Matematyka 2025 — poziom podstawowy — część 4

Zadanie 22

1 pkt

Matematyka — odpowiedź według zasad CKE

Zadanie 22. (0–1) / Завдання 22. (0–1)
W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest kwadrat 𝐴𝐵𝐶𝐷 , w którym
𝐴 = (4, −1). Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie 𝑆 = (1, 3).
У декартовій системі координат (𝑥, 𝑦) дано квадрат 𝐴𝐵𝐶𝐷 , у якому 𝐴 = (4, −1).
Діагоналі цього квадрата перетинаються в точці 𝑆 = (1, 3).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.

Przekątna kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 ma długość
Діагональ квадрата 𝐴𝐵𝐶𝐷 має довжину

A. 5 B. 7 C. 10 D. 14

Sprawdź odpowiedź

Zadanie 22. (0–1)

Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja. Zdający:
4. Stosowanie i tworzenie strategii przy IX.3) oblicza odległość dwóch punktów
rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach w układzie współrzędnych.
nietypowych.

Zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Rozwiązanie
Wersja A Wersja B
C B

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Oblicz odległość A od środka
S jest punktem przecięcia przekątnych.
AS=\sqrt{(4-1)^2+(-1-3)^2}=\sqrt{9+16}=5
Użyj własności przekątnych kwadratu
Punkt przecięcia dzieli każdą przekątną na połowy.
AC=2\cdot AS=10

Podanie długości AS=5 jako całej przekątnej.

Punktowanie i źródło

Zadanie 22. (0–1)

Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja. Zdający:
4. Stosowanie i tworzenie strategii przy IX.3) oblicza odległość dwóch punktów
rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach w układzie współrzędnych.
nietypowych.

Zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Rozwiązanie
Wersja A Wersja B
C B

Strona arkusza: 25

Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.

Zadanie 23

1 pkt

Matematyka — odpowiedź według zasad CKE

Zadanie 23. (0–1) / Завдання 23. (0–1)
W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) proste 𝑘 oraz 𝑙 są określone równaniami
У декартовій системі координат (𝑥, 𝑦) прямі 𝑘 та 𝑙 задані рівняннями

𝑘: 𝑦 = (𝑚 − 2)𝑥 + 5
𝑙: 𝑦 = −4𝑥 + (𝑚 + 3)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.

Proste 𝑘 oraz 𝑙 są równoległe, gdy liczba 𝑚 jest równa
Прямі 𝑘 та 𝑙 є паралельними, якщо число 𝑚 дорівнює

A. (−4) B. (−2) C. 2 D. 5

Sprawdź odpowiedź

Zadanie 23. (0–1)

Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie Zdający:
reprezentacji. IX.2) posługuje się równaniami prostych na
1. Stosowanie obiektów matematycznych płaszczyźnie, w postaci kierunkowej […],
i operowanie nimi, interpretowanie pojęć w tym wyznacza równanie prostej
matematycznych. o zadanych własnościach (takich, jak np.
[…] równoległość do innej prostej).

Zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Rozwiązanie
Wersja A Wersja B
B A

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Porównaj współczynniki kierunkowe
Proste równoległe mają równe współczynniki przy x.
m-2=-4
Rozwiąż równanie
Dodajemy 2 do obu stron.
m=-2

Porównywanie wyrazów wolnych zamiast współczynników kierunkowych.

Punktowanie i źródło

Zadanie 23. (0–1)

Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie Zdający:
reprezentacji. IX.2) posługuje się równaniami prostych na
1. Stosowanie obiektów matematycznych płaszczyźnie, w postaci kierunkowej […],
i operowanie nimi, interpretowanie pojęć w tym wyznacza równanie prostej
matematycznych. o zadanych własnościach (takich, jak np.
[…] równoległość do innej prostej).

Zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Rozwiązanie
Wersja A Wersja B
B A

Strona arkusza: 25

Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.

Zadanie 24

1 pkt

Matematyka — odpowiedź według zasad CKE

Zadanie 24. (0–1) / Завдання 24. (0–1)
W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkt 𝑃 = (0, 0) leży na okręgu 𝒪
o środku w punkcie 𝑆 = (2, 4).
У декартовій системі координат (𝑥, 𝑦) точка 𝑃 = (0, 0) лежить на колі 𝒪 з центром
в точці 𝑆 = (2, 4).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.

Okrąg 𝒪 jest określony równaniem
Коло 𝒪 задане рівнянням

A. (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 4)2 = 2√5

B. (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 4)2 = 20

C. (𝑥 + 2)2 + (𝑦 + 4)2 = 2√5

D. (𝑥 + 2)2 + (𝑦 + 4)2 = 20

A.(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 4)2 = 2√5
B.(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 4)2 = 20
C.(𝑥 + 2)2 + (𝑦 + 4)2 = 2√5
D.(𝑥 + 2)2 + (𝑦 + 4)2 = 20

Sprawdź odpowiedź

Zadanie 24. (0–1)

Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie Zdający:
reprezentacji. IX.4) posługuje się równaniem okręgu
1. Stosowanie obiektów matematycznych (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟 2 .
i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.

Zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Rozwiązanie
Wersja A Wersja B
B C

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Zapisz postać równania okręgu
Dla środka (2,4) lewa strona ma postać (x−2)²+(y−4)².
Oblicz kwadrat promienia
Promień jest odległością środka od punktu P=(0,0).
r^2=(2-0)^2+(4-0)^2=20
Zapisz równanie
Po prawej stronie równania występuje r², a nie r.
(x-2)^2+(y-4)^2=20

Wpisanie po prawej stronie długości promienia 2√5 zamiast jego kwadratu 20.

Punktowanie i źródło

Zadanie 24. (0–1)

Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie Zdający:
reprezentacji. IX.4) posługuje się równaniem okręgu
1. Stosowanie obiektów matematycznych (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟 2 .
i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.

Zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Rozwiązanie
Wersja A Wersja B
B C

Strona arkusza: 26

Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.

