Matematyka 2024 — poziom podstawowy — część 3

1. Zapisz dane i wybierz metodę

   Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.

2. Przeprowadź rozwiązanie

   Odległość liczby x od 1 ma być co najmniej równa 3; punkty −2 i 4 należą do rozwiązania.

   Wynik: Wersja A Wersja B
   B B

3. Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.

Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.

1. Zapisz dane i wybierz metodę

   Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.

2. Przeprowadź rozwiązanie

   1/16=2⁻⁴ oraz 8=2³, więc wykładnik wynosi −32+48=16.

   Wynik: Wersja A Wersja B
   B C

3. Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.

Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.

1. Zapisz dane i wybierz metodę

   Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.

2. Przeprowadź etap 1

   CKE dopuszcza też dowód przez reszty trzech kolejnych liczb. Sprawdzenie kilku przykładów nie stanowi dowodu.

   Sposób I
   Przekształcamy równoważnie dane wyrażenie
   𝑛2 + (𝑛 + 1)2 + (𝑛 + 2)2 = 𝑛2 + 𝑛2 + 2𝑛 + 1 + 𝑛2 + 4𝑛 + 4
   = 3𝑛2 + 6𝑛 + 5 = 3 ∙ (𝑛2 + 2𝑛 + 1) + 2
   Ponieważ 𝑛 jest liczbą naturalną, więc 𝑛2 + 2𝑛 + 1 jest liczbą naturalną.

   Zatem 3 ∙ (𝑛2 + 2𝑛 + 1) jest wielokrotnością liczby 3.

   Stąd 3 ∙ (𝑛2 + 2𝑛 + 1) + 2 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.
   To należało wykazać.

3. Przeprowadź etap 2

   Sposób II
   Liczby 𝑛, 𝑛 + 1, 𝑛 + 2 to trzy kolejne liczby naturalne, więc dokładnie jedna z nich jest
   podzielna przez 3, a dwie pozostałe nie są podzielne przez 3.
   Kwadrat liczby podzielnej przez 3 jest również podzielny przez 3.
   Kwadrat liczby niepodzielnej przez 3 daje przy dzieleniu przez 3 resztę 1.

   Zatem suma reszt z dzielenia przez 3 liczby 𝑛2 + (𝑛 + 1)2 + (𝑛 + 2)2 jest równa
   0 + 1 + 1 = 2.
   To należało wykazać.

4. Przeprowadź etap 3

   Wymagane elementy toku według CKE:
   2 pkt – przekształcenie wyrażenia 𝑛2 + (𝑛 + 1)2 + (𝑛 + 2)2 do postaci
   3(𝑛2 + 2𝑛 + 1) + 2
   ALBO
   – przekształcenie wyrażenia 𝑛2 + (𝑛 + 1)2 + (𝑛 + 2)2 do postaci
   3𝑛2 + 6𝑛 + 5 oraz zapisanie, że składniki 3𝑛2 oraz 6𝑛 są podzielne przez 3,
   a reszta z dzielenia liczby 5 przez 3 jest równa 2,
   ALBO
   – zapisanie, że 𝑛, 𝑛 + 1, 𝑛 + 2, to trzy kolejne liczby całkowite, więc dokładnie jedna
   z nich jest podzielna przez 3, a dwie pozostałe nie są podzielne przez 3 oraz
   zapisanie, że kwadrat liczby podzielnej przez 3 jest podzielny przez 3, a kwadrat
   liczby niepodzielnej przez 3 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1, oraz zapisanie
   wniosku, że reszta z dzielenia przez 3 liczby 𝑛2 + (𝑛 + 1)2 + (𝑛 + 2)2 jest
   równa 2.

