Pracuj z arkuszem
Zadania, odpowiedzi i opracowania
Wersja arkusza w języku ukraińskim: zadania 1–25
Matematyka — wersja polsko-ukraińska — odpowiedź według zasad CKE
Na początku sezonu letniego cenę 𝑥 pary sandałów podwyższono o 20%. Po miesiącu
nową cenę obniżono o 10%. Po obu tych zmianach ta para sandałów kosztowała 81 zł.
Początkowa cena 𝑥 pary sandałów była równa
На початку літнього сезону ціну 𝑥 пари сандалів підвищили на 20%. За місяць нову
ціну знизили на 10%. Після цих двох змін ця пара сандалів коштувала 81 зл.
Початкова ціна 𝑥 пари сандалів дорівнювала
A. 45 zł / 45 зл B. 73,63 zł / 73,63 зл
C. 75 zł / 75 зл D. 87,48 zł / 87,48 зл
Sprawdź odpowiedź
C
Kolejne zmiany ceny dają 1,2x·0,9=1,08x. Z równania 1,08x=81 otrzymujemy x=75 zł.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
- Zapisz dane i wybierz metodę
Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.
- Przeprowadź rozwiązanie
Kolejne zmiany ceny dają 1,2x·0,9=1,08x. Z równania 1,08x=81 otrzymujemy x=75 zł.
Wynik: C
- Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania
Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.
Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.
Punktowanie i źródło
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Strona arkusza: 4
Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.
Matematyka — wersja polsko-ukraińska — odpowiedź według zasad CKE
1 8
Liczba ( ) ⋅ 816 jest równa
16
1 8
Число ( ) ⋅ 816 дорівнює
16
A. 224 B. 216 C. 212 D. 28
Sprawdź odpowiedź
B
Zapisujemy 1/16=2⁻⁴ oraz 8=2³. Stąd (2⁻⁴)⁸·(2³)¹⁶=2⁻³²·2⁴⁸=2¹⁶.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
- Zapisz dane i wybierz metodę
Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.
- Przeprowadź rozwiązanie
Zapisujemy 1/16=2⁻⁴ oraz 8=2³. Stąd (2⁻⁴)⁸·(2³)¹⁶=2⁻³²·2⁴⁸=2¹⁶.
Wynik: B
- Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania
Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.
Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.
Punktowanie i źródło
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Strona arkusza: 4
Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.
Matematyka — wersja polsko-ukraińska — odpowiedź według zasad CKE
Liczba log √3 9 jest równa
Число log √3 9 дорівнює
A. 2 B. 3 C. 4 D. 9
Sprawdź odpowiedź
C
Mamy √3=3^(1/2) oraz 9=3². Szukany wykładnik spełnia (3^(1/2))^x=3², więc x/2=2 i x=4.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
- Zapisz dane i wybierz metodę
Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.
- Przeprowadź rozwiązanie
Mamy √3=3^(1/2) oraz 9=3². Szukany wykładnik spełnia (3^(1/2))^x=3², więc x/2=2 i x=4.
Wynik: C
- Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania
Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.
Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.
Punktowanie i źródło
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Strona arkusza: 4
Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.
Matematyka — wersja polsko-ukraińska — odpowiedź według zasad CKE
Dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑏 wartość wyrażenia
(2𝑎 + 𝑏)2 − (2𝑎 − 𝑏)2 jest równa wartości wyrażenia
Для кожного дійсного числа 𝑎 і для кожного дійсного числа 𝑏 значення виразу
(2𝑎 + 𝑏)2 − (2𝑎 − 𝑏)2 дорівнює значенню виразу
A. 8𝑎2 B. 8𝑎𝑏 C. −8𝑎𝑏 D. 2𝑏 2
EMAU-P0_100
ЧЕРНЕТКА (не підлягає оцінюванню)
EMAU-P0_100
Sprawdź odpowiedź
B
Stosujemy różnicę kwadratów: (2a+b)²−(2a−b)²=[(2a+b)−(2a−b)]·[(2a+b)+(2a−b)]=2b·4a=8ab.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
- Zapisz dane i wybierz metodę
Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.
- Przeprowadź rozwiązanie
Stosujemy różnicę kwadratów: (2a+b)²−(2a−b)²=[(2a+b)−(2a−b)]·[(2a+b)+(2a−b)]=2b·4a=8ab.
