- Zapisz dane i wybierz metodę
Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.
- Przeprowadź etap 1
Warunek długości siatki to 4x+6y=36, a suma pól wynosi 3xy; maksimum funkcji kwadratowej występuje dla x=4,5.
Sposób I
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku w zadaniu. Długość siatki użytej do wykonania
ogrodzenia – po uwzględnieniu warunków zadania – można zapisać równaniem
4𝑥 + 6𝑦 = 36
2
Stąd wyznaczamy 𝑦: 𝑦 = 6 − 𝑥.
3
Z warunków zadania wynika, że
𝑥>0 i 𝑦>0
Niech 𝑃 oznacza sumę pól podstaw trzech wybiegów.
Suma pól podstaw trzech wybiegów jest równa polu prostokąta o bokach długości 𝑥 oraz 3𝑦.
Zatem
𝑃 = 3𝑥𝑦
Sumę pól podstaw trzech wybiegów zapisujemy jako funkcję jednej zmiennej 𝑥. W tym celu
2
podstawiamy 𝑦 = 6 − 𝑥 i otrzymujemy
3
2
𝑃(𝑥) = 3𝑥 (6 − 𝑥) = −2𝑥 2 + 18𝑥
3
Wyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑃. Wykorzystamy związek między wymiarami 𝑥 i 𝑦 oraz
wykorzystamy warunki, jakie te wymiary spełniają
2
𝑦 = 6 − 𝑥 > 0 oraz 𝑥 > 0
3
Zatem
𝑥 < 9 oraz 𝑥 > 0
Zmienna 𝑥 może przyjmować wartości z przedziału (0, 9).
Wykresem funkcji 𝑃 jest fragment paraboli skierowanej ramionami do dołu. Obliczamy
pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli:
18
𝑝=− = 4,5 ∈ (0, 9)
2 ⋅ (−2)
Zatem funkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla argumentu 4,5.
Obliczamy drugi wymiar, dla którego suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa
2
𝑦 = 6 − ⋅ 4,5 = 3
3
Suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa, gdy: 𝑥 = 4,5 m oraz 𝑦 = 3 m.
Sposób II
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku w zadaniu. Długość siatki użytej do wykonania
ogrodzenia – po uwzględnieniu warunków zadania – można zapisać równaniem
4𝑥 + 6𝑦 = 36
3
Stąd wyznaczamy 𝑥 : 𝑥 = 9 − 𝑦.
2
Z warunków zadania wynika, że
𝑥>0 i 𝑦>0
Niech 𝑃 oznacza sumę pól podstaw trzech wybiegów.
Suma pól podstaw trzech wybiegów jest równa polu prostokąta o bokach długości 𝑥 oraz 3𝑦.
Zatem
𝑃 = 3𝑥𝑦
Sumę pól podstaw trzech wybiegów zapisujemy jako funkcję jednej zmiennej 𝑦. W tym celu
3
podstawiamy 𝑥 = 9 − 𝑦 i otrzymujemy
2
3 9
𝑃(𝑦) = 3 (9 − 𝑦) 𝑦 = − 𝑦(𝑦 − 6)
2 2
Wyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑃. Wykorzystamy związek między wymiarami 𝑥 i 𝑦 oraz
wykorzystamy warunki, jakie te wymiary spełniają
3
𝑥 = 9 − 2 𝑦 > 0 oraz 𝑦 > 0
Zatem
𝑦 < 6 oraz 𝑦 > 0
Zmienna 𝑦 może przyjmować wartości z przedziału (0, 6).
Wykresem funkcji 𝑃 jest fragment paraboli skierowanej ramionami do dołu. Pierwsza
współrzędna wierzchołka paraboli jest średnią arytmetyczną pierwiastków równania:
9
− 𝑦(𝑦 − 6) = 0
2
Zatem pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli jest równa
0+6
𝑝= = 3 ∈ (0, 6)
2
Zatem funkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla argumentu 3.
Obliczamy drugi wymiar, dla którego suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa:
3
𝑥 = 9− ⋅ 3 = 4,5
2
Suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa, gdy: 𝑥 = 4,5 m oraz 𝑦 = 3 m.
Sposób III
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku w zadaniu. Niech 𝑧 oznacza łączną szerokość trzech
wybiegów. Wtedy 𝑧 = 3𝑦.
Długość siatki użytej do wykonanie ogrodzenia – po uwzględnieniu warunków zadania –
można zapisać równaniem
4𝑥 + 2𝑧 = 36
Stąd wyznaczamy 𝑧: 𝑧 = 18 − 2𝑥 .
