Pracuj z arkuszem
Zadania, odpowiedzi i opracowania
Wersja arkusza w języku ukraińskim: zadania 1–22
Matematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
Dana jest nierówność
Дано нерівність
|𝑥 − 1| ≥ 3
Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb
rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź
spośród podanych.
На якому рисунку на числовій осі правильно зазначено множину усіх дійсних
чисел, які виконують вищенаведену нерівність? Вибери правильну відповідь
серед поданих.
A. B.
−2 4 𝑥 −2 4 𝑥
C. D.
−2 4 𝑥 −2 4 𝑥
Sprawdź odpowiedź
Wersja A Wersja B
B B
Odległość liczby x od 1 ma być co najmniej równa 3; punkty −2 i 4 należą do rozwiązania.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
- Zapisz dane i wybierz metodę
Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.
- Przeprowadź rozwiązanie
Odległość liczby x od 1 ma być co najmniej równa 3; punkty −2 i 4 należą do rozwiązania.
Wynik: Wersja A Wersja B
B B
- Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania
Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.
Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.
Punktowanie i źródło
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Strona arkusza: 4
Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.
Matematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
1 8
Liczba ( ) ⋅ 816 jest równa
16
1 8
Число ( ) ⋅ 816 дорівнює
16
A. 224 B. 216 C. 212 D. 28
Sprawdź odpowiedź
Wersja A Wersja B
B C
1/16=2⁻⁴ oraz 8=2³, więc wykładnik wynosi −32+48=16.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
- Zapisz dane i wybierz metodę
Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.
- Przeprowadź rozwiązanie
1/16=2⁻⁴ oraz 8=2³, więc wykładnik wynosi −32+48=16.
Wynik: Wersja A Wersja B
B C
- Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania
Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.
Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.
Punktowanie i źródło
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Strona arkusza: 5
Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.
Matematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej 𝒏 ≥ 𝟏 liczba 𝒏𝟐 + (𝒏 + 𝟏)𝟐 + (𝒏 + 𝟐)𝟐 przy
dzieleniu przez 𝟑 daje resztę 𝟐.
Доведи, що для кожного натурального числа 𝒏 ≥ 𝟏 число
𝒏𝟐 + (𝒏 + 𝟏)𝟐 + (𝒏 + 𝟐)𝟐 при діленні на 𝟑 дає остачу 𝟐.
Sprawdź odpowiedź
Sposób I
Przekształcamy równoważnie dane wyrażenie
𝑛2 + (𝑛 + 1)2 + (𝑛 + 2)2 = 𝑛2 + 𝑛2 + 2𝑛 + 1 + 𝑛2 + 4𝑛 + 4
= 3𝑛2 + 6𝑛 + 5 = 3 ∙ (𝑛2 + 2𝑛 + 1) + 2
Ponieważ 𝑛 jest liczbą naturalną, więc 𝑛2 + 2𝑛 + 1 jest liczbą naturalną.
Zatem 3 ∙ (𝑛2 + 2𝑛 + 1) jest wielokrotnością liczby 3.
Stąd 3 ∙ (𝑛2 + 2𝑛 + 1) + 2 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.
To należało wykazać.
Sposób II
Liczby 𝑛, 𝑛 + 1, 𝑛 + 2 to trzy kolejne liczby naturalne, więc dokładnie jedna z nich jest
podzielna przez 3, a dwie pozostałe nie są podzielne przez 3.
Kwadrat liczby podzielnej przez 3 jest również podzielny przez 3.
Kwadrat liczby niepodzielnej przez 3 daje przy dzieleniu przez 3 resztę 1.
Zatem suma reszt z dzielenia przez 3 liczby 𝑛2 + (𝑛 + 1)2 + (𝑛 + 2)2 jest równa
0 + 1 + 1 = 2.
To należało wykazać.
CKE dopuszcza też dowód przez reszty trzech kolejnych liczb. Sprawdzenie kilku przykładów nie stanowi dowodu.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
- Zapisz dane i wybierz metodę
Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.
- Przeprowadź etap 1
CKE dopuszcza też dowód przez reszty trzech kolejnych liczb. Sprawdzenie kilku przykładów nie stanowi dowodu.
Sposób I
Przekształcamy równoważnie dane wyrażenie
𝑛2 + (𝑛 + 1)2 + (𝑛 + 2)2 = 𝑛2 + 𝑛2 + 2𝑛 + 1 + 𝑛2 + 4𝑛 + 4
= 3𝑛2 + 6𝑛 + 5 = 3 ∙ (𝑛2 + 2𝑛 + 1) + 2
Ponieważ 𝑛 jest liczbą naturalną, więc 𝑛2 + 2𝑛 + 1 jest liczbą naturalną.
Zatem 3 ∙ (𝑛2 + 2𝑛 + 1) jest wielokrotnością liczby 3.
Stąd 3 ∙ (𝑛2 + 2𝑛 + 1) + 2 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.
To należało wykazać.
- Przeprowadź etap 2
Sposób II
Liczby 𝑛, 𝑛 + 1, 𝑛 + 2 to trzy kolejne liczby naturalne, więc dokładnie jedna z nich jest
podzielna przez 3, a dwie pozostałe nie są podzielne przez 3.
Kwadrat liczby podzielnej przez 3 jest również podzielny przez 3.
Kwadrat liczby niepodzielnej przez 3 daje przy dzieleniu przez 3 resztę 1.
Zatem suma reszt z dzielenia przez 3 liczby 𝑛2 + (𝑛 + 1)2 + (𝑛 + 2)2 jest równa
0 + 1 + 1 = 2.
To należało wykazać.
- Przeprowadź etap 3
Wymagane elementy toku według CKE:
2 pkt – przekształcenie wyrażenia 𝑛2 + (𝑛 + 1)2 + (𝑛 + 2)2 do postaci
3(𝑛2 + 2𝑛 + 1) + 2
ALBO
– przekształcenie wyrażenia 𝑛2 + (𝑛 + 1)2 + (𝑛 + 2)2 do postaci
3𝑛2 + 6𝑛 + 5 oraz zapisanie, że składniki 3𝑛2 oraz 6𝑛 są podzielne przez 3,
a reszta z dzielenia liczby 5 przez 3 jest równa 2,
ALBO
– zapisanie, że 𝑛, 𝑛 + 1, 𝑛 + 2, to trzy kolejne liczby całkowite, więc dokładnie jedna
z nich jest podzielna przez 3, a dwie pozostałe nie są podzielne przez 3 oraz
zapisanie, że kwadrat liczby podzielnej przez 3 jest podzielny przez 3, a kwadrat
liczby niepodzielnej przez 3 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1, oraz zapisanie
wniosku, że reszta z dzielenia przez 3 liczby 𝑛2 + (𝑛 + 1)2 + (𝑛 + 2)2 jest
równa 2.
- Przeprowadź etap 4
1 pkt – przekształcenie wyrażenia 𝑛2 + (𝑛 + 1)2 + (𝑛 + 2)2 do postaci
𝑛2 + 𝑛2 + 2𝑛 + 1 + 𝑛2 + 4𝑛 + 4
ALBO
– zapisanie, że 𝑛, 𝑛 + 1, 𝑛 + 2, to trzy kolejne liczby naturalne, więc dokładnie jedna
z nich jest podzielna przez 3, a dwie pozostałe nie są podzielne przez 3 oraz
zapisanie, że kwadrat liczby podzielnej przez 3 jest podzielny przez 3, a kwadrat
liczby niepodzielnej przez 3 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi:
1.
- Przeprowadź etap 5
Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy tylko dla wybranych wartości 𝑛, to otrzymuje
0 punktów za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający przyjmuje np. 𝑛 = 3𝑘 + 𝑟, gdzie 𝑘 ∈ ℕ i 𝑟 jest resztą z dzielenia liczby
𝑛 przez 3 (lub 𝑛 = 2𝑘 + 𝑟, gdzie 𝑘 ∈ ℕ i 𝑟 jest resztą z dzielenia liczby 𝑛 przez 2),
i przeprowadzi pełne rozumowanie dla wszystkich przypadków, to otrzymuje 2 punkty. Gdy przeprowadzi pełne rozumowanie dla co najmniej połowy przypadków, ale nie
przeprowadzi pełnego rozumowania dla wszystkich przypadków, to otrzymuje 1 punkt za
całe rozwiązanie. 3.
Jeżeli zdający rozpatruje tylko jeden przypadek 𝑛 = 3𝑘 + 2, to otrzymuje 0 punktów za
całe rozwiązanie.
- Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania
Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 2 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.
Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.
