Matematyka 2024 — poziom podstawowy — Formuła 2015 — część 2

1. Zapisz dane i wybierz metodę

   Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.

2. Przeprowadź rozwiązanie

   Pole sześciokąta foremnego wynosi (3√3/2)a². Z równania (3√3/2)a²=15√3 mamy a²=10, więc a=√10. Jedna ściana boczna ma pole a·h=√10·6=6√10.

   Wynik: C

3. Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.

Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.

1. Zapisz dane i wybierz metodę

   Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.

2. Przeprowadź rozwiązanie

   Kąt nachylenia odcinka do płaszczyzny jest kątem między tym odcinkiem a jego rzutem prostokątnym na płaszczyznę. Dla najdłuższej przekątnej graniastosłupa rzutem jest najdłuższa przekątna podstawy; wybieramy rysunek pokazujący właśnie tę parę odcinków.

   Wynik: D

3. Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.

Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.

1. Zapisz dane i wybierz metodę

   Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.

2. Przeprowadź rozwiązanie

   Ze wzoru V=(1/3)a²h i danych V=64, h=12 mamy 64=(1/3)a²·12=4a². Stąd a²=16, więc dodatnia długość krawędzi podstawy to a=4.

   Wynik: B

3. Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.

Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.

1. Zapisz dane i wybierz metodę

   Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.

2. Przeprowadź rozwiązanie

   Cztery różne cyfry ustawiamy na czterech miejscach bez powtórzeń. Liczba permutacji wynosi 4!=4·3·2·1=24; dlatego w wersjach A i polsko-ukraińskiej poprawna jest odpowiedź C, a w wersji B — D.

   Wynik: C

3. Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.

Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.

1. Zapisz dane i wybierz metodę

   Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.

2. Przeprowadź etap 1

   Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

   Zapisujemy nierówność w postaci 𝑥 2 − 3𝑥 − 4 ≤ 0 i obliczamy pierwiastki trójmianu
   𝑥 2 − 3𝑥 − 4.
   Obliczamy wyróżnik trójmianu: Δ = 25
   i obliczamy jego pierwiastki: 𝑥1 = −1 oraz 𝑥2 = 4
   ALBO
   podajemy pierwiastki trójmianu bezpośrednio, zapisując je lub zaznaczając je na wykresie:
   𝑥1 = −1 oraz 𝑥2 = 4.
   Podajemy zbiór rozwiązań nierówności: ⟨−1, 4⟩ lub 𝑥 ∈ ⟨−1, 4⟩, lub zaznaczamy zbiór
   rozwiązań na osi liczbowej:
   −1 4 𝑥

3. Przeprowadź etap 2

   Wymagane elementy toku według CKE:
   2 pkt – spełnienie jednego z warunków określonych w zasadach oceniania za 1 pkt oraz
   zapisanie zbioru rozwiązań nierówności: ⟨−1, 4⟩ lub 𝑥 ∈ ⟨−1, 4⟩
   ALBO
   – spełnienie jednego z warunków określonych w zasadach oceniania za 1 pkt oraz
   przedstawienie zbioru rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie
   zaznaczonymi końcami przedziałów
   −1 4 𝑥
   1 pkt – obliczenie lub podanie pierwiastków trójmianu kwadratowego 𝑥 2 − 3𝑥 − 4:
   𝑥1 = −1 oraz 𝑥2 = 4
   ALBO
   – odczytanie z wykresu funkcji 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 3𝑥 − 4 i zapisanie miejsc zerowych
   𝑥1 = −1 oraz 𝑥2 = 4.

4. Przeprowadź etap 3

   0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi:
   1. Jeżeli zdający, realizując pierwszy etap rozwiązania zadania, popełni błędy (ale otrzyma
   dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionych błędów zapisze zbiór rozwiązań
   nierówności, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy błędnie
   obliczony przez zdającego wyróżnik 𝛥 jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe
   rozwiązanie. 3.

5. Przeprowadź etap 4

   Jeżeli zdający, rozpoczynając realizację pierwszego etapu rozwiązania, rozpatruje inny niż
   podany w zadaniu trójmian kwadratowy, który nie wynika z błędu przekształcenia (np.
   𝑥 2 − 4), i w konsekwencji rozpatruje inną nierówność (np. 𝑥 2 − 4 ≤ 0), to oznacza, że
   nie podjął realizacji 1. etapu rozwiązania i otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 4. Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci 𝑎 + 𝑏√𝑐, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 są
   liczbami wymiernymi. 5.

6. Przeprowadź etap 5

   Jeżeli zdający poda zbiór rozwiązań w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi
   końcami przedziałów oraz zapisze: 𝑥 ∈ (−1, 4), to otrzymuje 1 punkt za całe
   rozwiązanie. Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
   Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności
   w postaci ⟨4, −1⟩, to otrzymuje 2 punkty.

7. Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 2 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.

Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.

1. Zapisz dane i wybierz metodę

   Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.

2. Przeprowadź etap 1

   Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

   Sposób I
   Przekształcamy nierówność (3𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 3𝑦) > 16𝑥𝑦 w sposób równoważny:
   3𝑥 2 − 6𝑥𝑦 + 3𝑦 2 > 0
   Zauważamy, że lewą stronę nierówności można zapisać w postaci
   3(𝑥 − 𝑦)2 > 0
   Z założenia wiadomo, że 𝑥 ≠ 𝑦, więc 3(𝑥 − 𝑦)2 jest liczbą dodatnią.
   To należało wykazać.

3. Przeprowadź etap 2

   Sposób II (trójmian kwadratowy zmiennej 𝑥 z parametrem 𝑦)
   Przekształcamy równoważnie nierówność (3𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 3𝑦) > 16𝑥𝑦 i otrzymujemy
   3𝑥 2 − 6𝑥𝑦 + 3𝑦 2 > 0
   Wyrażenie 3𝑥 2 − 6𝑥𝑦 + 3𝑦 2 traktujemy jako trójmian kwadratowy zmiennej 𝑥 . Obliczamy
   wyróżnik Δ trójmianu:
   Δ = (−6𝑦)2 − 4 ⋅ 3 ∙ 3𝑦 2 = 0
   Funkcja 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 − 6𝑥𝑦 + 3𝑦 2 ma dokładnie jedno miejsce zerowe: 𝑥 = 𝑦. Ponieważ
   współczynnik przy drugiej potędze zmiennej jest dodatni, więc żaden fragment wykresu
   funkcji 𝑓 nie leży poniżej osi odciętych. Zatem funkcja 𝑓 przyjmuje wartości dodatnie dla
   każdego 𝑥 ≠ 𝑦.
   Oznacza to, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦 ≠ 𝑥
   nierówność 3𝑥 2 − 6𝑥𝑦 + 3𝑦 2 > 0 jest prawdziwa.

4. Przeprowadź etap 3

   Zatem nierówność (3𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 3𝑦) > 16𝑥𝑦 również jest prawdziwa dla każdej liczby
   rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦 ≠ 𝑥 . To należało wykazać.

   Wymagane elementy toku według CKE:
   2 pkt – przekształcenie nierówności (3𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 3𝑦) > 16𝑥𝑦 do postaci
   𝑐(𝑥 − 𝑦)2 > 0, gdzie 𝑐 > 0 (np. 3(𝑥 − 𝑦)2 > 0)
   lub
   𝑐(𝑥 − 𝑦)2 < 0, gdzie 𝑐 < 0 (np. −3(𝑥 − 𝑦)2 < 0),
   lub
   2
   (𝑐𝑥 − 𝑐𝑦)2 > 0, gdzie 𝑐 ≠ 0 (np.

5. Przeprowadź etap 4

   (√3𝑥 − √3𝑦) > 0)
   oraz powołanie się na założenie i stwierdzenie, że kwadrat każdej liczby rzeczywistej
   różnej od zera jest liczbą dodatnią
   ALBO
   – przekształcenie nierówności (3𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 3𝑦) > 16𝑥𝑦 do postaci 𝑥 2 + 𝑦 2 > 2𝑥𝑦
   oraz powołanie się na nierówność 𝑥 2 + 𝑦 2 ≥ 2𝑥𝑦 i stwierdzenie, że dla 𝑥 ≠ 𝑦
   nierówność jest ostra,
   ALBO
   – obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 3𝑥 2 − 6𝑥𝑦 + 3𝑦 2 zmiennej 𝑥 oraz
   uzasadnienie, że funkcja 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 − 6𝑥𝑦 + 3𝑦 2 przyjmuje wartości dodatnie
   dla 𝑥 ≠ 𝑦,
   ALBO
   – obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 3𝑦 2 − 6𝑥𝑦 + 3𝑥 2 zmiennej 𝑦 oraz
   uzasadnienie, że funkcja 𝑓(𝑦) = 3𝑦 2 − 6𝑥𝑦 + 3𝑥 2 przyjmuje wartości dodatnie
   dla 𝑦 ≠ 𝑥 .

6. Przeprowadź etap 5

   1 pkt – przekształcenie nierówności (3𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 3𝑦) > 16𝑥𝑦 do postaci
   3𝑥 2 − 6𝑥𝑦 + 3𝑦 2 > 0
   ALBO
   – przekształcenie nierówności (3𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 3𝑦) > 16𝑥𝑦 do postaci 𝑥 2 + 𝑦 2 > 2𝑥𝑦 ,
   ALBO
   – obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 3𝑥 2 − 6𝑥𝑦 + 3𝑦 2 zmiennej 𝑥 ,
   ALBO,
   – obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 3𝑦 2 − 6𝑥𝑦 + 3𝑥 2 zmiennej 𝑦. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

   Uwaga:
   Jeśli zdający sprawdza prawdziwość nierówności tylko dla wybranych wartości 𝑥 i 𝑦, to
   otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

7. Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 2 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.

Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.

1. Zapisz dane i wybierz metodę

   Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.

2. Przeprowadź etap 1

   Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

   Sposób I
   Wykres funkcji 𝑓 jest symetryczny względem prostej o równaniu 𝑥 = −2, zatem drugie
   miejsce zerowe jest równe 𝑥2 = −5.
   Wzór funkcji 𝑓 zapisujemy w postaci iloczynowej 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 + 5), a następnie
   w postaci ogólnej 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 4𝑥 − 5.

   Zatem współczynniki 𝑏 i 𝑐 są równe: 𝑏 = 4, 𝑐 = −5.

3. Przeprowadź etap 2

   Sposób II
   Wykres funkcji 𝑓 jest symetryczny względem prostej o równaniu 𝑥 = −2, zatem pierwsza
   współrzędna wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓 jest równa 𝑝 = −2.
   Wzór funkcji 𝑓 zapisujemy w postaci kanonicznej 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 2)2 + 𝑞 .
   Punkt (1, 0) leży na wykresie funkcji 𝑓 , zatem dla argumentu 1 funkcja 𝑓 przyjmuje
   wartość 0. Stąd otrzymujemy równanie:
   0 = (1 + 2)2 + 𝑞

   Zatem 𝑞 = −9.
   Wzór funkcji 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 2)2 − 9 przekształcamy do postaci ogólnej 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 4𝑥 − 5.

4. Przeprowadź etap 3

   Zatem współczynniki 𝑏 i 𝑐 są równe: 𝑏 = 4, 𝑐 = −5.

   Sposób III
   Wykres funkcji 𝑓 jest symetryczny względem prostej o równaniu 𝑥 = −2, zatem pierwsza
   współrzędna wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓 jest równa 𝑝 = −2.
   𝑏
   Obliczamy współczynnik 𝑏, korzystając ze wzoru 𝑝 = − :
   2𝑎
   𝑏
   −2 = −
   2

   Stąd 𝑏 = 4.
   Punkt (1, 0) leży na wykresie funkcji 𝑓 , zatem dla argumentu 1 funkcja 𝑓 przyjmuje
   wartość 0. Stąd otrzymujemy równanie
   0 = 12 + 4 ∙ 1 + 𝑐

5. Przeprowadź etap 4

   Zatem współczynniki 𝑏 i 𝑐 są równe: 𝑏 = 4, 𝑐 = −5.

   Wymagane elementy toku według CKE:
   2 pkt – zastosowanie poprawnej metody i obliczenie współczynników: 𝑏 = 4, 𝑐 = −5.
   1 pkt – zapisanie drugiego miejsca zerowego funkcji 𝑓: 𝑥2 = −5
   ALBO
   – obliczenie drugiej współrzędnej wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓 :
   𝑞 = −9,
   ALBO
   – obliczenie współczynnika 𝑏: 𝑏 = 4.
   0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

6. Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 2 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.

Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.

1. Zapisz dane i wybierz metodę

   Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.

2. Przeprowadź etap 1

   Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

   Sposób I
   Korzystamy ze wzorów na 𝑛-ty wyraz i sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu
   arytmetycznego i otrzymujemy układ równań
   −1 = 𝑎1 + 2𝑟
   { 2𝑎1 + 14𝑟
   −165 = ⋅ 15
   2
   Przekształcając ten układ równoważnie, otrzymujemy
   −1 = 𝑎1 + 2𝑟
   {
   −11 = 𝑎1 + 7𝑟
   Odejmując stronami równania układu, otrzymujemy
   10 = −5𝑟
   𝑟 = −2
   Różnica ciągu jest równa (−2).

   Sposób II
   Suma kolejnych piętnastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa (−165),

3. Przeprowadź etap 2

   zatem
   𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + … + 𝑎15 = −165
   (𝑎3 − 2𝑟) + (𝑎3 − 𝑟) + 𝑎3 + (𝑎3 + 𝑟) + (𝑎3 + 2𝑟) + … + (𝑎3 + 12𝑟) = −165
   15𝑎3 + (−2𝑟 − 𝑟 + 0 + 𝑟 + 2𝑟 + 3𝑟 + … + 12𝑟) = −165
   gdzie 𝑎3 = −1, a suma piętnastu liczb (−2𝑟 − 𝑟 + 0 + 𝑟 + 2𝑟 + 3𝑟 + … + 12𝑟) jest
   równa
   −2𝑟 + 12𝑟
   ⋅ 15 = 75𝑟
   2

   Zatem
   15 ∙ (−1) + 75𝑟 = −165
   75𝑟 = −150
   𝑟 = −2
   Różnica ciągu jest równa (−2).