5. Przeprowadź etap 4

   1 pkt – przekształcenie wyrażenia 𝑛2 + (𝑛 + 1)2 + (𝑛 + 2)2 do postaci
   𝑛2 + 𝑛2 + 2𝑛 + 1 + 𝑛2 + 4𝑛 + 4
   ALBO
   – zapisanie, że 𝑛, 𝑛 + 1, 𝑛 + 2, to trzy kolejne liczby naturalne, więc dokładnie jedna
   z nich jest podzielna przez 3, a dwie pozostałe nie są podzielne przez 3 oraz
   zapisanie, że kwadrat liczby podzielnej przez 3 jest podzielny przez 3, a kwadrat
   liczby niepodzielnej przez 3 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi:
   1.

6. Przeprowadź etap 5

   Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy tylko dla wybranych wartości 𝑛, to otrzymuje
   0 punktów za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający przyjmuje np. 𝑛 = 3𝑘 + 𝑟, gdzie 𝑘 ∈ ℕ i 𝑟 jest resztą z dzielenia liczby
   𝑛 przez 3 (lub 𝑛 = 2𝑘 + 𝑟, gdzie 𝑘 ∈ ℕ i 𝑟 jest resztą z dzielenia liczby 𝑛 przez 2),
   i przeprowadzi pełne rozumowanie dla wszystkich przypadków, to otrzymuje 2 punkty. Gdy przeprowadzi pełne rozumowanie dla co najmniej połowy przypadków, ale nie
   przeprowadzi pełnego rozumowania dla wszystkich przypadków, to otrzymuje 1 punkt za
   całe rozwiązanie. 3.

   Jeżeli zdający rozpatruje tylko jeden przypadek 𝑛 = 3𝑘 + 2, to otrzymuje 0 punktów za
   całe rozwiązanie.

7. Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 2 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.

Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.

1. Zapisz dane i wybierz metodę

   Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.

2. Przeprowadź rozwiązanie

   (√3)⁴=9.

   Wynik: Wersja A Wersja B
   C B

3. Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.

Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.

1. Zapisz dane i wybierz metodę

   Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.

2. Przeprowadź rozwiązanie

   To różnica kwadratów: [(2a+b)−(2a−b)]·[(2a+b)+(2a−b)]=2b·4a.

   Wynik: Wersja A Wersja B
   B D

3. Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.

Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.

1. Zapisz dane i wybierz metodę

   Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.

2. Przeprowadź rozwiązanie

   Po przeniesieniu wyrazów otrzymujemy 1/3<x/2, a zatem x>2/3.

   Wynik: Wersja A Wersja B
   D D

3. Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.

Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.

1. Zapisz dane i wybierz metodę

   Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.

2. Przeprowadź rozwiązanie

   Miejsca zerowe mianownika, −2 i 3, są wykluczone z dziedziny.

   Wynik: Wersja A Wersja B
   B B

3. Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.

Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.

1. Zapisz dane i wybierz metodę

   Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.

2. Przeprowadź rozwiązanie

   Rozkład wielomianu jest poprawny, natomiast W(−1)≠0. Wersja B odwraca kolejność zdań.

   Wynik: Wersja A Wersja B
   PF FP

3. Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.

Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.

1. Zapisz dane i wybierz metodę

   Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.

2. Przeprowadź etap 1

   Po grupowaniu lewa strona jest równa (x−2)(x²−3).

   Sposób I
   Przekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:
   𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 = 0
   𝑥 2 (𝑥 − 2) − 3(𝑥 − 2) = 0
   (𝑥 − 2)(𝑥 2 − 3) = 0
   (𝑥 − 2)(𝑥 − √3)(𝑥 + √3) = 0
   𝑥 − 2 = 0 lub 𝑥 − √3 = 0 lub 𝑥 + √3 = 0
   𝑥 = 2 lub 𝑥 = √3 lub 𝑥 = −√3
   Rozwiązaniami równania są liczby: (−√3), √3, 2.

