Zadanie 31. (0–4)
Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie Zdający:
reprezentacji. XIII) rozwiązuje zadania optymalizacyjne
2. Dobieranie i tworzenie modeli w sytuacjach dających się opisać funkcją
matematycznych przy rozwiązywaniu kwadratową.
problemów praktycznych i teoretycznych.
Zasady oceniania
4 pkt – zastosowanie poprawnej metody i poprawne wyniki, np.
11
𝑃(𝑥) = −2𝑥 2 + 22𝑥 + 88 oraz 𝐷 = (0, 11) oraz 𝑥 = 2 .
3 pkt – wyznaczenie poprawnego wzoru na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu
𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 w zależności od zmiennej 𝑥 oraz wyznaczenie dziedziny 𝐷 tej
funkcji, np. 𝑃(𝑥) = −2𝑥 2 + 22𝑥 + 88 oraz 𝐷 = (0, 11),
ALBO
– wyznaczenie poprawnego wzoru na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu
𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 w zależności od zmiennej 𝑥 (bez wyznaczonej dziedziny funkcji 𝑃)
oraz prawidłowe obliczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka wykresu funkcji 𝑃,
11
np. 𝑃(𝑥) = −2𝑥 2 + 22𝑥 + 88 oraz 𝑥 = .
2
2 pkt – wyznaczenie poprawnego wzoru na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu
𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 w zależności od zmiennej 𝑥 (bez wyznaczonej dziedziny funkcji 𝑃),
np. 𝑃(𝑥) = −2𝑥 2 + 22𝑥 + 88,
ALBO
– zapisanie zależności między długościami krawędzi 𝐵𝐹 i 𝐴𝐵 prostopadłościanu
oraz wyznaczenie zakresu zmienności 𝑥 , np.
𝑥 + 4 + |𝐵𝐹| = 15 oraz 𝑥 ∈ (0, 11).
1 pkt – zapisanie zależności między długościami krawędzi 𝐵𝐹 i 𝐴𝐵 prostopadłościanu, np.
𝑥 + 4 + |𝐵𝐹| = 15,
ALBO
– zapisanie wzoru na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu w zależności od
długości 𝑥 krawędzi 𝐴𝐵 oraz długości krawędzi 𝐵𝐹 :
𝑃 = 2 ⋅ (4𝑥 + 𝑥 ⋅ |𝐵𝐹| + 4 ⋅ |𝐵𝐹|),
ALBO
– wyznaczenie zakresu zmienności 𝑥 : 𝑥 ∈ (0, 11).
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający zapisze jedynie zakres zmienności 𝑥 : 𝑥 ∈ (0, 11) oraz zapisze, że
11
szukaną wartością 𝑥 jest liczba , to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. Jeżeli
2
11
zdający zapisze jedynie, że szukaną wartością 𝑥 jest liczba , to otrzymuje 0 punktów
2
za całe rozwiązanie.
2. Jeżeli zdający nie zapisze pola powierzchni całkowitej prostopadłościanu jako funkcji 𝑃
zmiennej 𝑥 , a jedynie obliczy wartości pola dla wybranych długości krawędzi i na tej
podstawie wskaże największą wartość pola, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów,
o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów (np. za zapisanie zależności między
długościami krawędzi 𝐵𝐹 i 𝐴𝐵 prostopadłościanu: 𝑥 + 4 + |𝐵𝐹| = 15).
3. Jeżeli zdający przyjmuje, że ściany 𝐴𝐵𝐹𝐸 oraz 𝐵𝐶𝐺𝐹 są przystającymi prostokątami
i na tym opiera swoje rozwiązanie, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe
rozwiązanie (za zapisanie zależności między długościami krawędzi 𝐴𝐵 i 𝐵𝐹 oraz za
wyznaczenie dziedziny funkcji).
4. Jeżeli zdający zamiast funkcji 𝑃(𝑥) rozważa w całym rozwiązaniu funkcję postaci
1
⋅ 𝑃(𝑥) albo funkcję pola powierzchni całkowitej w zależności od długości krawędzi 𝐵𝐹 ,
2
to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (za związek między
długościami krawędzi 𝐴𝐵 i 𝐵𝐹 , za wyznaczenie dziedziny funkcji i za poprawne
wyznaczenie argumentu, dla którego pole powierzchni całkowitej jest największe).