Z warunków zadania wynika, że
𝑥>0 i 𝑧>0
Niech 𝑃 oznacza sumę pól podstaw trzech wybiegów.
Suma pól podstaw trzech wybiegów jest równa polu prostokąta o bokach długości 𝑥 oraz 𝑧.
Zatem
𝑃 = 𝑥𝑧
Sumę pól podstaw trzech wybiegów zapisujemy jako funkcję jednej zmiennej 𝑥. W tym celu
podstawiamy 𝑧 = 18 − 2𝑥 i otrzymujemy
𝑃(𝑥) = 𝑥(18 − 2𝑥) = −2𝑥 2 + 18𝑥
Wyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑃. Wykorzystamy związek między wymiarami 𝑥 i 𝑧 oraz
wykorzystamy warunki, jakie te wymiary spełniają
𝑧 = 18 − 2𝑥 > 0 oraz 𝑥 > 0
- Przeprowadź etap 2
Zatem
𝑥 < 9 oraz 𝑥 > 0
Zmienna 𝑥 może przyjmować wartości z przedziału (0, 9).
Wykresem funkcji 𝑃 jest fragment paraboli skierowanej ramionami do dołu. Obliczamy
pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli:
18
𝑝=− = 4,5 ∈ (0, 9)
2 ⋅ (−2)
Zatem funkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla argumentu 4,5.
Obliczamy drugi wymiar, dla którego suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa:
𝑧 = 18 − 2 ∙ 4,5 = 18 − 9 = 9
𝑧 9
𝑦= = =3
3 3
Suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa, gdy 𝑥 = 4,5 m oraz 𝑦 = 3 m.
Sposób IV
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku w zadaniu. Długość siatki użytej do wykonania
ogrodzenia – po uwzględnieniu warunków zadania – można zapisać równaniem
4𝑥 + 6𝑦 = 36
2
Stąd wyznaczamy 𝑦: 𝑦 = 6 − 𝑥.
3
Z warunków zadania wynika, że
𝑥>0 i 𝑦>0
Niech 𝑃 oznacza sumę pól podstaw trzech wybiegów.
Suma pól podstaw trzech wybiegów jest równa polu prostokąta o bokach długości 𝑥 oraz 3𝑦.
Zatem
𝑃 = 3𝑥𝑦
Sumę pól podstaw trzech wybiegów zapisujemy jako funkcję jednej zmiennej 𝑥. W tym celu
2
podstawiamy 𝑦 = 6 − 𝑥 i otrzymujemy
3
2
𝑃(𝑥) = 3𝑥 (6 − 𝑥) = 2𝑥(9 − 𝑥)
3
Wyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑃. Wykorzystamy związek między wymiarami 𝑥 i 𝑦 oraz
wykorzystamy warunki, jakie te wymiary spełniają
2
𝑦 = 6 − 3 𝑥 > 0 oraz 𝑥 > 0
Zatem
𝑥 < 9 oraz 𝑥 > 0
Zmienna 𝑥 może przyjmować wartości z przedziału (0, 9).
Z nierówności między średnią geometryczną i średnią arytmetyczną dla liczb dodatnich
𝑥 i (9 − 𝑥) otrzymujemy
𝑥+9−𝑥
√𝑥(9 − 𝑥) ≤
2
√𝑥(9 − 𝑥) ≤ 4,5
Stąd
𝑥(9 − 𝑥) ≤ 20,25
przy czym równość zachodzi tylko wtedy, gdy 𝑥 = 9 − 𝑥 , czyli dla 𝑥 = 4,5.
Zatem funkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla argumentu 4,5.
Obliczamy drugi wymiar, dla którego suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa:
2
𝑦 = 6 − ⋅ 4,5 = 3
3
Suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa, gdy: 𝑥 = 4,5 m oraz 𝑦 = 3 m.
Sposób V
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku w zadaniu. Długość siatki użytej do wykonania
ogrodzenia – po uwzględnieniu warunków zadania – można zapisać równaniem
4𝑥 + 6𝑦 = 36
2
Stąd wyznaczamy 𝑦: 𝑦 = 6 − 𝑥.
3
Z warunków zadania wynika, że
𝑥>0 i 𝑦>0
Niech 𝑃 oznacza sumę pól podstaw trzech wybiegów.
Suma pól podstaw trzech wybiegów jest równa polu prostokąta o bokach długości 𝑥 oraz 3𝑦.
