Matematyka 2025 — poziom podstawowy — część 3

Poprawna odpowiedź: B

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Zadanie 2. (0–1)

Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe
I. Sprawność rachunkowa. Zdający:
Wykonywanie obliczeń na liczbach I.4) stosuje […] prawa działań na potęgach
rzeczywistych, także przy użyciu […].
kalkulatora, stosowanie praw działań
matematycznych przy przekształcaniu
wyrażeń algebraicznych oraz
wykorzystywanie tych umiejętności przy
rozwiązywaniu problemów w kontekstach
rzeczywistych i teoretycznych.

Zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Rozwiązanie
Wersja A Wersja B
B D

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Zadanie 3. (0–1)

Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie Zdający:
reprezentacji. I.9) stosuje związek logarytmowania
1. Stosowanie obiektów matematycznych z potęgowaniem, posługuje się wzorami na
i operowanie nimi, interpretowanie pojęć […] logarytm ilorazu i logarytm potęgi.
matematycznych.

Zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Rozwiązanie
Wersja A Wersja B
A C

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Zadanie 4. (0–1)

Wymaganie ogólne Wymagania szczegółowe
I. Sprawność rachunkowa. Zdający:
Wykonywanie obliczeń na liczbach II.1) stosuje wzory skróconego mnożenia
rzeczywistych, także przy użyciu na: (𝑎 + 𝑏)2 , (𝑎 − 𝑏)2 , 𝑎2 − 𝑏 2 ;
kalkulatora, stosowanie praw działań II.2) dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany
matematycznych przy przekształcaniu jednej i wielu zmiennych.
wyrażeń algebraicznych oraz
wykorzystywanie tych umiejętności przy
rozwiązywaniu problemów w kontekstach
rzeczywistych i teoretycznych.

Zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Rozwiązanie
Wersja A Wersja B
C D

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Zadanie 5. (0–2)

Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja. Zdający:
1. Przeprowadzanie rozumowań, także I.2) przeprowadza proste dowody dotyczące
kilkuetapowych, podawanie argumentów podzielności liczb całkowitych i reszt
uzasadniających poprawność rozumowania, z dzielenia […].
odróżnianie dowodu od przykładu.

Zasady oceniania
2 pkt – zapisanie, że 𝑛 = 2𝑙 + 1, oraz przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 do
postaci 4(3𝑙 2 + 4𝑙 + 3)
ALBO
– przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 do postaci sumy algebraicznej liczb
podzielnych przez 4 oraz uzasadnienie, że każdy ze składników tej sumy jest
podzielny przez 4,
ALBO
– rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛 = 4𝑙 + 1, tj. przekształcenie wyrażenia
3𝑛2 + 2𝑛 + 7 do postaci 4(12𝑙 2 + 8𝑙 + 3), oraz rozpatrzenie przypadku,
gdy 𝑛 = 4𝑙 + 3, tj. przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 do postaci
4(12𝑙 2 + 20𝑙 + 10),
ALBO

– zapisanie, że liczba 3𝑛2 przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3 oraz zapisanie, że
liczba 2𝑛 przy dzieleniu przez 4 daje resztę 2 oraz zapisanie, że suma reszt
z dzielenia przez 4 liczb: 3𝑛2 , 2𝑛, 7, jest podzielna przez 4.

1 pkt – zapisanie, że 𝑛 = 2𝑙 + 1, oraz przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 do
postaci 3(4𝑙 2 + 4𝑙 + 1) + 2(2𝑙 + 1) + 7
ALBO
– przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 do postaci sumy algebraicznej liczb
podzielnych przez 4, w której podzielność przez 4 jednego ze składników nie
wymaga uzasadnienia: 4(𝑛2 + 𝑛 + 2) − (𝑛 + 1)2 , (3𝑛 − 1)(𝑛 + 1) + 8,
4(𝑛2 + 𝑛 + 1) − (𝑛 + 3)(𝑛 − 1),
ALBO
– przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 do postaci sumy algebraicznej liczb
podzielnych przez 4: 2𝑛(𝑛 + 1) + (𝑛2 + 7), (𝑛 + 1)2 + 2(𝑛2 + 3), oraz
uzasadnienie podzielności przez 4 jednego ze składników tej sumy,
ALBO
– rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛 = 4𝑙 + 1, tj. przekształcenie wyrażenia
3𝑛2 + 2𝑛 + 7 do postaci 4(12𝑙 2 + 8𝑙 + 3),
ALBO
– rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛 = 4𝑙 + 3, tj. przekształcenie wyrażenia
3𝑛2 + 2𝑛 + 7 do postaci 4(12𝑙 2 + 20𝑙 + 10),
ALBO
– zapisanie, że liczba 3𝑛2 przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3 oraz zapisanie, że
liczba 2𝑛 przy dzieleniu przez 4 daje resztę 2.