   Sposób III
   Suma kolejnych piętnastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa (−165),

   zatem
   𝑎1 + 𝑎15
   ⋅ 15 = −165
   2
   𝑎1 + 𝑎15 = −22
   (𝑎3 − 2𝑟) + (𝑎3 + 12𝑟) = −22
   2𝑎3 + 10𝑟 = −22

   Stąd i z tego, że 𝑎3 = −1, otrzymujemy
   2 ⋅ (−1) + 10𝑟 = −22

4. Przeprowadź etap 3

   Zatem
   10𝑟 = −20
   𝑟 = −2
   Różnica ciągu jest równa (−2).

   Sposób IV
   Suma kolejnych piętnastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa (−165),

   zatem
   𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + … + 𝑎15 = −165
   (𝑎8 − 7𝑟) + (𝑎8 − 6𝑟) + … + 𝑎8 + … + (𝑎8 + 6𝑟) + (𝑎8 + 7𝑟) = −165
   15𝑎8 = −165
   −165
   𝑎8 = = −11
   15
   Korzystamy z własności ciągu arytmetycznego i otrzymujemy
   𝑎8 = 𝑎3 + 5𝑟
   −11 = −1 + 5𝑟
   𝑟 = −2
   Różnica ciągu jest równa (−2).

   Sposób V
   Korzystamy z własności ciągu arytmetycznego i otrzymujemy równania:
   𝑎7 + 𝑎9
   𝑎8 =
   2
   𝑎6 + 𝑎10
   𝑎8 =
   2
   𝑎5 + 𝑎11
   𝑎8 =
   2
   𝑎4 + 𝑎12
   𝑎8 =
   2
   𝑎3 + 𝑎13
   𝑎8 =
   2
   𝑎2 + 𝑎14
   𝑎8 =
   2
   𝑎1 + 𝑎15
   𝑎8 =
   2

5. Przeprowadź etap 4

   Zatem
   𝑎1 + 𝑎2 + … + 𝑎14 + 𝑎15 = (𝑎1 + 𝑎15 ) + (𝑎2 + 𝑎14 ) + … + (𝑎7 + 𝑎9 ) + 𝑎8 =
   = 15𝑎8 = −165

   Stąd 𝑎8 = −11. Ponieważ
   𝑎8 = 𝑎3 + 5𝑟
   więc otrzymujemy
   −11 = −1 + 5𝑟
   𝑟 = −2
   Różnica ciągu jest równa (−2).

   Wymagane elementy toku według CKE:
   2 pkt – zastosowanie poprawnej metody i obliczenie różnicy ciągu: 𝑟 = −2.

6. Przeprowadź etap 5

   1 pkt – zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć 𝑟, np.:
   2𝑎1 + 14𝑟
   −1 = 𝑎1 + 2𝑟 oraz − 165 = ⋅ 15 ,
   2
   𝑎1 + 𝑎15
   −1 = 𝑎1 + 2𝑟 oraz 𝑎15 = 𝑎1 + 14𝑟 oraz − 165 = ⋅ 15 ,
   2
   (𝑎3 − 2𝑟) + (𝑎3 + 12𝑟)
   𝑎3 = −1 oraz − 165 = ⋅ 15
   2
   ALBO
   – zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑟, np.:
   (−1 − 2𝑟) + (−1 − 𝑟) + (−1) + (−1 + 𝑟) + … + (−1 + 12𝑟) = −165 ,
   2(−1 − 2𝑟) + 14𝑟
   ⋅ 15 = −165 ,
   2
   (−1 − 2𝑟) + (−1 + 12𝑟)
   ⋅ 15 = −165 ,
   2
   ALBO
   – obliczenie ósmego wyrazu ciągu (𝑎𝑛 ) z wykorzystaniem własności ciągu
   arytmetycznego: 𝑎8 = −11 (dla sposobów IV oraz V),
   ALBO
   – zapisanie kolejnych piętnastu początkowych wyrazów ciągu (𝑎𝑛 ):
   3, 1, −1, −3, −5, −7, −9, −11, −13, −15, −17, −19, −21, −23, −25.

   0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi:
   1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe
   rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów. 2. Jeżeli zdający zapisze tylko 𝑟 = −2, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający błędnie interpretuje liczbę (−165) jako piętnasty wyraz ciągu, to
   otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

7. Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 2 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.

Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.

1. Zapisz dane i wybierz metodę

   Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.