Zadanie 25

3 pkt

Matematyka — odpowiedź według zasad CKE

Zadanie 25. (0–3) / Завдання 25. (0–3)
Tworząca stożka ma długość 8. Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę 120°.
Твірна конуса має довжину 8. Міра кута цього конуса дорівнює 120°.

Oblicz objętość tego stożka. Zapisz obliczenia.
Обчисли об’єм цього конуса. Запиши обчислення.

Sprawdź odpowiedź

Zadanie 25. (0–3)

Wymaganie ogólne Wymagania szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja. Zdający:
4. Stosowanie i tworzenie strategii przy X.4) rozpoznaje […] w stożkach kąt między
rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach odcinkami oraz kąt między odcinkami
nietypowych. i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka,
kąt między tworzącą a podstawą) […];
X.5) oblicza objętości […] stożka […],
również z wykorzystaniem trygonometrii.

Zasady oceniania
3 pkt – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑉 = 64𝜋.

2 pkt – zapisanie promienia podstawy stożka: 𝑟 = 4√3 oraz zapisanie wysokości
stożka: 𝐻 = 4
ALBO
– obliczenie kwadratu promienia podstawy stożka: 𝑟 2 = 48 oraz zapisanie wysokości
stożka: 𝐻 = 4,
ALBO
– zapisanie wysokości stożka: 𝐻 = 4 oraz wyznaczenie objętości stożka
1 2
w zależności od 𝐻 , np. 𝑉 = 𝜋(𝐻√3) ⋅ 𝐻,
3
ALBO
– zapisanie promienia podstawy stożka: 𝑟 = 4√3 oraz wyznaczenie objętości stożka
1 𝑟
w zależności od 𝑟, np. 𝑉 = 𝜋𝑟 2 ⋅ ,
3 √3
ALBO
2
1 𝑙√3 𝑙
– wyznaczenie objętości stożka w zależności od tworzącej 𝑙 , np. 𝑉 = 𝜋 ( ) ⋅ .
3 2 2

1 pkt – zapisanie promienia podstawy stożka: 𝑟 = 4√3
ALBO
– zapisanie wysokości stożka: 𝐻 = 4,
ALBO
– obliczenie kwadratu promienia podstawy stożka: 𝑟 2 = 48,
ALBO
– zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć 𝑟 oraz 𝐻 , np.:
𝑟 = 𝑥√3 oraz 𝐻=𝑥 oraz 𝑙 = 2𝑥 oraz 𝑙 = 8,
𝑟 𝐻
= sin 60° oraz = cos 60° ,
8 8
1 1
⋅ 2𝑟 ⋅ 𝐻 = ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅ sin 120° oraz 𝑟 2 + 𝐻 2 = 82 ,
2 2
(2𝑟)2 = 82 + 82 − 2 ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅ cos 120° oraz 𝑟 2 + 𝐻 2 = 82 ,
ALBO

1 2
– wyznaczenie objętości stożka w zależności od 𝐻, np. 𝑉 = 𝜋(𝐻√3) ⋅ 𝐻,
3
ALBO
1 2 𝑟
– wyznaczenie objętości stożka w zależności od 𝑟, np. 𝑉 = 𝜋𝑟 ⋅ .
3 √3

0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Uwagi:
1. Jeżeli zdający przyjmuje w rozwiązaniu, że:
a) trójkąt 𝑆𝑂𝐵 jest trójkątem równobocznym,
b) wysokość stożka jest równa 8, lub
c) promień podstawy stożka jest równy 8,
to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
2. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:
a) zastosowanie niepoprawnej definicji jednej funkcji trygonometrycznej,
b) błędne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa,
c) błędne zastosowanie twierdzenia cosinusów,
d) zastosowanie niepoprawnej tożsamości √𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑥 + 𝑦,
e) błędne zastosowanie własności trójkąta o kątach 30°, 60°, 90° (tzn. zapisanie,
że promień podstawy stożka jest równy 4 i wysokość stożka jest równa 4√3 ),
lub
f) przyjęcie, że kąt 120° to kąt wycinka koła o promieniu 8 tworzącego
powierzchnię boczną stożka,
i rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać
1 punkt za całe rozwiązanie (za konsekwentne obliczenie objętości stożka).
Jeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych błędów a)–f), to otrzymuje
0 punktów za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów (np. za
zapisanie wysokości stożka: 𝐻 = 4).

Przykładowe pełne rozwiązania

Sposób I
𝑆
Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku
przedstawiającym przekrój osiowy 120°
rozważanego stożka: 60° 8
𝑆 – wierzchołek stożka, 𝐻
𝑂 – spodek wysokości stożka,
𝑟 – promień podstawy stożka,
𝐴 𝑂 𝑟 𝐵
𝐻 – wysokość stożka.
Zauważamy, że 𝑟 > 0 i 𝐻 > 0.

Ponieważ 𝑂 jest spodkiem wysokości stożka, to |∡𝑂𝑆𝐵| = 60°.

W trójkącie prostokątnym 𝑂𝐵𝑆 mamy

|𝑂𝐵| 𝑟
sin 60° = =
|𝑆𝐵| 8
Zatem

√3
𝑟 = 8 ⋅ sin 60° = 8 ⋅ = 4√3
2
Ponadto
|𝑆𝑂| 𝐻
cos 60° = =
|𝑆𝐵| 8
Stąd
1
𝐻 = 8 ⋅ cos 60° = 8 ⋅ =4
2
Obliczamy objętość 𝑉 stożka:
1 1 2
𝑉= ⋅ 𝜋 ⋅ 𝑟 2 ⋅ 𝐻 = ⋅ 𝜋 ⋅ (4√3) ⋅ 4 = 64𝜋
3 3

Sposób II
Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku
𝑆
przedstawiającym przekrój osiowy
rozważanego stożka: 120°
𝑆 – wierzchołek stożka, 8
𝑂 – spodek wysokości stożka, 𝐻
𝑟 – promień podstawy stożka,
𝐻 – wysokość stożka. 𝐴 𝑂 𝑟 𝐵
Zauważamy, że 𝑟 > 0 i 𝐻 > 0.