5. Jeżeli zdający stosuje rachunek różniczkowy i nie uzasadni, że w punkcie będącym
miejscem zerowym pochodnej funkcji 𝑃 jest największa wartość funkcji 𝑃, to może
otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.
Za poprawne uzasadnienie, że w punkcie będącym miejscem zerowym pochodnej
funkcji 𝑃 jest największa wartość funkcji 𝑃, można uznać sytuację, gdy zdający bada
znak pochodnej (np. szkicuje wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna
zmienia znak, i zaznacza na rysunku, np. znakami „+” i „-”, znak pochodnej), oraz:
– opisuje przedziały monotoniczności funkcji 𝑃 (słownie lub graficznie – np. przy użyciu
strzałek)
LUB
– zapisuje, że dla wyznaczonego miejsca zerowego pochodnej, funkcja 𝑃 ma maksimum
lokalne i jest to jednocześnie jej największa wartość,
LUB
– zapisuje, że dla wyznaczonego miejsca zerowego pochodnej, funkcja 𝑃 ma maksimum
lokalne i jest to jedyne ekstremum tej funkcji.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
𝐻 𝐺
𝐸 𝐹
𝐷 𝐶
4
𝐴 𝑥 𝐵
Suma długości wszystkich trzech krawędzi prostopadłościanu wychodzących z wierzchołka 𝐵
jest równa 15, zatem
|𝐴𝐵| + |𝐵𝐶| + |𝐵𝐹| = 15
𝑥 + 4 + |𝐵𝐹| = 15
|𝐵𝐹| = 11 − 𝑥
Pole 𝑃 powierzchni całkowitej prostopadłościanu 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 jest równe
𝑃 = 2 ⋅ (|𝐴𝐵| ∙ |𝐵𝐶| + |𝐴𝐵| ⋅ |𝐵𝐹| + |𝐵𝐶| ⋅ |𝐵𝐹|)
Ponieważ |𝐴𝐵| = 𝑥, |𝐵𝐶| = 4, |𝐵𝐹| = 11 − 𝑥 , więc wzór funkcji 𝑃 zmiennej 𝑥 ma
postać
𝑃(𝑥) = 2 ⋅ [𝑥 ⋅ 4 + 𝑥 ⋅ (11 − 𝑥) + 4 ⋅ (11 − 𝑥)]
𝑃(𝑥) = 2 ⋅ (4𝑥 + 11𝑥 − 𝑥 2 + 44 − 4𝑥)
𝑃(𝑥) = 2 ⋅ (−𝑥 2 + 11𝑥 + 44)
𝑃(𝑥) = −2𝑥 2 + 22𝑥 + 88
Wyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑃. Z warunków zadania wynika, że:
|𝐴𝐵| = 𝑥 > 0 oraz |𝐵𝐹| = 11 − 𝑥 > 0
Zatem
𝑥 > 0 oraz 𝑥 < 11
Zmienna 𝑥 może przyjmować wartości z przedziału 𝐷 = (0, 11).
Wykresem funkcji 𝑃 jest fragment paraboli skierowanej ramionami do dołu.
Obliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka tej paraboli:
−22 −22 11
𝑝= = = ∈ (0, 11)
2 ⋅ (−2) −4 2
11
Zatem funkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla argumentu .
2
Spośród rozważanych prostopadłościanów największe pole powierzchni całkowitej ma ten,
11
w którym 𝑥 = .
2
Ocena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią
Obowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez stwierdzonej
dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:
I. ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze
stwierdzoną dyskalkulią (punkty 1.–12.);
II. dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy
osób ze stwierdzoną dyskalkulią – egzamin maturalny z matematyki, poziom
podstawowy, termin główny 2025.
I. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną
dyskalkulią
1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:
• błędnego przepisania
• przestawienia cyfr
• zapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie
• przestawienia położenia przecinka
• przestawienia położenia znaku liczby.
2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu
oddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza
umiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania
badanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.
3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę
rozwiązania, części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej
1 punkt, zgodnie z kryteriami do poszczególnych zadań.
4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub
zapisuje nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne
rozumowanie lub stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt
za rozwiązanie zadania.