2. Przeprowadź etap 1

   Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

   Sposób I
   Punkt 𝑃 jest środkiem przekątnej 𝐴𝐶 . Ze wzoru na współrzędne środka odcinka
   otrzymujemy
   −2 + 𝑥𝑐 6 + 𝑦𝑐
   = 6 oraz =7
   2 2

   Zatem 𝐶 = (14, 8).
   Obliczamy długość odcinka 𝐵𝐶 :
   |𝐵𝐶| = √(14 − 10)2 + (8 − 2)2 = √16 + 36 = √52 = 2√13

   Sposób II
   Punkt 𝑃 jest środkiem przekątnej 𝐵𝐷 . Ze wzoru na współrzędne środka odcinka
   otrzymujemy
   10 + 𝑥𝑑 2 + 𝑦𝑑
   = 6 oraz =7
   2 2

3. Przeprowadź etap 2

   Zatem 𝐷 = (2, 12).
   Obliczamy długość odcinka 𝐵𝐶 :
   |𝐵𝐶| = |𝐴𝐷| = √(2 + 2)2 + (12 − 6)2 = √16 + 36 = √52 = 2√13

   Sposób III
   Obliczamy współrzędne punktu 𝑆 środka odcinka 𝐴𝐵 :
   −2 + 10 6 + 2
   𝑆=( , )
   2 2
   𝑆 = (4, 4)
   Obliczamy długość odcinka 𝐵𝐶 :
   |𝐵𝐶| = 2|𝑃𝑆| = 2√(4 − 6)2 + (4 − 7)2 = 2√4 + 9 = 2√13

   Wymagane elementy toku według CKE:
   2 pkt – zastosowanie poprawnej metody i obliczenie długości boku 𝐵𝐶 : |𝐵𝐶| = √52.

4. Przeprowadź etap 3

   1 pkt – zapisanie współrzędnych punktu 𝐶 : 𝐶 = (14, 8)
   ALBO
   – zapisanie współrzędnych punktu 𝐷 : 𝐷 = (2, 12),
   ALBO
   – zapisanie współrzędnych środka 𝑆 boku 𝐴𝐵 : 𝑆 = (4, 4) oraz zapisanie równości
   |𝐵𝐶| = 2|𝑃𝑆|,
   ALBO
   ⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗
   – zapisanie równości 𝐶𝐵 𝑃𝐴 + ⃗⃗⃗⃗⃗
   𝐴𝐵 oraz obliczenie współrzędnych wektorów
   ⃗⃗⃗⃗⃗
   𝑃𝐴 i ⃗⃗⃗⃗⃗
   𝐴𝐵 : ⃗⃗⃗⃗⃗
   𝑃𝐴 = [−8, −1] oraz ⃗⃗⃗⃗⃗
   𝐴𝐵 = [12, −4],
   ALBO
   – obliczenie długości odcinków 𝐴𝐵 , 𝐴𝑃 oraz 𝐵𝑃 i cosinusa kąta 𝛼 oraz cosinusa
   kąta (180° − 𝛼), gdzie 𝛼 = |∡𝐴𝑃𝐵|: |𝐴𝐵| = 4√10 oraz |𝐴𝑃| = √65, oraz
   27 27
   |𝐵𝑃| = √41, oraz cos 𝛼 = − , oraz cos(180° − 𝛼) = .
   √65⋅√41 √65⋅√41
   0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

5. Przeprowadź etap 4

   Uwagi:
   1. Jeżeli zdający korzysta z punktów kratowych oraz błędnie zaznaczy w układzie
   współrzędnych co najmniej jeden z punktów 𝐴, 𝐵, 𝐶 , 𝑃 i na tej podstawie oblicza długość
   odcinka 𝐵𝐶 , to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie (o ile nie nabył praw do innej
   punktacji). 2.

6. Przeprowadź etap 5

   Jeżeli zdający korzysta z punktów kratowych oraz poprawnie zaznaczy w układzie
   współrzędnych punkty 𝐴, 𝐵, 𝐶 , 𝑃, lecz błędnie odczyta współrzędne jednego z tych
   punktów, i na tej podstawie oblicza długość odcinka 𝐵𝐶 , to otrzymuje 1 punkt za całe
   rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający obliczy długość odcinka 𝐵𝐶 , korzystając z przybliżonych wartości funkcji
   trygonometrycznych, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.

7. Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 2 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.

Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.

1. Zapisz dane i wybierz metodę

   Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.