0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Uwagi:
1. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy tylko dla wybranych wartości 𝑛, to otrzymuje
0 punktów za całe rozwiązanie.
2. Jeżeli zdający wykazuje, że dla każdej liczby naturalnej nieparzystej 𝑛 wyrażenie
3𝑛2 − 2𝑛 + 7 (zamiast 3𝑛2 + 2𝑛 + 7) jest podzielne przez 4, to otrzymuje 1 punkt.
3. Jeżeli zdający przedstawia 𝑛 w postaci 2𝑙 + 1, a następnie przekształca wyrażenie
3𝑛2 + 2𝑛 + 7 np. do postaci 4(3𝑙 2 + 4𝑙 + 3) i kontynuuje rozumowanie, popełniając
błędy we wnioskowaniu, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
4. Jeżeli zdający przedstawia 𝑛 w postaci 2𝑙 + 1, a następnie błędnie przekształca
wyrażenie 3(2𝑙 + 1)2 + 2(2𝑙 + 1) + 7, ale uzyskuje całkowitą wielokrotność liczby 4
postaci 4 ⋅ (𝑎 ⋅ 𝑙 2 + 𝑏 ⋅ 𝑙 + 𝑐), gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ i 𝑎 ≠ 0, to może otrzymać 1 punkt za
całe rozwiązanie.

Przykładowe pełne rozwiązania

Sposób I
Ponieważ liczba 𝑛 jest nieparzysta, więc zapisujemy ją w postaci 𝑛 = 2𝑙 + 1, gdzie 𝑙 ∈ ℤ
i 𝑙 ≥ 0. Wówczas

3𝑛2 + 2𝑛 + 7 = 3(2𝑙 + 1)2 + 2(2𝑙 + 1) + 7 = 3(4𝑙 2 + 4𝑙 + 1) + 4𝑙 + 2 + 7 =
= 12𝑙 2 + 12𝑙 + 3 + 4𝑙 + 9 = 12𝑙 2 + 16𝑙 + 12 = 4(3𝑙 2 + 4𝑙 + 3)
Ponieważ 𝑙 ∈ ℤ, więc również suma 3𝑙 2 + 4𝑙 + 3 jest liczbą całkowitą.
Zatem iloczyn 4(3𝑙 2 + 4𝑙 + 3) jest podzielny przez 4. To należało wykazać.

Sposób II
Zapisujemy liczbę 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 w postaci sumy algebraicznej liczb podzielnych przez 4,
np.:

3𝑛2 + 2𝑛 + 7 = 4𝑛2 − 𝑛2 + 4𝑛 − 2𝑛 + 8 − 1 = 4(𝑛2 + 𝑛 + 2) − (𝑛 + 1)2
Liczba 4(𝑛2 + 𝑛 + 2) jest podzielna przez 4 dla dowolnej liczby całkowitej 𝑛.
Liczba 𝑛 jest nieparzysta, zatem liczba 𝑛 + 1 jest parzysta. Stąd jej kwadrat jest liczbą
podzielną przez 4. Zatem liczba 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 jest podzielna przez 4 jako różnica liczb
podzielnych przez 4. To należało wykazać.

Sposób III
Reszty z dzielenia liczby naturalnej nieparzystej przez 4 mogą być równe jedynie 1 lub 3.
Rozważmy dwa przypadki.
Przypadek pierwszy – gdy 𝑛 jest liczbą, która przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1.
Wtedy możemy ją zapisać w postaci 𝑛 = 4𝑙 + 1, gdzie 𝑙 ∈ ℤ i 𝑙 ≥ 0. Wówczas

3𝑛2 + 2𝑛 + 7 = 3(4𝑙 + 1)2 + 2(4𝑙 + 1) + 7 = 3(16𝑙 2 + 8𝑙 + 1) + 8𝑙 + 2 + 7 =
= 48𝑙 2 + 24𝑙 + 3 + 8𝑙 + 9 = 48𝑙 2 + 32𝑙 + 12 = 4(12𝑙 2 + 8𝑙 + 3)
Ponieważ 𝑙 ∈ ℤ, więc również suma 12𝑙 2 + 8𝑙 + 3 jest liczbą całkowitą. Zatem iloczyn
4(12𝑙 2 + 8𝑙 + 3) jest podzielny przez 4.