Korzystamy z twierdzenia cosinusów dla trójkąta 𝐴𝐵𝑆 i otrzymujemy:

(2𝑟)2 = 82 + 82 − 2 ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅ cos 120°
4𝑟 2 = 128 − 128 ⋅ cos 120°
1
Ponieważ cos 120° = − cos 60° = − , więc
2
1
4𝑟 2 = 128 − 128 ⋅ (− )
2
4𝑟 2 = 192
𝑟 2 = 48

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝑂𝐵𝑆 i obliczamy wysokość stożka:

𝐻 2 = 82 − 𝑟 2

𝐻 2 = 64 − 48
𝐻 2 = 16
𝐻=4
Obliczamy objętość 𝑉 stożka:
1 1
𝑉= ⋅ 𝜋 ⋅ 𝑟 2 ⋅ 𝐻 = ⋅ 𝜋 ⋅ 48 ⋅ 4 = 64𝜋
3 3

Sposób III
Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku
𝑆
przedstawiającym przekrój osiowy
rozważanego stożka: 120°
𝑆 – wierzchołek stożka, 8
𝑂 – spodek wysokości stożka, 𝐻
𝑟 – promień podstawy stożka,
𝐻 – wysokość stożka. 𝐴 𝑂 𝑟 𝐵
Zauważamy, że 𝑟 > 0 i 𝐻 > 0.

Pole trójkąta 𝐴𝐵𝑆 jest równe

1 √3
𝑃𝐴𝐵𝑆 = ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅ sin 120° = 32 ⋅ sin 60° = 32 ⋅ = 16√3
2 2
Zatem
1
⋅ 2𝑟 ⋅ 𝐻 = 16√3
2
stąd
𝑟 ⋅ 𝐻 = 16√3

Korzystamy z twierdzenia cosinusów dla trójkąta 𝐴𝐵𝑆 i otrzymujemy:

(2𝑟)2 = 82 + 82 − 2 ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅ cos 120°
4𝑟 2 = 128 − 128 ⋅ (−cos 60°)
1
4𝑟 2 = 128 − 128 ⋅ (− )
2
4𝑟 2 = 192
𝑟 2 = 48

𝑟 = 4√3

Obliczamy objętość 𝑉 stożka:
1 1 1
𝑉= ⋅ 𝜋 ⋅ 𝑟 2 ⋅ 𝐻 = ⋅ 𝜋 ⋅ 𝑟 ⋅ 𝑟 ⋅ 𝐻 = ⋅ 𝜋 ⋅ 4√3 ⋅ 16√3 = 64𝜋
3 3 3

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Przejdź do przekroju osiowego
Połowa kąta rozwarcia ma 60°, a tworząca długości 8 jest przeciwprostokątną.
Wyznacz promień i wysokość
Korzystamy z sinusa i cosinusa kąta 60°.
r=8\sin60^\circ=4\sqrt3,\qquad H=8\cos60^\circ=4
Oblicz objętość
Podstawiamy r²=48 i H=4 do wzoru na objętość stożka.
V=\frac13\pi r^2H=\frac13\pi\cdot48\cdot4=64\pi

Użycie całego kąta 120° zamiast jego połowy w trójkącie prostokątnym przekroju osiowego.

Punktowanie i źródło

Zadanie 25. (0–3)

Wymaganie ogólne Wymagania szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja. Zdający:
4. Stosowanie i tworzenie strategii przy X.4) rozpoznaje […] w stożkach kąt między
rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach odcinkami oraz kąt między odcinkami
nietypowych. i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka,
kąt między tworzącą a podstawą) […];
X.5) oblicza objętości […] stożka […],
również z wykorzystaniem trygonometrii.

Zasady oceniania
3 pkt – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑉 = 64𝜋.

2 pkt – zapisanie promienia podstawy stożka: 𝑟 = 4√3 oraz zapisanie wysokości
stożka: 𝐻 = 4
ALBO
– obliczenie kwadratu promienia podstawy stożka: 𝑟 2 = 48 oraz zapisanie wysokości
stożka: 𝐻 = 4,
ALBO
– zapisanie wysokości stożka: 𝐻 = 4 oraz wyznaczenie objętości stożka
1 2
w zależności od 𝐻 , np. 𝑉 = 𝜋(𝐻√3) ⋅ 𝐻,
3
ALBO
– zapisanie promienia podstawy stożka: 𝑟 = 4√3 oraz wyznaczenie objętości stożka
1 𝑟
w zależności od 𝑟, np. 𝑉 = 𝜋𝑟 2 ⋅ ,
3 √3
ALBO
2
1 𝑙√3 𝑙
– wyznaczenie objętości stożka w zależności od tworzącej 𝑙 , np. 𝑉 = 𝜋 ( ) ⋅ .
3 2 2

1 pkt – zapisanie promienia podstawy stożka: 𝑟 = 4√3
ALBO
– zapisanie wysokości stożka: 𝐻 = 4,
ALBO
– obliczenie kwadratu promienia podstawy stożka: 𝑟 2 = 48,
ALBO
– zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć 𝑟 oraz 𝐻 , np.:
𝑟 = 𝑥√3 oraz 𝐻=𝑥 oraz 𝑙 = 2𝑥 oraz 𝑙 = 8,
𝑟 𝐻
= sin 60° oraz = cos 60° ,
8 8
1 1
⋅ 2𝑟 ⋅ 𝐻 = ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅ sin 120° oraz 𝑟 2 + 𝐻 2 = 82 ,
2 2
(2𝑟)2 = 82 + 82 − 2 ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅ cos 120° oraz 𝑟 2 + 𝐻 2 = 82 ,
ALBO

1 2
– wyznaczenie objętości stożka w zależności od 𝐻, np. 𝑉 = 𝜋(𝐻√3) ⋅ 𝐻,
3
ALBO
1 2 𝑟
– wyznaczenie objętości stożka w zależności od 𝑟, np. 𝑉 = 𝜋𝑟 ⋅ .
3 √3