Wynik: B
- Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania
Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.
Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.
Punktowanie i źródło
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Strona arkusza: 4
Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.
Matematyka — wersja polsko-ukraińska — odpowiedź według zasad CKE
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności
Множиною усіх розв’язків нерівності
3 2
1− 𝑥 < −𝑥
2 3
jest przedział
є проміжок
2 2 2 2
A. (−∞, − ) B. (−∞, ) C. (− , +∞) D. ( , +∞)
3 3 3 3
Sprawdź odpowiedź
D
Po przeniesieniu wyrazów otrzymujemy 1/3<x/2. Mnożenie obu stron przez dodatnie 6 daje 2<3x, czyli x>2/3.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
- Zapisz dane i wybierz metodę
Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.
- Przeprowadź rozwiązanie
Po przeniesieniu wyrazów otrzymujemy 1/3<x/2. Mnożenie obu stron przez dodatnie 6 daje 2<3x, czyli x>2/3.
Wynik: D
- Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania
Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.
Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.
Punktowanie i źródło
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Strona arkusza: 6
Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.
Matematyka — wersja polsko-ukraińska — odpowiedź według zasad CKE
Największą liczbą będącą rozwiązaniem rzeczywistym równania 𝑥(𝑥 + 2)(𝑥 2 + 9) = 0 jest
Найбільше число, яке є дійсним розв’язком рівняння 𝑥(𝑥 + 2)(𝑥 2 + 9) = 0, це
A. (−2) B. 0 C. 2 D. 3
Sprawdź odpowiedź
B
Iloczyn jest równy zeru, gdy zeruje się któryś czynnik. Czynnik x²+9 nie ma rzeczywistych zer, a z x(x+2)=0 mamy x=0 lub x=−2; największe rozwiązanie to 0.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
- Zapisz dane i wybierz metodę
Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.
- Przeprowadź rozwiązanie
Iloczyn jest równy zeru, gdy zeruje się któryś czynnik. Czynnik x²+9 nie ma rzeczywistych zer, a z x(x+2)=0 mamy x=0 lub x=−2; największe rozwiązanie to 0.
Wynik: B
- Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania
Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.
Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.
Punktowanie i źródło
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Strona arkusza: 6
Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.
Matematyka — wersja polsko-ukraińska — odpowiedź według zasad CKE
𝑥+1
Równanie = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych
(𝑥+2)(𝑥−3)
𝑥+1
Рівняння = 0 у множині дійсних чисел
(𝑥+2)(𝑥−3)
A. nie ma rozwiązania.
не має розв’язку.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: (−1).
має точно один розв’язок: (−1).
C. ma dokładnie dwa rozwiązania: (−2) oraz 3.
має точно два розв’язки: (−2) та 3.
D. ma dokładnie trzy rozwiązania: (−1), (−2) oraz 3.
має точно три розв’язки: (−1), (−2) та 3.
EMAU-P0_100
ЧЕРНЕТКА (не підлягає оцінюванню)
EMAU-P0_100
Sprawdź odpowiedź
B
Ułamek jest równy zeru, gdy licznik jest zerem i mianownik pozostaje różny od zera. Z x+1=0 mamy x=−1, który nie jest wykluczony przez x≠−2 i x≠3.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
- Zapisz dane i wybierz metodę
Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.
- Przeprowadź rozwiązanie
Ułamek jest równy zeru, gdy licznik jest zerem i mianownik pozostaje różny od zera. Z x+1=0 mamy x=−1, który nie jest wykluczony przez x≠−2 i x≠3.
Wynik: B
- Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania
Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.
Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.
Punktowanie i źródło
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Strona arkusza: 6
Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.
Matematyka — wersja polsko-ukraińska — odpowiedź według zasad CKE
W październiku 2022 roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie 1960 drzew.
Po roku stwierdzono, że uschło 5% drzew w pierwszym sadzie i 10% drzew w drugim
sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano.
Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła 60% liczby drzew, które
pozostały w pierwszym sadzie.
Niech 𝑥 oraz 𝑦 oznaczają liczby drzew posadzonych – odpowiednio – w pierwszym
i drugim sadzie.
Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby 𝑥 drzew
posadzonych w pierwszym sadzie oraz liczby 𝑦 drzew posadzonych w drugim sadzie, jest
У жовтні 2022 року було посаджено два сади, у яких висадили всього 1960 дерев.
Через рік було виявлено, що у першому саду засохло 5% дерев, а у другому саду
10% дерев. Засохлі дерева усунули, а нові не висадили.
Кількість дерев, які залишилися у другому саду, становила 60% від кількості дерев, які
залишилися у першому саду.
Нехай 𝑥 та 𝑦 означають кількості висаджених дерев – відповідно – в першому
і другому саду.
Система рівнянь, правильне розв’язання якої призводить до обчислення кількості 𝑥
дерев, висаджених у першому саду, та кількості 𝑦 дерев, висаджених у другому саду,
це
𝑥 + 𝑦 = 1960
A. {
0,6 ⋅ 0,95𝑥 = 0,9𝑦
𝑥 + 𝑦 = 1960
B. {
0,95𝑥 = 0,6 ⋅ 0,9𝑦
𝑥 + 𝑦 = 1960
C. {
0,05𝑥 = 0,6 ⋅ 0,1𝑦
𝑥 + 𝑦 = 1960
D. {
0,4 ⋅ 0,95𝑥 = 0,9𝑦
Sprawdź odpowiedź
A
Po roku w pierwszym sadzie pozostaje 0,95x drzew, a w drugim 0,9y. Warunek 60% zapisujemy jako 0,9y=0,6·0,95x, razem z równaniem x+y=1960.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
- Zapisz dane i wybierz metodę
Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.
- Przeprowadź rozwiązanie
Po roku w pierwszym sadzie pozostaje 0,95x drzew, a w drugim 0,9y. Warunek 60% zapisujemy jako 0,9y=0,6·0,95x, razem z równaniem x+y=1960.
Wynik: A
- Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania
Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.
Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.
Punktowanie i źródło
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Strona arkusza: 8
Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.
Matematyka — wersja polsko-ukraińska — odpowiedź według zasad CKE
Średnia arytmetyczna trzech liczb: 𝑎, 𝑏, 𝑐 , jest równa 9.
Середнє арифметичне трьох чисел: 𝑎, 𝑏, 𝑐 , дорівнює 9.
Średnia arytmetyczna sześciu liczb: 𝑎, 𝑎, 𝑏, 𝑏, 𝑐 , 𝑐 , jest równa
Середнє арифметичне шести чисел: 𝑎, 𝑎, 𝑏, 𝑏, 𝑐 , 𝑐 , дорівнює
A. 9 B. 6 C. 4,5 D. 18
EMAU-P0_100
ЧЕРНЕТКА (не підлягає оцінюванню)
EMAU-P0_100
Sprawdź odpowiedź
A
Skoro (a+b+c)/3=9, to a+b+c=27. Powtórzenie każdej liczby dwa razy daje średnią 2(a+b+c)/6=(a+b+c)/3=9.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
- Zapisz dane i wybierz metodę
Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.
- Przeprowadź rozwiązanie
Skoro (a+b+c)/3=9, to a+b+c=27. Powtórzenie każdej liczby dwa razy daje średnią 2(a+b+c)/6=(a+b+c)/3=9.
Wynik: A
- Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania
Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.
Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.
Punktowanie i źródło
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Strona arkusza: 8
Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.
Matematyka — wersja polsko-ukraińska — odpowiedź według zasad CKE
Na rysunku przedstawiono dwie proste równoległe, które są interpretacją geometryczną
jednego z poniższych układów równań A–D.
На рисунку представлено дві паралельні прямі, які є геометричною інтерпретацією
oднієї з нижченаведених систем рівнянь A–D.