Przypadek drugi – gdy 𝑛 jest liczbą, która przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3.
Wtedy możemy ją zapisać w postaci 𝑛 = 4𝑙 + 3, gdzie 𝑙 ∈ ℤ i 𝑙 ≥ 0. Wówczas

3𝑛2 + 2𝑛 + 7 = 3(4𝑙 + 3)2 + 2(4𝑙 + 3) + 7 = 3(16𝑙 2 + 24𝑙 + 9) + 8𝑙 + 6 + 7 =
= 48𝑙 2 + 72𝑙 + 27 + 8𝑙 + 13 = 48𝑙 2 + 80𝑙 + 40 = 4(12𝑙 2 + 20𝑙 + 10)
Ponieważ 𝑙 ∈ ℤ, więc również suma 12𝑙 2 + 20𝑙 + 10 jest liczbą całkowitą. Zatem iloczyn
4(12𝑙 2 + 20𝑙 + 10) jest podzielny przez 4. To należało wykazać.

Sposób IV
Ponieważ liczba 𝑛 jest nieparzysta, więc liczba 𝑛2 przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1.
Stąd wynika, że liczba 3𝑛2 daje przy dzieleniu przez 4 resztę 3, a liczba 2𝑛 daje przy
dzieleniu przez 4 resztę 2. Ponadto liczba 7 daje przy dzieleniu przez 4 resztę 3.

Zatem reszta z dzielenia przez 4 liczby 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 jest równa reszcie z dzielenia przez 4
liczby 3 + 2 + 3 = 8. Liczba 8 jest podzielna przez 4, zatem liczba 3𝑛2 + 2𝑛 + 7 jest
również podzielna przez 4. To należało wykazać.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Zadanie 6. (0–1)

Wymaganie ogólne Wymagania szczegółowe
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Zdający:
1. Interpretowanie i operowanie III.3) rozwiązuje nierówności liniowe z jedną
informacjami przedstawionymi w tekście, niewiadomą.
zarówno matematycznym, jak I.6) posługuje się pojęciem przedziału
i popularnonaukowym, a także w formie liczbowego, zaznacza przedziały na osi
wykresów, diagramów, tabel. liczbowej.

Zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Rozwiązanie
Wersja A Wersja B
D D

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Zadanie 7. (0–1)

Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie Zdający:
reprezentacji. III.5) rozwiązuje równania wielomianowe
1. Stosowanie obiektów matematycznych postaci 𝑊(𝑥) = 0 dla wielomianów
i operowanie nimi, interpretowanie pojęć doprowadzonych do postaci iloczynowej.
matematycznych.

Zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Rozwiązanie
Wersja A Wersja B
A A

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Zadanie 8. (0–1)

Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie Zdający:
reprezentacji. II.4) mnoży […] wyrażenia wymierne.
1. Stosowanie obiektów matematycznych
i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.

Zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Rozwiązanie
Wersja A Wersja B
C B

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Zadanie 9. (0–2)

Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie Zdający:
reprezentacji. IV.2) stosuje układy równań do
2. Dobieranie i tworzenie modeli rozwiązywania zadań tekstowych.
matematycznych przy rozwiązywaniu
problemów praktycznych i teoretycznych.

Zasady oceniania
2 pkt – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 735 000 zł.

1 pkt – zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć kwoty przyznane poszczególnym
zespołom, np.
𝑥 + 𝑦 = 1 200 000 oraz 0,13𝑥 + 0,11𝑦 = 146 700
ALBO
– zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego obliczyć kwotę przyznaną
zespołowi A, np.:
2% ⋅ 𝑥 = 14 700,
0,13𝑥 + 0,11 ⋅ (1 200 000 − 𝑥) = 146 700,
ALBO
– zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego obliczyć kwotę przyznaną
zespołowi B, np.
0,13 ⋅ (1 200 000 − 𝑦) + 0,11𝑦 = 146 700.

0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Uwagi:
1. Jeżeli zdający sprawdza warunki zadania dla wybranych par liczb 𝑥 oraz 𝑦 i wskaże
właściwą odpowiedź, ale nie uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie zadania, to otrzymuje
1 punkt za całe rozwiązanie.
2. Jeżeli zdający w rozwiązaniu używa wartości przybliżonych i otrzymuje wynik różny od
735 000, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.

Przykładowe pełne rozwiązanie
Oznaczmy:
𝑥 – kwota przyznana zespołowi A,
𝑦 – kwota przyznana zespołowi B.

Po uwzględnieniu warunków zadania otrzymujemy:

𝑥 + 𝑦 = 1 200 000 oraz 0,13𝑥 + 0,11𝑦 = 146 700

Z pierwszego z tych równań wyznaczamy 𝑦 = 1 200 000 − 𝑥 i podstawiamy w miejsce 𝑦
do drugiego z równań, otrzymując
0,13𝑥 + 0,11 ⋅ (1 200 000 − 𝑥) = 146 700
0,13𝑥 + 132 000 − 0,11𝑥 = 146 700
0,02𝑥 = 14 700
𝑥 = 735 000
Zespół A otrzymał 735 000 zł.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Zadanie 10. (0–2)

Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie Zdający:
reprezentacji. III.4) rozwiązuje […] nierówności
1. Stosowanie obiektów matematycznych kwadratowe.
i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.