Punktowanie i źródło
2 pkt – przekształcenie wyrażenia 𝑛2 + (𝑛 + 1)2 + (𝑛 + 2)2 do postaci
3(𝑛2 + 2𝑛 + 1) + 2
ALBO
– przekształcenie wyrażenia 𝑛2 + (𝑛 + 1)2 + (𝑛 + 2)2 do postaci
3𝑛2 + 6𝑛 + 5 oraz zapisanie, że składniki 3𝑛2 oraz 6𝑛 są podzielne przez 3,
a reszta z dzielenia liczby 5 przez 3 jest równa 2,
ALBO
– zapisanie, że 𝑛, 𝑛 + 1, 𝑛 + 2, to trzy kolejne liczby całkowite, więc dokładnie jedna
z nich jest podzielna przez 3, a dwie pozostałe nie są podzielne przez 3 oraz
zapisanie, że kwadrat liczby podzielnej przez 3 jest podzielny przez 3, a kwadrat
liczby niepodzielnej przez 3 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1, oraz zapisanie
wniosku, że reszta z dzielenia przez 3 liczby 𝑛2 + (𝑛 + 1)2 + (𝑛 + 2)2 jest
równa 2.
1 pkt – przekształcenie wyrażenia 𝑛2 + (𝑛 + 1)2 + (𝑛 + 2)2 do postaci
𝑛2 + 𝑛2 + 2𝑛 + 1 + 𝑛2 + 4𝑛 + 4
ALBO
– zapisanie, że 𝑛, 𝑛 + 1, 𝑛 + 2, to trzy kolejne liczby naturalne, więc dokładnie jedna
z nich jest podzielna przez 3, a dwie pozostałe nie są podzielne przez 3 oraz
zapisanie, że kwadrat liczby podzielnej przez 3 jest podzielny przez 3, a kwadrat
liczby niepodzielnej przez 3 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1.
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy tylko dla wybranych wartości 𝑛, to otrzymuje
0 punktów za całe rozwiązanie.
2. Jeżeli zdający przyjmuje np. 𝑛 = 3𝑘 + 𝑟, gdzie 𝑘 ∈ ℕ i 𝑟 jest resztą z dzielenia liczby
𝑛 przez 3 (lub 𝑛 = 2𝑘 + 𝑟, gdzie 𝑘 ∈ ℕ i 𝑟 jest resztą z dzielenia liczby 𝑛 przez 2),
i przeprowadzi pełne rozumowanie dla wszystkich przypadków, to otrzymuje 2 punkty.
Gdy przeprowadzi pełne rozumowanie dla co najmniej połowy przypadków, ale nie
przeprowadzi pełnego rozumowania dla wszystkich przypadków, to otrzymuje 1 punkt za
całe rozwiązanie.
3. Jeżeli zdający rozpatruje tylko jeden przypadek 𝑛 = 3𝑘 + 2, to otrzymuje 0 punktów za
całe rozwiązanie.
Strona arkusza: 5
Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.
Matematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
Liczba log √3 9 jest równa
Число log √3 9 дорівнює
A. 2 B. 3 C. 4 D. 9
Sprawdź odpowiedź
Wersja A Wersja B
C B
(√3)⁴=9.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
- Zapisz dane i wybierz metodę
Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.
- Przeprowadź rozwiązanie
(√3)⁴=9.
Wynik: Wersja A Wersja B
C B
- Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania
Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.
Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.
Punktowanie i źródło
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Strona arkusza: 7
Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.
Matematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
Dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑏 wartość wyrażenia
(2𝑎 + 𝑏)2 − (2𝑎 − 𝑏)2 jest równa wartości wyrażenia
Для кожного дійсного числа 𝑎 і для кожного дійсного числа 𝑏 значення виразу
(2𝑎 + 𝑏)2 − (2𝑎 − 𝑏)2 дорівнює значенню виразу
A. 8𝑎2 B. 8𝑎𝑏 C. −8𝑎𝑏 D. 2𝑏 2
Sprawdź odpowiedź
Wersja A Wersja B
B D
To różnica kwadratów: [(2a+b)−(2a−b)]·[(2a+b)+(2a−b)]=2b·4a.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
- Zapisz dane i wybierz metodę
Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.
- Przeprowadź rozwiązanie
To różnica kwadratów: [(2a+b)−(2a−b)]·[(2a+b)+(2a−b)]=2b·4a.
Wynik: Wersja A Wersja B
B D
- Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania
Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.
Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.
Punktowanie i źródło
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Strona arkusza: 7
Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.
Matematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności
Множиною усіх розв’язків нерівності
3 2
1− 𝑥 < −𝑥
2 3
jest przedział
є проміжок
2 2 2 2
A. (−∞, − ) B. (−∞, ) C. (− , +∞) D. ( , +∞)
3 3 3 3
Sprawdź odpowiedź
Wersja A Wersja B
D D
Po przeniesieniu wyrazów otrzymujemy 1/3<x/2, a zatem x>2/3.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
- Zapisz dane i wybierz metodę
Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.
- Przeprowadź rozwiązanie
Po przeniesieniu wyrazów otrzymujemy 1/3<x/2, a zatem x>2/3.
Wynik: Wersja A Wersja B
D D
- Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania
Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.
Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.
Punktowanie i źródło
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Strona arkusza: 8
Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.
Matematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
𝑥+1
Równanie = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych
(𝑥+2)(𝑥−3)
𝑥+1
Рівняння = 0 у множині дійсних чисел
(𝑥+2)(𝑥−3)
A. nie ma rozwiązania.
не має розв’язку.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: (−1).
має точно один розв’язок: (−1).
C. ma dokładnie dwa rozwiązania: (−2) oraz 3.
має точно два розв’язки: (−2) та 3.
D. ma dokładnie trzy rozwiązania: (−1), (−2) oraz 3.
має точно три розв’язки: (−1), (−2) та 3.
Sprawdź odpowiedź
Wersja A Wersja B
B B
Miejsca zerowe mianownika, −2 i 3, są wykluczone z dziedziny.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
- Zapisz dane i wybierz metodę
Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.
- Przeprowadź rozwiązanie
Miejsca zerowe mianownika, −2 i 3, są wykluczone z dziedziny.
Wynik: Wersja A Wersja B
B B
- Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania
Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.
Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.
Punktowanie i źródło
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Strona arkusza: 9
Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.
Matematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
Dany jest wielomian 𝑊(𝑥) = 3𝑥 3 + 6𝑥 2 + 9𝑥 .
Дано многочлен 𝑊(𝑥) = 3𝑥 3 + 6𝑥 2 + 9𝑥 .
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest
prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Оціни правильність нижченаведених тверджень. Вибери P, якщо твердження
правильне, або F – якщо воно хибне.
Wielomian 𝑊 jest iloczynem wielomianów 𝐹(𝑥) = 3𝑥 i 𝐺(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥 + 3.
P F
Многочлен 𝑊 є добутком многочленів 𝐹(𝑥) = 3𝑥 і 𝐺(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥 + 3.
Liczba (−1) jest rozwiązaniem równania 𝑊(𝑥) = 0.
P F
Число (−1) є розв’язком рівняння 𝑊(𝑥) = 0.
Sprawdź odpowiedź
Wersja A Wersja B
PF FP
Rozkład wielomianu jest poprawny, natomiast W(−1)≠0. Wersja B odwraca kolejność zdań.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
- Zapisz dane i wybierz metodę
Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.
- Przeprowadź rozwiązanie
Rozkład wielomianu jest poprawny, natomiast W(−1)≠0. Wersja B odwraca kolejność zdań.
Wynik: Wersja A Wersja B
PF FP
- Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania
Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.
Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.
Punktowanie i źródło
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Strona arkusza: 10
Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.
Matematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
Rozwiąż równanie
Розв’яжи рівняння
𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟔 = 𝟎
Zapisz obliczenia.
Запиши обчислення.
Sprawdź odpowiedź
Sposób I
Przekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:
𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 = 0
𝑥 2 (𝑥 − 2) − 3(𝑥 − 2) = 0
(𝑥 − 2)(𝑥 2 − 3) = 0
(𝑥 − 2)(𝑥 − √3)(𝑥 + √3) = 0
𝑥 − 2 = 0 lub 𝑥 − √3 = 0 lub 𝑥 + √3 = 0
𝑥 = 2 lub 𝑥 = √3 lub 𝑥 = −√3
Rozwiązaniami równania są liczby: (−√3), √3, 2.
Sposób II
Przekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:
𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 = 0
𝑥(𝑥 2 − 3) − 2(𝑥 2 − 3) = 0
(𝑥 − 2)(𝑥 2 − 3) = 0
(𝑥 − 2)(𝑥 − √3)(𝑥 + √3) = 0
𝑥 − 2 = 0 lub 𝑥 − √3 = 0 lub 𝑥 + √3 = 0
𝑥 = 2 lub 𝑥 = √3 lub 𝑥 = −√3
Rozwiązaniami równania są liczby: (−√3), √3, 2.
Sposób III
Obliczamy 𝑊(2) = 0 i stwierdzamy, że liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu
𝑊(𝑥) = 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6.