   Sposób II
   Przekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:
   𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 = 0
   𝑥(𝑥 2 − 3) − 2(𝑥 2 − 3) = 0
   (𝑥 − 2)(𝑥 2 − 3) = 0
   (𝑥 − 2)(𝑥 − √3)(𝑥 + √3) = 0
   𝑥 − 2 = 0 lub 𝑥 − √3 = 0 lub 𝑥 + √3 = 0
   𝑥 = 2 lub 𝑥 = √3 lub 𝑥 = −√3
   Rozwiązaniami równania są liczby: (−√3), √3, 2.

   Sposób III
   Obliczamy 𝑊(2) = 0 i stwierdzamy, że liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu
   𝑊(𝑥) = 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6.

   Zatem wielomian 𝑊 jest podzielny przez dwumian (𝑥 − 2). Dzielimy wielomian 𝑊 przez
   dwumian (𝑥 − 2) i otrzymujemy
   (𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6): (𝑥 − 2) = 𝑥 2 − 3

   Zatem 𝑊(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥 2 − 3) = (𝑥 − 2)(𝑥 − √3)(𝑥 + √3).
   Obliczamy pierwiastki wielomianu 𝑊(𝑥):
   (𝑥 − 2)(𝑥 − √3)(𝑥 + √3) = 0
   𝑥 − 2 = 0 lub 𝑥 − √3 = 0 lub 𝑥 + √3 = 0
   𝑥 = 2 lub 𝑥 = √3 lub 𝑥 = −√3
   Rozwiązaniami równania są liczby: (−√3), √3, 2.

3. Przeprowadź etap 2

   Wymagane elementy toku według CKE:
   3 pkt – poprawna metoda rozwiązania równania i obliczenie wszystkich rozwiązań równania:
   (−√3), √3, 2. 2 pkt – przekształcenie lewej strony równania do postaci iloczynu wielomianów stopnia co
   najwyżej drugiego oraz rozwiązanie jednego z równań wynikającego z tego
   rozkładu, np.:
   (𝑥 − 2)(𝑥 2 − 3) = 0 i 𝑥 = 2,
   (𝑥 − 2)(𝑥 2 − 3) = 0 i 𝑥 = −√3 oraz 𝑥 = √3
   ALBO
   – przekształcenie równania 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 = 0 do postaci alternatywy dwóch
   równań: kwadratowego i liniowego oraz rozwiązanie jednego z nich:
   (𝑥 − 2 = 0, 𝑥 2 − 3 = 0) oraz 𝑥 = 2,
   (𝑥 − 2 = 0, 𝑥 2 − 3 = 0) oraz (𝑥 = −√3, 𝑥 = √3),
   ALBO
   – rozłożenie wielomianu 𝑊(𝑥) = 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 na czynniki liniowe:
   𝑊(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥 − √3)(𝑥 + √3),
   ALBO
   – przekształcenie równania 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 = 0 do postaci alternatywy trzech
   równań liniowych: (𝑥 − 2 = 0, 𝑥 − √3 = 0, 𝑥 + √3 = 0),
   ALBO
   – obliczenie jednego z pierwiastków wielomianu 𝑊(𝑥) = 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 oraz
   poprawne podzielenie wielomianu 𝑊 przez odpowiedni dwumian, np.
   𝑥 = 2 i (𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6) ∶ (𝑥 − 2) = 𝑥 2 − 3.

4. Przeprowadź etap 3

   1 pkt – zapisanie wielomianu 𝑊(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 − 3𝑥 + 6 w postaci iloczynu wielomianów
   stopnia co najwyżej drugiego, np. 𝑊(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥 2 − 3)
   ALBO
   – przekształcenie równania 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 = 0 do postaci alternatywy dwóch
   równań: (𝑥 − 2 = 0, 𝑥 2 − 3 = 0),
   ALBO
   – przekształcenie równania 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 = 0 do postaci
   𝑥 2 (𝑥 − 2) − 3(𝑥 − 2) = 0 lub do postaci 𝑥 2 (𝑥 − 2) = 3(𝑥 − 2) oraz zapisanie
   rozwiązania 𝑥 = 2,
   ALBO
   – zapisanie jednego z rozwiązań równania 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 = 0 oraz zapisanie
   sprawdzenia, że ta liczba spełnia to równanie. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi:
   1. Jeżeli zdający zapisze tylko trzy poprawne rozwiązania równania, to otrzymuje 1 punkt za
   całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający uzyska trzy poprawne pierwiastki wielomianu, lecz traktuje równanie jako
   nierówność (podaje zbiór rozwiązań w postaci przedziału / sumy przedziałów), to
   otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie. 3.