Zatem
𝑃 = 3𝑥𝑦
Sumę pól podstaw trzech wybiegów zapisujemy jako funkcję jednej zmiennej 𝑥 . W tym celu
2
podstawiamy 𝑦 = 6 − 𝑥 i otrzymujemy
3
2
𝑃(𝑥) = 3𝑥 (6 − 𝑥) = −2𝑥 2 + 18𝑥
3
Wyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑃. Wykorzystamy związek między wymiarami 𝑥 i 𝑦 oraz
wykorzystamy warunki, jakie te wymiary spełniają
2
𝑦 = 6 − 3 𝑥 > 0 oraz 𝑥 > 0
Zatem
𝑥 < 9 oraz 𝑥 > 0
Zmienna 𝑥 może przyjmować wartości z przedziału (0, 9).
Wyznaczamy pochodną funkcji 𝑃: 𝑃′ (𝑥) = −4𝑥 + 18 dla 𝑥 ∈ (0, 9)
Obliczamy miejsce zerowe pochodnej funkcji 𝑃:
𝑃′ (𝑥) = 0
−4𝑥 + 18 = 0
𝑥 = 4,5 ∈ (0, 9)
Badamy znak pochodnej:
1
𝑃′ (𝑥) > 0 dla 𝑥 ∈ (0, 4 2)
1
𝑃′ (𝑥) < 0 dla 𝑥 ∈ (4 2 , 9)
1 1
Zatem funkcja 𝑃 jest rosnąca w przedziale (0, 4 ] oraz malejąca w przedziale [4 2 , 9).
2
Stąd dla 𝑥 = 4,5 funkcja 𝑃 osiąga wartość największą.
Obliczamy drugi wymiar, dla którego suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa:
2
𝑦 = 6 − ⋅ 4,5 = 3
3
Suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa, gdy: 𝑥 = 4,5 m oraz 𝑦 = 3 m.
Sposób VI
Rozważmy prostokąt o bokach długości 2𝑥 oraz 3𝑦 (jak na rysunku poniżej).
𝑦 𝑦 𝑦
𝑥
𝑥
Obwód tego prostokąta jest równy długości siatki użytej do wykonania ogrodzenia wybiegów.
Zatem obwód tego prostokąta jest równy 4𝑥 + 6𝑦 = 36.
Ze wszystkich prostokątów o danym obwodzie największe pole ma kwadrat.
- Przeprowadź etap 3
Zatem pole rozważanego prostokąta będzie największe, gdy 2𝑥 = 3𝑦.
Rozwiązujemy układ równań
4𝑥 + 6𝑦 = 36
{
2𝑥 = 3𝑦
i otrzymujemy
𝑥 = 4,5
{
𝑦=3
Pole tego prostokąta jest największe, gdy 𝑥 = 4,5 oraz 𝑦 = 3.
Pole tego prostokąta jest dwa razy większe od sumy pól podstaw trzech wybiegów.
- Przeprowadź etap 4
Stąd suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa, gdy 𝑥 = 4,5 m oraz 𝑦 = 3 m. Ocena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią
Obowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez stwierdzonej
dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:
I. ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze
stwierdzoną dyskalkulią (punkty 1.–12.);
II. dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy
osób ze stwierdzoną dyskalkulią – egzamin maturalny z matematyki, poziom
podstawowy, termin główny 2024. I. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną
dyskalkulią
1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:
• błędnego przepisania
• przestawienia cyfr
• zapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie
• przestawienia położenia przecinka
• przestawienia położenia znaku liczby. 2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu
oddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza
umiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania
badanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt. 3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę
rozwiązania, części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej
1 punkt, zgodnie z kryteriami do poszczególnych zadań. 4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub
zapisuje nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne
rozumowanie lub stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt
za rozwiązanie zadania. 5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu
kwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę
wyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania
wartościach liczbowych. 6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający
może otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności
kwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych. 7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej
zdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji
kwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania. 8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych
lub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie
takiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania. 9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na
płaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu
rozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur
geometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie. 10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać
przynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych
sprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje
prawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych. 11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli
podaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia
rozwiązania. 12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub
geometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która
wyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać
1 punkt. II.