Zatem wielomian 𝑊 jest podzielny przez dwumian (𝑥 − 2). Dzielimy wielomian 𝑊 przez
dwumian (𝑥 − 2) i otrzymujemy
(𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6): (𝑥 − 2) = 𝑥 2 − 3
Zatem 𝑊(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥 2 − 3) = (𝑥 − 2)(𝑥 − √3)(𝑥 + √3).
Obliczamy pierwiastki wielomianu 𝑊(𝑥):
(𝑥 − 2)(𝑥 − √3)(𝑥 + √3) = 0
𝑥 − 2 = 0 lub 𝑥 − √3 = 0 lub 𝑥 + √3 = 0
𝑥 = 2 lub 𝑥 = √3 lub 𝑥 = −√3
Rozwiązaniami równania są liczby: (−√3), √3, 2.
Po grupowaniu lewa strona jest równa (x−2)(x²−3).
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
- Zapisz dane i wybierz metodę
Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.
- Przeprowadź etap 1
Po grupowaniu lewa strona jest równa (x−2)(x²−3).
Sposób I
Przekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:
𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 = 0
𝑥 2 (𝑥 − 2) − 3(𝑥 − 2) = 0
(𝑥 − 2)(𝑥 2 − 3) = 0
(𝑥 − 2)(𝑥 − √3)(𝑥 + √3) = 0
𝑥 − 2 = 0 lub 𝑥 − √3 = 0 lub 𝑥 + √3 = 0
𝑥 = 2 lub 𝑥 = √3 lub 𝑥 = −√3
Rozwiązaniami równania są liczby: (−√3), √3, 2.
Sposób II
Przekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:
𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 = 0
𝑥(𝑥 2 − 3) − 2(𝑥 2 − 3) = 0
(𝑥 − 2)(𝑥 2 − 3) = 0
(𝑥 − 2)(𝑥 − √3)(𝑥 + √3) = 0
𝑥 − 2 = 0 lub 𝑥 − √3 = 0 lub 𝑥 + √3 = 0
𝑥 = 2 lub 𝑥 = √3 lub 𝑥 = −√3
Rozwiązaniami równania są liczby: (−√3), √3, 2.
Sposób III
Obliczamy 𝑊(2) = 0 i stwierdzamy, że liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu
𝑊(𝑥) = 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6.
Zatem wielomian 𝑊 jest podzielny przez dwumian (𝑥 − 2). Dzielimy wielomian 𝑊 przez
dwumian (𝑥 − 2) i otrzymujemy
(𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6): (𝑥 − 2) = 𝑥 2 − 3
Zatem 𝑊(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥 2 − 3) = (𝑥 − 2)(𝑥 − √3)(𝑥 + √3).
Obliczamy pierwiastki wielomianu 𝑊(𝑥):
(𝑥 − 2)(𝑥 − √3)(𝑥 + √3) = 0
𝑥 − 2 = 0 lub 𝑥 − √3 = 0 lub 𝑥 + √3 = 0
𝑥 = 2 lub 𝑥 = √3 lub 𝑥 = −√3
Rozwiązaniami równania są liczby: (−√3), √3, 2.
- Przeprowadź etap 2
Wymagane elementy toku według CKE:
3 pkt – poprawna metoda rozwiązania równania i obliczenie wszystkich rozwiązań równania:
(−√3), √3, 2. 2 pkt – przekształcenie lewej strony równania do postaci iloczynu wielomianów stopnia co
najwyżej drugiego oraz rozwiązanie jednego z równań wynikającego z tego
rozkładu, np.:
(𝑥 − 2)(𝑥 2 − 3) = 0 i 𝑥 = 2,
(𝑥 − 2)(𝑥 2 − 3) = 0 i 𝑥 = −√3 oraz 𝑥 = √3
ALBO
– przekształcenie równania 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 = 0 do postaci alternatywy dwóch
równań: kwadratowego i liniowego oraz rozwiązanie jednego z nich:
(𝑥 − 2 = 0, 𝑥 2 − 3 = 0) oraz 𝑥 = 2,
(𝑥 − 2 = 0, 𝑥 2 − 3 = 0) oraz (𝑥 = −√3, 𝑥 = √3),
ALBO
– rozłożenie wielomianu 𝑊(𝑥) = 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 na czynniki liniowe:
𝑊(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥 − √3)(𝑥 + √3),
ALBO
– przekształcenie równania 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 = 0 do postaci alternatywy trzech
równań liniowych: (𝑥 − 2 = 0, 𝑥 − √3 = 0, 𝑥 + √3 = 0),
ALBO
– obliczenie jednego z pierwiastków wielomianu 𝑊(𝑥) = 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 oraz
poprawne podzielenie wielomianu 𝑊 przez odpowiedni dwumian, np.
𝑥 = 2 i (𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6) ∶ (𝑥 − 2) = 𝑥 2 − 3.
- Przeprowadź etap 3
1 pkt – zapisanie wielomianu 𝑊(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 − 3𝑥 + 6 w postaci iloczynu wielomianów
stopnia co najwyżej drugiego, np. 𝑊(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥 2 − 3)
ALBO
– przekształcenie równania 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 = 0 do postaci alternatywy dwóch
równań: (𝑥 − 2 = 0, 𝑥 2 − 3 = 0),
ALBO
– przekształcenie równania 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 = 0 do postaci
𝑥 2 (𝑥 − 2) − 3(𝑥 − 2) = 0 lub do postaci 𝑥 2 (𝑥 − 2) = 3(𝑥 − 2) oraz zapisanie
rozwiązania 𝑥 = 2,
ALBO
– zapisanie jednego z rozwiązań równania 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 = 0 oraz zapisanie
sprawdzenia, że ta liczba spełnia to równanie. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi:
1. Jeżeli zdający zapisze tylko trzy poprawne rozwiązania równania, to otrzymuje 1 punkt za
całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający uzyska trzy poprawne pierwiastki wielomianu, lecz traktuje równanie jako
nierówność (podaje zbiór rozwiązań w postaci przedziału / sumy przedziałów), to
otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie. 3.
- Przeprowadź etap 4
Jeżeli przy przekształcaniu lewej strony równania do postaci iloczynu zdający zapisuje
czynnik (𝑥 − 2) z wykładnikiem 2, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe
rozwiązanie (1 punkt za rozwiązanie równania (𝑥 − 2)2 = 0 i 1 punkt za rozwiązanie
równania 𝑥 2 − 3 = 0). 4. Jeżeli zdający zamiast równania (𝑥 − 2)(𝑥 2 − 3) = 0 zapisze (𝑥 − 2) ± (𝑥 2 − 3) = 0,
ale z dalszego rozwiązania wynika, że traktuje lewą stronę równania jak iloczyn i rozwiąże
zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt
za rozwiązanie równania 𝑥 − 2 = 0 i 1 punkt za rozwiązanie równania 𝑥 2 − 3 = 0). 5. Jeżeli zdający przy przekształcaniu równania do postaci (𝑥 − 2)(𝑥 2 − 3) = 0 popełni
błąd i zapisze:
𝑥 2 (𝑥 + 2) − 3(𝑥 − 2) = 0
lub
𝑥 2 (𝑥 − 2) + 3(𝑥 − 2) = 0
lub
𝑥 2 (𝑥 − 2) − 3(𝑥 + 2) = 0
lub
𝑥(𝑥 2 + 3) − 2(𝑥 2 − 3) = 0
lub
𝑥(𝑥 2 − 3) + 2(𝑥 2 − 3) = 0
lub
𝑥(𝑥 2 − 3) − 2(𝑥 2 + 3) = 0
a następnie:
5.1. zapisze równanie (𝑥 − 2)(𝑥 2 − 3) = 0 lub poprawną alternatywę
(𝑥 − 2 = 0 lub 𝑥 2 − 3 = 0) i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to
otrzymuje co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za rozwiązanie
równania 𝑥 − 2 = 0 i 1 punkt za rozwiązanie równania 𝑥 2 − 3 = 0).
- Przeprowadź etap 5
5.2. zapisze równanie (𝑥 − 2)(𝑥 2 + 3) = 0 lub błędną alternatywę
(𝑥 − 2 = 0 lub 𝑥 2 + 3 = 0) i zapisze rozwiązanie 𝑥 = 2, to otrzymuje 1 punkt
za całe rozwiązanie. 5.3. zapisze równanie (𝑥 + 2)(𝑥 2 − 3) = 0 lub błędną alternatywę
(𝑥 + 2 = 0 lub 𝑥 2 − 3 = 0) i zapisze oba rozwiązania równania 𝑥 2 − 3 = 0:
𝑥 = −√3 oraz 𝑥 = √3, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. 5.4. zapisze błędne równanie (w którym jedna ze stron jest równa 0, a druga jest
iloczynem wielomianów stopni dodatnich), inne niż w uwagach 5.2 oraz 5.3, np. (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)(𝑥 2 ± 3) = 0 lub błędną alternatywę inną niż w uwagach 5.2
oraz 5.3, np. (𝑥 − 2 = 0 lub 𝑥 + 2 = 0 lub 𝑥 2 ± 3 = 0), to otrzymuje
0 punktów za całe rozwiązanie. 6. Jeżeli zdający, przekształcając równanie 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 = 0, popełni jeden błąd
(który nie jest błędem znaku) albo dwa błędy znaku i otrzyma równanie trzeciego stopnia,
które ma trzy rozwiązania rzeczywiste, oraz konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to
otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. 7.