5. Przeprowadź etap 4

   Jeżeli przy przekształcaniu lewej strony równania do postaci iloczynu zdający zapisuje
   czynnik (𝑥 − 2) z wykładnikiem 2, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe
   rozwiązanie (1 punkt za rozwiązanie równania (𝑥 − 2)2 = 0 i 1 punkt za rozwiązanie
   równania 𝑥 2 − 3 = 0). 4. Jeżeli zdający zamiast równania (𝑥 − 2)(𝑥 2 − 3) = 0 zapisze (𝑥 − 2) ± (𝑥 2 − 3) = 0,
   ale z dalszego rozwiązania wynika, że traktuje lewą stronę równania jak iloczyn i rozwiąże
   zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt
   za rozwiązanie równania 𝑥 − 2 = 0 i 1 punkt za rozwiązanie równania 𝑥 2 − 3 = 0). 5. Jeżeli zdający przy przekształcaniu równania do postaci (𝑥 − 2)(𝑥 2 − 3) = 0 popełni
   błąd i zapisze:
   𝑥 2 (𝑥 + 2) − 3(𝑥 − 2) = 0
   lub
   𝑥 2 (𝑥 − 2) + 3(𝑥 − 2) = 0
   lub
   𝑥 2 (𝑥 − 2) − 3(𝑥 + 2) = 0
   lub
   𝑥(𝑥 2 + 3) − 2(𝑥 2 − 3) = 0
   lub
   𝑥(𝑥 2 − 3) + 2(𝑥 2 − 3) = 0
   lub
   𝑥(𝑥 2 − 3) − 2(𝑥 2 + 3) = 0
   a następnie:
   5.1. zapisze równanie (𝑥 − 2)(𝑥 2 − 3) = 0 lub poprawną alternatywę
   (𝑥 − 2 = 0 lub 𝑥 2 − 3 = 0) i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to
   otrzymuje co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za rozwiązanie
   równania 𝑥 − 2 = 0 i 1 punkt za rozwiązanie równania 𝑥 2 − 3 = 0).

6. Przeprowadź etap 5

   5.2. zapisze równanie (𝑥 − 2)(𝑥 2 + 3) = 0 lub błędną alternatywę
   (𝑥 − 2 = 0 lub 𝑥 2 + 3 = 0) i zapisze rozwiązanie 𝑥 = 2, to otrzymuje 1 punkt
   za całe rozwiązanie. 5.3. zapisze równanie (𝑥 + 2)(𝑥 2 − 3) = 0 lub błędną alternatywę
   (𝑥 + 2 = 0 lub 𝑥 2 − 3 = 0) i zapisze oba rozwiązania równania 𝑥 2 − 3 = 0:
   𝑥 = −√3 oraz 𝑥 = √3, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. 5.4. zapisze błędne równanie (w którym jedna ze stron jest równa 0, a druga jest
   iloczynem wielomianów stopni dodatnich), inne niż w uwagach 5.2 oraz 5.3, np. (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)(𝑥 2 ± 3) = 0 lub błędną alternatywę inną niż w uwagach 5.2
   oraz 5.3, np. (𝑥 − 2 = 0 lub 𝑥 + 2 = 0 lub 𝑥 2 ± 3 = 0), to otrzymuje
   0 punktów za całe rozwiązanie. 6. Jeżeli zdający, przekształcając równanie 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 = 0, popełni jeden błąd
   (który nie jest błędem znaku) albo dwa błędy znaku i otrzyma równanie trzeciego stopnia,
   które ma trzy rozwiązania rzeczywiste, oraz konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to
   otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. 7.