0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Uwagi:
1. Jeżeli zdający przyjmuje w rozwiązaniu, że:
a) trójkąt 𝑆𝑂𝐵 jest trójkątem równobocznym,
b) wysokość stożka jest równa 8, lub
c) promień podstawy stożka jest równy 8,
to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
2. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:
a) zastosowanie niepoprawnej definicji jednej funkcji trygonometrycznej,
b) błędne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa,
c) błędne zastosowanie twierdzenia cosinusów,
d) zastosowanie niepoprawnej tożsamości √𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑥 + 𝑦,
e) błędne zastosowanie własności trójkąta o kątach 30°, 60°, 90° (tzn. zapisanie,
że promień podstawy stożka jest równy 4 i wysokość stożka jest równa 4√3 ),
lub
f) przyjęcie, że kąt 120° to kąt wycinka koła o promieniu 8 tworzącego
powierzchnię boczną stożka,
i rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać
1 punkt za całe rozwiązanie (za konsekwentne obliczenie objętości stożka).
Jeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych błędów a)–f), to otrzymuje
0 punktów za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów (np. za
zapisanie wysokości stożka: 𝐻 = 4).

Przykładowe pełne rozwiązania

Sposób I
𝑆
Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku
przedstawiającym przekrój osiowy 120°
rozważanego stożka: 60° 8
𝑆 – wierzchołek stożka, 𝐻
𝑂 – spodek wysokości stożka,
𝑟 – promień podstawy stożka,
𝐴 𝑂 𝑟 𝐵
𝐻 – wysokość stożka.
Zauważamy, że 𝑟 > 0 i 𝐻 > 0.

Ponieważ 𝑂 jest spodkiem wysokości stożka, to |∡𝑂𝑆𝐵| = 60°.

W trójkącie prostokątnym 𝑂𝐵𝑆 mamy

|𝑂𝐵| 𝑟
sin 60° = =
|𝑆𝐵| 8
Zatem

√3
𝑟 = 8 ⋅ sin 60° = 8 ⋅ = 4√3
2
Ponadto
|𝑆𝑂| 𝐻
cos 60° = =
|𝑆𝐵| 8
Stąd
1
𝐻 = 8 ⋅ cos 60° = 8 ⋅ =4
2
Obliczamy objętość 𝑉 stożka:
1 1 2
𝑉= ⋅ 𝜋 ⋅ 𝑟 2 ⋅ 𝐻 = ⋅ 𝜋 ⋅ (4√3) ⋅ 4 = 64𝜋
3 3

Sposób II
Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku
𝑆
przedstawiającym przekrój osiowy
rozważanego stożka: 120°
𝑆 – wierzchołek stożka, 8
𝑂 – spodek wysokości stożka, 𝐻
𝑟 – promień podstawy stożka,
𝐻 – wysokość stożka. 𝐴 𝑂 𝑟 𝐵
Zauważamy, że 𝑟 > 0 i 𝐻 > 0.

Korzystamy z twierdzenia cosinusów dla trójkąta 𝐴𝐵𝑆 i otrzymujemy:

(2𝑟)2 = 82 + 82 − 2 ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅ cos 120°
4𝑟 2 = 128 − 128 ⋅ cos 120°
1
Ponieważ cos 120° = − cos 60° = − , więc
2
1
4𝑟 2 = 128 − 128 ⋅ (− )
2
4𝑟 2 = 192
𝑟 2 = 48

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝑂𝐵𝑆 i obliczamy wysokość stożka:

𝐻 2 = 82 − 𝑟 2

𝐻 2 = 64 − 48
𝐻 2 = 16
𝐻=4
Obliczamy objętość 𝑉 stożka:
1 1
𝑉= ⋅ 𝜋 ⋅ 𝑟 2 ⋅ 𝐻 = ⋅ 𝜋 ⋅ 48 ⋅ 4 = 64𝜋
3 3

Sposób III
Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku
𝑆
przedstawiającym przekrój osiowy
rozważanego stożka: 120°
𝑆 – wierzchołek stożka, 8
𝑂 – spodek wysokości stożka, 𝐻
𝑟 – promień podstawy stożka,
𝐻 – wysokość stożka. 𝐴 𝑂 𝑟 𝐵
Zauważamy, że 𝑟 > 0 i 𝐻 > 0.

Pole trójkąta 𝐴𝐵𝑆 jest równe

1 √3
𝑃𝐴𝐵𝑆 = ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅ sin 120° = 32 ⋅ sin 60° = 32 ⋅ = 16√3
2 2
Zatem
1
⋅ 2𝑟 ⋅ 𝐻 = 16√3
2
stąd
𝑟 ⋅ 𝐻 = 16√3

Korzystamy z twierdzenia cosinusów dla trójkąta 𝐴𝐵𝑆 i otrzymujemy:

(2𝑟)2 = 82 + 82 − 2 ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅ cos 120°
4𝑟 2 = 128 − 128 ⋅ (−cos 60°)
1
4𝑟 2 = 128 − 128 ⋅ (− )
2
4𝑟 2 = 192
𝑟 2 = 48

𝑟 = 4√3

Obliczamy objętość 𝑉 stożka:
1 1 1
𝑉= ⋅ 𝜋 ⋅ 𝑟 2 ⋅ 𝐻 = ⋅ 𝜋 ⋅ 𝑟 ⋅ 𝑟 ⋅ 𝐻 = ⋅ 𝜋 ⋅ 4√3 ⋅ 16√3 = 64𝜋
3 3 3

Strona arkusza: 27

Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.

Zadanie 26

1 pkt

Matematyka — odpowiedź według zasad CKE

Zadanie 26. (0–1) / Завдання 26. (0–1)
Objętość sześcianu jest równa 729.
Об’єм куба дорівнює 729.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.

