Matematyka 2026 — poziom rozszerzony

1. 1
   Rozwiń symbol Newtona

   Korzystamy z symetrii symbolu Newtona i zapisujemy iloczyn trzech kolejnych liczb.

   $$\binom{n+2}{n-1}=\binom{n+2}{3}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$$
2. 2
   Porównaj wyrazy najwyższego stopnia

   Po rozwinięciu licznik ma wyraz wiodący n³/6, a mianownik n³/2. Niższe potęgi nie wpływają na granicę.

   $$\lim_{n\to\infty}\frac{\frac16n^3+O(n^2)}{\frac12n^3-4n+7}=\frac{\frac16}{\frac12}$$
3. 3
   Oblicz iloraz współczynników

   Dzielimy współczynniki stojące przy n³.

   $$\frac{1/6}{1/2}=\frac13$$

Typowy błąd: Rozwinięcie symbolu Newtona z błędnym mianownikiem albo porównywanie stopni bez uwzględnienia współczynnika 1/6.

Punktowanie: 2 pkt za poprawną metodę i wynik 1/3; 1 pkt m.in. za prawidłowe rozwinięcie symbolu Newtona.

1. 1
   Przetłumacz warunek na pozycje liczb 3 i 6

   Iloczyn trzech kolejnych wyrazów jest podzielny przez 3 wtedy i tylko wtedy, gdy w tej trójce występuje 3 albo 6.

2. 2
   Wyznacz jedyne możliwe pozycje

   Każdy z sześciu bloków pozycji 1–3, 2–4, …, 6–8 musi zawierać jedną z tych dwóch liczb. Spełnia to wyłącznie obsadzenie pozycji 3 i 6, w dowolnej kolejności.

3. 3
   Policz kolejności i prawdopodobieństwo

   Liczby 3 i 6 można zamienić miejscami na 2 sposoby, a pozostałe sześć liczb ustawić na 6! sposobów. Wszystkich permutacji jest 8!.

   $$P(A)=\frac{2\cdot6!}{8!}=\frac{2}{8\cdot7}=\frac1{28}$$

Typowy błąd: Policzenie tylko jednego ustawienia liczb 3 i 6 albo założenie, że wystarczy umieścić je w dowolnych dwóch pozycjach oddalonych o trzy miejsca.

Punktowanie: 3 pkt za metodę i 1/28; 2 pkt za poprawne |Ω| i |A|; 1 pkt m.in. za samo |Ω| = 8! lub wskazanie pozycji 3 i 6.

1. 1
   Przenieś wszystko na jedną stronę

   Dla dodatnich x i y mianownik x²y² jest dodatni, więc wystarczy zbadać znak różnicy prawej i lewej strony.

   $$\frac{x}{y^2}+\frac{y}{x^2}-\frac1x-\frac1y$$
2. 2
   Sprowadź do wspólnego mianownika

   Po połączeniu ułamków licznik można rozłożyć na czynniki.

   $$\frac{x^3+y^3-x^2y-xy^2}{x^2y^2}=\frac{(x+y)(x-y)^2}{x^2y^2}$$
3. 3
   Uzasadnij nieujemność

   Mamy x+y>0, (x−y)²≥0 i x²y²>0, zatem cały iloraz jest nieujemny. Równość zachodzi dla x=y.

Typowy błąd: Pomnożenie nierówności przez xy zamiast przez x²y² i zgubienie składników albo zakończenie na przekształceniu bez uzasadnienia znaku czynników.

Punktowanie: 3 pkt za pełne poprawne przekształcenie i uzasadnienie nieujemności. W kryteriach CKE przewidziano też punkty za istotne etapy dowodu.

1. 1
   Ustaw układ współrzędnych i wyznacz M

   Przyjmij A=(0,0), B=(a,0), C=(a,a), D=(0,a), K=(a/2,0). Z warunku DK ⟂ KM wynika M=(a,a/4).

   $$\overrightarrow{DK}=\left(\frac a2,-a\right),quad \overrightarrow{KM}=\left(\frac a2,\frac a4\right),quad \overrightarrow{DK}\cdot\overrightarrow{KM}=0$$
2. 2
   Wyznacz punkty przecięcia

   Prosta AL ma równanie y=x/2. Jej przecięcia odpowiednio z DK i DM dają punkty P oraz Q.

   $$P=\left(\frac{2a}{5},\frac a5\right),qquad Q=\left(\frac{4a}{5},\frac{2a}{5}\right)$$
3. 3
   Oblicz odległość P i Q

   Różnice współrzędnych wynoszą 2a/5 oraz a/5.

   $$|PQ|=\sqrt{\left(\frac{2a}{5}\right)^2+\left(\frac a5\right)^2}=\frac{\sqrt5}{5}a$$

Typowy błąd: Przyjęcie M jako środka BC mimo że jego położenie wyznacza warunek prostopadłości DK i KM.