𝑦
1
0 𝑥
1
Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest
Система рівнянь, геометрична інтерпретація якої представлена на рисунку, це
3
𝑦 = −2𝑥 + 3
A. {
3
𝑦 = −2𝑥 − 1
3
𝑦 = 2𝑥 + 3
B. {
2
𝑦 = −3𝑥 − 1
3
𝑦 = 2𝑥 + 3
C. {
3
𝑦 = 2𝑥 − 1
3
𝑦 = −2𝑥 − 3
D. {
3
𝑦 = 2𝑥 + 1
EMAU-P0_100
ЧЕРНЕТКА (не підлягає оцінюванню)
EMAU-P0_100
Sprawdź odpowiedź
A
Dwie różne proste równoległe mają takie same współczynniki kierunkowe i różne wyrazy wolne. Z rysunku obie są malejące, więc właściwa para ma współczynnik −3/2 oraz różne wyrazy wolne.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
- Zapisz dane i wybierz metodę
Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.
- Przeprowadź rozwiązanie
Dwie różne proste równoległe mają takie same współczynniki kierunkowe i różne wyrazy wolne. Z rysunku obie są malejące, więc właściwa para ma współczynnik −3/2 oraz różne wyrazy wolne.
Wynik: A
- Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania
Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.
Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.
Punktowanie i źródło
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Strona arkusza: 10
Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.
Matematyka — wersja polsko-ukraińska — odpowiedź według zasad CKE
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji 𝑓 .
На рисунку представлено графік функції 𝑓 .
𝑦
6
5
4
𝑦 = 𝑓(𝑥)
3
2
1
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 𝑥
–1
–2
–3
Zbiorem wartości tej funkcji jest
Множиною значень цієї функції є
A. (−6, 6⟩ B. ⟨1, 4) C. ⟨1, 4⟩ D. ⟨−6, 6⟩
Sprawdź odpowiedź
C
Najmniejsza wartość odczytana z wykresu to 1, a największa to 4; oba poziomy są osiągane przez wykres. Zbiorem wartości jest więc przedział domknięty ⟨1,4⟩.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
- Zapisz dane i wybierz metodę
Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.
- Przeprowadź rozwiązanie
Najmniejsza wartość odczytana z wykresu to 1, a największa to 4; oba poziomy są osiągane przez wykres. Zbiorem wartości jest więc przedział domknięty ⟨1,4⟩.
Wynik: C
- Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania
Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.
Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.
Punktowanie i źródło
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Strona arkusza: 12
Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.
Matematyka — wersja polsko-ukraińska — odpowiedź według zasad CKE
Funkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = (−2𝑘 + 3)𝑥 + 𝑘 − 1, gdzie 𝑘 ∈ ℝ.
Funkcja 𝑓 jest malejąca dla każdej liczby 𝑘 należącej do przedziału
Лінійна функція 𝑓 задана формулою 𝑓(𝑥) = (−2𝑘 + 3)𝑥 + 𝑘 − 1, де 𝑘 ∈ ℝ.
Функція 𝑓 є спадною для кожного числа 𝑘 , яке належить проміжку
3 3
A. (−∞, 1) B. (−∞, − ) C. (1, +∞) D. ( , +∞)
2 2
Sprawdź odpowiedź
D
Funkcja liniowa jest malejąca, gdy jej współczynnik kierunkowy jest ujemny. Rozwiązujemy −2k+3<0, skąd k>3/2.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
- Zapisz dane i wybierz metodę
Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.
- Przeprowadź rozwiązanie
Funkcja liniowa jest malejąca, gdy jej współczynnik kierunkowy jest ujemny. Rozwiązujemy −2k+3<0, skąd k>3/2.
Wynik: D
- Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania
Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.
Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.
Punktowanie i źródło
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Strona arkusza: 12
Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.
Matematyka — wersja polsko-ukraińska — odpowiedź według zasad CKE
Funkcje liniowe 𝑓 oraz 𝑔, określone wzorami 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 6 oraz 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 + 7, mają
to samo miejsce zerowe. Współczynnik 𝑎 we wzorze funkcji 𝑔 jest równy
Лінійні функції 𝑓 та 𝑔 задані формулами 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 6 та 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 + 7. Нуль
функції 𝑓 і нуль функції 𝑔 однакові. Коефіцієнт 𝑎 у формулі функції 𝑔 дорівнює
7 2 2 7
A. (− ) B. (− ) C. D.
2 7 7 2
EMAU-P0_100
ЧЕРНЕТКА (не підлягає оцінюванню)
EMAU-P0_100
Informacja do zadań 14.–15. / Інформація до завдань 14.–15.