   Jeżeli zdający dzieli obustronnie równanie 𝑥 2 (𝑥 − 2) = 3(𝑥 − 2) przez dwumian
   (𝑥 − 2) z podaniem odpowiedniego założenia i uzyska tylko dwa poprawne rozwiązania
   𝑥 = √3 oraz 𝑥 = −√3, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie, a jeżeli uzyska tylko
   jedno z tych rozwiązań, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. 8. Jeżeli zdający dzieli obustronnie równanie 𝑥 2 (𝑥 − 2) = 3(𝑥 − 2) przez dwumian
   (𝑥 − 2) bez podania odpowiedniego założenia i uzyska tylko dwa poprawne rozwiązania
   𝑥 = √3 oraz 𝑥 = −√3, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie, a jeżeli uzyska tylko
   jedno z tych rozwiązań, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

7. Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 3 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.

Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.

1. Zapisz dane i wybierz metodę

   Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.

2. Przeprowadź rozwiązanie

   Równanie porównuje liczby drzew, które pozostały po roku, a nie liczby uschniętych.

   Wynik: Wersja A Wersja B
   A D

3. Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.

Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.

1. Zapisz dane i wybierz metodę

   Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.

2. Przeprowadź rozwiązanie

   Równe współczynniki kierunkowe i różne wyrazy wolne oznaczają dwie proste równoległe.

   Wynik: Wersja A Wersja B
   A C

3. Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.

Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.

1. Zapisz dane i wybierz metodę

   Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.

2. Przeprowadź rozwiązanie

   Współczynnik kierunkowy musi być ujemny: −2k+3<0.

   Wynik: Wersja A Wersja B
   D B

3. Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.

Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.

1. Zapisz dane i wybierz metodę

   Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.

2. Przeprowadź rozwiązanie

   Miejsce zerowe f to x=−2. Stąd −2a+7=0.

   Wynik: Wersja A Wersja B
   D A

3. Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.

Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.

1. Zapisz dane i wybierz metodę

   Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.

2. Przeprowadź rozwiązanie

   Wykres leży na osi lub nad nią między miejscami zerowymi, łącznie z końcami.

   Wynik: [−2, 4]
   Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
   Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności
   w postaci [4, −2], to otrzymuje 1 punkt.

3. Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.

Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.

1. Zapisz dane i wybierz metodę

   Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.

2. Przeprowadź rozwiązanie

   Wierzchołek wykresu to (1,9), a ramiona są skierowane w dół.

   Wynik: Wersja A Wersja B
   B A

3. Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.

Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.

1. Zapisz dane i wybierz metodę

   Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.

2. Przeprowadź rozwiązanie

   Oś symetrii to x=1; argumenty −4 i 6 są od niej jednakowo oddalone.

   Wynik: Wersja A Wersja B
   A C

3. Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.

Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.

1. Zapisz dane i wybierz metodę

   Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.

2. Przeprowadź rozwiązanie

   g przesuwa wykres f o 3 w lewo, a h odbija go względem osi y.

   Wynik: Wersja A Wersja B
   A A
   E E

3. Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 2 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.

Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.

1. Zapisz dane i wybierz metodę

   Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.

2. Przeprowadź rozwiązanie

   a₁=4 i a₃=2, lecz np. a₅=0.

   Wynik: Wersja A Wersja B
   PF PF

3. Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.

Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.

1. Zapisz dane i wybierz metodę

   Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.

2. Przeprowadź rozwiązanie

   Iloraz ciągu wynosi 1/2, więc trzeci wyraz to 3 i 2m−1=3.

   Wynik: Wersja A Wersja B
   B2 A2

3. Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.

Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.

