Matematyka 2025 — poziom rozszerzony

1. 1
   Podstaw dane do modelu

   Po dwóch godzinach liczebność wynosi N₀·k².

   $$15,625=10,000k^2$$
2. 2
   Wyznacz mnożnik godzinowy

   Dzielimy przez 10 000 i wybieramy dodatni pierwiastek.

   $$k^2=1{,}5625quadRightarrowquad k=1{,}25$$
3. 3
   Zamień mnożnik na procent

   Mnożnik 1,25 oznacza 100%+25% stanu z poprzedniej godziny.

   $$(1{,}25-1)cdot100$$

Typowy błąd: Podzielenie całego przyrostu z dwóch godzin przez 2 zamiast wyznaczenia stałego mnożnika wykładniczego.

Punktowanie: 2 pkt za metodę i 25%; 1 pkt m.in. za równanie z niewiadomą k.

1. 1
   Przenieś wszystko na jedną stronę

   Badamy różnicę lewej i prawej strony nierówności.

   $$(a+2b)^3-8a^2b-16ab^2$$
2. 2
   Rozłóż różnicę na czynniki

   Po rozwinięciu i zebraniu wyrazów otrzymujemy iloczyn.

   $$(a-2b)^2(a+2b)$$
3. 3
   Uzasadnij dodatniość

   Z warunku b≠a/2 wynika (a−2b)²>0, a dla dodatnich a,b mamy a+2b>0. Iloczyn jest więc dodatni.

Typowy błąd: Stwierdzenie, że każdy kwadrat jest dodatni; kwadrat może być zerem, dlatego trzeba użyć warunku b≠a/2.

Punktowanie: 3 pkt za rozkład i uzasadnienie dodatniości obu czynników; 2 pkt za postać (a−2b)²(a+2b)>0 bez pełnego uzasadnienia.

1. 1
   Zamień stosunek pól na stosunek boków

   Trójkąty ABD i ADC mają wspólną wysokość do prostej BC.

   rac{[ABD]}{[ADC]}=rac{BD}{DC}=rac{sqrt3-1}{2}
2. 2
   Oznacz szukany kąt

   Niech α=∠DAC. Ponieważ ∠BAC=60°, mamy ∠DAB=60°−α. Ponadto AB=AC.

3. 3
   Ułóż i rozwiąż równanie

   Z drugiego wzoru na pole dla wspólnego boku AD otrzymujemy stosunek sinusów. Dla α=45° lewa strona ma dokładnie zadaną wartość, a w zakresie (0°,60°) rozwiązanie jest jedno.

   rac{sin(60^circ-alpha)}{sinalpha}=rac{sqrt3-1}{2}quadRightarrowquadalpha=45^circ

Typowy błąd: Odwrócenie stosunku pól i odcinków BD, DC albo pominięcie, że AB=AC w trójkącie równobocznym.

Punktowanie: 3 pkt za poprawną metodę i 45°; CKE przyznaje punkty częściowe m.in. za właściwy stosunek |BD|/|DC| i równanie trygonometryczne.

1. 1
   Policz wyniki spełniające warunek

   Wybieramy dwie pozycje piątek, a na pozostałych pozycjach może wystąpić jedna z pięciu cyfr innych niż 5.

   |B|=inom42cdot5^2=150
2. 2
   Policz wyniki z co najmniej jedną szóstką

   Po wyborze pozycji piątek od 5² możliwości odejmujemy 4² możliwości bez szóstki.

   |Acap B|=inom42(5^2-4^2)=6cdot9=54
3. 3
   Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe

   Dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wyników spełniających warunek.

   P(Amid B)=rac{54}{150}=rac9{25}

Typowy błąd: Liczenie wszystkich 6⁴ wyników w mianowniku, mimo że rozpatrujemy warunek dokładnie dwóch piątek.

Punktowanie: 3 pkt za metodę i 9/25; 2 pkt za poprawne policzenie obu mocy 150 i 54; 1 pkt za jedną z nich.

1. 1
   Wyznacz punkty zmiany znaków

   Wzory pod wartościami bezwzględnymi zmieniają znaki przy x=−3 i x=2.

2. 2
   Rozwiąż trzy przypadki

   Dla x<−3 otrzymujemy x+8<−2, czyli x<−10. Dla −3≤x<2 otrzymujemy −3x−4<−2, czyli x>−2/3. Dla x≥2 nierówność −x−8<−2 jest spełniona zawsze w tym przedziale.