Na rysunku przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej 𝑓
(zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu
współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.
На рисунку представлено фрагмент параболи, яка є графіком квадратичної функції 𝑓
(дивись рисунок). Вершина цієї параболи та точки перетину параболи з осями системи
координат мають обидві цілі координати.
𝑦
10
9
8
7
6
𝑦 = 𝑓(𝑥) 5
4
3
2
1
0 𝑥
−7−6−5−4−3−2−1
−1 1 2 3 4 5 6 7
−2
−3
−4
−5
−6
Sprawdź odpowiedź
D
Miejsce zerowe f(x)=3x+6 to x=−2. Funkcja g ma mieć to samo zero, więc −2a+7=0, a stąd a=7/2.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
- Zapisz dane i wybierz metodę
Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.
- Przeprowadź rozwiązanie
Miejsce zerowe f(x)=3x+6 to x=−2. Funkcja g ma mieć to samo zero, więc −2a+7=0, a stąd a=7/2.
Wynik: D
- Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania
Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.
Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.
Punktowanie i źródło
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Strona arkusza: 12
Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.
Matematyka — wersja polsko-ukraińska — odpowiedź według zasad CKE
Funkcja kwadratowa 𝑓 jest określona wzorem
Квадратична функція 𝑓 задана формулою
A. 𝑓(𝑥) = −(𝑥 + 1)2 − 9 B. 𝑓(𝑥) = −(𝑥 − 1)2 + 9
C. 𝑓(𝑥) = −(𝑥 − 1)2 − 9 D. 𝑓(𝑥) = −(𝑥 + 1)2 + 9
Sprawdź odpowiedź
B
Z wykresu odczytujemy wierzchołek (1,9) i ramiona skierowane w dół. Postać kanoniczna ma zatem wzór f(x)=−(x−1)²+9.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
- Zapisz dane i wybierz metodę
Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.
- Przeprowadź rozwiązanie
Z wykresu odczytujemy wierzchołek (1,9) i ramiona skierowane w dół. Postać kanoniczna ma zatem wzór f(x)=−(x−1)²+9.
Wynik: B
- Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania
Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.
Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.
Punktowanie i źródło
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Strona arkusza: 14
Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.
Matematyka — wersja polsko-ukraińska — odpowiedź według zasad CKE
Dla funkcji 𝑓 prawdziwa jest równość
Для функції 𝑓 справджується рівність
A. 𝑓(−4) = 𝑓(6) B. 𝑓(−4) = 𝑓(4)
C. 𝑓(−4) = 𝑓(5) D. 𝑓(−4) = 𝑓(7)
EMAU-P0_100
ЧЕРНЕТКА (не підлягає оцінюванню)
EMAU-P0_100
Sprawdź odpowiedź
A
Oś symetrii paraboli przechodzi przez x=1. Argumenty −4 i 6 leżą w tej samej odległości 5 od osi, dlatego f(−4)=f(6).
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
- Zapisz dane i wybierz metodę
Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.
- Przeprowadź rozwiązanie
Oś symetrii paraboli przechodzi przez x=1. Argumenty −4 i 6 leżą w tej samej odległości 5 od osi, dlatego f(−4)=f(6).
Wynik: A
- Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania
Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.
Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.
Punktowanie i źródło
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Strona arkusza: 14
Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.
Matematyka — wersja polsko-ukraińska — odpowiedź według zasad CKE
W ciągu arytmetycznym (𝑎𝑛 ), określonym dla każdej liczby naturalnej 𝑛 ≥ 1, dane są
wyrazy 𝑎4 = −2 oraz 𝑎6 = 16. Piąty wyraz tego ciągu jest równy
У арифметичній прогресії (𝑎𝑛 ), визначеній для кожного натурального числа 𝑛 ≥ 1,
дано члени 𝑎4 = −2 та 𝑎6 = 16. П’ятий член цієї прогресії дорівнює
7 9
A. B. C. 7 D. 9
2 2
Sprawdź odpowiedź
C
W ciągu arytmetycznym wyraz pośredni jest średnią arytmetyczną sąsiednich: a₅=(a₄+a₆)/2=(−2+16)/2=7.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
- Zapisz dane i wybierz metodę
Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.