- Przeprowadź etap 5
Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób
ze stwierdzoną dyskalkulią
1 pkt – zastosowanie wzoru skróconego mnożenia do wyrażenia (𝑛 + 1)2
ALBO
– zastosowanie wzoru skróconego mnożenia do wyrażenia (𝑛 + 2)2 ,
ALBO
– przekształcenie wyrażenia (𝑛 + 1)2 do postaci 𝑛2 + 𝑛 + 𝑛 + 1 ,
ALBO
– przekształcenie wyrażenia (𝑛 + 2)2 do postaci 𝑛2 + 2𝑛 + 2𝑛 + 4 . 1 pkt – przekształcenie wielomianu 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 do postaci
𝑥 2 (𝑥 − 2) − 3(𝑥 − 2) lub 𝑥(𝑥 2 − 3) − 2(𝑥 2 − 3)
ALBO
– zapisanie jednego z rozwiązań równania 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 = 0 . Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego. 1 pkt – zapisanie równania z dwiema niewiadomymi, gdzie jedną z niewiadomych jest
2𝑎1 +14𝑟
różnica ciągu arytmetycznego, np.: −1 = 𝑎1 + 2𝑟, −165 = ⋅ 15 . 2
1 pkt – poprawne zaznaczenie w kartezjańskim układzie współrzędnych punktu 𝐶
ALBO
– poprawne zaznaczenie w kartezjańskim układzie współrzędnych punktu 𝐷 ,
ALBO
– zapisanie współrzędnych środka 𝑆 boku 𝐴𝐵 : 𝑆 = (4, 4). Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego. 1 pkt – zapisanie jedynie liczby 25 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich
zdarzeń elementarnych). Uwagi:
1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi 1.
ze standardowych zasad oceniania. 2. Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające
zdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (np. |𝐴| = 12) i konsekwentnie zapisze
12
wynik (np. ), to otrzymuje 2 punkty. 25
1 pkt – zapisanie 𝑥 = 4,5 oraz 𝑦 = 3.
Wymagane elementy toku według CKE:
dla sposobów I–V
4 pkt – poprawna metoda obliczenia obu wymiarów prostokąta oraz podanie poprawnego
wyniku: 𝑥 = 4,5 m oraz 𝑦 = 3 m. 3 pkt – zapisanie poprawnego wzoru na sumę pól trzech prostokątów jako funkcji zmiennej 𝑥
oraz obliczenie argumentu, dla którego ta funkcja przyjmuje wartość największą:
𝑥 = 4,5 m
ALBO
– zapisanie poprawnego wzoru na sumę pól trzech prostokątów jako funkcji zmiennej 𝑦
oraz obliczenie argumentu, dla którego ta funkcja przyjmuje wartość największą:
𝑦 = 3 m,
ALBO
– zapisanie poprawnego wzoru na pole jednego prostokąta jako funkcji zmiennej 𝑥
oraz obliczenie argumentu, dla którego ta funkcja przyjmuje wartość największą:
𝑥 = 4,5 m,
ALBO
– zapisanie poprawnego wzoru na pole jednego prostokąta jako funkcji zmiennej 𝑦
oraz obliczenie argumentu, dla którego ta funkcja przyjmuje wartość największą:
𝑦 = 3 m. 2 pkt – zapisanie poprawnego wzoru na sumę pól trzech prostokątów w zależności od jednej
2 3
zmiennej, np.: 𝑃(𝑥) = 3𝑥 (6 − 𝑥), 𝑃(𝑥) = 𝑥(18 − 2𝑥), 𝑃(𝑦) = 3 (9 − 𝑦) 𝑦
3 2
ALBO
– zapisanie poprawnego wzoru na pole jednego prostokąta w zależności od jednej
2 3
zmiennej, np.: 𝑃(𝑥) = 𝑥 (6 − 𝑥), 𝑃(𝑦) = (9 − 𝑦) 𝑦. 3 2
1 pkt – zapisanie poprawnego związku między wymiarami jednego wybiegu a całkowitą
długością siatki, np. 4𝑥 + 6𝑦 = 36. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi:
1. Jeżeli zdający przyjmie 𝑃 = 𝑘𝑥𝑦, gdzie 𝑘 > 0 i 𝑘 ≠ 1, i 𝑘 ≠ 3, ale nie zapisze, że dla
przyjętej wartości współczynnika 𝑘 pole 𝑃 osiąga wartość największą wtedy i tylko
wtedy, gdy największą wartość osiąga iloczyn 𝑥𝑦, to może otrzymać co najwyżej
3 punkty (za zapisanie warunku początkowego, za obliczenie wymiaru 𝑥 oraz obliczenie
wymiaru 𝑦 adekwatnie do obranego sposobu rozwiązania). 2. Jeżeli zdający zapisze błędną zależność między wymiarami jednego wybiegu a całkowitą
długością siatki, ale jest ona postaci 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 36, gdzie 𝑎, 𝑏 ∈ {2, 3, 4, 5, 6}, i rozwiąże
zadanie konsekwentnie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe
rozwiązanie (za konsekwentne: wyznaczenie wzoru funkcji pola, obliczenie wymiaru 𝑥