3. 3
   Połącz części wspólne

   Łączymy rozwiązania z ich przedziałami założeń.

   xin(-infty,-10)cupleft(-rac23,+infty ight)

Typowy błąd: Rozwiązanie równań bez przecięcia wyniku z założeniem danego przypadku albo włączenie granic przy ostrej nierówności.

Punktowanie: 4 pkt za metodę i oba otwarte przedziały; punktowanie częściowe obejmuje rozbicie według punktów −3 i 2 oraz rozwiązanie przypadków.

1. 1
   Wyznacz możliwe a₁ i a₃

   Z (a₁+a₃)²=a₁²+a₃²+2a₁a₃ otrzymujemy a₁a₃=36. Liczby a₁,a₃ są więc pierwiastkami równania t²−20t+36=0.

   $${a_1,a_3}={18,2}$$
2. 2
   Zastosuj warunek zbieżności

   Ponieważ a₃=a₁q², para (a₁,a₃)=(18,2) daje q=±1/3. Odwrotna para dawałaby |q|=3 i ciąg rozbieżny.

3. 3
   Policz obie sumy

   Korzystamy ze wzoru S=a₁/(1−q).

   S_1=rac{18}{1-1/3}=27,qquad S_2=rac{18}{1+1/3}=rac{27}{2}

Typowy błąd: Pozostawienie przypadków q=±3, mimo że szereg geometryczny z |q|≥1 nie jest zbieżny.

Punktowanie: 4 pkt za rozpatrzenie obu przypadków i obie sumy; 3 pkt m.in. za wszystkie możliwe pary (a₁,q) przed odrzuceniem |q|≥1.

1. 1
   Oznacz podstawy

   Niech a=|AB|, b=|CD|. Linia łącząca środki ramion ma długość d=(a+b)/2.

2. 2
   Porównaj pola

   Dwa mniejsze trapezy mają jednakowe wysokości, więc stosunek ich pól jest stosunkiem sum podstaw.

   rac{b+d}{a+d}=rac12
3. 3
   Rozwiąż proporcję

   Podstawiamy d=(a+b)/2 i upraszczamy.

   2left(b+rac{a+b}{2} ight)=a+rac{a+b}{2}quadRightarrowquad a=5bquadRightarrowquadrac{CD}{AB}=rac15

Typowy błąd: Porównanie samych podstaw b/a bez uwzględnienia drugiej podstawy każdego z dwóch trapezów.

Punktowanie: 4 pkt za pełny dowód; 3 pkt m.in. za równanie łączące długości podstaw, 2 pkt za poprawny zapis stosunku pól i |EF|=(a+b)/2.

1. 1
   Wyznacz prostą wspólnej cięciwy

   Po odjęciu równań okręgów znikają składniki x² i y².

   $$x+7y+15=0$$
2. 2
   Oblicz punkty przecięcia

   Podstawiamy x=−7y−15 do jednego równania okręgu i rozwiązujemy równanie kwadratowe.

   A=left(rac{16}{5},-rac{13}{5} ight),qquad B=(-1,-2)
3. 3
   Użyj równania wektorowego

   Z AM=−2BM wynika A−M=−2(B−M), a więc 3M=A+2B.

   M=rac{A+2B}{3}=left(rac25,-rac{11}{5} ight)

Typowy błąd: Zgubienie informacji, który z punktów ma dodatnią pierwszą współrzędną, albo błędne przekształcenie równania wektorowego.

Punktowanie: 5 pkt za trzy poprawne punkty i metodę; 3 pkt m.in. za samo poprawne wyznaczenie A i B.

1. 1
   Użyj wzorów podwójnego kąta

   Różnicę kwadratów zastępujemy cosinusem podwójnego kąta.

   $$3cos2x+sqrt3sin2x=0$$
2. 2
   Zapisz jedną funkcję trygonometryczną

   Po podzieleniu przez √3 lewa strona jest równa 2sin(2x+π/3).

   sinleft(2x+racpi3 ight)=0
3. 3
   Wybierz rozwiązania z przedziału

   Z 2x+π/3=kπ mamy x=−π/6+kπ/2. Dla x∈[−π,π] dopuszczalne są k=−1,0,1,2.

   xinleft{-rac{2pi}{3},-racpi6,racpi3,rac{5pi}{6} ight}

Typowy błąd: Dzielenie przez cos x lub sin x i utrata rozwiązań zamiast użycia tożsamości dla podwójnego kąta.