Zasady oceniania
2 pkt – zastosowanie poprawnej metody i zapisanie zbioru rozwiązań nierówności:
1 3
𝑥 ∈ (3 , 2)
ALBO
– zastosowanie poprawnej metody i przedstawienie zbioru rozwiązań nierówności
w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziału, np.

1 3 𝑥
3 2

1 pkt – obliczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego 6𝑥 2 − 11𝑥 + 3:
1 3
𝑥1 = 3 oraz 𝑥2 = 2 .

0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Uwagi:

1. Jeżeli zdający, obliczając pierwiastki trójmianu 6𝑥 2 − 11𝑥 + 3, popełni błędy (ale otrzyma
dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionych błędów zapisze zbiór rozwiązań
nierówności, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
2. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego, w przypadku gdy błędnie
obliczony przez zdającego wyróżnik Δ jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe
rozwiązanie.
3. Jeżeli zdający rozpatruje inny niż podany w zadaniu trójmian kwadratowy, który nie wynika
z błędu przekształcenia (np. 3(2𝑥 2 + 1)), i w konsekwencji rozpatruje inną nierówność
(np. 3(2𝑥 2 + 1) < 0), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
4. Jeżeli zdający poda zbiór rozwiązań w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi
końcami przedziału i jednocześnie zapisze niewłaściwy przedział jako zbiór rozwiązań
1 3
(np. 𝑥 ∈ [ , ]), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
3 2

Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
Jeśli zdający spełni kryterium za 1 punkt, a następnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności
3 1
w postaci ( , ), to otrzymuje 2 punkty.
2 3

Przykładowe pełne rozwiązanie
Zapisujemy nierówność w postaci 6𝑥 2 − 11𝑥 + 3 < 0 i obliczamy miejsca zerowe funkcji
𝑦 = 6𝑥 2 − 11𝑥 + 3.

Obliczamy wyróżnik trójmianu 6𝑥 2 − 11𝑥 + 3:

Δ = (−11)2 − 4 ⋅ 6 ⋅ 3 = 49
Stąd

−(−11) − √49 1
𝑥1 = =
2⋅6 3

−(−11) + √49 3
𝑥2 = =
2⋅6 2

Szkicujemy wykres funkcji 𝑦 = 6𝑥 2 − 11𝑥 + 3.
Odczytujemy argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne.

1 3 𝑥
3 2

1 3
Zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział ( , ).
3 2

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Zadanie 11. (0–4)

Wymaganie ogólne Wymagania szczegółowe
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Zdający:
1. Interpretowanie i operowanie V.4) odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę,
informacjami przedstawionymi w tekście, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały
zarówno matematycznym, jak monotoniczności, przedziały, w których
i popularnonaukowym, a także w formie funkcja przyjmuje wartości większe (nie
wykresów, diagramów, tabel. mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od
danej liczby, największe i najmniejsze
wartości funkcji (o ile istnieją) w danym
przedziale domkniętym oraz argumenty, dla
których wartości największe i najmniejsze
są przez funkcję przyjmowane.
I.6) posługuje się pojęciem przedziału
liczbowego […].

Zasady oceniania
4 pkt – poprawne uzupełnienie czterech zdań.
3 pkt – poprawne uzupełnienie trzech zdań.
2 pkt – poprawne uzupełnienie dwóch zdań.
1 pkt – poprawne uzupełnienie jednego zdania.
0 pkt – brak spełnienia powyższych kryteriów.

Rozwiązanie

1. Dziedziną funkcji 𝑓 jest przedział [−4, 4).

2. Zbiorem wartości funkcji 𝑓 jest przedział (−3, 3].

3. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja 𝑓 przyjmuje wartości dodatnie, jest

przedział [−4, 3).

4. Zbiorem wszystkich rozwiązań równania 𝑓(𝑥) = 3 jest przedział [−2, 2].

Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej przy zachowaniu poprawnych krańców
przedziału, np. zapisze, że dziedziną funkcji 𝑓 jest przedział (4, −4], to otrzymuje 1 punkt
za tak uzupełnione zdanie.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Zadanie 12.1. (0–2)

Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Zdający:
1. Interpretowanie i operowanie V.9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na
informacjami przedstawionymi w tekście, podstawie informacji o tej funkcji lub o jej
zarówno matematycznym, jak wykresie.
i popularnonaukowym, a także w formie
wykresów, diagramów, tabel.