Jeżeli zdający dzieli obustronnie równanie 𝑥 2 (𝑥 − 2) = 3(𝑥 − 2) przez dwumian
(𝑥 − 2) z podaniem odpowiedniego założenia i uzyska tylko dwa poprawne rozwiązania
𝑥 = √3 oraz 𝑥 = −√3, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie, a jeżeli uzyska tylko
jedno z tych rozwiązań, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. 8. Jeżeli zdający dzieli obustronnie równanie 𝑥 2 (𝑥 − 2) = 3(𝑥 − 2) przez dwumian
(𝑥 − 2) bez podania odpowiedniego założenia i uzyska tylko dwa poprawne rozwiązania
𝑥 = √3 oraz 𝑥 = −√3, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie, a jeżeli uzyska tylko
jedno z tych rozwiązań, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
- Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania
Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 3 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.
Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.
Punktowanie i źródło
3 pkt – poprawna metoda rozwiązania równania i obliczenie wszystkich rozwiązań równania:
(−√3), √3, 2.
2 pkt – przekształcenie lewej strony równania do postaci iloczynu wielomianów stopnia co
najwyżej drugiego oraz rozwiązanie jednego z równań wynikającego z tego
rozkładu, np.:
(𝑥 − 2)(𝑥 2 − 3) = 0 i 𝑥 = 2,
(𝑥 − 2)(𝑥 2 − 3) = 0 i 𝑥 = −√3 oraz 𝑥 = √3
ALBO
– przekształcenie równania 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 = 0 do postaci alternatywy dwóch
równań: kwadratowego i liniowego oraz rozwiązanie jednego z nich:
(𝑥 − 2 = 0, 𝑥 2 − 3 = 0) oraz 𝑥 = 2,
(𝑥 − 2 = 0, 𝑥 2 − 3 = 0) oraz (𝑥 = −√3, 𝑥 = √3),
ALBO
– rozłożenie wielomianu 𝑊(𝑥) = 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 na czynniki liniowe:
𝑊(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥 − √3)(𝑥 + √3),
ALBO
– przekształcenie równania 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 = 0 do postaci alternatywy trzech
równań liniowych: (𝑥 − 2 = 0, 𝑥 − √3 = 0, 𝑥 + √3 = 0),
ALBO
– obliczenie jednego z pierwiastków wielomianu 𝑊(𝑥) = 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 oraz
poprawne podzielenie wielomianu 𝑊 przez odpowiedni dwumian, np.
𝑥 = 2 i (𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6) ∶ (𝑥 − 2) = 𝑥 2 − 3.
1 pkt – zapisanie wielomianu 𝑊(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 − 3𝑥 + 6 w postaci iloczynu wielomianów
stopnia co najwyżej drugiego, np. 𝑊(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥 2 − 3)
ALBO
– przekształcenie równania 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 = 0 do postaci alternatywy dwóch
równań: (𝑥 − 2 = 0, 𝑥 2 − 3 = 0),
ALBO
– przekształcenie równania 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 = 0 do postaci
𝑥 2 (𝑥 − 2) − 3(𝑥 − 2) = 0 lub do postaci 𝑥 2 (𝑥 − 2) = 3(𝑥 − 2) oraz zapisanie
rozwiązania 𝑥 = 2,
ALBO
– zapisanie jednego z rozwiązań równania 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 = 0 oraz zapisanie
sprawdzenia, że ta liczba spełnia to równanie.
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający zapisze tylko trzy poprawne rozwiązania równania, to otrzymuje 1 punkt za
całe rozwiązanie.
2. Jeżeli zdający uzyska trzy poprawne pierwiastki wielomianu, lecz traktuje równanie jako
nierówność (podaje zbiór rozwiązań w postaci przedziału / sumy przedziałów), to
otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.
3. Jeżeli przy przekształcaniu lewej strony równania do postaci iloczynu zdający zapisuje
czynnik (𝑥 − 2) z wykładnikiem 2, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe
rozwiązanie (1 punkt za rozwiązanie równania (𝑥 − 2)2 = 0 i 1 punkt za rozwiązanie
równania 𝑥 2 − 3 = 0).
4. Jeżeli zdający zamiast równania (𝑥 − 2)(𝑥 2 − 3) = 0 zapisze (𝑥 − 2) ± (𝑥 2 − 3) = 0,
ale z dalszego rozwiązania wynika, że traktuje lewą stronę równania jak iloczyn i rozwiąże
zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt
za rozwiązanie równania 𝑥 − 2 = 0 i 1 punkt za rozwiązanie równania 𝑥 2 − 3 = 0).
5. Jeżeli zdający przy przekształcaniu równania do postaci (𝑥 − 2)(𝑥 2 − 3) = 0 popełni
błąd i zapisze:
𝑥 2 (𝑥 + 2) − 3(𝑥 − 2) = 0
lub
𝑥 2 (𝑥 − 2) + 3(𝑥 − 2) = 0
lub
𝑥 2 (𝑥 − 2) − 3(𝑥 + 2) = 0
lub
𝑥(𝑥 2 + 3) − 2(𝑥 2 − 3) = 0
lub
𝑥(𝑥 2 − 3) + 2(𝑥 2 − 3) = 0
lub
𝑥(𝑥 2 − 3) − 2(𝑥 2 + 3) = 0
a następnie:
5.1. zapisze równanie (𝑥 − 2)(𝑥 2 − 3) = 0 lub poprawną alternatywę
(𝑥 − 2 = 0 lub 𝑥 2 − 3 = 0) i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to
otrzymuje co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za rozwiązanie
równania 𝑥 − 2 = 0 i 1 punkt za rozwiązanie równania 𝑥 2 − 3 = 0).
5.2. zapisze równanie (𝑥 − 2)(𝑥 2 + 3) = 0 lub błędną alternatywę
(𝑥 − 2 = 0 lub 𝑥 2 + 3 = 0) i zapisze rozwiązanie 𝑥 = 2, to otrzymuje 1 punkt
za całe rozwiązanie.
5.3. zapisze równanie (𝑥 + 2)(𝑥 2 − 3) = 0 lub błędną alternatywę
(𝑥 + 2 = 0 lub 𝑥 2 − 3 = 0) i zapisze oba rozwiązania równania 𝑥 2 − 3 = 0:
𝑥 = −√3 oraz 𝑥 = √3, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
5.4. zapisze błędne równanie (w którym jedna ze stron jest równa 0, a druga jest
iloczynem wielomianów stopni dodatnich), inne niż w uwagach 5.2 oraz 5.3, np.
(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)(𝑥 2 ± 3) = 0 lub błędną alternatywę inną niż w uwagach 5.2
oraz 5.3, np. (𝑥 − 2 = 0 lub 𝑥 + 2 = 0 lub 𝑥 2 ± 3 = 0), to otrzymuje
0 punktów za całe rozwiązanie.
6. Jeżeli zdający, przekształcając równanie 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 = 0, popełni jeden błąd
(który nie jest błędem znaku) albo dwa błędy znaku i otrzyma równanie trzeciego stopnia,
które ma trzy rozwiązania rzeczywiste, oraz konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to
otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
7. Jeżeli zdający dzieli obustronnie równanie 𝑥 2 (𝑥 − 2) = 3(𝑥 − 2) przez dwumian
(𝑥 − 2) z podaniem odpowiedniego założenia i uzyska tylko dwa poprawne rozwiązania
𝑥 = √3 oraz 𝑥 = −√3, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie, a jeżeli uzyska tylko
jedno z tych rozwiązań, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
8. Jeżeli zdający dzieli obustronnie równanie 𝑥 2 (𝑥 − 2) = 3(𝑥 − 2) przez dwumian
(𝑥 − 2) bez podania odpowiedniego założenia i uzyska tylko dwa poprawne rozwiązania
𝑥 = √3 oraz 𝑥 = −√3, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie, a jeżeli uzyska tylko
jedno z tych rozwiązań, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Strona arkusza: 10
Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.
Matematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
W październiku 2022 roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie 1960 drzew.
Po roku stwierdzono, że uschło 5% drzew w pierwszym sadzie i 10% drzew w drugim
sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano.
Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła 60% liczby drzew, które
pozostały w pierwszym sadzie.
Niech 𝑥 oraz 𝑦 oznaczają liczby drzew posadzonych – odpowiednio – w pierwszym
i drugim sadzie.
У жовтні 2022 року було посаджено два сади, у яких висадили всього 1960 дерев.
Через рік було виявлено, що у першому саду засохло 5% дерев, а у другому саду
10% дерев. Засохлі дерева усунули, а нові не висадили.
Кількість дерев, які залишилися у другому саду, становила 60% від кількості дерев, які
залишилися у першому саду.
Нехай 𝑥 та 𝑦 означають кількості висаджених дерев – відповідно – в першому
і другому саду.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby 𝑥 drzew
posadzonych w pierwszym sadzie oraz liczby 𝑦 drzew posadzonych w drugim sadzie, jest
Система рівнянь, правильне розв’язання якої призводить до обчислення кількості 𝑥
дерев, висаджених у першому саду, та кількості 𝑦 дерев, висаджених у другому саду,
це
𝑥 + 𝑦 = 1960
A. {
0,6 ⋅ 0,95𝑥 = 0,9𝑦
𝑥 + 𝑦 = 1960
B. {
0,95𝑥 = 0,6 ⋅ 0,9𝑦
𝑥 + 𝑦 = 1960
C. {
0,05𝑥 = 0,6 ⋅ 0,1𝑦
𝑥 + 𝑦 = 1960
D. {
0,4 ⋅ 0,95𝑥 = 0,9𝑦
Sprawdź odpowiedź
Wersja A Wersja B
A D
Równanie porównuje liczby drzew, które pozostały po roku, a nie liczby uschniętych.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
- Zapisz dane i wybierz metodę
Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.
- Przeprowadź rozwiązanie
Równanie porównuje liczby drzew, które pozostały po roku, a nie liczby uschniętych.
Wynik: Wersja A Wersja B
A D
- Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania
Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.
Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.
Punktowanie i źródło
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Strona arkusza: 12
Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.
Matematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦), przedstawiono dwie proste
równoległe, które są interpretacją geometryczną jednego z poniższych układów równań A–D.
На рисунку в декартовій системі координат (𝑥, 𝑦) представлено дві паралельні прямі,
які є геометричною інтерпретацією oднієї з нижченаведених систем рівнянь A–D.
𝑦
1
0 𝑥
1
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest
Система рівнянь, геометрична інтерпретація якої представлена на рисунку, це
3
𝑦 = −2𝑥 + 3
A. {
3
𝑦 = −2𝑥 − 1
3
𝑦 = 2𝑥 + 3
B. {
2
𝑦 = −3𝑥 − 1
3
𝑦 = 2𝑥 + 3
C. {
3
𝑦 = 2𝑥 − 1
3
𝑦 = −2𝑥 − 3
D. {
3
𝑦 = 2𝑥 + 1
Sprawdź odpowiedź
Wersja A Wersja B
A C
Równe współczynniki kierunkowe i różne wyrazy wolne oznaczają dwie proste równoległe.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
- Zapisz dane i wybierz metodę
Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.
- Przeprowadź rozwiązanie
Równe współczynniki kierunkowe i różne wyrazy wolne oznaczają dwie proste równoległe.
Wynik: Wersja A Wersja B
A C
- Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania
Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.
Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.
Punktowanie i źródło
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Strona arkusza: 13
Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.
Matematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
Funkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = (−2𝑘 + 3)𝑥 + 𝑘 − 1, gdzie 𝑘 ∈ ℝ.
Лінійна функція 𝑓 задана формулою 𝑓(𝑥) = (−2𝑘 + 3)𝑥 + 𝑘 − 1, де 𝑘 ∈ ℝ.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
Funkcja 𝑓 jest malejąca dla każdej liczby 𝑘 należącej do przedziału
Функція 𝑓 є спадною для кожного числа 𝑘 , яке належить проміжку
3 3
A. (−∞, 1) B. (−∞, − ) C. (1, +∞) D. ( , +∞)
2 2
Sprawdź odpowiedź
Wersja A Wersja B
D B
Współczynnik kierunkowy musi być ujemny: −2k+3<0.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
- Zapisz dane i wybierz metodę
Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.
- Przeprowadź rozwiązanie
Współczynnik kierunkowy musi być ujemny: −2k+3<0.
Wynik: Wersja A Wersja B
D B
- Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania
Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.
Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.
Punktowanie i źródło
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Strona arkusza: 14
Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.
Matematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
Funkcje liniowe 𝑓 oraz 𝑔, określone wzorami 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 6 oraz 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 + 7, mają
to samo miejsce zerowe.
Лінійні функції 𝑓 та 𝑔 задані формулами 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 6 та 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 + 7.
Нуль функції 𝑓 і нуль функції 𝑔 однакові.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
Współczynnik 𝑎 we wzorze funkcji 𝑔 jest równy
Коефіцієнт 𝑎 у формулі функції 𝑔 дорівнює
7 2 2 7
A. (− ) B. (− ) C. D.
2 7 7 2
Sprawdź odpowiedź
Wersja A Wersja B
D A
Miejsce zerowe f to x=−2. Stąd −2a+7=0.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
- Zapisz dane i wybierz metodę
Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.
- Przeprowadź rozwiązanie
Miejsce zerowe f to x=−2. Stąd −2a+7=0.
Wynik: Wersja A Wersja B
D A
- Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania
Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.
Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.
Punktowanie i źródło
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Strona arkusza: 15
Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.
Matematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) przedstawiono fragment paraboli, która jest
wykresem funkcji kwadratowej 𝑓 (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty
przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.
У декартовій системі координат (𝑥, 𝑦) представлено фрагмент параболи, яка
є графіком квадратичної функції 𝑓 (дивись рисунок). Вершина цієї параболи та точки
перетину параболи з осями системи координат мають обидві цілі координати.
𝑦
10
9
8
7
6
𝑦 = 𝑓(𝑥) 5
4
3
2
1
0 𝑥
−7−6−5−4−3−2−1
−1 1 2 3 4 5 6 7
−2
−3
−4
−5
−6
Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiedni przedział w wykropkowanym miejscu
tak, aby zdanie było prawdziwe.
Доповни нижченаведене речення. Запиши відповідний проміжок у зазначеному
крапками місці так, щоб речення було правдивим.
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 𝑓(𝑥) ≥ 0 jest przedział / Множиною всіх
розв’язків нерівності 𝑓(𝑥) ≥ 0 є проміжок .
Sprawdź odpowiedź
[−2, 4]
Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności
w postaci [4, −2], to otrzymuje 1 punkt.
Wykres leży na osi lub nad nią między miejscami zerowymi, łącznie z końcami.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
- Zapisz dane i wybierz metodę
Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.
- Przeprowadź rozwiązanie
Wykres leży na osi lub nad nią między miejscami zerowymi, łącznie z końcami.
Wynik: [−2, 4]
Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności
w postaci [4, −2], to otrzymuje 1 punkt.
- Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania
Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.
Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.
Punktowanie i źródło
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Strona arkusza: 16
Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.
Matematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) przedstawiono fragment paraboli, która jest
wykresem funkcji kwadratowej 𝑓 (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty
przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.
У декартовій системі координат (𝑥, 𝑦) представлено фрагмент параболи, яка
є графіком квадратичної функції 𝑓 (дивись рисунок). Вершина цієї параболи та точки
перетину параболи з осями системи координат мають обидві цілі координати.
𝑦
10
9
8
7
6
𝑦 = 𝑓(𝑥) 5
4
3
2
1
0 𝑥
−7−6−5−4−3−2−1
−1 1 2 3 4 5 6 7
−2
−3
−4
−5
−6
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
Funkcja kwadratowa 𝑓 jest określona wzorem
Квадратична функція 𝑓 задана формулою
A. 𝑓(𝑥) = −(𝑥 + 1)2 − 9 B. 𝑓(𝑥) = −(𝑥 − 1)2 + 9
C. 𝑓(𝑥) = −(𝑥 − 1)2 − 9 D. 𝑓(𝑥) = −(𝑥 + 1)2 + 9
Sprawdź odpowiedź
Wersja A Wersja B
B A
Wierzchołek wykresu to (1,9), a ramiona są skierowane w dół.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
- Zapisz dane i wybierz metodę
Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.
- Przeprowadź rozwiązanie
Wierzchołek wykresu to (1,9), a ramiona są skierowane w dół.
Wynik: Wersja A Wersja B
B A
- Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania
Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.
Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.
Punktowanie i źródło
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Strona arkusza: 17
Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.
Matematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) przedstawiono fragment paraboli, która jest
wykresem funkcji kwadratowej 𝑓 (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty
przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.