Punktowanie: 5 pkt za wszystkie cztery rozwiązania i poprawną metodę; kryteria częściowe obejmują przekształcenie równania i sprawdzenie przypadku cos x=0.

1. 1
   Wprowadź układ współrzędnych

   Niech a=3√34. Przyjmij A=(0,0,0), B=(a,0,0), C=(a,a,0), D=(0,a,0), S=(0,0,h).

2. 2
   Użyj kąta między ścianami

   Wektory normalne do płaszczyzn BCS i CDS prowadzą do cosinusa kąta wewnętrznego −a²/(h²+a²).

   -rac{a^2}{h^2+a^2}=-rac9{25}quadRightarrowquad h=rac43a=4sqrt{34}
3. 3
   Zsumuj pola czterech ścian

   Mamy SB=SD=√(a²+h²)=5√34. Pola SAB i SAD wynoszą po 204, a SBC i SCD po 255.

   $$P_b=2cdot204+2cdot255=918$$

Typowy błąd: Użycie dodatniego cosinusa kąta ostrego między normalnymi zamiast podanego cosinusa kąta wewnętrznego między ścianami.

Punktowanie: 5 pkt za poprawną metodę i 918; punktowanie częściowe przewiduje m.in. wyznaczenie odpowiednich krawędzi ostrosłupa.

1. 1
   Zapisz warunek dwóch różnych miejsc zerowych

   Wyróżnik musi być dodatni.

   $$Delta=20(m+3)(m-1)>0quadRightarrowquad m<-3 ext{lub} m>1$$
2. 2
   Zapisz warunek jednakowego znaku

   Iloczyn miejsc zerowych musi być dodatni.

   rac{m+8}{2-m}>0quadRightarrowquad -8<m<2
3. 3
   Ogranicz odległość pierwiastków

   Korzystamy z (x₁−x₂)²=Δ/(2−m)².

   rac{20(m+3)(m-1)}{(2-m)^2}leq180quadRightarrowquad mleqrac32 ext{lub} mgeqrac{13}{4}
4. 4
   Weź część wspólną

   Przecinamy trzy zbiory warunków i pamiętamy, że m≠2.

   min(-8,-3)cupleft(1,rac32 ight]

Typowy błąd: Sprawdzenie tylko delty albo pominięcie warunku dodatniego iloczynu miejsc zerowych.

Punktowanie: 6 pkt za poprawne przecięcie warunków; CKE punktuje osobno analizę delty, znaku iloczynu, ograniczenia odległości i część wspólną.

1. 1
   Rozpatrz przekrój osiowy

   Promień r, wysokość h i tworząca tworzą trójkąt prostokątny. Wysokość opuszczona z kąta prostego na tworzącą ma długość 5.

2. 2
   Zapisz zależność pól

   Pole trójkąta liczone na dwa sposoby daje rh=5√(h²+r²). Po podniesieniu do kwadratu wyznaczamy r².

   r^2h^2=25(h^2+r^2)quadRightarrowquad r^2=rac{25h^2}{h^2-25}
3. 3
   Podstaw do objętości

   Korzystamy ze wzoru V=πr²h/3.

   V(h)=racpi3cdotrac{25h^3}{h^2-25}

Typowy błąd: Przyjęcie odległości 5 za promień lub wysokość stożka zamiast wysokości w trójkącie przekroju osiowego.

Punktowanie: 2 pkt za pełne uzasadnienie; 1 pkt za poprawną zależność między promieniem podstawy a wysokością.

1. 1
   Oblicz pochodną

   Różniczkujemy funkcję w dziedzinie h>5.

   V'(h)=rac{25pi}{3}cdotrac{h^2(h^2-75)}{(h^2-25)^2}
2. 2
   Znajdź punkt krytyczny

   W dziedzinie h>5 jedynym miejscem zerowym pochodnej jest h=√75.

   $$h=5sqrt3$$
3. 3
   Uzasadnij minimum

   Pochodna jest ujemna na (5,5√3) i dodatnia na (5√3,∞), więc funkcja najpierw maleje, a potem rośnie.

4. 4
   Oblicz wartość minimalną

   Podstawiamy h=5√3 do wzoru na V.

   V_{min}=rac{125sqrt3pi}{2}

Typowy błąd: Podanie miejsca zerowego pochodnej bez sprawdzenia zmiany znaku i bez uzasadnienia, że jest to minimum.

Punktowanie: 4 pkt za uzasadnienie minimum i obie wartości; 3 pkt za wykazanie minimum przy h=5√3; 2 pkt za znalezienie miejsca zerowego pochodnej.