Punktowanie: 3 pkt za pełny dowód; kryteria częściowe obejmują m.in. uzasadnienie prostopadłości AL i DK albo wyznaczenie współrzędnych Q.

1. 1
   Rozłóż oba wyrażenia na czynniki

   W obu wartościach bezwzględnych występuje czynnik x−3.

   $$|2x-6|-|x^2-9|=2|x-3|-|x-3||x+3|$$
2. 2
   Oddziel punkt x=3

   Dla x=3 lewa strona jest równa zero, więc nierówność ostra nie jest spełniona. Dla x≠3 można podzielić przez dodatnie |x−3|.

   $$2-|x+3|<0quad\Longleftrightarrowquad |x+3|>2$$
3. 3
   Rozwiąż nierówność z modułem

   Odległość liczby x od −3 ma być większa od 2, a z otrzymanego zbioru usuwamy x=3.

   $$x<-5;\lor;x>-1,quad x\ne3$$

Typowy błąd: Dzielenie przez |x−3| bez wcześniejszego sprawdzenia x=3, co prowadzi do nieuprawnionej operacji i często do włączenia tego punktu.

Punktowanie: 4 pkt za poprawną metodę i wszystkie trzy przedziały; zasady CKE określają też etapy punktowania przy rozbiciu na przypadki.

1. 1
   Zapisz wskazane wyrazy ciągu

   Dla różnicy d mamy a₂=1+d, a₃=1+2d oraz a₆=1+5d.

2. 2
   Wykorzystaj warunek geometryczności

   Trzy kolejne liczby tworzą ciąg geometryczny, gdy kwadrat środkowej jest iloczynem skrajnych.

   $$(1+2d)^2=(1+d)(1+5d)quad\Longleftrightarrowquad d(d+2)=0$$
3. 3
   Wyznacz różnicę i liczbę wyrazów

   d=0 odpada, bo ostatni wyraz nie byłby równy −2025. Dla d=−2 rozwiązujemy równanie na n.

   $$1+(n-1)(-2)=-2025quad\Longrightarrowquad n=1014$$
4. 4
   Oblicz sumę

   Stosujemy wzór na sumę skończonego ciągu arytmetycznego.

   $$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}2=\frac{1014(1-2025)}2=-1,026,168$$

Typowy błąd: Pozostawienie rozwiązania d=0 mimo sprzeczności z ostatnim wyrazem albo przyjęcie n−1=1014 zamiast n=1014.

Punktowanie: 4 pkt za metodę i sumę; 3 pkt za n=1014; 2 pkt m.in. za prawidłową różnicę r=−2.

1. 1
   Zastosuj wzór na sinus potrojonego kąta

   Traktujemy 6x jako 3·(2x).

   $$\sin(6x)=3\sin(2x)-4\sin^3(2x)$$
2. 2
   Wyłącz wspólny czynnik

   Po odjęciu 2sin(2x) równanie rozkłada się na iloczyn.

   $$\sin(2x)\bigl(1-4\sin^2(2x)\bigr)=0$$
3. 3
   Rozwiąż powstałe równania

   Otrzymujemy sin(2x)=0 lub sin(2x)=±1/2. Po podzieleniu argumentów przez 2 zapisujemy trzy rodziny rozwiązań.

   $$x=\frac{k\pi}{2}quad\lorquad x=-\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}quad\lorquad x=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2},quad k\in\mathbb Z$$

Typowy błąd: Zgubienie rozwiązań po podzieleniu równania przez sin(2x) albo podanie okresu π zamiast π/2 po przejściu z 2x do x.

Punktowanie: 4 pkt za wszystkie rodziny rozwiązań; punkty częściowe przysługują za poprawne przekształcenie i rozwiązanie części równań.