2. Przeprowadź etap 1

   Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

3. Przeprowadź etap 2

   Sposób I
   Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑥, 𝑦), gdzie
   𝑥, 𝑦 ∈ {5, 6, 7, 8, 9}.
   Liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych obliczamy, korzystając z reguły mnożenia.
   Moc zbioru Ω jest równa 5 ∙ 5 = 25.
   Liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴 obliczamy,
   korzystając z reguły mnożenia i reguły dodawania. Suma dwóch liczb naturalnych jest liczbą
   parzystą, gdy sumujemy dwie liczby parzyste lub dwie liczby nieparzyste. Stąd moc zbioru 𝐴
   jest równa 3 ∙ 3 + 2 ∙ 2 = 13.
   13

4. Przeprowadź etap 3

   Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe .
   25

   Sposób II
   W tabeli literą 𝐴 zaznaczamy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴 (pary liczb,
   których suma jest liczbą parzystą).
   5 6 7 8 9
   5 𝐴 𝐴 𝐴
   6 𝐴 𝐴
   7 𝐴 𝐴 𝐴
   8 𝐴 𝐴
   9 𝐴 𝐴 𝐴
   Moc zbioru Ω jest równa 25.
   Zdarzeń sprzyjających wylosowaniu liczb, których suma jest parzysta, jest 13.
   13

   Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe .
   25

5. Przeprowadź etap 4

   Sposób III (drzewo stochastyczne)
   Rysujemy drzewo stochastyczne rozważanego doświadczenia.
   2 3
   5 5
   liczba liczba
   parzysta nieparzysta
   2 3 2 3
   5 5 5 5
   5
   liczba liczba liczba liczba
   parzysta nieparzysta parzysta nieparzysta
   Prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe
   2 2 3 3 13
   𝑃(𝐴) = ⋅ + ⋅ =
   5 5 5 5 25

   Wymagane elementy toku według CKE:
   2 pkt – zastosowanie poprawnej metody obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴
   13
   i uzyskanie poprawnego wyniku: 𝑃(𝐴) = .

6. Przeprowadź etap 5

   25
   1 pkt – wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych lub obliczenie/podanie liczby tych
   zdarzeń: |Ω| = 5 ⋅ 5 lub sporządzenie tabeli o 25 polach odpowiadających
   zdarzeniom elementarnym, z których co najmniej jedno pole jest wypełnione, lub
   sporządzenie pełnego drzewa stochastycznego
   ALBO
   – wypisanie (lub zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych
   sprzyjających zdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego,
   ALBO
   – podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:
   |𝐴| = 13, o ile nie zostały zliczone błędne pary,
   ALBO
   – sporządzenie fragmentu drzewa stochastycznego, które zawiera wszystkie gałęzie
   sprzyjające zdarzeniu 𝐴 oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej
   jednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,
   ALBO
   1
   – podanie prawdopodobieństwa jednoelementowego zdarzenia (elementarnego): ,
   25
   ALBO
   13
   – zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = .

   25
   0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi:
   1. Jeżeli zdający zapisuje tylko liczby 13 lub 25 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych
   liczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający rozważa losowanie bez zwracania, to otrzymuje 0 punktów.

7. Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 2 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.

Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.

1. Zapisz dane i wybierz metodę

   Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.

2. Przeprowadź etap 1

   Odpowiedź i kryteria punktowania pochodzą z oficjalnych zasad oceniania CKE.

   Sposób I
   Przyjmujemy oznaczenia:
   𝑎 – długość krawędzi podstawy (𝑎 > 0),
   𝐻 – wysokość graniastosłupa (𝐻 > 0).
   1
   Stosunek długości krawędzi podstawy do wysokości graniastosłupa jest równy . Zatem
   4
   𝐻 = 4𝑎 . Objętość graniastosłupa wynosi 108, stąd otrzymujemy równanie:
   𝑎2 ∙ 4𝑎 = 108
   4𝑎3 = 108
   𝑎3 = 27
   𝑎=3
   Następnie obliczamy wysokość graniastosłupa, pole powierzchni całkowitej oraz przekątną
   podstawy:
   𝐻 = 4 ∙ 3 = 12
   𝑃𝑐 = 2 ⋅ 𝑎2 + 4 ⋅ 𝑎𝐻 = 2 ⋅ 32 + 4 ⋅ 3 ⋅ 12 = 18 + 144 = 162
   𝑎√2 = 3√2
   Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy długość 𝑑 przekątnej graniastosłupa:
   2
   𝑑 2 = 122 + (3√2) , gdzie 𝑑 > 0
   𝑑 2 = 162
   𝑑 = √162 = 9√2
   Obliczamy cos 𝛼 :
   𝑎√2 3√2 1
   cos 𝛼 = = =
   𝑑 9√2 3

   Sposób II
   Przyjmujemy oznaczenia:
   𝑎 – długość krawędzi podstawy (𝑎 > 0),
   𝐻 – wysokość graniastosłupa (𝐻 > 0).
   1
   Stosunek długości krawędzi podstawy do wysokości graniastosłupa jest równy . Zatem
   4
   𝐻 = 4𝑎 . Przekątna podstawy ma długość 𝑎√2, stąd otrzymujemy:
   4𝑎
   tg 𝛼 = = 2√2
   𝑎√2
   sin 𝛼