У декартовій системі координат (𝑥, 𝑦) представлено фрагмент параболи, яка
є графіком квадратичної функції 𝑓 (дивись рисунок). Вершина цієї параболи та точки
перетину параболи з осями системи координат мають обидві цілі координати.
𝑦
10
9
8
7
6
𝑦 = 𝑓(𝑥) 5
4
3
2
1
0 𝑥
−7−6−5−4−3−2−1
−1 1 2 3 4 5 6 7
−2
−3
−4
−5
−6
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
Dla funkcji 𝑓 prawdziwa jest równość
Для функції 𝑓 справджується рівність
A. 𝑓(−4) = 𝑓(6) B. 𝑓(−4) = 𝑓(5)
C. 𝑓(−4) = 𝑓(4) D. 𝑓(−4) = 𝑓(7)
Sprawdź odpowiedź
Wersja A Wersja B
A C
Oś symetrii to x=1; argumenty −4 i 6 są od niej jednakowo oddalone.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
- Zapisz dane i wybierz metodę
Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.
- Przeprowadź rozwiązanie
Oś symetrii to x=1; argumenty −4 i 6 są od niej jednakowo oddalone.
Wynik: Wersja A Wersja B
A C
- Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania
Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.
Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.
Punktowanie i źródło
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Strona arkusza: 17
Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.
Matematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) przedstawiono fragment paraboli, która jest
wykresem funkcji kwadratowej 𝑓 (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty
przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.
У декартовій системі координат (𝑥, 𝑦) представлено фрагмент параболи, яка
є графіком квадратичної функції 𝑓 (дивись рисунок). Вершина цієї параболи та точки
перетину параболи з осями системи координат мають обидві цілі координати.
𝑦
10
9
8
7
6
𝑦 = 𝑓(𝑥) 5
4
3
2
1
0 𝑥
−7−6−5−4−3−2−1
−1 1 2 3 4 5 6 7
−2
−3
−4
−5
−6
Funkcje kwadratowe 𝑔 oraz ℎ są określone za pomocą funkcji 𝑓 (zobacz rysunek na
stronie 16) następująco: 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 3), ℎ(𝑥) = 𝑓(−𝑥).
Na rysunkach A–F przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦),
fragmenty wykresów różnych funkcji – w tym fragment wykresu funkcji 𝑔 oraz fragment
wykresu funkcji ℎ.
Квадратичні функції 𝑔 та ℎ окреслені за допомогою функції 𝑓 (дивись рисунок на
сторінці 16) наступним чином: 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 3), ℎ(𝑥) = 𝑓(−𝑥).
На рисунках A–F у декартовій системі координат (𝑥, 𝑦) представлено фрагменти
графіків різних функцій – у тому числі і фрагмент графіка функції 𝑔 та фрагмент
графіка функції ℎ.
Uzupełnij tabelę. Każdej z funkcji 𝒈 oraz 𝒉 przyporządkuj fragment jej wykresu.
Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród
oznaczonych literami A–F.
Заповни таблицю. До кожної з функцій 𝒈 та 𝒉 підбери фрагмент її графіка.
Запиши правильну відповідь у кожній порожній клітинці таблиці, вибравши
серед варіантів A–F.
Fragment wykresu funkcji 𝑦 = 𝑔(𝑥) przedstawiono na rysunku
Фрагмент графіка функції 𝑦 = 𝑔(𝑥) представлено на рисунку
Fragment wykresu funkcji 𝑦 = ℎ(𝑥) przedstawiono na rysunku
Фрагмент графіка функції 𝑦 = ℎ(𝑥) представлено на рисунку
A. 𝑦 B. 𝑦
10 10
9 9
8 8
7 7
6 6
5 5
4 4
3 3
2 2
1 1
0 𝑥 0 𝑥
−7−6−5−4−3−2−1
−1 1 2 3 −3−2−1
−1 1 2 3 4 5 6 7
−2 −2
−3 −3
−4 −4
−5 −5
−6 −6
C. 𝑦 D. 𝑦
8 6
7 5
6 4
5 3
4 2
3 1
2 0 𝑥
1 −4−3−2−1
−1 1 2 3 4 5 6
0 𝑥 −2
−4−3−2−1
−1 1 2 3 4 5 6 −3
−2 −4
−3 −5
−4 −6
−5 −7
−6 −8
−7 −9
−8 −10
E. 𝑦 F. 𝑦
10 6
9 5
8 4
7 3
6 2
5 1
4 𝑥
0
3 −6−5−4−3−2−1
−1 1 2 3 4
2 −2
1 −3
0 𝑥 −4
−6−5−4−3−2−1
−1 1 2 3 4 −5
−2 −6
−3 −7
−4 −8
−5 −9
−6 −10
Sprawdź odpowiedź
Wersja A Wersja B
A A
E E
g przesuwa wykres f o 3 w lewo, a h odbija go względem osi y.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
- Zapisz dane i wybierz metodę
Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.
- Przeprowadź rozwiązanie
g przesuwa wykres f o 3 w lewo, a h odbija go względem osi y.
Wynik: Wersja A Wersja B
A A
E E
- Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania
Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 2 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.
Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.
Punktowanie i źródło
2 pkt – dwie poprawne odpowiedzi.
1 pkt – jedna poprawna odpowiedź.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Strona arkusza: 18
Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.
Matematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
Ciąg (𝑎𝑛 ) jest określony wzorem 𝑎𝑛 = (−1)𝑛 ⋅ (𝑛 − 5) dla każdej liczby
naturalnej 𝑛 ≥ 1.
Послідовність (𝑎𝑛 ) визначена формулою 𝑎𝑛 = (−1)𝑛 ⋅ (𝑛 − 5) для кожного
натурального числа 𝑛 ≥ 1.
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest
prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Оціни правильність нижченаведених тверджень. Вибери P, якщо твердження
правильне, або F – якщо воно хибне.
Pierwszy wyraz ciągu (𝑎𝑛 ) jest dwa razy większy od trzeciego wyrazu tego
ciągu.
P F
Перший член послідовності (𝑎𝑛 ) удвічі більший ніж третій член цієї
послідовності.
Wszystkie wyrazy ciągu (𝑎𝑛 ) są dodatnie.
P F
Усі члени послідовності (𝑎𝑛 ) є додатними.
Sprawdź odpowiedź
Wersja A Wersja B
PF PF
a₁=4 i a₃=2, lecz np. a₅=0.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
- Zapisz dane i wybierz metodę
Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.
- Przeprowadź rozwiązanie
a₁=4 i a₃=2, lecz np. a₅=0.
Wynik: Wersja A Wersja B
PF PF
- Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania
Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.
Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.
Punktowanie i źródło
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Strona arkusza: 20
Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.
Matematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
Trzywyrazowy ciąg (12, 6, 2𝑚 − 1) jest geometryczny.
Геометрична прогресія (12, 6, 2𝑚 − 1) складається з трьох членів.
Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3.
Закінчи речення. Вибери відповідь A або B та відповідь 1., 2. або 3.
Ten ciąg jest
Ця прогресія
1
rosnący 1. 𝑚=2
A.
зростає
oraz
2. 𝑚=2
та
malejący
B.
спадає 3. 𝑚=3
Sprawdź odpowiedź
Wersja A Wersja B
B2 A2
Iloraz ciągu wynosi 1/2, więc trzeci wyraz to 3 i 2m−1=3.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
- Zapisz dane i wybierz metodę
Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.
- Przeprowadź rozwiązanie
Iloraz ciągu wynosi 1/2, więc trzeci wyraz to 3 i 2m−1=3.
Wynik: Wersja A Wersja B
B2 A2
- Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania
Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.
Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.
Punktowanie i źródło
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Strona arkusza: 21
Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.
Matematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
Ciąg arytmetyczny (𝑎𝑛 ) jest określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛 ≥ 1. Trzeci wyraz
tego ciągu jest równy (−1), a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu
jest równa (−165).
Арифметична прогресія (𝑎𝑛 ) визначена для кожного натурального числа 𝑛 ≥ 1.
Третій член цієї прогресії дорівнює (−1), а сума перших п’ятнадцяти послідовних
членів цієї прогресії дорівнює (−165).
Oblicz różnicę tego ciągu. Zapisz obliczenia.
Обчисли різницю цієї прогресії. Запиши обчислення.
Sprawdź odpowiedź
Sposób I
Korzystamy ze wzorów na 𝑛-ty wyraz i sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu
arytmetycznego i otrzymujemy układ równań
−1 = 𝑎1 + 2𝑟
{ 2𝑎1 + 14𝑟
−165 = ⋅ 15
2
Przekształcając ten układ równoważnie, otrzymujemy
−1 = 𝑎1 + 2𝑟
{
−11 = 𝑎1 + 7𝑟
Odejmując stronami równania układu, otrzymujemy
10 = −5𝑟
𝑟 = −2
Różnica ciągu jest równa (−2).