oraz obliczenie wymiaru 𝑦, adekwatnie do obranego sposobu rozwiązania). 3. Jeżeli zdający zapisze poprawnie warunek początkowy 4𝑥 + 6𝑦 = 36, a następnie sumę
pól trzech prostokątów (lub pole jednego prostokąta) jako funkcję 𝑃 jednej zmiennej
i otrzyma wartość pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli zawierającej wykres
funkcji 𝑃, która leży poza właściwą dziedziną funkcji 𝑃, to może otrzymać co najwyżej
2 punkty za całe rozwiązanie (za zapisanie warunku początkowego i wzoru na sumę pól
lub pole jednego prostokąta). Jeżeli natomiast zdający zapisze błędny warunek początkowy, ale taki jak wymieniony
w uwadze 2., a następnie konsekwentnie do tego warunku wyznaczy sumę pól trzech
prostokątów (lub pole jednego prostokąta) jako funkcję 𝑃 jednej zmiennej i otrzyma
wartość pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli zawierającej wykres funkcji 𝑃, która
leży poza dziedziną odpowiadającą wyznaczonej przez zdającego funkcji 𝑃, to może
otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie (za wyznaczenie wzoru funkcji 𝑃). 4. Jeżeli zdający zapisze sumę pól trzech prostokątów (lub pole jednego prostokąta) jako
funkcję 𝑃 jednej zmiennej, a następnie obliczy wartości tej funkcji dla pierwszej
współrzędnej wierzchołka i dwóch argumentów leżących symetrycznie względem
pierwszej współrzędnej wierzchołka, i nie odwoła się do własności wykresu funkcji
kwadratowej, to otrzymuje co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie. 5.
Jeżeli zdający nie zapisze sumy pól trzech prostokątów (lub jednego prostokąta) jako
funkcji jednej zmiennej, a jedynie oblicza wartości pola dla wybranych par liczb 𝑥 oraz 𝑦
i na tej podstawie wskazuje największą wartość pola, to za całe rozwiązanie otrzymuje
0 punktów, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów. 6. Jeżeli zdający oblicza największą wartość funkcji 𝑃, korzystając z rachunku
różniczkowego, i nie uzasadni, że w punkcie będącym miejscem zerowym pochodnej
funkcji 𝑃 jest największa wartość funkcji 𝑃, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za
całe rozwiązanie. Za poprawne uzasadnienie, że w punkcie będącym miejscem zerowym pochodnej
funkcji 𝑃 jest największa wartość funkcji 𝑃, można uznać sytuację, gdy zdający bada
znak pochodnej (np. szkicując wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna
zmienia znak, i zaznaczając na rysunku, np. znakami „+” i „-”, znak pochodnej) oraz:
– opisuje (słownie lub graficznie – np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji 𝑃
LUB
– zapisuje, że dla wyznaczonego miejsca zerowego pochodnej, funkcja 𝑃 ma maksimum
lokalne i jest to jednocześnie jej największa wartość,
LUB
– zapisuje, że dla wyznaczonego miejsca zerowego pochodnej, funkcja 𝑃 ma maksimum
lokalne i jest to jedyne ekstremum tej funkcji. Zasady oceniania dla sposobu VI
4 pkt – poprawna metoda obliczenia obu wymiarów prostokąta oraz podanie poprawnego
wyniku: 𝑥 = 4,5 m oraz 𝑦 = 3 m. 3 pkt – zapisanie, że spośród prostokątów o danym obwodzie największe pole ma kwadrat
4𝑥 + 6𝑦 = 36
oraz zapisanie układu równań { oraz obliczenie 𝑥 = 4,5 m
2𝑥 = 3𝑦
ALBO
– zapisanie, że spośród prostokątów o danym obwodzie największe pole ma kwadrat
4𝑥 + 6𝑦 = 36
oraz zapisanie układu równań { oraz obliczenie 𝑦 = 3 m. 2𝑥 = 3𝑦
2 pkt – zapisanie, że spośród prostokątów o danym obwodzie największe pole ma kwadrat
4𝑥 + 6𝑦 = 36
oraz zapisanie układu równań {
2𝑥 = 3𝑦
1 pkt – zapisanie związku między wymiarami prostokąta, np. 4𝑥 + 6𝑦 = 36. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
- Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania
Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 4 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.
Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.