Długość przekątnej tego sześcianu jest równa
Довжина діагоналі цього куба дорівнює

A. 9√3 B. 9√2 C. 3√3 D. 3√2

Sprawdź odpowiedź

Zadanie 26. (0–1)

Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie Zdający:
reprezentacji. X.5) oblicza objętości […] graniastosłupów
1. Stosowanie obiektów matematycznych […].
i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.

Zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Rozwiązanie
Wersja A Wersja B
A D

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Wyznacz krawędź
Objętość sześcianu to a³.
a^3=729\quad\Rightarrow\quad a=9
Oblicz przekątną przestrzenną
Przekątna sześcianu ma długość a√3.
d=9\sqrt3

Użycie wzoru a√2 na przekątną ściany zamiast a√3 na przekątną sześcianu.

Punktowanie i źródło

Zadanie 26. (0–1)

Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie Zdający:
reprezentacji. X.5) oblicza objętości […] graniastosłupów
1. Stosowanie obiektów matematycznych […].
i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.

Zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Rozwiązanie
Wersja A Wersja B
A D

Strona arkusza: 28

Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.

Zadanie 27

1 pkt

Matematyka — odpowiedź według zasad CKE

Zadanie 27. (0–1) / Завдання 27. (0–1)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym
występuje dokładnie jeden raz cyfra 0, jest
Усіх трицифрових непарних натуральних чисел, у десятковому записі яких цифра 0
виступає рівно один раз, є

A. 45 B. 50 C. 54 D. 81

Sprawdź odpowiedź

Zadanie 27. (0–1)

Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie Zdający:
reprezentacji. XI.2) zlicza obiekty, stosując reguły
2. Dobieranie i tworzenie modeli mnożenia i dodawania […].
matematycznych przy rozwiązywaniu
problemów praktycznych i teoretycznych.

Zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Rozwiązanie
Wersja A Wersja B
A D

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Ustal pozycję zera
Liczba ma być trzycyfrowa i nieparzysta, więc 0 nie może być cyfrą setek ani jedności. Musi być cyfrą dziesiątek.
Policz cyfry setek
Cyfra setek może być dowolną z liczb 1–9: 9 możliwości.
Policz cyfry jedności
Nieparzysta cyfra jedności to 1, 3, 5, 7 lub 9: 5 możliwości.
9\cdot5=45

Dopuszczenie zera na początku zapisu albo na miejscu jedności mimo warunku nieparzystości.

Punktowanie i źródło

Zadanie 27. (0–1)

Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie Zdający:
reprezentacji. XI.2) zlicza obiekty, stosując reguły
2. Dobieranie i tworzenie modeli mnożenia i dodawania […].
matematycznych przy rozwiązywaniu
problemów praktycznych i teoretycznych.

Zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Rozwiązanie
Wersja A Wersja B
A D

Strona arkusza: 28

Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.

Zadanie 28

1 pkt

Matematyka — odpowiedź według zasad CKE

Zadanie 28. (0–1) / Завдання 28. (0–1)
Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry,
która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek.
Zdarzenie 𝐴 polega na tym, że suma liczb wyrzuconych oczek będzie równa 11.
Випадковий експеримент полягає у дворазовому підкиданні симетричного грального
кубика, який на кожній грані має різну кількість очок – від одного до шести очок.
Подія 𝐴 полягає в тому, що сума очок, які випали, дорівнюватиме 11.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.

Prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe
Ймовірність події 𝐴 дорівнює

1 6 11 2
A. B. C. D.
36 36 36 36

Sprawdź odpowiedź

Zadanie 28. (0–1)

Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie Zdający:
reprezentacji. XII.1) oblicza prawdopodobieństwo
2. Dobieranie i tworzenie modeli w modelu klasycznym.
matematycznych przy rozwiązywaniu
problemów praktycznych i teoretycznych.

Zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Rozwiązanie
Wersja A Wersja B
D B

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Policz wszystkie wyniki
Dwa uporządkowane rzuty kostką dają 6·6=36 równoprawdopodobnych wyników.
Wypisz wyniki sprzyjające
Sumę 11 dają wyłącznie pary (5,6) i (6,5).
Oblicz prawdopodobieństwo
Dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich wyników.
P=\frac2{36}=\frac1{18}

Potraktowanie par (5,6) i (6,5) jako jednego wyniku, mimo że rzuty są uporządkowane.

Punktowanie i źródło

Zadanie 28. (0–1)

Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie Zdający:
reprezentacji. XII.1) oblicza prawdopodobieństwo
2. Dobieranie i tworzenie modeli w modelu klasycznym.
matematycznych przy rozwiązywaniu
problemów praktycznych i teoretycznych.

Zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Rozwiązanie
Wersja A Wersja B
D B

Strona arkusza: 29

Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.

Zadanie 29

1 pkt

Matematyka — odpowiedź według zasad CKE

Zadanie 29. (0–1) / Завдання 29. (0–1)
Średnia arytmetyczna siedmiu liczb: 1, 2, 3, 4, 5, 𝑥 , 𝑦, jest równa 3.
Середнє арифметичне семи чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 𝑥 , 𝑦, дорівнює 3.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.

Suma 𝑥 + 𝑦 jest równa
Сума 𝑥 + 𝑦 дорівнює

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

Sprawdź odpowiedź

Zadanie 29. (0–1)

Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie Zdający:
reprezentacji. XII.2) oblicza średnią arytmetyczną […].
1. Stosowanie obiektów matematycznych
i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.

Zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Rozwiązanie
Wersja A Wersja B
C A

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Oblicz sumę wszystkich liczb
Średnia 3 dla siedmiu liczb oznacza sumę 7·3.
S=21
Dodaj znane liczby
Suma 1+2+3+4+5 wynosi 15.
Wyznacz x+y
Odejmujemy sumę znanych składników od sumy wszystkich.
x+y=21-15=6

Dzielenie sumy x+y przez 7 zamiast odtworzenia całkowitej sumy z podanej średniej.

Punktowanie i źródło

Zadanie 29. (0–1)

Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie Zdający:
reprezentacji. XII.2) oblicza średnią arytmetyczną […].
1. Stosowanie obiektów matematycznych
i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.

Zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Rozwiązanie
Wersja A Wersja B
C A

Strona arkusza: 29

Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.

Zadanie 30

2 pkt

Matematyka — odpowiedź według zasad CKE

Zadanie 30. (0–2) / Завдання 30. (0–2)
Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej
liczącej 24 uczniów. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy,
a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.
На діаграмі показано результати контрольної роботи з математики у певному
випускному класі з 24 учнів. На горизонтальній осі вказано оцінки, які отримали учні
цього класу, а на вертикальній осі вказано кількість учнів, які отримали дану оцінку.

8
7
6
liczba 5
uczniów
кількість
4
учнів 3
2
1
0
1 2 3 4 5 6
ocena
оцінка

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania
były prawdziwe.
Доповни речення. Запиши відповідні числа у зазначених крапками місцях так,
щоб речення були правильними.

1. Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa /

Медіана оцінок, отриманих учнями цього класу за цю контрольну роботу, дорівнює

………… .

2. Dominanta ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa /

Мода оцінок, отриманих учнями цього класу за цю контрольну роботу, дорівнює

………… .

Sprawdź odpowiedź

Zadanie 30. (0–2)

Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Zdający:
1. Interpretowanie i operowanie XII.2) […] znajduje medianę i dominantę.
informacjami przedstawionymi w tekście,
zarówno matematycznym, jak
i popularnonaukowym, a także w formie
wykresów, diagramów, tabel.

Zasady oceniania
2 pkt – poprawne uzupełnienie dwóch zdań.
1 pkt – poprawne uzupełnienie jednego zdania.
0 pkt – brak spełnienia powyższych kryteriów.

Uwaga:
Nie akceptuje się zaokrągleń otrzymanych wyników.

Rozwiązanie

1. Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa 4,5.

2. Dominanta ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa 6.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Wyznacz pozycje środkowe
Dla 24 wyników mediana jest średnią wartości na pozycjach 12. i 13.
Odczytaj medianę
Po zsumowaniu liczebności pozycja 12. ma ocenę 4, a 13. ocenę 5.
Me=\frac{4+5}{2}=4{,}5
Odczytaj dominantę
Najczęściej występuje ocena 6 — uzyskało ją 7 uczniów.
D=6

Zaokrąglenie mediany 4,5 do 5 albo wskazanie największej oceny bez sprawdzenia jej liczebności.

Punktowanie i źródło

Zadanie 30. (0–2)

Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Zdający:
1. Interpretowanie i operowanie XII.2) […] znajduje medianę i dominantę.
informacjami przedstawionymi w tekście,
zarówno matematycznym, jak
i popularnonaukowym, a także w formie
wykresów, diagramów, tabel.

Zasady oceniania
2 pkt – poprawne uzupełnienie dwóch zdań.
1 pkt – poprawne uzupełnienie jednego zdania.
0 pkt – brak spełnienia powyższych kryteriów.

Uwaga:
Nie akceptuje się zaokrągleń otrzymanych wyników.

Rozwiązanie

1. Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa 4,5.

2. Dominanta ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa 6.

Strona arkusza: 30

Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.

Zadanie 31

4 pkt

Matematyka — odpowiedź według zasad CKE

Zadanie 31. (0–4) / Завдання 31. (0–4)
Rozważamy wszystkie prostopadłościany 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 , w których krawędź 𝐵𝐶 ma długość 4
oraz suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka 𝐵 jest równa 15
(zobacz rysunek).
Розглядаємо всі прямокутні паралелепіпеди 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 , у яких ребро 𝐵𝐶 має
довжину 4 та сума довжин усіх ребер, що виходять з вершини 𝐵, дорівнює 15
(дивись рисунок).

Niech 𝑃(𝑥) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu
w zależności od długości 𝑥 krawędzi 𝐴𝐵 .
Нехай 𝑃(𝑥) означає функцію площі повної поверхні такого прямокутного
паралелепіпеда в залежності від довжини 𝑥 ребра 𝐴𝐵 .

𝐻 𝐺

𝐸 𝐹

𝐷 𝐶
4
𝐴 𝑥 𝐵

Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji 𝑷. Oblicz długość 𝒙 krawędzi 𝑨𝑩 tego
z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest
największe. Zapisz obliczenia.
Визнач формулу та область визначення функції 𝑷. Обчисли довжину 𝒙 ребра
𝑨𝑩 того з розглянутих прямокутних паралелепіпедів, площа повної поверхні
якого є найбільшою. Запиши обчислення.

Sprawdź odpowiedź

Zadanie 31. (0–4)

Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie Zdający:
reprezentacji. XIII) rozwiązuje zadania optymalizacyjne
2. Dobieranie i tworzenie modeli w sytuacjach dających się opisać funkcją
matematycznych przy rozwiązywaniu kwadratową.
problemów praktycznych i teoretycznych.

Zasady oceniania
4 pkt – zastosowanie poprawnej metody i poprawne wyniki, np.
11
𝑃(𝑥) = −2𝑥 2 + 22𝑥 + 88 oraz 𝐷 = (0, 11) oraz 𝑥 = 2 .

3 pkt – wyznaczenie poprawnego wzoru na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu
𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 w zależności od zmiennej 𝑥 oraz wyznaczenie dziedziny 𝐷 tej
funkcji, np. 𝑃(𝑥) = −2𝑥 2 + 22𝑥 + 88 oraz 𝐷 = (0, 11),
ALBO
– wyznaczenie poprawnego wzoru na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu
𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 w zależności od zmiennej 𝑥 (bez wyznaczonej dziedziny funkcji 𝑃)

oraz prawidłowe obliczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka wykresu funkcji 𝑃,
11
np. 𝑃(𝑥) = −2𝑥 2 + 22𝑥 + 88 oraz 𝑥 = .
2

2 pkt – wyznaczenie poprawnego wzoru na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu
𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 w zależności od zmiennej 𝑥 (bez wyznaczonej dziedziny funkcji 𝑃),
np. 𝑃(𝑥) = −2𝑥 2 + 22𝑥 + 88,
ALBO
– zapisanie zależności między długościami krawędzi 𝐵𝐹 i 𝐴𝐵 prostopadłościanu
oraz wyznaczenie zakresu zmienności 𝑥 , np.
𝑥 + 4 + |𝐵𝐹| = 15 oraz 𝑥 ∈ (0, 11).