1. Zapisz dane i wybierz metodę

   Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.

2. Przeprowadź etap 1

   S₁₅=15(a₁+7r), a a₁+2r=−1; po połączeniu równań otrzymujemy r=−2.

   Sposób I
   Korzystamy ze wzorów na 𝑛-ty wyraz i sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu
   arytmetycznego i otrzymujemy układ równań
   −1 = 𝑎1 + 2𝑟
   { 2𝑎1 + 14𝑟
   −165 = ⋅ 15
   2
   Przekształcając ten układ równoważnie, otrzymujemy
   −1 = 𝑎1 + 2𝑟
   {
   −11 = 𝑎1 + 7𝑟
   Odejmując stronami równania układu, otrzymujemy
   10 = −5𝑟
   𝑟 = −2
   Różnica ciągu jest równa (−2).

   Sposób II
   Suma kolejnych piętnastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa (−165),

3. Przeprowadź etap 2

   zatem
   𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + … + 𝑎15 = −165
   (𝑎3 − 2𝑟) + (𝑎3 − 𝑟) + 𝑎3 + (𝑎3 + 𝑟) + (𝑎3 + 2𝑟) + … + (𝑎3 + 12𝑟) = −165
   15𝑎3 + (−2𝑟 − 𝑟 + 0 + 𝑟 + 2𝑟 + 3𝑟 + … + 12𝑟) = −165
   gdzie 𝑎3 = −1, a suma piętnastu liczb (−2𝑟 − 𝑟 + 0 + 𝑟 + 2𝑟 + 3𝑟 + … + 12𝑟) jest
   równa
   −2𝑟 + 12𝑟
   ⋅ 15 = 75𝑟
   2

   Zatem
   15 ∙ (−1) + 75𝑟 = −165
   75𝑟 = −150
   𝑟 = −2
   Różnica ciągu jest równa (−2).

   Sposób III
   Suma kolejnych piętnastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa (−165),

   zatem
   𝑎1 + 𝑎15
   ⋅ 15 = −165
   2
   𝑎1 + 𝑎15 = −22
   (𝑎3 − 2𝑟) + (𝑎3 + 12𝑟) = −22
   2𝑎3 + 10𝑟 = −22

   Stąd i z tego, że 𝑎3 = −1, otrzymujemy
   2 ⋅ (−1) + 10𝑟 = −22

4. Przeprowadź etap 3

   Zatem
   10𝑟 = −20
   𝑟 = −2
   Różnica ciągu jest równa (−2).

   Sposób IV
   Suma kolejnych piętnastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa (−165),

   zatem
   𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + … + 𝑎15 = −165
   (𝑎8 − 7𝑟) + (𝑎8 − 6𝑟) + … + 𝑎8 + … + (𝑎8 + 6𝑟) + (𝑎8 + 7𝑟) = −165
   15𝑎8 = −165
   −165
   𝑎8 = = −11
   15
   Korzystamy z własności ciągu arytmetycznego i otrzymujemy
   𝑎8 = 𝑎3 + 5𝑟
   −11 = −1 + 5𝑟
   𝑟 = −2
   Różnica ciągu jest równa (−2).

   Sposób V
   Korzystamy z własności ciągu arytmetycznego i otrzymujemy równania:
   𝑎7 + 𝑎9
   𝑎8 =
   2
   𝑎6 + 𝑎10
   𝑎8 =
   2
   𝑎5 + 𝑎11
   𝑎8 =
   2
   𝑎4 + 𝑎12
   𝑎8 =
   2
   𝑎3 + 𝑎13
   𝑎8 =
   2
   𝑎2 + 𝑎14
   𝑎8 =
   2
   𝑎1 + 𝑎15
   𝑎8 =
   2

5. Przeprowadź etap 4

   Zatem
   𝑎1 + 𝑎2 + … + 𝑎14 + 𝑎15 = (𝑎1 + 𝑎15 ) + (𝑎2 + 𝑎14 ) + … + (𝑎7 + 𝑎9 ) + 𝑎8 =
   = 15𝑎8 = −165

   Stąd 𝑎8 = −11. Ponieważ
   𝑎8 = 𝑎3 + 5𝑟
   więc otrzymujemy
   −11 = −1 + 5𝑟
   𝑟 = −2
   Różnica ciągu jest równa (−2).