   Zatem = 2√2. Stąd sin 𝛼 = 2√2 ⋅ cos 𝛼 .
   cos 𝛼
   Wykorzystując tę zależność oraz tożsamość sin2 𝛼 + cos 2 𝛼 = 1, otrzymujemy
   2
   (2√2 ⋅ cos 𝛼) + cos2 𝛼 = 1
   8 cos2 𝛼 + cos 2 𝛼 = 1
   9 cos 2 𝛼 = 1
   1
   cos 2 𝛼 =
   9
   1

   Stąd cos 𝛼 = , ponieważ 𝛼 jest kątem ostrym.
   3
   Objętość graniastosłupa wynosi 108, stąd otrzymujemy równanie:
   𝑎2 ∙ 4𝑎 = 108
   4𝑎3 = 108
   𝑎3 = 27
   𝑎=3
   Następnie obliczamy pole powierzchni całkowitej graniastosłupa:
   𝑃𝑐 = 2 ⋅ 𝑎2 + 4 ⋅ 𝑎𝐻 = 2 ⋅ 𝑎2 + 4 ⋅ 𝑎 ⋅ 4𝑎 = 18 ⋅ 𝑎2 = 18 ⋅ 32 = 162

3. Przeprowadź etap 2

   Sposób III
   Rozważmy graniastosłup prawidłowy czworokątny 𝐺1 o wysokości 4 i krawędzi podstawy
   długości 1. Graniastosłup 𝐺1 jest podobny do danego graniastosłupa, zatem przekątna
   graniastosłupa 𝐺1 jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego miara jest
   równa mierze kąta 𝛼 .
   Przekątna podstawy graniastosłupa 𝐺1 ma długość √2.
   Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy długość 𝑑1 przekątnej graniastosłupa 𝐺1 :
   2
   𝑑12 = 42 + (√2) , gdzie 𝑑1 > 0
   𝑑12 = 18
   𝑑1 = √18 = 3√2
   Obliczamy cos 𝛼 :
   √2 1
   cos 𝛼 = =
   3√2 3
   Objętość 𝑉1 graniastosłupa 𝐺1 jest równa
   𝑉1 = 12 ⋅ 4 = 4
   Pole 𝑃𝑐1 powierzchni całkowitej graniastosłupa 𝐺1 jest równe
   𝑃𝑐1 = 2 ⋅ 12 + 4 ⋅ 1 ⋅ 4 = 18
   Stosunek objętości 𝑉1 graniastosłupa 𝐺1 do objętości 𝑉 danego graniastosłupa jest
   równy sześcianowi skali podobieństwa. Zatem
   𝑉1 4 1
   𝑘3 = = =
   𝑉 108 27
   1

4. Przeprowadź etap 3

   Stąd 𝑘 = . 3
   Stosunek pola 𝑃𝑐1 powierzchni całkowitej graniastosłupa 𝐺1 do pola 𝑃𝑐 powierzchni
   całkowitej danego graniastosłupa jest równy kwadratowi skali podobieństwa. Zatem
   𝑃𝑐1
   = 𝑘2
   𝑃𝑐
   18 1
   =
   𝑃𝑐 9
   𝑃𝑐 = 18 ⋅ 9 = 162
   Ocena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią
   Obowiązują Zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez
   stwierdzonej dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:
   a) ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną
   dyskalkulią (punkty 1.–12.);
   b) dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy
   osób ze stwierdzoną dyskalkulią – egzamin maturalny z matematyki, poziom podstawowy,
   termin główny 2024. I. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną
   dyskalkulią
   1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:
   • błędnego przepisania
   • przestawienia cyfr
   • zapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie
   • przestawienia położenia przecinka
   • przestawienia położenia znaku liczby. 2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu
   oddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza
   umiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania
   badanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt. 3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę rozwiązania,
   części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej 1 punkt, zgodnie
   z kryteriami do poszczególnych zadań. 4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub zapisuje
   nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne rozumowanie lub
   stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt za rozwiązanie
   zadania. 5.

5. Przeprowadź etap 4

   W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu
   kwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę
   wyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania
   wartościach liczbowych. 6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający
   może otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności
   kwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych. 7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej zdający
   może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji kwadratowej,
   istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania. 8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych
   lub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie
   takiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania. 9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na
   płaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu
   rozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur
   geometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie. 10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać
   przynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających
   rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje prawidłową metodę
   wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych. 11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli
   podaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia
   rozwiązania. 12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub
   geometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która
   wyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać
   1 punkt. II.