Zasady oceniania
2 pkt – poprawna metoda i zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej:
1
𝑓(𝑥) = − 3 (𝑥 − 3)2 + 6.

1 pkt – zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 3)2 + 6
ALBO
– zapisanie równania z jedną niewiadomą prowadzącego do obliczenia 𝑎, np.:
3𝑎 − 1
3 = 𝑎(0 − 3)2 + 6, = 3,
2𝑎
ALBO
1
– obliczenie (lub podanie wraz z uzasadnieniem) współczynnika 𝑎: 𝑎 = − .
3

0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Uwagi:
1
1. Jeżeli zdający zapisze 𝑓(𝑥) = − (𝑥 − 3)2 + 6 i nie obliczy (ani nie uzasadni), że
3
1
𝑎 = − 3 , to otrzymuje 1 punkt.
2. Jeżeli zdający zapisze wzór funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 3)2 + 6 oraz poprawnie
obliczy współczynnik 𝑎, to otrzymuje 2 punkty.

Przykładowe pełne rozwiązania

Sposób I
Korzystamy ze wzoru na postać kanoniczną funkcji kwadratowej i zapisujemy:

𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 3)2 + 6, gdzie 𝑎 ≠ 0

Punkt (0, 3) leży na wykresie funkcji 𝑓 , więc

𝑓(0) = 3
𝑎(0 − 3)2 + 6 = 3
9𝑎 = −3
1
𝑎=−
3

1
Zatem 𝑓(𝑥) = − (𝑥 − 3)2 + 6.
3

Sposób II
Korzystamy ze wzoru na postać ogólną funkcji kwadratowej i zapisujemy:

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, gdzie 𝑎 ≠ 0

Punkty (0, 3), (3, 6), (6, 3) leżą na wykresie funkcji 𝑓 , zatem

𝑓(0) = 3
{ 𝑓(3) = 6
𝑓(6) = 3

𝑎 ⋅ 02 + 𝑏 ⋅ 0 + 𝑐 = 3
{ 𝑎 ⋅ 32 + 𝑏 ⋅ 3 + 𝑐 = 6
𝑎 ⋅ 62 + 𝑏 ⋅ 6 + 𝑐 = 3
𝑐=3
{ 9𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 = 6
36𝑎 + 6𝑏 + 𝑐 = 3
9𝑎 + 3𝑏 + 3 = 6
{
36𝑎 + 6𝑏 + 3 = 3
3𝑎 + 𝑏 = 1
{
6𝑎 + 𝑏 = 0

Odejmujemy równania stronami i otrzymujemy:

−3𝑎 = 1
1
𝑎=−
3
Stąd
1
𝑏 = 1 − 3𝑎 = 1 − 3 ⋅ (− ) = 1 + 1 = 2
3

Zapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci ogólnej:

1
𝑓(𝑥) = − 𝑥 2 + 2𝑥 + 3
3

Przekształcamy wzór funkcji 𝑓 do postaci kanonicznej:
1 1 1
𝑓(𝑥) = − 𝑥 2 + 2𝑥 + 3 = − (𝑥 2 − 6𝑥 − 9) = − (𝑥 2 − 6𝑥 + 9 − 18) =
3 3 3
1 1
= − [(𝑥 − 3)2 − 18] = − (𝑥 − 3)2 + 6
3 3

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Zadanie 12.2. (0–1)

Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Zdający:
1. Interpretowanie i operowanie V.11) wykorzystuje własności funkcji […]
informacjami przedstawionymi w tekście, kwadratowej do interpretacji zagadnień
zarówno matematycznym, jak geometrycznych […].
i popularnonaukowym, a także w formie
wykresów, diagramów, tabel.

Zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Rozwiązanie
Wersja A Wersja B
A B

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Zadanie 12.3. (0–1)

Wymaganie ogólne Wymagania szczegółowe
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Zdający:
1. Interpretowanie i operowanie V.12) na podstawie wykresu funkcji
informacjami przedstawionymi w tekście, 𝑦 = 𝑓(𝑥) szkicuje wykresy funkcji […]
zarówno matematycznym, jak 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑏;
i popularnonaukowym, a także w formie V.4) odczytuje z wykresu funkcji: […]
wykresów, diagramów, tabel. miejsca zerowe […].

Zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Rozwiązanie
Suma 𝑥1 + 𝑥2 jest równa 6.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Zadanie 13. (0–1)

Wymaganie ogólne Wymagania szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie Zdający:
reprezentacji. V.5) interpretuje współczynniki występujące
1. Stosowanie obiektów matematycznych we wzorze funkcji liniowej;
i operowanie nimi, interpretowanie pojęć V.6) wyznacza wzór funkcji liniowej na
matematycznych. podstawie informacji o jej wykresie lub o jej
własnościach.

Zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Rozwiązanie
Wersja A Wersja B
C B

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Zadanie 14.1. (0–1)

Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie Zdający:
reprezentacji. VI.2) oblicza początkowe wyrazy ciągów
1. Stosowanie obiektów matematycznych określonych rekurencyjnie.
i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.

Zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Rozwiązanie
Wersja A Wersja B
D A

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Zadanie 14.2. (0–1)

Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie Zdający:
reprezentacji. VI.4) sprawdza, czy dany ciąg jest
1. Stosowanie obiektów matematycznych arytmetyczny lub geometryczny.
i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.

Zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Rozwiązanie
Wersja A Wersja B
FF FF

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Zadanie 15. (0–3)

Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja. Zdający:
4. Stosowanie i tworzenie strategii przy VI.7) wykorzystuje własności ciągów […]
rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach arytmetycznych […] do rozwiązywania
nietypowych. zadań […].

Zasady oceniania
3 pkt – obliczenie i uzasadnienie, że jedyną wartością 𝑚, dla której ciąg
5
(2𝑚 + 11, 𝑚2 + 3, 5 − 𝑚) jest arytmetyczny i malejący jest .
2
2 pkt – wyznaczenie wartości 𝑚, dla których ciąg (2𝑚 + 11, 𝑚2 + 3, 5 − 𝑚) jest
5
arytmetyczny: 𝑚 = −2 oraz 𝑚 =
2
ALBO
– zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑚, np.:
2𝑚 + 11 + 5 − 𝑚
= 𝑚 2 + 3,
2
(𝑚2 + 3) − (2𝑚 + 11) = (5 − 𝑚) − (𝑚2 + 3),
oraz rozwiązanie co najmniej jednej z trzech nierówności:
• 2𝑚 + 11 > 𝑚2 + 3 : 𝑚 ∈ (−2, 4)
• 𝑚2 + 3 > 5 − 𝑚 : 𝑚 ∈ (−∞, −2) ∪ (1, +∞)
• 2𝑚 + 11 > 5 − 𝑚 : 𝑚 ∈ (−2, +∞),
ALBO
– obliczenie wszystkich wartości 𝑟, dla których ciąg (2𝑚 + 11, 𝑚2 + 3, 5 − 𝑚) jest
27
arytmetyczny: 𝑟 = − lub 𝑟 = 0,
4
ALBO

– obliczenie wartości 𝑟, dla której ciąg (2𝑚 + 11, 𝑚2 + 3, 5 − 𝑚) jest arytmetyczny
27
i malejący: 𝑟 = − .
4
1 pkt – zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑚, np.:
2𝑚 + 11 + 5 − 𝑚
= 𝑚2 + 3,
2
(𝑚2 + 3) − (2𝑚 + 11) = (5 − 𝑚) − (𝑚2 + 3)
ALBO
– zapisanie układu równań z dwiema niewiadomymi pozwalającego obliczyć 𝑚 i 𝑟, np.
𝑚2 + 3 = 2𝑚 + 11 + 𝑟 oraz 5 − 𝑚 = 2𝑚 + 11 + 2𝑟,
ALBO
– rozwiązanie co najmniej jednej z trzech nierówności:
• 2𝑚 + 11 > 𝑚2 + 3 : 𝑚 ∈ (−2, 4)
• 𝑚2 + 3 > 5 − 𝑚 : 𝑚 ∈ (−∞, −2) ∪ (1, +∞)
• 2𝑚 + 11 > 5 − 𝑚 : 𝑚 ∈ (−2, +∞).

0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Uwagi:
1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe
rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów (np. za rozwiązanie nierówności
2𝑚 + 11 > 𝑚2 + 3).
2. Jeżeli zdający nie uwzględnia istotnych nawiasów i rozwiązuje równanie postaci
(𝑚2 + 3) − 2𝑚 + 11 = (5 − 𝑚) − 𝑚2 + 3, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie,
o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów (np. za rozwiązanie nierówności
2𝑚 + 11 > 𝑚2 + 3).
5
3. Jeżeli zdający zapisze tylko 𝑚 = , to otrzymuje 0 punktów. Natomiast jeżeli zdający
2
dodatkowo sprawdzi, zapisując odpowiednie obliczenia, że dla tej wartości 𝑚 spełnione
są warunki zadania, ale nie uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie, to otrzymuje 1 punkt
za całe rozwiązanie.
4. Jeżeli zdający wyznaczy wartości 𝑚, dla których ciąg (2𝑚 + 11, 𝑚2 + 3, 5 − 𝑚) jest
5
arytmetyczny: 𝑚 = −2 oraz 𝑚 = , i zapisze, że dla 𝑚 = −2 ciąg nie jest malejący, to
2
otrzymuje 3 punkty.
5. Jeżeli zdający wyznaczy wartości 𝑚, dla których ciąg (2𝑚 + 11, 𝑚2 + 3, 5 − 𝑚) jest
5
arytmetyczny: 𝑚 = −2 oraz 𝑚 = , a następnie obliczy dla każdej z tych wartości 𝑚
2
5
wyrazy ciągu i nie wskaże, że 𝑚 = jest jedyną szukaną wartością, to otrzymuje
2
2 punkty za całe rozwiązanie.