- Przeprowadź rozwiązanie
W ciągu arytmetycznym wyraz pośredni jest średnią arytmetyczną sąsiednich: a₅=(a₄+a₆)/2=(−2+16)/2=7.
Wynik: C
- Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania
Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.
Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.
Punktowanie i źródło
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Strona arkusza: 16
Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.
Matematyka — wersja polsko-ukraińska — odpowiedź według zasad CKE
Ciąg geometryczny (𝑎𝑛 ) jest określony wzorem 𝑎𝑛 = 2𝑛−1 , dla każdej liczby naturalnej 𝑛 ≥ 1.
Iloraz tego ciągu jest równy
Геометрична прогресія (𝑎𝑛 ) визначена формулою 𝑎𝑛 = 2𝑛−1 для кожного
натурального числа 𝑛 ≥ 1. Знаменник цієї прогресії дорівнює
1
A. B. (−2) C. 2 D. 1
2
Sprawdź odpowiedź
C
Dla aₙ=2^(n−1) iloraz wynosi aₙ₊₁/aₙ=2ⁿ/2^(n−1)=2.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
- Zapisz dane i wybierz metodę
Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.
- Przeprowadź rozwiązanie
Dla aₙ=2^(n−1) iloraz wynosi aₙ₊₁/aₙ=2ⁿ/2^(n−1)=2.
Wynik: C
- Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania
Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.
Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.
Punktowanie i źródło
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Strona arkusza: 16
Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.
Matematyka — wersja polsko-ukraińska — odpowiedź według zasad CKE
Ciąg (𝑏𝑛 ) jest określony wzorem 𝑏𝑛 = (𝑛 + 2)(7 − 𝑛), dla każdej liczby naturalnej 𝑛 ≥ 1.
Liczba dodatnich wyrazów ciągu (𝑏𝑛 ) jest równa
Послідовність (𝑏𝑛 ) визначена формулою 𝑏𝑛 = (𝑛 + 2)(7 − 𝑛) для кожного
натурального числа 𝑛 ≥ 1. Кількість додатних членів послідовності (𝑏𝑛 ) дорівнює
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
Sprawdź odpowiedź
A
Dla n≥1 czynnik n+2 jest dodatni, więc o znaku bₙ decyduje 7−n. Wyraz jest dodatni dokładnie dla n=1,2,3,4,5,6, zatem dodatnich wyrazów jest 6.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
- Zapisz dane i wybierz metodę
Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.
- Przeprowadź rozwiązanie
Dla n≥1 czynnik n+2 jest dodatni, więc o znaku bₙ decyduje 7−n. Wyraz jest dodatni dokładnie dla n=1,2,3,4,5,6, zatem dodatnich wyrazów jest 6.
Wynik: A
- Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania
Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.
Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.
Punktowanie i źródło
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Strona arkusza: 16
Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.
Matematyka — wersja polsko-ukraińska — odpowiedź według zasad CKE
Liczba sin3 20° + cos 2 20° ⋅ sin 20° jest równa
Число sin3 20° + cos 2 20° ⋅ sin 20° дорівнює
A. cos 20° B. sin 20°
C. tg 20° D. sin 20° ⋅ cos 20°
EMAU-P0_100
ЧЕРНЕТКА (не підлягає оцінюванню)
EMAU-P0_100
Sprawdź odpowiedź
B
Wyłączamy sin20° przed nawias: sin20°·(sin²20°+cos²20°). Tożsamość sin²α+cos²α=1 daje wynik sin20°.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
- Zapisz dane i wybierz metodę
Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.
- Przeprowadź rozwiązanie
Wyłączamy sin20° przed nawias: sin20°·(sin²20°+cos²20°). Tożsamość sin²α+cos²α=1 daje wynik sin20°.
Wynik: B
- Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania
Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.
Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.
Punktowanie i źródło
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Strona arkusza: 16
Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.
Matematyka — wersja polsko-ukraińska — odpowiedź według zasad CKE
5
Kąt 𝛼 jest ostry oraz cos 𝛼 = . Wtedy
13
5
Кут 𝛼 є гострим, причому cos 𝛼 = . Тоді
13
12 12 5 13
A. tg 𝛼 = B. tg 𝛼 = C. tg 𝛼 = D. tg 𝛼 =
13 5 12 12
Sprawdź odpowiedź
B
Kąt jest ostry, więc przy cosα=5/13 mamy sinα=12/13 z trójkąta 5–12–13. Zatem tgα=(12/13)/(5/13)=12/5.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
- Zapisz dane i wybierz metodę
Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.