Sposób II
Suma kolejnych piętnastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa (−165),
zatem
𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + … + 𝑎15 = −165
(𝑎3 − 2𝑟) + (𝑎3 − 𝑟) + 𝑎3 + (𝑎3 + 𝑟) + (𝑎3 + 2𝑟) + … + (𝑎3 + 12𝑟) = −165
15𝑎3 + (−2𝑟 − 𝑟 + 0 + 𝑟 + 2𝑟 + 3𝑟 + … + 12𝑟) = −165
gdzie 𝑎3 = −1, a suma piętnastu liczb (−2𝑟 − 𝑟 + 0 + 𝑟 + 2𝑟 + 3𝑟 + … + 12𝑟) jest
równa
−2𝑟 + 12𝑟
⋅ 15 = 75𝑟
2
Zatem
15 ∙ (−1) + 75𝑟 = −165
75𝑟 = −150
𝑟 = −2
Różnica ciągu jest równa (−2).
Sposób III
Suma kolejnych piętnastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa (−165),
zatem
𝑎1 + 𝑎15
⋅ 15 = −165
2
𝑎1 + 𝑎15 = −22
(𝑎3 − 2𝑟) + (𝑎3 + 12𝑟) = −22
2𝑎3 + 10𝑟 = −22
Stąd i z tego, że 𝑎3 = −1, otrzymujemy
2 ⋅ (−1) + 10𝑟 = −22
Zatem
10𝑟 = −20
𝑟 = −2
Różnica ciągu jest równa (−2).
Sposób IV
Suma kolejnych piętnastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa (−165),
zatem
𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + … + 𝑎15 = −165
(𝑎8 − 7𝑟) + (𝑎8 − 6𝑟) + … + 𝑎8 + … + (𝑎8 + 6𝑟) + (𝑎8 + 7𝑟) = −165
15𝑎8 = −165
−165
𝑎8 = = −11
15
Korzystamy z własności ciągu arytmetycznego i otrzymujemy
𝑎8 = 𝑎3 + 5𝑟
−11 = −1 + 5𝑟
𝑟 = −2
Różnica ciągu jest równa (−2).
Sposób V
Korzystamy z własności ciągu arytmetycznego i otrzymujemy równania:
𝑎7 + 𝑎9
𝑎8 =
2
𝑎6 + 𝑎10
𝑎8 =
2
𝑎5 + 𝑎11
𝑎8 =
2
𝑎4 + 𝑎12
𝑎8 =
2
𝑎3 + 𝑎13
𝑎8 =
2
𝑎2 + 𝑎14
𝑎8 =
2
𝑎1 + 𝑎15
𝑎8 =
2
Zatem
𝑎1 + 𝑎2 + … + 𝑎14 + 𝑎15 = (𝑎1 + 𝑎15 ) + (𝑎2 + 𝑎14 ) + … + (𝑎7 + 𝑎9 ) + 𝑎8 =
= 15𝑎8 = −165
Stąd 𝑎8 = −11. Ponieważ
𝑎8 = 𝑎3 + 5𝑟
więc otrzymujemy
−11 = −1 + 5𝑟
𝑟 = −2
Różnica ciągu jest równa (−2).
S₁₅=15(a₁+7r), a a₁+2r=−1; po połączeniu równań otrzymujemy r=−2.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
- Zapisz dane i wybierz metodę
Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.
- Przeprowadź etap 1
S₁₅=15(a₁+7r), a a₁+2r=−1; po połączeniu równań otrzymujemy r=−2.
Sposób I
Korzystamy ze wzorów na 𝑛-ty wyraz i sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu
arytmetycznego i otrzymujemy układ równań
−1 = 𝑎1 + 2𝑟
{ 2𝑎1 + 14𝑟
−165 = ⋅ 15
2
Przekształcając ten układ równoważnie, otrzymujemy
−1 = 𝑎1 + 2𝑟
{
−11 = 𝑎1 + 7𝑟
Odejmując stronami równania układu, otrzymujemy
10 = −5𝑟
𝑟 = −2
Różnica ciągu jest równa (−2).
Sposób II
Suma kolejnych piętnastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa (−165),
- Przeprowadź etap 2
zatem
𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + … + 𝑎15 = −165
(𝑎3 − 2𝑟) + (𝑎3 − 𝑟) + 𝑎3 + (𝑎3 + 𝑟) + (𝑎3 + 2𝑟) + … + (𝑎3 + 12𝑟) = −165
15𝑎3 + (−2𝑟 − 𝑟 + 0 + 𝑟 + 2𝑟 + 3𝑟 + … + 12𝑟) = −165
gdzie 𝑎3 = −1, a suma piętnastu liczb (−2𝑟 − 𝑟 + 0 + 𝑟 + 2𝑟 + 3𝑟 + … + 12𝑟) jest
równa
−2𝑟 + 12𝑟
⋅ 15 = 75𝑟
2
Zatem
15 ∙ (−1) + 75𝑟 = −165
75𝑟 = −150
𝑟 = −2
Różnica ciągu jest równa (−2).
Sposób III
Suma kolejnych piętnastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa (−165),
zatem
𝑎1 + 𝑎15
⋅ 15 = −165
2
𝑎1 + 𝑎15 = −22
(𝑎3 − 2𝑟) + (𝑎3 + 12𝑟) = −22
2𝑎3 + 10𝑟 = −22
Stąd i z tego, że 𝑎3 = −1, otrzymujemy
2 ⋅ (−1) + 10𝑟 = −22
- Przeprowadź etap 3
Zatem
10𝑟 = −20
𝑟 = −2
Różnica ciągu jest równa (−2).
Sposób IV
Suma kolejnych piętnastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa (−165),
zatem
𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + … + 𝑎15 = −165
(𝑎8 − 7𝑟) + (𝑎8 − 6𝑟) + … + 𝑎8 + … + (𝑎8 + 6𝑟) + (𝑎8 + 7𝑟) = −165
15𝑎8 = −165
−165
𝑎8 = = −11
15
Korzystamy z własności ciągu arytmetycznego i otrzymujemy
𝑎8 = 𝑎3 + 5𝑟
−11 = −1 + 5𝑟
𝑟 = −2
Różnica ciągu jest równa (−2).
Sposób V
Korzystamy z własności ciągu arytmetycznego i otrzymujemy równania:
𝑎7 + 𝑎9
𝑎8 =
2
𝑎6 + 𝑎10
𝑎8 =
2
𝑎5 + 𝑎11
𝑎8 =
2
𝑎4 + 𝑎12
𝑎8 =
2
𝑎3 + 𝑎13
𝑎8 =
2
𝑎2 + 𝑎14
𝑎8 =
2
𝑎1 + 𝑎15
𝑎8 =
2
- Przeprowadź etap 4
Zatem
𝑎1 + 𝑎2 + … + 𝑎14 + 𝑎15 = (𝑎1 + 𝑎15 ) + (𝑎2 + 𝑎14 ) + … + (𝑎7 + 𝑎9 ) + 𝑎8 =
= 15𝑎8 = −165
Stąd 𝑎8 = −11. Ponieważ
𝑎8 = 𝑎3 + 5𝑟
więc otrzymujemy
−11 = −1 + 5𝑟
𝑟 = −2
Różnica ciągu jest równa (−2).
Wymagane elementy toku według CKE:
2 pkt – zastosowanie poprawnej metody i obliczenie różnicy ciągu: 𝑟 = −2.
- Przeprowadź etap 5
1 pkt – zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć 𝑟, np.:
2𝑎1 + 14𝑟
−1 = 𝑎1 + 2𝑟 oraz − 165 = ⋅ 15 ,
2
𝑎1 + 𝑎15
−1 = 𝑎1 + 2𝑟 oraz 𝑎15 = 𝑎1 + 14𝑟 oraz − 165 = ⋅ 15 ,
2
(𝑎3 − 2𝑟) + (𝑎3 + 12𝑟)
𝑎3 = −1 oraz − 165 = ⋅ 15
2
ALBO
– zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑟, np.:
(−1 − 2𝑟) + (−1 − 𝑟) + (−1) + (−1 + 𝑟) + … + (−1 + 12𝑟) = −165 ,
2(−1 − 2𝑟) + 14𝑟
⋅ 15 = −165 ,
2
(−1 − 2𝑟) + (−1 + 12𝑟)
⋅ 15 = −165 ,
2
ALBO
– obliczenie ósmego wyrazu ciągu (𝑎𝑛 ) z wykorzystaniem własności ciągu
arytmetycznego: 𝑎8 = −11 (dla sposobów IV oraz V),
ALBO
– zapisanie kolejnych piętnastu początkowych wyrazów ciągu (𝑎𝑛 ):
3, 1, −1, −3, −5, −7, −9, −11, −13, −15, −17, −19, −21, −23, −25.