1 pkt – zapisanie zależności między długościami krawędzi 𝐵𝐹 i 𝐴𝐵 prostopadłościanu, np.
𝑥 + 4 + |𝐵𝐹| = 15,
ALBO
– zapisanie wzoru na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu w zależności od
długości 𝑥 krawędzi 𝐴𝐵 oraz długości krawędzi 𝐵𝐹 :
𝑃 = 2 ⋅ (4𝑥 + 𝑥 ⋅ |𝐵𝐹| + 4 ⋅ |𝐵𝐹|),
ALBO
– wyznaczenie zakresu zmienności 𝑥 : 𝑥 ∈ (0, 11).

0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Uwagi:
1. Jeżeli zdający zapisze jedynie zakres zmienności 𝑥 : 𝑥 ∈ (0, 11) oraz zapisze, że
11
szukaną wartością 𝑥 jest liczba , to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. Jeżeli
2
11
zdający zapisze jedynie, że szukaną wartością 𝑥 jest liczba , to otrzymuje 0 punktów
2
za całe rozwiązanie.
2. Jeżeli zdający nie zapisze pola powierzchni całkowitej prostopadłościanu jako funkcji 𝑃
zmiennej 𝑥 , a jedynie obliczy wartości pola dla wybranych długości krawędzi i na tej
podstawie wskaże największą wartość pola, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów,
o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów (np. za zapisanie zależności między
długościami krawędzi 𝐵𝐹 i 𝐴𝐵 prostopadłościanu: 𝑥 + 4 + |𝐵𝐹| = 15).
3. Jeżeli zdający przyjmuje, że ściany 𝐴𝐵𝐹𝐸 oraz 𝐵𝐶𝐺𝐹 są przystającymi prostokątami
i na tym opiera swoje rozwiązanie, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe
rozwiązanie (za zapisanie zależności między długościami krawędzi 𝐴𝐵 i 𝐵𝐹 oraz za
wyznaczenie dziedziny funkcji).
4. Jeżeli zdający zamiast funkcji 𝑃(𝑥) rozważa w całym rozwiązaniu funkcję postaci
1
⋅ 𝑃(𝑥) albo funkcję pola powierzchni całkowitej w zależności od długości krawędzi 𝐵𝐹 ,
2
to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (za związek między
długościami krawędzi 𝐴𝐵 i 𝐵𝐹 , za wyznaczenie dziedziny funkcji i za poprawne
wyznaczenie argumentu, dla którego pole powierzchni całkowitej jest największe).
5. Jeżeli zdający stosuje rachunek różniczkowy i nie uzasadni, że w punkcie będącym
miejscem zerowym pochodnej funkcji 𝑃 jest największa wartość funkcji 𝑃, to może

otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.
Za poprawne uzasadnienie, że w punkcie będącym miejscem zerowym pochodnej
funkcji 𝑃 jest największa wartość funkcji 𝑃, można uznać sytuację, gdy zdający bada
znak pochodnej (np. szkicuje wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna
zmienia znak, i zaznacza na rysunku, np. znakami „+” i „-”, znak pochodnej), oraz:
– opisuje przedziały monotoniczności funkcji 𝑃 (słownie lub graficznie – np. przy użyciu
strzałek)
LUB
– zapisuje, że dla wyznaczonego miejsca zerowego pochodnej, funkcja 𝑃 ma maksimum
lokalne i jest to jednocześnie jej największa wartość,
LUB
– zapisuje, że dla wyznaczonego miejsca zerowego pochodnej, funkcja 𝑃 ma maksimum
lokalne i jest to jedyne ekstremum tej funkcji.

Przykładowe pełne rozwiązanie
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

𝐻 𝐺

𝐸 𝐹

𝐷 𝐶
4
𝐴 𝑥 𝐵

Suma długości wszystkich trzech krawędzi prostopadłościanu wychodzących z wierzchołka 𝐵
jest równa 15, zatem

|𝐴𝐵| + |𝐵𝐶| + |𝐵𝐹| = 15
𝑥 + 4 + |𝐵𝐹| = 15
|𝐵𝐹| = 11 − 𝑥

Pole 𝑃 powierzchni całkowitej prostopadłościanu 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 jest równe

𝑃 = 2 ⋅ (|𝐴𝐵| ∙ |𝐵𝐶| + |𝐴𝐵| ⋅ |𝐵𝐹| + |𝐵𝐶| ⋅ |𝐵𝐹|)

Ponieważ |𝐴𝐵| = 𝑥, |𝐵𝐶| = 4, |𝐵𝐹| = 11 − 𝑥 , więc wzór funkcji 𝑃 zmiennej 𝑥 ma
postać

𝑃(𝑥) = 2 ⋅ [𝑥 ⋅ 4 + 𝑥 ⋅ (11 − 𝑥) + 4 ⋅ (11 − 𝑥)]
𝑃(𝑥) = 2 ⋅ (4𝑥 + 11𝑥 − 𝑥 2 + 44 − 4𝑥)
𝑃(𝑥) = 2 ⋅ (−𝑥 2 + 11𝑥 + 44)
𝑃(𝑥) = −2𝑥 2 + 22𝑥 + 88

Wyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑃. Z warunków zadania wynika, że:

|𝐴𝐵| = 𝑥 > 0 oraz |𝐵𝐹| = 11 − 𝑥 > 0
Zatem

𝑥 > 0 oraz 𝑥 < 11
Zmienna 𝑥 może przyjmować wartości z przedziału 𝐷 = (0, 11).