1. 1
   Wyznacz promień okręgu i bok podstawy

   Z obwodu okręgu otrzymujemy R=3√2. W trójkącie równobocznym R=a/√3.

   $$2\pi R=6\sqrt2\piquad\Longrightarrowquad R=3\sqrt2,qquad a=R\sqrt3=3\sqrt6$$
2. 2
   Zapisz iloczyny skalarne krawędzi bocznych

   Niech u, v, w będą wektorami od S do C, A i B, każdy długości l. Prawidłowość ostrosłupa i cosinus 5/9 dają jednakowy iloczyn każdej pary.

   $$u\cdot v=u\cdot w=v\cdot w=\frac59l^2$$
3. 3
   Oblicz cosinus kąta między ścianami

   Normalne do ścian SAC i SBC są proporcjonalne do v×u i w×u. Korzystamy z tożsamości dla iloczynu iloczynów wektorowych.

   $$\cos\varphi=\frac{(v\times u)\cdot(w\times u)}{|v\times u|,|w\times u|}=\frac{\frac59-\frac{25}{81}}{1-\frac{25}{81}}=\frac5{14}$$

Typowy błąd: Użycie promienia okręgu wpisanego zamiast opisanego na podstawie albo utożsamienie kąta między ścianami z kątem między krawędziami SB i SC.

Punktowanie: 4 pkt za oba poprawne wyniki i metodę; CKE przewiduje punkty częściowe za wyznaczenie promienia, krawędzi lub zależności kątowych.

1. 1
   Ustal, które ramię leży na podanej prostej

   Punkt B=(4,0) leży na x+2y−4=0, a A nie, więc na tej prostej leży ramię BC. Punkt C spełnia też |CA|=|CB|.

2. 2
   Wyznacz punkt C

   Warunek równych odległości upraszcza się do 3x+y=7. Łączymy go z równaniem x+2y=4.

   $$\begin{cases}3x+y=7\\x+2y=4\end{cases}quad\Longrightarrowquad C=(2,1)$$
3. 3
   Podziel odcinek AC w stosunku 1:4

   Punkt M leży w jednej piątej drogi od A do C.

   $$M=A+\frac15(C-A)=\left(\frac65,-\frac35\right)$$
4. 4
   Oblicz promień i zapisz okrąg

   Ponieważ MC stanowi 4/5 odcinka AC, a |AC|²=5, otrzymujemy r²=16/5.

   $$\left(x-\frac65\right)^2+\left(y+\frac35\right)^2=\frac{16}{5}$$

Typowy błąd: Założenie, że na podanej prostej leży AC bez sprawdzenia współrzędnych A i B albo odwrócenie stosunku AM:MC przy wyznaczaniu M.

Punktowanie: 5 pkt za równanie okręgu; 4 pkt m.in. za poprawne C i M; 3 pkt m.in. za współrzędne C.

1. 1
   Zapewnij dwa różne miejsca zerowe

   Dla m≠0 parabola jest skierowana w górę. Jej wyróżnik musi być dodatni.

   $$\Delta=(-2m)^2-4m^2(1-m)=4m^3>0quad\Longrightarrowquad m>0$$
2. 2
   Umieść oś symetrii w przedziale

   Dwa pierwiastki w (−2,2) wymagają, aby wierzchołek leżał między końcami przedziału.

   $$x_w=\frac1m\in(-2,2),quad m>0quad\Longrightarrowquad m>\frac12$$
3. 3
   Sprawdź wartości na końcach

   Dla paraboli skierowanej w górę oba końce muszą leżeć nad osią. Dla m>1/2 warunek przy −2 jest automatyczny, a przy 2 rozstrzyga zakres.

   $$f(2)=4m^2-5m+1=(4m-1)(m-1)>0quad\Longrightarrowquad m>1$$
4. 4
   Uwzględnij otwartość przedziału

   Dla m=1 jeden pierwiastek jest równy 2, więc nie należy do przedziału. Ostatecznie m∈(1,+∞).

Typowy błąd: Sprawdzenie tylko delty i pominięcie warunku, że oba pierwiastki muszą leżeć wewnątrz otwartego przedziału.

Punktowanie: 5 pkt za poprawny zakres i metodę; kryteria częściowe obejmują analizę wierzchołka, delty oraz znaków funkcji na końcach przedziału.