Przykładowe pełne rozwiązania

Sposób I
Z własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy:

2𝑚 + 11 + 5 − 𝑚
= 𝑚2 + 3
2
𝑚 + 16 = 2𝑚2 + 6

2𝑚2 − 𝑚 − 10 = 0
Obliczamy wyróżnik trójmianu 2𝑚2 − 𝑚 − 10:

Δ = (−1)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ (−10) = 81
Stąd

−(−1) − √81
𝑚1 = = −2
2⋅2

−(−1) + √81 5
𝑚2 = =
2⋅2 2

Dla 𝑚 = −2 otrzymujemy ciąg (7, 7, 7), który jest stały.
5 37 5
Dla 𝑚 = otrzymujemy ciąg (16, , ), który jest malejący.
2 4 2

Zatem ciąg (2𝑚 + 11, 𝑚2 + 3, 5 − 𝑚) jest malejącym ciągiem arytmetycznym, gdy
5
𝑚 = 2.

Sposób II
Ciąg (2𝑚 + 11, 𝑚2 + 3, 5 − 𝑚) jest malejący, gdy

(𝑚2 + 3) − (2𝑚 + 11) < 0 i (5 − 𝑚) − (𝑚2 + 3) < 0
𝑚2 − 2𝑚 − 8 < 0 i − 𝑚2 − 𝑚 + 2 < 0
𝑚2 − 4𝑚 + 2𝑚 − 8 < 0 i − 𝑚2 − 2𝑚 + 𝑚 + 2 < 0
𝑚(𝑚 − 4) + 2(𝑚 − 4) < 0 i − 𝑚(𝑚 + 2) + (𝑚 + 2) < 0
(𝑚 − 4)(𝑚 + 2) < 0 i − (𝑚 + 2)(𝑚 − 1) < 0
𝑚 ∈ (−2, 4) i 𝑚 ∈ (−∞, −2) ∪ (1, +∞)

Zatem ciąg (2𝑚 + 11, 𝑚2 + 3, 5 − 𝑚) jest malejący, gdy 𝑚 ∈ (1, 4).

Z definicji/własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy:
(𝑚2 + 3) − (2𝑚 + 11) = (5 − 𝑚) − (𝑚2 + 3)
Stąd

𝑚2 − 2𝑚 − 8 = −𝑚2 − 𝑚 + 2

2𝑚2 − 𝑚 − 10 = 0

2𝑚2 + 4𝑚 − 5𝑚 − 10 = 0

2𝑚2 + 4𝑚 − 5𝑚 − 10 = 0

2𝑚(𝑚 + 2) − 5(𝑚 + 2) = 0

(𝑚 + 2)(2𝑚 − 5) = 0
𝑚+2=0 lub 2𝑚 − 5 = 0
5
𝑚 = −2 ∉ (1, 4) lub 𝑚= ∈ (1, 4)
2

Zatem ciąg (2𝑚 + 11, 𝑚2 + 3, 5 − 𝑚) jest malejącym ciągiem arytmetycznym, gdy
5
𝑚 = 2.

Sposób III
Ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego otrzymujemy:
2
{ 𝑚 + 3 = 2𝑚 + 11 + 𝑟
5 − 𝑚 = 2𝑚 + 11 + 2𝑟
gdzie 𝑟 jest różnicą ciągu arytmetycznego. Stąd
2
{ 2𝑚 + 6 = 4𝑚 + 22 + 2𝑟
5 − 𝑚 = 2𝑚 + 11 + 2𝑟
Odejmujemy równania stronami i otrzymujemy:

2𝑚2 + 6 − 5 + 𝑚 = 4𝑚 + 22 + 2𝑟 − 2𝑚 − 11 − 2𝑟

2𝑚2 − 𝑚 − 10 = 0
Obliczamy wyróżnik trójmianu 2𝑚2 − 𝑚 − 10:

Δ = (−1)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ (−10) = 81
Stąd

−(−1) − √81
𝑚1 = = −2
2⋅2

−(−1) + √81 5
𝑚2 = =
2⋅2 2

Ciąg (2𝑚 + 11, 𝑚2 + 3, 5 − 𝑚) jest malejący, zatem

2𝑚 + 11 > 5 − 𝑚
Stąd

𝑚 > −2

5 37 5
Dla 𝑚 = otrzymujemy ciąg arytmetyczny (16, , ), który jest malejący.
2 4 2

Zatem ciąg (2𝑚 + 11, 𝑚2 + 3, 5 − 𝑚) jest malejącym ciągiem arytmetycznym, gdy
5
𝑚 = 2.