Wykresem funkcji 𝑃 jest fragment paraboli skierowanej ramionami do dołu.
Obliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka tej paraboli:
−22 −22 11
𝑝= = = ∈ (0, 11)
2 ⋅ (−2) −4 2
11
Zatem funkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla argumentu .
2
Spośród rozważanych prostopadłościanów największe pole powierzchni całkowitej ma ten,
11
w którym 𝑥 = .
2

Ocena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią

Obowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez stwierdzonej
dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:
I. ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze
stwierdzoną dyskalkulią (punkty 1.–12.);
II. dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy
osób ze stwierdzoną dyskalkulią – egzamin maturalny z matematyki, poziom
podstawowy, termin główny 2025.

I. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną
dyskalkulią

1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:
• błędnego przepisania
• przestawienia cyfr
• zapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie
• przestawienia położenia przecinka
• przestawienia położenia znaku liczby.

2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu
oddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza
umiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania
badanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.

3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę
rozwiązania, części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej
1 punkt, zgodnie z kryteriami do poszczególnych zadań.

4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub
zapisuje nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne
rozumowanie lub stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt
za rozwiązanie zadania.

5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu
kwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę
wyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania
wartościach liczbowych.

6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający
może otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności
kwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.

7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej
zdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji
kwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.

8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych
lub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie
takiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.

9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na
płaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu
rozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur
geometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.

10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać
przynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych
sprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje
prawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.

11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli
podaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia
rozwiązania.

12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub
geometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która
wyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać
1 punkt.

II. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób
ze stwierdzoną dyskalkulią

Zadanie 5.
1 pkt – zapisanie, że 𝑛 = 2𝑙 + 1, oraz przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 do
postaci 3(2𝑙 + 1)2 + 2(2𝑙 + 1) + 7.

Zadanie 9.
1 pkt – zapisanie równania 13% ⋅ 𝑥 + 11% ⋅ 𝑦 = 146 700.

Zadanie 10.
1 pkt – zastosowanie poprawnej metody obliczenia pierwiastków trójmianu kwadratowego
6𝑥 2 − 11𝑥 + 3, tzn. zastosowanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego
i obliczenie tych pierwiastków
ALBO
– konsekwentne (do otrzymanego w wyniku popełnienia błędów o charakterze
dyskalkulicznym ujemnego wyróżnika) narysowanie paraboli,
ALBO
– poprawne rozwiązanie nierówności 3(2𝑥 2 + 1) < 0 (tzn. stosuje się punkt 6.
ogólnych zasad oceniania),
ALBO

– konsekwentne (do wyznaczonych przez siebie pierwiastków oraz rozpatrywanego
trójmianu i nierówności) wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności.

Uwagi:
1. Jeżeli zdający, rozwiązując nierówność, pomyli porządek liczb na osi liczbowej i zapisze
3 1
zbiór rozwiązań nierówności w postaci ( , ), to może otrzymać 2 punkty za całe
2 3
rozwiązanie.
2. Nie stosuje się uwag 2. i 3. z zasad oceniania arkusza standardowego.
3. Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci 𝑎 + 𝑏√𝑐, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 są
liczbami wymiernymi.

Zadanie 11.
Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.

Zadanie 12.1.
1 pkt – zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑝)2 + 𝑞 oraz zapisanie
𝑝 = 3 oraz 𝑞 = 6.

Zadanie 12.3.
Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.

Zadanie 15.
2 pkt – zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑚, np.:
2𝑚 + 11 + 5 − 𝑚
= 𝑚2 + 3,
2
(𝑚2 + 3) − (2𝑚 + 11) = (5 − 𝑚) − (𝑚2 + 3),
oraz zapisanie co najmniej jednej z trzech nierówności:
• 2𝑚 + 11 > 𝑚2 + 3
• 𝑚2 + 3 > 5 − 𝑚
• 2𝑚 + 11 > 5 − 𝑚
1 pkt – zapisanie co najmniej jednej z trzech nierówności:
• 2𝑚 + 11 > 𝑚2 + 3
• 𝑚2 + 3 > 5 − 𝑚
• 2𝑚 + 11 > 5 − 𝑚
ALBO
– zapisanie równania z dwiema niewiadomymi: 𝑚 oraz 𝑟 (gdzie 𝑟 jest różnicą ciągu
arytmetycznego), np. 2𝑚 + 11 + 𝑟 = 𝑚2 + 3.

Zadanie 25.
1 pkt – zastosowanie definicji funkcji trygonometrycznej lub związków miarowych w trójkącie
o kątach 30°, 60°, 90° i zapisanie równania z jedną niewiadomą (wysokością stożka
𝐻 𝑟 √3
lub promieniem podstawy stożka), np.: = cos 60° , = .
8 8 2

Zadanie 30.
Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.

Zadanie 31.
2 pkt – zapisanie zależności między długościami krawędzi 𝐵𝐹 i 𝐴𝐵 prostopadłościanu, np.
𝑥 + 4 + |𝐵𝐹| = 15 oraz zapisanie wzoru na pole powierzchni całkowitej
prostopadłościanu w zależności od długości 𝑥 krawędzi 𝐴𝐵 oraz długości krawędzi
𝐵𝐹 : 𝑃 = 2 ⋅ (4𝑥 + 𝑥 ⋅ |𝐵𝐹| + 4 ⋅ |𝐵𝐹|).

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Wyraź trzecią krawędź
Z warunku x+4+|BF|=15 wynika |BF|=11−x. Dodatnie długości dają 0<x<11.
Zbuduj funkcję pola
Sumujemy pola trzech par przeciwległych ścian.
P(x)=2[4x+x(11-x)+4(11-x)]=-2x^2+22x+88
Znajdź maksimum paraboli
Współczynnik przy x² jest ujemny, więc maksimum jest w wierzchołku.
x_w=-\frac{22}{2\cdot(-2)}=\frac{11}{2}\in(0,11)

Pominięcie dziedziny wynikającej z dodatnich długości albo maksymalizowanie pola podstawy zamiast pola całkowitego.