   Wymagane elementy toku według CKE:
   2 pkt – zastosowanie poprawnej metody i obliczenie różnicy ciągu: 𝑟 = −2.

6. Przeprowadź etap 5

   1 pkt – zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć 𝑟, np.:
   2𝑎1 + 14𝑟
   −1 = 𝑎1 + 2𝑟 oraz − 165 = ⋅ 15 ,
   2
   𝑎1 + 𝑎15
   −1 = 𝑎1 + 2𝑟 oraz 𝑎15 = 𝑎1 + 14𝑟 oraz − 165 = ⋅ 15 ,
   2
   (𝑎3 − 2𝑟) + (𝑎3 + 12𝑟)
   𝑎3 = −1 oraz − 165 = ⋅ 15
   2
   ALBO
   – zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑟, np.:
   (−1 − 2𝑟) + (−1 − 𝑟) + (−1) + (−1 + 𝑟) + … + (−1 + 12𝑟) = −165 ,
   2(−1 − 2𝑟) + 14𝑟
   ⋅ 15 = −165 ,
   2
   (−1 − 2𝑟) + (−1 + 12𝑟)
   ⋅ 15 = −165 ,
   2
   ALBO
   – obliczenie ósmego wyrazu ciągu (𝑎𝑛 ) z wykorzystaniem własności ciągu
   arytmetycznego: 𝑎8 = −11 (dla sposobów IV oraz V),
   ALBO
   – zapisanie kolejnych piętnastu początkowych wyrazów ciągu (𝑎𝑛 ):
   3, 1, −1, −3, −5, −7, −9, −11, −13, −15, −17, −19, −21, −23, −25.

   0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi:
   1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe
   rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów. 2. Jeżeli zdający zapisze tylko 𝑟 = −2, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający błędnie interpretuje liczbę (−165) jako piętnasty wyraz ciągu, to
   otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

7. Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 2 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.

Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.

1. Zapisz dane i wybierz metodę

   Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.

2. Przeprowadź rozwiązanie

   W II ćwiartce sinus jest dodatni, cosinus ujemny, a tgα=sinα/cosα=−3.

   Wynik: Wersja A Wersja B
   BF CF

   Wymagane elementy toku według CKE:
   2 pkt – wybranie dwóch odpowiedzi, z których obie są poprawne.
   1 pkt – wybranie jednej lub dwóch odpowiedzi, z których jedna jest poprawna.
   0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

3. Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 2 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.

Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.

1. Zapisz dane i wybierz metodę

   Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.

2. Przeprowadź rozwiązanie

   Po wyłączeniu sin20° zostaje sin²20°+cos²20°=1.

   Wynik: Wersja A Wersja B
   B A

3. Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.

Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.

1. Zapisz dane i wybierz metodę

   Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.

2. Przeprowadź rozwiązanie

   Z twierdzenia o dwusiecznej c/d=a/b.

   Wynik: Wersja A Wersja B
   B B

3. Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.

Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.

1. Zapisz dane i wybierz metodę

   Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.

2. Przeprowadź rozwiązanie

   Pole jest równe 3·4·sin120°=6√3.

   Wynik: Wersja A Wersja B
   D B

3. Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.

Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.

1. Zapisz dane i wybierz metodę

   Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.

2. Przeprowadź rozwiązanie

   Kąt środkowy ASB oparty na tym samym łuku ma 84°, więc w równoramiennym ASB kąt przy A ma 48°.

   Wynik: Wersja A Wersja B
   C D

3. Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.

Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.