Sposób IV
Ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego otrzymujemy:
2
{ 𝑚 + 3 = 2𝑚 + 11 + 𝑟
5 − 𝑚 = 2𝑚 + 11 + 2𝑟
gdzie 𝑟 jest różnicą ciągu arytmetycznego. Stąd
2
{ 𝑚 − 2𝑚 − 𝑟 − 8 = 0
3𝑚 + 2𝑟 + 6 = 0
2
Z drugiego z tych równań wyznaczamy 𝑚 = − 𝑟 − 2 i podstawiamy w miejsce 𝑚 do
3
pierwszego z równań, otrzymując:
2
2 2
(− 𝑟 − 2) − 2 ⋅ (− 𝑟 − 2) − 𝑟 − 8 = 0
3 3
4 2 8 4
𝑟 + 𝑟+4+ 𝑟+4−𝑟−8=0
9 3 3
4 2
𝑟 + 3𝑟 = 0 / ∶ 𝑟 (ciąg jest malejący, więc 𝑟 < 0)
9
4
𝑟+3=0
9
27
𝑟=−
4

27
Gdy 𝑟 = − , to ciąg (2𝑚 + 11, 𝑚2 + 3, 5 − 𝑚) jest malejący
4
2 27 9 5
i 𝑚 = − ⋅ (− ) − 2 = − 2 = .
3 4 2 2

Zatem ciąg (2𝑚 + 11, 𝑚2 + 3, 5 − 𝑚) jest malejącym ciągiem arytmetycznym, gdy
5
𝑚 = 2.

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Zadanie 16. (0–1)

Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie Zdający:
reprezentacji. VI.6) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu
1. Stosowanie obiektów matematycznych geometrycznego.
i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.

Zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Rozwiązanie
Wersja A Wersja B
B A

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Zadanie 17. (0–1)

Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie Zdający:
reprezentacji. VII.2) korzysta z wzorów
1. Stosowanie obiektów matematycznych sin 𝛼
sin2 𝛼 + cos 2 𝛼 = 1, tg 𝛼 = cos 𝛼 ;
i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.

Zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Rozwiązanie
Wersja A Wersja B
C D

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Zadanie 18.1. (0–1)

Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie Zdający:
reprezentacji. VII.1) wykorzystuje definicje funkcji […]
1. Stosowanie obiektów matematycznych tangens dla kątów od 0° do 180° […].
i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.

Zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Rozwiązanie
Wersja A Wersja B
D C

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Zadanie 18.2. (0–1)

Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie Zdający:
reprezentacji. VII.1) wykorzystuje definicje funkcji: sinus
1. Stosowanie obiektów matematycznych […] dla kątów od 0° do 180° […].
i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.

Zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Rozwiązanie
Wersja A Wersja B
A B

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Zadanie 19. (0–1)

Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja. Zdający:
1. Przeprowadzanie rozumowań, także VIII.5) stosuje własności kątów wpisanych
kilkuetapowych, podawanie argumentów i środkowych.
uzasadniających poprawność rozumowania,
odróżnianie dowodu od przykładu.

Zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Rozwiązanie
Wersja A Wersja B
C B

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Zadanie 20. (0–1)

Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja. Zdający:
1. Przeprowadzanie rozumowań, także VIII.8) korzysta z cech podobieństwa
kilkuetapowych, podawanie argumentów trójkątów.
uzasadniających poprawność rozumowania,
odróżnianie dowodu od przykładu.

Zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Rozwiązanie
Wersja A Wersja B
B C

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

Zadanie 21. (0–1)

Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja. Zdający:
3. Dobieranie argumentów do uzasadnienia VII.3) stosuje twierdzenie cosinusów oraz
poprawności rozwiązywania problemów, 1
wzór na pole trójkąta 𝑃 = ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅ sin 𝛾.
tworzenie ciągu argumentów, 2
gwarantujących poprawność rozwiązania
i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań
zagadnienia.

Zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Rozwiązanie
Wersja A Wersja B
FP FP

Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.