5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu
kwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę
wyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania
wartościach liczbowych.
6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający
może otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności
kwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.
7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej
zdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji
kwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.
8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych
lub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie
takiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.
9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na
płaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu
rozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur
geometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.
10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać
przynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych
sprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje
prawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.
11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli
podaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia
rozwiązania.
12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub
geometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która
wyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać
1 punkt.
II. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób
ze stwierdzoną dyskalkulią
Zadanie 5.
1 pkt – zapisanie, że 𝑛 = 2𝑙 + 1, oraz przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 do
postaci 3(2𝑙 + 1)2 + 2(2𝑙 + 1) + 7.
Zadanie 9.
1 pkt – zapisanie równania 13% ⋅ 𝑥 + 11% ⋅ 𝑦 = 146 700.
Zadanie 10.
1 pkt – zastosowanie poprawnej metody obliczenia pierwiastków trójmianu kwadratowego
6𝑥 2 − 11𝑥 + 3, tzn. zastosowanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego
i obliczenie tych pierwiastków
ALBO
– konsekwentne (do otrzymanego w wyniku popełnienia błędów o charakterze
dyskalkulicznym ujemnego wyróżnika) narysowanie paraboli,
ALBO
– poprawne rozwiązanie nierówności 3(2𝑥 2 + 1) < 0 (tzn. stosuje się punkt 6.
ogólnych zasad oceniania),
ALBO
– konsekwentne (do wyznaczonych przez siebie pierwiastków oraz rozpatrywanego
trójmianu i nierówności) wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający, rozwiązując nierówność, pomyli porządek liczb na osi liczbowej i zapisze
3 1
zbiór rozwiązań nierówności w postaci ( , ), to może otrzymać 2 punkty za całe
2 3
rozwiązanie.
2. Nie stosuje się uwag 2. i 3. z zasad oceniania arkusza standardowego.
3. Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci 𝑎 + 𝑏√𝑐, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 są
liczbami wymiernymi.
Zadanie 11.
Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.
Zadanie 12.1.
1 pkt – zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑝)2 + 𝑞 oraz zapisanie
𝑝 = 3 oraz 𝑞 = 6.
Zadanie 12.3.
Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.
Zadanie 15.
2 pkt – zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑚, np.:
2𝑚 + 11 + 5 − 𝑚
= 𝑚2 + 3,
2
(𝑚2 + 3) − (2𝑚 + 11) = (5 − 𝑚) − (𝑚2 + 3),
oraz zapisanie co najmniej jednej z trzech nierówności:
• 2𝑚 + 11 > 𝑚2 + 3
• 𝑚2 + 3 > 5 − 𝑚
• 2𝑚 + 11 > 5 − 𝑚
1 pkt – zapisanie co najmniej jednej z trzech nierówności:
• 2𝑚 + 11 > 𝑚2 + 3
• 𝑚2 + 3 > 5 − 𝑚
• 2𝑚 + 11 > 5 − 𝑚
ALBO
– zapisanie równania z dwiema niewiadomymi: 𝑚 oraz 𝑟 (gdzie 𝑟 jest różnicą ciągu
arytmetycznego), np. 2𝑚 + 11 + 𝑟 = 𝑚2 + 3.
Zadanie 25.
1 pkt – zastosowanie definicji funkcji trygonometrycznej lub związków miarowych w trójkącie
o kątach 30°, 60°, 90° i zapisanie równania z jedną niewiadomą (wysokością stożka
𝐻 𝑟 √3
lub promieniem podstawy stożka), np.: = cos 60° , = .
8 8 2
Zadanie 30.
Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.
Zadanie 31.
2 pkt – zapisanie zależności między długościami krawędzi 𝐵𝐹 i 𝐴𝐵 prostopadłościanu, np.
𝑥 + 4 + |𝐵𝐹| = 15 oraz zapisanie wzoru na pole powierzchni całkowitej
prostopadłościanu w zależności od długości 𝑥 krawędzi 𝐴𝐵 oraz długości krawędzi
𝐵𝐹 : 𝑃 = 2 ⋅ (4𝑥 + 𝑥 ⋅ |𝐵𝐹| + 4 ⋅ |𝐵𝐹|).
Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.