- Przeprowadź rozwiązanie
Kąt jest ostry, więc przy cosα=5/13 mamy sinα=12/13 z trójkąta 5–12–13. Zatem tgα=(12/13)/(5/13)=12/5.
Wynik: B
- Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania
Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.
Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.
Punktowanie i źródło
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Strona arkusza: 18
Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.
Matematyka — wersja polsko-ukraińska — odpowiedź według zasad CKE
Dany jest równoległobok o bokach długości 3 i 4 oraz o kącie między nimi o mierze 120°.
Pole tego równoległoboku jest równe
Дано паралелограм зі сторонами завдовжки 3 і 4 та кутом між ними, міра якого
дорівнює 120°. Площа цього паралелограма дорівнює
A. 6 B. 6√3 C. 12 D. 12√3
Sprawdź odpowiedź
B
Pole równoległoboku liczymy ze wzoru P=ab·sinα. Otrzymujemy P=3·4·sin120°=12·(√3/2)=6√3.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
- Zapisz dane i wybierz metodę
Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.
- Przeprowadź rozwiązanie
Pole równoległoboku liczymy ze wzoru P=ab·sinα. Otrzymujemy P=3·4·sin120°=12·(√3/2)=6√3.
Wynik: B
- Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania
Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.
Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.
Punktowanie i źródło
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Strona arkusza: 18
Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.
Matematyka — wersja polsko-ukraińska — odpowiedź według zasad CKE
W trójkącie 𝑀𝐾𝐶 bok 𝑀𝐾 ma długość 24. Prosta równoległa do boku 𝑀𝐾 przecina boki
𝑀𝐶 i 𝐾𝐶 – odpowiednio – w punktach 𝐴 oraz 𝐵 takich, że |𝐴𝐵| = 6 i |𝐴𝐶| = 3
(zobacz rysunek).
У трикутнику 𝑀𝐾𝐶 сторона 𝑀𝐾 має довжину 24. Пряма, паралельна до сторони
𝑀𝐾, перетинає сторони 𝑀𝐶 і 𝐾𝐶 – відповідно – у точках 𝐴 та 𝐵, причому |𝐴𝐵| = 6
і |𝐴𝐶| = 3 (дивись рисунок).
𝐶
3
𝐴 𝐵
6
𝑀 24 𝐾
Długość odcinka 𝑀𝐴 jest równa
Довжина відрізка 𝑀𝐴 дорівнює
A. 18 B. 15 C. 9 D. 12
EMAU-P0_100
ЧЕРНЕТКА (не підлягає оцінюванню)
EMAU-P0_100
Sprawdź odpowiedź
C
Z podobieństwa trójkątów CAB i CMK mamy AB/MK=AC/MC. Stąd 6/24=3/MC, więc MC=12, a MA=MC−AC=12−3=9.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
- Zapisz dane i wybierz metodę
Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.
- Przeprowadź rozwiązanie
Z podobieństwa trójkątów CAB i CMK mamy AB/MK=AC/MC. Stąd 6/24=3/MC, więc MC=12, a MA=MC−AC=12−3=9.
Wynik: C
- Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania
Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.
Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.
Punktowanie i źródło
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Strona arkusza: 18
Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.
Matematyka — wersja polsko-ukraińska — odpowiedź według zasad CKE
W trójkącie 𝐴𝐵𝐶 , wpisanym w okrąg o środku w punkcie 𝑆, kąt 𝐴𝐶𝐵 ma miarę 42°
(zobacz rysunek).
У трикутнику 𝐴𝐵𝐶 , вписаному в коло з центром в точці 𝑆, міра кута 𝐴𝐶𝐵 дорівнює
42° (дивись рисунок).