1. 1
   Połącz długości boków twierdzeniem Pitota

   Dla czworokąta opisanego na okręgu sumy długości przeciwległych boków są równe. Oznaczmy BC=x i CD=y.

   $$9+y=10+xquad\Longrightarrowquad y=x+1$$
2. 2
   Oblicz przekątną BD

   W trójkącie BAD znamy dwa boki i kąt między nimi.

   $$BD^2=9^2+10^2-2\cdot9\cdot10\cos60^\circ=91$$
3. 3
   Wyznacz boki BC i CD

   Czworokąt jest wpisany w okrąg, więc ∠BCD=120°. Stosujemy twierdzenie cosinusów i podstawiamy y=x+1.

   $$91=x^2+y^2-2xy\cos120^\circ=x^2+y^2+xyquad\Longrightarrowquad x=5,;y=6$$
4. 4
   Oblicz pole

   Sumujemy pola trójkątów BAD i BCD.

   $$P=\frac12\cdot9\cdot10\sin60^\circ+\frac12\cdot5\cdot6\sin120^\circ=30\sqrt3$$

Typowy błąd: Zapisanie w twierdzeniu Pitota sum boków sąsiednich zamiast przeciwległych albo przyjęcie kąta BCD równego 60° zamiast 120°.

Punktowanie: 6 pkt za oba boki i pole; 5 pkt za oba boki; punkty częściowe za poprawne zależności między bokami i kątami.

1. 1
   Połącz pole z promieniem okręgu wpisanego

   Promień fontanny wynosi r=2. Pole trójkąta jest równe iloczynowi promienia i połowy obwodu. Jeśli b oznacza ramię, to P=xh/2=x+2b.

   $$\frac{xh}{2}=2\cdot\frac{x+2b}{2}=x+2bquad\Longrightarrowquad b=\frac{x(h-2)}4$$
2. 2
   Zastosuj twierdzenie Pitagorasa

   W połowie trójkąta przeciwprostokątną jest b, a przyprostokątnymi h i x/2.

   $$b^2=h^2+\frac{x^2}{4}$$
3. 3
   Wyznacz wysokość

   Podstawiamy wyrażenie na b i upraszczamy. Ponieważ h>0, można podzielić równanie przez h.

   $$\frac{x^2(h-2)^2}{16}=h^2+\frac{x^2}{4}quad\Longrightarrowquad h=\frac{4x^2}{x^2-16}$$
4. 4
   Oblicz pole jako funkcję x

   Wstawiamy otrzymaną wysokość do wzoru P=xh/2.

   $$P(x)=\frac{x}{2}\cdot\frac{4x^2}{x^2-16}=\frac{2x^3}{x^2-16}$$

Typowy błąd: Użycie średnicy 4 jako promienia we wzorze P=rs albo zapisanie półobwodu jako x+b zamiast x/2+b.

Punktowanie: 3 pkt za pełne uzasadnienie wzoru; punkty częściowe za prawidłowe zależności geometryczne prowadzące do wysokości h.

1. 1
   Oblicz pochodną

   Różniczkujemy funkcję wymierną na dziedzinie (4,10].

   $$P'(x)=\frac{2x^2(x^2-48)}{(x^2-16)^2}$$
2. 2
   Znajdź punkt krytyczny

   W dziedzinie licznik zeruje się dla x²=48, czyli x=4√3.

   $$P'(x)=0quad\Longrightarrowquad x=4\sqrt3$$
3. 3
   Uzasadnij minimum

   Mianownik jest dodatni. Pochodna jest ujemna dla 4<x<4√3 i dodatnia dla 4√3<x≤10, więc funkcja najpierw maleje, a potem rośnie.

4. 4
   Oblicz najmniejsze pole

   Podstawiamy x=4√3 do wzoru na P.

   $$P(4\sqrt3)=\frac{2(4\sqrt3)^3}{(4\sqrt3)^2-16}=12\sqrt3;\text{m}^2$$

Typowy błąd: Wyznaczenie punktu krytycznego bez sprawdzenia zmiany znaku pochodnej lub pominięcie ograniczenia x≤10.

Punktowanie: 4 pkt za wykazanie minimum i obliczenie pola; 3 pkt za uzasadnienie miejsca minimum; 2 pkt za właściwy punkt krytyczny.