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi:
1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe
rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów. 2. Jeżeli zdający zapisze tylko 𝑟 = −2, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający błędnie interpretuje liczbę (−165) jako piętnasty wyraz ciągu, to
otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
- Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania
Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 2 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.
Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.
Punktowanie i źródło
2 pkt – zastosowanie poprawnej metody i obliczenie różnicy ciągu: 𝑟 = −2.
1 pkt – zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć 𝑟, np.:
2𝑎1 + 14𝑟
−1 = 𝑎1 + 2𝑟 oraz − 165 = ⋅ 15 ,
2
𝑎1 + 𝑎15
−1 = 𝑎1 + 2𝑟 oraz 𝑎15 = 𝑎1 + 14𝑟 oraz − 165 = ⋅ 15 ,
2
(𝑎3 − 2𝑟) + (𝑎3 + 12𝑟)
𝑎3 = −1 oraz − 165 = ⋅ 15
2
ALBO
– zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑟, np.:
(−1 − 2𝑟) + (−1 − 𝑟) + (−1) + (−1 + 𝑟) + … + (−1 + 12𝑟) = −165 ,
2(−1 − 2𝑟) + 14𝑟
⋅ 15 = −165 ,
2
(−1 − 2𝑟) + (−1 + 12𝑟)
⋅ 15 = −165 ,
2
ALBO
– obliczenie ósmego wyrazu ciągu (𝑎𝑛 ) z wykorzystaniem własności ciągu
arytmetycznego: 𝑎8 = −11 (dla sposobów IV oraz V),
ALBO
– zapisanie kolejnych piętnastu początkowych wyrazów ciągu (𝑎𝑛 ):
3, 1, −1, −3, −5, −7, −9, −11, −13, −15, −17, −19, −21, −23, −25.
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe
rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.
2. Jeżeli zdający zapisze tylko 𝑟 = −2, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
3. Jeżeli zdający błędnie interpretuje liczbę (−165) jako piętnasty wyraz ciągu, to
otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Strona arkusza: 22
Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.
Matematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) zaznaczono kąt o mierze 𝛼 taki, że
tg 𝛼 = −3 oraz 90° < 𝛼 < 180° (zobacz rysunek).
У декартовій системі координат (𝑥, 𝑦) зазначено кут з мірою 𝛼 , причому tg 𝛼 = −3
та 90° < 𝛼 < 180° (дивись рисунок).
𝑦
3
2
1
𝛼
𝑥
−3 −2 −1 0 1 2 3
−1
Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami
A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.
Доповни речення. Вибери дві правильні відповіді серед варіантів, позначених
літерами A–F, і запиши ці літери у зазначених крапками місцях.
Prawdziwe są zależności: / Справджуються залежності: …………… oraz / та ………….. .
A. sin 𝛼 < 0 B. sin 𝛼 ⋅ cos 𝛼 < 0
C. sin 𝛼 ⋅ cos 𝛼 > 0 D. cos 𝛼 > 0
1
E. sin 𝛼 = − cos 𝛼 F. sin 𝛼 = −3 cos 𝛼
3
Sprawdź odpowiedź
Wersja A Wersja B
BF CF
W II ćwiartce sinus jest dodatni, cosinus ujemny, a tgα=sinα/cosα=−3.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
- Zapisz dane i wybierz metodę
Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.
- Przeprowadź rozwiązanie
W II ćwiartce sinus jest dodatni, cosinus ujemny, a tgα=sinα/cosα=−3.
Wynik: Wersja A Wersja B
BF CF
Wymagane elementy toku według CKE:
2 pkt – wybranie dwóch odpowiedzi, z których obie są poprawne.
1 pkt – wybranie jednej lub dwóch odpowiedzi, z których jedna jest poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
- Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania
Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 2 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.
Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.
Punktowanie i źródło
2 pkt – wybranie dwóch odpowiedzi, z których obie są poprawne.
1 pkt – wybranie jednej lub dwóch odpowiedzi, z których jedna jest poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Strona arkusza: 23
Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.
Matematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
Liczba sin3 20° + cos 2 20° ⋅ sin 20° jest równa
Число sin3 20° + cos 2 20° ⋅ sin 20° дорівнює
A. cos 20° B. sin 20°
C. tg 20° D. sin 20° ⋅ cos 20°
Sprawdź odpowiedź
Wersja A Wersja B
B A
Po wyłączeniu sin20° zostaje sin²20°+cos²20°=1.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
- Zapisz dane i wybierz metodę
Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.
- Przeprowadź rozwiązanie
Po wyłączeniu sin20° zostaje sin²20°+cos²20°=1.
Wynik: Wersja A Wersja B
B A
- Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania
Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.
Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.
Punktowanie i źródło
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Strona arkusza: 24
Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.
Matematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
Dany jest trójkąt 𝐾𝐿𝑀 , w którym |𝐾𝑀| = 𝑎, |𝐿𝑀| = 𝑏 oraz 𝑎 ≠ 𝑏 . Dwusieczna kąta
𝐾𝑀𝐿 przecina bok 𝐾𝐿 w punkcie 𝑁 takim, że |𝐾𝑁| = 𝑐 , |𝑁𝐿| = 𝑑 oraz |𝑀𝑁| = 𝑒
(zobacz rysunek).
Дано трикутник 𝐾𝐿𝑀 , у якому |𝐾𝑀| = 𝑎, |𝐿𝑀| = 𝑏 та 𝑎 ≠ 𝑏 . Бісектриса кута 𝐾𝑀𝐿
перетинає сторону 𝐾𝐿 в точці 𝑁 , причому |𝐾𝑁| = 𝑐 , |𝑁𝐿| = 𝑑 та |𝑀𝑁| = 𝑒 (дивись
рисунок).
𝑀
𝑎 𝑒 𝑏
𝐾 𝑐 𝑁 𝑑 𝐿
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
W trójkącie 𝐾𝐿𝑀 prawdziwa jest równość
У трикутнику 𝐾𝐿𝑀 справджується рівність
A. 𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑐 ⋅ 𝑑 B. 𝑎 ⋅ 𝑑 = 𝑏 ⋅ 𝑐
C. 𝑎 ⋅ 𝑐 = 𝑏 ⋅ 𝑑 D. 𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑒 ⋅ 𝑒
Sprawdź odpowiedź
Wersja A Wersja B
B B
Z twierdzenia o dwusiecznej c/d=a/b.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
- Zapisz dane i wybierz metodę
Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.
- Przeprowadź rozwiązanie
Z twierdzenia o dwusiecznej c/d=a/b.
Wynik: Wersja A Wersja B
B B
- Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania
Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.
Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.
Punktowanie i źródło
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Strona arkusza: 25
Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.
Matematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
Dany jest równoległobok o bokach długości 3 i 4 oraz o kącie między nimi o mierze 120°.
Дано паралелограм зі сторонами завдовжки 3 і 4 та кутом між ними, міра якого
дорівнює 120°.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
Pole tego równoległoboku jest równe
Площа цього паралелограма дорівнює
A. 12 B. 12√3 C. 6 D. 6√3
Sprawdź odpowiedź
Wersja A Wersja B
D B
Pole jest równe 3·4·sin120°=6√3.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
- Zapisz dane i wybierz metodę
Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.
- Przeprowadź rozwiązanie
Pole jest równe 3·4·sin120°=6√3.
Wynik: Wersja A Wersja B
D B
- Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania
Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.
Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.
Punktowanie i źródło
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Strona arkusza: 26
Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.
Matematyka — wersja polsko-ukraińska, odpowiedź według zasad CKE
W trójkącie 𝐴𝐵𝐶 , wpisanym w okrąg o środku w punkcie 𝑆, kąt 𝐴𝐶𝐵 ma miarę 42°
(zobacz rysunek).
У трикутнику 𝐴𝐵𝐶 , вписаному в коло з центром в точці 𝑆, міра кута 𝐴𝐶𝐵 дорівнює
42° (дивись рисунок).
𝐶
42° 𝑆
𝐴
𝐵
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Закінчи речення. Вибери правильну відповідь серед поданих.
Miara kąta ostrego 𝐵𝐴𝑆 jest równa
Міра гострого кута 𝐵𝐴𝑆 дорівнює
A. 42° B. 45° C. 48° D. 69°
Sprawdź odpowiedź
Wersja A Wersja B
C D
Kąt środkowy ASB oparty na tym samym łuku ma 84°, więc w równoramiennym ASB kąt przy A ma 48°.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
- Zapisz dane i wybierz metodę
Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.
- Przeprowadź rozwiązanie
Kąt środkowy ASB oparty na tym samym łuku ma 84°, więc w równoramiennym ASB kąt przy A ma 48°.
Wynik: Wersja A Wersja B
C D
- Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania
Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.
Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.
Punktowanie i źródło
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Strona arkusza: 27
Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.
Wersja arkusza w języku ukraińskim: zadania 1–22