𝐶
42°
𝑆
𝐴
𝐵
Miara kąta ostrego 𝐵𝐴𝑆 jest równa
Міра гострого кута 𝐵𝐴𝑆 дорівнює
A. 42° B. 45° C. 48° D. 69°
Sprawdź odpowiedź
C
Kąt wpisany ACB=42° opiera się na łuku AB, więc kąt środkowy ASB ma 84°. Trójkąt ASB jest równoramienny, zatem każdy kąt przy podstawie ma (180°−84°)/2=48°.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
- Zapisz dane i wybierz metodę
Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.
- Przeprowadź rozwiązanie
Kąt wpisany ACB=42° opiera się na łuku AB, więc kąt środkowy ASB ma 84°. Trójkąt ASB jest równoramienny, zatem każdy kąt przy podstawie ma (180°−84°)/2=48°.
Wynik: C
- Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania
Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.
Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.
Punktowanie i źródło
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Strona arkusza: 20
Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.
Matematyka — wersja polsko-ukraińska — odpowiedź według zasad CKE
Proste 𝑘 oraz 𝑙 są określone równaniami
Прямі 𝑘 та 𝑙 визначені рівняннями
𝑘: 𝑦 = (𝑚 + 1)𝑥 + 7
𝑙: 𝑦 = −2𝑥 + 7
Proste 𝑘 oraz 𝑙 są prostopadłe, gdy liczba 𝑚 jest równa
Прямі 𝑘 та 𝑙 є перпендикулярними, якщо число 𝑚 дорівнює
1 1
A. (− ) B. C. (−3) D. 1
2 2
EMAU-P0_100
ЧЕРНЕТКА (не підлягає оцінюванню)
EMAU-P0_100
Sprawdź odpowiedź
A
Współczynniki kierunkowe prostych prostopadłych mają iloczyn −1. Zatem (m+1)·(−2)=−1, skąd m+1=1/2 i m=−1/2.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
- Zapisz dane i wybierz metodę
Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.
- Przeprowadź rozwiązanie
Współczynniki kierunkowe prostych prostopadłych mają iloczyn −1. Zatem (m+1)·(−2)=−1, skąd m+1=1/2 i m=−1/2.
Wynik: A
- Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania
Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.
Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.
Punktowanie i źródło
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Strona arkusza: 20
Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.
Matematyka — wersja polsko-ukraińska — odpowiedź według zasad CKE
1
Na prostej 𝑙 o współczynniku kierunkowym leżą punkty 𝐴 = (2, −4) oraz 𝐵 = (0, 𝑏).
2
Wtedy liczba 𝑏 jest równa
1
На прямій 𝑙 , кутовий коефіцієнт якої дорівнює , лежать точки 𝐴 = (2, −4)
2
та 𝐵 = (0, 𝑏). Тоді число 𝑏 дорівнює
A. (−5) B. 10 C. (−2) D. 0
Sprawdź odpowiedź
A
Współczynnik kierunkowy prostej przez A=(2,−4) i B=(0,b) to (b+4)/(0−2). Z równania (b+4)/(−2)=1/2 otrzymujemy b+4=−1, czyli b=−5.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
- Zapisz dane i wybierz metodę
Wypisz dane, szukaną wielkość oraz wszystkie warunki z polecenia. Dobierz twierdzenie, wzór lub przekształcenie, które prowadzi od danych do wyniku, a rachunki wykonuj na symbolach przed podstawieniem wartości liczbowych.
- Przeprowadź rozwiązanie
Współczynnik kierunkowy prostej przez A=(2,−4) i B=(0,b) to (b+4)/(0−2). Z równania (b+4)/(−2)=1/2 otrzymujemy b+4=−1, czyli b=−5.
Wynik: A
- Sprawdź odpowiedź z warunkami punktowania
Zweryfikuj, czy każdy człon polecenia jest zrealizowany, wynik zgadza się z odsłoniętą odpowiedzią właściwego wariantu, a zapis zawiera elementy wymagane do zdobycia 1 pkt. Szczegółowe kryteria są podane poniżej rozwiązania.
Przepisanie samej odpowiedzi z klucza bez pokazania rachunków, pominięcie założenia albo nieuwzględnienie dziedziny, znaku, jednostki lub końców przedziału.
Punktowanie i źródło
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Strona arkusza: 22
Opracowanie wstępne — oczekuje na zatwierdzenie redakcyjne.
Wersja arkusza w języku ukraińskim: zadania 1–25