6. Przeprowadź etap 5

   Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób
   ze stwierdzoną dyskalkulią
   1 pkt – zastosowanie poprawnej metody obliczenia pierwiastków trójmianu kwadratowego
   𝑥 2 − 3𝑥 − 4, tzn. zastosowanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego
   i obliczenie tych pierwiastków
   ALBO
   – konsekwentne (do otrzymanego w wyniku popełnienia błędów o charakterze
   dyskalkulicznym ujemnego wyróżnika) narysowanie paraboli,
   ALBO
   – poprawne rozwiązanie nierówności 𝑥 2 − 4 ≤ 0 (tzn. stosuje się punkt 6. ogólnych
   zasad oceniania),
   ALBO
   – konsekwentne (do wyznaczonych przez siebie pierwiastków oraz rozpatrywanego
   trójmianu i nierówności) wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności. Uwagi:
   1. Jeżeli zdający, rozwiązując nierówność, pomyli porządek liczb na osi liczbowej i zapisze
   zbiór rozwiązań nierówności w postaci 〈4, −1〉, to może otrzymać 2 punkty za całe
   rozwiązanie. 2. Nie stosuje się uwag 2. i 3. z zasad oceniania arkusza standardowego. 1 pkt – przekształcenie wyrażenia (3𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 3𝑦) do postaci 3𝑥 2 + 9𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 + 3𝑦 2 . Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego. 1 pkt – zapisanie równania z dwiema niewiadomymi, gdzie jedną z niewiadomych jest
   2𝑎1 +14𝑟
   różnica ciągu arytmetycznego, np.: −1 = 𝑎1 + 2𝑟, −165 = ⋅ 15 . 2
   1 pkt – poprawne zaznaczenie w kartezjańskim układzie współrzędnych punktu 𝐶
   ALBO
   – poprawne zaznaczenie w kartezjańskim układzie współrzędnych punktu 𝐷 ,
   ALBO
   – zapisanie współrzędnych środka 𝑆 boku 𝐴𝐵 : 𝑆 = (4, 4). 1 pkt – zapisanie jedynie liczby 25 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich
   zdarzeń elementarnych). Uwagi:
   1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi 1.
   ze standardowych zasad oceniania. 2. Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające
   zdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (np. |𝐴| = 12) i konsekwentnie zapisze
   12
   wynik (np. ), to otrzymuje 2 punkty.

   25
   1 pkt – zapisanie długości krawędzi podstawy oraz wysokości graniastosłupa podobnego do
   rozpatrywanego (np. 𝑎 = 1, 𝐻 = 4).

   Wymagane elementy toku według CKE:
   Część I (Obliczenie cosinusa kąta 𝛼 )
   1
   2 pkt – obliczenie cosinusa kąta 𝛼 : cos 𝛼 = .
   3
   1 pkt – zapisanie przekątnej graniastosłupa jako 3𝑎√2
   ALBO
   – obliczenie tangensa kąta 𝛼 nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny
   4
   podstawy: tg 𝛼 = ,
   √2
   ALBO
   – obliczenie długości przekątnej graniastosłupa podobnego do rozpatrywanego.
   0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
   Uwaga:
   Jeżeli zdający obliczy wartość cosinusa kąta 𝛼 , popełniając błąd, który nie jest rachunkowy
   𝑎 √3
   (np. przyjmie, że przekątna podstawy jest równa ), to otrzymuje za tę część rozwiązania
   2
   0 punktów, o ile nie nabył praw do innej punktacji.
   Część II (Obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa)
   3 pkt – obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa: 𝑃𝑐 = 162.
   2 pkt – zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎 lub 𝐻 , np.:
   1 2
   𝑎2 ⋅ 4𝑎 = 108, (4 𝐻) ⋅ 𝐻 = 108
   ALBO
   – obliczenie skali 𝑘 podobieństwa graniastosłupa podobnego do rozpatrywanego
   (gdzie 𝑘 ≠ 1).
   1 pkt – zapisanie związku pomiędzy krawędzią podstawy a wysokością graniastosłupa, np.:
   𝐻 = 4𝑎 , 𝑎2 ∙ 𝐻 = 108
   ALBO
   – obliczenie objętości i pola powierzchni całkowitej graniastosłupa podobnego do
   rozpatrywanego w skali 𝑘 ≠ 1
   (np. przyjmując 𝑎 = 1, 𝐻 = 4 i wtedy 𝑉 = 4 oraz 𝑃𝑐 = 18),
   ALBO
   – zapisanie zależności między objętością danego graniastosłupa i graniastosłupa do
   niego podobnego, np. 108 = 12 ⋅ 4 ⋅ 𝑘 3 (gdzie 𝑘 to skala podobieństwa).
   0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

7. Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania

   Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 5 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.

Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.