jedną niewiadomą (współrzędną punktu 𝑆), np. 2 2 |2𝑥𝑆 − (𝑥𝑆 + 1)| (𝑥𝑆 − 1) + (𝑥𝑆 + 1 − 2) = 50, = √5, √22 + (−1)2 (𝑥𝑆 − (−5))2 + (𝑥𝑆 + 1 − (−1))2 = 5, (𝑥𝑆 − (−2))2 + (𝑥𝑆 + 1 − (−4))2 = 5, (𝑥𝑆 − 4)2 + (𝑥𝑆 + 1 − 8)2 = 5, (𝑥𝑆 − 7)2 + (𝑥𝑆 + 1 − 5)2 = 5. 2 pkt – obliczenie długości 𝑚 odcinka 𝐴𝐵 (lub 𝐴𝐶 ) stycznej: 3√5 ALBO – obliczenie długości odcinka 𝐴𝑆: |𝐴𝑆| = 5√2. 1 pkt – zapisanie współrzędnych punktu 𝑆 w zależności od jednej zmiennej, np. 𝑆 = (𝑥, 𝑥 + 1) ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą (długością 𝑚 odcinka 𝐴𝐵 stycznej), np. 1 15 = 2 ⋅ 2 ⋅ 𝑚 ⋅ √5, ALBO – zapisanie układ trzech równań: |𝑧|2 = 𝑎2 + 𝑎2 − 2𝑎 ⋅ 𝑎 ⋅ cos 𝛼 oraz |𝑧|2 = (√5)2 + (√5)2 − 2√5 ⋅ √5 ⋅ cos(180° − 𝛼) oraz 1 1 2 15 = 2 ⋅ 𝑎2 ⋅ sin 𝛼 + 2 ⋅ (√5) ⋅ sin(180° − 𝛼), gdzie 𝑧 = |𝐵𝐶|, 𝑎 = |𝐴𝐵|, 𝛼 = |∡𝐵𝐴𝐶|. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1 1. Jeżeli zdający pomija współczynnik we wzorze na pole trójkąta lub deltoidu, to błąd ten 2 traktujemy jako błąd rachunkowy. 2. Jeżeli zdający rozwiąże zadanie do końca, ale otrzyma więcej niż dwa punkty 𝑆, to może otrzymać co najwyżej 4 punkty za całe rozwiązanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów. Pierwszy etap polega na rozwiązaniu nierówności ∆> 0. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt. 1 pkt – poprawne rozwiązanie nierówności ∆> 0: 𝑚 ∈ (−∞, −3) ∪ (1, +∞). 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwaga: Jeżeli zdający rozwiązuje warunek ∆≥ 0, to za tę część rozwiązania otrzymuje 0 punktów. Drugi etap polega na wyznaczeniu tych wartości parametru 𝑚, dla których jest spełniony warunek 𝑥13 + 𝑥23 + 3 ⋅ 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ (𝑥1 + 𝑥2 − 3) ≤ 3𝑚 − 7. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 4 punkty. Podział punktów za drugi etap rozwiązania: 4 pkt – rozwiązanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 równoważnej warunkowi 1 𝑥13 + 𝑥23 + 3 ⋅ 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ (𝑥1 + 𝑥2 − 3) ≤ 3𝑚 − 7: 𝑚 ∈ (−∞, ⟩. 3 3 pkt – zapisanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 równoważnej warunkowi 𝑥13 + 𝑥23 + 3 ⋅ 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ (𝑥1 + 𝑥2 − 3) ≤ 3𝑚 − 7 w postaci 𝑊(𝑚) ≤ 0, gdzie 𝑊(𝑚) jest iloczynem co najmniej dwóch wielomianów stopni dodatnich, np. 1 1 2 (3𝑚 − 1)(3𝑚 + 1)2 ≤ 0, (9𝑚2 − 1)(3𝑚 + 1) ≤ 0, 27 (𝑚 − ) (𝑚 + ) ≤ 0 3 3 ALBO – zapisanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 równoważnej warunkowi 𝑥13 + 𝑥23 + 3 ⋅ 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ (𝑥1 + 𝑥2 − 3) ≤ 3𝑚 − 7 w postaci 27𝑚3 + 9𝑚2 − 3𝑚 − 1 ≤ 0 oraz wyznaczenie jednego z pierwiastków wielomianu 27𝑚3 + 9𝑚2 − 3𝑚 − 1. 2 pkt – zapisanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 równoważnej warunkowi 𝑥13 + 𝑥23 + 3 ⋅ 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ (𝑥1 + 𝑥2 − 3) ≤ 3𝑚 − 7, np. (3𝑚 + 1)3 − 9 ⋅ (2𝑚2 + 𝑚 + 1) ≤ 3𝑚 − 7. 1 pkt – przekształcenie nierówności 𝑥13 + 𝑥23 + 3 ⋅ 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ (𝑥1 + 𝑥2 − 3) ≤ 3𝑚 − 7 do postaci pozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, np. (𝑥1 + 𝑥2 )3 − 9𝑥1 𝑥2 ≤ 3𝑚 − 7. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Trzeci etap polega na wyznaczeniu wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają jednocześnie dwa warunki: Δ > 0 i 𝑥13 + 𝑥23 + 3 ⋅ 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ (𝑥1 + 𝑥2 − 3) ≤ 3𝑚 − 7: 𝑚 ∈ (−∞, −3). Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt. 1 pkt – poprawne wyznaczenie wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają jednocześnie warunki Δ > 0 i 𝑥13 + 𝑥23 + 3 ⋅ 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ (𝑥1 + 𝑥2 − 3) ≤ 3𝑚 − 7: 𝑚 ∈ (−∞, −3). 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający w etapie I lub II popełni błąd, który nie jest błędem rachunkowym, to za III etap otrzymuje 0 punktów. 2. Jeżeli zdający w etapach I i II nie popełni błędów innych niż rachunkowe i otrzyma zbiory rozwiązań, które nie są rozłączne i żaden z nich nie jest zbiorem liczb rzeczywistych, a następnie poprawnie wyznaczy część wspólną zbiorów rozwiązań z etapów I i II, to za III etap może otrzymać 1 punkt. 3. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania popełni błąd – przyjmie, że 𝑏 𝑥1 + 𝑥2 = ±(2𝑚2 + 𝑚 + 1) lub 𝑥1 ⋅ 𝑥2 = ±(3𝑚 + 1), lub 𝑥1 + 𝑥2 = ± 2𝑎 , to za II etap może otrzymać co najwyżej 2 punkty (1 punkt za przekształcenie nierówności 𝑥13 + 𝑥23 + 3 ⋅ 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ (𝑥1 + 𝑥2 − 3) ≤ 3𝑚 − 7 do postaci pozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a oraz 1 punkt za konsekwentne rozwiązanie nierówności do końca), a za III etap otrzymuje 0 punktów. 4. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania popełni błąd, który nie jest rachunkowy, np.: • pominie istotne nawiasy przy przekształcaniu nierówności 𝑥13 + 𝑥23 + 3 ⋅ 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ (𝑥1 + 𝑥2 − 3) ≤ 3𝑚 − 7 do postaci pozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, • przyjmie, że 𝑥13 + 𝑥23 = (𝑥1 + 𝑥2 )[(𝑥1 + 𝑥2 )2 − 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ], • przyjmie, że 𝑥13 + 𝑥23 = (𝑥1 + 𝑥2 )3 , i konsekwentnie do popełnionego błędu doprowadzi rozwiązanie II etapu zadania do końca, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za II etap (1 punkt za zastosowanie wzorów Viète’a oraz 1 punkt za konsekwentne rozwiązanie nierówności do końca), a za III etap otrzymuje 0 punktów. 5. Jeżeli w II etapie rozwiązania zdający popełni błędy i otrzyma nierówność 𝑉(𝑚) ≤ 0, to za podanie zbioru rozwiązań nierówności otrzymuje 1 punkt tylko wtedy, gdy wielomian 𝑉 jest stopnia trzeciego i ma co najmniej dwa różne pierwiastki rzeczywiste. 6. Jeżeli zdający wprowadza dodatkowe założenie, które nie wynika z warunków zadania (np. 𝑥1 + 𝑥2 > 0, 𝑥1 ⋅ 𝑥2 > 0), to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 5 punktów (co najwyżej 1 punkt za I etap i co najwyżej 4 punkty za II etap).

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Punktowanie: Część a) 2 pkt – przeprowadzenie pełnego rozumowania. 1 pkt – wyznaczenie wysokości 𝐻 graniastosłupa w zależności od długości krawędzi 13824 podstawy, np. 𝐻 = 2 . 𝑎 √3 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający rozważa inną bryłę niż graniastosłup prawidłowy trójkątny, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający przeprowadzi rozumowanie tylko dla 𝑎 = 8√3, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie części a). Część b) 4 pkt – uzasadnienie, że funkcja 𝑃 przyjmuje wartość najmniejszą dla 𝑎 = 8√3 i obliczenie wartości najmniejszej funkcji 𝑃: 96√3 + 1728. 3 pkt – uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja 𝑃 przyjmuje wartość najmniejszą dla 𝑎 = 8√3 ALBO – zapisanie, że dla 𝑎 = 8√3 funkcja 𝑃 osiąga wartość najmniejszą i obliczenie 𝑃(8√3): 𝑃(8√3) = 96√3 + 1728. 13824√3 2 pkt – poprawne rozwiązanie równania 𝑎√3 − = 0: 𝑎 = 24. 𝑎2 13824√3 1 pkt – wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑃: 𝑃′ (𝑎) = 𝑎√3 − . 𝑎2 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi do części b): 1. Jeżeli zdający wyznaczy pochodną funkcji 𝑃 z błędem, ale wyznaczona pochodna ma 𝐵 postać 𝐴𝑎 + 2 , gdzie 𝐴 oraz 𝐵 są liczbami niewymiernymi, lub postać ułamka, 𝑎 w którego liczniku jest wielomian stopnia trzeciego, a w mianowniku 𝑚𝑎2 , i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie części b) (za miejsce zerowe pochodnej, za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji oraz za obliczenie najmniejszej wartości funkcji 𝑃). Jeżeli natomiast otrzyma inną błędną postać pochodnej, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie części b) (za miejsce zerowe pochodnej oraz za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji 𝑃). 2. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku, np. znakami „+” i „-” znak pochodnej. 3. Jeżeli zdający otrzyma miejsce zerowe pochodnej, które należy do przedziału (0, 8√3), to może otrzymać za część b) co najwyżej 1 punkt (za wyznaczenie pochodnej albo za obliczenie miejsca zerowego pochodnej). 4. Za poprawne uzasadnienie, że funkcja 𝑃 osiąga wartość najmniejszą dla 𝑎 = 8√3 można uznać sytuację, gdy zdający bada znak pochodnej oraz zapisuje słownie lub graficznie, że funkcja 𝑃 jest malejąca w przedziale (0, 𝑎0 ), gdzie 𝑎0 jest miejscem zerowym pochodnej funkcji 𝑓 , będącej rozszerzeniem funkcji 𝑃 na zbiór (0, +∞). 5. Jeżeli zdający błędnie uzasadnia, że dla 𝑎 = 8√3 funkcja 𝑃 osiąga wartość najmniejszą, to nie otrzymuje punktu za obliczenie 𝑃(8√3).